热力学与统计物理第七章

∑ ∑ 证： P = −
l
al
∂ε l ∂V
=−
l
∂ al ∂V
⎡1 ⎢⎣ 2 m
(
2
π L
ℏ
)
2
(
n
x
2
+
n y2
+
n
z
2
)
⎤ ⎥⎦
∑ = −
l
∂ al ∂V
⎡L
⎢ ⎣
2
m
(2π ℏ) L3
2
(nx2
+
ny2
+
n
z
2
⎤ )⎥
⎦
其中
u = ∑ alε l ; V ~ L3 V
⇒
p
=
−
∑
l
al
∂ ∂V
代表处于
S
状态下的粒子数。例如，对于
ε
s′
能级
⎛ ⎜⎜
SK
e−α − βε S′
⎞ ⎟⎟
⎝ S = S1
⎠
个粒子在 ε s′ 上的 K 个微观状态的概率为：
⎛ Sk
⎞
( ) ∑ (粒子数)
P S ′ = P = P S′
⎜ ⎜
e−α − βεs′
⎟ ⎟
S′ ⎝ S = S1
⎠
⎛ Sk
⎞
( ) P S′′ = P ∑ 类似写出：
)2
xyz
f ( px , p y , pz )dpxdp ydpz
由条件（3）知 计算得
∫ pz f ( px , py , pz )dpx dp ydp z = Np0
∫ ∫ ∫ (
1
3
)2
2πmkT
e −βεx dpx
e−βε y dp y
⎡ ⎢( pz ⎣
+
mγ β
)
−
mγ β
β
mγ
⎥⎤e −
−β
(ε
x
+ε
y
) −(
β 2m
pz 2 +γpz
)
xyz
d ∫ = V hh3
e dp dp dp = N −(α−
mγ 2 2β
)− β
(ε
x
+ε
y
)−
β 2m
(
pz
mγ +
β
)2
xyz
k 其中
εx
=
px 2 2m
,ε y
=
py2 2m
. 对比 page238 式（7.2.4）得：
mγ 2
−(α − )
S = −Nk ∑ Ps ln Ps
s
∑ 式中
Ps 是总粒子处于量子态
s
的概率，Ps
=
e −α − βε s N
e−βεs =
Z1
,
s
对粒子的所有量
子态求和。
证法一：出现某状态ψ s 几率为 Ps
设 S1,S2,……Sk 状态对应的能级 ε s′ ；
设 Sk+1 ,Sk+2,……Sw 状态对应的能级 ε s′ ；
V
2
3V
5 −
3
(−
2)
=
3
2U
3V
∑ 习题 7.2 试根据公式 P = −
l
al
∂ε l ∂V
证明，对于极端相对论粒子：
ε
= cp
=
c
2πℏ L
(nx 2
+ ny2
+
n
z
2
)
1 2
， nx , ny , nz =0，±1，±2，…
有 p = 1 U ,上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。 3V
率 vm 和方均根速率 vs 。
解： 对于二维情形，
ε
=
1 2m
( px2
+
py2 )
（准）连续能量下的简并度：
sdpx dp y ; s − 面积 h2
⇒ 玻耳兹曼分布：
s e dp dp −α
1 −
2kTm
(
px2
+
p
2 y
)
；
h2
xy
利用
∫ ∫−∞
+∞
s −α − β ( px2 + py2 ) 2m
n
⇒ W − kT ln( N − n) + kT ln n = 0
W −
⇒ n = ( N − n)e kT ,
n〈〈N ；
⇒
n
=
−W
Ne kT
。
习题 7.8 气体以恒定的速度沿方向作整体运动。试证明，在平衡状态下分子动 量的最
概然分布为
[ ] e β −α − 2m
p x2
= p y2 + ( px − p0 )2
h e dp dp 2
xy
=N
⇒
s h2
−α
e
π β 4
=
N
⇒
s h2
e −α
=N 2πkTm
2m
⇒ 速度分布率 : N(
m
−
m 2kT
(v x 2
+v
y
)e
2πkT
2
)
dvxdv y
进而推出速率分布：
Nm
e
−
mv2 2kT
v
dv
kT
习
题
7.11
试根据麦克斯韦速度分布率导出两分子的相对速度
� vr
� = v2
证： 显然
N!
N!
Ω = n1!n2! = ( Nx)![N (1− x)]!
S= k ㏑ Ω =-N k [x ln x + (1 − x) ln(1− x)]= − Nk ln x x (1− x)(1−x) ；
由于 x x (1 − x)(1−x) ＜1， 故 S〉0；原题得证。 习题 7.6 晶体含有 N 个原子。原子在晶体中的正常位置如图中 O 所示。当原子
Vdpxdpy dpz L3
证： 设能级 εl 这样构成：同一 εl 中，P z 相同，而 P x 与 P y 在变化，于是有：
∑ δN = δ ∑ al = δal = 0 − − − − − − − (1)
∑ δE = δ ∑ ε lal = εlδal = 0 − − − − − (2)
∑ δp = δ ∑ pzal = pzδal = 0 − − − − − (3) ∑ ( p = pz al = p0 )
[ ] Vdp dp dp −α"− β
e 2m
px 2+ p y 2 +( p z − p0 )2
xyz
h3
其中
α'
mγ 2 =α −
2β
, mγ β
= − p0
习题 7.9 (略)结合（7.8）求平均值。 习题 7.10 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气
体。
试写出在二维理想中分子的速度分布和速率分布。并求平均速率 v ，最概然速
⇒ F = nW − kTN(lnN −1) + kT(N − n)[ln(N − n) −1] + kTn(lnn −1)
⇒ 利用自由能判据
∂F =0
∂n
⇒ 0 = W − kT[ln( n −1) −1] + kT( N − n)(− 1 ) + kTn(ln n −1) + kTn( 1 )
N −n
we
2β
=
N
(
h2
3
) 2 = n(
h2
3
)2
V 2πmkT
2πmkT
w整个体积内，分布在 px → px + dpx , p y → py + dp y , pz → pz + dpz 内分子 w数为：
∫ ∫ 1 3
N(
)2
2πmkT
e dp dp dp = −β
(ε
x
+ε
β y)−2m (
mγ pz+ β
⎟ ⎟
S ′ ⎝ S = S1
⎠
S =S ′
c 一微观状态数Ω = 1 ，（基于等概率原理） P
. S = k ln Ω
w S = k ln
1
⎡ ⎤ ⎜⎛
a ∑ ∑ ⎜
Sk
e −α − βε S ′
⎟⎞ ⎟
⎢ P ⋅ P ……⎥ S′⎝ S = S1
⎠
⎜⎛ ⎜
SW
e − α − βε S ′′
⎟⎞ ⎟
⎜ ⎜
e −α − βεs′′
⎟ ⎟
S′′ ⎝ S = S1
⎠
m ………………………………………………等等。
于是 N 个粒子出现某一微观状态的概率。
o ∏ ( ) P ∑ ⋅ P ∑ P =
S
PS =
⎛ Sk
⎞
⎜ ⎜
e −α − βεs′
⎟ ⎟
S ′ ⎝ S = S1
⎠
⎛ Sk
⎞
⎜ ⎜
e− α − βεs ′′
第七章 玻耳兹曼统计
∑ 习题 7.1 根据公式 P = −
l
al
∂ε l ∂V
证明，对于非相对论粒子：
课 后 答 案 网
s
=
p2 2m
=
1 2m
(
2πℏ L
)
2
(
n
x
2
+
ny 2
+ nz 2)