热力学与统计物理学课后习题及解答

第一章 热力学的基本规律

1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。

解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：T

P nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数：T

V nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=

等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=

1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()⎰−=dP κdT αV T ln 如果P

κT αT 11==，，试求物态方程。 解： 体胀系数：p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1，等温压缩系数：T

T P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T T

p −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，dP κdT αV dV T −= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：

()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得：C p

T V +=ln

ln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。 1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是()0£=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为：£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α，等温杨氏模量定义为：T

L A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£，其中A 是金属丝的截面积。一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由1T 降至2T 时，其张力的增加为：()12£T T YA −−=∆α。

解：由()0£=T L f ，，，可得：()T L ，£

£= 微分为：dT T dL L d L

T ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£££，由题意可知：0=dL 。 又因为：AY αL AY L αL T L T T

L −=−=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂£££ 即：AYdT d α−=£，积分得：)T -(T -£12AY α=∆

1.6 1 mol 理想气体，在27 ℃的恒温下体积发生膨胀,其压强由20 n p 准静态地降到1 n p ，求气体所做的功和所吸取的热量。

解：恒温膨胀过程外界对气体做的功为：

A B A B V V V V P P RT V V RT V dV RT PdV W B

A B A ln ln =−=−=−=⎰⎰ 气体所做的功：W W −='，13.1045.720

1ln 30031.8ln −⨯=⨯⨯−=−=−mol J P P RT W A B 等温过程理想气体的内能不变0=∆U ,根据热力学第一定律：W Q U +=∆ 气体在等温过程中吸收的热量为：13.1045.7−⨯='=−=mol J W W Q

1.7 在25℃下，压强在0至1000n p 之间，测得水的体积为：()

13263.10046.010715.0066.18−−−⨯+⨯−=mol cm P P V 。如果保持温度不变，将1

mol 的水从1 n p 加压至1000 n p ，求外界所作的功。

解：将体积与压强的关系简记为：2cP bP a V ++=，求导可得：()dP cP b dV 2+= 温度不变，将1 mol 的水从1 n p 加压至1000 n p ，此过程中外界所作的功为：

()11000132.1.3332212−=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+−=+−=−=⎰⎰mol J cP bP dP cP b P PdV W B A B A V V P P 1.1 0 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强0P 时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U 与原来大气中的0U 之差为000V P U U =−，其中0V 是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。

解：假设气体冲入小匣之前的状态为（0P ，0V ,0T ），内能是0U 。气体冲入小匣后的状态为（0P ，V ,T ），这时的内能为U ；外界对气体所做的功为：00dV P 。 由热力学第一定律：W Q U +=∆，0=Q ，可得：()00

000dV P U U V ⎰−=− 即： 000V P U U =− （证毕），

理想气体的内能： ()00T T C U U V −=−ν，由物态方程：000RT V P ν=

得：()0T R C T C V V +=，所以：00T γT C C C R C T V

P V V ==+= 等压过程：00

0V γT T V V == 1.11 满足C PV n =常量的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量n C 为：V n C n γn C 1

−−=。

证明：n

V n n n dT dV P C dT PdV dU dT Q d C ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= （1） 由理想气体的物态方程 RT PV =，可得：RdT VdP PdV =+ （2）

以及理想气体多方过程 C PV n =，可得：01=+−dP V dV PnV n n

0=+VdP PndV （3）

，用（2）式减（3）式可得：RdT PndV PdV =−， ()P n R dT dV n

−=⎪⎭⎫ ⎝⎛1 （4），将（4）式代入（1）式可得：n R C C V n −+=1 （5） 由迈耶公式：R C C V p =−，以及：

γC C V p

=，可得：()R C V =−1γ （6） 将（6）式代入（5）可得：V n C n γn C 1

−−= ，证毕 1.12 试证明：理想气体在某一过程中的热容量n C 如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数V n p

n C C C C n −−= 。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。 解：由热力学第一定律：W d Q d dU += ，对于理想气体：dT C dU V =，而PdV W d −= ， dT C Q d n =。 代入可得：PdV dT C dT C n V −=

即：()PdV dT C C V n =− （1），理想气体的物态方程：PV RT = （2） 由（1）式和（2）式可得：V dV R T dT C C V n =−)

( （3） 将理想气体物态方程的全微分： T dT V dV P dP =+ ，代入 （3）式，消去T dT ， 可得0)()(=−+−V dV C C P dP C C p n V n ：令：V

n P n

C C C C n −−= 即：0=+V

dV n P dP ，若n C ，P C ，V C 都是常量，则积分得：C PV n =