(完整版)高中数学新课标人教A版高中数学选修矩阵知识点总结,推荐文档

高中数学选修矩阵知识点总结
1、五种特殊变换
旋转变换
⎢⎣⎡a a sin cos ⎥⎦⎤-a a cos sin ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a
y a x y a y a x x cos sin sin cos ''反射变换 关于X 轴对称 ⎢⎣⎡01⎥⎦⎤-10⎪⎩⎪⎨⎧-==y
y x x ''
关于Y 轴对称 ⎢⎣⎡-01⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧=-=y y x x '' 关于Y=X 对称 ⎢⎣⎡10⎥⎦⎤01⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x x ''伸缩变换 纵轴伸缩 ⎢⎣⎡01⎥⎦⎤k 0⎪⎩⎪⎨⎧==ky
y x x '' 横轴伸缩
⎢⎣⎡0k ⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧==y y kx x '' 横纵均伸缩 ⎢⎣⎡01k ⎥⎦⎤20k ⎪⎩⎪⎨⎧==y
k y x k x 2'1'投影变换 关于X 轴正投影
⎢⎣⎡00⎥⎦⎤01⎪⎩⎪⎨⎧==0''y x x 关于Y 轴正投影 ⎢⎣⎡00⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x ''0 关于AX+BY=0投影 ⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+22222B A AB B A B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤++-22222B A A B A AB ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+++-=+-+=y B A A x B A AB y y B A AB x B A B x 22222'22222'切变变换
沿X 轴平行方向移ky 个单位 ⎢⎣⎡01⎥⎦⎤1k ⎪⎩⎪⎨⎧=+=y y ky x x '' 沿Y 轴平行方向移kx 个单位 ⎢⎣⎡k 1⎥⎦⎤10⎪⎩⎪⎨⎧+==y
kx y x x ''2.矩阵的概念：形如、的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.2341⎛⎫ ⎪⎝⎭3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
通常用大写黑体的拉丁字母A 、B 、C…表示，或者用表示，其中i,j 分()ij a 别表示元素所在的行与列.同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）
ij a 叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。

所有元素均为0的矩阵称谓零矩阵。

3.相等的矩阵：对于两个矩阵A 、B 的行数、列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等，A 和B 才相等，记做A=B 。

4.二阶矩阵与平面列向量的乘法
矩阵A= 与=相乘， =，
⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b →a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =→a A ⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++dy cx by ax = ====→
)(a A λ⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λ⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x λλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y d x c y b x a λλλλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++dy cx by ax λλλλ→a A λ
→→→→+=+b A a A b a A )(→
→→→+=+b A a A b a A 2121)(λλλλ5.复合变换
若向量先经过矩阵A 再经过矩阵B 变换后→
→=a AB a B A )()(a ⇔→
a BA
（矩阵相乘没有交换律）)()(BC A C AB =BA AB ≠
若AC=AB 但 （没有消去律）l k l k A A A +=B C ≠ 若 为单位矩阵
kl l k A A =)(A AE A E ==222E 6.逆矩阵 （五种特殊变换，除了投影变换外其他都有逆矩阵）
定义：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵A 可逆，并称B 是A 的逆矩阵。

已知矩阵A= ，求逆矩阵⎢⎣⎡c a ⎥⎦
⎤d b 1-A 若 =则，detA 是二阶矩阵 的行列式，且==A A det c a d b 0≠-bc ad ⎢⎣⎡c a ⎥⎦
⎤d b
A 有逆矩阵= ， 为单位矩阵 。

1-A ⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-A c A d ⎥⎥⎥⎥⎦⎤-A a A b 21E AA =-⎢⎣⎡01⎥⎦⎤102E 逆矩阵的性质：
（1）不是每个变换都有逆变换，不是每个矩阵都有逆矩阵。

（2）若二阶矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一，记为.
1
A -（3）若二阶矩阵A 、
B 可逆，则AB 也可逆，且=.1(AB)--1-1A B 7.用逆矩阵求二元一次方程组
已知 A= 为二元一次方程组的系数矩阵
⎩⎨⎧=+=+f dy cx e by ax ⎢⎣⎡c a ⎥⎦
⎤d b 这二元一次方程组可写成 =⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡f e
=1-A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡f e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 已知⎩⎨⎧=+=+0
0dy cx by ax （其中是不全为0的常数） 则此二元一次方程组有非0解的充要条件是 =0d c b a ,,,c a d
b 8.特征值与特征向量
设矩阵A = ,若存在实数及非零向量，使得A =,则称是矩阵A 的一个特征值，是⎢⎣⎡c a ⎥⎦
⎤d b λ→ξ→ξλ→ξλ→ξ矩阵A 属于特征值的一个特征向量。

λ特征值和特征向量的性质
（1）不是每个矩阵都有特征值与特征向量。

（2）属于矩阵不同特征值的特征向量不共线。

（3）设是矩阵A 属于特征值的一个特征向量，则对于任意的非零常数k ，k 也是矩阵A 属于特征→ξλ→
ξ值的一个特征向量。

λ特征值与特征向量的求法
已知A= = 求特征值、特征向量和⎢⎣⎡c a ⎥⎦⎤d b →a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡f e λ→ξ→a A n 令 =0 解出=)(λf c a
--λd
b --λ21λλλλ==或
当 当 1λλ=2
λλ= ⎩⎨⎧=-+-=--0
)(011y d cx by x a λλ）（⎩⎨⎧=-+-=--0)(022y d cx by x a λλ）（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴→111y x ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴→
222y x ξ是A 属于的一个 是A 属于的一个⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∴→111y x ξ1λλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∴→
222y x ξ2λλ= 特征向量
特征向量设 得→
→→+=2211ξξk k a ⎩⎨⎧=
=
21k k =∴→
a A n →
→
+222111ξλξλn n k k。