数学：1.4.2-2《正弦函数、余弦函数的性质》课件(新人教a版必修4)(1)
合集下载
1.4.2 正弦函数余弦函数的性质 (人教A版必修4)优秀课件
3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的图象和性质
温馨提示：(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定 义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单 调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线) 的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°， 而 0°<104°<160°<180°， 且 y＝cosx 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°.即 sin194°>cos160°.
题型三 正、余弦函数的最值
【典例 3】 (1)求函数 y＝3－4cos2x＋π3，x∈－3π，π6的最 大值、最小值及相应的 x 值．
即函数 y＝2sin4π－x的单调递增区间为 2kπ＋34π，2kπ＋74π，k∈Z. 令 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π，k∈Z. 即 2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z. 即函数 y＝2sin4π－x的单调递减区间为 2kπ－π4，2kπ＋34π，k∈Z.
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间 时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”， 即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． (3)①ω<0 时，一般用诱导公式转化为－ω>0 后求解； ②若 A<0，则单调性相反．
正弦函数、余弦函数的图象和性质
温馨提示：(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定 义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单 调．
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线) 的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．
(2)∵sin194°＝sin(90°＋104°)＝cos104°， 而 0°<104°<160°<180°， 且 y＝cosx 在[0，π]上单调递减． ∴cos104°>cos160°.即 sin194°>cos160°.
题型三 正、余弦函数的最值
【典例 3】 (1)求函数 y＝3－4cos2x＋π3，x∈－3π，π6的最 大值、最小值及相应的 x 值．
即函数 y＝2sin4π－x的单调递增区间为 2kπ＋34π，2kπ＋74π，k∈Z. 令 2kπ－π2≤x－π4≤2kπ＋2π，k∈Z. 即 2kπ－π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z. 即函数 y＝2sin4π－x的单调递减区间为 2kπ－π4，2kπ＋34π，k∈Z.
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)在求形如 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间 时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”， 即通过求 y＝Asinz 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上． (3)①ω<0 时，一般用诱导公式转化为－ω>0 后求解； ②若 A<0，则单调性相反．
高中数学人教A版必修4课件-1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1(1)
2
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
4.正弦余弦函数的单调性
函数 y f (x),若在指定区间任取 x1、x2 ，且 x1 x2 ，都有：
y
sin
1 2
x
3
,
x
[2
,
2
]
k 1, k 0, k 1,
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
作业： P46 习题A组 5
• 求 y cos( 1 x ) 函数的对称轴和对称中心
24
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 （二）
复习：正弦函数对称性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x k ,k Z
2
对称中心： (k ,0) k Z
复习：余弦函数对称性
y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
18
10
(2) cos( 23)与 cos( 17).
2x k
32
解得：对称轴为 x k ,k Z
12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
4.正弦余弦函数的单调性
函数 y f (x),若在指定区间任取 x1、x2 ，且 x1 x2 ，都有：
y
sin
1 2
x
3
,
x
[2
,
2
]
k 1, k 0, k 1,
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
作业： P46 习题A组 5
• 求 y cos( 1 x ) 函数的对称轴和对称中心
24
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 （二）
复习：正弦函数对称性
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x k ,k Z
2
对称中心： (k ,0) k Z
复习：余弦函数对称性
y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
18
10
(2) cos( 23)与 cos( 17).
人教A版高中数学必修四课件：1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(周期性)
正弦函数的图y 象 为sin x(x R)
y 1
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
-1
正弦函数的y 图 s象in 叫x(x正弦R)曲线
观察与思考
正弦函数的性质1——周期性
(1)正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的； (2)规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）； (3)这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
讲授新课
周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f(x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
讲授新课 问题：
(1) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少 ?
讲授新课 公式法:
函数y Asin(x )及 函数y Acos(x ), x R (其中A,,为常数,且A 0, 0) 的周期 T 2 .
讲授新课
例 x; (2) y sin 2x;
(3) y 2sin( 1 x ), x R.
(2) 若函数f ( x)的周期为T ,则kT , k Z * 也是f ( x)周期吗 ?为什么?
所以周期函数的周期不止一个， 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正 数，那么这个最小的正数叫做函数的最小正周期。 以后涉及求周期不加特殊说明，一般都是指 最小正周期
y=sinx的周期是 2 y=cosx的周期是 2
26
讲授新课
练习1.求下列三角函数的周期： (1) y sin( x );
高中数学必修四1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质课件人教A版
解析式 图象 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 单调性 R [-1,1] 2π 偶函数 在[(2k-1)π,2kπ](k∈ Z)上是增函数; 在[2kπ,(2k+1)π](k∈ Z)上是减函数
-6-
y=cos x
当 x=2kπ(k∈ Z)时 ,y 取最大值 1 当 x=2kπ+π(k∈ Z)时,y 取最小值-1
-8-
第2课时 正弦函数、 余弦函数的性质
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2π π 所以该函数的单调增区间是 2������π- ,2������π + , ������ ∈ Z, 3 3 π π 5π 由 x− = ������π + , ������ ∈ Z,得 x=kπ+ , ������ ∈ Z, 3 2 6 5π 所以该函数的对称中心坐标是 ������π + ,0 , ������∈ Z. 6 π π 由 x− = ������π, ������ ∈ Z,得 x=kπ+ , ������ ∈ Z, 3 3 π 所以该函数图象的对称轴方程是 x=kπ+ , ������ ∈ Z. 3 2π π 5π 答案: 2������π- ,2������π + , ������ ∈ Z ������π + ,0 , ������∈ Z 3 3 6 π x=kπ+ , ������ ∈ Z 3
2 π 2 ������ ������ 2
最小正周期 2π (������ ∈ Z)上是增函数;
3π 2
-6-
y=cos x
当 x=2kπ(k∈ Z)时 ,y 取最大值 1 当 x=2kπ+π(k∈ Z)时,y 取最小值-1
-8-
第2课时 正弦函数、 余弦函数的性质
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2π π 所以该函数的单调增区间是 2������π- ,2������π + , ������ ∈ Z, 3 3 π π 5π 由 x− = ������π + , ������ ∈ Z,得 x=kπ+ , ������ ∈ Z, 3 2 6 5π 所以该函数的对称中心坐标是 ������π + ,0 , ������∈ Z. 6 π π 由 x− = ������π, ������ ∈ Z,得 x=kπ+ , ������ ∈ Z, 3 3 π 所以该函数图象的对称轴方程是 x=kπ+ , ������ ∈ Z. 3 2π π 5π 答案: 2������π- ,2������π + , ������ ∈ Z ������π + ,0 , ������∈ Z 3 3 6 π x=kπ+ , ������ ∈ Z 3
2 π 2 ������ ������ 2
最小正周期 2π (������ ∈ Z)上是增函数;
3π 2
高中数学必修四课件-1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)-人教A版
2
• O
2
1
•
2
3• 2
2
5• 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx的图象对称轴为：
y sin x(x R)
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
强化练习：
(1) sin(
18
) 与 sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx
在
[
,
]
上是增函数
22
π
π
sin( ) sin( )
18
10
（2）.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
2
3
4
5 6 x
y=sinx的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中y 心为：
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例3：下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
• O
2
1
•
2
3• 2
2
5• 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
六、正弦、余弦函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=sinx的图象对称轴为：
y sin x(x R)
2
2
5
3
4k ,
3
4k
17
3
,
11
3
√
5
3
,
3
7
3
,
11
3
强化练习：
(1) sin(
18
) 与 sin(
10
)
解：
2 10 18 2
又 y=sinx
在
[
,
]
上是增函数
22
π
π
sin( ) sin( )
18
10
（2）.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
2
3
4
5 6 x
y=sinx的图象对称中心为： 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；
对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为：
y=cosx的图象对称中y 心为：
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cosx(x R)
例3：下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、
最新人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)优质课件
对称轴：x L 5 , 3 , 1 , 1 , 3 L
2 2 222
x k ,k Z
2
对称中心： L ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)L
(k ,0) k Z
余弦函数的图象 y
1
3 5
2
P'
2 3
2
O
2
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x L ,0, , 2 L
f ( x) sin x, x R 为奇函数
(2) f ( x) cos x, x R 任意x R f ( x) cos( x) cos x f ( x)
f ( x) cos x, x R 为偶函数
2.奇偶性
探究 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
正弦函数的图象
练习
▪ P 46 练习2
(1)2cos x 3 (2)sin2 x 0.5
× cos x 3 1 2
√ sin x 0.5 [1,1]
1.周期性（复习）
(1) y sin x
T 2
y Asin( x ) T 2 | |
(2) y cos x
T 2
y Acos( x ) T 2 | |
x k ,k Z
对称中心： L ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)L
22 2
2
( k ,0) k Z
2
练习
▪ 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件 新人教A版必修4
减区间(qū
jiākn)
2 u
k
,k
Z
为 k
3
x k
,k Z
2
y为增函数
4
4
k x k , k Z y为减函数
4
4
第十页，共13页。
正弦(zhèngxián)、余弦函数的奇偶 小性、结单： 调性
函数 奇偶性 正弦函数 奇函数 余弦函数 偶函数
单调(dāndiào)性（单调
[(dā+nd2kiào,)区 +间2k）],kZ
y=cosx (xR) 是偶函数
y
1
o
-1
2
3
4
5 6 x
第三页，共13页。
正弦、余弦(yúxián)函数的奇偶性、 正弦单、余调弦性(yúxián)函数的对称性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
cos(-x)= cosx (xR)
)=cos
17 4
=cos
4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数
3
即： cos 5
– cos
4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
4
第七页，共13页。
例2 求下列函数(hánshù)的最大值及取得最大值时自变量x的 集合:
2
2
[ +2k, 3 +2k],kZ
高一数学必修4课件：1-4-2-2正、余弦函数的性质
思路方法技巧
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数的奇偶性的判断
[例 1]
判断下列函数的奇偶性：
1＋sinx－cos2x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sinx
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
第2课时 正、余弦函数的性质
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
课前自主预习
新课引入
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
在舞蹈比赛中，演员手中挥动着丝带，那丝带似波浪上 下起伏，又似正弦曲线，以曲线美打动着每一位观众，在数 学上，你能找到函数的什么性质来刻画这种起伏变化呢？
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
建模应用引路
第一章
1.4 1.4.2 第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
三角函数单调性的应用
比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值； (2)不同名的函数化为同名函数； (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
成才之路· 数学
高中数学1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教A版必修4
(2)cos158π＝cos2π－π8＝cosπ8，cos149π＝cos2π－49π＝cos49π. ∵函数 y＝cos x 在[0，π]上单调递减，且 0<π8<49π<π， ∴cosπ8>cos49π，∴cos158π>cos149π.
[例 3] 求下列函数的值域：
(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝cos2x－4cos x＋5. [解] (1)由 y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得 x＋π6∈π6，23π，函数 y＝cos x 在区间π6，23π上单调递减， ∴函数的值域为－12， 23. (2)令 t＝cos x，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1， ∴t＝－1 时，y 取得最大值 10；t＝1 时，y 取得最小值 2. ∴y＝cos2x－4cos x＋5 的值域为[2,10]．
函数 y＝2sinx－π3也单调递增(减)．
[例 2
260°；(2)cos158π与
14π cos 9 .
[解] (1)∵函数 y＝sin x 在 90°＜x＜270°时单调递减，且
90°<250°<260°<270°，
∴sin 250°>sin 260°.
5.忽视正、余弦函数的有界性致误 [典例] 设 sin x＋sin y＝13，则 M＝sin x－cos2y 的最大 值为________，最小值为________． [解析] 由题意，得 sin x＝13－sin y.
由 sin x∈[－1,1]，得－1≤13－sin y≤1， －1≤sin y≤1.
第二课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
[提出问题] 下图中的曲线分别是正弦函数和余弦函数的图象，根据图 象回答以下问题：
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件1 新人教A版必修4
图像法
T 2π
a |ω |
15பைடு நூலகம்
作业
一、必做题：教材P46 T3
二、选做题:
1.你能画出函数y=sinx 的图像吗？这个函数是
不是周期函数？如果是，它的周期为多少?
2.已知y=f(x),x∈R是周期为2的周期函数，并且
f(1)=2，试求f(9)的值。
a
16
(╳ )
②函数f(x)=sinx（x∈[0,4π]）是
周期函数
(╳ )
③所有周期函数都有最小正周期
(╳ )
问题3：请谈谈周期函数的定义有什么特点？
任意性 非零性 多值性
注:今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说
明，一般都是指函数的最a小正周期.
9
四、学解题，思维点拨
例: 1. 求下列函数的周期：
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T就叫做这个函数的周期.
最小正周期的定义： 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做fa(x)的最小正周期. 6
探究3:正弦函数y=sinx的周期有哪些？
有最小正周期吗？若有，它的值是多少？
2kπ（k∈Z且 k≠0）都是它的周期，
2π
T
a |ω |
14
六、作小结，序化认知:
1.周期函数的定义(3个特点):
任意性、非零性、多值性
2.周期函数的周期与最小正周期:
3.求函数周期的方法：
定义法:即是否存在非零常数T，对定义域内任一实数x f(x＋T)=f(x)恒成立
公 式 法 : 函 数 y=Asin(ωx+φ) 和 y=Acos(ωx+φ)( 其 中 A≠ 0，ω≠ 0) 的(最小正)周期计算公式
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件 新人教A版必修4
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
17
讲授新课 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的；
(2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
26
三个函数的周期是什么?
26
讲授新课 一般结论:
函数y Asin(x )及 函数y Acos(x ), x R 的周期 T 2 .
27
讲授新课
思考:
求下列三角函数的周期：
(1) y sin(2x ) 2cos(3x );
4
6
(2) y sin x .
28
讲授新课
63
6
能否说 2 是它的周期?
3
20
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
21
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
(3) 若函数f ( x)的周期为T ,则kT , k Z * 也是f ( x)周期吗?为什么?
18
讲授新课 周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
19
讲授新课
问题：
(1) 对于函数y sin x, x R有
sin( 2 ) sin ,
15
讲授新课 正弦函数的性质1
17
讲授新课 正弦函数的性质1——周期性
(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出 现的；
(2) 规律是：每隔2重复出现一次（或者 说每隔2k，kZ重复出现）；
(3) 这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx 可以说明.
结论：象这样一种函数叫做周期函数.
26
三个函数的周期是什么?
26
讲授新课 一般结论:
函数y Asin(x )及 函数y Acos(x ), x R 的周期 T 2 .
27
讲授新课
思考:
求下列三角函数的周期：
(1) y sin(2x ) 2cos(3x );
4
6
(2) y sin x .
28
讲授新课
63
6
能否说 2 是它的周期?
3
20
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
21
讲授新课 问题：
(2) 正弦函数y sin x, x R是不是周期 函数，如果是，周期为 多少?
(3) 若函数f ( x)的周期为T ,则kT , k Z * 也是f ( x)周期吗?为什么?
18
讲授新课 周期函数定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零 常数T，使得当x取定义域内的每一个 值时，都有：f (x＋T)＝f(x).那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做 这个函数的周期.
19
讲授新课
问题：
(1) 对于函数y sin x, x R有
sin( 2 ) sin ,
15
讲授新课 正弦函数的性质1
高中数学 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)课件 新人教A版必修4
目
开 关
减小到－1.
推广到整个定义域可得： 当 x∈___－__π2_＋__2_k_π_，__2π_＋__2_k_π_(_k_∈__Z_)___时，正弦函数 y＝sin x 是
增函数，函数值由－1 增大到 1；
研一研·问题探究、课堂更高效
当 x∈___π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_(_k_∈__Z_)____时，正弦函数 y＝sin x 是 减函数，函数值由 1 减小到－1. 本 (2)函数 y＝cos x，x∈[－π，π]的图象如图所示：
开 关
值域
[－1,1]
[－1,1]
对称性
对称轴：x＝kπ＋2π(k∈Z) ；对轴称： x＝kπ(k∈Z) ； 对称中心:(kπ，0)(k∈Z) 对称中心:kπ＋π2，0(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性 最小正周期： 2π
最小正周期： 2π
填一填·知识要点、记下疑难点
在_[－__π2_＋__2_k_π_，__π2_＋__2_kπ_]__(k_∈__Z_) 在__[－__π_＋__2_k_π_，__2_k_π_]____
对于余弦函数 y＝cos x，x∈R 有：
当且仅当 x＝ 2kπ，k∈Z 时，取得最大值 1；
当且仅当 x＝ (2k＋1)π，k∈Z 时，取得最小值－1.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 正、余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是 2π，首先研
究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个
当 ω>0 时，把 ωx＋φ 看成一个整体，视为 X.若把 ωx＋φ 代
本 课 时
入到 y＝sin X 的单调增区间，则得到 2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上都是增函数；在每一个闭区间
2 k 上都是减函数.
思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上 是增函数？在哪些区间上是减函数？
2
2
2 2
1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
余弦函数在每一个闭区间 [ 2 k 2 k 上都是增函数；在每一个闭区间
余弦函数当且仅当 x 2 k 时取最大值1, 当且仅当 x (2 k 1) 时取最小值-1.
思考4：根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asinω x（Aω ≠0） 的值域是什么？ [-|A| ， |A|] 思考5：正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？
思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些 区间上是增函数？在哪些区间上是减函 数？如何将这些单调区间进行整合？
1 -6π y π
O
y=sinx
3π 2π 4π 5π 6π
-4π
-5π -3π
-2π
-π
-1
x
正弦函数在每一个闭区间
[ 2 k
[ 2k 2 k 2
思考 2 ：当自变量 x 分别取何值时，正弦 函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？
正弦函数当且仅当 x 2k 时取最大 值1, 当且仅当 x 2k 时取最小值-1
思考 3 ：当自变量 x 分别取何值时，余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？
1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质 第二课时
问题提出
Байду номын сангаас
1.周期函数是怎样定义的？ 对于函数 f(x) ，如果存在一个非 零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一 个值时，都有 f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 就 叫做这个函数的周期.
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？ y = A cos( wx + j ) y = A sin( wx和 +j) 函数
例2 比较下列各组数的大小:
(1) sin( )与 sin( ); 18 10
23 17 (2) cos( )与 cos( ). 5
例3 求函数
1 y sin( x ， ) 2 3
x∈[－2π ，2π ]的单调递增区间.
小结作业
1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值， 它们都是结合图象得出来的，要求熟练 掌握.
mqx37jop
的晨睡，不如干脆去小河边儿走走去吧。对，俺要去告诉那清清的河水和河里的小鱼儿们，还有那个平整光滑的“大坐台”， 俺董大壮从此以后，终于可以和俺的耿英一起来看你们了！这样想着，大壮轻轻打开院门儿。侧身出来以后，又伸手回去从里 边挂上门钩，再将两扇门轻轻拉齐了。正要迈步往南走，又忍不住转过身来望望耿老爹家的院门儿。这一望不打紧，大壮心里 边的那些个浪漫情怀，一下子就一点儿不剩地给全部吓回去了：耿老爹家的院门儿竟然大敞着！大壮知道，“三六九镇”上的 所有人家，除非往外或往家里搬运东西，平常都是虚掩院门儿的。尤其住在镇子边上的人家，还都在自家两扇院门的里边专门 做了一套可以钩挂的机关，就是在一扇门里侧的适当位置装上一条适当长度的铁链，铁链的末端是一个和铁链一样粗细的大铁 钩；在另一扇门里侧的适当位置再装上一个和铁链一样粗细的铁环儿。这套钩挂机关不但可以在门的里边挂上，而且还可以从 错开的门缝里伸手进去从门的外面挂上。只要挂上这套钩挂以后再将两扇门拉齐了，倘若有人推门进院儿时，就会有比较大的 响动，而且还可以避免野狗什么的破门而入，也算是一种辅助性的安全防范措施了。当然，自家人回来，或者是熟人造访时， 若推门发现里边反钩上了，就会将两扇门一前一后错开了，然后伸手进去将挂钩摘开，整个操作并不复杂费事。而此时天儿才 刚刚放亮，耿叔家的院门儿怎么会大敞着呢，并且也不像是要往外或往家里搬运东西的景况啊！大壮来不及细想，赶紧大步流 星地跨进院儿里来，眼前的景象一下子就让大壮傻眼了，失声喊道：“耿叔、婶儿、耿正哥„„”两边屋里仍然还在睡梦中的 人都给大壮惊慌的喊声吵醒了。耿老爹赶快拉开窗帘说：“壮子，没有事儿！你快关上街门进这边屋子里来！”“街门”就是 “院门”的俗称。这一带的乡民们通常都把院门称作“街门”。听了耿老爹平静的回答，大壮略略放心一些。他返身回去关上 院门，然后又大步回到院儿里来。但是，当他再仔细看看那口揭开了的寿棺和一大堆凌乱的衣物，尤其是那个穿了一套寿衣闭 目沉睡并且脏兮兮的模特儿，直惊得张大嘴巴说不出一句话来。西边屋子里的父子四人和东边屋子里的娘儿三个赶快穿衣起床。 昨儿晚上合衣而睡的耿英套了外衣趿拉上鞋子就往屋外跑。郭氏和耿兰就没有那么快了，尤其是郭氏，忙中出错竟然穿了耿兰 的小袄，赶快脱了欲换过来，耿兰又喊：“娘，长擀面杖怎么在姐姐被窝边儿啊？”郭氏更着急了，胡乱一翻腾，娘儿俩又找 不到袜子了„„耿英趿拉着鞋子第一个跑了出来，看到大壮被吓得不轻，心疼地低声说：“爹说了没有事儿，你还怕啥呀！” 大壮手指那个穿着寿衣闭目沉睡的模特儿结结巴巴地问：“这，这
正弦曲线关于点（kπ ，0）和直线
p x = k p + (k ? Z ) 对称. 2
思考 6 ：余弦曲线除了关于 y 轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？ 余弦曲线关于点 对称.
p (k p + , 0) 和直线 x=kπ 2
理论迁移
例1 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 （1） y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
[2 k 2 k 上都是减函数.
思考5：正弦函数在每一个开区间 （2kπ ，2＋2kπ ） (k∈Z)上都是增函 数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
(A ? 0, w 0)
的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的 对称性，你有什么发现？
1 -6π -4π -5π -3π -1
2
2. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 ， y=Asinω x 是 奇 函 数 ， y=Acosω x（Aω ≠0）是偶函数.
3. 正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
；
/ 超碰在线播放器
y
y=sinx
π 3π 2π 4π 5π 6π x
-2π
-π
O
2
2 2
1 2
O
y
2
2
y=cosx
2
2
2
x
2
-1
2
思考2：上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质？如何从理论上加以 验证？ 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.