9中考综合练习三

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2024年上海中考数学模拟练习卷三及参考答案

上海2024年中考模拟练习试卷3数学（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列计算正确的是（）A ．448a a a +=B ．4416a a a ⋅=C ．()1446a a =D ．842a a a ÷=2．（本题4分）用换元法解方程()22611711x x x x +++=++时，下列换元方法中最合适的换元方法是（）A ．设21y x =+B ．设1y x =+C ．211x y x +=+D ．211y x =+3．（本题4分）下列函数中，在定义域内y 随x 的增大而增大的函数是（）A ．2y x =-；B ．2y x =；C ．2y x=D ．2y x=-4．（本题4分）王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山，各栽种了100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了四棵杨梅树上的杨梅，每棵的产量如图所示，由统计图提供的信息可知，杨梅产量较稳定的是（）A ．甲山B ．乙山C ．一样D ．无法确定5．（本题4分）有一个内角是直角的四边形ABCD 的边长2AB =，3BC =，2CD =，3DA =，那么下列结论错误的是（）A ．四边形的对角线互相平分B ．四边形的对角相等C ．四边形的对角线互相垂直D ．四边形的对角线相等6．（本题4分）在梯形ABCD 中，AD //BC ，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A ．AB DC=B ．DAB ABC∠=∠C ．ABC DCB∠=∠D ．AC DB=第II 卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：281m -=．8．（本题4分）计算：15a a+=．9．（本题43=的解是．10．（本题4分）函数11y x =-的定义域为．11．（本题4分）已知关于x 的方程210x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值是．12．（本题4分）一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是．13．（本题4分）一个正n 边形的中心角为36︒，则n 为．14．（本题4分）写出一个开口向上，顶点在y 轴的负半轴上的抛物线的解析式：．15．（本题4分）已知平行四边形ABCD 中，若AD a = ，AB b = ，则DB =．（用a 和b表示）16．（本题4分）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x （cm ）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有棵．17．（本题4分）如图，将ABC 绕点A 旋转逆时针旋转30︒后得到ADE V ，若点E 恰好落在BC 上，则BED ∠的大小为．18．（本题4分）已知O 的半径OA 长为3，点B 在线段OA 上，且2OB =，如果B 与O 有公共点，那么B 的半径r 的取值范围是三、解答题（共78分）19．（本题612282-．20．（本题8分）解不等式组：2832x x x <⎧⎨->⎩．21．（本题10分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果30ACD ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数．(2)若2AD =，求DB 的长．22．（本题12分）我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃，某时刻，上海地面温度为20℃，设高出地面x 千米处的温度为y ℃．(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并写出函数定义域；(2)有一架飞机飞过浦东上空，如果机舱内仪表显示飞机外面的温度为16-℃，求此刻飞机离地面的高度为多少千米？23．（本题12分）如图，点E ，F 都在BAD ∠的平分线上，BF AD ∥交DE 于点C ．CF BF =，14AB AD ==，，求ΔΔ:EFC EAD S S 的值．24．（本题14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=++与x轴交于点y x bx c()1,0A和()B，与y轴交于点C．5,0(1)求此抛物线的表达式及点C的坐标；(2)将此抛物线沿x轴向左平移()0m m>个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C，求m的值．25．（本题16分）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 相交于点,D DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若弦MN 垂直于AB ，垂足为1,,4AG G MN AB ==O 的半径；（3）在（2）的条件下，当36BAC ∠=︒时，求线段CE 的长．2024年中考预测模拟考试一（上海卷）数学（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单选题（共24分）1．（本题4分）下列计算正确的是（）A ．448a a a +=B ．4416a a a ⋅=C ．()1446a a =D ．842a a a ÷=【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.4442a a a +=，故该选项不正确，不符合题意；B.448a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；C.()1446a a =，故该选项正确，符合题意；D.844a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键．2．（本题4分）用换元法解方程()22611711x x x x +++=++时，下列换元方法中最合适的换元方法是（）A ．设21y x =+B ．设1y x =+C ．211x y x +=D ．211y x =【答案】C【分析】设211x y x +=+，则原方程化为2760y y -+=，从而可得答案.【详解】解：()22611711x x x x +++=++，设211x y x +=+，3．（本题4分）下列函数中，在定义域内y 随x 的增大而增大的函数是（）A ．2y x =-；B ．2y x =；C ．2y x=D ．2y x=-4．（本题4分）王大伯前几年承包了甲、乙两片荒山，各栽种了100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了四棵杨梅树上的杨梅，每棵的产量如图所示，由统计图提供的信息可知，杨梅产量较稳定的是（）A ．甲山B ．乙山C ．一样D ．无法确定【答案】B【分析】根据平均数的求法求出平均数，再求出两组数据的方差，再比较即可解答．5．（本题4分）有一个内角是直角的四边形ABCD 的边长2AB =，3BC =，2CD =，3DA =，那么下列结论错误的是（）A ．四边形的对角线互相平分B ．四边形的对角相等C ．四边形的对角线互相垂直D ．四边形的对角线相等【答案】C【分析】根据已知条件判断出平行四边形，再根据有一个角是直角判断矩形，最后根据矩形的性质判断正确选项即可．【详解】解：∵2AB CD ==，3BC AD ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵有一个内角是直角，∴四边形ABCD 是矩形，∴对角线互相平分，对角相等，对角线相等，故A ，B ，D 正确，不合题意；对角线不一定互相垂直，故C 错误，符合题意；故选C ．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件判断出该四边形是矩形．6．（本题4分）在梯形ABCD 中，AD //BC ，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A ．AB DC =B ．DAB ABC∠=∠C ．ABC DCB∠=∠D ．AC DB=【答案】B【分析】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形；②对角线相等的梯形是等腰梯形；③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．【详解】解：A 、∵四边形ABCD 为梯形，且AD //BC ，AB DC =，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项不符合题意；B 、∠DAB =∠ABC ，不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项符合题意；C 、∵四边形ABCD 为梯形，且AD //BC ，∠ABC =∠DCB ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项不符合题意；D 、∵四边形ABCD 为梯形，且AD //BC ，AC DB =，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查了等腰梯形的判定定理，等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．第II 卷（非选择题）二、填空题（共48分）7．（本题4分）分解因式：281m -=．【答案】(9)(9)m m +-【分析】利用平方差公式22()()a b a b a b -=+-进行因式分解即可．【详解】解：281(9)(9)m m m -=+-，故答案为：(9)(9)m m +-．【点评】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．8．（本题4分）计算：15a a+=．9．（本题43=的解是．10．（本题4分）函数1y x =-的定义域为．【答案】1x ≠【分析】求函数的定义域就是找使函数有意义的自变量的取值范围．【详解】解：函数要有意义，则10x -≠，解得：1x ≠，故答案为：1x ≠．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，关键要知道函数有意义的自变量的取值范围．11．（本题4分）已知关于x 的方程210x kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值是．【答案】±2【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b 2-4ac =0，建立关于k 的等式，求出k 的值．【详解】由题意知方程有两相等的实根，∴△=b 2-4ac =k 2-4=0，解得k =±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．12．（本题4分）一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是．13．（本题4分）一个正n 边形的中心角为36︒，则n 为．14．（本题4分）写出一个开口向上，顶点在y 轴的负半轴上的抛物线的解析式：．【答案】21y x =-（答案不唯一）【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a ＞0，与y 轴负半轴由交点c <0，然后写出即可．【详解】解：开口向上，并且与y 轴交点在y 轴负半轴，∴抛物线的表达式可以是：y ＝x 2﹣1．故答案为y ＝x 2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与y 轴的交点得到解析式．15．（本题4分）已知平行四边形ABCD 中，若AD a = ，AB b = ，则DB = ．（用a 和b 表示）【答案】b a-【分析】根据题意，作出图形，由向量减法运算的三角形法则即可得到答案．【详解】解：如图所示：根据向量减法运算的三角形法则可得DB AB AD b a =-=- ，故答案为：b a - ．【点评】本题考查向量的加法运算，熟练掌握向量运算法则是解决问题的关键．16．（本题4分）某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x （cm ）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有棵．【答案】280【分析】利用1000棵乘以样本中不低于300cm 的百分比即可求解．【详解】解：该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗所占百分比为10%18%28%+=，则不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约为：100028%280⨯=棵，故答案为：280．【点评】本题考查用样本估计总体，明确题意，结合扇形统计图中百分比是解决问题的关键．17．（本题4分）如图，将ABC 绕点A 旋转逆时针旋转30︒后得到ADE V ，若点E 恰好落在BC 上，则BED ∠的大小为．【答案】30︒/30度18．（本题4分）已知O 的半径OA 长为3，点B 在线段OA 上，且2OB =，如果B 与O 有公共点，那么B 的半径r 的取值范围是【答案】15r ≤≤【分析】求得B 在O 内部且有唯一公共点时B 的半径和⊙O 在B 内部且有唯一公共点时B 的半径，根据图形即可求得．【详解】解：如图，当B 在O 内部且有唯一公共点时，B 的半径为：321-=，当O 在B 内部且有唯一公共点时，B 的半径为325+=，∴如果B 与O 有公共点，那么B 的半径r 的取值范围是15r ≤≤，故答案为：15r ≤≤．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合和分类讨论思想的应用．三、解答题（共78分）19．（本题612-．【答案】2【分析】根据二次根式的加减计算法则和负整数指数幂计算法则求解即可．20．（本题8分）解不等式组：2832x x x<⎧⎨->⎩．【答案】14x <<【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：由28x <得：4x <，由32x x ->得：1x >，则不等式组的解集为：14x <<．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（本题10分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，如果30ACD ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数．(2)若2AD =，求DB 的长．22．（本题12分）我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6℃，某时刻，上海地面温度为20℃，设高出地面x 千米处的温度为y ℃．(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并写出函数定义域；(2)有一架飞机飞过浦东上空，如果机舱内仪表显示飞机外面的温度为16-℃，求此刻飞机离地面的高度为多少千米？【答案】(1)()6200y x x =-+>(2)6千米【分析】（1）根据高出的温度＝地面温度－上升后降低的温度，列式即可得到答案；（2）把16y =-代入函数关系式进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：海拔高度每上升1千米，温度下降6℃，上海地面温度为20℃，()6200y x x ∴=-+>，∴y 与x 之间的函数关系式为：()6200y x x =-+>；（2）解：根据题意可得：当16y =-时，62016x -+=-，解得：6x =，∴此刻飞机离地面的高度为6千米．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，根据高出的温度＝地面温度－上升后降低的温度，得出函数关系式，是解题的关键．23．（本题12分）如图，点E ，F 都在BAD ∠的平分线上，BF AD ∥交DE 于点C ．CF BF =，14AB AD ==，，求ΔΔ:EFC EAD S S 的值．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，相似三角形的判定与性质的运用是解题的关键．24．（本题14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2=++与x轴交于点y x bx c()1,0A和()B，与y轴交于点C．5,0(1)求此抛物线的表达式及点C的坐标；(2)将此抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C ，求m 的值．【答案】(1)265y x x =-+，点C 的坐标是()0,5(2)6【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C 的坐标；（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．【详解】（1）解：把()1,0A 和()5,0B 代入2y x bx c =++010255b c b c=++⎧⎨=++⎩，解得65b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为265y x x =-+∴当0x =时，5y =∴点C 的坐标是()0,5（2）()226534y x x x =-+=--设平移后的抛物线表达式为()234y x m =-+-把()0,5C 代入得()25034m =-+-解得126,0m m ==∵0m >，∴6m =【点评】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．25．（本题16分）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 与BC 相交于点,D DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若弦MN 垂直于AB ，垂足为1,,4AG G MN AB ==O 的半径；（3）在（2）的条件下，当36BAC ∠=︒时，求线段CE 的长．方法二：连接OD=OB OD∴∠=∠OBD ODBDE AC⊥∴∠+∠=︒EDC C90AB AC=∴∠=∠ABC C∴∠=∠ODB C∴∠+∠=︒90 EDC ODBODE∴∠=︒．90∴⊥OD DE的半径是OOD的切线∴是ODE方法三：连接OD=OB OD∴∠=∠OBD ODBAB AC=∴∠=∠ABC ACB∴∠=∠ODB ACB∴∥OD AC⊥DE AC方法二：、连接AM MB的直径是OAB∴∠=︒AMB90MN AB⊥。

九年级语文中考边沿生综合性学习练习题试题

轧东卡州北占业市传业学校宁化城东九年级语文：中考边沿生综合性学习练习题一、综合性学习〔10分〕我某正在开展以“我是小小主人翁〞为主题的活动，意在增强同学们的责任意识，培养同学们的担当精神。

请你也参与到这一次活动中来。

〔1〕开展了一系列有关“责任〞话题的大讨论。

其中有一个问题：面对责任，为何有人敢于担当，而有人却退缩逃避呢？请你根据下面的三那么材料，探究其原因。

〔4分〕材料一：张丽莉，是第十九没有编制的女教师。

2021年5月13日一辆失控的汽车即将撞向学生的危急关头，她挺身而出，奋力拉开两名学生，自己被轧，双腿截肢。

材料二：在2021年5月20日的欧冠决赛中，坐拥主场优势的拜仁慕尼黑队在最后的点球HY中输掉1分，败给了切尔西队，遗憾地与冠HY失之交臂。

德国媒体报道，拜仁多名球员，特别是队长季莫什丘克，在点球HY前就表现出了对失利的极大恐惧，拒绝主罚点球。

这就像赫内斯赛后所说的那样：“面对极大的压力，拜仁缺乏一名真正的领袖，缺少一名能在困境中真正站出来的人。

〞材料三：在“挑战者〞号航天飞机第10次发射升空爆炸、七名宇航员全部遇难后，时任HY总统的里根发表了电视讲话。

他说：“英雄之所以称之为英雄，并不在于我们颂赞的语言，而在于他们始终以高度的事业心、自尊心和锲而不舍地对神奇而美妙的宇宙进行探索的责任感，去实践真正的生活以至献出生命。

〞〔<真正的英雄>〕探究出的原因是：〔2〕第三那么材料是里根对遇难航天员的评价。

请你从“责任〞的角度，对前面一、二那么材料中的张丽莉老师或者队长季莫什丘克的行为表现，也作出简要的评价。

〔50字以内〕〔3〕为了加强“敢于面对，勇于担当〞精神的宣传，拟为同学们编写一段“三字经〞，以便大家传诵。

下面编写好了开头，请你续写几句填在横线上。

要求：念着顺口，读着有味。

人在世，居群体；尽己任，担道义；，；，。

二、阅读下面材料，将下那么消息概括成一句话新闻。

〔2分〕人民网5月14日报道 5月13日，中国目前最大的一台光学天文望远镜在中国科学院高美古天文观测站落成并正式运行。

2023届中考化学核心素养专练：九年级全部内容综合训练(三)

2021届中考化学核心素养专练：九年级全部内容综合训练（三）一、选择题，每小题只有一个选项符合题意。

1．空气中氧气的体积分数约为( )A．0.03% B．0.94% C．21% D．78%2．我国是世界上酿酒最早的国家之一。

下列生产白酒的过程中，主要发生化学变化的是( )A．粉碎谷物B．淀粉发酵C．蒸馏取酒D．白酒装瓶3．下列做法不利于减少空气污染的是( )A．大力推广使用新能源公交车B．限制、禁止燃放烟花爆竹C．田间焚烧秸秆，净化环境D．积极推进煤改气，改善空气质量4．医院中的下列物质，属于纯净物的是( )A．液氧B．碘酒C．生理盐水D．医用酒精5．下列基本实验操作正确的是( )6．某同学从重庆到西藏旅游，到达西藏后，发现从重庆市区带来的密封饼干包装袋鼓起了。

包装袋鼓起的原因是( )A．袋内饼干的体积变大B．袋内气体分子的体积变大C．袋内气体分子个数增多D袋内气体分子间的间隙变大7．化学和我们的生活息息相关。

下列说法正确的是( )A ．食用加碘盐可预防骨质疏松B ．食用苏打饼干可缓解因胃酸过多引起的不良症状C ．补充维生素A 可预防坏血病D ．低碳生活提倡使用不含碳元素的物质 8．下列有关化肥或农药的叙述错误的是( ) A ．硫酸铵属于铵态氮肥，不能与碱性肥料混合施用 B ．硝酸钾属于复合肥 C ．农药有毒，应禁止施用D ．农药施用后，会通过农作物、农产品等发生转移 9．如图所示，U 形管内a 、b 液面相平，当挤压滴管的胶头，使试剂X 进入锥形瓶内，一段时间后会观察到a 液面高于b 液面。

则试剂X 、Y 的组合可能是( ) A ．水、硝酸铵 B ．水、烧碱 C ．稀硫酸、铁粉 D ．稀盐酸、小苏打10．化学世界绚丽多彩。

下列实验中有关颜色的描述正确的是( ) A ．硫粉在空气中燃烧产生蓝紫色火焰 B ．镁条在空气中燃烧产生大量白色烟雾C ．氯化铁溶液中加入NaOH 溶液，溶液中产生黄色沉淀D ．加热通入足量CO 2后的石蕊溶液，溶液由红色变为紫色 11．下列物质的制备原理和化学方程式都正确的是( ) A ．实验室用固体纯净物制氧气：2KClO 3 =====MnO 2△ 2KCl ＋3O 2↑ B ．实验室制二氧化碳：CaCO 3＋H 2SO 4=== CaSO 4＋H 2O ＋CO 2↑ C ．高炉炼铁：3C ＋2Fe 2O 3=====高温 4Fe ＋3CO 2↑ D ．工业由纯碱制烧碱：Ca(OH)2＋Na 2CO 3=== CaCO 3↓＋2NaOH12．下列说法正确的是( )A．含有碳元素的物质都是有机物B．单质一定只含有一种元素C．使紫色石蕊溶液变红的一定是酸溶液D．生成盐和水的反应一定是中和反应13．一定条件下，某反应的微观示意图如下，有关说法正确的是( )A．该反应中的最小粒子是N2、H2B．反应前后分子的种类和数量不改变C．反应物的分子个数比为2∶3D．该反应的基本反应类型为化合反应14．碳及含碳物质有如图所示的转化关系，下列说法不正确的是( )A．物质Y可以为稀硫酸B．X可以是酒精C．反应①一定是化合反应D．反应②可以是吸热反应15．设计对比实验，控制变量是学习化学的重要方法。

2020年九年级中考三轮冲刺复习同步练习：《圆的综合》(含答案)

2020年中考三轮冲刺复习同步练习：《圆的综合》1．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．2．如图，线段AB＝10，P是线段AB上的动点，以AP为腰在线段AB的上方作等腰△PAC，且PA＝PC，cos∠CAP＝，以P为圆心，PB长为半径作⊙P交腰PC于点D（不与点P，C 重合）．（1）若D是PC的中点，求AC的长；（2）当⊙P与AC相切时，求⊙P的半径；（3）设BD＝x，AC＝y．①求y关于x的函数表达式；②连结AD，当△ADB的外接圆的圆心O在⊙P上时，求AC的长．3．如图⊙O的半径OA⊥弦BC于点D，E为优弧上一点，弦EA与BC交于点G，F为EA 延长线上一点，连结BF，∠FBC＝2∠BEA．（1）求证：BF为⊙O的切线．（2）若OA＝25，DG＝6，GC＝18．①请探究∠EBF与∠EGB的数量关系；②求BF的长．4．若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等，则称这个三角形为“弱等腰三角形”，这条角平分线叫做这个三角形的“弱线”，如图①，AD是△ABC的角平分线，当AD＝AB 时，则△ABC是“弱等腰三角形”，线段AD是△ABC的“弱线”．（1）如图②，在△ABC中．∠B＝60°，∠C＝45°．求证：△ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．以B为圆心在矩形内部作，交BC于点E，点F是上一点，连结CF．且CF与有另一个交点G．连结BG．当BG是△BCF 的“弱线”时，求CG的长．（3）已知△ABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱线”，且AB＝3BD，求AC：BC的值．5．如图1，△ABC内接于圆，点D在劣弧上，AD＝BC，DC＝AB，Q为AC中点，点D 与点P关于点Q对称．（1）求证：△PAD∽△ABC．（2）求证：点B，P，D在一条直线上．（3）如图2，记∠PAB＝α，∠PCB＝β，∠ABC＝θ，请用含α，β的代数式表示θ．（4）如图3，设E，F分别为AB，BC的中点，EF交BD于点H，求的值．6．如图示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF 的最大值．7．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，AB＝10，AD＝8，求AC的长；（3）如图2，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．8．已知，在⊙O中，AB、CD是直径，弦AE∥CD．（1）如图1，求证：＝；（2）如图2，直线EC与直线AB交于点F，点G在OD上，若FO＝FG，求证：△CFG是等腰三角形；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，若AE+CD＝BD，DG＝4，求线段FC的长．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD 为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求EF的值．10．如图1，AB为⊙O的弦，弧AC＝弧BC，G为弧BC上一点，连接AG交BC于点D，连接CG、BG．（1）求证：∠GCB+∠GBC＝∠CBA；（2）如图2，若AB为⊙O的直径，求证：AG＝CG+BG；（3）如图3，在（2）的条件下，F为圆上一点，连接CF交AB于点E，若CD：DB＝5：7，∠ACF＝∠CAG，AE＝，求线段CG的长．11．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长．12．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝2，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；（2）若tan∠AED＝，求AE的长；（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M 从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y＝x与△OMN外接圆的另一个交点是点C．①试说明：当0＜t＜2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON＝OC；②试探究：当t＞2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由．14．已知，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点H．（1）如图1，连接OA、OC，若BH＝AC，求∠AOC的度数．（2）如图2延长BE交⊙O于点G，求证：HE＝GE；（3）如图3，在（2）的条件下，P是弦AC上一点，过点P作PM∥BC交AB于点M，若∠PCD+2∠PDC＝90°，BM＝，AM＝，求⊙O半径．15．如图，AB是⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP＝DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC（1）求证：∠A＝∠D；（2）填空：①若AB＝10cm，当AP＝cm时，四边形AOCP是菱形；②当四边形OBCP是正方形时，∠DPC＝°．16．如图，⊙O是△ABC外接圆，AC是直径，OF∥AB，过点B⊙O的切线相交于点D，与OF 的延长线交点E．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若∠C＝30°，求证：△OED是等腰三角形；（3）若⊙O的半径为3，cos D＝，求OF的长．17．在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO 并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝，且tan∠OAB＝．（1）求弦CD的长；（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果S△CEF ＝4S△BOF，求线段AF的长．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，AO⊥BC于D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AB＝1，P是劣弧上一个动点，∠APC＝60°（点P与B、C不重合），PA交BC于点E，设AE＝x，EP＝y，求y与x之间的函数关系式，比并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，令∠PAC＝α，∠APC＝β，当y取何值时，sin2α+sin2β＝1．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝6．①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．20．如图，AB是⊙O的直径，P为BA延长线上一点，过P作⊙O的切线，切点为C，CD平分∠ACB交⊙O于D，交AB于G．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）已知⊙O的半径为5，PC＝2，过C作CH⊥AB于H．①求tan∠ADC；②求GH的长．参考答案1．解：（1）如图1，联结OF，交BC于点H．∵F是中点，∴OF⊥BC，BC＝2BH．∴∠BOF＝∠COF．∵OA＝OF，OC⊥AF，∴∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝＝，∵AB＝6，∴OB＝3，∴BH＝，∴BC＝2BH＝3；（2）如图2，联结BF．∵AF⊥OC，垂足为点＝D，∴AD＝DF．又∵OA＝OB，∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．∴，∴，即，∴，∴y＝．（3）△AOD∽△CDE，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．②当∠DCE＝∠DAO时，联结OF．∵OA＝OF，OB＝OC，∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．∵∠DCE＝∠DAO，∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，∴∠OAF＝30°，∴OD＝．即线段OD的长为．2．解：（1）如图1，作PE⊥AC于点E，∵D是AC的中点，∴PC＝2PD，∵PA＝PC，PD＝PB，∴PA＝2PB，AE＝CE，∵AB＝10，cos∠CAP＝，∴AP＝，∴AC＝2AP•cos∠CAP＝2×＝8，（2）设⊙P的半径为r，则AP＝10﹣r，作PE⊥AC于点E，则E点为所求的切点，在Rt△PEA中，sin∠CAP＝，∴EP＝（10﹣r），当⊙P与AC相切时，有EP＝r，∴（10﹣r）＝r，解得，r＝，∴当⊙P与AC相切时，⊙P的半径为．（3）①如图2，作PF⊥BD于点F，则BF＝DF，∵PD＝PB，PA＝PC，∴∠PBD＝∠PDB，∠CAP＝∠C，∴∠BPF＝∠BPD＝（∠CAP+∠C）＝∠CAP，∵DB＝x，AC＝y，∴PB＝FB＝x，AP＝AE＝y，∵PB+PA＝10，∴y＝10，∴y关于x的函数表达式为y＝12﹣x．②如图3，由题意得，延长FP与⊙P的交点O即为△ADB的外接圆的圆心，作OH⊥AB于点H，连接OB，OA，∵OA＝OB，∴AH＝BH＝5，∵∠BPF＝∠CAP，∴cos∠BPF＝cos∠OPH＝cos∠CAP＝，设PF＝3k，PB＝5k，则BF＝DF＝4k，PO＝PB＝5k，PH＝3k，∴BH＝5k+3k＝5，∴k＝，∴x＝BD＝8k＝5，∴AC＝y＝12﹣x＝12﹣×5＝．3．解：（1）证明：如图1，连接BO，∵OA⊥BC，∴∠ODB＝90°，∴∠OBD+∠BOD＝90°，∵∠BOD＝2∠BEA，∠FBC＝2∠BEA，∴∠BOD＝∠FBC，∴∠OBD+∠FBC＝90°，即∠OBF＝90°，∴BF⊥OB，∴BF为⊙O的切线；（2）①∠EBF＝∠EGB，理由如下：如图2，连接BO，AB，OE，过点B作BH⊥AG于点H，∵OA⊥BC，∴BD＝CD＝DG+CG＝6+18＝24，在Rt△OBD中，OB＝OA＝25，BD＝24，∴OD＝＝7，∴AD＝OA﹣OD＝25﹣7＝18．在Rt△BDA中，由勾股定理可得，AB＝＝30，∵BG＝BD+DG＝30，∴AB＝BG，∴∠BAG＝∠BGA，∵BH⊥AG，∴∠BGA+∠GBH＝90°，∴∠BAG+∠GBH＝90°，∵∠BOE+2∠EBO＝180°，∠BOE＝2∠BAG，∴2（∠BAG+∠EBO）＝180°，∴∠BAG+∠EBO＝90°，∴∠EBO＝∠GBH，∴∠EBO+∠OBF＝∠GBH+∠BHG，即∠EBF＝∠EGB．②如图2，在Rt△DAG中，由勾股定理得，AG＝＝6，∵OA⊥BC，∴＝，∴∠BEA＝∠GBA，∵∠BAE＝∠GAB，∴△ABE∽△AGB，∴，∴＝，∴AE＝BE＝15，∴EG＝AE﹣AG＝9，∵∠EBF＝∠EGB，∠BEF＝∠GEB，∴△EBF∽△EGB，∴，∴，∴BF＝50．4．（1）证明：如图②作△ABC的角平分线BD，交AC于D，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵∠ADB＝∠DBC+∠C＝30°+45°＝75°，∴∠ADB＝∠A，∴BA＝BD，∴△ABC是“弱等腰三角形”；（2）如图③，连接EG，∵BG是△BCF的“弱线”，∴BG平分∠FBC，∴∠FBG＝∠GBE，∵BF＝BE，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（SAS），∴∠BGF＝∠BGE，∵BG＝BE，∴∠BGE＝∠BEG＝（180°﹣∠GBE），∴∠FGE＝180°﹣∠GBE，∵∠CGE＝180°﹣∠FGE，∴∠CGE＝∠CBG，∵∠GCE＝∠BCG，∴△GCE∽△BCG，∴＝，∵CE＝4﹣3＝1，∴CG2＝CE•BC＝1×4＝4，∴CG＝2；（3）①如图④，当AB＝AD时，在AC上取一点E，使得AE＝AB，连接DE，∵AD是“弱线”，∴AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE＝BD，∠B＝∠AED，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∴∠AED＝∠ADB，∴∠CED＝180°﹣∠AED，∠ADC＝180°﹣∠ADB，∴∠CED＝∠ADC，∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△DEC，∴＝＝＝＝，∴CE＝CD，CD＝AC，∴CE＝AC，∴CE＝AE＝BD，CD＝3CE＝BD，AC＝9CE＝BD，∴BC＝BD+BD＝BD，∴AC：BC＝27：17；②当AC＝AD时，如图⑤，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE，同理可得，＝＝，即＝，由上面计算可得，BC＝CD，∵AC＝3CD，∴AC：BC＝24：17．5．解：（1）∵点Q为AC中点，点D与点P关于点Q对称，∴AQ＝QC，PQ＝QD，∴四边形APCD是平行四边形，∴AP＝CD，AP∥CD，∴∠PAD+∠ADC＝180°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠PAD＝∠B，又∵，∴△PAD∽△ABC；（2）连接BD，∵△PAD∽△ABC，∴∠ACB＝∠ADP，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADP＝∠ADB∴点B，P，D在一条直线上；（3）∵∠APD＝∠ABP+∠BAP，∠CPD＝∠CBP+∠PCB，∴∠APD+∠CPD＝∠ABP+∠BAP+∠CBP+∠PCB＝α+β+θ，∵四边形APCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠APC＝∠APD+∠CPD，∴180°﹣∠ABC＝α+β+θ，∴2θ＝180°﹣α﹣β，∴θ＝90°﹣﹣；（4）连接EP，FP，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∵CD＝AB，CD＝AP，∴AE＝AP，∴∠APE＝90°﹣α，同理可得∠CPF＝90°﹣β，∴∠EPF＝360°﹣∠APE﹣∠CPF﹣∠APC＝180°﹣（α+β+θ），∵θ＝90°﹣﹣，∴∠EPF＝180°﹣（α+β+90°﹣﹣）＝90°，∵E是AB的中点，点F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，∴△BEH∽△BAQ，△BFH∽△BCQ，∴，∵AQ＝CQ，∴EH＝HF，∴PH＝EF＝AC，∴．6．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠FAD，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AF，∵DE⊥AF，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切：（2）解：连接BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AD：AB＝AE：AD，∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：在△AED和△AGD中，，∴△AED≌△AGD（AAS），∴AE＝AG，DE＝DG，∵∠FAD＝∠DAB，∴＝，∴DF＝DB，在Rt△DEF和Rt△DGB中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），∴EF＝BG，∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，即：x+2y＝10，∴y＝﹣x+5，∴AE•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．7．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCA＝∠OCB，∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝∠ACB＝90°，∴CD⊥OC，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AD⊥CD∴∠ADC＝∠ACB＝90°又∵∠DCA＝∠B∴△ACD∽△ABC∴＝，即＝，∴AC＝4，即AC的长为4；（3）解：AC＝BC+EC；理由如下：在AC上截取AF使AF＝BC，连接EF、BE，如图2所示：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠DAB＝45°，∴△AEB为等腰直角三角形，∴∠EAB＝∠EBA＝∠ECA＝45°，AE＝BE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（SAS），∴EF＝CE，∠AFE＝∠BCE＝∠ACB+∠ECA＝90°+45°＝135°，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣135°＝45°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴△EFC为等腰直角三角形．∴CF＝EC，∴AC＝AF+CF＝BC+EC．8．证明：（1）连接OE，∵AO＝EO，∴∠OAE＝∠OEA，∵AE∥CD，∴∠OAE＝∠COB，∠OEA＝∠EOC，∴∠EOC＝∠COB，∴＝；（2）连接BC，设∠CBO＝α，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝α，∴∠BOC＝180°﹣2α，∴∠FOG＝180°﹣2α，∵FO＝FG，∴∠FGO＝∠FOG＝180°﹣2α，∵四边形AECB是圆内接四边形，∴∠FEA＝∠OBC，∵AE∥CD，∴∠FEA＝∠FCD＝α，∴∠CFG＝180°﹣∠FCD﹣∠FGC＝α，∴∠CFG＝∠FCD＝α，∴FG＝CG，∴△FCG是等腰三角形；（3）如图，连接AC，CB，EO，延长AB至M，使BM＝AE，连接CM，过点C作CH⊥AB于H，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝CD，AE+CD＝BD，∴AE+AB＝AC，∴BM+AB＝AM＝AC，∴，∵，∴∠EAC＝∠CAB，EC＝BC，∵四边形AECB是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC＝180°，且∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠AEC＝∠CBM，且EC＝BC，AE＝BM，∴△AEC≌△MBC（SAS）∴AC＝CM，且CH⊥AB，∴AH＝MH＝AM，∵cos∠CAB＝＝＝，∴设AH＝3x，AC＝4x，则AM＝6x，AB＝x，∴OC＝OA＝AB＝x，BH＝AB﹣AH＝x，BM＝AE＝HM﹣BH＝x，∴，∵AE∥CO，∴△AEF∽△OCF，∴，设FA＝a，则FO＝4a，AO＝FO﹣FA＝3a，∵FO＝FG＝CG＝4a，∴OG＝CG﹣CO＝a，∴DG＝DO﹣OG＝3a﹣a＝2a＝4，∴a＝2，∴AO＝CO＝6，∴AB＝12，∴x＝12，∴x＝，∴AC＝9，∴BC＝＝＝3，∴EC＝3，∵，∴FC＝4．9．解：（1）∵点A（0，4），∴AO＝4，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3，AB＝5，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BFA＝∠AFC，∴△BFA∽△AFC∴＝＝，设EF＝x，则AF＝4+x，BF＝（4+x），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴32+x2＝[（4+x）]2，解得：x＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时，∠BAE＝∠FDE，∴∠ADE＝∠FDE，∴BD垂直平分AF，∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时，∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴∠ADF＝∠CAB＝90°，∴DF相切⊙Q，∴∠DAE＝∠FDE，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，如图所示：则∠FDH＝∠DAG，四边形OGHF是矩形，∴OG＝FH，∵△ABE≌△ABO，∴∠OAB＝∠EAB，∵AB⊥AD，∴∠DAE＝∠CAO，∵∠CAO＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH，∴AG＝AE＝4，∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8，综上所述，若△DEF与△AEB相似，EF的值为4或8．10．证明：（1）∵＝，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠GCB＝∠GAB，∠CBG＝∠CAG，∴∠GCB+∠GBC＝∠GAB+∠CAG＝∠CAB＝∠CBA；（2）如图2，过点C作CH⊥CG交AG于点H，∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝∠ACB＝90°，且AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°．∵∠AGC＝∠ABC，∴∠AGC＝45°，且CH⊥CG，∴∠CHG＝∠AGC＝45°，∴CH＝CG，∠AHC＝135°∴GH＝CG．∵∠CGB＝∠CGA+∠AGB＝135°，∴∠AHC＝∠CGB，CH＝CG，∠CAH＝∠CBG，∴△ACH≌△BCG（AAS）∴AH＝BG，∴AG＝CG+BG；（3）∵CD：DB＝5：7，∴设CD＝5a，DB＝7a，∴BC＝AC＝12a，∴AD＝＝＝13a．如图3，过点E作EH⊥AC于H，作AP平分∠GAC，交BC于P，作PQ⊥AD于Q，∴∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∠PQA＝90°＝∠ACB，且AP＝AP，∴△CAP≌△QAP（AAS）∴AC＝AQ＝12a，CP＝PQ，∴QD＝AD﹣AQ＝a．∵PD2＝PQ2+QD2，∴（5﹣PQ）2＝PQ2+a2，∴PQ＝a，∴CP＝a，∵HE⊥AC，∠CAB＝45°，∴∠HEA＝∠CAB＝45°，∴AH＝HE，∵AE2＝AH2+HE2＝（3）2，∴AH＝HE＝3，∵∠ACF＝∠CAG，∠CAP＝∠DAP＝∠CAG，∴∠ACF＝∠CAP，∴tan∠CAP＝tan∠ACF＝，∴∴CH＝15，∴AC＝3+15＝18＝12a，∴a＝，∴CD＝，BD＝，AD＝．∵∠ACD＝∠AGB＝90°，∠CAD＝∠DBG，∴△ACD∽△BGD，∴，∴，∴BG＝，DG＝，∴AG＝AD+DG＝+＝，∵AG＝CG+BG，∴＝＝CG，∴CG＝．11．（1）证明：连接OE．如图1所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC⊥OE，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴EC⊥BC，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，∴EH＝EC，∠BHE＝90°，在Rt△BHE和Rt△BCE中，，∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL），∴BH＝BC＝9，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°＝∠BHE，BF是圆O的直径，∴BE＝＝＝3，∵∠EBH＝∠FBE，∴△BEH∽△BFE，∴＝，即＝，解得：BF＝10，∴⊙O的半径长＝BF＝5；（3）解：连接OE，如图2所示：由（2）得：OE＝OF＝5，EC＝EH＝3，∵EH⊥AB，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHE中，cos∠EOA＝＝，在Rt△EOA中，cos∠EOA＝＝，∴OA＝OE＝，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+3＝，，∵AB＝OB+OA＝5+＝，∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝AB×CP＝BC×AC，∴CP＝＝＝．12．解：（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，∵OB＝2，D是OB的中点，∴OD＝DB＝1，设DH＝a，则OH＝1+a，∵点E是弧BC中点，∴∠COE＝∠EOH＝45°，∴EH＝OH＝1+a，∵OE2＝EH2+OH2，∴4＝2（1+a）2，解得a＝﹣1∴EH＝OH＝，∴S＝×3×＝；△ADE（2）如图2，连接BE，过点D作DN⊥AE，∵tan∠AED＝＝，∴设DN＝3a，NE＝2a，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°＝∠AND，∴BE∥DN，∴，∴∴AN＝6a，∵AN2+DN2＝AD2，∴36a2+9a2＝9，∴a＝，∴AE＝AN+NE＝6a+2a＝；（3）①当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH＝a，∵∠DOF＝∠EDF＝∠EDH＝90°，∴∠FDO+∠OFD＝90°，∠FDO+∠EDH＝90°，∴∠OFD＝∠EDH，且DF＝DE，∠DOF＝∠EHD＝90°，∴△ODF≌△EDH（AAS）∴OD＝EH＝1，在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（1）2＝（3+a）•（1﹣a）解得a＝﹣1+，（负值舍去）∴m＝；当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理可证：△EFG≌△EDH，设DH＝a，则GE＝a，EH＝CG＝1+a，在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（1+a）2＝（3+a）•（1﹣a）解得a＝﹣1+，（负值舍去）∴m＝；当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理可证：△EFM≌△ODF，设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝1，∴EH＝a+1，在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（a+1）2＝（2+a）•（2﹣a）解得a＝（负值舍去）∴m＝．13．解：（1）由题意，得OA＝6，OB＝2．当0＜t＜2时，OM＝6﹣3t，ON＝t．若△ABO∽△MNO，则＝，即＝，解得t＝1．若△ABO∽△NMO，则＝，即＝，解得t＝1.8．综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似．（2）①当0＜t＜2时，在ON的延长线的截取ND＝OM，连接CD、CN、CM，如图所示：∵直线y＝x与x轴的夹角为450，∴OC平分∠AOB．∴∠AOC＝∠BOC．∴CN＝CM．又∵在⊙O中∠CNO+∠CMO＝180°，∠DNC+∠CNO＝180°，∴∠CND＝∠CMO．∴△CND≌△CMO（SAS）．∴CD＝CO，∠DCN＝∠OCM．又∵∠AOB＝90°，∴MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．∴∠OCM+∠OCN＝90°．∴∠DCN+∠OCN＝90°．∴∠OCD＝90°．又∵CD＝CO，∴OD＝OC．∴ON+ND＝OC．∴OM+ON＝OC．②当t＞2时，过点C作CD⊥OC交ON于点D，连接CM、CN，如图所示：∵∠COD＝45°，∴△CDO为等腰直角三角形，∴OD＝OC．∵MN为⊙O的直径，∴∠MCN＝90°．又∵在⊙O中，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴MC＝NC．又∵∠OCD＝∠MCN＝90°，∴∠DCN＝∠OCM．∴△CDN≌△COM（SAS）．∴DN＝OM．又∵OD＝OC，∴ON﹣DN＝OC．∴ON﹣OM＝OC．14．解：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠EBC＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，且∠BDH＝∠ADC＝90°，BH＝AC，∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD＝AD，且AD⊥BD，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°（2）连接AG，∵∠GAC＝∠GBC，且∠GAC+∠G＝90°，∠GBC+∠BHD＝90°，∴∠G＝∠BHD，∵∠BHD＝∠AHG，∴∠AHG＝∠G，∴AH＝AG，且AC⊥BE，∴HE＝GE；（3）如图3，连接BO并延长交圆O于H，连接AH，∵PM∥BC，∴＝＝，∵∠PCD+2∠PDC＝90°，∴∠PCD＝90°﹣2∠PDC，∵∠APD＝∠PCD+∠PDC＝90°﹣∠PDC，且∠ADP＝90°﹣∠PDC，∴∠APD＝∠ADP，∴AD＝AP，∵PM∥BC，∴，∴＝，∵BH是直径，∴∠BAH＝90°＝∠ADC，且∠H＝∠ACB，∴△ADC∽△BAH，∴∴∴BH＝10，∴⊙O半径为5．15．（1）证明：如图，连接PB，∵AB是⊙O的直径，∴BP⊥AD，∵AP＝PD，∴BP是线段AD的垂直平分线，∴BA＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：①∵AP＝PD，BC＝DC，∴，∵AB是⊙O的直径，∴，∴OA＝PC，∴四边形AOCP是平行四边形，∴当时，平行四边形AOCP是菱形，故答案为：5；②当四边形OBCP是正方形时，∠POB＝90°，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝45°＝POB，∴PC∥AO，∴∠DPC＝∠A＝45°，故答案为：45．16．解：（1）如图1，连接BO，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠OBA+∠ABD＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠OBA＝90°，∴∠ABD＝∠CBO，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠C，∴∠ABD＝∠C，又∵∠D＝∠D，∴△ABD∽△BCD；（2）证明：∵∠C＝30°，OE∥AB，∠ABC＝90°，∴∠BAO＝60°＝∠BOA＝∠BOE，由（1）知OB⊥DE，∠EBO＝∠DBO＝90°，又∵OB＝OB，∴△BOE≌△BOD（ASA），∴OE＝OD，∴△OED是等腰三角形；（3）∵OE∥AB，CO＝AO，∴CF＝BF，∴OF是△ABC中位线，∴OF＝AB，又∵在Rt△OBD中，cos∠D＝＝，设BD＝4x，则OD＝5x，由勾股定理（5x）2＝（4x）2+32，解得，x＝1（取正值），∴DB＝4，OD＝5，如图2，过点B作BM⊥OA于M，则∠OMB＝∠OBD＝90°，又∵∠BOM＝∠DOB，∴△OBM∽△ODB，∴＝＝，∴＝＝，∴BM＝，OM＝，∴AM＝，∴AB＝＝，∴OF＝AB＝．17．解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB＝＝，∴设OH＝a，AH＝2a，∵AO2＝OH2+AH2＝5，∴a＝1，∴OH＝1，AH＝2，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝4，∵弧AC＝弧BD∴＝，∴AB＝CD＝4；（2）∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴∠OAF＝∠ECF，①当∠AFO＝90°时，∵OA＝，tan∠OBA＝，∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，∴EF＝CF•tan∠ECF＝CF•tan∠OBA＝；②当∠AOF＝90°时，∵OA＝OB，∴∠OAF＝∠OBA，∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，∵OA＝，∴OF＝OA•tan∠OAF＝，∴AF＝，∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，∴△OFA∽△EFC，∴＝＝，∴EF＝OF＝，即：EF＝或；（3）如图，连接OE，∵∠ECB＝∠EBC，∴CE＝EB，∵OE＝OE，OB＝OC，∴△OEC≌△OEB，∴S△OEC ＝S△OEB，∵S△CEF ＝4S△BOF，∴S△CEO +S△EOF＝4（S△BOE﹣S△EOF），∴＝，∴＝，∴FO＝CO＝，∴OH＝＝1，∴HF＝＝，∴AF＝AH+HF＝2+．18．（1）证明：∵△ABC内接于⊙O，AO⊥BC，∴BD＝CD＝BC，∴AB＝AC，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：由（1）得：△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC＝1，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BD＝CD＝，AD＝BD＝，∵∠APC＝∠ABC，∴∠ACB＝∠APC，又∵∠CAE＝∠PAC，∴△ACE∽△APC，∴＝，∴AE×AP＝AC2＝1，即x（x+y）＝1，∴y＝又∵AD＜AE＜AB，∴＜x＜1；（3）解：∵∠APC＝∠B＝60°，∠PAC＝α，∠APC＝β，∴sin2α＝sin2∠APC＝（）2＝，∵sin2α+sin2β＝1．∴sin2β＝1﹣＝，∴sinβ＝，∴∠PAC＝30°，∴点E与D重合，如图所示：连接OB，则OB平分∠ABC，∴∠OBD＝30°，∵AD⊥BC，∴OD＝BD＝，OP＝OA＝OB＝2OD＝，∴PD＝PE＝OP﹣OD＝﹣＝；即y取时，sin2α+sin2β＝1．19．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，CD⊥AB，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，∴∠FGC ＝∠AGD ；（2）如图，设AC 与GD 交于点M ， ∵，∴∠GCM ＝∠ADM ，又∵∠GMC ＝∠AMD ，∴△GMC ∽△AMD ， ∴＝＝＝，设CM ＝x ，则DM ＝3x ，由（1）知，AC ＝AD ，∴AC ＝6，AM ＝6﹣x ，在Rt △AMD 中，AM 2+DM 2＝AD 2，∴（6﹣x ）2+（3x ）2＝62，解得，x 1＝0（舍去），x 2＝，∴AM ＝6﹣＝，∴sin ∠ADG ＝＝＝；（3）S 四边形ADCG ＝S △ADC +S △ACG ，∵点G 是上一动点， ∴当点G 在的中点时，△ACG 的的底边AC 上的高最大，此时△ACG 的面积最大，四边形ADCG 的面积也最大，∴GA ＝GC ，∴∠GAC ＝∠GCA ，∵∠GCD ＝∠F +∠FGC ，由（1）知，∠FGC ＝∠ACD ，且∠GCD ＝∠ACD +∠GCA ，∴∠F ＝∠GCA ，∴∠F ＝∠GAC ，∴FC＝AC＝6．20．（1）证明：如图，连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠OCA+∠ACP＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAO＝90°，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠B＝∠ACP，又∵∠CPA＝∠BPC，∴△PAC∽△PCB；（2）①由（1）知△PAC∽△PCB，∴＝＝，∵PC＝2，AB＝5×2＝10，∴＝，∴AP＝2（取正值），∴＝＝，∵∠ADC＝∠B，∴tan∠ADC＝tan∠B＝＝；②如图，连接OD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD＝ACB＝45°，∴∠BOD＝∠DOA＝90°，∵CH⊥AB，∴∠CHG＝90°＝∠DOA，∴OD∥CH，∴△DOG∽△CHG，在Rt△ABC中，设AC＝x，则BC＝x，∴x2+（x）2＝102，∴x＝（取正值），∴AC＝，BC＝，＝BC•AC＝AB•CH，∵S△ABC∴×＝10CH，∴CH＝，∵tan∠B＝，∴＝＝，∴BH＝，∴OH＝BH﹣BO＝﹣5＝，∵△DOG∽△CHG，∴＝，即＝，∴GH＝2﹣．。

九年级语文中考综合模拟卷及答案 (3)

中考语文模拟试题2一、积累运用（21分）1 ．读下面这段文字，根据拼音写出汉字。

（2 分）情义扰如一位美丽的仙女，把真情（sǎ）_____向大地，让人间飘荡着幸福和甜蜜；情义好像初晨的第一终阳光，（qū）_____散了人们心中的阴玻，给我们带来温暖和惬意；情义仿佛一阵和（xù）_____的春风，给大地带来春的气息，让世界充满生机和活力；情义宛如一场纤纤的细雨，滋润了你我干（hé）____的心田，让人们经受沐浴和洗礼。

２．下面文段中有两个错别字，请找出并改正在后面的横线上。

（1分）他从唐诗下手，目不窥园，足不下楼，兀兀穷年，呖尽心血。

杜甫晚年，疏懒得“一月不梳头”。

闻先生也总是头发零乱，他是无遐及此的。

饭，几乎忘记了吃，他贪的是精神食粮；夜间睡得很少，为了研究，他惜寸阴、分阴。

改为改为3．下面语段中有语病或标点符号使用不正确，试分别提出修改意见。

（３分）俗话说：“百菜当属白菜好”，因此古人常以白菜当做养生佳蔬。

白菜不但是菜中佳品，还具有很好的医疗价值。

如治伤风感冒可用大白菜根须煎汤服；用白菜、辣椒熬水洗手足，可防治冻疮；用白菜、大葱熬汤温服，不但可以治感冒，对气管炎也有好的治疗效果。

①②③4．阅读下面的文字，回答问题。

（２分）①翻过来，倘若我们去赌钱去吃酒，还不是一样在淘神费力？难道又不苦？②但我要问他：“做工苦，难道不做工就不苦吗？”③“做工好苦呀！”这种叹气的声音，无论何人都会常在口边流露出来。

④今日大热天气，我在这里喊破喉咙来讲，诸君扯直耳朵来听，有些人看着我们好苦；⑤须知苦乐全在主观的心，不在客观的事。

上段文字的顺序被打乱了，可调整为（只写序号）：5．根据要求默写。

( 6分）（l）_______ ____ ，君子好述。

（《诗经。

关雌）)(2）_______ _____，甲光向日金鳞开。

（李贺（雁门太守行）)(3）潮平两岸阔，。

（王湾《次北固山下》）(4) ，阴阳割分晓。

九年级中考数学综合训练题(4)

九年级中考数学综合训练题（4）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）＝（）A．B．C．D．2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB等于（）A．40°B．50°C．65°D．130°4．（3分）为了比较某校同学汉字听写谁更优秀，语文老师随机抽取了10次听写情况，发现甲乙两人平均成绩一样，甲、乙的方差分别为2.7和3.2，则下列说法正确的是（）A．甲的发挥更稳定B．乙的发挥更稳定C．甲、乙同学一样稳定D．无法确定甲、乙谁更稳定5．（3分）如图所示，三角形ABC中，∠BAC＝90°，过点A画AD⊥BC，则下列说法不正确的是（）A．线段AD是点A与直线BC上各点连接的所有线段中最短的B．线段AB是点B到直线AD的垂线段C．点A到直线BC的距离是线段AD的长D．点C到直线AB的距离是线段AC的长6．（3分）某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b，都有a+b≥2成立．某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备xcm．则x的值是（）A．120B．60C．120D．607．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在边DC中点E处，若BC＝2，则线段AB的长为（）A．2B．C．2D．8．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜B．x≠﹣C．x≠D．x＞9．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（）A．B．C．D．110．（3分）如图，反比例函数（k＞0）与一次函数的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|＝2且AC＝2BC时，k、b的值分别为（）A．k＝，b＝2B．k＝，b＝1C．k＝，b＝D．k＝，b＝11．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）交y轴于点A，交x轴于点B，且（AB+OA）（AB ﹣OA）＝，则不等式kx+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＞3C．x＜D．x＜312．（3分），，，＝﹣…从计算结果中找出规律，并用这一规律计算：（+++…+）（+1）结果为（）A．2005B．2006C．2007D．2008二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）如图，海平面上灯塔O方圆100千米范围内有暗礁．一艘轮船自西向东方向航行，在点A处测量得灯塔O在北偏东60°方向，继续航行100千米后，在点B处测量得灯塔O在北偏东37°方向．请你作出判断，为了避免触礁，这艘轮船是否要改变航向？．（填“是”或“否”，参考数据：sin37°≈0.6018，cos37°≈0.7986，tan37°≈0.7536，cot37°≈1.327，≈1.732）．14．（3分）不等式组的整数解的积为．15．（3分）+（b+2）2+|c﹣2022|＝0，则（a+b）c的值为．16．（3分）定义新运算“*”．规则：a*b＝a（a≥b）或者a*b＝b（a＜b）如1*2＝2，（﹣3）*2＝2．若x2+x﹣1＝0的根为x1、x2，则x1*x2的值为：．17．（3分）如图，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC 上，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，，则矩形的边长DG＝．18．（3分）已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，过O的直线OM经过点A（6，6），过A作正方形ABCD，在直线OA上有一点E，过E作正方形EFGH，已知直线OC经过点G，且正方形ABCD的边长为2，正方形EFGH的边长为3，则点F的坐标为．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（6分）化简求值：（﹣）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．20．（8分）阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是．（2）三角形的“二分线”可以是．（3）在图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．21．（10分）掷①②两枚正六面体骰子，它们的点数和可能有哪些值？请在下表中列出来，并用表中的信息求：（1）“点数和为7点”的概率P1；（2）“两颗骰子点数相同”的概率P2；（3）“两颗骰子点数都是相同偶数”的概率P3．22．（10分）已知关于x的方程（a+c）x2+bx﹣（a+2c）＝0的两根之和为1，两根的倒数和为﹣2．（1）求这个方程的两根之积；（2）求a：b：c．23．（10分）采购员用一张1万元支票去购物．购单价为590元的A种物品若干件，又购单价为670元的B种物品若干件，其中B种件数多于A种件数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）．如把购A种物品和B种物品的件数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反，则原来购B种物品多少件？24．（10分）如图，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC．（1）在图（a）中，能否在AB上确定一点E，使得AC2＝AE•AB，为什么？（2）在图（b）中，在条件（1）的结论下延长EC到P，连接PB，如果PB＝PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．25．（12分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y＝ax2+bx+c （a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠OAC、∠ABC、∠ACB的对边为a1，b1，c1．若关于x的方程a1（1﹣x2）+2b1x+c1（1+x2）＝0有两个相等实数根，且a1＝b1；（1）试判定△ABC的形状；（2）当时求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使S△ABP＝S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。

2021年九年级中考数学考前强化练习：《四边形综合》(三)

2021年九年级中考数学考前强化练习：《四边形综合》（三）1．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点A（0，m），N（n，0），且+|m+n ﹣10|＝0．（1）m＝，n＝．（2）如图，若点E是第一象限内的一点，且EN⊥x轴，过点E作x轴的平行线a，与y 轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O 同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．①经过几秒PQ∥y轴？②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P的坐标．2．如图，在▱ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．（1）求证：四边形ABDF为平行四边形．（2）若BE为∠ABC的角平分线，AB＝5，CE＝6，求△AEF的面积．3．已知正方形ABCD，点E，F分别在射线BC，射线CD上，BE＝CF，AE与BF交于点H．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，求证：AE＝BF，且AE⊥BF；（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，将线段BE沿BF平移至FG，连接AG．①依题意将图2补全；②用等式表示线段AG，FG和AD之间的数量关系，并证明．4．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，DF⊥DE，EG平分∠BEF 交BD于点G．（1）求证：DE＝DF；（2）请写出线段DG和DF的数量关系并证明；（3）作GH⊥EF于点H，请直接写出线段AB、GH与EF的数量关系．5．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点K是线段AB延长线上一点，点E是∠CBK的平分线上一点，连接DE，取DE的中点F，连接BF．（1）依照题意补全图形．（2）求证：∠FDA＝∠FBA．（3）若点G是线段BE延长线上任意一点，连接CG，点H为CG中点，连接FH，用等式表达EG，DA，FH的数量关系，并证明．6．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接DE、DF．（1）求证：DE⊥DF；（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形；②求证：BG＝DG；③若∠EGB＝45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．7．在△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，以AD为边作正方形ADEF（点E，F都在直线BC的上方），连接BE．（1）根据题意补全图形，并证明∠CAD＝∠BDE；（2）用等式表示线段CD与BE的数量关系，并证明；（3）用等式表示线段AD，AB，BE之间的数量关系（直接写出）．8．如图，平行四边形ABCD中，BC＝BD．点F是线段AB的中点．过点C作CG⊥DB交BD于点G，CG延长线交DF于点H．且CH＝DB．（1）如图1，若DH＝1．求FH的值；（2）如图2，连接FG．求证：DB＝FG+HG．9．如图，在正方形ABCD中，E为边CD上一点（不与点C，D重合），垂直于BE的一条直线MN分别交BC，BE，AD于点M，P，N，正方形ABCD的边长为6．（1）如图1，当点M和点C重合时，若AN＝4，求△CDN的面积为．（2）在（1）的条件下求线段PM的长度；（3）如图2，当点M在BC边上时，判断线段AN，MB，EC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上任意一点（可与B，D重合），连接AM，将线段AM绕点A逆时针旋转90°得到线段AN，连接MN，DN，设BM＝x．（1）求证：△ABM≌△ADN；（2）当时，求MN的长；（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“△ABM与△MND也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出△ABM与△MND全等时x的值；若不正确，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，将矩形OABC 绕点A 顺时针旋转α，得到矩形O 1AB 1C 1，点O ，B ，C 的对应点分别为O 1，B 1，C 1．（Ⅰ）如图①，当α＝45°时，O 1C 1与AB 相交于点E ，求点E 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点O 1落在对角线OB 上时，连接BC 1，四边形OAC 1B 是何特殊的四边形？并说明理由；（Ⅲ）连接BC 1，当BC 1取得最小值和最大值时，分别求出点B 1的坐标（直接写出结果即可）．12．如图，在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD ，A （﹣3，0），B （2，0），D 在y 轴上．直线l 从BC 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CD 向左平移，分别与CD 、BD 交于E 、F ．设△DEF 的面积为S ，直线l 平移时间为t （s ）（0＜t ＜5）．（1）求点C 的坐标；（2）求S 与t 的函数表达式；（3）过点B 作BG ⊥l ，垂足为G ，连接AF 、AG ，设△AFG 的面积为S 1，△BFG 的面积为S 2，当S 1+S 2＝S 时，若点P （1﹣a ，a +3）在△DEF 内部（不包括边），求a 的取值范围．13．如图，A （0，3）是直角坐标系y 轴上一点，动点P 从原点O 出发，沿x 轴正半轴运动，速度为每秒2个单位长度，以P 为直角顶点在第一象限内作等腰Rt △APB ．设P 点的运动时间为t秒．（1）若AB∥x轴，求t的值；（2）如图2，当t＝2时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．14．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是（填序号）；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝，AB＝3．①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；②求GE的长．15．如图，四边形ABCD为正方形，点E为正方形ABCD外一点，且AD＝AE，连接BE，∠DAE 的角平分线交BE于点P，连接CP，设∠DAE＝α．（1）当α＝60°，求∠APB的大小；（2）在（1）的条件下，当PE＝2时，求AB的长；（3）当0°＜α＜60°时，求PA，PB，PC三条线段满足的等量关系．参考答案1．解：（1）依题意，得，解得；故答案为：4，6；（2）①设经过x秒PQ平行于y轴，依题意，得6﹣2x＝x，解得x＝2，∴经过2秒PQ∥y轴；②当点P在y轴右侧时，依题意，得，解得x＝1，此时点P的坐标为（4，4），当点P在y轴左侧时，依题意，得，解得x＝，此时点P的坐标为（﹣，4）．综合以上可得点P的坐标为（4，4）或（﹣，4）．2．解：（1）证明：由题意得，AB∥CF，∴∠ABE＝∠DFE，又∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS）∴AB ＝DF ，又∵AB ∥DF ，∴四边形ABDF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）过点F 作AD 的垂线交AD 延长线于点K ，过点D 作DH ⊥EC ，过点E 作EG ⊥CD ，∵S △AEF ＝；，∴S △AEF ＝S △EDF ，又∵BE 为∠ABC 的角平分线， ∴∠ABE ＝∠EBC ，又∵AD ∥BC ， ∴∠EBC ＝∠FED ，而∠ABE ＝∠DFE ， ∴∠FED ＝∠DFE ， ∴ED ＝FD ，由（1）可知AB ＝DC ＝FD ＝5， ∴ED ＝FD ＝DC ＝5，又∵S △EFD ＝，S △EDC ＝，∴S △AEF ＝S △EDF ＝S △ECD ，在等腰△EDC 中，ED ＝CD ＝5，EC ＝6， ∵DH ⊥EC ， ∴EH ＝＝＝3，在Rt △EHD 中，ED ＝5，EH ＝3， ∴DH ＝＝＝4，∴S △ECD ＝＝12，∴S△AEF ＝S△EDF＝S△ECD＝12，故S△AEF＝12．3．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABH＝90°，∴∠BAE+∠ABH＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AE⊥BF，故AE＝BF，且AE⊥BF；（2）①补全图如图2所示；②AG2＝2AD2+2FG2.理由如下：如图3，连接EG，∵线段BE沿BF平移至FG，∴四边形BEGF是平行四边形，∴EG＝BF，EG∥BF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BFC＝∠AEB，∴EG＝BF＝AE，∵∠BFC+∠CBF＝90°，∴∠AEB+∠CBF＝90°，∴∠BHE＝90°，∵EG∥BF，∴∠AEG＝∠BHE＝90°，∴AG2＝AE2+EG2＝2AE2，∵AE2＝AB2+BE2＝AD2+FG2，∴AG2＝2AD2+2FG2．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠CDE+∠EDA＝90°，∠FCD＝∠EAD＝90°，∵DE⊥DF，∴∠FDC+∠CDE＝90°，∴∠FDC＝∠EDA，∴△EDA≌△FDC（ASA），∴DE＝DF；（2）解：DG＝DF，证明如下：由（1）得：DE＝DF，∵∠FDE＝90°，∴∠DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠DEG＝45°+∠FEG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABG＝45°，∴∠DGE＝∠ABG+∠BEG＝45°+∠BEG，∵EG平分∠BEF，∴∠FEG＝∠BEG，∴∠DEG＝∠DGE，∴DE＝DG，∴DG＝DF；（3）解：AB﹣GH＝EF，理由如下：过点G作GM⊥AB于M，如图所示：∵EG平分∠BEF，GM⊥AB，GH⊥EF，∴GM＝GH，∵∠ABG＝45°，∴△BGM、△ABD是等腰直角三角形，∴BG＝GM＝GH，BD＝AB，由（2）可知，DG＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE，∵DE＝DG，∴DG＝EF，∵BD﹣BG＝DG，∴AB﹣GH＝EF，∴AB﹣GH＝EF．5．解（1）如图所示．（2）如图所示，连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，同理∠CBE＝∠CBK＝60°，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°，在Rt△DBE中，F为BE中点，∴BF＝DE＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∵DA＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠FDA＝∠FBA．（3）4FH2＝EG2+DA2+EG•DA．如图1所示，连接CE，取CE中点为点M，连接FM，HM，延长HM交AB于点N，不妨设EG＝a，DA＝b，FH＝c，∵H，M分别为CG，CE的中点，∴HM∥GE，且HM＝EG＝a，同理FM∥DC，且FM＝DC＝DA＝b．∴∠HMF＝∠MNA＝∠ABG＝120°；如图2所示，过点H作HP⊥FP交FM延长线于点P，在Rt△HMP中，∠HMP＝60°，HM＝a，∴MP＝a，HP＝a．∴FP＝b+a．在Rt△HMP中，∠HPM＝90°，∴HP2+MP2＝HM2，即（a）2+（b+a）2＝c2，化简得：4c2＝a2+b2+ab．即4FH2＝EG2+DA2+EG•DA．6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF；（2）①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG＝EF，BG＝EF，∴BG＝DG；③解：BG2+HG2＝4AE2，证明如下：由（1）可知，△ADE≌△CDF，DE⊥DF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG＝45°，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，∵∠EGB＝45°，∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，∵∠DHF+∠HFG＝∠DHF+∠CDH＝90°，∴∠HFG＝∠CDH＝22.5°，∴∠CDF＝∠GDF﹣∠HDC＝22.5°＝∠CDH，又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，∴△CDH≌△CDF（ASA），∴CH＝CF，在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2+HG2＝HF2，∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，∴BG2+HG2＝（2AE）2，∴BG2+HG2＝4AE2．7．解：（1）补全图形如下：∵正方形ADEF，∴∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝90°﹣∠ADC，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC，∴∠CAD＝∠BDE；（2）CD与BE的数量关系为：BE＝CD，证明如下：过E作EG⊥CB于G，如图：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝DE，∵EG⊥CB，∴∠G＝90°＝∠C，在△ACD和△DGE中，，∴△ACD≌△DGE（AAS），∴CD＝EG，AC＝DG，∵AC＝BC，∴DG＝BC，∴DG﹣DB＝BC﹣DB，即BG＝CD，∴BG＝EG，∴△BGE是等腰直角三角形，∴BE＝BG，∴BE＝CD；（3）AD，AB，BE之间的数量关系为：AB2＝2AD2﹣BE2，理由如下：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB2＝AC2+BC2＝2AC2，AC2＝AD2﹣CD2，∴AB2＝2（AD2﹣CD2），而BE＝CD，∴CD2＝BE2，∴AB2＝2（AD2﹣BE2），即AB2＝2AD2﹣BE2．8．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝BC，∴AD＝BD，∵AF＝FB，∴DF⊥AB，∴DF⊥DC，∵CG⊥BD，∴∠CDH＝∠CGD＝∠DFB＝90°，∴∠BDF+∠CDG＝90°，∠CDG+∠DCH＝90°，∴∠BDF＝∠DCH，∵CH＝DB，∴△DFB≌△CDH（AAS），∴DH＝BF，CD＝DF，∴AB＝DF，∵AB＝2BF，∴DF＝2DH＝2，∴FH＝DH＝1；（2）解：如图1中，过点F作FJ⊥BD于J，FK⊥CH交CH的延长线于K．过点D作DT⊥DF交FG的延长线于T，连接CT，设FT交CD于N．∵∠K＝∠FJG＝∠KGJ＝90°，∴四边形FKGJ是矩形，∴∠FKJ＝90°，∵∠DFB＝90°，∴∠KFH＝∠BFJ，∵∠K＝∠FJB＝90°，FH＝FB，∴△FKH≌△FJB（AAS），∴FK＝FJ，∵FK⊥GK，FJ⊥GJ，∴FG平分∠KGJ，∴∠FGH＝∠FGJ＝45°，∵∠DGT＝∠FGJ＝45°，∠GDT＝90°，∴DG＝DT，∵∠FDC＝∠GDT＝90°，∴∠FDG＝∠CDT，∵DF＝DC，∴△FDG≌△CDT（SAS），∴FG＝CT，∠DFN＝∠TCN，∵∠DNF＝∠CNF，∴∠FDN＝∠CTN＝90°，∵∠TGC＝∠FGK＝45°，∴TG＝TC，CG＝CT＝FG，∴BD＝CH＝GH+CG＝GH+FG，∴DB＝FG+HG．9．解：（1）∵四边形ABD是正方形，∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，∵AN＝4，∴DN＝AD﹣AN＝2，∴△CDN的面积＝CD×DN＝×6×2＝6，故答案为：6；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠D＝∠BCE＝90°，∵BE⊥MN，点M和点C重合，∴MD＝BC＝6，∠DMN+∠BCP＝90°，∠CBE+∠BCP＝90°，∴∠DMN＝∠CBE，在△DMN和△CBE中，，∴△DMN≌△CBE（AAS），∴MN＝BE，DN＝CE，∵AN＝4，∴CE＝DN＝AD﹣AN＝6﹣4＝2，由勾股定理得：MN＝＝＝2，∴BE＝2，∵MN⊥BE，∴△BME的面积＝BE×PM＝BC×CE，∴PM＝＝＝；（3）线段AN、MB、EC之间的数量关系为：AN+EC＝MB，理由如下：过点N作NF⊥BC于N，如图2所示：则四边形ANFB为矩形，∴AN＝BF，NF＝AB＝BC，∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠PMB＝90°，∠MNF+∠NMF＝90°，∴∠EBC＝∠MNF，在△EBC和△MNF中，，∴△EBC≌△MNF（ASA），∴FM＝EC，∴MB＝BF+FM＝AN+EC，即AN+EC＝MB．10．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，由旋转的性质知：AM＝AN，∵∠BAD＝∠MAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（SAS）．解：（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，且AB＝6，∴，∠ADB＝45°，∴，由△ABM≌△AND得：，∠ADN＝∠ABM＝45°，∴∠MDN＝∠ADB+∠AND＝45°+45°＝90°，在Rt△MDN中，．（3）正确；．理由如下：如图：当AM⊥BD，易得△ABM和△ADN是全等的等腰直角三角形，∴∠NDA＝∠ABM＝45°，AN＝AM，∵正方形ABCD中，∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠NDM ＝90°，∵∠NAM ＝∠AMD ＝∠∠NDM ＝90°，∴四边形AMDN 为矩形，又∵AN ＝AM ，∴矩形AMDN 为正方形，∴△NMD ≌△DAN （SAS ），∴△NMD ≌△ABM （全等传递性），此时AM ＝＝＝3．当△ABM 与△MND 全等时x ＝3．11．解：（Ⅰ）∵矩形OABC ，∴∠OAB ＝90°．∵∠OAO 1＝45°，∴∠O 1AE ＝45°，∵∠AO 1E ＝90°，O 1A ＝OA ＝2， ∴， ∴E ；（Ⅱ）四边形OAC 1B 是平行四边形，在Rt△AOB中，，∴∠BOA＝60°，同理，∠O1AC1＝60°．∵OA＝O1A，∴△OAO1是等边三角形，∴∠OAO1＝60°，∴AC1与x轴的夹角＝180﹣∠O1AO﹣∠C1AO1＝180﹣60﹣60＝60°，∴BO∥AC1，又BO＝AC1，∴四边形OAC1B为平行四边形；（Ⅲ）点C1的运动路径是以A为圆心，AC1为半径的圆，当点C1在AB延长线上时，BC1为最小值，过点B1为作B1G⊥x轴A于点G，在Rt△B1AG中，∠B1AG＝180﹣90﹣30＝60°，∴，，当BC1取得最小值时点B1的坐标为；当点C1在A延A长线上时，BC1为最大值，过点B1为作B1H⊥x轴A于点H，在Rt△B1AH中，∠B1AH＝180﹣90﹣30＝60°，∴，，当BC1取得最大值时点B1的坐标为（，﹣3），综上所述当BC1取得最小值和最大值时点B1的坐标分别为，．12．解：（1）∵AB＝2﹣（﹣3）＝5＝AD＝CD，则OD＝＝4，故点C的坐标为（5，4）；＝CD×OD＝5×4＝10，（2）S△DBC∵l∥BC，∴△DEF∽△DCB，则S：S△DBC＝（DE：CD）2＝（5﹣t）2：52，∴S＝10×＝t2﹣4t+10；（3）设直线l与x轴交于点K，则BK＝CE＝t，∵l∥AD，故∠GKB＝∠ADO，则tan∠GKB＝tan∠ADO＝，则sin∠GKB＝，则sin∠GBK＝，则KG＝BK sin∠GBK＝t，则GF＝5﹣（5﹣t）﹣t＝t，则EF＝DE＝5﹣t，设点B到AD的距离为h，则S△ABD＝×AB×OD＝AD×h，则h＝OD＝4，∴S1+S2＝GF×h＝t××4＝t＝S，而S＝10×＝t2﹣4t+10；故点E（2.5，4）；由点A、D的坐标得，直线AD表达式为y＝x+4，故设直线l的表达式为y＝x+t，将点E的坐标代入上式得：4＝×+t，解得t＝，故直线l的表达式为y＝x+①，令y＝x+＝0，解得x＝﹣，故点K的坐标为（﹣，0），由点P的坐标知，点P在直线y＝﹣x+4②上，联立①②并解得，两个函数的交点坐标为（，），则0＜x P＜，则0＜1﹣a＜，解得﹣＜a＜1．13．解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示．∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为矩形，∴AO＝BC＝3，∵△APB为等腰直角三角形，∴AP＝BP，∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠OAP＝90°﹣∠PAB＝45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA＝OP＝3，∴t＝3÷2＝1.5（秒），故t的值为1.5；（2）当t＝2时，M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，①如图3，若△ABP≌△MBP，则AP＝PM，过点M作MD⊥OP于点D，∵∠AOP＝∠PDM，∠APO＝∠DPM，∴△AOP≌△MDP（AAS），∴OA＝DM＝3，OP＝PD＝4，∴M（8，﹣3）．②如图4，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（3，7），③如图5，若△ABP≌△MPB，同理可求得M（7，﹣1）．综合以上可得点M的坐标为（3，7），（8，﹣3），（11，﹣1）．14．解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，∴菱形、正方形都是垂美四边形．故答案为：③④．（2）证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AOE＝90°，∴∠ABG+∠AOE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形；②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝，AB＝3，∴BC＝＝＝2，CG＝AC＝，BE＝AB＝3，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝＝24，∴GE＝2．15．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝150°，∴∠ABE＝AEB＝（180°﹣∠BAE）＝×（180°﹣∠BAE）＝15°，∵AP平分∠DAE，∴∠PAE＝∠DAE＝30°，∴∠APB＝∠PAE+∠AEP＝30°+15°＝45°；（2）连接PD，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，DE＝AD，∵∠DAP＝∠EAP，AP＝AP，∴△DAP≌△EAP（SAS），∴PD＝PE，∴∠PED＝∠PDE，∵∠AEP＝15°，∴∠PED＝45°，∴∠DPE＝90°，∵PE＝2，∴DE＝PE＝2，∴AB＝AD＝DE＝2；（3）PC+PA＝PB．如图2，过点B作BH⊥BE交PA延长线于点H，∴∠HBE＝90°，∵∠APB＝45°，∴∠BHP＝180°﹣∠HBE﹣∠APB＝45°，∴∠BHP＝∠APB，∴BH＝BP，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠HBE＝∠ABC，∴∠HBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，即∠HBA＝∠EBC，在△PBC与△HBA中，，∴△PBC≌△HBA（SAS），∴∠BPC＝∠BHP＝45°，BP＝BH，CP＝AH，∴∠HBE＝90°，∴PH2＝BH2+BP2＝2BP2，即PH＝BP，∴PC+PA＝AH+AP＝PH＝BP．。

2021年中考九年级数学一轮专题复习：圆压轴题综合练习(三)()

2021年中考九年级数学一轮专题复习：圆压轴题综合练习（三）1、如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC. 求证：（1）∠PBC =∠CBD; （2）BC2=AB·BD2、如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．3、如图，⊙O中，点C为的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若点C到弦AB的距离为2，求弦AB的长．4、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD ⊥AM，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．5、如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB 的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若CD的长．6、如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．7、如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．8、已知：如图，在△ABC 中，AC =BC ,以 BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D作DE ⊥AC 于点E ,交BC 的延长线于点F 。

（1）求证：AD =BD ；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若⊙O 的半径为3，sin ∠F =53，求DE 的长。

2020年九年级数学中考三轮复习：《三角形综合训练》(解析版)

中考三轮复习：《三角形综合训练》1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a＝，（）2＝5．（1）求点D的坐标．（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且△QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．解：（1）∵a＝，（）2＝5，∴a＝﹣5，b＝5，∵A（a，0），B（b，0），∴A（﹣5，0），B（5，0），∴OA＝OB＝5．如图1，连接OC，设OD＝x，∵C（2，7），∴S△AOC＝×5×7＝17.5，∵S△AOC ＝S△AOD+S△COD，∴5x•＝17.5，∴x＝5，∴点D的坐标为（0，5）；（2）如图2，∵A（﹣5，0），B（5，0），C（2，7），∴S△ABC＝×（5+5）×7＝35，∵点P在y轴上，∴设点P的坐标为（0，y），∵S△ACP ＝S△ADP+S△CDP，D（0，5），∴5×|5﹣y|×+2×|5﹣y|×＝35，解得：y＝﹣5或15，∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，15）；（3）7m+3n是定值．∵点Q在x轴的上方，∴分两种情况考虑，如图3，当点Q在直线BC的左侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC ＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴＝20，∴7m+3n＝﹣5．如图4，当点Q在直线BC的右侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC ＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴＝20，∴7m+3n＝75，综上所述，7m+3n的值为﹣5或75．2．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足（2a+b+5）2+＝0，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系．解：（1）∵（2a+b+5）2≥0，≥0，且（2a+b+5）2+＝0，∴，解得：，∴A（﹣4，0），B（0，3）．（2）设C（0，c），E（0，y），∵将线段AB平移得到CD，A（﹣4，0），B（0，3）．∴由平移的性质得D（4，3+c），过D作DP⊥x轴于P，∴AO＝4＝OP，DP＝3+c，OE＝y，OC＝﹣c，∵S△ADP ＝S△AOE+S梯形OEDP，∴，∴，解得y＝．∴BE﹣OE＝（BO﹣OE）﹣OE＝BO﹣2OE＝3﹣2×＝﹣c＝OC，∴＝1．（3）∠G与∠H之间的数量关系为：∠G＝2∠H﹣180°．如图，设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ，∵HD平分∠BAC，HF平分∠DFG，∴设∠BAH＝∠CAH＝α，∠DFH＝∠GFH＝β，∵AB平移得到CD，∴AB∥CD，BD∥AC，∴∠BAH＝∠AQC＝∠FQH＝α，∠BAC+∠ACD＝180°＝∠BDC+∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC＝∠FDG＝2α，∵MN∥FQ，∴∠MHQ＝∠FQH＝α，∠NHF＝∠DFH＝β，∴∠QHF＝180°﹣∠MHQ﹣∠NHF＝180°﹣（α+β），∵KJ∥DF，∴∠DGK＝∠FDG＝2α，∠DFG＝∠FGJ＝2β，∴∠DGF＝180°﹣∠DGK﹣∠FGJ＝180°﹣2（α+β），∴∠DGF＝2∠QHF﹣180°．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （m ，n +1），B （m +2，n ）．（1）当m ＝1，n ＝2时．如图1，连接AB 、AO 、BO ．直接写出△ABO 的面积为．（2）如图2，若点A 在第二象限、点B 在第一象限，连接AB 、AO 、BO ，AB 交y 轴于H ，△ABO 的面积为2．求点H 的坐标．（3）若点A 、B 在第一象限，在y 轴正半轴上存在点C ，使得∠CAB ＝90°，且CA ＝AB ，求m 的值，及OC 的长（用含n 的式子表示）．解：（1）∵A （1，3），B （3，2），∴S △ABC ＝3×3﹣×1×3﹣×2×1﹣×2×3＝．故答案为．（2）如图2中，∵S △ABO ＝S △AOH +S △OBH ＝•OH •（m +2﹣m ）＝2，∴OH ＝2（3）如图3中，作AD ⊥y 轴于D ，BE ⊥DA 交D 的延长线于E ．∵∠ADC ＝∠E ＝∠CAB ＝90°，∴∠DAC +∠EAB ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∴∠DAC ＝∠ABE ，∵AC ＝AB ，∴△DAC≌△EBA（AAS），∴AD＝BE＝m，CD＝AE＝2，∴OC+CD＝n+1，∴OC＝n﹣1（n＞1），∴OC+CD＝n+m＝n+1，∴m＝1．4．在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BC上，连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，若AB＝5，BC＝8，CD＝2，求△ABD的面积；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，过B作BE⊥AC分别交AC于点E，交AD 于点F，截取AC中点G，延长BG到点H，连接AH，使∠AHB＝∠ACB﹣∠ABH，若∠ADB＝45°，求证：AH＝DF．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝4，∴在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，∴S＝•BD•AH＝×6×3＝9．△ABD（2）如图2中，作FM⊥BD于M，作AN⊥BC于N．∵AB＝AC，AN⊥BC，∴BN＝CN，∠BAN＝∠CAN，∠ABC＝∠ACB，∵BE⊥AC，∴∠ANC＝∠ANB＝∠BEC＝90°，∴∠CN+∠ACB＝90°，∠FBM+∠ACB＝90°，∴∠FBM＝∠CAN＝∠BAN，∵∠H＝∠ACB﹣∠ABH，∴∠H＝∠ABC﹣∠ABH＝∠HBC，∵AG＝GC，∠AGH＝∠CGB，∴△AGH≌△CGB（AAS），∴AH＝BC，∵∠AND＝90°，∠D＝45°，∴∠NAD＝∠D＝45°，∵∠BFA＝∠D+∠FBD，∠BAF＝∠DAN+∠BAN，∴∠BFA＝∠BAF，∴BA＝BF，∵∠ANB＝∠BMF＝90°，∴△ANB≌△BMF（AAS），∴BN＝FM，∵DF＝FM，∴DF ＝BN ， ∴DF ＝2BN ＝BAH ，即AH ＝DF ．5．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，AD 为底边BC 上的高，动点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动到A 点停止，设运动时间为t （s ），连接BP ．（0≤t ≤8）（1）求AD 的长；（2）设△APB 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得S △APB ：S △ABC ＝1：3，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使得点P 在线段AB 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝DC ＝6cm ，在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，AB ＝10cm ，BD ＝6cm ，∴AD ＝＝＝8（cm ）．（2）y ＝S △APB ＝S △ABD ﹣S △PBD ＝×6×8﹣×6×t ＝﹣3t +24．∴y ＝24﹣3t （0≤t ≤8）．（3）∵S△APB ：S△ABC＝1：3，∴（24﹣3t）：×12×8＝1：3，解得t＝．∴满足条件的t的值为．（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，在Rt△PBD中，∵PB2＝PD2+BD2，∴t2＝（8﹣t）2+62，解得t＝．∴满足条件的t的值为．6．如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC下点D，DE⊥AB于点E （1）求证：AE＝3EB；（2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE+PF 的最小值及此时BP的长；（3）在（2）的条件下，连接EF，若AD＝，当PE+PF取最小值时，△PEF的面积是2．（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠BAC＝60°∵AD⊥BC，∴BD＝DC＝4，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝2，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6，∴AE＝3BE．（2）解：如图2中，延长DF到H，使得DH＝DF，连接EF，连接EH交BC于点P，此时PE+PF的值最小．∵∠AED＝90°，AF＝FD，∴EF＝AF＝DF，∵DF＝DH，∴DE＝DF＝DH，∴∠FEH＝90°，∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝4，∠B＝60°，∴AD＝BD•tan60°＝4，∵∠BAD＝∠BAC＝30°，FE＝FA，∴∠FEA＝∠FAE＝30°，∴∠EFH＝60°，∠H＝30°，∵FH＝AD＝4，∴EH＝FH•cos30°＝6，∴PE+PF的最小值＝PE+PH＝EH＝6，∵PD＝DH•sin30°＝2，∴BP＝BD﹣PD＝2．（3）解：如图2中，∵BE＝BP＝2，∠B＝60°，∴△BPE是等边三角形，∴PE＝2，∵∠PEF＝90°，EF＝AF＝DF＝2，∴S＝•PE•EF＝×2×2＝2．△PEF7．在△ABC中，∠ABC＝60°（1）AB＝AC，PA＝5，PB＝3①如图1，若点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数．②如图2，若点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．（2）如图3，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是2．解：（1）在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，①如图1，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBP′，连接PP′，∴BP＝BP′，∠PBP′＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形；∴PP′＝PB，∠BPP′＝60°，由旋转的性质得，P′C＝PA＝5，∵PP′2+PC2＝32+42＝25＝P′C2，∴△CPP′是直角三角形，∠CPP′＝90°，∴∠BPC＝∠BPP′+∠CPP′＝60°+90°＝150°；②如图2中，以AP为边向上作等边△PAE，作EF⊥BP交BP的延长线于F．∵∠EAP＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠PAC，∵AE＝AP，AB＝AC，∴△EAB≌△PAC（SAS），∴BE＝PC，∵∠APE＝∠APB＝60°，∴∠EPF＝180°﹣60°﹣60°＝120°，∵PE＝PA＝5，∴PF＝PE•cos60°＝，EF＝PE•sin60°＝，∴BF＝BP+PF＝3+＝，∴BE＝＝＝7，∴PC＝PE＝7．（2）如图3中，将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，∵∠ABP＝∠EBF，∴∠EBF+∠BC＝60°，∴∠EBC＝120°，∵PB＝BF，∠PBF＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC 的长，在Rt△EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，∴BH＝BE•cos60°＝3，EH＝EB•sin60°＝3，∴CH＝BH+CB＝3+8＝11，∴EC＝＝＝2．8．全等三角形是研究图形性质的主要工具，以此为基础，我们又探索出一些轴对称图形的性质与判定．通过寻找或构造轴对称图形，能运用其性质及判定为解题服务．（1）如图①，BE⊥AC，CD⊥AB，BD＝CE，BE与CD相交于点F．①求证：BE＝CD；②连接AF，求证：AF平分∠BAC．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE．请你只用无刻度的直尺画出∠BAC的平分线．（不写画法，保留画图痕迹）．（3）如图③，在△ABC中，仍然有条件“AB＝AC，点D，E分别在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB＝180°，则CD与BE是否仍相等？为什么？（1）①证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，DF＝EF，∴BF+EF＝CF+DF，即BE＝CD；②证明：由①得：DF＝EF，∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴AF平分∠BAC．（2）解：连接BE、CD交于点O，作射线AO交BC于F，如图②所示：AF即为所求；理由如下：∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB，在△BDC和△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴∠BCD＝∠CBE，∴∠ABO＝∠ACO，OB＝OC，同理：△ABO≌△ACO（SAS），∴∠OAB＝∠OAC，∴AF是∠BAC的平分线；（3）解：CD＝BE，理由如下：分别作CF⊥AB于F，BG⊥AC于G，如图③所示：∴∠CFB＝90°，∠BGC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△FBC和△GCB中，，∴△FBC≌△GCB（AAS）．∴CF＝BG，∵∠ADC+∠AEB＝180°，又∵∠BEG+∠AEB＝180°，∴∠ADC＝∠BEG，在△CFD和△BGE中，，∴△CFD≌△BGE（AAS），∴CD＝BE．9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒lcm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，求出此时t的值；（3）当P在运动过程中，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．（直接写出结果）（4）若M为AC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M、N使得BM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴由勾股定理得AC＝＝8，连接BP，如图所示：当PA＝PB时，PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即（8﹣t）2+62＝t2，解得：t＝，∴当t＝秒时，PA＝PB；（2）如图1，过P作PE⊥AB，又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴CP＝EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，，∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），∴AC＝AE＝8，∴BE＝2，设CP＝EP＝x，则BP＝6﹣x，在Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴CP＝，∴CA+CP＝8+＝，∴t＝；当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝10+8+6＝24；综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为秒或24秒；（3）①如图2，点P在CA上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形，则t＝8﹣6＝2；②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20；③如图4，若点P在AB上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形；作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD＝＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此时t＝21.2；④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19；综上所述，t为2s或20s或21.2s或19s时，△BCP为等腰三角形．（4）存在M、N使得BM+MN的值最小，理由如下：作点B关于AC的对称点B'，过B'作AB的垂线交AC于M，交AB于N，连接BM，如图6所示：则B'C＝BC＝6，B'M＝BM，∠B'NB＝90°，BM+MN＝B'M+MN＝B'N，∴BB'＝2BC＝12，∵∠ACB＝∠B'NB＝90°，∠B'BN＝∠ABC，∴△B'BN∽△ABC，∴＝＝＝，∴B'N＝AC＝×8＝9.6，综上所述，存在M、N使得BM+MN的值最小，BM+MN的最小值为9.6．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．11．在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于A（0，a），交x轴于B（b，0），且a，b满足（a﹣b）2+|3a+5b﹣88|＝0．（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，已知点D（2，5），求点D关于直线AB对称的点C的坐标．（3）如图2，若P是∠OBA的角平分线上的一点，∠APO＝67.5°，求的值．解：（1）由题意得解得∴A（0，11），B（11，0）（2）如图一，延长FD交AB于点E，连结CE因为OB＝OA＝11所以三角形OAB是等腰直角三角形易得△DEC，△AFE都是等腰直角三角形所以FE＝AF＝OA﹣OF＝11﹣5＝6∴CE＝DE＝EF﹣FD＝6﹣2＝4所以C的横坐标为6．，纵坐标为5+4＝9故C的坐标为（6，9）（3）如上图，作PM垂直AB于点M，作PM垂直OB于点L，在L的左侧取一点N，使得NL＝AM ∵PB是∠ABO的平分线所以PM＝PL∴△AMP≌△NLP∴∠NLP＝∠APM∴∠APN＝∠MPL∵∠ABO＝45°∴∠MPL＝135°∴∠APN＝135°又∠APO＝67.5°∴∠NPO＝∠APO＝67.5°∵PN＝PA，PO＝PO∴△OPN≌OPA∴∠PON＝∠POA＝45°，NO＝AO＝11设NL＝a，则MA＝a，∴BL＝BM＝a+11∵BL＝22﹣a∴22﹣a＝a+11∴a＝11﹣∴LO＝11﹣（11﹣）＝∴PO＝LO＝11所以＝312．以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，AB ＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC＝90°时，求AM与DE的数量和位置关系．（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变（1）中的结论是否依然成立，并说明理由．解：（1）AM＝DE，AM⊥DE，理由如下：延长MA交DE于F，如图1所示：∵∠BAC＝90°，M是BC中点，∴AM＝BC，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∠BAC＝90°，∴∠EAD＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴DE＝BC，∠ABC＝∠AED，∴AM＝DE，∵∠BAE＝90°，∴∠BAM+∠EAF＝90°，∴∠AED+∠EAF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AM⊥DE；（2）（1）中的结论成立，AM＝DE，AM⊥DE，理由如下：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN、CN，延长MA交DE于F，如图2所示：∵M是BC中点，∴BM＝CM，∴四边形ABNC是平行四边形，∴BN＝AC＝AD，BN∥AC，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠NBA＝∠DAE，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴AN＝DE＝2AM，∠BAN＝∠AED，∴AM＝DE，∵∠BAE＝90°，∴∠BAN+∠EAF＝90°，∴∠AED+∠EAF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AM⊥DE；（3）（1）中的结论成立，理由如下：由（1）的结论，当∠BAC＝90°，可得AM＝DE，AM⊥DE，当∠BAC≠90°时，延长CA到F，使AF＝AC，连接BF，延长AM交DE于G，如图3所示：则AF＝AX＝AD，∵M是BC中点，∴AM是△BCF的中位线，∴AM＝BF，AM∥BF，∴∠MAC＝∠F，∵∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠BAF＝∠EAD，在△ABF和△AED中，，∴△ABF≌△AED（SAS），∴BF＝DE，∠F＝∠ADE，∴AM＝DE，∴∠BAC＝∠ADE，∵∠MAC+∠DAM＝∠DAC＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AM⊥DE；综上所述，（1）中的结论成立．13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4）（1）如图1，若点B的坐标为（3，0），△ABC是等腰直角三角形，BA＝BC，∠ABC＝90°，求C点坐标．（2）如图2，若点E是AB的中点，求证：AB＝2OE；（3）如图3，△ABC是等腰直角三角形，BA＝BC，∠ABC＝90°，△ACD是等边三角形，连接OD，若∠AOD＝30°，求B点坐标．（1）解：过点C作CD⊥x轴于D，如图1所示：∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∵CD⊥x轴，∴∠BDC＝90°＝∠AOB，在△BDC和△AOB中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴OA＝DB，OB＝DC，∵点A（0，4），点B（3，0），∴DB＝4，DC＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C点坐标为（7，3）；（2）证明：延长OE至F点，使得EO＝EF，连接FB，如图2所示：∵点E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AOE和△BFE中，，∴△AOE≌△BFE（SAS），∴OA＝FB，∠AOE＝∠F，∴OA∥BF，∴∠AOB+∠FBO＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠FBO＝90°，∴∠AOB＝∠FBO，在△AOB和△FBO中，，∴△AOB≌△FBO（SAS），∴AB＝OF，∵EA＝EB，EO＝EF，∴OE＝AE＝EB，∴AB＝2OE；（3）解：过点D作DM⊥y轴于M，CN⊥OD于N，CH⊥y轴于H，CG⊥x轴于G，如图3所示：则四边形OHCG是矩形，∴OH＝CG，∵∠AOD＝30°，∴∠ODM＝90°﹣30°＝60°，OD＝2DM，∵△ADC为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∠ADC＝60°，∵∠ADM+∠ADO＝60°，∠CDN+∠ADO＝60°，∴∠ADM＝∠CDN，在△DMA和△DNC中，，∴△DMA≌△DNC（AAS），∴DM＝DN，∴OD＝2MD＝2DN，∴DN＝ON，∴CD＝CO＝AC，∴HA＝HO＝CG＝2，由（1）得CG＝OB∴OB＝2，∴B点坐标为（2，0）．14．已知，△ABC，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，连接DE．（1）如图1，若BD，CE分别为△ABC的外角平分线，求证：DE＝（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD，CE分别为△ABC的内角平分线，（1）中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明；（3）如图3，若BD，CE分别为△ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB＝8，BC＝10，AC＝7，请直接写出DE的长为 4.5 ．（1）证明：如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+AC+BC）；（2）解：结论不成立．DE＝（AB+AC﹣BC）．理由：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，∴DE＝（AB+AC﹣BC）；（3）解：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝KH又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB．∴DE＝（BC+AC﹣AB），∵AB＝8，BC＝10，AC＝7，∴DE＝（10+7﹣8）＝4.5，故答案为4.5．15．在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b满足：a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，且AB＝AC．（1）判断△ABC的形状并证明；（2）如图1，点D为BA延长线上一点，AD＝AB，E为x轴负半轴上一点，F为DE上一点，连接CF交AD于点G，∠EFC＝120°，求的值；（3）如图2，R（3a，0）点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰△APQ，PA＝PQ，且∠APQ＝∠RAB，连接AQ．当点P运动时，△ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．解：（1）结论：△ABC是等边三角形．理由：∵a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，∴（a+b）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+b）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a＝﹣2，b＝2，∴A（﹣2，0），C（2，0），∴OA＝OC，∵BO⊥AC，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．（2）如图1中，作BH∥DE交x轴于H．∵∠DEA＝∠BHA，∠DAE＝∠BAH，AD＝AB，∴△DAE≌△BAH（AAS），∴AE＝AH，∵∠D+∠DGF＝∠EFH＝120°，∠D+∠DEA＝∠DAC＝120°，∴∠DEA＝∠DGF＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BHC，∵∠GAH＝∠BCH＝120°，AH＝BC，∴△AHG≌△CBH（AAS），∴AG＝CH，∴＝＝＝2．＝4．（3）结论：△ABQ的面积不变，S△ABQ理由：如图2中，在x轴的正半轴上取一点M，使得PR＝PM，连接PM，QR．由题意R（﹣6，0），A（﹣2，0），B（0，﹣2），∴OR＝6，OB＝2，∴tan∠PQM＝，tan∠OAB＝∴∠PRM＝∠PMR＝30°，∠OAB＝60°，∴∠RPM＝120°，∵∠RPM＝∠APQ＝120°，∴∠APM＝∠RPQ，∵PR＝PM，PQ＝PQ，∴△PRQ≌△PMA（SAS），∴∠PRQ＝∠AMP＝30°，∴∠ARQ＝60°＝∠OAB，∴AB∥QR，∴S△ABQ ＝S△ABR＝×4×2＝4．16．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．（1）填空：m＝ 4 ，n＝ 4 ；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D 的坐标；（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：①△ACE为等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，∴m＝n＝4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，∵点A（0，4）和点B（4，0），∴OA＝OB＝4，＝×4×4＝8，∴S△ABO∵△AOC的面积为2，∴AO×CH＝×4×CH＝2，S＝6＝×OB×CG＝×4×CG，△BOC∴CH＝1，CG＝3，∴点C（1，3），∵DC＝OC，∴点D（2，6）（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BE平分∠ABO，∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，∴△OBE≌△CBE（SAS）∴∠EOB＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，∴△ACO≌△OMB（ASA）∴BM＝OC，∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF，∠AOC＝∠COM，∴△EFO≌△MFO（ASA）∴EF＝FM，∴BF﹣EF＝BF﹣FM＝BM＝OC．17．【问题发现】（1）如图①，数学课外资料《全品》P4页有一道题条件为：“D是等边三角形ABC的边BC上的一动点，以AD为边在AB上方作等边△ADE，若AB＝10，AD＝8……”，小明认为AD有最小值，条件AD＝8是错误的，他的想法得到了王老师的肯定，那么AD的最小值是5．王老师又让小明研究了以下两个问题：【问题探究】（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在AB上，且AD ＝1，以CD为直角边向右作等腰直角△DCE，连接BE，求△BDE的周长；【问题解决】（3）如图③，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，试求△BDE面积的最大值．【问题发现】解：（1）当AD⊥BC时，AD的值最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC＝AB＝10，BD＝BC＝5，∴AD＝＝＝5，故答案为：5；【问题探究】解：（2）作CM⊥AB于M，如图②所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠ABC＝45°，AB＝AC＝4，CM＝AB＝AM＝BM＝2，∴DM＝AM﹣AD＝1，∴BD＝BM+DM＝3，CD＝＝＝，∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，DE＝CD＝，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE＝1，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝3+1+＝4+；【问题解决】解：（3）作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图③所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y+﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE＝（y+﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y）×（y+﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．18．等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，F为AB上的一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．（1）如图1，延长BH到点E，连接AE，当∠EAB＝90°，AE＝3，求BF的长；（2）如图2，若F为AB的中点，连接FH，求证：BH+FH＝CF；（3）如图3，在AB上取点K，使AK＝BF，连接HK并延长与CF的延长线交于点P，若G 为CP的中点，PG＝2．求AH+BH的值（直接写出答案）解：（1）∵BH⊥CF，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CFB＝∠CFB+∠BCF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE＝3．（2）证明：如图2中，过点A作AD⊥AB交BH的延长线于点D．∴∠BAD＝∠CBF＝90°，∴∠D+∠ABD＝∠CFB+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCF，在△ABD与△BCF中，，∴Rt△BAD≌Rt△CBF（AAS），∴AD＝BF，BD＝CF．∵F为AB的中点，∴AF＝BF，∴AD＝AF，在△ADH与△AFH中，，∴△AHD≌△AHF（SAS），∴DH＝FH．∵BD＝BH+DH＝BH+FH，∴BH+FH＝CF；（3）如图3中，过A作AM⊥AB，交BH延长线于M，由（2）证得△MAB≌△FBC，∴AM＝BF＝AK，∠AMB＝∠CFB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∵∠MAB＝90°，∴∠MAH＝45°，∴∠MAH＝∠CAB，在△MAH与△KAH中，，∴△MAH≌△KAH（SAS），∴∠AMB＝∠AKH，∴∠AKH＝∠CFB，∵∠AKH＝∠PKF，∠CFB＝∠PFK，∴∠PKF＝∠PFK，∵FC⊥BH，G是PC中点，∴CH＝PH，∴∠AHK＝2∠P，在△PFK中，∠PKF＝＝90°﹣∠P，则90°﹣∠P+45°+2∠P＝180°，解得∠P＝30°，在CH上取一点R，使RH＝BH，连接BR，∴∠RHB＝＝60°，∴△RHB是等边三角形，∴BH＝BR＝RH，∵∠CAB＝∠ACB＝45°，∠AHB＝180°﹣60°＝120°，∠BRC＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABH＝∠RBC，在△ABH与△CBR中，，∴△ABH≌△CBR（ASA），∴AH＝CR，∵cos30°＝，∴CH＝＝CG＝PG，∴RH+RC＝BH+AH＝PG＝，∴BH+AH＝．19．如图（1），AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2m/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的AC⊥AB，BD⊥AB为改“∠CAB＝∠DBA＝a°”，其它条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ACP≌△BPQ，∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠A＝∠B＝90°∵AP＝BQ＝2∴BP＝6∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ，∴∠C＝∠QPB，∵∠APC+∠C＝90°，∴∠APC+∠QPB＝90°，∴PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝8﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，2t＝8﹣2t解得：x＝3，t＝2．20．已知△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD 的度数为120°或75°或30°或15°．（2）如图2，点D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于G，GH⊥AC 于H，当点D在BC边上移动时，请判断线段AH，AC，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点D在BC延长线上，连接AD，E为AD上一点，AE＝AC，连接BE交AC于F，若AF＝2ED＝3，则线段CF的长为．解：（1）如图1中，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．当AP＝AD时，可得∠AP1D＝15°，∠AP3D＝75°．当PA＝PD时，可得∠AP2D＝120°．当DA＝DP时，可得∠AP4D＝30°，综上所述，满足条件的∠APD的值为120°或75°或30°或15°．故答案为120°或75°或30°或15°．（2）结论：AC+CD＝2AH．理由：如图2中，连接AG，作GN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BQ＝BD，∴△BDQ是等边三角形，AQ＝DC，∴∠BQD＝60°，∴∠AQD＝120°，∵CG是∠ACB的外角平分线，∴∠ACG＝60°，∠DCG＝120°，∵∠ADG＝60°，∴∠ADB+∠GDC＝120°，∵∠QAD+∠ADB＝120°，∴∠QAD＝∠CDG，∴△AQD≌△DCG（ASA），∴AD＝DG，∵∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AG＝DG，∵GH⊥C，GN⊥CM，CG平分∠ACM，∴GH＝GN，∠GHC＝∠GNC＝90°，∵CG＝CG，∴Rt△CGH≌Rt△CGN（HL），Rt△AGH≌Rt△DGN，∴CH＝CN，AH＝DN，∴AC+CD＝AH+CH+DN﹣CN＝2AH．（3）如图3中，在BC上截取BG＝CF，则CG＝AF＝3，过点D作QH∥AB，分别交AC，BE 的延长线于Q，H．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵QH∥AB，∴∠ABE＝∠H，∵∠AEB＝∠DEH，∴∠H＝∠DEH，∴DE＝DH＝1.5，设AB＝BC＝AC＝m，∵△ABG≌△BCF（SAS），∴∠BAG＝∠CBF，设∠BAG＝∠CBF＝x，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝60°﹣x，∴∠BAE＝180°﹣2（60°﹣x）＝60°+2x，∴∠DAG＝∠DGA＝60°+x，∴DA＝DG＝m+1.5，∴CD＝m﹣1.5＝CQ＝DQ，∴QH＝QD+DH＝m，∴QH＝AB，∵∠AFB＝∠QFH，∠BAF＝∠Q，∴△ABF≌△QHF（AAS），∴AF＝FQ，∴3＝m﹣2+m﹣1，5，∴m＝，∴CF＝．故答案为．。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题【含答案】

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为，若抛物线(−1，3)，(3，3)与线段MN 只有一个公共点，则的取值范围是（）y =x 2−2mx +m 2−m +2m A ．或B ．或−1⩽m <07−17<m⩽7+17−1⩽m <0m >7−17C ．或D ．m <07−172<m⩽7+172−1⩽m⩽7+1722．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P 从点A 出发，以 cm/s 的速度沿AB 方向运2动到点B ．动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC CB 方向运动到点B ．设△APQ 的→面积为y （cm 2）.运动时间为x （s ），则下列图象能反映y 与x 之间关系的是（）A．B．C．D．4．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（）14(x−4)2A．5B．C．4D．17﹣4π2255．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A．B．C．D．4522521692096．如图，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D’，点A对应点C，连接DD’，CD’，DC，当△CDD’是直角三角形时，a的值为（）A ．，B ．，C ．，D ．， 12321332133312337．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是()A ．AE=6cmB ．sin∠EBC =45C ．当0＜t≤10时，D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形y =25t 28．如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ． cm 2332392327239．如图，在平面直角坐标系中放置，点 .现将沿Rt △ABC ，∠ABC =90∘A(3，4)△ABC x 轴的正方向无滑动翻转，依次得到连续翻转 14 次，则经过 △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3… 三顶点的抛物线解析式为（）△A 14B 14C 14A ．B ．y =−35(x−51)(x−55)y =−512(x−51)(x−55)C ．D ．y =−35(x−55)(x−60)y =−512(x−55)(x−60)10．用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（）A ．y ＝－x 2＋50x B ．y ＝x 2－50x C ．y ＝－x 2＋25xD ．y ＝－2x 2＋2511．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能为（）A ．B ．C ．D ．12．已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x 轴交点间的距离，则a 的值为( )4141A．3B．C．3或D．不能确定二、填空题ABCD BC=8,AB=6E CD C,D CE13．如图，矩形中，，点为边上一动点（不与重合）、以CEFG CE:CG=3:4BF,ОOE OE为边向外作矩形，且，连接点是线段BF的中点.连接，则的最小值为 .A(3,3)B(0,2)A y=x2+bx−9AB14．如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线AB A45°C C，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为 15．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为．16．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积24m 10m 为　　.m 218．在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为60°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，在抛物线y=x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是　三、综合题19．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃.已知AB=20m ，BC=30m ，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米，花圃的面x 积为（）.S m 2（1）求关于的函数关系式；S x （2）如果通道所占面积是184 ，求出此时通道的宽的值；m 2x （3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的，则通道宽为13多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y= （x ＞0，m ＞1）图象上一点，m 3−m 2x 点A 的横坐标为m ，点B （0，﹣m ）是y 轴负半轴上的一点，连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，过点A 作AE 平行于x 轴，过点D 作y 轴平行线交AE 于点E ．（1）当m=3时，求点A 的坐标；（2）DE=　　，设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围；（3）连接BD ，过点A 作BD 的平行线，与（2）中的函数图象交于点F ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？21．如图，矩形ABCD 的四个顶点在正△EFG 的边上，已知正△EFG 的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S ，边长AB 为x 。

2022人教版初中九年级化学下册练习题--专项综合全练(三)物质的检验、鉴别与除杂

初中化学·人教版·九年级下册——专项综合全练(三)专项综合全练(三)物质的检验、鉴别与除杂一、选择题1.(2021四川成都模拟)以下几组溶液,只用盐酸不能鉴别的是()A.NaHCO3和NaClB.NaOH和Ca(OH)2C.AgNO3和Ba(NO3)2D.(NH4)2CO3和(NH4)2SO4答案B A项,盐酸能与碳酸氢钠反应生成二氧化碳气体,与氯化钠不反应,可以鉴别;B项,氢氧化钠、氢氧化钙都能与盐酸反应,均无明显现象,不能鉴别;C项,盐酸能与硝酸银反应生成氯化银沉淀,与硝酸钡不反应,可以鉴别;D项,盐酸能与碳酸铵反应生成二氧化碳气体,与硫酸铵不反应,可以鉴别。

2.(2021浙江杭州滨江期末)鉴别下列各组物质,所用试剂不正确的是()待鉴别的物质鉴别试剂A稀盐酸和氯化钠溶液无色酚酞试液B稀盐酸和稀硫酸氢氧化钡溶液C稀硫酸和氢氧化钠溶液石蕊试液D氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液碳酸钠溶液答案A A项,酚酞试液在稀盐酸和氯化钠溶液中都不变色,不能鉴别;B项,稀硫酸与氢氧化钡反应产生白色沉淀,稀盐酸与氢氧化钡反应没有明显现象,可以鉴别;C项,稀硫酸能使石蕊试液变红,氢氧化钠溶液能使石蕊试液变蓝,可以鉴别;D项,氢氧化钠溶液与碳酸钠溶液混合没有明显现象,氢氧化钙溶液与碳酸钠溶液反应产生白色沉淀,可以鉴别。

3.(2020湖南长沙中考)总结归纳是化学学习的一种重要方法。

请你判断下列除杂方法正确的是()选项物质杂质(少量)除杂方法A CO CO2通过灼热的氧化铜B MnO2KCl溶解、过滤、蒸发结晶C CaCl2溶液HCl加入过量碳酸钙,充分反应后过滤D NaCl溶液MgCl2加入适量的Ca(OH)2溶液,充分反应后过滤答案C A项,CO能与灼热的氧化铜反应生成铜和二氧化碳,会把原物质除去,不符合除杂原则;B项,KCl易溶于水,MnO2难溶于水,应采取加水溶解、过滤、洗涤、干燥的方法分离出MnO2;C项,HCl能与过量的碳酸钙反应生成氯化钙、水和二氧化碳,经过滤除去过量的碳酸钙,能除去杂质且没有引入新的杂质,符合除杂原则;D项,MgCl2与适量的Ca(OH)2溶液反应生成氢氧化镁沉淀和氯化钙,能除去杂质但引入了新的杂质氯化钙,不符合除杂原则。

2021年九年级中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合专项练习题

2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合专项练习题1、如图，O是ABC∆的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，=.且AE AB（1）求ACB∠的度数；DE=，求O的半径.（2）若22、如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD BC=，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：CBA DAB∆≅∆；（2）若BE BF=，求证：AC平分DAB∠．3、如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB 上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）5、如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO=，tan∠A=，求AE的长．6、如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB 分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．7、如图，已知A 、B 是⊙O 上两点，△OAB 外角的平分线交⊙O 于另一点C ，CD ⊥AB 交AB 的延长线于D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）E 为的中点，F 为⊙O 上一点，EF 交AB 于G ，若tan ∠AFE=，BE=BG ，EG=3，求⊙O 的半径．8、如图，已知AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE AB ⊥于D ，DE 交BC 于F ，且EF EC =．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若4BD =，8BC =，圆的半径5OB =，求切线EC 的长．9、如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作EC ⊥OB ，交⊙O 于点C ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：AC 平分∠FAB ；（2）求证：BC 2=CE•CP ；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．10、已知⊙O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD ⊥AC ，垂足为点F ．（1）如图1，如果AC=BD ，求弦AC 的长；（2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求∠ABD 的余切值；（3）联结BC 、CD 、DA ，如果BC 是⊙O 的内接正n 边形的一边，CD 是⊙O 的内接正（n +4）边形的一边，求△ACD 的面积．11、如图，AB 为O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 交BD 的延长线于点F ，切点为A ，且CAD ABD ∠=∠．（1）求证：AD CD =；（2）若4AB =，5BF =，求sin BDC ∠的值．12、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AĈ=CD ̂=DB ̂，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．13、如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ,且∠AOD =∠BAD .（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）若BC =6，tan ∠ABC =43 ,求AD 的长.14、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．（1）求证：PD 是⊙O 的切线；（2）求证：△ABD ∽△DCP ；（3）当AB=5cm ，AC=12cm 时，求线段PC 的长．C B15、如图，AB 为⊙O 的直径，且AB=4，点C 在半圆上，OC ⊥AB ，垂足为点O ，P 为半圆上任意一点，过P 点作PE ⊥OC 于点E ，设△OPE 的内心为M ，连接OM 、PM ．（1）求∠OMP 的度数；（2）当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长．16、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半圆于点D ，交AC 于点E ，连接DA ，DC ．已知半圆O 的半径为3，BC=2．（1）求AD 的长．（2）点P 是线段AC 上一动点，连接DP ，作∠DPF=∠DAC ，PF 交线段CD 于点F ．当△DPF 为等腰三角形时，求AP 的长．17、如图所示：O 与ABC 的边BC 相切于点C ，与AC 、AB 分别交于点D 、E ，//DE OB ．DC 是O 的直径．连接OE ，过C 作//CG OE 交O 于G ，连接DG 、EC ，DG 与EC 交于点F ．（1）求证：直线AB与O相切；（2）求证：AE ED AC EF⋅=⋅；（3）若13,tan2EF ACE=∠=时，过A作//AN CE交O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．18、如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I 于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ PH⋅的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A、B、C、D．⊙过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；⊙若直线n的函数表达式为4y=+，求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F ⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．参考答案2021年中考数学第三轮压轴题冲刺专题复习：圆的综合专项练习题1、如图，O 是ABC ∆的外接圆，其切线AE 与直径BD 的延长线相交于点E ，且AE AB =.（1）求ACB ∠的度数；（2）若2DE =，求O 的半径.解：（1）如图，连接OA .∵AE 是O 的切线，∴90OAE ∠=︒.又∵OB OA =，∴12∠=∠.∵AB AE =，∴1E ∠=∠，∴212AOE E ∠=∠=∠.又∵在Rt AOE ∆中，90AOE E ∠+∠=︒，∴390E ∠=︒.∴30E ∠=︒.∴120AOB ∠=︒.∴1602ACB AOB ∠=∠=︒. （2）设O 的半径为r ，在Rt OAE ∆中，∵30E ∠=︒，∴2OE OA =.∴2OD DE OA +=.∴22r r +=，∴2r =.∴O 的半径是2.2、如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上不同于A ，B 的两点，AD BC =，AC 与BD 相交于点F ．BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ．（1）求证：CBA DAB ∆≅∆；（2）若BE BF =，求证：AC 平分DAB ∠．【解答】（1）证明：AB 是半圆O 的直径，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，在Rt CBA ∆与Rt DAB ∆中，BC AD BA AB =⎧⎨=⎩， Rt CBA Rt DAB(HL)∴∆≅∆；（2）解：BE BF =，由（1）知BC EF ⊥，E BFE ∴∠=∠， BE 是半圆O 所在圆的切线，90ABE ∴∠=︒，90∴∠+∠=︒，E BAE由（1）知90∠=︒，D∴∠+∠=︒，DAF AFD90∠=∠，AFD BFE∴∠=∠，AFD E∠=︒-∠，BAF E∴∠=︒-∠，9090DAF AFD∴∠=∠，DAF BAF∴平分DABAC∠．3、如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB 上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【解答】解：（1）连接OD．、∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵=，∴OE⊥AD，∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE=﹣×22=﹣．5、如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO=，tan∠A=，求AE的长．【解答】解：（1）连接OD，如图．∵ED∥OB，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2．在△DOB与△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠ODB=∠OCB，∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB=90°，∴∠ODB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2==，∵⊙O的半径为1，OC=1，∴BC=，tan∠A==，∴AC=4BC=4，∴AE=AC﹣CE=4﹣2．6、如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB 分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．【解答】解：（1）连接OE，BE，∵DE=EF，∴∴∠OBE=∠DBE∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C=90°（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=∴AB=5，设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===∴r=∴AF=5﹣2×=7、如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD ⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：连接OE 交AB 于H ，如图，∵E 为的中点，∴OE ⊥AB ，∵∠ABE=∠AFE ，∴tan ∠ABE=tan ∠AFE=，∴在Rt △BEH 中，tan ∠HBE==设EH=3x ，BH=4x ，∴BE=5x ，∵BG=BE=5x ，∴GH=x ，在Rt △EHG 中，x 2+（3x ）2=（3）2，解得x=3， ∴EH=9，BH=12，设⊙O 的半径为r ，则OH=r ﹣9，在Rt △OHB 中，（r ﹣9）2+122=r 2，解得r=，即⊙O 的半径为．8、如图，已知AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，D 是AB 上的一点，DE AB ⊥于D ，DE 交BC 于F ，且EF EC =．（1）求证：EC 是O 的切线；（2）若4BD =，8BC =，圆的半径5OB =，求切线EC 的长．【解答】解：（1）连接OC，OC OB=，OBC OCB∴∠=∠，DE AB⊥，90OBC DFB∴∠+∠=︒，EF EC=，ECF EFC DFB∴∠=∠=∠，90OCB ECF∴∠+∠=︒，OC CE∴⊥，EC∴是O的切线；（2）AB是O的直径，90ACB∴∠=︒，5OB=，10AB∴=，6 AC∴==，cosBD BC ABCBF AB∠==，∴8410BF=，5BF∴=，3CF BC BF∴=-=，90ABC A∠+∠=︒，90ABC BFD∠+∠=︒，BFD A∴∠=∠，A BFD ECF EFC∴∠=∠=∠=∠，OA OC=，OCA A BFD ECF EFC∴∠=∠=∠=∠=∠，OAC ECF∴∆∆∽，∴EC CFOA AC=，53562 OA CFECAC⨯∴===．9、如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC ⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE•CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．10、已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．【解答】解：（1）∵OD⊥AC，∴=，∠AFO=90°，又∵AC=BD，∴=，即+=+，∴=，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1×=，则AC=2AF=；（2）如图1，连接BC，∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC，∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA），∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t，解得：t=，则DF=BC=、AC===，∴EF=FC=AC=，∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D===；（3）如图2，∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，则+2×=180，解得：n=4，∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，∴BC=AC=，∵∠AFO=90°，∴OF=AOcos ∠AOF=，则DF=OD ﹣OF=1﹣， ∴S △ACD =AC•DF=××（1﹣）=．11、如图，AB 为O 的直径，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 交BD 的延长线于点F ，切点为A ，且CAD ABD ∠=∠．（1）求证：AD CD =；（2）若4AB =，5BF =，求sin BDC ∠的值．【解答】解：（1）证明：CAD ABD ∠=∠，又ABD ACD ∠=∠，ACD CAD ∴∠=∠，AD CD ∴=；（2）AF 是O 的切线，90FAB ∴∠=︒， AB 是O 的直径，90ACB ADB ADF ∴∠=∠=∠=︒，90ABD BAD BAD FAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABD FAD ∴∠=∠，ABD CAD ∠=∠，FAD EAD ∴∠=∠，AD AD =，()ADF ADE ASA ∴∆≅∆，AF AE ∴=，DF DE =，4AB =，5BF =，3AF ∴=，3AE AF ∴==，1122ABF S AB AF BF AD ∆==， ∴431255AB AF AD BF ⨯===，95DE ∴==， 725BE BF DE ∴=-=， AED BEC ∠=∠，90ADE BCE ∠=∠=︒，BEC AED ∴∆∆∽，∴BE BC AE AD =， ∴2825BE AD BC AE ==， ∴7sin 25BC BAC AB ∠==， BDC BAC ∠=∠，∴7sin 25BDC ∠=．12、如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AĈ=CD ̂=DB ̂，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【解答】（1）证明：连接OD，̂=CD̂=DB̂，∵AC×180°＝60°，∴∠BOD=13̂=DB̂，∵CD∠BOD＝30°，∴∠EAD＝∠DAB=12∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，AB＝3，∴BD=12∴AD=√62−32=3√3．13、如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠ABC=43,求AD的长.【解析】（1）作OE⊙AB于点E∵⊙O切BC于点C∴OC⊙BC ⊙ACB=90°∵ AD⊙BD ∴⊙D=90°∴⊙ABD＋⊙BAD =90°⊙CBD＋⊙BOC=90°∵⊙BOC=⊙AOD ⊙AOD=⊙BAD∴⊙BOC=⊙BAD∴⊙ABD=⊙CBD在⊙OBC和⊙OBE中{∠OEA=∠OCB ∠ABD=∠CBD OB=OB∴△OBC⊙⊙OBE∴OE=OC ∴OE是⊙O的半径. ∵OE⊙AB ∴AB为⊙O的切线.（2）∵tan⊙ABC=ACBC =43，BC=6B⊙AC=8 ⊙AB=√62+82=10∵BE=BC=6 ⊙AE=4∵⊙AOE=⊙ABC ⊙tan⊙AOE=AEEO =43⊙EO=3∴AO=5 OC=3 ⊙BO=√62+32=3√5在△AOD和△BOC中{∠AOD=∠BOC∠ADOE=∠BCO∴△AOD⊙△BOC ∴AOBO =ADBC即3√5=AD6∴AD=2√514、如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段PC的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP，（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC==13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BC=CD=BC=，∵△ABD∽△DCP，∴，∴，∴CP=16.9cm．15、如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．【解答】解：（1）∵△OPE的内心为M，∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，而∠MOP=∠MOC，∴△OPM≌△OCM，∴∠CMO=∠PMO=135°，所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；点M在扇形BOC内时，过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，在优弧CO取点D，连DA，DO，∵∠CMO=135°，∴∠CDO=180°﹣135°=45°，∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，∴O′O=OC=×4=2，∴弧OMC的长==π（cm），同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，所以内心M所经过的路径长为2×π=2πcm．16、如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE==2；在Rt△ADE中，AD==2；（2）当DP=DF 时，如图2，点P 与A 重合，F 与C 重合，则AP=0；当DP=PF 时，如图4，∴∠CDP=∠PFD ，∵DE 是AC 的垂直平分线，∠DPF=∠DAC ，∴∠DPF=∠C ，∵∠PDF=∠CDP ，∴△PDF ∽△CDP ，∴∠DFP=∠DPC ，∴∠CDP=∠CPD ，∴CP=CD ，∴AP=AC ﹣CP=AC ﹣CD=AC ﹣AD=8﹣2；当PF=DF 时，如图3，∴∠FDP=∠FPD ，∵∠DPF=∠DAC=∠C ，∴△DAC ∽△PDC ，∴， ∴， ∴AP=5，即：当△DPF 是等腰三角形时，AP 的长为0或5或8﹣2．17、如图所示：O 与ABC 的边BC 相切于点C ，与AC 、AB 分别交于点D 、E ，//DE OB ．DC 是O 的直径．连接OE ，过C 作//CG OE 交O 于G ，连接DG 、EC，DG与EC交于点F．（1）求证：直线AB与O相切；（2）求证：AE ED AC EF⋅=⋅；（3）若13,tan2EF ACE=∠=时，过A作//AN CE交O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．【详解】(1)⊙DE//OB，⊙⊙BOC=⊙EDC，⊙CG//OE，⊙⊙DEO=⊙BOE，又⊙⊙DEO=⊙EDC，⊙⊙DEO=⊙BOE，由题意得：EO=CO，BO=BO，⊙⊙BOE⊙⊙BOC(SAS),⊙⊙BEO=⊙BCO=90°,⊙AB是⊙O的切线．(2)如图所示DG与OE交点作为H点,⊙EO//GC,⊙⊙EHD=⊙DGC=90°,又由(1)所知⊙AEO=90°,⊙AE//DF,⊙⊙AEC⊙⊙DFC, ⊙AE DF AC DC=, 由圆周角定理可知⊙EDG=⊙ECG,⊙EOD=2⊙ECD,⊙DO//GC,⊙⊙EOD=⊙GCD=⊙GCE+⊙ECD,⊙⊙ECD=⊙GCE=⊙EDF,又⊙⊙FED=⊙DEC,⊙⊙FED⊙⊙DEC, ⊙DF EF DC ED=, ⊙AE EF AC ED=,即AE ED AC EF ⋅=⋅． (3)⊙13,tan 2EF ACE =∠=,与⊙ACE 相等角的tan 值都相同． ⊙ED=6,则EC=12,根据勾股定理可得CD ===⊙EO=DO=CO=由(2)可得12AE EF AC ED ==, 在Rt⊙AEO 中,可得222AO AE EO =+,即()222AC OC AE EO -=+,⊙((2222AE AE -=+,解得AE=则AC=连接ON,延长BO 交MN 于点I,根据垂径定理可知OI⊙MN,⊙AN//CE,⊙⊙CAN=⊙ACE ．在Rt⊙AIO 中,可得222AO AI IO =+,即(()2222OI OI =+, 解得OI=5,则AI=10,在Rt⊙OIN 中, 222ON IN IO =+,即(2225IN =+,解得IN=⊙AN=AI+IN=10+18、如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交⊙I于P 、Q 两点（Q 在P 、H 之间）．我们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点”，把PQ PH ⋅的值称为⊙I 关于直线a 的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．⊙过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_________；⊙若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F ⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是l 的函数表达式．【详解】解：（1）⊙⊙O 关于直线m 的“远点”是点D ，⊙O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE=2×5=10；⊙如下图：过圆心O 作OH⊙直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，⊙直线n 的函数表达式为4y =+，当x=0时，y=4；当y=0时，x=3-，⊙直线n 经过点E （0，4），点F （3-，0），在Rt⊙EOF 中，⊙tan⊙FEO=FO EO =34=3， ⊙⊙FEO=30°，⊙⊙EFO=60°，Rt⊙HOF 中，⊙sin⊙HFO=HO FO， ⊙HO= sin⊙HFO·FO=2，⊙PH=HO+OP=3，⊙PQ·PH=2×3=6，⊙⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）如下图，⊙点F 是圆心，点()1,0N -是“远点”，⊙连接NF 并延长，则直线NF⊙直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A （m ，n ），设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①② ⊙-⊙得：n -4=mk -k ，⊙又⊙直线NF⊙直线l ，⊙设直线NF 的解析式为y=1k-x+b 2（k≠0）, 将点()1,0N -与A （m ，n ）代入y=1k -x+b 2中， 2210=b k m n b k ⎧+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩④⑤ ⊙-⊙得：-n=1k +m k，⊙ 联立方程⊙与方程⊙，得：41n mk k m n k k -=-⎧⎪⎨-=+⎪⎩解得：222411421k k m k k n k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ⊙点A 的坐标为（22411k k k --+，2421k k -+）；又⊙⊙F 关于直线l 的“特征数”是⊙F⊙NB·NA=即解得：，⊙[m -(-1)]2+(n -0)2)2，即(m+1)2+n 2=10，把222411421k k m k kn k ⎧--=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩代入，解得k=-3或k=13；当k=-3时，m=2，n=1， ⊙点A 的坐标为（2，1），把点A （2，1）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=-3x+7；当k=13时，m=-2，n=3， ⊙点A 的坐标为（-2，3），把点A （-2，3）与点()1,4M 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=13x+113． ⊙直线l 的解析式为y=-3x+7或y=13x+113．。

中考地理考点综合练习考点03地球的运动A卷(含解析)

地球的运动（A卷）1.地球自转和公转运动的特征相同的是（）A.周期B.方向C.绕转中心D.产生的地理现象2.当北京时问是9月10日10点时，日本东京的时间是（）A.9月10日11点B.9月10日9点C.9月9日11点D.9月9日9点3.小明用手电筒模拟“太阳”照射地球仪，然后按图中箭头方向缓缓拨动地球仪，演示地球的自转，完成下面小题。

（1）小明做该实验可以较好地演示（）A.昼夜更替B.五带形成C.季节变化D.气候形成（2）从图中可以看出，此时我国正处在（）A.春季B.夏季C.秋季D.冬季4.我们生活中的很多现象往往蕴含了地理知识。

下列现象中，与地球自转有关的是（）A.我们黑龙江省明显的分为春夏秋冬四个季节B.我们学校冬季和夏季采用不同的作息时间，夏季起床时间比冬天早C.学校操场上旗杆影子，正午时在不同的季节长短不同D.我们有时候观看巴西足球比赛直播经常在晚上5.下面是小军绘制的地球自转方向图，只有一个是正确的（）A. B. C. D.6.根据“地球上的五带”，完成下面小题。

（1）终年炎热，有阳光直射现象的是（）A.①B.②C.③D.④（2）④和⑤两带的分界线是（）A.北回归线B.北极圈C.南回归线D.南极圈（3）我国大部分位于五带中的（）A.北温带B.北寒带C.南温带D.热带7.2020年11月24日凌晨，长征五号遥五运载火箭在中国海南文昌航天发射场点火升空，开启我国首次地外天体采样返回之旅。

结合地球公转示意图，完成下面小题。

（1）长征五号遥五运载火箭发射当天地球运行在（）A.AB之间B.BC之间C.CD之间D.DA之间（2）当地球运行到A处时，北半球的节气是（）A.春分B.夏至C.秋分D.冬至8.希腊克里特岛位于地中海，下图是“克里特岛简图”。

读图，完成下面小题。

（1）伊拉克利翁经纬度大致是（）A.（20°E，40°N）B.（20°W，40°S）C.（20°W，30°N）D.（20°E，30°S）（2）图中城市最先看到日出的是（）A.①B.②C.③D.④（3）克里特岛地理信息正确的是（）A.南半球B.西半球C.北温带D.高纬度9.看极光需要三个最基本的条件“近极地、天气晴、夜够黑”。

2021年九级中考数学压轴题 –几何综合问题(圆的专题)(三)

2021年九级中考数学压轴题满分训练–几何综合问题（圆的专题）（三）1．如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B．过点B作BD∥AC交⊙O 于点D，连接CD、OC，且OC交DB于点E．若∠CDB＝30°，DB＝4cm．（1）求⊙O的半径长；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）2．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，⊙O的切线AP与CB的延长线交于点P．（1）求证：∠PAB＝∠ACB；（2）若AB＝12，cos∠ADB＝，求PB的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC ＝13，过点O作OD⊥AC于点D．（1）求证：∠B＝∠COD；（2）求AB的长．5．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作⊙O的切线交BA 的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝3，求AE的长．6．如图，AD与⊙O相切于点D，点A在直径CB的延长线上．（1）求证：∠DCB＝∠ADB；（2）若∠DCB＝30°，AC＝3，求AD的长．7．如图1，在⊙O中，弦AB⊥弦CD，垂足为点E，连接AD、BC、AO，AD＝AB．（1）求证：∠CAO＝2∠CDB；（2）如图2，过点O作OH⊥AD，垂足为点H，求证：2OH+CE＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DB、AC交于点F，过点D作DM⊥AC，垂足为M交AB于N，若BC＝12，AF＝3BF，求MN的长．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；（2）求证：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD 的长；若不存在，试说明理由．10．直线l与⊙O相离，OB⊥l于点B，且OB＝5，OB与⊙O交于点P，A为圆上一点，AP的延长线交直线l于点C，且AB＝BC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段AP的长．11．如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝2，sin∠ACB＝，求AB的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O分别与BC、AC相交于点D、E，连接AD．过点D作DF⊥AC，垂足为点F，（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，①当AE＝FE时，求的长（结果保留π）；②当时，求线段AF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别在AB和⊙O上，且AC＝AD，DC的延长线交⊙O于点E，过E作AC的平行线交⊙O于点F，连接AF，DF．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当sin∠EDF＝，BC＝4时，求⊙O的半径．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥AC，分别交AC、AB的延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，CE＝2，求CB的长．参考答案1．解：（1）∵AC与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°．∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝＝2（cm）∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，＝．∴OB＝5，即⊙O的半径长为5cm．（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°．在△CDE与△OBE中，．∴△CDE≌△OBE（AAS）．∴S阴影＝S扇OBC＝π•42＝（cm2），答：阴影部分的面积为cm2．2．（1）证明：连接OC，如图1，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵OA⊥OE，∴∠A+∠AEO＝90°，∴∠DCE+∠A＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCE+∠ACO＝90°，∴OC⊥DC，∴CD是⊙O的切线；（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，∵AC＝2，BC＝，∴AB＝＝＝5，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AOE，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，∴CE＝AC﹣AE＝2﹣＝，∵CD＝DE，∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，∴∠DCE＝∠B，又∵∠DFC＝∠ACB，∴△DFC∽△ACB，∴，∴，∴DC＝．3．解：（1）证明：如图，连接OA，∵AP为⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠OAB+∠PAB＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA+∠PAB＝90°，∵BC为⊙O的直径，∴∠ACB+∠OBA＝90°，∴∠PAB＝∠ACB；（2）由（1）知∵∠PAB＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠PAB＝∠ACB＝∠ADB，∴，∵AB＝12，∴AC＝16，∴，∴OB＝10，过B作BF⊥AP于F，∵∠ADB＝∠FAB，，∴，∴，∴在Rt△ABF中，，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴△PBF∽△POA，∴，∴，∴．答：PB的长为．4．解：（1）作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAE＝∠OCD，∴∠OCD+∠E＝90°，∵OD⊥AC，∴∠OCD+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠E，∵∠B＝∠E，∴∠B＝∠COD；（2）∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠ACE＝∠AHB，∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴＝，∴AB＝，∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，∴AB＝＝．5．（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：∵OC⊥GC，GC∥AE，∴OC⊥AE，∵CD⊥AB，∴∠CHF＝∠FDA＝90°，∵∠CFH＝∠AFD，∴∠OCD＝∠EAB．∴．在Rt△CDO中，OD＝3，∴OC＝5，∴AB＝10，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴BE＝6，∴AE＝8．6．（1）证明：如图，连接OD，∵AD与⊙O相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODB+∠ADB＝90°，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ODB+∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ADB，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠C＝∠ADB；（2）解：∵∠DCB＝∠ADB，∠DAC＝∠CAD，∴△ADB∽△ACD，∴＝，∵CB是直径，∴∠CDB＝90°，∠DCB＝30°，∴tan∠DCB＝＝，∴＝，∵AC＝3，∴AD＝3．7．解：（1）如图，连接AO、DO，∵AB＝AD，∴，∴∠AOB＝∠AOD，∴AO＝OB，AO＝OD，∴△AOB≌△AOD，∴∠BAO＝∠DAO，延长AO交BD于点H，∵AB＝AD，∴AH⊥BD，∴∠AHB＝∠AHD＝90°，∵，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠CAB＝∠BAO＝∠OAD，∴∠CAO＝2∠CDB．（2）过点O作OT⊥CD，则CT＝DT，∵CD⊥AB，CD⊥OT，OQ⊥AB，∴∠OQB＝∠OTE＝∠AED＝90°，∴四边形OTEQ为矩形，∴OQ＝ET，∵TD＝CT＝ET+CE，∵AB＝AD，∴OQ＝OH，∴2OH+CE＝DE．（3）如图，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∠FCB+∠ACB＝180°，∴∠ADB＝∠FCB，∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FDA，∵CB＝12，∴AB＝AD＝36，∵∠BCD＝∠BAD，∠AEB＝∠AED，∴△CEB∽△AED，∴，设BE＝x，则AE＝36﹣x，ED＝3x，∵AB⊥CD，∴∠AED＝90°，则在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，（36﹣x）2+（3x）2＝362，解得：，∴BD＝∵CD⊥AB，∴∠BED＝90°，∠NMA＝90°，∠ANM＝∠END，∴∠NED＝∠MAN，∴∠BDE＝∠EDN，∵ED＝ED，∴△BED≌△NED，∴，∵∠CDB＝∠CAB，∠NMA＝∠BED，∴△AMN∽△DEB，∴，∴，8．（1）证明：连接BD，DO，∵BC是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°，又∵E为AB的中点，∴DE＝EB＝EA，∴∠EDB＝∠EBD．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵∠ABC＝90°，∴∠EDB+∠OBD＝90°．即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵，∴．9．解：（1）∵∠CFE＝90°，∠CFE＝∠CDE，∴∠CDE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝CD＝6；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠DEF，∴∠BAC+∠DEF＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，在Rt△BDG中，设CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3；②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，∴∠ADG＝∠BDG，∵FC∥AB，∠DFC＝90°，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵GD＝GD，∴△BGD≌△AGD（ASA），∴BD＝AD，在Rt△ACD中，设CD＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，∴x＝，即CD＝；综合以上可得CD的长为3或．10．证明：（1）连接OA，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP＝∠BPC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB，∵OB⊥l，∴∠ACB+∠BPC＝90°，∴∠BAC+∠OAP＝90°，即OA⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接PD，则∠APD＝90°，∵OB＝5，OP＝3，∴PB＝2，∴BC＝AB＝＝4，在Rt△PBC中，PC＝＝2，∵∠DAP＝∠CPB，∠APD＝∠PBC＝90°，∴△DAP∽△CPB，∴，即，解得，AP＝．11．（1）证明：连接OB，如图1，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OA⊥l，∴∠ACB+∠APC＝90°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠OBP+∠ACB＝90°，∴∠OBP+∠ABC＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作直径BD，连接PD，则∠BPD＝90°，如图2，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠D，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＝∠ABC＝∠ACB，∵sin∠ACB＝，∴sin∠D＝＝，∵BP＝2，∴BD＝10，∴OB＝OP＝5，∵sin∠ACB＝，∴＝，∴＝，设PA＝x，则AB＝AC＝2x，在Rt△AOB中，AB＝2x，OB＝5，OA＝5+x，∴（2x）2+52＝（5+x）2，解得x＝，∴AB＝2x＝．12．（1）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC．又AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC的中点，∴BD＝5．连接OD；由中位线定理，知DO∥AC，又DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴DF是⊙O的切线；（2）连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝4π﹣8．13．证明：（1）连接OD，如图1，∵OB＝OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD＝∠ODB①，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB②，由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线；（2）①∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EAF，设∠B＝∠C＝α，∴∠EAF＝∠EFA＝2α，∵∠E＝∠B＝α，∴α+2α+2α＝180°，∴α＝36°，∴∠B＝36°，∴∠AOD＝72°，∴的长＝＝；②连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵⊙O的半径为4，∴AB＝AC＝8，∵，∴＝，∴AD＝2，∵AD⊥BC，DH⊥AC，∴△ADH∽△ACD，∴＝，∴＝，∴AH＝3，∴CH＝5，∵∠B＝∠C，∠E＝∠B，∴∠E＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥AC，∴EH＝CH＝5，∴AE＝2，∵OD∥AC，∴∠EAF＝∠FOD，∠E＝∠FDO，∴△AEF∽△ODF，∴＝，∴＝，∴AF＝．14．（1）证明：∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵AC∥EF，∴∠ACD＝∠E，∴∠ADC＝∠E，∴＝，∴＝，∴AD＝EF，∵AD＝AC，∴AC＝EF，∵AC∥EF，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：连接BD，∵四边形ACEF是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠EDF＝∠AFD，∵所对圆周角∠B和∠AFD，∴∠AFD＝∠B，∴∠B＝∠EDF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵sin∠EDF＝，∴sin B＝sin∠EDF＝＝，∴设AD＝2x，AB＝3x，∵AC＝AD，BC＝4，∴3x﹣2x＝4，解得：x＝4，即AB＝3x＝3×4＝12，∵AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径是6．15．（1）证明：连接OD交BC于H，如图所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠HCE＝90°，又∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，由（1）得：OD⊥EF，∴∠HDE＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴HD＝CE＝2，∴∠CHD＝90°，∴∠OHB＝90°，∴OD⊥BC，∴OH平分BC，∴OH是△ABC的中位线，∴OH＝AC＝3，∴OB＝OD＝OH+HD＝5，∴AB＝2OB＝10，∴CB＝＝＝8．。