复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
根据复合函数知识点总结归纳
根据复合函数知识点总结归纳
一、复合函数的定义
复合函数是由两个函数组合而成的新函数。
给定两个函数 f(x)
和 g(x)，则它们的复合函数定义为 h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质
1. 复合函数满足结合律：f(g(h(x))) = (f ∘ g) ∘ h(x) = f(g(h(x)))。
2. 复合函数满足交换律：f(g(x)) = g(f(x))。
3. 复合函数的定义域：复合函数 h(x) 的定义域取决于 g(x) 的
定义域。
三、求解复合函数
1. 已知构成复合函数的两个函数 f(x) 和 g(x)，将 g(x) 的输出作
为 f(x) 的输入，可以通过以下方法求解复合函数 h(x) = f(g(x))：- 将 g(x) 的表达式代入 f(x) 中，并化简得到 h(x)。
- 先求解 g(x)，再将其结果代入 f(x) 中，得到 h(x)。
2. 注意函数的定义域和值域，确保复合函数的求解是合理的。
四、复合函数的应用
1. 复合函数常用于描述复杂的运算关系，尤其是在数学和物理领域中。
2. 复合函数可以用于优化问题，通过将多个函数组合，实现更高效的计算和求解过程。
五、总结
复合函数是由两个函数组合而成的新函数，满足结合律和交换律。
求解复合函数需要注意定义域和值域，复合函数在数学和物理问题中有广泛的应用。
以上是关于复合函数的知识点总结归纳。
参考资料：。
复合函数求解知识点总结
复合函数求解知识点总结1. 复合函数的定义在数学中，如果有两个函数f和g，那么它们的复合函数用f(g(x))表示，即先对x进行g函数操作，然后再对结果进行f函数操作。
复合函数的定义可以用以下公式表示：(f ∘ g)(x) = f(g(x))2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域对于复合函数(f ∘ g)(x)，它的定义域是g(x)的定义域中同时满足f(g(x))有意义的所有x。
（2）复合函数的值域如果f和g的值域分别为A和B，那么复合函数(f ∘ g)(x)的值域是A中所有能表示成f(g(x))的值。
3. 复合函数的求解方法（1）直接代入法直接代入法是最简单的复合函数求解方法，即将内函数的值代入外函数中进行计算。
例如，对于函数f(x)和g(x)，要求解f(g(x))时，先计算g(x)得到结果y，再将结果y代入函数f(x)中进行计算。
（2）分步求解法分步求解法是一种比较常用的复合函数求解方法。
假设要求解f(g(x))，可以将其分成两步：首先求出g(x)的值，然后再求出f(g(x))的值。
这样一步一步的分解问题，使得整个过程更加清晰和容易掌握。
（3）图像法有时候可以通过画出函数的图像来求解复合函数。
首先画出内函数g(x)的图像，然后再根据g(x)的图像来画出f(g(x))的图像，这样可以直观地看到函数的变化和求解的结果。
4. 复合函数的常见问题（1）求复合函数的导数在实际问题中，常常会遇到需要求复合函数的导数的情况。
可以利用链式法则来求解复合函数的导数。
链式法则的公式可以表示为：(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)（2）求复合函数的极限当需要求解复合函数的极限时，可以利用极限的性质和复合函数的性质来进行求解。
通常可以通过分母有理化或分子分母同时除以某个函数的方法来进行极限的求解。
（3）应用问题在实际问题中，常常会遇到需要利用复合函数进行求解的情况。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以Dx g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
函数的复合知识点及例题解析
函数的复合知识点及例题解析函数的复合是数学中一种常见的操作，它将一个函数和另一个函数结合起来，形成一个新的函数。
本文将介绍函数的复合的概念和使用方法，并通过例题进行解析。
复合函数的概念复合函数指的是将一个函数作为另一个函数的输入，得到一个新的函数作为输出。
复合函数的表达形式为 f(g(x))，其中 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是函数 f 对 g(x) 的输出进行操作后的结果。
复合函数的步骤要计算复合函数 f(g(x)) 的值，可以按照以下步骤进行：1. 将函数 g 的输出 g(x) 放入函数 f，得到 f(g(x))。
2. 将 x 值代入 g(x)，计算出 g(x) 的值。
3. 使用 g(x) 的值代入 f，计算出 f(g(x)) 的值。
复合函数的例题解析考虑以下例题：已知函数 f(x) = x^2，函数 g(x) = 2x + 1，求复合函数 f(g(x))。
按照步骤进行计算：1. 将函数 g 的输出 g(x) = 2x + 1 放入函数 f，得到 f(g(x)) = (2x + 1)^2。
2. 将 x 值代入 g(x) = 2x + 1，计算出 g(x) 的值。
3. 使用 g(x) 的值代入 f，计算出 f(g(x)) 的值。
假设 x = 3，代入 g(x) 得到 g(3) = 2 * 3 + 1 = 7。
将 7 代入 f，计算出 f(g(x)) = f(7) = 7^2 = 49。
所以，复合函数 f(g(x)) 的值为 49。
总结函数的复合是一种将两个函数结合起来的操作，可以通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。
计算复合函数的值需要按照指定步骤进行，将各个部分代入相应的函数进行计算。
通过例题的解析，我们可以更好地理解和应用函数的复合概念。
以上是关于函数的复合知识点及例题解析的内容。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)[1]
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复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】 1、复合函数的定义如果y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数)的复合函数,其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y . 例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立.说明:⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,,求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈.通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，,求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
复合函数导数知识点总结
复合函数导数知识点总结一、基本概念1. 复合函数的定义复合函数由两个函数组合而成，形式为h(x) = f(g(x))，其中f和g是两个函数，g的输出是f的输入。
例如，f(x) = x^2, g(x) = 2x，则h(x) = f(g(x)) = (2x)^2 = 4x^2。
2. 复合函数的导数复合函数的导数描述了函数随着自变量变化时的变化率。
在微分学中，复合函数的导数可以求解两种方法：链式法则和隐函数法则。
二、链式法则链式法则是求解复合函数导数的重要方法，它描述了复合函数导数与原函数导数之间的关系。
1. 链式法则的定义假设函数h(x) = f(g(x))是一个复合函数，其中f和g是可导函数，那么h的导数为h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。
这个公式表明，复合函数的导数等于外函数在内函数的值上的导数与内函数的导数的乘积。
2. 链式法则的应用链式法则最经典的应用是求解三角函数和指数函数的导数。
例如，如果f(x) = cos(x^2)，g(x) = x^2，则通过链式法则可以求解f'(x) = -2x * sin(x^2)。
三、隐函数法则隐函数法则是求解复合函数导数的另一种方法，它适用于隐式表达形式的复合函数。
1. 隐函数法则的定义如果函数y = f(u)是由u = g(x)隐式定义的，则y对x的导数可以通过链式法则和隐函数法则求解：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2. 隐函数法则的应用隐函数法则在物理和工程学中有着广泛的应用，例如在描述曲线运动的方程中，就需要对隐式函数进行求导。
四、实际问题中的应用复合函数导数在实际问题中有着广泛的应用，特别是在解决动态变化的问题时，复合函数导数的应用尤为重要。
1. 物理学中的应用在物理学中，复合函数导数可以描述物体的运动和变化规律。
例如，在描述加速度、速度和位移之间的关系时，就需要用到复合函数导数。
复合函数知识总结及例题整理版
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
高一复合函数知识点总结
高一复合函数知识点总结复合函数是高中数学中的重要概念之一，它是由两个或多个函数组合而成的函数。
在高一阶段学习复合函数时，需要掌握一些基本知识点和技巧。
本文将对高一复合函数的相关知识进行总结，包括定义、性质和常见解题方法等方面。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数构成的函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换，再对结果进行f(x)的变换。
可以用以下形式表示：f(g(x))，也可以写作(f ∘g)(x)。
2. 复合函数的求解对于给定的复合函数f(g(x))，求解的方法如下：Step 1: 先确定内层函数g(x)的定义域和值域，保证f(g(x))有意义。
Step 2: 将g(x)的结果代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。
Step 3: 综合以上结果，确定f(g(x))的定义域和值域。
3. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域等于内层函数g(x)的定义域中，使得g(x) ∈ f(x)的值域。
（2）复合函数的值域：与内层函数g(x)的值域相对应，即g(x)的值域是f(g(x))的值域。
（3）复合函数的奇偶性：若f(x)是奇函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是奇函数；若f(x)是偶函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是偶函数。
（4）复合函数的单调性：若f(x)在[a, b]上单调增加（或单调减少），g(x)是单调函数，则f(g(x))在[a, b]上也单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的常见解题方法（1）求函数的复合逆：对于复合函数f(g(x))，若要求它的复合逆，可以先求g(x)的逆函数g^(-1)(x)，然后将g^(-1)(x)代入f(x)中即可。
（2）复合函数的导数：若已知内层函数g(x)可导，外层函数f(x)在g(x)的值域上可导，则可以利用链式法则求得复合函数的导数。
（3）复合函数与反函数的关系：若复合函数f(g(x))恒等于x，且g(x)为f(x)的反函数，则f(x)和g(x)互为反函数。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以Dx g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
复合函数题型及解法
复合函数题型及解法一、引言复合函数是高中数学中的重要知识点，也是考试中经常出现的题型。
本文将详细介绍复合函数的概念、性质、求导法则以及解题方法，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
二、概念1. 复合函数的定义设有两个函数f(x)和g(x)，则当g(x)的值域恰为f(x)的定义域时，可以构成一个新的函数h(x)，称为f(x)与g(x)的复合函数，记作h(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的图像复合函数h(x)=f(g(x))在平面直角坐标系上的图像可以通过以下步骤确定：（1）先画出g(x)在x轴上对应的图像；（2）将g(x)在x轴上对应的点代入f(x)中求出相应y值；（3）将得到的所有点连成一条曲线即为h(x)在平面直角坐标系上对应的图像。
三、性质1. 复合函数具有结合律，即(h◦g)◦f=h◦(g◦f)2. 若f(x)和g(x)都可导，则(f◦g)(x)'=f'(g(x))·g'(x)四、求导法则1. 链式法则设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，有：dy/dx=dy/du·du/dx=f'(u)·g'(x)2. 反函数求导法则设y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：dy/dx=1/(dx/dy)3. 对数函数求导法则设y=loga(u)，u=g(x)，则y=loga(f(x))，有：dy/dx=[loga(e)/loga(u)]·du/dx五、解题方法1. 确定复合函数的形式根据题目所给条件，确定复合函数的形式，即确定f(x)和g(x)。
2. 求出复合函数的导数根据链式法则或其他求导法则，求出复合函数的导数。
3. 利用已知条件解方程将所求未知量代入已知条件中，解出方程。
4. 检验答案是否符合实际意义将所得答案代入原方程中检验是否符合实际意义。
六、例题分析1. 已知f(x)=2x+3,g(x)=x^2-1，求f(g(2))解：将g(2)=2^2-1=3代入f(x)中得到f(g(2))=2×3+3=9。
根据复合函数和逆函数知识点总结
根据复合函数和逆函数知识点总结
1. 复合函数
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。
设有函数
f(x)和g(x)，则它们的复合函数表示为f(g(x))。
对于复合函数，以
下是一些重要的知识点总结：
- 复合函数的定义：复合函数f(g(x))表示先对x进行g函数的
运算，然后再对得到的结果进行f函数的运算。
- 复合函数的性质：复合函数一般不满足交换律，即f(g(x))和
g(f(x))通常不相等。
此外，复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))等于(f∘g)(h(x))。
- 复合函数的求导：求复合函数的导数时，可以使用链式法则。
链式法则的主要思想是将复合函数分解为多个简单函数的导数相乘。
2. 逆函数
逆函数是指给定一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)，使
得f(g(x)) = x，那么g(x)就是f(x)的逆函数。
逆函数的知识点总结如下：
- 逆函数的定义：设函数f是一对一的，对于定义域内每一个x，都存在唯一的实数y使得f(x) = y。
则函数g称为函数f的逆函数，
记作f^(-1)。
- 逆函数的性质：若f是一对一的，那么f的逆函数存在且唯一。
对于逆函数，有f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x。
- 逆函数的求导：若f是可导的，那么它的逆函数的导数可以
通过求f的导数的倒数得到。
以上是根据复合函数和逆函数的知识点进行的总结。
希望能对
您有所帮助！。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
千里之行，始于足下。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)复合函数是指由两个或多个函数相互作用形成的新函数。
在数学中，复合函数是一种常见的概念，并且在高等数学、线性代数、微积分等多个领域中都有应用。
本文将对复合函数的知识点进行总结，并通过分类讲解一些例题。
一、复合函数的定义：设有函数f和g，对于g的定义域中的每个x，存在f的定义域中的y，使得y=g(x)，则有一个复合函数h(x)=f(g(x))，它的定义域是所有能使得g(x)的值能成为f(x)定义域中的自变量的值的x。
二、复合函数的求解步骤：1. 确定复合函数的形式h(x)=f(g(x))。
2. 确定g(x)的定义域和f(x)的定义域，并找到能使得g(x)的值成为f(x)的自变量的值。
3. 将g(x)的值代入f(x)中，得到新的函数h(x)。
三、复合函数的性质：1. 复合函数的定义域是g(x)的定义域和f(x)的定义域的交集。
2. 复合函数的值域是f(x)的值域的子集。
四、复合函数的例题分类讲解：1. 简单的复合函数求导：例题1：已知f(x)=x²和g(x)=2x+1，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
解析：首先计算g'(x)=2，然后计算f'的导函数f'(x)=2x。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=2(2x+1)*2=8x+4。
2. 复合函数中含有指数函数：例题2：已知f(x)=eˣ和g(x)=ln(x)，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
解析：首先计算g'(x)=1/x，然后计算f'的导函数f'(x)=eˣ。
根据链式法则，h'(x)=f'(g(x))*g'(x)=eˣ*(1/x)=eˣ/x。
3. 复合函数中含有三角函数：例题3：已知f(x)=sin(x)和g(x)=x²，求复合函数h(x)=f(g(x))的导函数h'(x)。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
复合函数 知识点 总结
复合函数知识点总结第一部分是复合函数的定义。
复合函数是指两个函数相互作用所形成的新函数。
设有函数f(x)，g(x)，那么复合函数可以表示为(g ∘ f)(x)，其中(g ∘ f)(x) = g(f(x))。
也就是说，先将x 带入函数f(x)中，得到f(x)的输出值，然后将这个输出值带入函数g(x)中，得到最终的输出值。
这个过程可以简单地理解为先对x进行一个变化，然后再对这个结果进行另一个变化，最终得到复合函数的值。
第二部分是复合函数的性质。
复合函数的性质包括：复合函数的定义域是由f(x)的定义域和g(x)的值域所决定的；两个函数的复合函数不满足交换律，即(g ∘ f)(x)不等于(f ∘ g)(x)；复合函数的结合律，即((h ∘ g) ∘ f)(x) = h ∘ (g ∘ f)(x)；复合函数的定义域是满足f(x)的定义域并且满足g(x)的值域的范围。
复合函数的性质对于理解和应用复合函数都是非常重要的，可以帮助我们更好地处理复合函数的问题。
第三部分是复合函数的求导法则。
求导是对一个函数在某一点处的变化率的描述，而复合函数的求导法则是对两个函数组合在一起的求导方法。
根据链式法则，设有复合函数y =g(f(x))，那么y' = g'(u) * f'(x)，其中u是f(x)的值。
这个法则对于求导复合函数有非常大的帮助，使我们可以更快地求出复合函数的导数。
第四部分是复合函数的实际应用。
复合函数在数学和实际问题中都有广泛的应用。
在数学中，复合函数可以用来描述复杂的函数关系，简化函数的求导过程。
在实际问题中，复合函数可以用来描述各种复杂的关系，比如利息的复合增长、物理问题中的复杂运动规律等。
复合函数的实际应用使我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
综上所述，复合函数是数学中重要的概念，它可以用来描述各种复杂的函数关系，并在实际问题中得到广泛的应用。
复合函数的性质、求导法则和实际应用对于理解和应用复合函数都是非常重要的。
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A, u=g(x)的值域为B,若A=B,则y关于X函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数，U叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f (χ)的定义域，求f[g(χ) 1的定义域思路：设函数f (X)的定义域为D，即X ∙ D ,所以f的作用范围为D，又f对g(χ)作用，作用范围不变，所以g(x)∙ D ,解得X ∙E，E为f Ig(X)]的定义域。
例1.设函数f (u)的定义域为(O，1)，贝U函数f (Inx)的定义域为___________________ 。
解析：函数f (U)的定义域为(0，1)即u • (0，1),所以f的作用范围为(0，1)又f对InX作用，作用范围不变，所以0 ：：： In X ：：： 1解得X • (1, e),故函数f (In x)的定义域为(1, e)1例2.若函数f (X)= ----------- ,则函数f [f (x)]的定义域为 ___________________ 。
X +11解析：先求f的作用范围，由f (X) ,知X = -1X +1即f的作用范围为■ RlX= ,又f对f(χ)作用所以f (X) ∙R且f (x) - -1 ,即f If(X) 1中X应r d x≠-1X 式一1 L满足彳即｛1 ,解得x≠一1且x≠一2I f(X)H—1 —≠-1ιX +1故函数f If (X) 的定义域为CX R|x = -1且Xn -2(2)、已知f Ig(X)】的定义域，求f (x)的定义域思路：设f Ig(X) 1的定义域为D,即X ∙D ,由此得g(x) ∙E ,所以f的作用范围为E,又f对X作用，作用范围不变，所以X ∙E, E为f (X)的定义域。
例3.已知f (3 —2x)的定义域为X E[―1, 2 ],则函数f (x)的定义域为 _________________ 。
复合函数知识总结及例题
答案： [ 3, 9 ]
3、 已知函数 y f ( x 2 ) 的定义域为 ( 1, 0 ) ，求 f (| 2 x 1 |) 的定义域。
1 ( , 0)
答案： 2
3 (1, )
2
2x
x
2
4、设 f x lg
，则 f
f
的定义域为（
）
2x
2
x
A.
4 ,0 0, 4
B. 4, 1 1,4
C. 2, 1 1, 2
3, x2
3 ,∴ x12 x22 18 ,
∴ p ( x12 x22 ) 2 p 1 16 p 1 ,
∴ 16 p 1 0 .
①
当 x1 , x 2 ( 3, 0 ) 时 , F ( x ) 增函数 ,∴ F ( x1 ) F ( x 2 ) 0 .
∵ x12
x
2 2
0 ,∴
p ( x12
x
2 2
D. 4, 2 2 ,4
2x
解：选 C.由
0 得， f ( x ) 的定义域为 x | 2 x 2 。故
2x
x
2
2,
2
，解得
2
2
2.
x
x x 4, 1 1, 4 。故 f
2
2
f
的定义域为 4, 1 1, 4
x
13
5、已知函数 f ( x ) 的定义域为 x ( , ) ，求 g ( x )
22
f ( ax )
F ( x ) 在区间 ( , f ( 2 )] 上是减函数，且在区间 ( f ( 2 ), 0 ) 上是减函数？并证明你的结论。
［解析］由已知 f ( m 2 ) 0 ，得 am 2 ( a 3 ) m a 2 0 ，
复合函数知识总结及例题
复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111，解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
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复合函数的定义域和解析式以及单调性
【复合函数相关知识】
1、复合函数的定义
如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域
① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：
已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：
若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求
)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式
①已知
)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在
)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
换元法：就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入
)]([x g f 中消去x 得到
)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f 。
5.复合函数的奇偶性
一偶则偶，同奇则奇
【例题讲解】 一、复合函数定义域解析式
例1 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．
例2 已知x x x f 2)12(2-=+，求)122(+f
例3 ①已知 ,1)(2+=x x f 求)1(-x f ；
②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．
例4 ⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；
⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；
⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．
例5 ①已知x
x x f 1)1(+
=- ，求)(x f ； ②已知221)1(x
x x x f +=-，求)1(+x f ．
例6 ①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ；
②已知x x
f x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ．
二、复合函数单调性及其值域
①初等函数复合求单调区间与值域
例1 已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求其单调区间及值域。
变式练习1 1.求函数)(x f =2215.0x x -+的单调区间及值域
2.求函数5234
21+⋅+=-x x y 的单调区间和值域.
例2 求)(x f =2-4-5x x 的单调区间及值域
变式练习2
求函数f(x)=212
x -的单调区间及值域
例3 求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值
变式练习3
1.求函数)45(log )(22x x x f --=的单调区间及值域
2.求函数2
log =y 2x ·4
log 2x ])81[(,∈x 的最大值和最小值.
②含参数的复合函数单调性与值域问题
例4 已知函数)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）试讨论其单调性。
例5 求函数)2(log 2x a a ax y --=的值域。
变式练习4
1.讨论函数)1(log -=x a a y 的单调性其中0>a ，且1≠a ．
③根据复合函数单调性或值域求参数取值范围
例6 设函数)12lg()(2++=x ax x f ，若)(x f 的值域为R ，求实数 的取值范围．
例7 已知)2(log ax y a -=在区间]10[,上时减函数，求a 的取值范围.
例8 若函数)3(log 2+-=ax x y a 在区间]2
1(a ,-∞上为减函数，求实数a 的取值范围.
变式练习5
已知函数122-+-=ax x y 在区间()3,∞-上是增函数,求a 的范围.
解:令12-+-=ax x u ,则原函数是由12-+-=ax x u 与u y 2=复合而成. 原函数在区间()3,∞-上是增函数,而外层函数u y 2=始终是增函数,则易知内层函数12-+-=ax x u 在区间()3,∞-上也是增
函数.而实质上原函数的最大单调增区间是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,a ,由()3,∞-⊆⎥⎦⎤ ⎝
⎛∞-2,a 得32≥a ,即6≥a .
【过关检测】
1.
（1）=)(x f 452+-x x ;2）5)21
(4)41
()(++=x
x x g
2.求下列函数的单调递增区间：（1）22621x x y -+⎪
⎭⎫ ⎝⎛=;(2) 622--=x x y .
3.已知函数)10(log )(≠>=a a x x f a ,，如果对于任意)3[+∞∈,x x 都有1)(≥x f 成立，试求a 的取值范围.
4.已知函数)(log )(2a ax x x f a --=f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间]31,(--∞上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.
5求函数)32(log 1
25.0--=x x y 的单调区间
【考试链接】
1.（2008山东临沂模拟理，5分）若1>a ，且y a x a a y a x l og l og -<---，则x 与y 之间的大小关系是（ ）
A ．0>>y x
B ．0>=y x
C ．0>>x y
D ．无法确定
2.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）
3．（2008江苏南通模拟，5分）设x x f a l o g
)(=（0>a 且1≠a ），若1)()()(21=+++n x f x f x f （+∈R x i ， n i ,,2,1 =），则)()()(33231n x f x f x f +++ 的值等于________。
4．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log 2（kx 2+4kx +3）
的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________。
5．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题：
①函数x a y =（0>a 且1≠a ）与函数x a a y log =（0>a 且1≠a ）的定义域相同；
②函数3x y =和x
y 3=的值域相同； ③函数12121-+=x y 与x x x y 2
)21(2
∙+=都是奇函数； ④函数2)1(-=x y 与12-=x y 在区间),0[+∞上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。
（把你认为正确的命题序号都填上）。