因式分解复习

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初中数学因式分解知识点复习

初中数学因式分解知识点复习一、选择题1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】将各项分解得到结果，即可作出判断．【详解】①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误；②2244(2)x x x ++=+，故②正确；③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确；④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误.则正确的有2个.故选：B.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．多项式x 2y （a -b ）-xy （b -a ）+y （a -b ）提公因式后，另一个因式为（） A ．21x x -+B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【答案】B【解析】解：x 2y (a －b )－xy (b －a )＋y (a －b )= y (a －b )（x 2+x +1）．故选B ．3．已知4821-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（）A ．61、63B ．61、65C ．61、67D ．63、65 【答案】D【解析】【分析】由()()()()()()24242412686421212121221121=+-=+++--，多次利用平方差公式化简，可解得.【详解】解：原式()()24242121=+-，()()()()()()()()()24121224126624122121212121212163652121=++-=+++-=⨯⨯++ ∴这两个数是63,65.选D.【点睛】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.4．已知a ﹣b =2，则a 2﹣b 2﹣4b 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】B【解析】【分析】原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a ﹣b =2，∴原式=(a +b )(a ﹣b )﹣4b =2(a +b )﹣4b =2a +2b ﹣4b =2(a ﹣b )=4．故选：B ．【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )A ．2ab(a-b)=2a 2b-2ab 2B ．x 2+1=x(x+1x )C ．x 2-4x+3=(x-2)2-1D ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)【答案】D【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式).分解因式与整式乘法为相反变形.【详解】解：A.不是因式分解，而是整式的运算B.不是因式分解，等式左边的x 是取任意实数，而等式右边的x ≠0C.不是因式分解，原式＝(x －3)(x －1)D.是因式分解.故选D.故答案为：D.【点睛】因式分解没有普遍适用的法则，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、待定系数法、拆项法等方法.6．下列各式分解因式正确的是（）A ．2112(12)(12)22a a a -=+-B ．2224(2)x y x y +=+C ．2239(3)x x x -+=-D ．222()x y x y -=- 【答案】A【解析】【分析】根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解．【详解】 A. 2112(12)(12)22a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误；C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误；D. ()22()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A.【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式.7．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．m （a +b ）＝ma +mbB ．a 2+4a ﹣21＝a （a +4）﹣21C ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）D ．x 2+16﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）+16【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 不符合题意；C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 符合题意；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形式．8．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．下列分解因式，正确的是（）A ．()()2x 1x 1x 1+-=+B ．()()29y 3y y 3-+=+- C ．()2x 2x l x x 21++=++ D ．()()22x 4y x 4y x 4y -=+- 【答案】B【解析】【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答．【详解】A. 和因式分解正好相反，故不是分解因式；B. 是分解因式；C. 结果中含有和的形式，故不是分解因式；D. x 2−4y 2=(x+2y)(x−2y)，解答错误.故选B.【点睛】本题考查的知识点是因式分解定义和十字相乘法分解因式，解题关键是注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．10．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ，则△ABC 是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，∴b=c或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D．11．下列因式分解结果正确的是( )．A．10a3+5a2=5a(2a2+a)B．4x2-9=(4x+3)(4x-3)C．a2-2a-1=(a-1)2D．x2-5x-6=(x-6)(x+1)【答案】D【解析】【分析】A可以利用提公因式法分解因式(必须分解到不能再分解为止)，可对A作出判断；而B符合平方差公式的结构特点，因此可对B作出判断；C不符合完全平方公式的结构特点，因此不能分解，而D可以利用十字相乘法分解因式，综上所述，即可得出答案.【详解】A、原式=5a2(2a+1)，故A不符合题意；B、原式=(2x+3)(2x-3)，故B不符合题意；C、a2-2a-1不能利用完全平方公式分解因式，故C不符合题意；D、原式=(x-6)(x+1)，故D符合题意；故答案为D【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法和十字相乘法分解因式，正确掌握公式法分解因式是解题关键．12．某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：-12xy2+6x2y+3xy=-3xy•（4y-______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（）A．2x B．-2x C．2x-1 D．-2x-l【答案】C【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy，进行因式分解即可．【详解】解：原式=-3xy×（4y-2x-1），空格中填2x-1．故选：C．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．13．下列各因式分解的结果正确的是（）A ．()321a a a a -=-B ．2()b ab b b b a ++=+C ．2212(1)x x x -+=-D ．22()()x y x y x y +=+-【答案】C【解析】【分析】将多项式写成整式乘积的形式即是因式分解，且分解到不能再分解为止，根据定义依次判断即可．【详解】 ()321a a a a -=-=a （a+1）（a-1），故A 错误； 2(1)b ab b b b a ++=++，故B 错误；2212(1)x x x -+=-，故C 正确；22x y +不能分解因式，故D 错误，故选：C ．【点睛】此题考查因式分解的定义，熟记定义并掌握因式分解的方法及分解的要求是解题的关键．14．已知a b >，a c >，若2M a ac =-，N ab bc =-，则M 与N 的大小关系是（） A ．M N <B ．M N =C ．M N >D ．不能确定【答案】C【解析】【分析】计算M-N 的值，与0比较即可得答案．【详解】∵2M a ac =-，N ab bc =-，∴M-N=a(a-c)-b(a-c)=(a-b)(a-c)，∵a b >，a c >，∴a-b ＞0，a-c ＞0，∴(a-b)(a-c)＞0，∴M ＞N ，故选：C ．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用“作差法”比较两式大小是解题关键．15．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a-2D ．(a+2)2-2(a+2)+1【答案】C【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=（a+1）（a ﹣1），a 2+a=a （a+1），a 2+a ﹣2=（a+2）（a ﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.16．已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，则（）A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0【答案】C【解析】【分析】根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．【详解】∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，∴a +c ＝﹣2b ，∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，∴b ＞0，∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝2222042a ac c a c -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭…，即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，故选：C ．【点睛】此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．17．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且满足222244a c b c a b -=-，则ABC ∆是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出△ABC的形状即可得解．【详解】移项得，a2c2−b2c2−a4＋b4＝0，c2（a2−b2）−（a2＋b2）（a2−b2）＝0，（a2−b2）（c2−a2−b2）＝0，所以，a2−b2＝0或c2−a2−b2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．18．把x2－y2－2y－1分解因式结果正确的是（）．A．（x＋y＋1）(x－y－1) B．（x＋y－1）(x－y－1)C．（x＋y－1）(x＋y＋1) D．（x－y＋1）(x＋y＋1)【答案】A【解析】【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x2-（y2+2y+1），=x2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A．19．下列从左到右的变形属于因式分解的是()A．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B．m2－2m－3＝m(m－2)－3C．2x2＋1＝x(2x＋1x) D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、（x+1）（x-1）=x 2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误； B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．20．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 【答案】A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x-1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x-1）．故选A考点：因式分解。

因式分解知识点总复习含答案

C、4x2+1+4x4=(2x2+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
D、4x2+1+4x=(2x+1)2，能利用完全平方公式进行因式分解，故不符合题意，
故选A.
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的结构特征是解题的关键.
3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
【详解】
A. 只有两项，不符合完全平方公式；
B. 其中、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
C. ，其中与不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；
D. 符合完全平方公式定义，
故选：D.
【点睛】
此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.
9．下列因式分解结果正确的是( )．
A．1B．-1C．-8D．
【答案】A
【解析】
【分析】
多项式的最高次数是3，两因式乘积的最高次数是2，所以多项式的最后一个因式的最高次数是1，可设为，再根据两个多项式相等，则对应次数的系数相等列方程组求解即可．
【详解】
解：多项式的最高次数是3，的最高次数是2，
∵多项式含有因式和，
∴多项式的最后一个因式的最高次数应为1，可设为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.
15．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．

中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)

第四讲因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是运算，即：多项式整式的积【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。

】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。

【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。

2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。

3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。

】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。

①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。

【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。

如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。

】三、因式分解的一般步骤1、一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先。

2、二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用法来分解。

3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩，故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）（）（）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4．点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。

因式分解精品复习

八年级数学因式分解复习一、因式分解的概念.二、因式分解的常用方法1.提公因式法：例1、分解因式：1）()()()()a b x y b a x y ----+ 2）211216n n n n x y x y -+3）432223221269n m a n am n m a ++ 4）)()(8)()(6332322y x y x y x y x y x xy -++-+2、运用公式法：例2、分解因式：1）641622++ax x a 2）22)()(z y x z y x ---++3）221394m mn n ++ 4）222222)(9)(12)(4y x b y x ab y x a ++---3.十字相乘法：例3、分解因式：（1）652++x x （2）652-+x x4．若22816p q q +-+与互为相反数，分解因式：22()()x y pxy q +-+三、课堂测评1．分解因式2x 2 − 4x + 2的最终结果是（）A ．2x (x − 2)B ．2(x 2 − 2x + 1)C ．2(x − 1)2D ．(2x − 2)22. 下列分解因式正确的是（）A ．）（23a 1-a a a -+=+B ．2a-4b+2=2（a-2b ）C ．()222-a 4-a =D ．()221-a 1a 2-a =+ 3.分解因式：32214a ab ab -+-= 。

4、将下列各式分解因式：（1）bx b ax ax --+2 （2） (x 2+y 2)2-4x 2y 2（3）10x n （x －y ）－5x n +1（x －y ）（4）322363x x y xy -+5、解答题（1）已知(4x -2y -1)2+2-xy =0，求4x 3y -4x 2y 2+xy 3的值.（2）已知2,2a b a b +=--=，把多项式222222(1)8a b a b +--先分解因式，再求值。

2024年中考数学复习-因式分解的多种方法考点培优练习

因式分解的多种方法考点培优练习考点直击 1.因式分解的常见方法：(1)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.(2)运用公式法: a²−b²=(a +b )(a −b );a²±2ab +b²=(a ±b )²2.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公因式，然后再考虑是否能用公式法分解.3.分解因式时常见的思维误区：(1)提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.(2)提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉.(3)分解不彻底，如保留中括号形式、还能继续分解等.4.因式分解的特殊方法：分组分解法和十字相乘法.其中，形如 x²+px +q 的二次三项式，如果常数项q 能分解为两个因数a ，b 的积，并且a+b 恰好等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 x²+px +q =x²+(a +b )x +ab =(x+a)(x+b)，这种因式分解的方法称为十字相乘法.例题精讲例 1 【例题讲解】因式分解： x³−1.∵x³−1为三次二项式，对于方程 x³−1=0,x =1是其1个解.∴ 我们可以猜想 x³−1可以分解成 (x −1)(x²+ax +b ),展开等式右边得 x³+(a −1)2 ²+(b −a )x −b.:x³−1=x³+(a −1)x²+(b −a )x −b 恒成立，∴ 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即 {a −1=0,b −a =0,−b =−1,解得 {a =1,b =1. ∴x³−1=(x −1)(x²+x +1).【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数对应相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法.【学以致用】(1)若 x²−mx −12=(x +3)(x −4),则 m =;(2)若 x³+3x²−3x +k 有一个因式是. x +1,,求 k 的值;(3)请判断多项式 x⁴+x²+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积.若能，请直接写出结果；若不能，请说明理由.【思路点拨】(1)根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；(2)根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；(3)根据待定系数原理和多项式乘多项式的规律即可求得结论.举一反三1 (北京中考)因式分解：a²−4a+4−b².举一反三2 阅读下列材料：我们知道，多项式a²+6a+9可以写成( (a+3)²的形式，这就是将多项式a²+6a+9因式分解.当一个多项式(如a²+ 6a+8)不能写成两数和(或差)的平方的形式时，我们通常采用下面的方法：a²+6a+8=(a+3)²−1=(a+2)(a+4)请仿照上面的方法，将下列各式因式分解：(1)x²-6x-27;(2)a²+3a-28;(3)x²-(2n+1)x+n²+n.举一反三3 下面是某同学对多项式( (x²−4x+2)(x²−4x+6)+4进行因式分解的过程：解：设x²−4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y²+8y+16 (第二步)=(y+4)² (第三步)=(x²−4x+4)² (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填字母).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”).如果否，直接写出最后的结果： .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x²−2x)(x²−2x+2)+1进行因式分解.例2 (吉林中考)在下列三个整式 x²+2xy,y²+2xy,x²中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.【思路点拨】本题为开放性试题，在第一步组合过程中，考虑下一步因式分解的适当方法，可以用提取公因式法或公式法.举一反三4 (湖北中考)给出三个多项式： X =2a²+3ab +b²,Y =3a²+3ab, Z =a²+ab.请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.举一反三5 阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为 a (x +m )²+n 的形式，我们把这样的变形方法叫作多项式 ax²+bx +c (a ≠0)的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如：x 2+9x −10=x 2+9x +(92)2−(92)2−10=(x +92)2−1214=(x +92+112)(x +92−112)=(x +10)(x −1)根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式 x²−7x +12进行因式分解；(2)用多项式的配方法将x²+6x−9化成a(x+m)²+n的形式，并求出多项式的最小值；(3)求证：x，y 取任何实数时，多项式x²+y²−4x+2y+6的值总为正数.例3 阅读材料：若m²−2mn+2n²−8n+16=0,求m,n 的值.解:∵m²-2mn+2n²-8n+16=0,∴ (m²-2mn+n²)+(n²-8n+16)=0, ∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴(m−n)2=0,(n−4)2=0,∴n= 4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题：(1) 已知x²+2xy+2y²+2y+1=0,求2x+y的值；(2)已知a−b=4,ab+c²−6c+13=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x，y的值，再求得2x+y的值;(2)根据a−b=4,ab+c²−6c+13=0,可以得到a，b，c 的值，再求得a+b+c的值.举一反三6 (南通中考)已知A=a+2,B=a²−a+5,C=a²+5a−19,其中a>2.(1) 求证: B−A>0,，并指出 A 与 B 的大小关系；(2)指出A与C哪个大?说明理由.举一反三7 (杭州中考)已知a,b,c 为. △ABC的三边，且满足a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,试判断△ABC的形状.过关检测基础夯实1.(自贡中考)把多项式a²−4a因式分解，结果正确的是 ( )A. a(a-4)B.(a+2)(a-2)C. a(a+2)(a-2)D.(a−2)²−42.(桂林中考)因式分解a²−4的结果是( )A.(a+2)(a-2)B.(a−2)²C.(a+2)²D. a(a-2)3.(中山中考)因式分解1−4x²−4y²+8xy，正确的分组是 ( )A.(1−4x²)+(8xy−4y²)B.(1−4x²−4y²)+8xyC.(1+8xy)−(4x²+4y²)D.1−(4x²+4y²−8xy)4.(潍坊中考)下列因式分解正确的是 ( )A.3ax²−6ax=3(ax²−2ax)B.x²+y²=(−x+y)(−x−y)C.a²+2ab−4b²=(a+2b)²D.−ax²+2ax−a=−a(x−1)²5.(聊城中考)因式分解:x(x—2)—x+ 2= .6.(漳州中考)若x²+4x+4=(x+2)(x+n),则n= .7.(湖州中考)因式分解：a³−9a.8.因式分解: a²−b²+a−b.9.(北京中考)因式分解：m²−n²+2m−2n.能力拓展10.(临沂中考)多项式mx²−m与多项式x²−2x+1的公因式是 ( )A. x-1B. x+1C.x²−1D.(x−1)²11.(盘锦中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 ( )A.x²+2x−1=(x−1)²B.(a+b)(a−b)=a²−b²C.x²+4x+4=(x+2)²D.ax²−a=a(x²−1)12.(兰州中考)因式分解: m³−6m²+ 9m= .13.(宜宾中考)因式分解：b²+c²+2bc− a²= .14.(常德中考)多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是 .15.(杭州中考)化简: (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²).16.(茂名中考)因式分解：9(a+b)²−(a−b)².17.(扬州中考)(1) 计算: √9−(−1)2+(−2012)0;(2)因式分解: m³n −9mn.18.(十堰中考)已知::a+b=3, ab=2,求下列各式的值：(1)a²b +ab²;(2)a²+b².19.(济南中考)请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解：4a²,(x+y)²,1,9b².综合创新20.设正整数a,b,c>100,满足 c²−1=a²(b²−1),且a>1,则a/b 的最小值是 ( )A. 13B. 12 C. 2 D.3 21.求证：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33.x⁵+3x⁴y −5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y ⁵.【例题精讲】1.(1)1 (2) -5 ( (3)x⁴+x²+1=(x²+ x +1)(x²−x +1)解析： (1)∵(x +3)(x −4)=x²−x −12,∴--m=-1,∴m=1;(2) 设另一个因式为 (x²+ax +k ),(x +1)(x²+ax +k )= x³+ax²+kx +x²+ax +k =x³+(a + 1)x²+(a +k )x +k,∴x³+(a +1). x²+(a +k )x +k =x³+3x²−3x +k,∴a+1=3,a+k=-3,解得a=2,k=-5;(3)设多项式 x⁴+x²+1能分解成 ①(x²+1)(x²+ax +b )或( ②(x²+x + (1)(x²+ax +1),①(x²+1)(x²+ax + b)=x⁴+ax³+bx²+x²+ax +b =x⁴+ ax³+(b +1)x²+ax +b,∴a =0,b +1=1,b=1,由b+1=1得b=0≠1,矛盾; ②(x²+x +1)(x²+ax +1)=x⁴+(a + 1)x³+(a +2)x²+(a +1)x +1,∴a +1=0,a+2=1,解得a=-1.即. x⁴+x²+ 1=(x²+x +1)(x²−x +1).2.方法一:( (x²+2xy )+x²=2x²+2xy =2x(x+y)方法二：( (y²+2xy )+x²=(x +y )²方法三： (x²+2xy )−(y²+2xy )=x²− y²=(x +y )(x −y )方法四： (y²+2xy )−(x²+2xy )=y²− x²=(y +x )(y −x )3.(1)1 (2)3解析： (1):x 2+2xy +2y 2+2y +1=0,∴(x²+2xy +y²)+(y²+2y +1)=0, ∴(x +y )²+(y +1)²=0,∴x +y =0,y+1=0,解得x=1,y=-1,∴2x+y=2×1+(-1)=1;(2) ∵a-b=4,∴a=b+4,∴将a=b+4代入( ab +c²−6c +13=0,得 b²+4b +c²−6c +13=0, ∴(b²+4b +4)+(c²−6c +9)=0,∴(b +2)²+(c-3)²=0,∴b+2=0,c-3=0,解得b=-2,c=3,∴a=b+4=-2+4=2,∴a+b+c=2-2+3=3.【举一反三】1. 原式: =(a²−4a +4)−b²=(a −2)²−b²=(a-2+b)(a-2-b).2.(1) 原式=x²--6x+9-36=(x-3)²-6²=(x-3-6)(x-3+6)=(x+3)(x-9)(2)原式 =a 2+3a +(32)2−(32)2−28= (a +32)2−1214=(a +32−112)(a +32+ 112)=(a −4)(a +7) (3) 原式 =x²− (2n +1)x +(n +12)2−(n +12)2+n 2+ n =[x −(n +12)]2−(12)2=(x −n − 12−12)(x −n −12+12)=(x −n −1)(x-n)3.(1) C (2) 否(x-2)⁴ (3) 原式= (x²−2x )²+2(x²−2x )+1=(x²−2x + 1)²=(x −1)⁴4.解答一: Y +Z =(3a²+3ab )+(a²+ab )= 4a²+4ab =4a (a +b )解答二： X −Z =(2a²+3ab +b²)−(a²+ ab)=a²+2ab +b²=(a +b )²解答三： Y −X =(3a²+3ab )−(2a²+ 3ab +b²)=a²−b²=(a +b )(a −b )(其他合理答案均可)5.(1) 原式 =x 2−7x +494−494+12= (x −72)2−14=(x −72+12)(x −72− 12)=(x −3)(x −4) (2) 原式 =x²+6x+9-18=(x+3)²-18,最小值为-18(3) 证明:. x²+y²−4x +2y +6=(x − 2)²+(y +1)²+1≥1>0,,则x,y 取任何实数时，多项式 x²+y²−4x +2y +6的值总为正数.6.(1) 证明: B −A =(a²−a +5)−(a + 2)=a²−2a +3=(a −1)²+2>0,所以B>A; ( (2)C −A =a²+5a −19−a −2=a²+4a-21=(a+7)(a--3),因为a>2,所以a+7>0,当2<a<3时,A>C;当a=3时,A=C;当a>3时,A<C.7.等腰三角形或直角三角形解析： ∴a²c²−b²c²=a⁴−b⁴,∴c²(a²−b²)= (a²+b²)(a²−b²),∴c²=a²+b²或 a²=b²，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.【过关检测】1. A2. A3. D4. D 解析:3ax²-6ax=3ax(x-2),A 错误; x²+y²无法因式分解，B 错误； a²+ 2ab −4b²无法因式分解，C 错误.5.(x--2)(x-1)6. 2 解析: ∴(x +2)(x +n )=x²+(n +2)x+2n,∴n+2=4,2n=4,解得n=2.7. a(a+3)(a-3)解析：原式 =a(a²−9)=a(a+3)(a-3).8.(a-b)(a+b+1)解析：原式 =(a²−b²)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).9.(m-n)(m+n+2) 解析:原式 =(m²−n²)+(2m--2n)=(m+n)(m--n)+2(m--n)=(m-n)(m+n+2).10. A 解析:mx²-m=m(x--1)(x+1), x²−2x +1=(x −1)²,多项式 mx²−m 与多项式 x²−2x +1的公因式是x-1.11. C 解析: x²+2x −1≠(x −1)²,, A 错误; a²−b²=(a +b )(a −b )不是因式分解，B 错误;( ax²−a =a (x²−1)=a (x +1)(x −1)，分解不完全，D 错误.12. m(m-3)² 解析:原式; =m(m²−6m + 9)=m (m −3)².13.(b+c+a)(b+c-a) 解析:原式=(b+ c)²−a²=(b+c+a)(b+c−a).14. x--2 解析: ∴ax²−4a=a(x²−4)=a(x+2)(x−2),x²−4x+4=(x−2)²,∴多项式ax²−4a与多项式x²−4x+4的公因式是x-2.15. 4a²b 解析:( (a−b)(a+b)²−(a+b)(a−b)²+2b(a²+b²)=(a−b)(a+b).(a+b−a+b)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²)+2b(a²+b²)=2b(a²−b²+a²+b²)=4a²b.16.4(2a+b)(a+2b) 解析: 9(a+b)²−(a−b)²=[3(a+b)]²−(a−b)²=[3(a+b)+(a-b)][3(a+b)-(a-b)]=(4a+2b)(2a+4b)=4(2a+b)(a+2b).17.(1) 3 (2) mn(m+3)(m-3)解析：(1)√9−(−1)2+(−2012)0=3−1+1=3;(2)m³n−9mn=mn(m²−9)=mn(m+3)(m-3).18.(1) 6 (2)5解析:( (1)a²b+ab²=ab(a+b)=2×3=;(2):(a+b)²=a²+2ab+b²,∴a²+( b²=(a+b)²−2ab=3²−2×2=5.19. 4a²--9b²=(2a+3b)(2a-3b) (x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1) (x+y)²−4a²=(x+y+2a)(x+y−2a)(x+y)²−9b²=(x+y+3b)(x+y−3b)4a²−(x+y)²=[2a+(x+y)][2a−(x+y)]=(2a+x+y)(2a−x−y)9b²−(x+y)²=[3b+(x+y)][3b−(x+y)]=(3b+x+y)(3b−x−y)1−(x+y)²=[1+(x+y)][1−(x+y)]=(1+x+y)(1-x--y)20. C 解析: ∴c²−1=a²(b²−1),正整数a，b,c>100,∴c²=a²(b²−1)+1=a²b²−a²+1<a²b²,∴c<ab,∴c≤ab--1, ∴a²b²−a²+1=c²≤(ab−1)²,化简得a2≥2ab,∴a≥2.b21. 证明:原式=(x⁵+3x⁴y)−(5x³y²+15x²y³)+(4xy⁴+12y⁵)=x⁴(x+3y)−5x²y²(x+3y)+4y⁴(x+3y)=(x+ 3y)(x⁴−5x²y²+4y⁴)=(x+3y).(x²−4y²)(x²−y²)=(x+3y)(x−2y)(x+2y)(x+y)(x-y).当y=0时,原式=x⁵≠33;;当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y为互不相同的整数,而33 不可能分解为5个不同因数的积. ∴x⁵+3x⁴y−5x³y²−15x²y³+4xy⁴+12y⁵的值不会等于33.。

因式分解复习

三、小结

1、因式分解的定义：
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
2、因式分解的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法

把下列各式分解因式：（ x －y）3 －（ x －y） a2 － x2y2
解：（ x －y）3 －（ x －y） = （ x －y）（ x －y ＋ 1）（ x －y － 1） a2 － x2y2 =（a ＋xy）（ a － xy ）
a2－b2＝（a＋b）（a－b）
[ 平方差公式 ]
（1）提取公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方叫做提公因式法。即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
练习题：分解因式 p（y－x）－q（y－x）
解： p（y－x）－q（y－x）
= （y－x）（ p －q）
（2）运用公式法：
练习题：1. 分解因式
解： x2－（2y）2
x2－（2y）2
=（x＋2y）（x－2y）
2.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ C ）（A）X2+4Y2
X2 Y2 （C） 4 9
（B） 4 9
3．分解因式： 2 2 (1) X Y
25 16
练习练习
（三）因式分解的一般步骤：

① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
② 对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。 ③ 对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分
解。
练习题
（四）因式分解的应用

专题复习：因式分解

专题因式分解☞解读考点☞2年中考【2015年题组】1．（2015北海）下列因式分解正确的是（）A ．24(4)(4)x x x -=+-B ．221(2)1x x x x ++=++C ．363(6)mx my m x y -=-D ．242(2)x x +=+ 【答案】D ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．2．（2015贺州）把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（） A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 【答案】B ．【解析】试题分析：原式=22(44)x x xy y --+=2(2)x x y --，故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015宜宾）把代数式3231212x x x -+分解因式，结果正确的是（）A ．23(44)x x x -+B ．23(4)x x - C ．3(2)(2)x x x +-D ．23(2)x x -【答案】D ．【解析】试题分析：原式=23(44)x x x -+=23(2)x x -，故选D ．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 4．（2015毕节）下列因式分解正确的是（）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+ B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=-D ．224(4)(4)x y x y x y -=+- 【答案】B ．【解析】试题分析：A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+=22(3)a b a -，错误；B ．2211()42x x x -+=-，正确；C ．224x x -+不能分解，错误；D ．224(2)(2)x y x y x y -=+-，错误；故选B ．考点：1．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法． 5．（2015临沂）多项式2mxm -与多项式221x x -+的公因式是（）A ．1x -B ．1x +C ．21x - D ．()21x -【答案】A ．考点：公因式．6．（2015枣庄）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（）A ．140B ．70C ．35D ．24 【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：a+b=14÷2=7，ab=10，∴22a b ab +=ab （a+b ）=10×7=70；故选B ．考点：因式分解的应用．7．（2015烟台）下列等式不一定成立的是（）A 0)a a b b b =≠B ．3521a a a -•= C ．224(2)(2)a b a b a b -=+- D ．326(2)4a a -=【答案】A ．考点：1．二次根式的乘除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．因式分解-运用公式法；4．负整数指数幂．8．（2015杭州）下列各式的变形中，正确的是（）A ．22()()x y x y x y ---+=- B ．11xx xx --= C ．2243(2)1x x x -+=-+ D ．21()1x x x x ÷+=+【答案】A ．【解析】试题分析：A ．22()()x y x y x y ---+=-，正确；B ．211x x x x --=，错误； C ．2243(2)1x x x -+=--，错误； D ．21()1x x x x ÷+=+，错误；故选A ．考点：1．平方差公式；2．整式的除法；3．因式分解-十字相乘法等；4．分式的加减法．9．（2015南京）分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是．【答案】2(2)a b -．【解析】试题分析：()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -．故答案为：2(2)a b -．考点：因式分解-运用公式法．10．（2015巴中）分解因式：2242a a -+= ．【答案】22(1)a -．【解析】试题分析：原式=22(21)a a -+=22(1)a -．故答案为：22(1)a -．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11．（2015绵阳）在实数范围内因式分解：23x y y -= ．【答案】)3)(3(-+x x y ．【解析】试题分析：原式=2(3)y x -=)3)(3(-+x x y ，故答案为：)3)(3(-+x x y ．考点：实数范围内分解因式． 12．（2015内江）已知实数a ，b 满足：211a a +=，211b b +=，则2015a b-|= ．【答案】1．考点：1．因式分解的应用；2．零指数幂；3．条件求值；4．综合题；5．压轴题．13．（2015北京市）分解因式：325105x x x -+= ．【答案】25(1)x x -．【解析】试题分析：原式=25(21)x x x -+=25(1)x x -．故答案为：25(1)x x -．考点：提公因式法与公式法的综合运用．14．（2015甘南州）已知210a a --=，则322015a a a --+= ．【答案】2015．【解析】试题分析：∵210a a --=，∴21a a -=，∴322015a a a --+=2()+2015a a a a --=2015a a -+=2015，故答案为：2015．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值；3．代数式求值；4．综合题．15．（2015株洲）因式分解：2(2)16(2)x x x ---= ．【答案】(2)(4)(4)x x x -+-．【解析】试题分析：原式=2(2)(16)x x --=(2)(4)(4)x x x -+-．故答案为：(2)(4)(4)x x x -+-．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 16．（2015东营）分解因式：2412()9()x y x y +-+-= ．【答案】2(332)x y -+．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015菏泽）若2(3)()x x m x x n ++=-+对x 恒成立，则n= ．【答案】4．【解析】试题分析：∵2(3)()x x m x x n ++=-+，∴22(3)3x x m x n x n ++=+--，故31n -=，解得：n=4．故答案为：4．考点：因式分解-十字相乘法等．18．（2015重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x （1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义．【2014年题组】1．（2014年常德中考）下面分解因式正确的是（）A．x2+2x+1=x（x+2）+1 B. （x2﹣4）x=x3﹣4xC. ax+bx=（a+b）xD. m2﹣2mn+n2=（m+n）2【答案】C．【解析】试题分析：A 、x2+2x+1=x （x+2）+1，不是因式分解，故错误；B 、（x2﹣4）x=x3﹣4x ，不是因式分解，故错误；C 、ax+bx=（a+b ）x ，是因式分解，故正确；D 、m2﹣2mn+n2=（m ﹣n ）2，故错误．故选C ．考点：1.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法． 2.（2014年海南中考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（） A ．()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+-D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的意义．3.（2014年无锡中考）分解因式：x3﹣4x= ．【答案】()()x x 2x 2+-．【解析】试题分析：()()()32x 4x x x 4x x 2x 2-=-=+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．4.（2014年株洲中考）分解因式：x2+3x （x ﹣3）﹣9= 【答案】（x ﹣3）（4x+3）．【解析】试题分析： x2+3x （x ﹣3）﹣9=x2﹣9+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3）+3x （x ﹣3）=（x ﹣3）（x+3+3x ） =（x ﹣3）（4x+3）．考点：因式分解．5.（2014年徐州中考）若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于．【答案】﹣2．【解析】试题分析：∵ab=2，a ﹣b=﹣1，∴a2b ﹣ab2=ab （a ﹣b ）=2×（﹣1）=﹣2．考点：1.求代数式的值；2.提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．6.（2014年眉山中考）分解因式：225xy x -=__________________．【答案】x （y+5）（y ﹣5）．【解析】试题分析：原式=x （y2﹣25）=x （y+5）（y ﹣5）．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 7.（2014年绍兴中考）分解因式：2aa - = ．【答案】()a a 1-．【解析】试题分析：()2a a a a 1-=-．考点：提公因式法因式分解． 8.（2014年台州中考）因式分解3a 4a -的结果是．【答案】()()a a 2a 2+-．考点：提公因式法和应用公式法因式分解． 9.（2014年泸州中考）分解因式：23a 6a 3++= .【答案】()23a 1+．【解析】试题分析：()()2223a 6a 33a 2a 13a 1++=++=+．考点：提公因式法和应用公式法因式分解．10.（2014年北海中考）因式分解：x2y ﹣2xy2= ．【答案】()xy x 2y -．【解析】试题分析：()22x y 2xy xy x 2y -=-．考点：提公因式法因式分解． ☞考点归纳归纳 1：因式分解的有关概念基础知识归纳：因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．注意问题归纳：符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式积的形式． 2.因式分解与整式乘法是互逆运算．【例1】下列式子从左到右变形是因式分解的是（）()2a 4a 21a a 421+-=+- B ．()()2a 4a 21a 3a 7+-=-+ C ．()()2a 3a 7a 4a 21-+=+- D ．()22a 4a 21a 225+-=+-【答案】B ．考点：因式分解的有关概念．归纳 2：提取公因式法分解因式基础知识归纳：将多项式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法，公因式系数是各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂．提取公因式法：ma ＋mb －mc=m （a+b-c ）注意问题归纳：提公因式要注意系数；要注意查找相同字母，要提净．【例2】若ab=2，a ﹣b=﹣1，则代数式a2b ﹣ab2的值等于．【答案】﹣2．考点：因式分解-提公因式法．【例3】因式分解：2a 3ab += ．【答案】()a a 3+．【解析】()2a 3ab a a 3+=+．考点：因式分解-提公因式法．归纳 3：运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2－b2=（a+b）（a-b）；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2=（a±b）2．注意问题归纳：首先要看是否有公因式，有公因式必须要先提公因式，然后才能运用公式，注意公式的特点，要选项择合适的方法进行因式分解．【例4】3x2y－27y= ；【答案】3y（x+3）（x-3）．【解析】原式=3y（x2-9）=3y（x+3）（x-3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【例5】将多项式m2n－2mn＋n因式分解的结果是．【答案】n（m-1）2．【解析】m2n-2mn+n，=n（m2-2m+1），=n（m-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．归纳 4：综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式，注意一定要分解彻底．【例6】分解因式：x2+3x（x﹣3）﹣9=【答案】（x﹣3）（4x+3）．考点：因式分解-分组分解法．【例】7分解因式：x3－5x2＋6x=【答案】x（x-3）（x-2）．【解析】x3-5x2+6x=x（x2-5x+6）=x（x-3）（x-2）．考点：因式分解-十字相乘法．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若多项式x4+mx3+nx-16含有因式（x-2）和（x-1），则mn的值是（）A．100 B．0 C．-100 D．50 【答案】C．【解析】试题分析：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b．比较系数得：a-3=m，b-3a+2=0，2a-3b=n，2b=-16，解得：a=-2，b=-8，m=-5，n=20，所以mn=-5×20=-100．故选C．考点：因式分解的意义．2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）因式分解2x2-8的结果是（）A．（2x+4）（x-4） B．（x+2）（x-2）C．2 （x+2）（x-2） D．2（x+4）（x-4）【答案】C．【解析】试题分析：2x2-8=2（x2-4）2（x+2）（x-2）．故选C．考点：提公因式法与公式法的综合运用．3．（2015届河北省中考模拟二）现有一列式子：①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027C．1.111111×1056 D．1.1111111×1017【答案】D．考点：1．因式分解-运用公式法；2．科学记数法—表示较大的数． 4．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）分解因式：2x2﹣12x+32= ．【答案】2（x ﹣8）（x+2）．【解析】试题分析：原式提取2，再利用十字相乘法分解，原式=2（x2﹣6x+16）=2（x ﹣8）（x+2）．故答案为：2（x ﹣8）（x+2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．5．（2015届北京市平谷区中考二模）把a ﹣4ab2分解因式的结果是．【答案】a （1+2b ）（1﹣2b ）．【解析】试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式法，进而分解因式得出即可．考点：提公因式法与公式法的综合运用． 6．（2015届北京市门头沟区中考二模）分解因式：29ax a -= ．【答案】(3)(3)a x x -+．【解析】试题分析：29ax a - =2(9)a x -=(3)(3)a x x -+．故答案为：(3)(3)a x x -+．考点：提公因式法与公式法的综合运用．7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）若a2-3a+1=0，则3a3-8a2+a+231a = ．【答案】2．考点：1．因式分解的应用；2．条件求值．8．（2015届安徽省安庆市中考二模）因式分解：﹣3x2+3x ﹣= ．【答案】﹣3（x ﹣21）2．【解析】试题分析：原式=﹣3（x2﹣x+41）=﹣3（x ﹣21）2．故答案为：﹣3（x ﹣21）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．9．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．【答案】ab （a-b ）2．【解析】试题解析：a3b-2a2b2+ab3=ab （a2-2ab+b2）=ab （a-b ）2．故答案为：ab （a-b ）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．10．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）分解因式：3ax2-3ay2= ．【答案】3a（x+y）（x-y）．【解析】试题分析：3ax2-3ay2=3a（x2-y2）=3a（x+y）（x-y）．故答案为：3a （x+y）（x-y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．11．（2015届山东省聊城市中考模拟）因式分解：4a3-12a2+9a= ．【答案】a（2a-3）2．【解析】试题分析：4a3-12a2+9a=a（4a2-12a+9）=a（2a-3）2．故答案为：a （2a-3）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）把3x3-6x2y+3xy2分解因式的结果是．【答案】3x（x-y）2．考点：提公因式法和公式法的综合运用．13．（2015届广东省广州市中考模拟）分解因式：x2+xy= ．【答案】x（x+y）．【解析】试题分析：x2+xy=x（x+y）．故答案为：x（x+y）．考点：因式分解-提公因式法．14．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）因式分解：2a3-8a= ．【答案】2a（a+2）（a-2）．【解析】试题分析：2a3-8a=2a（a2-4）=2a（a+2）（a-2）．故答案为：2a（a+2）（a-2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．15．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）若a-b=3，ab=2，则a2b-ab2= ．【答案】6．【解析】试题分析：∵a-b=3，ab=2，∴a2b-ab2=ab（a-b）=2×3=6．故答案为：6．考点：因式分解-提公因式法．16．（2015届河北省中考模拟二）若M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，则M+N-2O的值为．【答案】4．【解析】试题分析：∵M=（2015-1985）2，O=（2015-1985）×（2014-1986），N=（2014-1986）2，∴M+N-2O=（2015-1985）2-2（2015-1985）×（2014-1986）+（2014-1986）2=[（2015-1985）-（2014-1986）]2=4．故答案为：4．考点：因式分解-运用公式法．17．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）分解因式：a3﹣9a= ．【答案】a（a+3）（a﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．18．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）分解因式：xy2﹣2xy+x=__________．【答案】x（y-1）2．【解析】试题分析：先提公因式x，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．即xy2-2xy+x=x（y2-2y+1）=x（y-1）2．故答案为：x（y-1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．19．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足14a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．。

因式分解复习

（5）ax+bxy+bx+axy
计算： (x+2)(x+3)=__________；
(x+1)(x+5)=__________；
(x+4)(x+6)=__________； … (x+a)(x+b)=__________；
x2-5x-6 x2-5x+6
5. 计算
(1)
(2) (3)
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
3.因式分解的一般步骤：
1：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式； 2：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公式； 3：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能利用以上两步。如(x+y)² -x-y=(x+y)(x+y-1）
4：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
2
2
(4) 25m 30m 9 (5m 3) (5) m 2mn n
2 2 2
2
(6) ( a b) 14( a b) 49 [(a b) 7]
2
4.做一做：
1、将下列各式分解因式：
(1)a²-ab； (2)12am²-3an²；
(3)3x³+6x²y+3xy²
(6)2a² －a³ －ab³ －ab(－2ab+a²b² b² b = + )
X
3.辨一辨（1）下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？
(1)4 x y
2 2 2
(2)4x ( y)

因式分解复习

因式分解复习
定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
与整式乘法的关系互为逆过程，互逆关系
分解因式方法
步骤
提公因式法
公式法
平方差公式
a 2-b 2=(a+b)(a-b)
完全平方公式
一提：提公因式a2±2ab+b 2=(a ±b)2
二用：运用公式三查：检查因式分解的结果是否正确（彻底性）
（3）20042-4008×2005+20052
（4）9.92－9.9×0.2＋0.01
1 8、（1）已知x2－y2=－1 ，，求2x－y的值。
（2）已知：490，2m－310，求(2n)2－(3m－n)2的值。
（3）已知2x＋，x－31 求14y(x－3y)2－4(3y－x)3的值。
（4）已知a＋5，3，求代数式a3b＋2a2b2＋3的值。
1、提公因式法因式分解：
（1）36 （2）x22 （3）12a2b3－8a3b2－164 （4）3x2-6
(5)-24x3 –12x2 +28x (6)2a()-3b()
2、用平方差公式因式分解
（1） 36－x2 （2）－a22 （3） x2－16y2 （4） x2y2－z2 （5） (2)2－9 （6）()2－()2 （7） 25()2－4(a－b)2 （8）－0.25()2＋0.81(x－y)2
5、x2 ? x ? 20
6、m 2 ? 7m ? 18
7、p2 ? 5 p ? 36 9、x4 ? x2 ? 20
8、t 2 ? 2t ? 8 10、a 2 x2 ? 7ax ? 8
11、a 2 ? 9ab ? 14b2
12、x 2 ? 11xy ? 18 y2

《因式分解》复习

第二步第一环节
因式分解的一般步骤：
一般步骤
一提：对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提前公因式；
二套：再看有几项，
如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公式；
三查：最后用整乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
第二步第二环节
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
基本方法
将下列各式分解因式： ⑴ -a² -ab； ⑵ m² -n² ； ⑶ x² +2xy+y² (4) 3am² -3an² ； (5) 3x³ +6x² y+3xy² =-a(a+b) = (m+n)(m-n) =(x+y)²
因式分解
基本概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。因式分解
ma mb mc m(a b c) 整式乘法
提公因式法
一个多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。
=3a (m+n)(m-n) =3x(x+y)²
基本方法
将下列各式分解因式： ⑴ 18a² c-8b² c =2c(3a+2b) (3a-2b) ⑵ m4 - 81n4 = (m2 +9n2)(m+3n) (m-3n) ⑶ x² y² -4xy+4 =（x y –2）²

因式分解专题复习(精品)

因式分解专题复习一、知识结构因式分解二、注意事项：1.因式分解与整式乘法（1）因式分解与整式乘法互为逆运算。

如又如：（2）什么时候用整式乘法，什么时候用因式分解，是根据需要而决定的。

如把(x-1)(x-2)-6分解因式，必须先做乘法，得(x-1)(x-2)-6=(x2-3x+2)-6=x2-3x-4=(x-4)(x+1)又如，计算(x+y)2-(x-y)2, 一般不是按照运算顺序先做整式乘法，而是先因式分解，得(x+y)2-(x-y)2=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=2x·2y=4xy2.关于因式分解的要求：（1）分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

例如x4-1=(x2+1)(x2-1)，就不符合因式分解的要求，因为(x2-1)还能分解成(x+1)(x-1)。

（2）在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。

3.因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。

（1）一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来。

（2）二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或按x 2+(p+q)x+pq 型分解。

（3）三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”。

（4）四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。

只有养成良好的思维习惯，解题时才能少走弯路。

例题讲解考点1 提取公因式法例1 ⑴y x y x y x 3234268-+-； ⑵23()2()x x y y x --- 解：注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.练习1、⑴3222245954a b c a bc a b c +-； ⑵433()()()a b a a b b b a -+-+-考点2 运用公式法例2 把下列式子分解因式：⑴22364a b -； ⑵22122x y -. 解：注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.例3把下列式子分解因式：⑴2244x y xy --+； ⑵543351881a b a b a b ++. 解：注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.练习2、⑴6216a a -； ⑵22(2)(2)a b a b +-+；⑶421681x x -+； ⑷2222(1)4(1)4x x x x +-++.注：整体代换思想：a b 、比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止. 考点3、十字相乘法例5 ⑴254a a -+； ⑵422454x x y y -+.练习3、⑴22616x xy y -- ⑵2()2()80x y y x ----考点4、分组分解法例6分解因式：（1）22244z y xy x -+-；（2）b a b a a 2322-+-（3）322222--++-y x y xy x练习4分解因式：224426x xy y x y -+-+-.分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。

因式分解单元复习OK

拼
+1加上一项加上一项，将4x2+1加上一项，使它成为完全平方式，它成为完全平方式，你有几种方法? 几种方法
的值。若5 x2 －4 xy ＋y2 － 2x ＋1=0，求x、y的值。，、的值
一个矩形的面积为a 一个矩形的面积为 3 -2ab+a ,宽为 a , 宽为则矩形的长为_____________ ( 安徽 ) 则矩形的长为 a2 – 2b+1 矩形的长=(a3-2ab+a)÷a 解: 矩形的长 ÷ =a2 – 2b+1
二套：再看有几项，二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公式；三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“ 三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提” 或能“ 或能“套”。[如(x+y) -x-y=(x+y)(x+y-1）如(x+y)²- y=(x+y)(x+y-
练习题：练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是（下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ D ） A、x2＋x＋2y2 、＋ C、x2＋4xy＋y2 、＋ B、 x2 ＋4x－4 、－ D、 y2 －4xy＋4 x2 、＋
因式分解的一般步骤：因式分解的一般步骤：
一般步骤
一提：先看多项式各项有无公因式，一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；提取公因式；
（x
3 －y））
－（ x －y））
解：（ x －y）3 －（ x －y））） = （ x －y）（ x －y ＋ 1）（ x －y － 1））））

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义，则（） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可．【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意；故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可．【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意；故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±．故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可；（2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--；（3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法．（1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。

《因式分解》复习课

证明：∵ （2n+1)2-(2n-1)2 =[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)+(2n-1)]
=4n•2=8n 且n为整数,∴8n是8的整数倍，一定能被8整除。
7. ( x 2) y 2 y 1 0 ,求xy的值.
2 2
8.已知 x 4 y 2 x 4 y 2 0
(1)-yn+2+16yn (2)a3-4a2b+4ab2
3 2x 4 2
1 8 1
2 2
4 [a +( ) ] - 4 a
应用： 1.若一个矩形的周长为16cm，它的两边长为acm,bcm,且满足
4a-4b-a2+2ab-b2-4=0 ,求它的面积？
2.已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
* 2.分解因式：
(1)3ab-2a+6bc-4c (2) 4m2-6m+3n-n2 (3) x2-6x-y2+9 (4) (ax-by)2-(bx-ay)2 (5)2x2+x-1 (6)3a2b2-4ab+1 3.(x-2)2+y2-2y+1=0,求xy的值. * 3.已知x2+4y2+2x+4y+2=0,求x2-4y
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例题：把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 ②p（y-x）-q（x-y）

因式分解期末知识点专项复习

第三章因式分解复习1.因式分解定义（①左边是多项式；②右边是积的形式；③右边的因式是整式）要点梳理：1. 把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的_________，也叫将多项式__________；2. 因式分解的过程和的过程正好______：前者是把一个多项式化为几个整式的______，后者是把几个整式的______化为一个________.命题角度1 因式分解的概念例1、下列从左到右的变形中是因式分解的有例2、①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．针对训练：下列各式从左边到右边是因式分解的 .①x2-x=x(x-1) ② a(a-b)=a2-ab ② (a+3)(a-3)=a2-9② a2-2a+1=a(a-2)+1② x2-4x+4=(x-2)2针对训练：检验下列因式分解是否正确．(1)a3－ab＝a(a2－b)； (2)x2－x－6＝(x－2)(x－3)；(3)2a2－3ab－2b2＝(2a＋b)(a－2b)； (4)9m2－6mn＋4n2＝(3m－2n)2.命题角度2 因式分解与整式乘法的关系例1．把多项式x2＋mx＋6因式分解得(x－3)(x＋n)，则m＝．【针对训练】如果多项式x2－mx－35因式分解为(x－5)(x＋7)，那么m的值为2.提公因式（把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是a+b+c，即ma+mb+mc=m（a+b+c））要点梳理：1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的________，简称多项式的________.2. 公因式的确定：(1)系数：取多项式各项整数系数的；(2)字母：取多项式各项的字母；(3)各字母的指数：取次数最的．命题角度1 公因式的识别（几个多项式的公共的因式）例1．多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是【针对训练】下列各组多项式中，没有公因式的是( )A．ax－bx和by－ay B．3－9y和6y2－2yC．x2＋y2和x＋y D．a－b和2a2－2ab命题角度2 提单项式公因式法因式分解（从系数、字母以及指数等方面确定公因式）例2．将多项式m2－m因式分解，结果正确的是( )A．m(m－1) B．(m＋1)(m－1) C．m(m＋1)(m－1) D．－m(m－1)【针对训练】1把下列各式因式分解：(1)ab＋ac＝； (2)a2b－2ab2＋ab＝．2．边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为．3．因式分解：3a2b－6ab＋9b＝．4．把多项式－16x3＋40x2y提出一个公因式－8x2后，另一个因式是．5．把下列多项式因式分解：(1)ab2＋ab； (2)3x2－6xy＋x；(3)12a2b3－8a3b2－16ab4；(4)－24x3－12x2＋28x.命题角度3 多项式公因式（整体思想）例1．将3x(a－b)－9y(b－a)因式分解，应提的公因式是( ) A．3x－9y B．3x＋9y C．a－b D．3(a－b)针对训练：1.将多项式(x＋2)(x－2)＋(x－2)提取公因式(x－2)后，余下的部分是命题角度2 提多项式公因式因式分解2．将m2(a－2)＋m(a－2)因式分解的结果是( )A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m－1) C．m(a－2)(m＋1) D．m(2－a)(m－1) 【针对训练】：把下列多项式因式分解：(1)7(a－1)＋x(a－1)；(2)3(a－b)2＋6(b－a)；(3)18(a－b)2－12b(b－a)2；(4)(2a＋b)(2a－b)－3a(2a＋b)．命题角度3 提公因式法因式分解的应用例1．把多项式18m3n2(m＋n2)＋24m2n3(m＋n2)因式分解的结果是．针对训练：1．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b的值为．2．先将代数式因式分解，再求值：(x－2)2－6(2－x)，其中x＝－2.3.已知x＋y＝5，x－y＝－3，则x(x－y)－y(y－x)＝．4．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于．3.公式法（平方差）含有两项，且这两项异号平方项a2－b2＝(a＋b)(a－b)命题角度1 判断用平方差公式进行因式分解例1．下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是()A．4x2＋1 B．－m2＋1 C．－a2－b2D．a2－b3针对训练：1.下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是()A．－a2－4b2B．－1＋25a2 C.116－9a2D．－a4＋1命题角度2 平方差公式因式分解3．因式分解：(1)a3－4a； (2)a4－116b4；(3)9(m＋n)2－(m－n)2 (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)．(5)25x2y2－1； (6)x4－16.命题角度3 利用平方差公式因式分解解决实际问题4.已知x2－y2＝16，x＋y＝2，则x－y＝．5．在一个边长为12.75 cm的正方形内剪去一个边长为7.25 cm的正方形，求剩余部分的面积．3.公式法（完全平方公式）特点：(1)多项式是三项式；(2)其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍．a2 ＋2ab＋b2＝(a＋b)2命题角度1 用完全平方公式进行因式分解1．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )A．4x2－1 B．4x2＋4x－1 C．x2－xy＋y2D．x2－x＋1 42．若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式因式分解，则常数m的值是．3．若多项式x2－mxy＋9y2能因式分解成(a±b)2的形式，则m的值是 . 2．计算：1252－50×125＋252＝3．因式分解：(1)m2－10m＋25；(2)4x2－2x＋14；(3)(x－y)2－6(x－y)＋9.(4)81a2＋16b2－72ab；(5)－a2＋6ab－9b2；(6)a2b2－4ab＋4；(7)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.命题角度2 先提公因式后运用完全平方公式因式分解1．因式分解：(1)－2a3＋12a2－18a； (2)6xy2－9x2y－y3.命题角度3 综合运用平方差公式和完全平方公式因式分解1．因式分解：(1)(x2＋9)2－36x2； (2)y2＋2y＋1－x2(3)9x2－3x＋14； (4)－4x2＋12xy－9y2 ；(5)a 4＋2a 2b ＋b 2 ； (6)x 4－2x 2＋1；(7)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2； (8)(a 2＋4)2－16a 2.专项练习1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）221()()1x y x y x y -+=+-+；（2）2(2)(1)2x x x x -+=--；（3）232632x y xy xy =⋅；（4）29696x y xy y xy x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 2、判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．(1)a 2－9b 2＝(a ＋3b)(a －3b)； (2)3y(x ＋2y)＝3xy ＋6y 2；(3)(3a －1)2＝9a 2－6a ＋1； (4)4y 2＋12y ＋9＝(2y ＋3)2；3.分解因式8ab(a -b)3-12a(a -b)2时，应提取的公因式是( )A.8aB.4ab(a-b)3C.4ab(a-b)2D.4a(a-b)24.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A.a 2+1 B.a 2-6a+9 C.x 5+5y D.x 2-5y5.添加一项，能使多项式9x 2+1构成完全平方式的是( ) A.9x B.-9x C.9x4 D.-6x6.计算：852-152=( )A.70B.700C.4 900D.7 0007. a 4b -6a 3b+9a 2b 分解因式的正确结果是( )A.a 2b(a 2-6a+9)B.a 2b(a+3)(a -3)C.b(a 2-3)2D.a 2b(a -3)28.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4-■=(x 2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A.16，2B.8，1C.24，3D.64，89、已知2ab =时，3a b -=-时，则2332a b a b -的值为（）A ．12-B ．12C ．6-D ．610．若多项式x 2﹣3（m ﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m 的值为（）A ．6或﹣2B ．﹣2C ．6D ．﹣6或2 二、填空题9.多项式9x 2y -15xy -6y 的公因式是_____________.10.一个多项式因式分解的结果是(x+2)(x －3)，那么这个多项式是_____________.11.已知x 、y 是二元一次方程组23,245x y x y -=+=⎧⎨⎩的解，则代数式x 2－4y 2的值为_____________. 三、解答题12、把下列各式因式分解：（1）()()32x a b y b a --- ；（2）()()242252y x x y -+-；（3）4x 2－16 ；（4） 16 － 125 m 2（5）a 3b －ab 3； (6) a 4－ b 4；（7）()()22324a b a b +-- （8）2ax 2－8a ；（9）2221x xy y -+- ；（10）16x 2 + 24x + 9；（11）－x 2 + 4xy - 4y 2 (12) 3ax 2 + 6axy + 3ay 2；(13) (a + b)2 - 12(a + b) + 36； (14) 342 + 34×32 + 162.13、n 为整数，证明：（2n +1）2－1能被8整除．14.已知a－2b=12，ab=2，求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.15、a，b，c是ABC的三边，且有2241029a b a b+=+-（1）若c为整数，求c的值.（2）若ABC是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.16.下面是某同学对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解的过程．解：设a2-4a=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（a2-4a+4）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？___________;（填“彻底”或“不彻底”）（2）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________;（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解.17．分解因式x 2+3x +2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x 2+3x +2＝（x +1）（x +2）．请利用这种方法，分解因式2x 2﹣3x ﹣2＝_____．（1）232x x --；（2）210218x x ++；18.阅读材料对式子223x x +-可以变化如下：原式2222113(21)4(1)4x x x x x =++--=++-=+-此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：（1）分解因式：243x x -+（2）无论x 取何值，代数式222019x x -+总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．。

因式分解知识点总复习附答案

因式分解知识点总复习附答案一、选择题1 .下列分解因式正确的是()° x (x y) y(y x) (x y) 【答案】c【解析】D ・ x 2 4x 4 (x 2) (x 2)【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案.注意分解要彻底. 详解】A. s4xx x 4，故A 选项错误;2CXX,故B 选项错误；R Y YVC. x x yyx2y ,故c 选项正确； D. x 24x 故选4C=( x-2)2,故D 选项错误，【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式.注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解.注意分解要彻底.2.把a 3-4ab 2因式分解,结果正确的是() A. a a 4b a 4b ? B. a24b 2 ?C. a a 2ba 2bD.22h【答案】【解析】【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式解. 【详解】a 3-4ab 2=a (a 2~4b 2)二a (a+2b) ( a~2b)・a,再对余下的多项式继续分故选C.【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力,一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.3.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( A. 2x (x+3)= 2X 2+6X C. x 2+2xy+y 2+l=( x+v) "+1【答案】D4x x(x 4)B. X 2xy x x(x y)) B. 24xy1 3x?8y 2 D. X 2 - y 2 =( x+v)( x- v)【解析】【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可. 【详解】A 、不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、不是因式分解，故本选项不符合题意；是因式分解，故本选项符合题意；D 、故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫因式分解.二3,故选C. 【点睛】是解题的关键.本题考查了因式分解的应用，代数式求值,涉及了提公因式法，积的乘方的逆用，熟练掌握和灵活运用相关知识4.己知 2x"，xy 2,则 2x ; y 332、B. 2A.-3【答案】C 【分析】利用因式分解以及积的乘方的逆用将行计算即可. 【详解】1 xy 2••• 2x y ' '3 4…2x 4y 3 x 丫=x 3y 3 (2x-y) =(xy) 3(2X - y)518 的值为O8 C.-316 D.—X V 窈形为(xv) (2x-v) •然后代入相关数值讲a. b,周长为10,面积为6,贝U a2b+ab2的值为( ) 5•如图，矩形的长、宽分别为【答案】B 【解析】【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出 a+b, ab,进而利用提取公因式法分解因式得出答案.【详解】・••边长分别为a 、b 的长方形的周长为10,面积6,••• 2 (a+b)二10, ab 二6,则 a+b=5,故 ab 2+a 2b=ab (b+a) 二6 X5 二30.故选：B. 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键.将a 3b- ab 进行因式分解，正确的是()【答案】C 【解析】【分析】多项式a 3b- ab 有公因式ab,首先用提公因式法提公因式2x 1 .平方肴公式讲行分健【详解】a 3b ab ab a 2 1 ab a 1 a 1 ,故选：C. 【点睛】公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解;A. 60B. 30C. 15D. 16A. a a 2b bB. ab aC. ab a 1 a 1D .ab a 2此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用,解题关键在于因式分解时通常先提7•下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为().A. x a b ax bxB .x 2 1 y 2 x 1 x 1ab,提公因式后，得到多项式r 1 D. a.x bx c x a b c 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义作答.把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【详解】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、右边不是积的形式，故选项错误；C、x2-l=( x+l)( x-1),正确;D、等式不成立，故选项错误.故选：C.【点睛】熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式.1 18.若a2-b2=- , a-b二-，贝U a+b 的值为()4 一1D. 2A.- K 12【答案】C【分析】已知第二个等式左边利用平方差公式分解后，将第一个等式变形后代入计算即可求出.【详解】1 1a?— b2二(a+b) (a-b) = —(a+b)= '.「1一a+b—2故选C.点睛：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.9.将多项式x'+2xy+b - 2x- 2y+l分解因式，正确的是)' B. ( x+y- 1) 2A. ( x+y) 2°D. (x-y- 1)C. ( x+y+1) 2【答案】B【解析】【分析】此式是6项式，所以采用分组分解法.【详解】解：x2+2xy+5^2— 2x— 2丫+1二(x'+2xy+y‘)— ( 2x+2y) +1=( x+y) 2— 2( x+y) +1=( x+y— 1) 2故选：B10.下列因式分解正确的是(A. x~—y=X—y) 2 B.A■C. xy—X二Xy—1) D.2x+y二2( x+y)【答案】C【解析】【分析】【详解】解：y-(x+y) ( X- y),故此选项错误;A、X2—B、a2+a+l无法因式分解，故此选项错误；c、xy— x=x( y— 1),故此选项正确；D、2x+y无法因式分解，故此选项错误.故选C.【点睛】本题考查因式分解.5n),故选C.11.A. ? J 卜刘各瓦甲个能用半万差公貳分解旳是(222 mR 4Qv2v2 D. 16m; 25n2【答案】C【解析】A 选项—龙+b=b *aT=( b+a) ( b^a)是厂9 、小；B 选项49x y -m 二7xv+m) 7xy-m) ；C 选项-x -y 两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m l-25n2= (4m)2-(5n)匚(4m+5n) ( 4m~【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是要熟记平方差公式的特征.12.下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是(2A. vB. a b a2 2 a bC.2Bahb2 2 ab 答案】解析】【分析】根据把一个多项式化为儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可. 【详解】A 选项：等式右边不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意等式右边B 选项：不是乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意等式右边是乘积的C 选项：形式，故是因式分解，符合题意等式右边不是乘积的形式，故不是D 选项：因式分解，不符合题意故选：C.【点睛】考查了因式分解的意义，关键是掌握因式分解的定义(把一个多项式化为儿个整式的积的形式).13. 某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题： -12xb+6x'y+3xy 二-3xy? (4y-_)横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写(A. 2xB. -2xC. 2x~lD. -2x~l【答案】C 【解析】【分析】根据题意，提取公因式-3xy,进行因式分解即可. 【详解】解:原式二-3xy X( 4y-2x-l),空格中填 2x~l. 故选：C. 【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力.一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化.【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式，进而判断得出答案. 【详解】A. 4a 2+4a+l=( 2a+l ) 2,正确；B. a 2- 4b= (a - 2b) ( a+2b),故此选项错误；C ・a 2- 2a- 1在有理数范围内无法运用公式分解因式，故此选项错误；(a -D ・b)( a+b) -a 2- bl 是多项式乘法，故此选项错误.14. 把多项式分解因式，正确的结果是( A. 4a 2+4a+l=( 2a+l ) 2C. a - 2a - 1=(a - 1) ~【答案】A【解析】 )B. a 2 - 4b'二(a - 4b) ( a+b) )(a - b) ( a+b)二b 2故选：A. 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.15.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )A. ab+ac+d= a (b+c) +dB. (x+2) (x-2) = x‘-4C. 6ab = 2a 毋 bD. x 2 - 8x+16 =( x- 4) 2【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解就是把一个多项式化为儿个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解. 【详解】A 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；B 、等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；C 等式左边是单项式，不是因式分解，故本选项错误；D 、符合因式分解的定义，故本选项正确.故选D. 【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为儿个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.16.己知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且满足a'c’ b =c 2 a 1 b 1,则ABC 是c - (a -- b -) 一 (a ■+ b -) ( a 2- b -)= 0,(a -- b -) ( c"-a _-b")= 0,所以，a __b~= 0 或 CF-a"- b -= 0,因此，AABC 等腰三角形或直角三角形. 故选B.【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到b 、c 的关系A. 直角三角形C. 等腰三角形【答案】B 【解析】【分析】移项并分解因式，然后解方程求出【详解】移项得，a 2c 2-b 2c 2-a 4 + b'= 0,B. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形b 、c 的关系，再确定出AABC 的形状即可得解即 a 二 b 或龙 + b"= CF ,式是解题的关键.17.A. (X+ 1)(X — 1)二 X 2— 11C. 2x =+ 1 = x (2x +—)X【答案】D 【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出儿个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】解：A 、( x+1) ( x-1) -x 2-l 不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误；B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、 x 2- 5x+ 6 =(X- 2) (x- 3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分.18.下列因式分解正确的是()7 2x 1 x x 2 1 B. x' C. xyD. x 2 2x【答案】【解析】【分析】根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项逐一分析判断即可得答案. 【详解】A. x 2+2x+l=(x+l)2,故该选项不属于因式分解，不符合题意，B. x'-yZ (x+y)(X-y),故该选项因式分解错误，不符合题意，C. xy-x 二x(yT),故该选项正确，符合题意，D.X 2+2X -1不能因式分解，故该选项因式分解错误，不符合题意，故选：C. 【点睛】本题考查因式分解，因式分解首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后再利用公式法或十字相乘法进行分解，要分解到不能再分解为止.下列从左到右的变形属于因式分解的是()B. nT — 2m — 3= m(m — 2)— 3D. X — 5x+ 6 = (x — 2) (x — 3)19.下列因式分解正确的是( )A.2x=2刃x yC. x x答案】解析】【分析】根据提公因式法和公式法进行判断求解即可详解】A八庆1忒启X一应为xv X 2x vB.x2 9不能分解因式，故此选项错误；C.xxyyxyxyxy2x2 9x3x32x 2x 1 x x 2 1,故此选项错误;2x y ,正确；D. x2 2x 1 x= x 1 ,故此选项错误.故选：C【点睛】此题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服20.计算(一2)刘5+(—2)'°^的结果是()A. - 2B. 2C. 22015【答案】C【解析】【分析】【详解】2015 2016(-2) *(-2)二(一2) 2015 X (-2) +(-2) 2015二(-2) 2015 X (1-2)2015—9故选C.点睛：本题属于因式分解的应用，关键是找出各数字之间的关系D.Q2015。

初三第一章因式分解复习

(5)(x(2)(x-y)²(x+y) y)²(x-2) (1)-2xy(4-3xy+x) (4)(x-y)²
(3)-(x-y)²

3.公式法（使用之前能提公因式先提公因式）
（1）平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b) 使用条件：平方 - 平方的形式（两项且互为相反数，某个数的平方） a，b可以是数、单项式、多项式使用前先变形成平方的形式（2）完全平方的公式 a²+2ab+b²=(a+b)² 使用条件：二次三项式（三项）首尾两项是符号相同的平方的形式中间项是两数乘积的2倍 ④按照“先两头后中间”化成公式形式
例题3 注意变号规律
(1) (a-b)²n -(b-a)²n 因式分解 (1)-4m²+25n² (3)4x5-64x (2)169（--b)²
1 2
(2) (a-b)²n-1 -(b-a)²n-1

(5)2x²-
1 2x
(4)5652x11-4352x11
(6)-x²-4y²+4xy (9)(x²+1)²-4x(x²+1)+4x²

3b(a²+9b²)² (1)(5n+2m)(5-2m) (5)1/2x(4x-1) (3)4x(x+2)(x(7)a (2)4(12a+b)(a+12b) 2)(x²+4) 4 (4)1430000 (6)-(x(8)(2x+1)²(2x 2y)² -1)² (9)(x-1)

(2)(2x-y+z)(2x-y-z)
(3)(a+1)(a-1)(a-2b) (4)(x-y-1)(x-y+3)

因式分解复习

因式分解复习导学案知识点回顾：分解因式的步骤；一提：① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。

二套：② 对于二项式，考虑用平方差公式分解。

对于三项式，考虑用完全平方公式分解。

三查：③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）知识点一因式分解的定义把一个多项式化成的的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 .注意： (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）.A 、2222)1(xy y x x xy -=-；B 、)3)(3(92-+=-x x x ；C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-；D 、c b a x c bx ax ++=++)(.练习：1．把代数式xy 2－9x 分解因式，结果正确的是( )A 、)9(2-y x ；B 、2)3(+y x ；C 、)3)(3(-+y y x ；D 、)9)(9(-+y y x .2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏因式分解不彻底的一题是（）A 、x 3－x ＝x (x 2－1)；B 、x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2C 、x 2y －xy 2＝xy (x －y )； D 、x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y ) . 知识点二因式分解的基本方法提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法公因式：一个多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式的公因式.提公因式法：把一个多项式中的提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.例2：（1）y x x 225-的公因式为；（2）分解因式： 24x x -= ．练习：1． 322236129xy y x y x -+的公因式为 .2．分解因式：x xy 2-= .分组分解法：（用于4项及以上）把被分解的多项式分成若干组，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

《因式分解》复习

公因式的组成：①各项系数的最大公约数； ②相同字母或因式的最低次幂。
[注意]公因式可以是数字、字母或多项式。
要点、考点聚焦
m(a+b+1)
要点、考点聚焦
(a-b)2
(a+b)(a-b) (a+b)2
要点、考点聚焦
3.因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“用”、三“查” ： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来. (2)二“用”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解. (3)三“查”：一查等式左右是否相等；二查是否分解到不能再分解。
小结
说说你本节课的收获
课后思考
1.观察下列等式:①9-1=2×4,②25-1=4×6,③49-
1=6×8···按这个规律写出第n个等
式：
。
2.已知实数a、b满足： a2 1 1 ，b2 1 1 ，则
a
b
22001157 ab =
归类示例
类型之一因式分解的概念
②④
类型之二因式分解
3
（ D ）。
练习一
1.多项式2a2(a-b)2-4a(a-b)的公因式是 2a(a-b) 。
2.分解因式： 4-a2 = (2+a)(2-a) 。
4-4a+ a2 = (2-a)2
。
x2-5x+6 = (x-2)(x-3) 。
练习二
分解因式：
类型之四因式分解中的拼图问题
如图1，边长为a的正方形中有一个边长为 b 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形。