第六章 图.ppt

点可以相同外，所有端点均不同，则称此路径为简单路径；若一条 路径上的前后两端点相同，则被称为回路或环。
•连通和连通分量——在无向图G中，若从顶点v到顶点v’有路径，则 称v和v’是连通的；若图G中任意两个顶点都连通，则称G为连通图 ，否则称为非连通图。无向图G的极大连通子图称为G的连通分量 •强连通图和强连通分量——在有向图G中，若从顶点v到顶点v’有路 径，则称v和v’是连通的；若图G中任意两个顶点vi和vj都连通，即 从vi ~vj和从vj~ vi都存在路径，则称G为强连通图。有向图G的极大 连通子图称为G的强连通分量 •权和网——在一个图中，每条边可以赋予其具有某种含义的数值， 此数值称为该边的权，边上带有权值的图叫带权图，或网
7 46
路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7 简单路径：1，2，5，7，6 回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路：1，2，3，1
例 245
1
3
连通图 6
例
5
3
6
强连通图
例
245
非连通图
1
3
连通分量 6
7.2 图的存储结构
邻接矩阵——G=(V,E)是有n1个顶点的图，G的邻接矩阵A是具有以
下性质的n阶方阵
A[i,
j]
1,若(vi , v 0，其它
j )或
vi,v
j E(G)
0 1 1 0
例1
2
0
0
0
0
3
4
G1
0 0 0 1 1 0 0 0
例1
2
0 1 0 1 0
1
0
1
0
1
3
0 1 0 1 1
4
5
G2
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
• 特点：
– 无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点的无向图 需存储空间为n(n+1)/2
• 生成树、生成森林——一个连通图的生成树是一个极 小连通子图，它包含图中的全部顶点，但只有足以构 成一棵树的n(n-1)条边。一个有向图的生成森林由若干 棵有向树组成，含有图中的全部顶点，但只有足以构 成若干棵不相交的有向树的弧。
例 1
57
例 245
32
46
G2
顶点5的度：3 顶点2的度：4
1
• 端点和邻接点——在一个无向图中，若存在一条边（Vi，Vj）， 则称Vi和Vj为此边的两个端点，并称它们互为邻接点；同时称边 （Vi，Vj）依附于端点Vi和Vj，或者说（Vi，Vj）和端点Vi 、Vj 相关联
• 出边、入边——在一个有向图中，若存在一条边<vi,vj>，则称此 边是顶点vi的一条出边，顶点vj的一条入边；称vi是此边的起点， vj是此边的终点；且vi和vj互为邻接点，并称vj是vi的出边邻接点， vi是vj的入边邻接点
例
1
57
以1为端点的边是（1,2）（1,3）
顶点5的三个邻接点为2、6、7
32
46
G2
边（2,4）依附于端点2、4，或 者边（2,4）与端点2、4相关联
图G2中：V(G2)={1,2,3,4,5,6,7}
E(G1)={(1,2), (1,3), (2,3), (2,4),(2,5), (5,6), (5,7)}
例 245
1
3
顶点2有三条出边<2,1>、<2,3>、<2,4> 有一条入边<1,2>
顶点3有一个出边邻接点5 有两个入边邻接点2、6
6
G1
图G1中：V(G1)={1,2,3,4,5,6} E(G1)={<1,2>, <2,1>, <2,3>, <2,4>, <3,5>, <5,6>, <6,3>}
3
6
G1
顶点2入度：1 出度：3 度为：4 顶点4入度：1 出度：0 度为：1
例
2
2
1
3
1
3
有向完全图
无向完全图
例 5
245
3
6
1
3
6
例 24
1
3
G1 例
1
5
32 G2
图与子图
5
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5
简单路径：1，2，3，5
6
回路：1，2，3，5，6，3，1
简单回路：3，5，6，3
0，其它
vi , v j
E(G)
例 1 52 3
7 58 4 16
• 顶点的度、入度、出度——无向图中，顶点的度为与每个顶点相 连的边数；有向图中，顶点的度分成入度：以该顶点为头的弧的 数目与出度：以该顶点为尾的弧的数目，顶点的度等于它的入度 与出度之和
• 完全图、稠密图、稀疏图——若无向图中的每两个顶点之间都存 在一条边，有向图中的每两个顶点之间都存在着方向相反的两条 边，则称此图为完全图。若完全图是无向的，则图中的有n(n-1)/2 条边，称为无向完全图；若完全图是有向的，则图中的有n(n-1)条 边，称为有向完全图。当一个图接近完全图时，称它为稠密图； 当一个图中含有较少的边时（<< n(n-1) ），称它为稀疏图
其中：V(G)是顶点的非空有限集 E(G)是有向边（也称弧）的有限集合，弧是顶点的有序
对，记为<v,w>，v,w是顶点，v为弧尾，w为弧头
• 无向图：无向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的
其中：V(G)是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对，记为（v,w）
或（w,v)，并且（v,w)=(w,v)
•子图——如果图G(V,E)和图G’(V’,E’)，满足：V’V，E’E， 则称
G’为G的子图 •路径和回路——在一个图G中，从顶点v到顶点v’存在一个序列 V={Vi1,Vi2,……Vim}，其中v=vi1，v’=vim，且满足(Vij-1,Vij)E 或 <Vij-1,Vij>E,(1<jn)，则这个顶点序列为顶点v到顶点v’的一条路 经,路径长度指该路径上经过的边的数目。若一条路径上除了前后端
– 有向图邻接矩阵不一定对称；有n个顶点的有向图需存储空 间为n²
– 无向图中顶点Vi的度TD(Vi)是邻接矩阵A中第i行元素之和 – 有向图中，
» 顶点Vi的出度是A中第i行元素之和 » 顶点Vi的入度是A中第i列元素之和 – 网的邻接矩阵可定义为：
A[i,
j]
ij , 若(vi , v j )或
第七章 图
7.1 图的定义和术语
• 顶点：表示一个数据元素 • 边、弧：两个顶点之间的关系称为~或~ • 图(Graph)：图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的,记为
G=(V,E)
其中：V(G)是顶点的非空有限集 E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对
• 有向图：有向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的