2020届河南省平顶山许昌济源高三第一次质量检测数学(文)试题

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2020年河南省六市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)

2020年河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足，则A. B. C. D.2.集合的真子集的个数为A. 7B. 8C. 31D. 323.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为A. B. C. D.4.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.已知，且，则A. B. C. D.6.设函数，则函数的图象可能为A. B.C. D.7.已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是A. 该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B. 该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C. 该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D. 该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益8.已知向量，满足，且，，则向量与的夹角为A. B. C. D.9.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A. 28B. 56C. 84D. 12010.已知点M是抛物线上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：上一动点，则的最小值为A. 3B. 4C. 5D. 611.设锐角的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为A. B. C. D.12.设，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线方程是______．14.已知等比数列的前n项和为，若，，则______．15.已知函数，当时，的最小值为，若将函数的图象向右平移个单位后所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为______．16.在直三棱柱中，，底面三边长分别为3、5、7，P是上底面所在平面内的动点，若三被锥的外接球表面积为，则满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻战之一，为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为带助定点扶贫村贫，竖持长贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式指标区间频数51520301515乙种生产方式指标区间频数51520302010在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层物样方式，随机抽出5件产品，求这5件产品中，优等品和合格品各多少件：再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率．所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元，甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产出的成本为20元，用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该单位要选那种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？18.已知等差数列的公差，其前n项和为，且，，，成等比数列．求数列的通项公式；令，求数列的前n项和．19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面．证明：平面平面；若，Q为线段的中点，求三棱锥的体积．20.设椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率是e，动点在椭圆C上运动．当轴时，，．求椭圆C的方程；延长，分别交椭圆C于点A，B不重合设，，求的最小值．21.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ令，若对任意的，，恒有成立，求实数k的最大整数．22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为为参数．求曲线的极坐标方程；若曲线与相交于A、O、B三点，求线段AB的长23.已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，．故选：C．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：A解析：解：令，则；令，则；令，则；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．本题考查真子集，集合元素，属于基础题．3.答案：A解析：解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为．故选：A．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．本题考查概率的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：，，在R上是减函数，又，且，，．故选：B．根据题意即可得出在R上是减函数，并且可得出，并且，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了余弦函数的图象，指数函数的单调性，对数的换底公式，对数的运算性质，对数函数的单调性，减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：B解析：解：；；又故选：B．通过诱导公式求出的值，进而求出的值，最后求．本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．6.答案：B解析：解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，C；又，排除D．故选：B．由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．7.答案：C解析：解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为，2019年1至6月份的总收益为，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．8.答案：B解析：解：，，，且，，，，且，与的夹角为．故选：B．根据条件即可得出，进而得出，然后即可求出的值，进而可得出与的夹角．本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，不满足条件，执行循环体，，，满足条件，退出循环，输出S的值为84．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题，属于基础题．根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值．【解答】解：如图所示，利用抛物线的定义知：，当M、A、P三点共线时，的值最小，即轴，抛物线的准线方程：，此时，又，，所以，即，故选B．11.答案：B解析：解：锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，且，．，，，，由正弦定理可得：，可得：，则a的取值范围为故选：B．由题意可得，且，解得B的范围，可得cos B的范围，由正弦定理求得，根据cos B的范围确定出a范围即可．此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，解题的关键是确定出B的范围，属于基础题．12.答案：C解析：解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，，由，则，，设切点为M，则，，，为的中位线，则即有即有．故选：C．由双曲线的定义可得，，则，，设切点为M，则，，又，，即有，即可．本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：的导数为，可得在点处的切线斜率为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14.答案：1解析：解：根据题意，等比数列满足，，则其公比，若，则；，则；变形可得：，解可得；又由，解可得；故答案为：1根据题意，由等比数列前n项和公式可得，；变形可得，解可得q的值，将q的值代入，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1．15.答案：解析：解：已知函数，当时，的最小值为，，故若将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则，，即，令，可得的最小值为，故答案为：．由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：解析：解：设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，上底面的外接圆的圆心为，若三被锥的外接球表面积为，则外接球的半径R满足，即，由底面ABC的三边长分别为3、5、7，可设AC的长为7，可得，则，则底面ABC的外接圆的半径，可得球心O到底面ABC的距离，则球心O到底面的距离，在直角三角形中，，由题意可得P在以为圆心，半径为的圆上运动，可得满足题意的动点P的轨迹对应图形的面积为．故答案为：．设三被锥的外接球的球心为O，底面ABC的外接圆的圆心为，球的半径为R，由表面积公式球的R，再由三角形的余弦定理和正弦定理可得底面ABC所在圆的半径r，可得的长，的长，再由勾股定理可得，判断P所在的轨迹为圆，可得其面积．本题考查直三棱柱的定义和性质，以及三棱锥的外接球的定义和面积，考查球的截面的性质，以及解三角形的知识，考查空间想象能力和运算能力、推理能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布表得：甲的优等品率为，合格品率为，抽出的5件产品中优等品有3件，合格品有2件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，抽取方式有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为M，则事件M发生的情况有6种，这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，所获得的利润为元，元，元，，用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．解析：由频数分布表得甲的优等品率为，合格品率为，由此能过求出这5件产品中，优等品和合格品各多少件．记3件优等品分别为A，B，C，2件合格品分别为a，b，从中任取2件，利用列举法能求出这2件中恰有1件是优等品的概率．根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品，设甲种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件，求出所获得的利润为元，由，得到该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫单位来脱贫较好．本题考查概率的求法，考查最佳生产方式的判断，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，化为：．，，成等比数列，，可得，，化为：．联立解得：，．．，数列的前n项和．解析：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由，可得，化为：由，，成等比数列，可得，，，化为：联立解得：，即可得出．，利用裂项求和方法、等差数列的求和公式即可得出．19.答案：Ⅰ证明：取PD的中点O，连接AO，为等边三角形，，平面PAD，平面平面，平面平面PCD，平面PCD，平面PCD，，底面ABCD为正方形，，，平面PAD，又平面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：由Ⅰ知，平面PCD，到平面PCD的距离．底面ABCD为正方形，，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，到平面PCD的距离．由Ⅰ知，平面PAD，平面PAD，，．解析：Ⅰ取PD的中点O，连接AO，由已知可得，再由面面垂直的判定可得平面PCD，得到，由底面ABCD为正方形，得，由线面垂直的判定可得平面PAD，则平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ知，平面PCD，求出A到平面PCD的距离，进一步求得Q到平面PCD的距离，再由Ⅰ知，平面PAD，得，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：由题意知当轴时，，知，，，又，所以椭圆的方程为：；由知，设，由得，即，代入椭圆方程得：，又，得，两式相减得：，因为，所以，故；同理可得：，故，当且仅当时取等号，故的最小值为．解析：由轴时，，得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；由得：焦点，的坐标，再由，，求出，的值，进而求出之和的值，再由的范围，求出的最小值．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21.答案：解：Ⅰ此函数的定义域为，．当时，，在上单调递增，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增．综上所述：当时，在上单调递增；当时，若，单调递减，若，单调递增；Ⅱ由Ⅰ知，恒成立，则只需恒成立，则，即，令，则只需，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，即，则，的最大整数为7．解析：Ⅰ求出函数的定义域为，再求出原函数的导函数，分和两类求解函数的单调区间；Ⅱ由Ⅰ知，把恒成立，转化为恒成立，进一步得到，令，则只需，利用导数求最值，则答案可求．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．22.答案：解：已知曲线的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．由，解得．所以由，解得，解得所以．解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，，当时，由得，解得；当时，无解；当时，由得，解得，的解集为：，或；的解集包含等价于在上恒成立，当时，等价于恒成立，而，，，故满足条件的a的取值范围为：．解析：当时，，然后由分别解不等式即可；由条件可得在上恒成立，然后求出和最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．。

2020年河南省高考数学质检试卷(文科)(6月份)

2020年河南省高考数学质检试卷（文科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x(x −2)≤0}，B ＝{x|x >1}，则A ∩B ＝（） A.(0, 1) B.(1, 2) C.[0, 1) D.(1, 2]2. 已知复数z =1−i i+2i ，则|z|＝（） A.√5 B.2C.√3D.√23. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为ab8sin C ，则C ＝（） A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π34. 计算：(cos5π12+cos π12)(cos5π12−cos π12)=( )A.−√32B.−12 C.12 D.√325. “(x −3)ln x >0”是“2x >8”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知实数x ，y 满约束条件{2x −3y +4≥0,2x +y −4≤0,2x +5y +4≥0, 则z ＝2x −y 的最小值为（）A.−5B.−4C.−3D.−27. 函数f(x)＝x ln (√x 2+1−x)的图象大致为（）A.B.C. D.8. 刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内(a, b ∈N ∗, b <a)，则圆周率的近似值为（） A.(3√6+3√2)abB.(3√6+3√2)baC.(3√6−3√2)abD.(3√6−3√2)ba9. 若非零向量a →,b →满足(a →+2b →)⊥(a →−2b →),(a →+b →)⊥(a →+3b →)，则向量a →与b →夹角的余弦值为（） A.−78 B.−58C.−34D.−3810. 已知函数f(x)={e x −e −x ,x >0,−x 2,x ≤0, 若a ＝50.01，b =32log 32,c =log 30.9，则有（）A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(c)>f(a)>f(b)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(a)>f(b)>f(c)11. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点，若△BF 1F 2的外接圆的半径为2b3，则椭圆C 的离心率为（）A.√22B.√32C.12D.2312. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AD ⊥BP ，PA ＝AC ，若三棱锥P −ABC 外接球表面积为8π，则三棱锥P −ACD 体积的最大值为（）A.√24B.12C.√34D.√23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．曲线y ＝2x 2−ln x 在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为________．已知函数f(x)＝sin ωx +a cos ωx(0<ω<5, a >0)对任意的x 1，x 2都有f(x 1)+f(x 2)≥−4，且存在x 0∈R ，f(x 0)＝−2，点(π6,0)为曲线y ＝f(x)的对称中心．若将函数y ＝f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(0)＝________−√3 ．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线C 的左支相交于点A ，与双曲线的右支相交于点B ，O 为坐标原点．若2|BF 2|＝3|AF 1|，且|F 1F 2|＝2|OB|，则双曲线C 的渐近线方程为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．在数列{a n }中，a 1＝1，对∀n ∈N ∗，na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =√a a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，BC // AD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝AP ＝2，E 为PD 的中点，F 为BP 的中点．（1）求证：CE // 平面PAB ；（2）求点D 到平面PBC 的距离．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解A 城市2019年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5日均值数据中随机抽取30天的数据作为样本，日均值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求30天样本数据的平均数；（2）从A 城市共采集的30个数据样本中，从PM2.5日均值在[70, 90]范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；（3）以这30天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A 城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级、二级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，点F 到直线x −y +1＝0的距离为√2．（1）求抛物线C 的方程（2）点O为坐标原点，直线l1，l2经过点M(−1, 0)，斜率为k1的直线l1与抛物线C交于A，B两点，斜率为k2，求λ的最小值．的直线l2与抛物线C交于D，E两点，记λ＝|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|，若k1k2=−12已知函数f(x)＝x2−2ax+2ln x(a∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x1，x2(x2>x1)，求证：f(x2)−f(x1)<(2−a)(x2−x1)．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(1, 0)；以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长)，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．度建立极坐标系，点M的极坐标为(2√2,3π4（1）若点N为曲线C1上的动点，求线段MN的中点T的轨迹C2的直角坐标方程；（2）在（1）的条件下，若过点P的直线l与曲线C2相交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x−2|+|x+1|．（1）求不等式f(x)≤4的解集；(m>0)的最小值．（2）若函数y＝f(x)+|x+1|的最小值为k，求km+2m2参考答案与试题解析2020年河南省高考数学质检试卷（文科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 D【考点】交集及其运算【解析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．【解答】∵ 集合A ＝{x|x(x −2)≤0}＝{x|0≤x ≤2}， B ＝{x|x >1}，∴ A ∩B ＝{x|1<x ≤2}＝(1, 2]． 2.【答案】 D【考点】复数的模【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】 ∵ z =1−i i+2i =(1−i)(−i)−i +2i =−1−i +2i =−1+i ，∴ |z|=√(−1)2+12=√2． 3. 【答案】 C【考点】正弦定理【解析】由题意利用三角形的面积公式可得sin 2C =14，结合sin C >0，可求sin C 的值，结合C 的范围即可求解C 的值．【解答】由题意可得：△ABC 的面积为ab8sin C =12ab sin C ，可得：sin 2C =14，由于C ∈(0, π)，sin C >0，所以sin C =12，可得C =π6或5π6．4.【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由已知利用平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】 (cos 5π12+cos π12)(cos5π12−cos π12)=cos 25π12−cos 2π12=1+cos5π62−1+cos π62=1−√322−1+√322=−√32． 5.【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据题意，求出两个不等式的解集，分析其解集之间的关系，结合集合与充分必要条件的关系分析可得答案．【解答】根据题意，不等式(x −3)ln x >0⇒{x −3>0ln x >0 或{x −3<0ln x <0 ，解可得0<x <1或x >3，即不等式的解集为{x|0<x <1或x >3}，2x >8，解可得x >3，即不等式的解集为{x|x >3}，又由{x|x >3}⊆{x|0<x <1或x >3}，则“(x −3)ln x >0”是“2x >8”的必要不充分条件； 6.【答案】 B【考点】简单线性规划【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．【解答】作出实数x ，y 满约束条件{2x −3y +4≥0,2x +y −4≤0,2x +5y +4≥0,对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x−y，得y＝2x−z，平移直线y＝2x−z，由图象可知当直线y＝2x−z经过点B(−2, 0)时，直线y＝2x−z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z＝−4，7.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，由函数的解析式分析f(1)与f(−1)的符号，利用排除法分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝x ln(√x2+1−x)，则f(1)＝ln(√2−1)<0，排除BC，f(−1)＝−ln(√2+1)<0，排除A，故选：D．8.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）模拟方法估计概率【解析】根据题意，由圆的半径求出圆的面积以及圆的内接正二十四边形的面积，结合几何概型的知识可得S ′S =3√6−3√2π=ba，变形即可得答案．【解答】根据题意，圆O的半径为1，则其面积S＝π，其内接正二十四边形的面积S′＝24×(12×1×1×sin15∘)＝3√6−3√2，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正二十四边形内，则有S′S=3√6−3√2π=ba，变形可得：π=(3√6−3√2)ab；9.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据平面向量的数量积与模长、夹角公式，即可求出向量a→与b→夹角的余弦值．【解答】由(a→+2b→)⊥(a→−2b→),(a→+b→)⊥(a→+3b→)，所以(a→+2b→)⋅(a→−2b→)＝0，且(a→+b→)⋅(a→+3b→)＝0；即a→2−4b→2=0，所以|a→|＝2|b→|；且a→2+4a→⋅b→+3b→2=0，代入得4|b→|2+8|b→|2cosθ+3|b→|2=0，解得cosθ=−78；所以向量a→与b→夹角的余弦值为−78．10.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】根据f(x)的解析式即可判断f(x)在(0, +∞)上是增函数，并且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，并且可判断a>1>b>0>c，从而可得出f(a)，f(b)和f(c)的大小关系．【解答】f(x)在(0, +∞)上是增函数，且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，b=log3812<log3912=1，a＝50.01>50＝1，c＝log30.9<log31＝0，∴0<b<1，a>1，c<0，∴f(a)>f(b)>0>f(c)∴f(a)>f(b)>f(c)．11.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】由题意画出图形，利用勾股定理列式可得b2＝3c2，结合隐含条件即可求得椭圆C的离心率．【解答】设O为坐标原点，△BF1F2的外心必在线段OB上，且有c2+(b−2b3)2=(2b3)2，得b2＝3c2，即a2−c2＝3c2，得a＝2c，∴椭圆C的离心率为e=ca =12．12.【答案】D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】设AB＝a，BC＝b，由三棱锥P−ABC外接球表面积得外接球的半径，再由已知结合勾股定理列式求得AP及a2+b2的值，把PB，BD用含有a的代数式表示，过D作DE⊥AB，可得DE⊥平面ABC，利用三角形相似把DE用含有a的代数式表示，可得V P−ACD＝V P−ABC−V D−ABC，整理后利用基本不等式求最值．【解答】设AB＝a，BC＝b，由三棱锥P−ABC外接球表面积为8π，得外接球的半径为√2，又PA⊥平面ABC，得AB⊥BC，∴AB2+BC2+AP2＝AC2+AP2＝2AP2＝(2R)2，得AP＝2，∴a2+b2＝4．∵PA⊥平面ABC，AD⊥BP，∴PB=√4+a2，BD=2√4+a2，过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面ABC，∴DE // PA，可得DEPA =BDPB，则DE=2a24+a2．∴V P−ACD＝V P−ABC−V D−ABC=13S△ABC⋅(PA−DE)=16ab⋅(2−2a24+a2)=4ab3(4+a2)=4ab3(2a2+b2)=43(2ab+ba)≤62=√23．当且仅当2ab =ba，即a=2√33，b=2√63时，等号成立．∴三棱锥P−ACD体积的最大值为√23．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】3x−y−1＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程．【解答】由y′=4x−1x=3得：x=1,x=−14（舍）．所以切点坐标为(1, 2)．故切线方程为y−2＝3(x−1)．即3x−y−1＝0．【答案】−√3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，先求出函数g(x)的解析式，从而求得g(0)的值．【解答】函数f(x)＝sinωx+a cosωx(0<ω<5, a>0)对任意的x1，x2都有f(x1)+f(x2)≥−4，且存在x0∈R，f(x0)＝−2，∴−√1+a2=−2，故a=√3，函数f(x)＝sinωx+√3cosωx＝2sin(ωx+π3)．∵点(π6,0)为曲线y＝f(x)的对称中心，∴ω×π6+π3=kπ，k∈Z，∴ω＝4，f(x)＝2sin(4x+π3)．若将函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)＝2sin(4x−π+π3)＝2sin(4x−2π3)的图象，则g(0)＝2sin(−2π3)＝−2sinπ3=−√3，【答案】2x±y＝0【考点】双曲线的离心率【解析】设|AF1|＝2m，m>0，求得|BF2|，运用双曲线的定义可得|AF2|，|BF1|，|AB|，推得BF1⊥BF2，运用勾股定理推得m=2a3，b＝2a，可得双曲线的渐近线方程．【解答】设|AF1|＝2m，m>0，则|BF2|＝3m，因为|AF2|−|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2m+2a，同理可得|BF1|＝2a+3m，所以|AB|＝|BF1|−|AF1|＝2a+3m−2m＝2a+m，因为|F1F2|＝2|OB|，所以BF1⊥BF2，在直角三角形ABF2中，|AF2|2＝|AB|2+|BF2|2，即(2m+2a)2＝(2a+m)2+9m2，解得m=2a3，则|BF2|＝2a，|BF1|＝4a，在直角三角形BF1F2中，由|F1F2|2＝|BF1|2+|BF2|2，即4(a2+b2)＝16a2+4a2，可得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．【答案】∵ na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)，∴ an+1n+1−a n n=1，又a11=1，∴ 数列{an n)是首项、公差均为1的等差数列．∴ ann =n ，a n ＝n 2；由（1）得a n ＝n 2，∴ b n =a a =1n(n+1)=1n −1n+1，∴ S n ＝(1−12)+(12−13)+...+(1n −1n+1)＝1−1n+1=nn+1．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）先由na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)⇒a n+1n+1−a n n=1，进而说明数列{ann )是首项、公差均为1的等差数列，求出ann ，即可求得a n ；（2）先由（1）中求得的a n 求出b n ，再利用裂项相消法即可求得其前n 项和S n ．【解答】∵ na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)，∴a n+1n+1−a n n=1，又a 11=1，∴ 数列{ann )是首项、公差均为1的等差数列．∴a n n=n ，a n ＝n 2；由（1）得a n ＝n 2，∴ b n =a a =1n(n+1)=1n −1n+1， ∴ S n ＝(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)＝1−1n+1=nn+1．【答案】证明：如图，取AP 的中点G ，连接EG ，BG ，∵ DE ＝PE ，AG ＝PG ，∴ GE // AD 且AD ＝2GE ． ∵ AD ＝2，∴ GE ＝1．∵ BC // AD ，BC ＝1，∴ GE // BC 且GE ＝BC ， ∴ 四边形BCEG 为平行四边形， ∴ CE // BG ．又∵ BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴ CE // 平面PAB ．如图，过点A 作AH ⊥BP ，垂足为H ．∵ AP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ AP ⊥BC ．∵ BC ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，又AB ，AP ⊂平面PAB ，∴ BC ⊥平面PAB ． ∵ AH ⊂平面PAB ，∴ AH ⊥BC ．∵ AH ⊥BP ，BP ∩BC ＝B ，BP ，BC ⊂平面PBC ，∴ AH ⊥平面PBC ．在Rt △APB 中，BP√AB 2+AP 2=√5，AH =AB×AP BP=√5=2√55． ∵ AD // BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，∴ AD // 平面PBC ， ∴ 点D 到平面PBC 的距离与点A 到平面的距离相等，故点D 到平面PBC 的距离为2√55．（注：也可利用V P−BCD ＝V D−PBC 求解）【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】（1）取AP 的中点G ，连接EG ，BG ，证明四边形BCEG 为平行四边形，则有CE // BG ，即可证CE // 平面PAB ；（2）过点A 作垂足为H ，证明AH ⊥平面PBC ，又AD // BC ，所以点D 到平面PBC 的距离即为AH 长，求解AH 即可．【解答】证明：如图，取AP 的中点G ，连接EG ，BG ，∵ DE ＝PE ，AG ＝PG ，∴ GE // AD 且AD ＝2GE ． ∵ AD ＝2，∴ GE ＝1．∵ BC // AD ，BC ＝1，∴ GE // BC 且GE ＝BC ， ∴ 四边形BCEG 为平行四边形， ∴ CE // BG ．又∵ BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴ CE // 平面PAB ．如图，过点A 作AH ⊥BP ，垂足为H ．∵ AP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ AP ⊥BC ．∵ BC ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，又AB ，AP ⊂平面PAB ，∴ BC ⊥平面PAB ． ∵ AH ⊂平面PAB ，∴ AH ⊥BC ．∵ AH ⊥BP ，BP ∩BC ＝B ，BP ，BC ⊂平面PBC ，∴ AH ⊥平面PBC ．在Rt △APB 中，BP√AB 2+AP 2=√5，AH =AB×AP BP=√5=2√55． ∵ AD // BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，∴ AD // 平面PBC ， ∴ 点D 到平面PBC 的距离与点A 到平面的距离相等，故点D 到平面PBC 的距离为2√55．（注：也可利用V P−BCD ＝V D−PBC 求解）【答案】30天样本数据的平均数为x ¯=130×(20+60+150+160+200+300+210+160+180+16+21+19+18+19+23+16+9+9)＝53；从A 城市所采集的30个数据样本中，PM2.5日均值在[70, 90]内的共有5天，而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天；记PM2.5日均值超标的3天为a ，b ，c ，不超标的2天为x ，y ；则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果（不记顺序）：(a, b)、(a, c)、(a, x)、(a, y)、(b, c)、(b, y)、(c, x)、(c, y)、(x, y)，其中，抽出2天的PM2.5日均值均超标的情况有3种：(a, b)、(a, c)、(b, c)，由古典概型知，抽到2天的PM2.5日均值均超标的概率为P =310；在抽取的30天样本数据中，A 城市有8天达到一级，有17天达到二级．由样本估计总体知，A 城市一年按35天计算）中空气质量达到一级的天数约为：365×830=2923≈97（天），A 城市一年（按365天计算）中空气质量达到二级的天数约为：365×1730=12416≈207（天）；所以估计A 城市一年中空气质量为一级约有97天，空气质量为二级约有207天．【考点】茎叶图【解析】（1）根据茎叶图中数据计算平均数即可；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（3）利用样本数据估计总体数据即可．【解答】30天样本数据的平均数为 x ¯=130×(20+60+150+160+200+300+210+160+180+16+21+19+18+19+23+16+9+9)＝53；从A 城市所采集的30个数据样本中，PM2.5日均值在[70, 90]内的共有5天，而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天；记PM2.5日均值超标的3天为a ，b ，c ，不超标的2天为x ，y ；则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果（不记顺序）：(a, b)、(a, c)、(a, x)、(a, y)、(b, c)、(b, y)、(c, x)、(c, y)、(x, y)，其中，抽出2天的PM2.5日均值均超标的情况有3种：(a, b)、(a, c)、(b, c)，由古典概型知，抽到2天的PM2.5日均值均超标的概率为P =310；在抽取的30天样本数据中，A 城市有8天达到一级，有17天达到二级．由样本估计总体知，A 城市一年按35天计算）中空气质量达到一级的天数约为：365×830=2923≈97（天），A 城市一年（按365天计算）中空气质量达到二级的天数约为：365×1730=12416≈207（天）；所以估计A 城市一年中空气质量为一级约有97天，空气质量为二级约有207天．【答案】点F 的坐标为(p2, 0)，点F 到直线x −y +1＝0的距离为|p 2+1|√2=√2，因为p >0，所以p ＝2．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立方程{y 2=4x y =k 1(x +1) 消去y 后整理为，k 12x 2+(2k 12−4)x +k 12＝0，由题意得{k 1≠0△=(2k 12−4)2−4k 12>0 ，所以0<k 1<1，所以x 1+x 2=4−2k 12k 12，x 1x 2＝1，又|MA|=√(x 1+1)2+y 12=√(x 1+1)2+k 12(x 1+1)2=√1+k 12|x 1+1|，则|MB|=√1+k 12|x 2+1|，且x 1，x 2>0，所以|MA|⋅|MB|＝(1+k 12)(x 1+1)(x 2+1)＝(1+k 12)(x 1x 2+x 1+x 2+1)＝(1+k 12)(4−2k 12k 12+2)=4(1+k 12)k 12，同理，|MD|⋅|ME|=4(k 22+1)k 22．所以λ＝|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|=16(1+k 12)(1+k 22)k 12k 22＝64(1+k 12)(1+k 22)＝64(k 12+k 22+54)≥64(2|k 1k 2|+54)＝64(1+54)＝144（当且仅当k 1=−√22，k 2=√22时取等号）．所以λ的最小值为144．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】（1）求得F 的坐标，由点到直线的距离公式可得p ，进而得到抛物线的方程；（2）设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立直线l 1和抛物线的方程，运用韦达定理和两点的距离公式，求得|MA|，|MB|，同理可得|MD|，|ME|，可得λ的式子，化简整理由基本不等式可得所求最小值．【解答】点F 的坐标为(p2, 0)，点F 到直线x −y +1＝0的距离为|p 2+1|√2=√2，因为p >0，所以p ＝2．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立方程{y 2=4x y =k 1(x +1) 消去y 后整理为，k 12x 2+(2k 12−4)x +k 12＝0，由题意得{k 1≠0△=(2k 12−4)2−4k 12>0 ，所以0<k 1<1，所以x 1+x 2=4−2k 12k 12，x 1x 2＝1，又|MA|=√(x 1+1)2+y 12=√(x 1+1)2+k 12(x 1+1)2=√1+k 12|x 1+1|，则|MB|=√1+k 12|x 2+1|，且x 1，x 2>0，所以|MA|⋅|MB|＝(1+k 12)(x 1+1)(x 2+1)＝(1+k 12)(x 1x 2+x 1+x 2+1)＝(1+k 12)(4−2k 12k 12+2)=4(1+k 12)k 12，同理，|MD|⋅|ME|=4(k 22+1)k 22．所以λ＝|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|=16(1+k 12)(1+k 22)k 12k 22＝64(1+k 12)(1+k 22)＝64(k 12+k 22+54)≥64(2|k 1k 2|+54)＝64(1+54)＝144（当且仅当k 1=−√22，k 2=√22时取等号）．所以λ的最小值为144．【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)＝2x −2a +2x =2(x 2−ax+1)x，①当a ≤0时，x 2−ax +1>0恒成立，即f ′(x)>0，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当0<a ≤2时，△≤0，f ′(x)>0恒成立，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；③当a >2时，令f ′(x)>0，得0<x <a−√a 2−42或x >a+√a 2−42，函数f(x)单调递增；令f ′(x)<0，得a−√a 2−42<x <a+√a 2−42，函数f(x)单调递减．综上所述，当a ≤2时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2时，函数f(x)在(0, a−√a 2−42)和(a+√a 2−42, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−42, a+√a 2−42)上单调递减．证明：由（1）知，x 1、x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个不同正根且{x 1+x 2=ax 1x 2=1，∴ 0<x 1<1<x 2．∴ f(x 2)−f(x 1)＝(x 22−2ax 2+2ln x 2)−(x 12−2ax 1+2ln x 1)＝(x 22−x 12)−2a(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=(x 22−x 12)−2(x 2+x 1)(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=−(x 22−x 12)+2ln x2x 1．∵ (2−a)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−a(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 2+x 1)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 22−x 12)，∴ 要证f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)，只需证2lnx 2x 1<2(x 2−x 1)．∵ x 1x 2＝1，∴ 只需证ln x 22<x 2−1x 2，即证x 2−1x 2−2ln x 2>0．令g(x)＝x −1x −2ln x(x >1)，则g ′(x)＝1+1x 2−2x =(1x −1)2>0，∴ 函数g(x)在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(1)＝0，即x 2−1x 2−2ln x 2>0．故若f(x)存在两个极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，则f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)2(x 2−ax+1)x，然后分a ≤0，0<a ≤2和a >2三类讨论f ′(x)与0的大小关系，从而得f(x)的单调性；（2）由（1）知，x 1、x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个不同正根且{x 1+x 2=ax 1x 2=1，故0<x 1<1<x 2；于是可将f(x 2)−f(x 1)化简为(x 22−x 12)+2ln x2x 1，将(2−a)(x 2−x 1)化简为2(x 2−x 1)−(x 22−x 12)，然后利用分析法将原问题转化为证明x 2−1x 2−2ln x 2>0恒成立；构造函数g(x)＝x −1x−2ln x(x >1)，利用导数判断其单调性，并求最小值即可得证．【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)＝2x −2a +2x =2(x 2−ax+1)x，①当a ≤0时，x 2−ax +1>0恒成立，即f ′(x)>0，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当0<a ≤2时，△≤0，f ′(x)>0恒成立，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；③当a >2时，令f ′(x)>0，得0<x <a−√a 2−42或x >a+√a 2−42，函数f(x)单调递增；令f ′(x)<0，得a−√a 2−42<x <a+√a 2−42，函数f(x)单调递减．综上所述，当a ≤2时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >2时，函数f(x)在(0, a−√a 2−42)和(a+√a 2−42, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−42, a+√a 2−42)上单调递减．证明：由（1）知，x 1、x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个不同正根且{x 1+x 2=ax 1x 2=1，∴ 0<x 1<1<x 2．∴ f(x 2)−f(x 1)＝(x 22−2ax 2+2ln x 2)−(x 12−2ax 1+2ln x 1)＝(x 22−x 12)−2a(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=(x 22−x 12)−2(x 2+x 1)(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=−(x 22−x 12)+2ln x2x 1．∵ (2−a)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−a(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 2+x 1)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 22−x 12)，∴ 要证f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)，只需证2ln x2x 1<2(x 2−x 1)．∵ x 1x 2＝1，∴ 只需证ln x 22<x 2−1x 2，即证x 2−1x 2−2ln x 2>0．令g(x)＝x −1x −2ln x(x >1)，则g ′(x)＝1+1x 2−2x =(1x −1)2>0，∴ 函数g(x)在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(1)＝0，即x 2−1x 2−2ln x 2>0．故若f(x)存在两个极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，则f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)． [选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】点M 的直角坐标方程为(−2, 2)，将ρ=√x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ代入曲线C 1的极坐标方程，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−4x ＝0，整理为(x −2)2+y 2＝4．设点T 的坐标为(x, y)，点N 的坐标为(m, n)，则(m −2)2+n 2＝4．由T 为MN 的中点，则有{2x =m −22y =n +2，得{m =2x +2n =2y −2 ，代入(m −2)2+n 2＝4，可得4x 2+(2y −2)2＝4，整理得x 2+(y −1)2＝1．故线段MN 的中点T 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+(y −1)2＝1．设直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的参数方程为{x =1+t cos θy =t sin θ （t 为参数），A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2．将直线l 的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程后整理得： t 2+2(cos θ−sin θ)t +1＝0，由韦达定理得t 1+t 2＝−2(cos θ−sin θ)，t 1⋅t 2＝1，所以|PA|⋅|PB|＝|t 1t 2|＝1．所以|PA|⋅|PB|的值的值为1．【考点】轨迹方程【解析】（1）先根据直角坐标系与极坐标系坐标之间的关系求出M 点的直角坐标系坐标与曲线C 1的直角坐标系方程，再利用T 为MN 的中点这个条件求出N 点坐标与T 点坐标之间的关系，再代入到方程(m −2)2+n 2＝4中即可得到x ，y 的关系，即线段MN 的中点T 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）先求出直线l 的标准的参数方程，再与曲线C 2联立，结合参数t 的几何意义即可求出|PA|⋅|PB|的值．【解答】点M 的直角坐标方程为(−2, 2)，将ρ=√x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ代入曲线C 1的极坐标方程，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−4x ＝0，整理为(x −2)2+y 2＝4．设点T 的坐标为(x, y)，点N 的坐标为(m, n)，则(m −2)2+n 2＝4．由T 为MN 的中点，则有{2x =m −22y =n +2，得{m =2x +2n =2y −2 ，代入(m −2)2+n 2＝4，可得4x 2+(2y −2)2＝4，整理得x 2+(y −1)2＝1．故线段MN 的中点T 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+(y −1)2＝1．设直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的参数方程为{x =1+t cos θy =t sin θ （t 为参数），A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2．将直线l 的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程后整理得： t 2+2(cos θ−sin θ)t +1＝0，由韦达定理得t 1+t 2＝−2(cos θ−sin θ)，t 1⋅t 2＝1，所以|PA|⋅|PB|＝|t 1t 2|＝1．所以|PA|⋅|PB|的值的值为1． [选修4-5：不等式选讲]【答案】①当x ≤−1时，原不等式可化为2−2x −(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x ＝−1；②当−1<x <1时，原不等式可化为2−2x +x +1≤4，得x >−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，原不等式可化为2x −2+x +1≤4，解得x ≤53，故有1≤x ≤53 综上，不等式的解集为[−1, 53]．因为y ＝f(x)+|x +1|＝2|x −1|+2|x +1|≥2|x −1+x +1|＝4，所以k ＝4．所以km +2m 2=4m +2m2=2m +2m +2m2≥3√2m ⋅2m ⋅2m 23=6，当且仅当2m =2m 2，即m ＝1时“＝”成立，所以km +2m 2的最小值为6．【考点】函数的最值及其几何意义绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）对x进行讨论，化简绝对值，进而可求不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质可求f(x)的最小值，进而可求k，然后结合基本不等式即可求解．【解答】①当x≤−1时，原不等式可化为2−2x−(x+1)≤4，得x≥−1，故有x＝−1；②当−1<x<1时，原不等式可化为2−2x+x+1≤4，得x>−1，故有−1<x<1；③当x≥1时，原不等式可化为2x−2+x+1≤4，解得x≤53，故有1≤x≤53综上，不等式的解集为[−1, 53]．因为y＝f(x)+|x+1|＝2|x−1|+2|x+1|≥2|x−1+x+1|＝4，所以k＝4．所以km+2m2=4m+2m2=2m+2m+2m2≥3√2m⋅2m⋅2m23=6，当且仅当2m=2m2，即m＝1时“＝”成立，所以km+2m的最小值为6．第21页共22页◎第22页共22页。

河南省平顶山许昌济源2020届高三语文第一次质量检测试题(扫描版)

平顶山许昌济源2020年高三第一次质量检测语文参考答案及评分细则一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）1.（3分）C（“只是中国社会追求的社会不同主体间的平等”分析有误）2.（3分）B（“论证宽厚包容精神是中华民族精神的重要组成部分”分析有误）3.（3分）D（A项“与西方文化重自我的狭隘观念不同”说法有误，B项“是‘为国以礼’的重要原因”说法有误，C项“宽厚包容是中华民族精神的精髓”说法有误。

）（二）实用类文本阅读（本题共3小题，12分）4.（3分）D（“建设成本不足欧美一半”理解有误）5.（3分）A（“中国核电建设速度远低于其他国家，2019年起即将迎来快速发展期”分析有误）6.（6分）①积极研发安全性能高的核电技术并向外输出。

②采取多种措施，确保公众的知情权、参与权和监督权。

③与其他国家在核安全方面交流合作，提供培训交流活动平台。

（每点2分；若答其他，言之成理可酌情给分。

）（三）文学类文本阅读（本题共3小题，15分）7. （3分）C(“使小说的情节发生了突转”分析有误)8.（6分）①正面描写。

描写齐福仁、男子每天到老院子看看的行为，齐福仁临终时的幻觉等，表现他们的不舍和依恋。

②侧面描写。

通过流浪狗守着那个破败的地方不愿离开，衬托人物固守不舍的眷恋心理。

③以小见大。

以齐福仁、男子作为普通百姓的典型代表，反映城市化进程中他们安土重迁的心理。

（共6分，每点2分；若答其他，言之成理可酌情给分。

）9.（6分）①情节结构上，呼应题目，构成反复，使结构更加严谨完整；②人物形象上，赋予燕子人格化色彩，用燕子的叫声烘托出齐福仁对老院子的眷恋；③主题思想上，燕子代表着土地、家园，燕子的叫声是土地、家园对齐福仁的呼唤，这强化了主人公对土地、家园的情感，深化了主旨。

（共6分，每点2分；若答其他，言之成理可酌情给分。

）二、古代诗文阅读（34分）（一）文言文阅读（本题共4小题，19分）10.（3分）C11.（3分）A（“低于”应为“高于”）12.（3分）D（“其后再未担任要职”分析有误）13.（10分）（1）我在秦国获罪，感到害怕而逃跑，没有可容身的地方，希望您拯救我。

2020届河南省平顶山许昌济源高三第一次质量检测数学(文)试卷及解析

2020届河南省平顶山许昌济源高三第一次质量检测数学（文）试卷★祝考试顺利★（解析版）注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后,将答题卡交回．一、选择题；本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.若集合A={x|1≤x≤3},B={x|x ＞2},则A∩B 等于（）A. {x | 2＜x≤3}B. {x | x≥1}C. {x | 2≤x＜3}D. {x | x ＞2}【答案】A2.4等于（）A. 1+B. 1-+C. 1D. 1--【答案】D【解析】利用复数的四则运算法则对原式进行化简计算可得答案.2421====-, 故选：D.3.已知等比数列{}n a 满足123a a +=,236+=a a ,则7a =（）A. 64B. 81C. 128D. 243【答案】A【解析】由等比数列的性质列出方程组,可得1,a q 的值,可得答案.【详解】解：由题意得：1121136a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩,解得：112a q =⎧⎨=⎩, 故6671264a a q ===,故选：A.4.有如下关于三角函数的四个命题：1:p x R ∃∈,221sin cos 222x x += 2:,p x y R ∃∈,()sin sin sin x y x y -=- []3:0,πp x ∀∈sin x = 4:p 若sin cos x y =,则π2x y += 其中假命题的是（）A. 1p ,4pB. 2p ,4pC. 1p ,3pD. 2p ,4p【答案】A【解析】 1p ：同角正余弦的平方和为1,显然错误；2p ：取特值满足即可；3p ：将根号张的式子利用二倍角公式化为平方形式,在注意正弦函数的符号即可； 4p ：由三角函数的周期性可判断命题错误.【详解】1p ：x R ∀∈,都有22sin cos 122x x +=,故1p 错误； 2p ：0x y ==时满足式子,故2p 正确；3p ：[0,]x π∀∈,sin 0x >,且21cos 22sin x x -=,sin x =,故3p 正确； 4p ：30,2x y π==,sin cos 0x y ==,故4p 错误；故选A.。

河南省许昌市2020届高三年级第一次质量检测文科数学试卷(解析版)

B.
[−
5�� 12
+
��,
�� 12
+
��]，��
∈
��
C.
[−
�� 12
+
��,
5�� 12
+
��]，��
∈
��
D.
[−
5�� 12
+
��,
=
4，则tan(��
5
+
��)
4
=______．
15. 函数��(��)定义域是 R，其导函数为，满足
- \dfrac {1}{x^{2}}'/>，
=
��
1 2
，��
=
log2��，则
a，b，c
的大小关系是
()
A. �� > �� > ��
B. �� > �� > ��
C. �� > �� > ��
D. �� > �� > ��
1
8. 已知程序框图如图所示，则输出的�� = ( )
A.
47 60
B.
7 12
C.
37 60
D.
5 12
9. 已知定义城为 R 的函数��(��)满足��(−��) = ��(��)，��(�� + 2) = ��(1��)，当�� ∈ [0,2]时，

2020届河南省高三高考质量测评(一)数学(文)试题(解析版)

2020届河南省高三高考质量测评（一）数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足()123z i i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先化简求出复数z ，然后可得到其在复平面所对应的点，即可得答案【详解】复数()()()()31235511212125i i ii z i i i i +-+-====-++-，复数1z i =-对应点()1,1-，是第四象限的点，故选：D. 【点睛】此题考查复数的运算，复数与复平面内的点的对应关系，属于基础题2．已知集合{}2,3,5,7,8,9U =，{}2,3,5,8A =，{}2,5,7B =，则下列结论正确的是（） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆C ．{}2,5A B =ID ．(){}7,9U A B =U ð【答案】C【解析】由已知可知集合A 中的元素不都全在集合B 中，且集合B 中的元素不都全在集合A 中，所以A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，而集合A 和集合B 的公共元素为2和5，从而可选出答案【详解】因为集合A 中含有元素3，集合B 中含有元素7，所以A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，故选项A ，B 错误；{}2,5A B =I ，选项C 正确；{}7,9U A =ð，所以(){}2,5,7,9UA B =U ð，选项D 错误.故选：C. 【点睛】此题考查集合间的关系，集合的运算，属于基础题3．已知单位向量,a b r r 满足,3a b π=r r ，若()a a tb ⊥-r r r ，则实数t 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．233【答案】C【解析】由两向量垂直，得其数量积等于零，列方程可求出t 的值【详解】因为()a a tb ⊥-r r r ，所以()0a a tb ⋅-=r r r，即()22cos ,a a tb a ta b a t a b a b ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r r r r 1102t -=，解得2t =，故选：C. 【点睛】此题考查的是向量垂直、数量积的运算，属于基础题4．成语“运筹帷幄”的典故出自《史记•高祖本纪》，表示善于策划用兵，指挥战争.其中的“筹”指算筹，引申为策划.古代用算筹来进行计数和计算，据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的算筹，其中1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示（如下图所示）.表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空.那么2536用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由条件发现其对应的规律即可【详解】由题知，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式..2536的个位是6，用纵式；十位是3，用横式；百位是5，用纵式；千位是2，用横式.从图中选择对应的表达形式即可得到答案为，故选：B. 【点睛】此题考查归纳推理的应用，属于基础题5．函数()21x xe ef x x--=-的图象大致为（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】通过求函数的定义域、判断奇偶性、取特殊值可选答案【详解】由题知，函数的定义域为{}|1x x ≠±，因为()()()2211x x x xe e e ef x f x xx -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除选项A ，B ，又因为()2222220123e e e ef ----==-<-，所以选项D 错误，故选：C. 【点睛】此题考查函数的图象的判断，函数的定义域、值域、奇偶性、特殊点的位置是判断函数图象的常用方法，属于中档题.6．已知2log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 7c =，则（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A【解析】由于2log 3a =， 22422log 7log 7log 7log 7log 42c ====，所以,a c 可以化成同底的对数比较大小，再与中间量1比较大小，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭与1比较大小，可得答案【详解】2log 31a =>，0.2113b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，22422log 7log 7log 7log 71log 42c ====>，因为37>，所以22log 3log 7a c =>=，故1a c b >>>，故选：A. 【点睛】此题考查的是指数式、对数式比较大小，通常找中间量“0”，“1”比较大小，属于中档题. 7．总体由编号为01，02，03，…，29，30的30个个体构成，利用给出的某随机数表的第11行到第14行（见下表）随机抽取10个，如果选取第12行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选取的第4个的号码为（）A ．02B ．05C ．07D ．15【答案】C【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得结论. 【详解】根据随机数表的读法可知，一个数是一列，重复不计，依据题目规则，从76起，选取的数依次为：17，05，02，07，可得答案为07. 故选：C 【点睛】此题考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题. 8．已知函数()sin 3cos f x x x =，x ∈R ，先将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图像关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．9π B ．3π C ．518π D ．23π 【答案】C【解析】因()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的13后所得函数的解析式为()2sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()y g x =图像在y 轴左侧的第一条对称轴518x π=-，故至少向右平移518π个单位就可以得到关于y 轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和y 轴附近的对称轴或对称中心有关.9．已知实数[]1,10x ∈，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（）A ．49 B ．13 C ．25 D ．310【答案】B【解析】试题分析：运行该程序框图，第一次循环21,2x x n =+=；第二次循环()221+1=43,3x x x n =++=；第三次循环2187,4x x x n =+=+=；推出循环输出87x +，由8763x +≥得7x ≥，由几何概型概率公式可得输出的x 不小于63的概率为1071103-=，故选B. 【考点】1、程序框图及循环结构；2、几何概型概率公式.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P为过1F 321122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为（）A ．2B 1C D【答案】B【解析】30°，即1230PF F ∠=︒，再由21122PF F PF F ∠=∠，得2160PF F ∠=︒，从而得12PF F ∆为直角三角形，可得到三边的关系，再结双曲线的定义可得,a c 的关系，从而可求出离心率. 【详解】由题意，直线)y x c =+过左焦点1F 且倾斜角为30°，21122PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，∴1290F PF ∠=︒，即12F P F P ⊥.∴21212PF F F c ==，∴112sin 60PF F F =︒，根据双曲线定义有212PF PF c a --=，∴离心率1==ce a.故选：B 【点睛】此题考查的是由直线与双曲线的位置关系确定双曲线的离心率,属于中档题.11．已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为P ABC -的内切球的体积为（）A ．B C D 【答案】A【解析】由平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再由棱长求出高，然后由体积公式计算即可. 【详解】三棱锥P ABC -展开后为一等边三角形，设边长为a ，则sin aA=，所以a =∴三棱锥P ABC -棱长为P ABC -的高为设内切球的半径为r ，则11433ABC ABC r S S ∆∆⨯⨯=⨯2r =，∴三棱锥P ABC -的内切球的体积为3432r π=，故选：A. 【点睛】此题考查锥体的体积，考查等体积的运用，属于基础题.12．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（）A ．3B ．23C ．65 D ．5 【答案】D【解析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==，所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===，所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得c ==所以3c e a ==，故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.二、填空题13．曲线2ln y a x x =-在点()1,1-处的切线方程为20x y --=，则a =_______. 【答案】3【解析】先函数求导，然后将切点的横坐标1代入导函数中，使其值等于切线的斜率1，得到方程可求出a 的值. 【详解】因为2a y x x '=-，所以曲线在点()1,1-处的切线斜率2211a k a =-=-=，所以3a =. 故答案为：3 【点睛】此题考查的是导数的几何意义,属于基础题.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若32n n S a =-，则n a =________.【答案】132n -骣琪琪桫【解析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解n a .【详解】当1n =时，1132S a =-，即11a =；当2n ≥时，32n n S a =-，①1132n n S a --=-，②①-②得133n n n a a a -=-，即132n n a a -=，所以{}n a 是公比为32，首项为1的等比数列，故132n na -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：132n -骣琪琪桫【点睛】此题考查的是数列的前n 项和与通项间的关系,属于基础题.15．已知θ为第四象限的角，sin cos θθ+=，则cos2θ=________.【解析】给sin cos θθ+=两边平方先求出2sin cos θθ,然后利用完全平方公式求出cos sin θθ-,再利用公式22cos 2cos sin θθθ=-可得结果. 【详解】∵sin cos 3θθ+=，两边平方得：11sin 23θ+=，∴2sin 23θ=-，∴()25sin cos 1sin 23θθθ-=-=，∵θ为第四象限角，∴sin 0θ<，cos 0θ>，∴cos sin 3θθ-=，∴()()cos 2cos sin cos sin 3θθθθθ=-+=.【点睛】此题考查的是同角三角函数的关系和二倍角公式,属于基础题.16．一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ，如果将容器倒置，水面也恰好经过点P ，则下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；②若往容器内再注a 升水，则容器恰好能装满； ③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P ；④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P . 其中正确命题的序号为________（写出所有正确命题的序号）. 【答案】②③【解析】若设图（1）水的高度2h ，几何体的高为1h ，则由已知得1253h h =，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，水占容器空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，当水面与四棱锥的一个侧面重合时，水的体积为2222252363b h b h >，由此得到正确的结论. 【详解】设图（1）水的高度2h ，几何体的高为1h ，底面边长为b ，图（1）中水的体积为2223b h ，图（2）中水的体积为()2221212b h b h b h h -=-，所以()2221223b h b h h =-，所以1253h h =，故①错误；由题意知a 升水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，中截面将容器内部空间分成相等的两部分，结合题意可知③正确；假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为2222252363b h b h >矛盾，故④不正确.故答案为②③. 故答案为：②③ 【点睛】此题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，属于难题.三、解答题17．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25a =，763S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =+（2）11646n -+ 【解析】(1)由已知条件列出关于1,a d 的方程组,求出1,a d ,可得{}n a 的通项公式; (2)由(1)求出的21n a n =+,可得数列{}n b 的通项公式,然后利用裂项相消法求和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 是等差数列，由275,63a S =⎧⎨=⎩得115,72163.a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得13,2,a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =+. （2）由（1）知()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和12111111111235257279n n T b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1111111111112212323557792123n n n n ⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L111112323646n n ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考查的是等差数列的基本量计算，裂项相消求和法，属于基础题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）⎝⎭【解析】（1）由正弦定理将边转化为角，化简统一成角B 的三角函数，可求出的角B ；（2）由正弦定理得2sin sin 13sin sin 2C c A a C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，然后由角B 的值，可求出角C 的取值范围，从而得到a 的取值范围，而ABC S ∆=，所以可求得ABC ∆面积的取值范围. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，又由sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得sin cos 6a B a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin cos 6B B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得tan B =又因为()0,B π∈，可得3B π=.（2）由题设及（1）知ABC ∆的面积ABC S a ∆=.由正弦定理得2sin sin 13sin sin 2tan 2C c A a C C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+. 由于ABC ∆为锐角三角形，故02A π<<，02C <<π，由（1）知23A C π+=，所以62C ππ<<，故122a <<，从而82ABC S ∆<<. 因此ABC ∆面积的取值范围是⎝⎭.【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，属于基础题.19．已知多面体1111ABCD A B C D -，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，111AB BC CD AA CC =====，112BB =，12AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C（2）连接1A B ，求三棱锥111A B BC -的体积. 【答案】（1）见解析（23【解析】（1）由已知可证得11//AC AC ，所以只需要证AC ⊥平面11CDD C 即可，由已知数据可证得CD AC ⊥，而1C C ⊥平面ABCD ，所以1C C AC ⊥，所以可证得结论；（2）由已知可得1111111A B BC A B BC A B BC B ABC V V V V ----===，由于三棱锥111A B BC -的体积计算比较困难，所以转化为求三棱锥1B ABC -体积. 【详解】解：（1）连接AC ，由于11//AA CC 且11=AA CC ，所以四边形11ACC A 为平行四边形，所以11//AC AC .又底面ABCD 为等腰梯形，12AB BC CD AD ===，则60ADC ∠=︒，30DAC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，所以90DCA ∠=︒，即CD AC ⊥.因为1C C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1C C AC ⊥，又1C C CD C =I ，所以AC ⊥平面11CDD C ，又因为11//AC AC ，故11A C ⊥平面11CDD C .（2）法一：延长AB ，CD 交于点G ，连接1B G ，1C G .因为//AD BC ，12BC AD =，所以BC 为AGD ∆的中位线，所以AB BG =.又因为11//AA BB ，1112BB AA =，所以点1A ，1B ，G 在同一条直线上，且111A B B G =.同理可证点1D ，1C ，G 在同一条直线上，且111D C C G =.取CG 中点M ，连接BM .则11////BM AC AC ，BM ⊄平面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，所以//BM 平面111A B C . 因此点B 到平面111A B C 的距离和点M 到平面111A B C 的距离相等. 由（1）知11A C ⊥平面11CDD C ，又11A C ⊂平面111A B C ，所以平面111A B C ⊥平面11CDD C .又平面111A B C Ç平面111CDD C GD =，过点M 作1MH GD ⊥，则MH ⊥平面111A B C ，即点M 到平面111A B C 的距离为24. 又11164A B C S ∆=，所以111162334A B BC V -=⨯⨯=.法二：因为11//AA BB ，1AA ⊄平面11B BC ，1BB ⊂平面11B BC ，所以1//AA 平面11B BC 所以到点1A 到平面11B BC 的距离等于点A 到平面11B BC 的距离，因为11//CC BB ，所以111B BC B BC S S =，所以1111111A B BC A B BC A B BC B ABC V V V V ----===.因为1AB BC CD ===，2AD =，所以120ABC ∠=︒，所以133112ABC S =⨯⨯=. 又1BB ⊥平面ABCD ，所以1BB 为高，所以11111134224A B BC B ABC V V --==⨯=. 【点睛】此题考查了线面垂直的证明，利用等体积法求距离，属于中档题.20．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验；（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为iii 1n2i i 1()(-)()ˆv u nu u v u β==-=-∑∑，ˆ-ˆu ανβ= . 【答案】(1)1().3P A = (2)183077y x =-. (3)小组所得线性回归方程是理想的.【解析】分析：从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由所给数据求得11,24x y ==，由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =，从而可得结果；（Ⅲ）利用所求回归方程，当10x =时，当6x =时，分别求出对应的y 的值，即可判断所得线性回归方程是否理想.详解：（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以()51.153P A == （Ⅱ）由数据求得11,24x y ==由公式求得187b =，再由a y bx =-求得307a =所以y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- （Ⅲ）当10x =时，1501504,222777y =-=< 同样，当6x =时，78786,122777y =-=< 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,n niiii i x y x x y==∑∑的值；③计算回归系数$,a b$；④写出回归直线方程为$ˆy bxa =+$；回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 21．已知()()22ln f x x a x a x =-++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）[)0,+∞【解析】（1）先对函数求导，然后令导函数大于零，解集为增区间，导函数小于零,解集为减区间，而函数的定义域为(0,)+∞，所以要分情况讨论求解其单调区间；（2）要()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，只要22ln 10x x a x -++>对1x ∀>恒成立，然后构造函数，求此函数的最小值，只要最小值大于零即可求a 的取值范围. 【详解】解：（1）()()()22222x a x aa f x x a x x-++'=-++=（0x >），令()()()()22221g x x a x a x a x =-++=--.①当0a ≤时，()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；②当02a <<时，0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， ,12a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当2a =时，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增； ④当2a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上：当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当02a <<时，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增；当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当2a >时，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）()1f x ax >--对1x ∀>恒成立，即22ln 10x x a x -++>对1x ∀>恒成立. 令()22ln 1h x x x a x =-++，则()min 0h x >，又()112ln110h a =-++=.()22222a x x a h x x x x -+'=-+=，令()221122222t x x x a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭. ①当12a ≥时，()2220t x x x a =-+≥，()h x 单调递增，所以当1x >时，()()10h x h >=，符合题意；②当12a <时，设()2220t x x x a =-+=的两根为1x ，2x ，且12x x <，则121x x =+，122a x x =. （ⅰ）若21>x ，则()21,x x ∈时()0t x <，()h x 单调递减；()2,x x ∈+∞时，()0t x >，()h x 单调递增.()()()2min 10h x h x h =<=，舍去；（ii ）若21x ≤，则()1,x ∈+∞时，()0t x >，()h x 单调递增； ()()min 10h x h >=，符合题意，由()t x 的图象可知，若满足21x ≤，则()1220t a =-+≥，又12a <，即102a ≤<.综上，a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，属于常规题.22．已知点A 在圆224x y +=上运动，动点M 满足以下条件：①以MA 为直径的圆过原点；②M e 过点A 且与直线20y +=相切. （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知点()0,1P ，()0,1Q -，过点P 的直线l 交E 于M ，N 两点，求证：PM QN QM PN =.【答案】（1）24x y =（2）见解析【解析】（1）由以MA 为直径的圆过原点可得，MO AO ⊥,若设(),M x y ，()00,A x y ，则000x x y y +=，再由M e 过点A 且与直线20y +=相切，得()()()222002x x y y y -+-=+，而点A 在圆224x y +=上，得 2204x y +=，三个方程消去00,x y ，可得到点M 的轨迹E 的方程；（2）要证：PM QN QM PN =，即证PM QM PNQN=，即证PQ 为MQN ∠的角平分线，而PQ 在y 轴上，所以只要证0QM QN k k +=，将QM QN k k ，用点()11,M x y ，()22,N x y 的坐标表示出来，即12212121121211QM QN y y x y x x y x k k x x x x ++++++=+=，下来只要直线方程和抛物线方程联立成方程组，再用根与系数的关系，代入上式即可证明.【详解】解：（1）设(),M x y ，()00,A x y ，根据已知可得：()()()002200222000,4,2,x x y y x y x x y y y ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪-+-=+⎪⎩整理得：24x y =，即E 的方程为24x y =. （2）证明：易知直线l 的斜率一定存在.法一：设直线l 的方程为：1y kx =+，代入拋物线方程得：2440x kx --=. 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x k +=，124x x =-，221212144x x y y =⋅=.要证：PM QN QM PN =，即证PM QM PNQN=，即证PQ 为MQN ∠的角平分线，因为PQ 在y 轴上，即证0QM QN k k +=，12212121121211QM QN y y x y x x y x k k x x x x ++++++=+= ()1212122288=04kx x x x k kx x ++-+==-，所以PM QN QM PN =法二：设直线l 的方程为：1y kx =+，代入抛物线方程得2440x kx --= 设点()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x k +=，221212144x x y y =⋅=，所以221212144x x y y =⋅=，所以211y y =.因为()0,1P 是拋物线的焦点，11PM y =+，21PN y =+，QM =，QN =1111211111PM y y y y PN y y ++===++，QMQN=====1y =所以1PM QMy PN QN== 即PM QN QM PN =. 【点睛】此题考查的是求轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和运算能力，属于较难题.。

2020年1月河南省平顶山、许昌、济源三市2020届高三第一次联考质量检测(一模)语文试题及答案解析

7.（3分）C(“使小说的情节发生了突转”分析有误)
8.（6分）①正面描写。描写齐福仁、男子每天到老院子看看的行为，齐福仁临终时的幻觉等，表现他们的不舍和依恋。②侧面描写。通过流浪狗守着那个破败的地方不愿离开，衬托人物固守不舍的眷恋心理。③以小见大。以齐福仁、男子作为普通百姓的典型代表，反映城市化进程中他们安土重迁的心理。
（共6分，每点2分；若答其他，言之成理可酌情给分。）
9.（6分）①情节结构上，呼应题目，构成反复，使结构更加严谨完整；②人物形象上，赋予燕子人格化色彩，用燕子的叫声烘托出齐福仁对老院子的眷恋；③主题思想上，燕子代表着土地、家园，燕子的叫声是土地、家园对齐福仁的呼唤，这强化了主人公对土地、家园的情感，深化了主旨。
（共6分，每点2分；若答其他，言之成理可酌情给分。）
二、古代诗文阅读（34分）
（一）文言文阅读（本题共4小题，19分）
10.（3分）C
11（“其后再未担任要职”分析有误）
13.（10分）
（1）我在秦国获罪，感到害怕而逃跑，没有可容身的地方，希望您拯救我。
2020年1月河南省平顶山、许昌、济源三市
2020届高三毕业班第一次联考质量检测(一模)
2020年1月河南省平顶山、许昌、济源三市
2020届高三毕业班第一次联考质量检测(一模)
语文参考答案及评分细则
一、现代文阅读（36分）
（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）
1.（3分）C（“只是中国社会追求的社会不同主体间的平等”分析有误）
（共6分，每点2分；若答其他，言之成理可酌情给分。）
（三）名篇名句默写（本题共1小题，6分）
16.（6分）
（1）亦余心之所善兮虽九死其犹未悔
（2）金樽清酒斗十千玉盘珍羞直万钱

2020届高三数学第一次质量检测(一模)试题文

2020届高三数学第一次质量检测（一模）试题文本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4．参考公式：，其中.第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请在答题卷的相应区域答题.）1. 已知复数满足,则A.5B.3C.D.2. 设U ＝R ，A ＝，B＝，则＝A．B．C．D．3.三个数，，的大小关系是A. ＜＜B. ＜＜C. ＜＜D. ＜＜4. 斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13…作为正方形的边长拼成长方形后画出来的螺旋曲线(由圆弧拼接而成)。

斐波那契螺旋线在自然界中很常见，比如海螺的外壳、花瓣、向日葵、台风、水中的漩涡、星系等所呈现的都是斐波那契螺旋。

右图所示“黄金螺旋”的长度为A.B.C.D.5. 函数在区间的图象大致是A. B.C. D.6. 下图为2014-2018年国内生产总值及其增长速度柱形图（柱形图中间数据为年增长率），则以下结论不正确的是A. 2014年以来，我国国内生产总值逐步在增长。

B. 2014年以来，我国国内生产总值年增长率总体平稳。

河南平顶山许昌济源2020年高三第一次质量检测语文试卷及答案

平顶山、许昌、济源2020年高三第一次质量检测语文注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1-3题。

相对于西方文化强调主体自我价值的特点而言，中国传统文化更加强调从不同主体的相互性视角思考和处理问题，这是中国传统文化独具特色而又一脉相承的价值观，也是当今世界实现合作共赢、建构人类命运共同体的深层文化基础。

中国传统文化中的相互性价值观突出表现为对五种相互性关系的不懈追求。

强调不同主体间的互敬互爱，这是中国传统文化的一个基本点。

儒家创始人孔子说“修已以敬”“仁者爱人”，其中“敬”和“"爱”的对象都是“人”，即“他人”。

这里的“人”，不仅包含社会中有地位的上层人，也包含庶民百姓。

如何做到敬人爱人？从个体层面，孔子强调每个人都要将心比心，从自己的喜好和厌恶考虑到他人的喜好和厌恶，“已欲立而立人，已欲达而达人”。

从国家层面，孔子强调“为国以礼”。

“礼”之所以重要就在于它从相互性的角度规定了君臣、上下、长幼，男女、父子、兄弟之间各自的责任和义务，成为维护国家秩序、保证国家安定的基本准则。

中国传统文化高度重视不同主体间相互的“和”。

在中国古人看来，“和”是天地化生万物的方式。

孟子认为，天地间没有什么力量可以胜过“人和”。

董仲舒认为，“和”是天地间最美的德。

中国古人讲“和”，讲“同一”，然而，并不等于千篇一律，并不等于没有原则地与对方苟同。

孔子就说过“君子和而不同，小人同而不和”。

追求不同主体间的平等，是中国传统文化一贯的价值取向。

老子认为“天道无亲”，天道自然地调节着人与人地位的高低和财富的占有。

2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案

2020年河南省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。

其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷(文科)+答案解析(附后)

2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷（文科）1. 设集合，，则( )A.B.C.D.2. 已知复数z 满足，则z 的共轭复数对应的点在( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 若是成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A. B.C. D.4. 若，则( )A. B. C.D. 5. 函数的图像大致为( )A. B.C. D.6. 中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为( )A.B.C.D.7. 正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边BC ，CD 的中点，，则( )A.B.C.D.8. 已知实数x ，y 满足条件，则的最小值为( )A. B. 4 C. 2D. 39. 已知，且，则下列结论正确的是( )A. B.C.D.10. 已知是定义在R 上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为( )A. B.C.D.11. 已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图像．若，且，则的最小值为( )A.B.C. D.12. 抛物线方程为，任意过点且斜率不为0的直线和抛物线交于点A ，B ，已知x 轴上存在一点不同于点，且满足，则点N 的坐标为( )A. B. C. D.13. 已知，是双曲线的左、右焦点，A 是其左顶点．若双曲线上存在点P 满足，则该双曲线的离心率为______.14. 在平行四边形ABCD 中，，，现将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，当异面直线AD 和BC 所成的角为时，AC 的长为______.15. 如图，的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，已知，则______.若线段AC 的垂直平分线交AB 于点E ，且，则的面积为______.16. 若函数的最小值为，则实数a 的取值范围是______.17. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，冰壶比赛将在北京国家游泳中心“水立方”进行，为了落实“绿色办奥”的筹办理念，冰立方在“水冰转换”中造就了“绿色节能”的冰壶场馆．某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从大学生中抽取了男、女各100人进行调查．经统计，对冰壶运动有兴趣的男生与女生的人数比为4：3，男生有80人表示对冰壶运动感兴趣．完成列联表，并分别估计男、女大学生对冰壶运动感兴趣的概率；能否有的把握认为男、女大学生对冰壶运动的兴趣有差异？感兴趣没兴趣男生80女生附：k18. 已知为数列的前n 项和，且，，，求的通项公式；为数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和．19. 如图，正三棱柱的底面边长为2，求证：；若点M 在线段上，且，求三棱锥的体积．20. 如图，，B 分别是椭圆C ：的左顶点和上顶点，圆O经过点B ，P 为椭圆C 上一点，过A 且与AP 垂直的直线交圆O 于两点C ，若点在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．求椭圆C的标准方程；求面积的最大值．21. 已知函数求函数的图像在点处的切线方程；若函数在定义域上无极值，求正整数a的最大值．22.以直角坐标系xOy的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，点P的轨迹为曲线求的直角坐标方程；设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．23. 已知函数，，若实数a，b满足求不等式的解集；证明：对于任意，都有答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求【解答】解：，或，，，故选：2.【答案】A【解析】解：，，，则z的共轭复数对应的点在第一象限．故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意可知解得故选：根据题意可知然后可求得实数a的取值范围．本题考查分式不等式解法、集合间关系应用及充分不必要条件的应用，考查数学运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为，则，故选：利用切化弦以及正余弦的同角关系化简即可求解．本题考查了三角函数的恒等变换以及化简求值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数，因为，函数是偶函数，排除D；时，，排除选项A，C，故选：利用函数的奇偶性，结合特殊值对应点的位置，判断选项的正误即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，是判断函数的图象的常用方法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方，相似图形和相似三角形性质相同，大小五角星外接圆的直径之比为3：1，大小五角星的面积之比为9：1，设大五角星的面积为9a，则小五角星的面积为a，则五星图案的面积之和为，则在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为，故选：根据几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据相似图形的面积关系求出对应的面积是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的基本定理，平面向量线性运算，属于中档题．由已知可得，，，再列出方程组求解即可．【解答】解：在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，，，，，，，故选：8.【答案】C【解析】解：由约束条件写出可行域如图，化为，由图可知，当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】D【解析】解：，且，，，，，故A错误，令，，则，故B错误，令，，则，故在递增，故，故，故，故，故C错误，，，故D正确，故选：根据对数的运算性质判断A，根据特殊值法判断B，根据函数的单调性以及对数函数的性质判断C，根据基本不等式的性质判断本题考查了不等式以及基本不等式的性质，考查对数函数的性质以及函数的单调性问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：由是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，可得在上单调递增，，，因为，，所以，即，故选：由题意可得偶函数在上单调递增，运用偶函数的定义和对数函数、指数函数的单调性，可得所求大小关系．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：，，的周期为，且，，，或，所以，，所以，故选：由题意求出函数的周期，的最小值为1个周期，从而得出结论．本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：直线过点且斜率不为0，设该直线方程为，当时，联立，化简整理可得，，，恒成立，设，，，则，，，，即，即，故，则，即，，即，当时，A，B两点关于x轴对称，显然恒成立，综上所述，故选：设该直线方程为，当时，联立，化简整理可得，，，再结合韦达定理以及斜率公式，求解．本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：令，又，，，则，，故，故答案为：令，应用向量共线关系的坐标表示可得，即可求离心率．本题考查双曲线的性质，以及向量的坐标运算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，，，，，，，，，平面ABD，又平面ABD，，又，，，，，，平面BCD，又平面BCD，，，故答案为：在中利用余弦定理求出BD，进而得到，由线面垂直的判定定理可得平面ABD，求出CD的长，再证得平面BCD，得到，最后利用勾股定理即可求出AC的长．本题主要考查了线面垂直的判断，考查了余弦定理的应用，是基础题．15.【答案】【解析】解：由余弦定理知：，而，所以，又，则，在中，设，则，可得，又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则，所以，可得，而，故，所以，，故的面积为故答案为：，由已知利用余弦定理可求，结合范围，可求B的值，在中，设，利用正弦定理可得，由题意可求，可得，可得，结合，可得，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】【解析】解：当时，，且，当时，的最小值为0，不可能是，此时不成立，故，此时当时，的最小值是，当时，，则当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，取得极小值，要使的最小值为，则，即，得，此时，综上实数a的取值范围是，故答案为：讨论a的取值范围，分别求出当和当时，对应函数的最小值，然后进行比较建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数的表达式，分别求出对应范围上的最小值，然后进行比较是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：对冰壶运动有兴趣的男生与女生的人数比为4：3，男生有80人表示对冰壶运动感兴趣，所以女生有60人对冰壶运动感兴趣，感兴趣没兴趣男生 80 20女生 6040男大学生中对冰壶活动感兴趣的比率为，女大学生中对冰壶活动感兴趣的比率为，故男大学生中对冰壶活动感兴趣的概率的估计值为，女大学生中对冰壶活动感兴趣的概率的估计值为，有的把握认为男、女大学生对冰壶运动的兴趣有差异．【解析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查了独立性检验公式，属于基础题．18.【答案】解：由，可知，两式相減得，即，因为，则，又，解得，即是首项为3，公差为2的等差数列，所以的通项公式由知，，数列与的公共项满足，即，而k，，于是得，即，此时，，因此，，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，令的前n项和为，则，所以的前10项的和为【解析】由给定的递推公式结合进行变形推导即得为等差数列，再求其通项得解．根据给定条件求出数列的通项即可计算作答．本题考查了数列的递推式以及等差数列的综合，属于中档题．19.【答案】证明：取AB 中点D ，连接CD ，，则，因为平面平面ABC ，平面平面，所以面，因为面，所以，因为，，所以，所以，又，，所以平面，又平面，所以解：由题可得：，所以，又点C 到平面的距离为，三角形的面积为，所以，所以，故三棱锥的体积为【解析】取AB中点D，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可证平面，即证；由题可得，再利用棱锥的体积公式即求．本题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：由题意可知，，所以，所以，由，所以椭圆C的标准方程：；设直线AP的方程：，直线AC的方程：，联立方程组，消去x，整理得，解得，，又O到直线AC的距离距离，则且，于是，又，从而，，当且仅当，即，满足，且，综上可知，的面积的最大值为【解析】根据题意，将点A和点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；设直线AP和AC的方程，将AP方程代入椭圆方程，求得P点坐标，求得及，即可表示出面积，利用基本不等式，即可求得面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，基本不等式的应用，考查转化思想，计算能力，属于难题．21.【答案】解：因为，所以，所以，又，所以函数在的切线方程为，即由题得定义域为，若无极值，则恒成立或恒成立，①当恒成立时，，即恒成立，所以，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，又，，所以存在使，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以，因为，所以，所以，即，所以，所以，所以整数a的最大值为5，②恒成立，所以，由①知在单调递增，所以不存在最大值，综上所述，正整数a的最大值为【解析】求导得，再计算出，即可得出切线方程为，即可得出答案．若无极值，则恒成立或恒成立，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，点M为曲线上的动点，，且满足，所以的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程；设点B的极坐标为，所以，所以当时取得最大值．【解析】直角利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：，，，当时，，解得，故，当时，，解得，故，当时，，解得，故，综上所述，的解集为或证明：，当时，，当时，，当时，，综上所述，，则，，，即，当且仅当时，等号成立，，故对于任意，都有，即得证．【解析】由题意可得，，再分，，三种情况讨论，即可求解．先求出的最小值，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．。