二、单摆、受迫振动与共振

二、单摆、受迫振动与共振（一）单摆1．装置：悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多。

2．做简谐运动的条件：最大摆角θ<10°。

3．回复力：回复力由重力的切向分力来提供，大小为x lmg F -=，不能说成是重力和拉力的合力。

在平衡位置振子所受回复力是零，但合力不为零，方向指向悬点，作为圆运动的向心力。

4．单摆的周期：gl T π2=（与单摆的振幅、摆球的质量无关） 5．小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同，只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动，这时周期公式中的l 应该是圆弧半径R 。

（二）受迫振动与共振1．受迫振动：（1）含义：物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

（2）特点：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

2．共振（1）共振曲线及特点①当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。

②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

③产生某一振幅可能有两个不同的驱动力频率（2）共振的利用和防止①利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……②防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……1．等效单摆周期的求解在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8 m/s 2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.（1）等效摆长：在振动平面内物体重心到旋转中心的距离.例1．求出下述两种情况的振动周期①在甲图中，三根等长的绳l 1、l 2、l 3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d ，l 2、l 3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，其周期T 1= ．若摆球做垂直纸面的小角度摆动，其周期T 2= ．②如图乙所示，已知单摆摆长为L ，悬点正下方3L/4处有一个钉子。

让摆球做小角度摆动，其周期T 3= ．解析：①若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O 1处，故等效摆长为l 1＋2d ，周期T 1＝2πg d l /)2(1+. 若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为l 1＋l 2sin α＋2d ，周期T 2＝2πg d l l /)2sin (21++α. ②该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为g l T π21=和g l T π=2，因此周期为 ：gl T T T 232221π=+= （2）等效重力加速度g ′：由单摆所在的空间位置和环境决定，g ′变化与否，关键是看加某种因素后对回复力又无影响。

单摆位于天体表面附近摆动时，设天体的质量为M ，半径为R ，摆球的质量为m ，则其等效重力mg ′=GMm/R 2,等效重力加速度g ′=GM/R2 例2．求出下述两种情况的振动周期：①若给摆长为l 、摆球质量为m 的单摆带上电荷量为q 的正电荷，将其放在竖直向下的匀强电场E 中②若在上述单摆的悬点处或悬点的正上方固定另一正的点电荷或加一方向垂直于振动方向所在平面的匀强磁场解析：①让单摆平衡，将此时摆线张力大小写成与等效重力相等，即F=mg+qE=m （g+mqE ）=mg ′，将g ′=g+mqE 换下单摆周期公式中的g ，即为此种情况下单摆周期的大小：m qE g lT +=π2 ②若在悬点处固定点电荷或加上面所述磁场后，摆球除受重力、摆线拉力作用外，又增加了库仑力或洛伦兹力.但由于库仑力或洛伦兹力始终沿摆线方向，在摆球运动的圆弧轨迹切线方向均无分力，也就是说，加上上述点电荷或磁场后，对单摆振动的回复力无任何影响，因此对单摆振动的快慢无任何影响，即单摆周期应不变，仍为.gl T π2= 2．利用振动图象分析单摆的有关问题例3．如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：（1）单摆的振幅为______，频率为______，摆长为______；一周期内位移x （F 回、a 、E p ）最大的时刻为________.（2）若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图象中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的________点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，势能增加且速度为正的时间范围是________.（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下列物理量变化的是（ ）A ．位移B ．速度C ．加速度D ．动量E ．回复力F ．动能G ．摆线张力（4）在悬点正下方O ′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且E O ＝41OE ，则单摆周期为________s.比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力.（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后摆球做什么运动?若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动?解析：（1）由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T ＝2 s ，进而算出频率f ＝T1＝0.5 Hz ，算出摆长l ＝22π4gT ＝１m.从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s 末和1.5 s 末.（2）图象中O 点位移为零，O 到A 的过程位移为正，且增大，A 处最大，历时四分之一周期，显然摆球是从平衡位置E 起振并向G 方向运动的，所以O 对应E ，A 对应G.A 到B 的过程分析方法相同，因而O 、A 、B 、C 对应E 、G 、E 、F 点.摆动中E 、F 间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F 向E 的运动过程，在图象中为C 到D 的过程，时间范围是1.5～2.0 s 间.摆球远离平衡位置势能增加，即从E 向两侧摆动，而速度为正，显然是从E 向G 的过程，在图象中为从O 到A 的过程，时间范围是0～0.5 s 间.（3）过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcos α＋m lv 2也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选BD. （4）放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为１ m ，所以t 左＝πg l ＝１ s ；钉右侧的半个周期，t 右＝πgl 4＝0.5 s ，所以T ＝t 左＋t 右＝１.5 s. 由受力分析得，张力F ＝mg ＋m lv 2，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球的重力不变，挡后摆线长为挡前的41，所以挡后绳的张力变大.（5）在最大位移处线断，此时球的速度为零，只受重力作用，所以做自由落体运动.在平衡位置处线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以球做平抛运动.3、单摆的综合应用例4．如图所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触．现将摆球 A 在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐振动，以mA 、mB 分别表示摆球 A 、 B 的质量，则：A ．如果m A >mB ，下一次碰撞发生在平衡位置右侧B ．如果m A <m B ，下一次碰撞发生在平衡位置左侧C ．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D ．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：此题易迷惑之处是： A 、 B 选项虽然给了两者质量关系，但没有给出两球相碰的性质，所以两者碰后可能 A 停下来， B 向右摆；也可能一起向右摆；也可能分开，再次相碰，相碰点在哪儿？尤其是一起向右摆的情况下，会在平衡位置右侧相碰吗？会出现一个球已经从右侧最高点返回，而另一球还向右侧最高点运动吗？由于单摆振动周期 gL T π2=与摆球质量无关，而两个单摆摆长相等，所以周期相同，两球相碰后有这几种可能:①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇. 因此，不管m A ＞m B ，还是m A ＜m B 还是m A ＝m B ，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C 、D 正确。

4．会用共振曲线处理有关问题例5．如图所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？（g 取10m/s 2）解析：这是一道共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目。

由题意知，当单摆共振时频率f=0.5Hz,即Hz f 5.0=固,振幅A=8cm=0.08m. 由g L T π2=得m f g L 0.1422==π根据机械能守恒定律可得：,212m m mgh mV = 由图（解）可得如下几何关系：LA A h m =2/解得./25.0s m Lg A V m ==1．（06天津）一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是A ．1t 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小B ．2t 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C ．3t 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大D ．4t 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大答案:D2.（2001年全国）细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方21摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图所示.现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ）A.摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C.摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍 解析：由T=2πgl 知，l 减小，T 减小.摆球摆至右侧时，摆长减小，周期变小，故A 对；因摆动中机械能守恒，故左、右两侧上升的最大高度相同，即选项B 对；另由几何知识知，摆球向右摆的最大偏角小于左侧最大偏角的两倍，故左、右两侧走过的最大弧长不相等，故C 、D 错.答案：AB3．（06广东）铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。

由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。

普通钢轨长为12.6m ，列车固有振动周期为0.315s 。

下列说法正确的是A ．列车的危险速率为s m /40B ．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C ．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的D ．增加钢轨的长度有利于列车高速运行解析：共振的条件是驱动力的频率等于系统的固有频率，由vl T =可求出危险车速为 40 m/ s ，故选项 A 正确。