二、单摆、受迫振动与共振

二、单摆、受迫振动与共振

（一）单摆

1．装置：悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多。

2．做简谐运动的条件：最大摆角θ<10°。

3．回复力：回复力由重力的切向分力来提供，大小为x l

mg F -=，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力不为零，方向指向悬点，作为圆运动的向心力。

4．单摆的周期：g

l T π2=（与单摆的振幅、摆球的质量无关） 5．小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同，只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动，这时周期公式中的l 应该是圆弧半径R 。

（二）受迫振动与共振

1．受迫振动：

（1）含义：物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。

（2）特点：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。

2．共振

（1）共振曲线及特点

①当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。 ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。

③产生某一振幅可能有两个不同的驱动力频率

（2）共振的利用和防止

①利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千……

②防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢……

1．等效单摆周期的求解

在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8 m/s 2

，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.

（1）等效摆长：在振动平面内物体重心到旋转中心的距离.

例1．求出下述两种情况的振动周期

①在甲图中，三根等长的绳l 1、l 2、l 3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d ，l 2、l 3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，其周期T 1= ．若摆球做垂直纸面的小角度摆动，其周期T 2= ．

②如图乙所示，已知单摆摆长为L ，悬点正下方3L/4处有一个

钉子。让摆球做小角度摆动，其周期T 3= ．

解析：①若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的

圆心在O 1处，故等效摆长为l 1＋2d ，周期T 1＝2πg d l /)2

(1+. 若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为l 1＋l 2sin α＋2d ，周期T 2＝2πg d l l /)2

sin (21++α. ②该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为g l T π

21=和g l T π=2，因此周期为 ：g

l T T T 232221π

=+= （2）等效重力加速度g ′：由单摆所在的空间位置和环境决定，g ′变化与否，关键是看加某种因素后对回复力又无影响。单摆位于天体表面附近摆动时，设天体的质量为M ，半径为R ，摆球的质

量为m ，则其等效重力mg ′=GMm/R 2,等效重力加速度g ′=GM/R

2 例2．求出下述两种情况的振动周期：

①若给摆长为l 、摆球质量为m 的单摆带上电荷量为q 的正电荷，将其放在竖直向下的匀强电场E 中

②若在上述单摆的悬点处或悬点的正上方固定另一正的点电荷或加一方向垂直于振动方向所在平面的匀强磁场

解析：①让单摆平衡，将此时摆线张力大小写成与等效重力相等，即F=mg+qE=m （g+m

qE ）=mg ′，将g ′=g+m

qE 换下单摆周期公式中的g ，即为此种情况下单摆周期的大小：m qE g l

T +=π2 ②若在悬点处固定点电荷或加上面所述磁场后，摆球除受重力、摆线拉力作用外，又增加了库仑力或洛伦兹力.但由于库仑力或洛伦兹力始终沿摆线方向，在摆球运动的圆弧轨迹切线方向均无分力，也就是说，加上上述点电荷或磁场后，对单摆振动的回复力无任何影响，因此对单摆振动的快慢无任何影响，即单摆周期应不变，仍为.g

l T π

2= 2．利用振动图象分析单摆的有关问题

例3．如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：

（1）单摆的振幅为______，频率为______，摆长为______；一周期内位移x （F 回、a 、E p ）最大的时刻为________.

（2）若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图象中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆中的________点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，势能增加且速度为正的时间范围是________.

（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下列物理量变化的是（ ）

A ．位移

B ．速度

C ．加速度

D ．动量

E ．回复力

F ．动能

G ．摆线张力

（4）在悬点正下方O ′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且E O ＝41OE ，则单摆周期为________s.比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力.

（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后摆球做什么运动?若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动?

解析：（1）由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间轴长度就是周期T ＝2 s ，进而算出频率f ＝T

1＝0.5 Hz ，算出摆长l ＝22

π4gT ＝１m.

从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s 末和1.5 s 末.

（2）图象中O 点位移为零，O 到A 的过程位移为正，且增大，A 处最大，历时四分之一周期，显然摆球是从平衡位置E 起振并向G 方向运动的，所以O 对应E ，A 对应G.A 到B 的过程分析方法相同，因而O 、A 、B 、C 对应E 、G 、E 、F 点.

摆动中E 、F 间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F 向E 的运动过程，在图象中为C 到D 的过程，时间范围是1.5～2.0 s 间.

摆球远离平衡位置势能增加，即从E 向两侧摆动，而速度为正，显然是从E 向G 的过程，在图象中为从O 到A 的过程，时间范围是0～0.5 s 间.

（3）过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆

线张力mgcos α＋m l

v 2

也不变；相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选BD. （4）放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为１ m ，所以t 左＝πg l ＝１ s ；钉右侧的半个周期，t 右＝πg

l 4＝0.5 s ，所以T ＝t 左＋t 右＝１.5 s. 由受力分析得，张力F ＝mg ＋m l

v 2

，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球的重力不变，挡后摆线长为挡前的4

1，所以挡后绳的张力变大.