计算方法重修课件
合集下载
《重修补修流程介绍》课件
详细描述
学生申请重修的时间通常在课程结束后的规定时间内，具体时间需根据学校规定执行。 学生需要填写重修申请表，并提交给相关学院或教务处。申请表需包含个人信息、课程 信息、申请原因等内容。学生需认真填写申请表，并确保信息的准确性。提交申请表后
，学生需等待审核结果，审核通过后方可进行重修。
02
补修流程简介
适用课程
补修适用于所有必修课程，包括公共 必修课、专业必修课等。
补修的申请时间与方式
申请时间
学生可以在任何时间申请补修，但通常建议在学期开始前进行申请，以便提前 安排学习计划。
申请方式
学生可以通过学校官方网站或教务系统进行补修申请，填写相关表格并提交。
03
重修补修流程的具体步骤
了解重修补修政策
等待审批结果
在等待审批过程中，可随时关注申请 进度，了解审批情况。
若审批未通过，需根据反馈意见进行 整改或重新申请。
办理相关手续
审批通过后，需按照当地政策和规定，办理相关手续，如缴 纳费用、签署合同等。
确保手续办理的及时性和准确性，以免影响后续工作进展。
04
重修补修过程中的注意事项
注意重修补修的时间限制
详细描述
重修适用于所有未通过课程考试的学生，无论是必修课还是选修课。对于一些特 殊情况，如因病、家庭原因等未能参加考试或考试不及格的学生，也可以申请重 修。学校通常会根据具体情况进行评估，并给予适当的处理。
重修的申请时间与方式
总结词
学生可以在课程结束后的一定时间内申请重修，具体时间与方式需根据学校规定执行。 一般而言，学生需填写重修申请表并提交给相关学院或教务处。
《重修补修流程介绍 》ppt课件
• 重修流程简介 • 补修流程简介 • 重修补修流程的具体步骤 • 重修补修过程中的注意事项 • 重修补修常见问题解答
学生申请重修的时间通常在课程结束后的规定时间内，具体时间需根据学校规定执行。 学生需要填写重修申请表，并提交给相关学院或教务处。申请表需包含个人信息、课程 信息、申请原因等内容。学生需认真填写申请表，并确保信息的准确性。提交申请表后
，学生需等待审核结果，审核通过后方可进行重修。
02
补修流程简介
适用课程
补修适用于所有必修课程，包括公共 必修课、专业必修课等。
补修的申请时间与方式
申请时间
学生可以在任何时间申请补修，但通常建议在学期开始前进行申请，以便提前 安排学习计划。
申请方式
学生可以通过学校官方网站或教务系统进行补修申请，填写相关表格并提交。
03
重修补修流程的具体步骤
了解重修补修政策
等待审批结果
在等待审批过程中，可随时关注申请 进度，了解审批情况。
若审批未通过，需根据反馈意见进行 整改或重新申请。
办理相关手续
审批通过后，需按照当地政策和规定，办理相关手续，如缴 纳费用、签署合同等。
确保手续办理的及时性和准确性，以免影响后续工作进展。
04
重修补修过程中的注意事项
注意重修补修的时间限制
详细描述
重修适用于所有未通过课程考试的学生，无论是必修课还是选修课。对于一些特 殊情况，如因病、家庭原因等未能参加考试或考试不及格的学生，也可以申请重 修。学校通常会根据具体情况进行评估，并给予适当的处理。
重修的申请时间与方式
总结词
学生可以在课程结束后的一定时间内申请重修，具体时间与方式需根据学校规定执行。 一般而言，学生需填写重修申请表并提交给相关学院或教务处。
《重修补修流程介绍 》ppt课件
• 重修流程简介 • 补修流程简介 • 重修补修流程的具体步骤 • 重修补修过程中的注意事项 • 重修补修常见问题解答
成都理工大学-高数下-重修-PPT-D11-2对坐标曲线积分市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
第二节
一、对坐标曲线积分概念 与性质
二、 对坐标曲线积分计算法
三、两类曲线积分之间联络
对坐标曲线积分
第1页
一、 对坐标曲线积分概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作功.
设一质点受以下变力作用
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,
求移
“大化小”
沿 移动到
解: (1)
(2) 参数方程为
试求力场对质点所作功.
其中 为
第13页
例5. 求
其中
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 参数方程
第14页
三、两类曲线积分之间联络
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 参数方程为
已知L切向量方向余弦为
则两类曲线积分有以下联络
第15页
类似地, 在空间曲线 上两类曲线积分联络是
设 L 为xOy 平面内从 A 到B 一条有向光滑
弧,
若对 L 任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在,
在有向曲线弧 L 上
对坐标曲线积分,
则称此极限为函数
或第二类曲线积分.
其中,
L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
称为被积函数 ,
在L 上定义了一个向量函数
极限
第5页
若 为空间曲线弧 , 记
称为对 x 曲线积分;
L 参数方程为
则曲线积分
连续,
存在, 且有
第8页
尤其是, 假如 L 方程为
则
对空间光滑曲线弧 :
类有
第9页
例1. 计算
其中L 为沿抛物线
解法1 取 x 为参数, 则
解法2 取 y 为参数, 则
计算方法ppt
再按消元公式计算 ai(j（3) i,j=3,…,n）。
然后每一步类似的都在右下角方阵中的第一列中选
主元，再经行对调, 将主元素换到右下脚方阵中左上
角的位置。再按下一步计算 ai(jk（) i,j=k,…,n)
直至将方程组化成上三角方程组，再进行回代就可 求得解。
21
全主元消去法
a11 a12 a1n b1
+
a (1) 1n
xn
+
...
+
a(2) 2n
xn
=
b(1) 1
=
b(2) 2
a(2) 32
x2
+
...
+
a(2) 3n
xn
=
b(2) 3
......
a(2) n2
xn
+ ... +
a(2) nn
xn
=
b(2) n
A(2) x = b(2)
其中 a(2) ij
=
a (1) ij
− li1a1(1j)
右端列向量视为方程组A的第n＋1列，直接对矩阵A
（指现在的n行，n＋1列的增广矩阵）进行行初等变换，
将其变换为上三角形矩阵，从而回代求解得到方程组
的解。
15
Gauss消去法（续）
Remark2：可以统计出，如果A为n阶方阵，则Gauss顺
序消去法消去过程所需的乘除运算次数为
∑n−1 (n − k + (n − k)(n − k +1)) = n3
(3.1)
2
引言（续）
其矩阵表示形式为： AX = b
a11 a12 a1n
x1
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
计算方法上课用PPT课件
1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。
2. 特征值定义 A x x ( x 0 ) A xx0(AI)x0 | AI|0
14
3. f ( x) 形式复杂时求根和求积分很困难。
4.线性微分方程易解， 如
“计算方法"研究对象与特点
“计算方法"是计算数学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数
值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切
分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的
算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适
用于计算机的数值方法.因此，"计算方法"内容十分广泛.但
实际问题 程序设计
数学问题 上机计算
提供计算方法 结果分析
12
基本的数学问题:
1.大型线性代数方程组Ax=b求解;
2.矩阵A的特征值和特征向量计算;
3.非线性方程 f ( x ) 0 求解(求根);
4.积分 b a
f
( x)dx计算;
5.常微分方程初值问题求解;
6.其它。
13
求精确解(值)一般非常困难。例如：
17
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代， 化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。
舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的 限制，一般必须进行舍入，此时产生的误 差称为舍入误差。
18
3. 截断误差，如
sin xxx3 x5 ....,.. 3! 5!
7
数值计算方法或数值分析主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理 论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法 在理论上已作出解的存在,但要求出他的解 析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学 问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分 有效.
2. 特征值定义 A x x ( x 0 ) A xx0(AI)x0 | AI|0
14
3. f ( x) 形式复杂时求根和求积分很困难。
4.线性微分方程易解， 如
“计算方法"研究对象与特点
“计算方法"是计算数学的一个分支，它研究用计算机求解数学问题的数
值计算方法及其软件实现.计算数学几乎与数学科学的一切
分支有联系，它利用数学领域的成果发展了新的更有效的
算法及其理论，反过来很多数学分支都需要探讨和研究适
用于计算机的数值方法.因此，"计算方法"内容十分广泛.但
实际问题 程序设计
数学问题 上机计算
提供计算方法 结果分析
12
基本的数学问题:
1.大型线性代数方程组Ax=b求解;
2.矩阵A的特征值和特征向量计算;
3.非线性方程 f ( x ) 0 求解(求根);
4.积分 b a
f
( x)dx计算;
5.常微分方程初值问题求解;
6.其它。
13
求精确解(值)一般非常困难。例如：
17
截断误差 在求解过程中，往往以近似替代， 化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。
舍入误差 在计算机上运算时受机器字长的 限制，一般必须进行舍入，此时产生的误 差称为舍入误差。
18
3. 截断误差，如
sin xxx3 x5 ....,.. 3! 5!
7
数值计算方法或数值分析主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理 论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法 在理论上已作出解的存在,但要求出他的解 析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学 问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分 有效.
《计算方法第五章》PPT课件
因此，用 T ( h ) 作为积分精确值 I [ f ] 的近似值，误差为：
a1h2a2h4 O (h2)
容易看出：
T 1 (h ) 4 T 0 (h /2 3 ) T 0 (h ) , T 0 (h ) T (h )
则
I[f]T 1(h ) b 2h 4 b 3 h 6
由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推
T ( 1 / 8 ) 3 . 1 3 8 9 8 8 4 9 3T ( 1 / 4 ) T ( 1 / 8 ) 0 . 0 1 s t o p 用辛浦生公式
S ( 1 /8 ) T ( 1 /8 ) 1 [ T ( 1 /8 ) T ( 1 /4 ) ] 3 .1 4 1 5 9 2 5 3
法）：
T0(h) T(h)
Tk(h)
22kTk1(2h2/k2)1Tk1(h)
T k ( h ) 的计算误差为 O(h2(k1) ) 。
下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。
引入记号 Tki , T0i T0(h/2i) ， i 表示将区间[a , b] i 等分。
步骤如下：
1、求 T00, T00b 2a[f(a)f(b)]
则得到插值型求积公式，通常称为牛顿－柯特斯公式：
n
I[f]Q[f] Ai f(xi) i0
显然，公式的计算误差为：
R [f] I [f] Q [f] ( n 1 1 ) !b af( n 1 )() ( x x 0 ) ( x x 1 )( x x n ) d x
等距节点时， x i a i h ,h ( b a ) /n ( i 0 ,1 ,2 ,,n )，记 xath,t [0,n]，求积系数为：
A i i(! (1 n ) n ii) h !0 n t(t 1 ) (t i 1 )(t i 1 ) (t n )d t
a1h2a2h4 O (h2)
容易看出：
T 1 (h ) 4 T 0 (h /2 3 ) T 0 (h ) , T 0 (h ) T (h )
则
I[f]T 1(h ) b 2h 4 b 3 h 6
由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推
T ( 1 / 8 ) 3 . 1 3 8 9 8 8 4 9 3T ( 1 / 4 ) T ( 1 / 8 ) 0 . 0 1 s t o p 用辛浦生公式
S ( 1 /8 ) T ( 1 /8 ) 1 [ T ( 1 /8 ) T ( 1 /4 ) ] 3 .1 4 1 5 9 2 5 3
法）：
T0(h) T(h)
Tk(h)
22kTk1(2h2/k2)1Tk1(h)
T k ( h ) 的计算误差为 O(h2(k1) ) 。
下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。
引入记号 Tki , T0i T0(h/2i) ， i 表示将区间[a , b] i 等分。
步骤如下：
1、求 T00, T00b 2a[f(a)f(b)]
则得到插值型求积公式，通常称为牛顿－柯特斯公式：
n
I[f]Q[f] Ai f(xi) i0
显然，公式的计算误差为：
R [f] I [f] Q [f] ( n 1 1 ) !b af( n 1 )() ( x x 0 ) ( x x 1 )( x x n ) d x
等距节点时， x i a i h ,h ( b a ) /n ( i 0 ,1 ,2 ,,n )，记 xath,t [0,n]，求积系数为：
A i i(! (1 n ) n ii) h !0 n t(t 1 ) (t i 1 )(t i 1 ) (t n )d t
计算方法 课件第一章
舍入误差
计算机实现计算时，机器的有限字长所造成
1.2.2 误差与有效数字
x 定义1 设 x 是某量的准确值，* 是 x 的一个 近似值，则称 e* = x* − x为近似值的误差或绝 对误差。 * 的绝对值的上界，即满足 x* − x ≤ ε * 的 ε *， e 称为近似值 x* 的误差限。 误差与精确值的比值称为相对误差。即 * er = ( x* − x) / x ，如果 ( x* − x) / x ≤ ε r*，则 ε r 称 为相对误差限。 实际使用中以 er* = ( x* − x) / x*为相对误差。
*
ε r (s ) ≈
ε (s )
*
s
*
27 = * * ≈ = 0.31% ld 8800
ε (s )
*
1.3 误差定性分析与避免误差危害
前面讨论的误差限的方法是最坏情况 对于千万次的运算可用概率统计的方法 20世纪60年代后提出
向后误差分析法 区间分析法
目前尚无有效方法对误差做出定量分析 本节讨论：
数值分析
Numerical Analysis
主讲教师： 主讲教师： 郭策安
Instructor: GUO CEAN E-mail: guocean@
教材
(Text Book)
TUP & Springer Press
李庆扬、王能超、 李庆扬、王能超、易大义 编
数值分析
参考书目 (Reference)
In = e (x e
I0 = e
−1
−1
n x 1 0
− n ∫ x n −1e x dx) = 1 − nI n −1 (n = 1, 2,L)0来自1∫1
0
计算方法课件第一章 绪论
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
上机实习是需要大家创造条件完成的
物联网工程学院
第一章 绪论
用计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法
编写程序 上机计算结果
结果分析
物联网工程学院
第一章 绪论
小结：用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉
及多方面的理论，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，
物联网工程学院
第一章 绪论
课程学习结束后你具备的能力
1. 对具体的数值计算问题，你会选择合适的 算法，并通过计算机计算出正确结果； 2. 对给定的算法会从理论上分析其优劣性； 3. 会根据原理构造解决较简单数值计算问题 的算法。
构造性
方法的构造，解的存在唯一性的证明
递推性
复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复 （适合计算机计算）
近似替代
在误差允许的范围内，无限次的计算用 有限次计算替代
物联网工程学院
ห้องสมุดไป่ตู้
第一章 绪论
特点:
1、方法是近似的；
2、与计算机不能分离：上机实习
（掌握一门语言：C语言或Fortran语言， 会用一种数学软件：Matlab 或 Mathematica ，Maple）
研究对象由数学模型提出求解的
数值计算方法并编程计算出结果， 然后进行误差分析。
内容
非线性方程求解 (Ch. 2) 线性方程组求解 (Ch.3) 曲线拟合、插值法 (Ch.5) 数值积分 (Ch.6) 常微分方程组 (Ch.7)
物联网工程学院
第一章 绪论
方法:
离散化
计算离散点上的近似值
重修基础知识ppt课件
库函数和 其它目标 程序
执行
不正确
源程序 目标程序 可执行程序
内容 结果正确？
程序设计语言 机器语言 机器语言
正确
结 束 可执行
不可以
不可以
可以
文件名后缀
.c
.obj
.exe
1.4简单的C程序介绍
1.4.1简单的C程序 例1.1 第一个程序 Hello,World!
/* example1.1 The first C Program*/
2.1Ｃ语言字符集和词汇
2.1.1Ｃ语言字符集
字符集（字母，数字，空白符、标点和特殊符号）
词汇（6类）
标识符只能是字母、数字、下划线组成的字符串 ，并且其第一个字符必须是字母或下划线。
1、标识符—类似名字， 如：a, x, x3, BOOK_1, sum5
2、关键字---32个保留字(p14 表2.1）， 如：int，if –then-
1.5 C程序的上机步骤
C程序开发步骤
编辑
开始
程序代码的录入, 生成源程序*.c
编辑 编译
源程序 file.c
语法分析查错，翻译
编译 生成目标程序*.obj
有 有错？
无
目标程 序
file.obj
链接
与其它目标程序或库 链接装配,生成可执行 程序*.exe
可执行 目标程
序 file.exe
连接 执行
printf("j%=3d;,",ip--r)i;ntf(“%d”,j++); //3 ※运自算量增只、能自pprr是减iinntt整运ff((""型算aa%%==变符33dd;;,\量是bb"n==,"单-,55,i不(+;;目-cc+i-能==)运-;(()*是+a算2++)常a+;，))量**都bb或;;具表有达右式结。//合//cc性==21;且05,,自aa==增44 ,自减的
计算方法第三章演示文稿(共80张PPT)
第三页，共八十页。
因此，采用(cǎiyòng)数值方法来计算定积分的值是非常
必要的 。
用数值方法计算定积分的基 本思想是，将积分 区间细分，在每个小区间上用简单函数代替复杂函 数。
（二） 数值积分法的三个基本问题 在研究数值积分的整个过程(guòchéng)中，需要讨论如下三 个
基本问题
1 、求积公式(gōngshì)的构造
2有些积分虽然可以解析地求解但原函数比被积函数复杂得多而且也难于给出最后的数值结没有具体表达式而只能通过观测数据给出因此在这种情况下更无法采用解析法求数值积分法的三个基本问题在研究数值积分的整个过程中需要讨论如下三个基本问题因此采用数值方法来计算定积分的值是非常必要的用数值方法计算定积分的基本思想是将积分区间细分在每个小区间上用简单函数代替复杂函作为定积分11的近似值其中叫做求积系数结点有关而与的具体形式无关
第三章 数值积分.
一、 数值积分法的三个基本(jīběn)问题
（一） 数值积分的必要性
计算(jìsuàn)定积分
I
f
b
a
f
( x)dx
(1.1)
的值，这在计算中经常碰到。这个问题似乎很简单,只要把
f (x) 的原函数 F(x) 求出来， 就可以求得积分（1.1）的值，即
I ( f ) F(b) F(a) 。但是，实际情况要复杂得多。其原因如下：
k 0
为求积公式（1.1）的余项或误差。
插值型求积公式的误差主要来源于插值误差，由 插值法知道，如果被积函数 f x 在 (a,b) 上具有 n 1
阶连续导数，则求积公式（1.7）的余项为
Rn ( f )
1 (n 1)!
b a
f n1 n1 x dx
因此，采用(cǎiyòng)数值方法来计算定积分的值是非常
必要的 。
用数值方法计算定积分的基 本思想是，将积分 区间细分，在每个小区间上用简单函数代替复杂函 数。
（二） 数值积分法的三个基本问题 在研究数值积分的整个过程(guòchéng)中，需要讨论如下三 个
基本问题
1 、求积公式(gōngshì)的构造
2有些积分虽然可以解析地求解但原函数比被积函数复杂得多而且也难于给出最后的数值结没有具体表达式而只能通过观测数据给出因此在这种情况下更无法采用解析法求数值积分法的三个基本问题在研究数值积分的整个过程中需要讨论如下三个基本问题因此采用数值方法来计算定积分的值是非常必要的用数值方法计算定积分的基本思想是将积分区间细分在每个小区间上用简单函数代替复杂函作为定积分11的近似值其中叫做求积系数结点有关而与的具体形式无关
第三章 数值积分.
一、 数值积分法的三个基本(jīběn)问题
（一） 数值积分的必要性
计算(jìsuàn)定积分
I
f
b
a
f
( x)dx
(1.1)
的值，这在计算中经常碰到。这个问题似乎很简单,只要把
f (x) 的原函数 F(x) 求出来， 就可以求得积分（1.1）的值，即
I ( f ) F(b) F(a) 。但是，实际情况要复杂得多。其原因如下：
k 0
为求积公式（1.1）的余项或误差。
插值型求积公式的误差主要来源于插值误差，由 插值法知道，如果被积函数 f x 在 (a,b) 上具有 n 1
阶连续导数，则求积公式（1.7）的余项为
Rn ( f )
1 (n 1)!
b a
f n1 n1 x dx
工程量计算原理与方法PPT
工程量计算原理与方法 PPT
这份PPT将介绍工程量计算的基本原理、流程、常见误区，以及工程量计算 在工程管理、成本控制、质量管理、进度 管理等方面的作用。同时，还会讲 解工程量计算的应用范围、发展历程和未来发展方向。
什么是工程量计算？
工程量计算是指在工程项目中，根据工程的设计图纸和技术要求，通过对工 程 所需材料、设备、工程量等进行测算和计算的一种方法。它是工程报价、 合同签订、预算编制的基础。
工程量计算的基本原理
工程量计算的基本原理是根据工程设计的要求和标准，通过对工程的各个部 分进行 细致测量和计算，得出工程的具体数量和费用。
工程量计算的主要目的
工程量计算的主要目的是实现工程项目的合理预算和控制，确保工程施工的质量、 进度和成本，为项 目的顺利进行提供依据和保障。
工程量计算的流程
工程量计算中的常用工具
工程量计算中的常用工具包括：计量软件、测量仪器、计算器和电子表格等。
工程量计算的流程包括：收集工程设计图纸和技术要求；测算工程所需材料 和设备 的数量；计算工程量和费用；检查和修正计算结果；编制工程量清单量计算的各个阶段包括：前期测算阶段、施工准备阶段、施工阶段、竣 工验收阶段 和结算阶段。
工程量计算的计算方法
工程量计算的计算方法包括：直接测算法、单位工程量法、建筑定额法、工 料法 、定浆比法等。
这份PPT将介绍工程量计算的基本原理、流程、常见误区，以及工程量计算 在工程管理、成本控制、质量管理、进度 管理等方面的作用。同时，还会讲 解工程量计算的应用范围、发展历程和未来发展方向。
什么是工程量计算？
工程量计算是指在工程项目中，根据工程的设计图纸和技术要求，通过对工 程 所需材料、设备、工程量等进行测算和计算的一种方法。它是工程报价、 合同签订、预算编制的基础。
工程量计算的基本原理
工程量计算的基本原理是根据工程设计的要求和标准，通过对工程的各个部 分进行 细致测量和计算，得出工程的具体数量和费用。
工程量计算的主要目的
工程量计算的主要目的是实现工程项目的合理预算和控制，确保工程施工的质量、 进度和成本，为项 目的顺利进行提供依据和保障。
工程量计算的流程
工程量计算中的常用工具
工程量计算中的常用工具包括：计量软件、测量仪器、计算器和电子表格等。
工程量计算的流程包括：收集工程设计图纸和技术要求；测算工程所需材料 和设备 的数量；计算工程量和费用；检查和修正计算结果；编制工程量清单量计算的各个阶段包括：前期测算阶段、施工准备阶段、施工阶段、竣 工验收阶段 和结算阶段。
工程量计算的计算方法
工程量计算的计算方法包括：直接测算法、单位工程量法、建筑定额法、工 料法 、定浆比法等。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
1
三个常用矩阵范数的计算公式为
A 1 max | aij |, A 2 ( AT A), (2.3.2a )
1 j n i 1
n
A max | aij | (2.3.2b)
1 i n j 1
n
2 3 例2.6 设 x (1, 2, 3) , A 1 1
A为系数矩阵,b为右端向量，x为需 求解的未知向量。
解线性方程组数值解法有两类： 直接法：按求精确解的方法运算求解， 有Gauss消去法及修正（矩阵分解法）等。 迭代法：给一个初始近似解,按一定法则 逐步求更精确的近似解的过程; 有经典与 现代迭代法.
2.3 向量范数与矩阵范数
定义2.1 从向量到实数的实值函数满足下列 3个条件称为向量范数：
（ 3）- 范数： x
max xi
1 i n
定义2.2 设||· ||是Rn上向量范数， A为Rn×n中的矩阵，
称
A max Ax
x 1
矩阵范数。
三个常用矩阵范数为
A 1 max Ax 1 , A 2 max Ax 2 ,
x 1 1 x 2 1
A max Ax
设 Ax b等价于 x M x f , 其精确解为 x*,
相应的迭代格式为
x( k 1) Mx ( k ) f
如果存在某个向量范数使得
(2.4.9)
lim x ( k ) x * 0,
x
则称由（2.4.9）确立的迭代法收敛, 否则称发散.
定理 2.1 设方程组Ax=b的精确解为x 。如果存在一
（2）按某种原则生成收敛于根的近似点列
10 2 1 x1 3 2 10 1 x2 15 1 2 5 x 10 3
(k ) 0.1 x3 (k ) 0.1 x3 (k ) 0.4 x2
Jacobi迭代
稳定性分析 一般来说，若一个计算格式满足如下误差关系式
| e 后 | C | e 初 | (C为常数)
则认为该计算格式数值稳定。 所以，人们通常以相容性和稳定性作 为对一个计算格式可行性的基本要求。
第二章
2.1 2.2 2.3 3.4
线性方程组的数值解法
消去法 矩阵分解法 向量与矩阵范数 经典迭代法
将上述过程一般化
xi( k 1)
i 1 n 1 (bi aij x (jk 1) aij x (jk ) ) i 1, 2, n, (2.4.5) aii j 1 j i 1
Gauss-Seidel迭代
用矩阵表示为
x( k 1) ( D L)1U x( k ) ( D L)1 b (2.4.7)
将初值
(0) (0) (0) x1 x2 x3 0 代入后迭代得
(11) x1 1.000 (11) x2 2.000 x (11) 3.000 3
将上述过程一般化
以分量表示方程组得
对角元对应的量 移到左边，其它 量在右边便得 ：
a
j 1
n
ij
x j bi
MG
fG
例 2.8 用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解
线性方程组
解 相应的迭代公式为
( k 1) x1 ( k 1) x2 x ( k 1) 3
( k 1) x1 ( k 1) x2 x ( k 1) 3
(k ) 0.3 0.2 x2 (k ) 1.5 0.2 x1
•线性方程组求解
•非线性方程求根
•插值与拟合
•数值微分与积分 •常微分方程数值解
补充内容：计算格式的相容性与稳定性
定义1.1 如果一个计算格式在取某种极限后可还原成
某数学模型，则称该计算格式与此数学模型相容。
定义1.2 如果在用某一计算格式进行数值计算的 过程中，误差不会严重积累，从而保证解满足所要 求的精确度(简称精度），则称该计算格式数值稳 定（简称为稳定），反之则为不稳定。 稳定性分析通常基于对初始误差的传播状况的讨论。
计算方法不同于纯粹数学学科的一些新特点: 面向计算机：将要求解的数学问题简化成一系列的 算术运算和逻辑运算，以便在计算机 上求出问题的数值解。 遵循的相容性原则，满足控制误差积累的数值稳定性 要求，以及评价计算格式优劣的计算复杂性，为适应 大型计算机的计算，现今又提出了并行性要求。
三.科学计算的基本内容
给定一个线性方程组
Ax = b
其中 A (aij )nn a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n x1 b1 a2 n x b2 2 ,x ,b ann xn bn
(1) x 0; x 0 x 0；
(2) 任意c R, x Rn , 有 cx c x ； (3) 三角不等式： x y x y ,
三个常用向量范数：
( 1) 1- 范数： x
1
xi
i 1
n 1/2
n
2 （2） 2 范数： x 2 xi i 1
则由(2.4.9)确立的迭代法收敛。 推论 2.2 若Jacobi（Gauss-Seidel）迭代法的迭代矩阵 满足条件
M J 1 1( M G 1 1), 或 M J 或 MJ
2
1( M G 2 1),
1( MG
1)
则Jacobi（Gauss-Seidel）迭代法对任何初始向量均收敛。
*
个矩阵范数使得（2.4.9）中的迭代矩阵满足条件
M 1
则由(2.4.9)确立的迭代任何初始向量均收敛。且
x ( k 1) x * M x ( k ) x *
证 迭代式相减取范数得
x ( k 1) x* M ( x ( k ) x* ) M ( x ( k ) x* )
2
(k ) 0.2 x1
(k ) 0.2 x2
0.3 2
(k ) 0.1 x3 (k ) 0.1 x3
( k 1) 1.5 0.2 x1 ( k 1) 0.2 x1
Gauss-Seidel迭代
( k 1) 0.4 x2
令
(0) (0) (0) x1 x2 x3 0,
( k 1) (k ) (k ) x1 0.2 x2 0.1 x3 0.3 ( k 1) (k ) (k ) x 0.2 x 0.1 x 2 1 3 1.5 x ( k 1) 0.2 x ( k ) 0.4 x ( k ) 2 1 2 3
T
求常用的向量与矩阵范数。 解：
x 1 6, x 2 14, x
3;
ห้องสมุดไป่ตู้
15 221 A 1 4, A 2 , A 5. 2
2.4
经典迭代法(Classic Iterative Methods)
迭代法思想：
(1) Ax b x Mx f
(2) 迭代格式： x( k 1) Mx( k ) f
进一步递推得
x
( k 1)
x M
*
k 1
( x ( k ) x* )
而 M 1,
因此 lim x ( k ) x* 0 ,
k
定理得证。
利用定理2.1很容易判别迭代法的收敛性。以常用 矩阵范数为例，有下列结论。 推论 2.1 若(2.4.9)迭代矩阵 满足条件
M 1 1, 或 M 2 1, 或 M 1
取四位小数迭代计算
由Jacobi迭代得
(11) (11) (11) x1 1.000, x2 2.000, x3 3.000
由Gauss-Seidel迭代得
(6) (6) (6) x1 1.000, x2 2.000, x3 3.000
2.4.3 一般 迭代法的收敛性
定义3.2
第三章 非线性方程(组)的数值解法
3.1 二分法 3.2 不动点迭代法 3.3 Newton法 3.4 割线法 3.5非线性方程组的Newton法
问题 :
求解
f ( x) 0
数值计算方法主要分为两大类。 第一类是区间收缩法。
（1）确定初始含根区间
（2）收缩含根区间 第二类是迭代法。 （1）选定根的初始近似值
(2.4.2)
Jacobi迭代
迭代法的矩阵表示
a11 A D LU, D
a22
可逆 ann
0 0 a12 a1n a 0 0 a 21 2n , U L 0 an 1 n a a 0 0 n 1 n n 1
（ 0 ） (3)取初始x , 用迭代格式求解。
2.4.1 Jacobi迭代法
(以对角元为分母)
10 2 1 x1 3 例2. 7： 2 10 1 x2 15 , aii 0 1 2 5 10 x3 2 1 x1 3 10 x1 解： 1 x2 15 10 x2 2 1 2 10 5 x3 x3
科学计算的魅力
南京航空航天大学数学系
2016/5/29
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算的基本内容
2016/5/29
科学计算的地位
1
三个常用矩阵范数的计算公式为
A 1 max | aij |, A 2 ( AT A), (2.3.2a )
1 j n i 1
n
A max | aij | (2.3.2b)
1 i n j 1
n
2 3 例2.6 设 x (1, 2, 3) , A 1 1
A为系数矩阵,b为右端向量，x为需 求解的未知向量。
解线性方程组数值解法有两类： 直接法：按求精确解的方法运算求解， 有Gauss消去法及修正（矩阵分解法）等。 迭代法：给一个初始近似解,按一定法则 逐步求更精确的近似解的过程; 有经典与 现代迭代法.
2.3 向量范数与矩阵范数
定义2.1 从向量到实数的实值函数满足下列 3个条件称为向量范数：
（ 3）- 范数： x
max xi
1 i n
定义2.2 设||· ||是Rn上向量范数， A为Rn×n中的矩阵，
称
A max Ax
x 1
矩阵范数。
三个常用矩阵范数为
A 1 max Ax 1 , A 2 max Ax 2 ,
x 1 1 x 2 1
A max Ax
设 Ax b等价于 x M x f , 其精确解为 x*,
相应的迭代格式为
x( k 1) Mx ( k ) f
如果存在某个向量范数使得
(2.4.9)
lim x ( k ) x * 0,
x
则称由（2.4.9）确立的迭代法收敛, 否则称发散.
定理 2.1 设方程组Ax=b的精确解为x 。如果存在一
（2）按某种原则生成收敛于根的近似点列
10 2 1 x1 3 2 10 1 x2 15 1 2 5 x 10 3
(k ) 0.1 x3 (k ) 0.1 x3 (k ) 0.4 x2
Jacobi迭代
稳定性分析 一般来说，若一个计算格式满足如下误差关系式
| e 后 | C | e 初 | (C为常数)
则认为该计算格式数值稳定。 所以，人们通常以相容性和稳定性作 为对一个计算格式可行性的基本要求。
第二章
2.1 2.2 2.3 3.4
线性方程组的数值解法
消去法 矩阵分解法 向量与矩阵范数 经典迭代法
将上述过程一般化
xi( k 1)
i 1 n 1 (bi aij x (jk 1) aij x (jk ) ) i 1, 2, n, (2.4.5) aii j 1 j i 1
Gauss-Seidel迭代
用矩阵表示为
x( k 1) ( D L)1U x( k ) ( D L)1 b (2.4.7)
将初值
(0) (0) (0) x1 x2 x3 0 代入后迭代得
(11) x1 1.000 (11) x2 2.000 x (11) 3.000 3
将上述过程一般化
以分量表示方程组得
对角元对应的量 移到左边，其它 量在右边便得 ：
a
j 1
n
ij
x j bi
MG
fG
例 2.8 用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解
线性方程组
解 相应的迭代公式为
( k 1) x1 ( k 1) x2 x ( k 1) 3
( k 1) x1 ( k 1) x2 x ( k 1) 3
(k ) 0.3 0.2 x2 (k ) 1.5 0.2 x1
•线性方程组求解
•非线性方程求根
•插值与拟合
•数值微分与积分 •常微分方程数值解
补充内容：计算格式的相容性与稳定性
定义1.1 如果一个计算格式在取某种极限后可还原成
某数学模型，则称该计算格式与此数学模型相容。
定义1.2 如果在用某一计算格式进行数值计算的 过程中，误差不会严重积累，从而保证解满足所要 求的精确度(简称精度），则称该计算格式数值稳 定（简称为稳定），反之则为不稳定。 稳定性分析通常基于对初始误差的传播状况的讨论。
计算方法不同于纯粹数学学科的一些新特点: 面向计算机：将要求解的数学问题简化成一系列的 算术运算和逻辑运算，以便在计算机 上求出问题的数值解。 遵循的相容性原则，满足控制误差积累的数值稳定性 要求，以及评价计算格式优劣的计算复杂性，为适应 大型计算机的计算，现今又提出了并行性要求。
三.科学计算的基本内容
给定一个线性方程组
Ax = b
其中 A (aij )nn a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n x1 b1 a2 n x b2 2 ,x ,b ann xn bn
(1) x 0; x 0 x 0；
(2) 任意c R, x Rn , 有 cx c x ； (3) 三角不等式： x y x y ,
三个常用向量范数：
( 1) 1- 范数： x
1
xi
i 1
n 1/2
n
2 （2） 2 范数： x 2 xi i 1
则由(2.4.9)确立的迭代法收敛。 推论 2.2 若Jacobi（Gauss-Seidel）迭代法的迭代矩阵 满足条件
M J 1 1( M G 1 1), 或 M J 或 MJ
2
1( M G 2 1),
1( MG
1)
则Jacobi（Gauss-Seidel）迭代法对任何初始向量均收敛。
*
个矩阵范数使得（2.4.9）中的迭代矩阵满足条件
M 1
则由(2.4.9)确立的迭代任何初始向量均收敛。且
x ( k 1) x * M x ( k ) x *
证 迭代式相减取范数得
x ( k 1) x* M ( x ( k ) x* ) M ( x ( k ) x* )
2
(k ) 0.2 x1
(k ) 0.2 x2
0.3 2
(k ) 0.1 x3 (k ) 0.1 x3
( k 1) 1.5 0.2 x1 ( k 1) 0.2 x1
Gauss-Seidel迭代
( k 1) 0.4 x2
令
(0) (0) (0) x1 x2 x3 0,
( k 1) (k ) (k ) x1 0.2 x2 0.1 x3 0.3 ( k 1) (k ) (k ) x 0.2 x 0.1 x 2 1 3 1.5 x ( k 1) 0.2 x ( k ) 0.4 x ( k ) 2 1 2 3
T
求常用的向量与矩阵范数。 解：
x 1 6, x 2 14, x
3;
ห้องสมุดไป่ตู้
15 221 A 1 4, A 2 , A 5. 2
2.4
经典迭代法(Classic Iterative Methods)
迭代法思想：
(1) Ax b x Mx f
(2) 迭代格式： x( k 1) Mx( k ) f
进一步递推得
x
( k 1)
x M
*
k 1
( x ( k ) x* )
而 M 1,
因此 lim x ( k ) x* 0 ,
k
定理得证。
利用定理2.1很容易判别迭代法的收敛性。以常用 矩阵范数为例，有下列结论。 推论 2.1 若(2.4.9)迭代矩阵 满足条件
M 1 1, 或 M 2 1, 或 M 1
取四位小数迭代计算
由Jacobi迭代得
(11) (11) (11) x1 1.000, x2 2.000, x3 3.000
由Gauss-Seidel迭代得
(6) (6) (6) x1 1.000, x2 2.000, x3 3.000
2.4.3 一般 迭代法的收敛性
定义3.2
第三章 非线性方程(组)的数值解法
3.1 二分法 3.2 不动点迭代法 3.3 Newton法 3.4 割线法 3.5非线性方程组的Newton法
问题 :
求解
f ( x) 0
数值计算方法主要分为两大类。 第一类是区间收缩法。
（1）确定初始含根区间
（2）收缩含根区间 第二类是迭代法。 （1）选定根的初始近似值
(2.4.2)
Jacobi迭代
迭代法的矩阵表示
a11 A D LU, D
a22
可逆 ann
0 0 a12 a1n a 0 0 a 21 2n , U L 0 an 1 n a a 0 0 n 1 n n 1
（ 0 ） (3)取初始x , 用迭代格式求解。
2.4.1 Jacobi迭代法
(以对角元为分母)
10 2 1 x1 3 例2. 7： 2 10 1 x2 15 , aii 0 1 2 5 10 x3 2 1 x1 3 10 x1 解： 1 x2 15 10 x2 2 1 2 10 5 x3 x3
科学计算的魅力
南京航空航天大学数学系
2016/5/29
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算的基本内容
2016/5/29
科学计算的地位