2017年安徽省宣城市郎溪中学高考数学仿真试卷及答案(理科)

2017年安徽省宣城市郎溪中学高考数学仿真试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U为实数集R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|lgx＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜1}D．∅2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．24．（5分）经过抛物线的焦点与圆x2﹣4x+y2=0相切的直线方程为（）A．225x﹣64y+4=0或x=0 B．3x﹣4y+4=0C．x=0 D．3x﹣4y+4=0或x=05．（5分）以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年．那么，第2017行第2016个数是（）A．2016 B．2017 C．2033136 D．20301126．（5分）小华骑车前往30千米远处的风景区游玩，从出发地到目的地，沿途有两家超市，小华骑行5千米也没遇见一家超市，那么他再骑行5千米，至少能遇见一家超市的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．50πB．50πC．40πD．40π8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42]B．（42，56]C．（56，72]D．（30，72）9．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f′（0）＜0，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A．x=0 B．x=C．x=D．x=10．（5分）已知命题p：函数f（x）=的图象的对称中心坐标为（1，1）；命题q：若函数g（x）在区间[a，b]上是增函数，则有g（a）（b﹣a）＜g（x）dx＜g（b）（b﹣a）成立．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q11．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC 和BC1所成的角都等于，则这样的直线l共可以作出（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条12．（5分）设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，2）C．（1，2） D．（﹣1，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）13．（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是．14．（5分）已知非零向量满足且，则向量的夹角为．15．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．16．（5分）数列{a n}满足：，，n∈N*，，S n=b1+b2+…+b n，P n=b1b2…b n，则S n+2P n=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2λsinx，sinx+cosx），=（cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）=•的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）五面体ABC﹣DEF中，面BCFE是梯形，BC∥EF，面ABED⊥面BCFE，且AB⊥BE，DE⊥BE，AG⊥DE于G，若BE=BC=CF=2，EF=ED=4．（Ⅰ）求证：G 是DE 中点；（Ⅱ）求二面角A ﹣CE ﹣F 的平面角的余弦．19．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望． 20．（12分）如图．设椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率e=，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点F 1、F 2的距离之和是4． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：x=1与椭圆C 交于P 、Q 两点，P 点位于第一象限，A 、B 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若直线AB 的斜率为，求四边形APBQ 面积的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）=e x ﹣a ﹣ln （x +a ）．（Ⅰ）当时，求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）当a≤1时，证明：f（x）＞0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ=的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．2017年安徽省宣城市郎溪中学高考数学仿真试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U为实数集R，集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|lgx＞0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜1}D．∅【解答】解：根据Venn图，则阴影部分表示的集合为A∩∁U B，∵B={x|lgx＞0}={x|x＞1}，∴∁U B={x|x≤1}，则A∩∁U B={0|0＜x≤1}，故选：A．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为正数，且，∴即a6=2a4∴=2∴q=∵=故选：B．4．（5分）经过抛物线的焦点与圆x2﹣4x+y2=0相切的直线方程为（）A．225x﹣64y+4=0或x=0 B．3x﹣4y+4=0C．x=0 D．3x﹣4y+4=0或x=0【解答】解：抛物线的焦点为（0，1），圆的圆心为（2，0），半径为2，（1）若过点（0，1）的直线无斜率，则直线方程为x=0，圆心到直线x=0的距离为d=2，符合题意；（2）若过点（0，1）的直线有斜率，设直线方程为y=kx+1，则圆心到直线y=kx+1的距离d==2，解得k=．∴直线方程为y=x+1，即3x﹣4y+4=0．故选：D．5．（5分）以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年．那么，第2017行第2016个数是（）A．2016 B．2017 C．2033136 D．2030112【解答】解：第0行1个数字，第1行2个数字，则第2017行共2018个数字，故第2016个数字为右边开始第3个，从第2行开始斜行1，3，6，10，…，即为，，，，…，则第2017行第2016个数是=2033136故选：C．6．（5分）小华骑车前往30千米远处的风景区游玩，从出发地到目的地，沿途有两家超市，小华骑行5千米也没遇见一家超市，那么他再骑行5千米，至少能遇见一家超市的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，在25米后，他再骑行5千米，不能遇见超市的，而在后20米遇见一家超市的概率为，所以在后20米遇不见超市的概率为，所以他再骑行5千米，至少能遇见一家超市的概率为：1﹣=；故选：C．7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．50πB．50πC．40πD．40π【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以以俯视图为底面的三棱柱的外接球，由底面三边长为3，4，5，故底面外接圆半径r=，球心到底面的距离d=，故球半径R=，故外接球的表面积S=4πR2=50π，故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42]B．（42，56]C．（56，72]D．（30，72）【解答】解：∵该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为8，第1次循环：S=0+2=2 k=1+1=2第2次循环：S=2+4=6 k=2+1=3第3次循环：S=6+6=12 k=3+1=4第4次循环：S=12+8=20 k=4+1=5…第6次循环：S=30+12=42 k=6+1=7第7次循环：S=42+14=56 k=7+1=8退出循环．此时S=56，不满足条件，跳出循环，输出k=8则判断框内m的取值范围是m∈（42，56]．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f′（0）＜0，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A．x=0 B．x=C．x=D．x=【解答】解：∵函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f'（0）＜0，∴2sinφ=1，且2cosφ＜0，∴可取φ=，函数f（x）=2sin（x+）．∴函数=2sin（x+）=2cosx，故函数图象的对称轴的方程为x=kπ，k∈z．结合所给的选项，故选：A．10．（5分）已知命题p：函数f（x）=的图象的对称中心坐标为（1，1）；命题q：若函数g（x）在区间[a，b]上是增函数，则有g（a）（b﹣a）＜g（x）dx＜g（b）（b﹣a）成立．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：对于命题p：函数f（x）===1+，因此f（x）的图象的对称中心坐标为（1，1），是真命题；对于命题q：若函数g（x）在区间[a，b]上是增函数，若a＜x＜b，则g（a）＜g（x）＜g（b），∴，∴g（a）（b﹣a）＜g（x）dx＜g（b）（b﹣a），因此成立，即是真命题．由以上可得：p∧q是真命题．故选：A．11．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC 和BC1所成的角都等于，则这样的直线l共可以作出（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：因为AD1∥BC1，所以直线AC和BC1所成的角即为直线AC和AD1所成的角，所以过A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于，即过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD1所成的角都等于．因为∠ACD1=60°，∠ACD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求．因为∠ACD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°，将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中，存在两条直线与直线AC和BC1所成的角都等于，故符合条件的直线有3条．故选：C．12．（5分）设函数f（x）=|x2﹣2x﹣1|，若a＞b＞1，且f（a）=f（b），则ab﹣a﹣b的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣2，2）C．（1，2） D．（﹣1，1）【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图：可得f（x）=|x2﹣2x﹣1|的图象关于直线x=1对称，且f（1﹣）=f（1+）=0，f（3）=f（﹣1）=f（1）=2，由a＞b＞1，且f（a）=f（b），得a2﹣2a﹣1=﹣（b2﹣2b﹣1），整理得（a﹣1）2+（b﹣1）2=4．设a﹣1=2cosθ，b﹣1=2sinθ，θ∈（0，），则ab﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1）﹣1=2sin2θ﹣1，由sin2θ∈（0，1），可得2sin2θ﹣1∈（﹣1，1），即ab﹣a﹣b∈（﹣1，1），故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）13．（5分）设实数x，y满足不等式组，则的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：约束条件，对应的平面区域如下图示：ω==的表示可行域内的点P（x，y）与点Q（0，﹣1）连线的斜率的倒数，由图可知ω=的取值范围是[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．14．（5分）已知非零向量满足且，则向量的夹角为．【解答】解：∵，且，∴，即＜＞+，则2cos＜＞+，得cos＜＞=﹣．∴向量的夹角为．故答案为：．15．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•∴c=a∴=故答案为：．16．（5分）数列{a n}满足：，，n∈N*，，S n=b1+b2+…+b n，P n=b1b2…b n，则S n+2P n=2．【解答】解：∵数列{a n}满足：，，n∈N*，∴=•=﹣，∴=﹣，∴=﹣，∴S n=b1+b2+…+b n==，=，P n=b1b2…b n==，∴2P n==，∴S n+2P n=﹣+==2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知=（2λsinx，sinx+cosx），=（cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）=•的最大值为2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数=λsin2x﹣λcos2x=2λ（sin2x﹣cos2x）=2λsin（2x﹣），因为f（x）的最大值为2，所以解得λ=1，则．由，可得：，，所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z．（Ⅱ）由．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2，即b2+a2﹣c2=ab，解得，即．因为，∴，．因为恒成立，则恒成立，即m≤﹣1．18．（12分）五面体ABC﹣DEF中，面BCFE是梯形，BC∥EF，面ABED⊥面BCFE，且AB⊥BE，DE⊥BE，AG⊥DE于G，若BE=BC=CF=2，EF=ED=4．（Ⅰ）求证：G是DE中点；（Ⅱ）求二面角A﹣CE﹣F的平面角的余弦．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长EB，FC交于M 因为M∈EB，所以M∈面AEBD M∈CF，所以M∈面CFDA因为面AEBD与面CFDA交于DA 所以M∈DA因为AB∥DE，BC∥EF 所以由条件，易知四边形ABEG是矩形，所以即G是DE中点…（6分）（Ⅱ）作BE⊥EF于E，以，，分别为x，y，z轴构建空间直角坐标系，所以E（，﹣1，0），A（0，0，2），C（O，2，O），令面AEC的法向量为=（x，y，z），所以•=0；=0，易得的一个值为（，1，1），因为AB垂直面BEFC，所以可令面EFC法向量为=（0，0，1）所以cos=所以二面角A﹣EC﹣F的余弦值为…（12分）19．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（Ⅰ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（Ⅱ）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（Ⅲ）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）候车时间少于10分钟的人数为 60×（+）=36（人）．（Ⅱ）设“至少有一人来自第二组为事件A”，则P （A ）=1﹣=．（Ⅲ）X 的可能值为1，2，3，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，所以X 的分布列为∴EX=+2+3×=．20．（12分）如图．设椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率e=，椭圆C 上一点M 到左、右两个焦点F 1、F 2的距离之和是4． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：x=1与椭圆C 交于P 、Q 两点，P 点位于第一象限，A 、B 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若直线AB 的斜率为，求四边形APBQ 面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4，∴2a=4，即a=2，又∵离心率e=，∴=，即b2=3，∴椭圆C的方程为：；（2）依题意，，解得：y P=，设T（1，t），则﹣＜t＜，∵过点T的直线AB的斜率为，∴直线AB方程为：x﹣2y+2t﹣1=0，∴点P到直线AB的距离d P==，点Q到直线AB的距离d Q==，联立直线AB与椭圆方程，消去x整理得：16y2﹣12（2t﹣1）y+12t2﹣12t﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴==﹣4•=，∴|AB|2=+=5，=•|AB|•（d P+d Q）∴S四边形APBQ=•••（+）=•，记f（t）=﹣4t2+4t+15=﹣4•+16，取最大值，则当t=时，f（t）取最大值16，此时S四边形APBQ∴四边形APBQ面积取最大值•=．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣a﹣ln（x+a）．（Ⅰ）当时，求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）当a≤1时，证明：f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）时，，，注意到与都是增函数，于是f'（x）在上递增，又，故时，f'（x）＜0；故时，f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，当时，f（x）取得极小值1，f（x）无极大值．…（6分）（Ⅱ）方法一：当a≤1，x∈（﹣a，+∞）时，x﹣a≥x﹣1，x+a≤x+1，∴e x﹣a≥e x﹣1，ln（x+a）≤ln（x+1），e x﹣a﹣ln（x+a）≥e x﹣1﹣ln（x+1）故只需证明当a=1时，f（x）=e x﹣1﹣ln（x+1）＞0．当a=1时，在（﹣1，+∞）上单增，又，，故f'（x）在（﹣1，+∞）上有唯一零点x0∈（0，1）．当x∈（﹣1，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0．从而x=x0时，f（x）取得最小值．由f'（x0）=0得：，ln（x0+1）=1﹣x0，故，综上，当a≤1时，f（x）＞0．…（12分）方法二：先证不等式e x≥x+1与x﹣1≥lnx，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1=0⇒x=0，可得g（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增，∴g（x）=e x﹣x﹣1≥g（0）=0，即e x≥x+1；设h（x）=x﹣1﹣lnx，则，可得h（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，∴h（x）=x﹣1﹣lnx≥h（1）=0，即x﹣1≥lnx．于是，当a≤1时，e x﹣a≥x﹣a+1≥x+a﹣1≥ln（x+a），注意到以上三个不等号的取等条件分别为：x=a、a=1、x+a=1，它们无法同时取等，所以，当a≤1时，e x﹣a＞ln（x+a），即f（x）＞0．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ=的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，直线l的参数方程（t为参数）．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．【解答】解：（Ⅰ）把直线l的参数方程（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为2x+y﹣2=0．曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，即ρ2=2，即ρ=．（Ⅱ）设平面上伸缩变换的坐标表达式为，曲线C在此变换下得到曲线C'的方程为+Y2=2，即+=1．曲线C'的参数方程为，根据椭圆的对称性，曲线的内接矩形的面积为4|XY|=8|sin2α|，故当α=时，曲线的内接矩形的面积最大为8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1|（1）求不等式f（x）＜6的解集；（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．【解答】（1）解：①x≥2时，f（x）=2x﹣4+x+1=3x﹣3，由f（x）＜6，∴3x﹣3＜6，∴x＜3，即2≤x＜3，②﹣1＜x＜2时，f（x）=4﹣2x+x+1=5﹣x，由f（x）＜6，∴5﹣x＜6，∴x＞﹣1，即﹣1＜x＜2，③x≤﹣1时，f（x）=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x，由f（x）＜6，∴3﹣3x＜6，∴x＞﹣1，可知无解，综上，不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）；（2）证明：∵f（x）=2|x﹣2|+|x+1|，∴f（2）=3，∴m+n+p=f（2）=3，且m，n，p为正实数∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，∵m2+n2≥2mn，m2+p2≥2mp，n2+p2≥2np，∴m2+n2+p2≥mn+mp+np，∴（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3（mn+mp+np）又m，n，p为正实数，∴可以解得mn+np+pm≤3．故证毕．。