高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课件 新人教A版必修1

Δ<0
ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
x1,2＝－b±
b2－4ac 2a
x1＝x2＝－2ba
方程无实 数根
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Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像
y＝ax2＋bx＋c 有两个零点
(a>0)的零点
有一个二 重零点
没有零点
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注意：二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点个数只与 Δ＝b2－4ac 有关，而与抛物线的开口方向无关．
∴函数的零点为－2,1 和 4.
画出示意图：
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可知使 y<0 成立的 x 的取值范围是区间(1,4)． 【点评】 在求使 y<0(或 y>0)的 x 的取值范围时，常根据零 点的性质画出示意图，在数轴上标出零点，画曲线时，奇过(乘方 次数为奇数，即变号零点)偶不过(乘方次数为偶数，即不变号零 点)直接据图示写出 x 的取值范围．这种方法通常称作“标根 法”(或“穿根法”)．
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课时学案
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题型一 求函数的零点 例 1 求函数 f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y&l15
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
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(2)若 f(a)f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点；但函 数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，不一定能得到 f(a)·f(b)<0.
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1．函数零点与方程的根有怎样的关系？ 答：根据函数零点的定义可知：函数 f(x)的零点，就是方程 f(x)＝0 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是 判断方程 f(x)＝0 是否有实数根，有几个实数根．
(4)函数在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，且在 区间(a，b)上单调，若 f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内 有且只有一个零点．
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3．二次函数的零点、二次函数图像与 x 轴的交点、一元二次
方程的根三者之间有何关系？
答：
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
【答案】
3 (1)4
(2)1 和 2
(3)1 和－1
(4)1 和－1
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题型二 二次函数的零点与相应二次方程的实根关系 例 2 求函数 y＝－x2－2x＋3 的零点，并分别指出 y>0，y<0 时，x 的取值范围．
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【解析】 解－x2－2x＋3＝0，得 x1＝－3，x2＝1.
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∴函数 y＝－x2－2x＋3 的零点为－3,1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像上可以看出当－3<x<1 时，y>0. 当 x<－3 或 x>1 时，y<0. ∴函数 y＝－x2－2x＋3 的零点是－3,1. y>0 时，x 的取值范围是(－3,1)； y<0 时，x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
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①当 x＝－1,3 时，y＝0； ②当－1<x<3 时，y>0； ③当 x>3 或 x<－1 时，y<0.
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题型三 判断函数的零点个数
例 3 求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数． 【解析】 方法一：因为 f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋ lg3－2≈2.48>0，所以由函数零点存在性判定定理知，f(x)在(0,2) 上必定存在零点．
第三章 函数的应用
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3.1 函数与方程
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2
3．1.1 方程的根与函数的零点
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3
课时学案 课时作业
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要点 1 函数的零点 (1)对于函数 y＝f(x)(x∈R)，把 f(x)＝0 的根叫做函数 y＝f(x) 的零点． (2)函数的“零点”是一个点吗？不是 ． (3)函数的零点是确定的值，零点的函数值一定是 0 .
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2．如何正确理解函数零点存在性判定定理？
答：(1)并不是所有的函数都有零点，如函数 y＝1x就没有零点． (2)函数 y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图像是连 续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内 有零点．
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(3)对于有些函数，即使它的图像是连续不断的一条曲线，当 它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数 y＝x2 有零点 x0＝0， 但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个 零点之间所有的函数值保持同号．
②由 f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0，∴f(x)零点为 1 和 2.
③∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，令 f(x)＝0 得 x＝±1，
∴该函数零点为 1 和－1.
④∵f(x)＝x6－1＝(x3＋1)(x3－1)＝(x＋1)(x2－x＋1)(x－1)(x2
＋x＋1)，令 f(x)＝0，得 x＝±1，∴该函数的零点为 1 和－1.
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探究 2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题．
思考题 2 画函数 y＝－x2＋2x＋3 的图像，找出①y＝0，② y>0，③y<0 的 x 的取值范围．
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【解析】 根据判别式 Δ>0 知图像与 x 轴有两个交点，其交 点的横坐标由－x2＋2x＋3＝0 的两根确定，画出的函数图像如图 所示．
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2．方程、函数、图像之间的关系 方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图像与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． 3．函数零点的判定 (1)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续的一条曲线， 并且有 f(a)f(b)<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点， 即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．
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探究 1 求函数 f(x)的零点即求方程 f(x)＝0 的根．
思考题 1 指出下列函数的零点：
①f(x)＝4x－3；
②f(x)＝x2－3x＋2；
③f(x)＝x4－1;
④f(x)＝x6－1.
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【解析】 函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式
或分解因式求解．
∴①由 4x－3＝0，得 x＝34，零点是34.