2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准0204192310
2012年全国初中数学竞赛试题(含答案)
大安中学九年级数学竞赛试卷班级__________姓名______________成绩_________________一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)1.如果实数a ,b ,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式||||a b b c ++可以化简为( ). (A) (B ) (C) (D )a2.如果正比例函数y = ax (a ≠ 0)与反比例函数y =xb(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).(A )(2,3) (B )(3,-2) (C )(-2,3) (D )(3,2)3.如果a b ,为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A )1 (B )214a - (C )12 (D )144.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ).(A )1 (B )2 (C )3 (D )45.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是( ).(A )0p (B )1p (C )2p (D )3p二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是.7.如图,正方形ABCD 的边长为E ,F 分别是AB ,BC 分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 .8.如果关于x 的方程x 2+kx+43k 2-3k+92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为 .9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD = DC. 分别延长BA ,CD ,交点为E. 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的长为 .三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.已知二次函数232y x m x m =++++(),当13x -<<时,恒有0y <;关于x 的方程2320x m x m ++++=()的两个实数根的倒数和小于910-.求m 的取值范围.12.如图,⊙O 的直径为AB ,⊙O 1过点O ,且与⊙O 内切于点B .C 为⊙O 上的点,OC与⊙O 1交于点D ,且OD CD >.点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与⊙O 1交于点F ,求证:△BOC ∽△1DO F .13.已知整数a ,b 满足:a -b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值.14.求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ,, ,,满足122012x x x <<<,且122012122012n x x x +++=.中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1.C解:由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-.2.D解:由题设知,2(3)a -=⋅-,(3)(2)b -⋅-=,所以263a b ==,.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,得32x y =-⎧⎨=-⎩,; 32.x y =⎧⎨=⎩,所以另一个交点的坐标为(3,2).注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).3.D解:由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=, 于是 4423421444a b a b ++++-=.4.D解:设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ,均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩,, 消去x 得 (2y -7)n = y+4,2n =721517215)72(-+=-+-y y y . 因为1527y -为正整数,所以2y -7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11.从而n 的值分别为8,3,2,1;x 的值分别为14,7,6,7.5.D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====,,,,因此3p 最大.二、填空题6.7<x ≤19解:前四次操作的结果分别为3x -2,3(3x -2)-2 = 9x -8,3(9x -8)-2 = 27x -26,3(27x -26)-2 = 81x -80.由已知得27x-26≤487, 81x -80>487.解得 7<x ≤19.容易验证,当7<x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7<x ≤19.7.8解:连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==,,所以AF ,于是 cos AB BAF AF ∠=. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=.于是cos AM AE BAF =⋅∠=,23MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==.因为a ,所以8MND S ∆=. 8.32-解:根据题意,关于x 的方程有∆=k 2-4239(3)42k k -+≥0,由此得 (k -3)2≤0.又(k -3)2≥0,所以(k -3)2=0,从而k=3. 此时方程为x 2+3x+49=0,解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-.9.8解:设平局数为a ,胜(负)局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==,;当9m =时,2035b a ==,,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =.10.223 解:如图,连接AC ,BD ,OD.由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===,.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅.因为322BA AE BE BA ==,, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA=22AD ,故AD CF BCBA =⋅==三、解答题11.解: 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>()(),即210m +>(),所以1m ≠-. ………(5分) 当1x =-时,y ≤0;当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-. ………(10分)设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ,,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+,.因为1211910x x +<-,所以 121239210x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-.因此12m <-. …………(20分) 12. 证明:连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒.又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形.…………(5分)设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒.又因为O C O B =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠.…………(15分)又因为1BOC DO F ∠∠,分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F . …………(20分)13.解:设a -b = m (m 是素数),ab = n 2(n 是正整数). 因为 (a+b)2-4ab = (a -b)2, 所以 (2a -m)2-4n 2= m 2,(2a -m+2n)(2a -m -2n) = m 2. ………(5分)因为2a -m+2n 与2a -m -2n 都是正整数,且2a -m+2n >2a -m -2n (m 为素数),所以 2a -m+2n =m 2,2a -m -2n =1.解得 a =2(1)4m +,n =214m -.于是 b = a -m =214m -(). …………(10分)又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012.又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025.当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.因此,a 的最小值为2025. …………(20分) 14.解:由于122012x x x ,, ,都是正整数,且122012x x x <<<,所以1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012.于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=.…………(10分) 当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯,, ,,则1220121220121x x x +++=.…………(15分) 当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===,, ,,122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,,,则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=. 综上,满足条件的所有正整数n 为122012, , , . …………(20分)。
2012全国初中数学竞赛试题及答案(现只有选择题答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交.一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分. 每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分) 1. 如果2a =-+11123a+++的值为( ).(A )(B (C )2 (D )解:B∵213+=+a ∴1231-=+a ,12312+=++a,123121-=++a因此原式=22. 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2+y 2≤2x +2y 的整数点坐标(x ,y )的个数为( ).(A )10 (B )9 (C )7 (D )5 解:B解法一:y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数,因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点解法二:y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点(1,1)为圆心,2为半径的圆内, 画图可知,这个圆内有9个(0,2)、(0,1)(0,0),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)3. 如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形.30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5,则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52 (D )4.5 解:4. 如果关于x 的方程20x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是( ).(A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 8 解:C∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ,021<-=⋅q x x∴正根为3242<++qp p 解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ,⎩⎨⎧==21q p ,⎩⎨⎧==31q p ,⎩⎨⎧==41q p ,⎩⎨⎧==51q p ,⎩⎨⎧==12q p ,⎩⎨⎧==22q p5. 黑板上写有1,12,13,…,1100共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).(A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 解:C1)1)(1(-++=++b a ab b a∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得:21)121)(11(=-++,31)131)(12(=-++,41)141)(13(=-++,…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6. 如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么a b c b c c a a b+++++的值为 . 解:7 在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c7. 如图,正方形ABCD 的边长为2E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB 分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 解:8易证△ABF ≌△DAE ,因此AF ⊥DE ∴()()351515222=+==AF DE∴323515152=⋅=AM ,()()343215222=-=DM易证△AND ∽△FNB ,且相似比为2:1∴331032==AF AN ,33531==AF FN ∴334323310=-=MN ∴83433421=⋅⋅=∆DMN S8. 设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为 . 解:1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ,所以)5(mod 14≡n ,因此25k ,15±±=或k n240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9. 如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z (,,)是三角形数.若a b c (,,)和111a b c (,,)均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则a c的取值范围是 . 解:1253≤<-ca依题意得:⎪⎩⎪⎨⎧>+>+ac b c b a 111,所以a c b ->,代入(2)得ca c cb a 11111+-<+<,两边乘以a 得 c a a c a +-<1即ac a c a c -<-化简得0322<+-c ac a ,两边除以2c 得0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a所以253253+<<-c a 另一方面:a ≤b ≤c ,所以1≤ca综合得1253≤<-ca10. 已知n 是偶数,且1≤n ≤100.若有唯一的正整数对a b (,)使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 . 解:依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数,a+b 、a-b 同奇偶,所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时,4的倍数共有25个但是224⨯=,6412224⨯=⨯=,8416232⨯=⨯=,10420240⨯=⨯=,8612424248⨯=⨯=⨯=,14428256⨯=⨯=,10630260⨯=⨯=,16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=,10820440280⨯=⨯=⨯=,22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求,因此这样的n 有25-12=13个这个解析漏了一个84=22的平方-20的平方=10的平方-4的平方 最后结果应该是12个你说的很对,第10题的解答确实有漏洞,84也应该算一个,结果应该是12。
2012全国初中数学竞赛试题参考答案和评分标准(湖南卷)
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1.C 2.D 3.D 4.B 5.D二、填空题 6.8 7.7<x ≤19 8.8 9.32-10.223 三、解答题11.解: 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以 23420m m ∆=+-+>()(), 即210m +>(),所以1m ≠-. …………(5分)当1x =-时,y ≤0;当3x =时,y ≤0,即 2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0, 且233(3)2m m ++++≤0, 解得m ≤5-. …………(10分)设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ,,由一元二次方程根与系数的关系得 ()121232x x m x x m +=-+=+,. 因为1211910x x +<-,所以 121239210x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-.因此12m <-. …………(20分)12.解:因为sin ∠ABC =45AO AB =,8AO =,所以 AB = 10.由勾股定理,得 BO6=.易知△ABO ≌△ACO , 因此 CO = BO = 6.于是A (0,-8),B (6,0),C (-6,0). 设点D 的坐标为(m ,n ),由S △COE = S △ADE ,得S △CDB = S △AOB . 所以 1122BC |n |=AO BO , 1112()8622n ⨯-=⨯⨯, 解得n =-4. 因此D 为AB 的中点,点 D 的坐标为(3,-4). …………(10分) 因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为△A BC的重心,所以点E 的坐标为),(380-. 设经过B ,C ,E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y =a (x -6)(x +6). 将点E 的坐标代入,解得a =272. 故经过B ,C ,E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 228273y x =-. …………(20分) 13. 证明:连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒.又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形. …………(5分)设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒.又因为OC OB =,所以 22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠. …………(15分)又因为1BOC DO F ∠∠,分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F . …………(20分)14.解:设a -b = m (m 是素数),ab = n 2(n 是正整数).因为 (a +b )2-4ab = (a -b )2,所以 (2a -m )2-4n 2 = m 2,(2a -m +2n )(2a -m -2n ) = m 2. …………(5分)因为2a -m +2n 与2a -m -2n 都是正整数,且2a -m +2n >2a -m -2n (m 为素数),所以2a -m +2n =m 2,2a -m -2n =1.解得:a =2(1)4m +,n =214m -. 于是 b = a -m =214m -(). ………(10分) 又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.因此,a 的最小值为2025. …………(20分)。
全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
2012年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范说明:评阅试卷时,请依据本评分规范.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分规范规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分规范划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)本题共有6小题,每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.设213a a +=,213b b +=,且a b ≠,则代数式2211a b+的值为 ( ) )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=,2310b b -+=,且a b ≠,所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根,故3a b +=,1ab =,因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2.如图,设AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,若6AB =,5BC =,3EF =,则线段BE 的长为 ( ) )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,易知,,,B C E F 四点共圆,于是△AEF ∽△ABC ,故35AF EF AC BC ==,即3cos 5BAC ∠=,所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中,424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( ))(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C . 4.在△ABC 中,12ABC ∠=︒,132ACB ∠=︒,BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线,且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上,则 ( ))(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解∵12ABC ∠=︒,BM 为ABC ∠的外角平分线,∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒,∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒, ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠,∴CN CB =. 因此,BM BC CN ==.故选B .5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r ,则r 的最小值为 ( ))(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】B .解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ,过了n 天.n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅,其中k 为自然数,且0k n ≤≤. 要使r 的值最小,五种商品的价格应该分别为:98()()1010i n i a -⋅⋅,1198()()1010i n i a +--⋅⋅, 2298()()1010i n i a +--⋅⋅,3398()()1010i n i a +--⋅⋅,4498()()1010i n i a +--⋅⋅,其中i 为不超过n 的自然数. 所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B . 6. 已知实数,x y满足(2008x y =,则223233x y x y -+-2007-的值为 ( ))(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解∵(2008x y =,∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =.所以2(2008x =,解得22008x =,所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.故选D .二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.设12a =,则5432322a a a a a a a+---+=-2-. 解∵221a a ===-,∴21a a +=, ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----. 2.如图,正方形ABCD 的边长为1,,M N 为BD所在直线上的两点,且AM =135MAN ∠=︒,则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ,连AO ,则AO BD ⊥,2AO OB ==, 2MO ===,∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒, 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠,所以△ADN ∽△MBA ,故AD DN MB BA =,从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知,四边形AMCN 的面积115222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△. 3.已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ,n ,且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ,q ,则p q +=12解 根据题意,,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根,所以m n a +=-,mn b =. ∵1m n +≤,∴1m n m n +≤+≤,1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥,∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-,故14b ≥-,等号当且仅当12m n =-=时取得; 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤,故14b ≤,等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =,14q =-,于是12p q +=. 4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .解21到23,结果都只各占1个数位,共占133⨯=个数位;24到29,结果都只各占2个数位,共占2612⨯=个数位;210到231,结果都只各占3个数位,共占32266⨯=个数位;232到299,结果都只各占4个数位,共占468272⨯=个数位;2100到2316,结果都只各占5个数位,共占52171085⨯=个数位;此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411,结果都只各占6个数位,共占695570⨯=个数位.所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字,即为1. 第二试 (A )一.(本题满分20分) 已知221a b +=,对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ,不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ (1)恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 整理不等式(1)并将221a b +=代入,得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ (2)在不等式(2)中,令0x =,得0a ≥;令1x =,得0b ≥.易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3) 消去b ,得42161610a a -+=,所以2a =2a =又因为0a ≥,所以4a =或4a =, 于是方程组(3)的解为,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14,此时,a b 的值有两组,分别为44a b ==44a b == 二.(本题满分25分) 如图,圆O 与圆D 相交于,A B 两点,BC为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =.(1)证明:点O 在圆D 的圆周上.(2)设△ABC 的面积为S ,求圆D 的的半径r 的最小值.解 (1)连,,,OA OB OC AC ,因为O 为圆心,AB BC =,所以△OBA ∽△OBC ,从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥,所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠,所以DB DO =,因此点O 在圆D 的圆周上.(2)设圆O 的半径为a ,BO 的延长线交AC 于点E ,易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤,OE x =,AB l =,则222a x y =+,()S y a x =+,22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=.因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =,所以△BDO ∽△ABC ,所以BD BO AB AC=,即2r a l y =,故2al r y =. 所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥,即r ≥其中等号当a y =时成立,这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r的最小值为2三.(本题满分25分)设a 为质数,b 为正整数,且29(2)509(4511)a b a b +=+ (1)求a ,b 的值.解 (1)式即2634511()509509a b a b ++=,设634511,509509a b a b m n ++==,则 509650943511m a n a b --== (2) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以2351160m m a -+= (3)由(1)式可知,2(2)a b +能被509整除,而509是质数,于是2a b +能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =. ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去. 综合可知251a =.此时方程(3)的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入(2)式,得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 (B )一.(本题满分20分)已知221a b +=,对于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ,不等式 220ay xy bx -+≥(1)恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在(1)式中,令0,1x y ==,得0a ≥;令1,0x y ==,得0b ≥.将1y x =-代入(1)式,得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥,即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥(2)易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象(抛物线)的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式(2)对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ (3)消去b ,得42161610a a -+=,所以224a -=或224a +=,又因为0a ≥,所以4a =或a =. 于是方程组(3)的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组,分别为a b ==a b == 二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同.二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)设a 为质数,,b c 为正整数,且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩(1)(2) 求()a b c +的值.解 (1)式即2()509509=, 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==,则 5096509423511m a n a b c ---== (3) 故351160n m a -+=,又2n m =,所以 2351160m m a -+= (4)由(1)式可知,2(22)a b c +-能被509整除,而509是质数,于是22a b c +-能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程(4)有整数根,所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=(t 为自然数),则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,所以只可能有以下几种情况:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去.综合可知251a =,此时方程(4)的解为3m =或5023m =(舍去). 把251a =,3m =代入(3)式,得50936251273b c ⨯-⨯-==,即27c b =-. 代入(2)式得(27)2b b --=,所以5b =,3c =,因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.2009年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.设1a =,则32312612a a a +--= ( A )A.24.B. 25.C. 10.D. 12.2.在△ABC 中,最大角∠A 是最小角∠C 的两倍,且AB =7,AC =8,则BC = ( C )A. B. 10.C.D.3.用[]x 表示不大于x 的最大整数,则方程22[]30x x --=的解的个数为 ( C )A.1.B. 2.C. 3.D. 4.4.设正方形ABCD 的中心为点O ,在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( B )A.314. B. 37. C. 12. D. 47.5.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =2,以BC 为直径在矩形内作半圆,自点A 作半圆的切线AE ,则sin ∠CBE = ( D )A.3B. 23. C. 13.D. 10.6.设n 是大于1909的正整数,使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是 ( B )A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知t 是实数,若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根,则22(1)(1)a b --的最小值是_____3-_______.2. 设D 是△ABC 的边AB 上的一点,作DE//BC 交AC 于点E ,作DF//AC 交BC 于点F ,已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ,则四边形DECF 的面积为______.3.如果实数,a b 满足条件221a b +=,22|12|21a b a b a -+++=-,则a b +=__1-____.4.已知,a b是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对(,)a b 共有___7__对. 第二试DC一.(本题满分20分)已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ,与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.(1)证明:⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.(2)如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △=,求b 和c 的值.解 (1)易求得点C 的坐标为(0,)c ,设1A(,0)x ,2B(,0)x ,则12x x b +=-,12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ,由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦,它们的交点为点O ,所以O A ×OB =O C ×OD ,则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <,所以点C 在y 轴的负半轴上,从而点D 在y 轴的正半轴上,所以点D 为定点,它的坐标为(0,1).(2)因为AB ⊥C D ,如果AB 恰好为⊙P 的直径,则C 、D 关于点O 对称,所以点C 的坐标为(0,1)-, 即1c =-.又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△,解得b =±.二. (本题满分25分) 已知△ABC 中,∠ACB =90°,AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证:EF ∥AB.NB解 因为BN 是∠ABC 的平分线,所以ABN CBN ∠=∠.又因为C H ⊥AB ,所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠, 因此CQ NC =.又F 是QN 的中点,所以C F ⊥QN ,所以CFB 90CHB ∠=︒=∠,因此C 、F 、H 、B 四点共圆.又FBH =FBC ∠∠,所以FC =FH ,故点F 在CH 的中垂线上. 同理可证,点E 在CH 的中垂线上. 因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ,所以EF ∥AB.三.(本题满分25分)已知,,a b c 为正数,满足如下两个条件:32a b c ++=①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=②. 解法1 将①②两式相乘,得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=, 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=, 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=, 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=, 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=,即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=,即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=,即22()[()]0b c a c a b abc -+--=,即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=, 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=,即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式,由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=, 变形,得222110242()4a b c abc -++=③又由①式得2()1024a b c ++=,即22210242()a b c ab bc ca ++=-++,代入③式,得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=, 即16()4096abc ab bc ca =++-.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=,所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.2010年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=,则||||||a b b c c a -+-+-= ( B )A .1.B .2.C .3.D .4.2.若实数,,a b c 满足等式3||6b =,9||6b c =,则c 可能取的最大值为 ( C ) A .0.B .1. C .2. D .3.3.若b a ,是两个正数,且,0111=+-+-ab b a 则 ( C ) A .103a b <+≤.B .113a b <+≤. C .413a b <+≤. D .423a b <+≤.4.若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根,则2a b c +-的值为 ( A ) A .-13.B .-9. C .6. D . 0.5.在△ABC 中,已知︒=∠60CAB ,D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且︒=∠60AED ,CE DB ED =+,CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A .15°.B .20°.C .25°.D .30°.6.对于自然数n ,将其各位数字之和记为n a ,如2009200911a =+++=,201020103a =+++=,则12320092010a a a a a +++++= ( D )A .28062.B .28065.C .28067.D .28068.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y +=13.2.二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于点C .已知AC AB 3=,︒=∠30CAO ,则c =19.3.在等腰直角△ABC 中,AB =BC =5,P 是△ABC 内一点,且PA PC =5,则PB =. 4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.第二试 (A )一.(本题满分20分)设整数,,a b c (a b c ≥≥)为三角形的三边长,满足22213a b c ab ac bc ++---=,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. 解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=,则a c m n -=+,其中,m n 均为自然数. 于是,等式①变为222()26m n m n +++=,即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的,m n 只有两组:3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩(1)当3,1m n ==时,1b c =+,34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长,所以b c a +>,即(1)4c c c ++>+,解得3c >.又因为三角形的周长不超过30,即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤,解得253c ≤.因此2533c <≤,所以c 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.(2)当1,3m n ==时,3b c =+,14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长,所以b c a +>,即(3)4c c c ++>+,解得1c >.又因为三角形的周长不超过30,即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤,解得233c ≤.因此2313c <≤,所以c 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC 中,AB =AC ,∠C 的平分线与AB 边交于点P ,M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点,作MD//AC ,交⊙I 于点D.证明:PD 是⊙I 的切线. 证明过点P 作⊙I 的切线PQ (切点为Q )并延长,交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线,所以∠ACP =∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线,所以∠APC =∠NPC. 又CP 公共,所以△ACP ≌△NCP ,所以∠PAC =∠PNC.由NM =QN ,BA =BC ,所以△QNM ∽△BAC ,故∠NMQ =∠ACB ,所以MQ//AC.又因为MD//AC ,所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上,所以点Q 和点D 重合,故PD 是⊙I 的切线.三.(本题满分25分)已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ,Q (2,10)a . (1)如果,,a b c 都是整数,且8c b a <<,求,,a b c 的值.(2)设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ,与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数,求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上,故1b c a +-=,4210a c a +-=, 解得93b a =-,82c a =-.(1)由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.NC A又a 为整数,所以2a =,9315b a =-=,8214c a =-=. (2) 设,m n 是方程的两个整数根,且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-,28mn c a =-=-,消去a ,得98()6mn m n -+=-, 两边同时乘以9,得8172()54mn m n -+=-,分解因式,得(98)(98)10m n --=.所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又,m n 是整数,所以后面三组解舍去,故1,2m n ==.因此,()3b m n =-+=-,2c mn =-=-,二次函数的解读式为232y x x =-+. 易求得点A 、B 的坐标为(1,0)和(2,0),点C 的坐标为(0,2),所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 (B )一.(本题满分20分)设整数,,a b c 为三角形的三边长,满足22213a b c ab ac bc ++---=,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次). 解 不妨设a b c ≥≥,由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=,则a c m n -=+,其中,m n 均为自然数. 于是,等式①变为222()26m n m n +++=,即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的,m n 只有两组:3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ (1)当3,1m n ==时,1b c =+,34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长,所以b c a +>,即(1)4c c c ++>+,解得3c >.又因为三角形的周长不超过30,即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤,解得253c ≤.因此2533c <≤,所以c 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.(2)当1,3m n ==时,3b c =+,14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长,所以b c a +>,即(3)4c c c ++>+,解得1c >.又因为三角形的周长不超过30,即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤,解得233c ≤.因此2313c <≤,所以c 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同. 三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同. 二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)设p 是大于2的质数,k 为正整数.若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k 的值.解 由题意知,方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数. 由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ,从而有p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++①(1)若1k =,则方程为0)2(22=-++p px x ,它有两个整数根2-和2p -. (2)若1k >,则01>-k .因为12x x p +=-为整数,如果21,x x 中至少有一个为整数,则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数,由①式知2|1+x p 或2|2+x p .不妨设2|1+x p ,则可设12x mp +=(其中m 为非零整数),则由①式可得212k x m-+=, 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+,即1214k x x mp m-++=+. 又12x x p +=-,所以14k p mp m--+=+,即41)1(=-++mk p m ②如果m 为正整数,则(1)(11)36m p +≥+⨯=,10k m ->,从而1(1)6k m p m-++>,与②式矛盾. 如果m 为负整数,则(1)0m p +<,10k m -<,从而1(1)0k m p m-++<,与②式矛盾.因此,1>k 时,方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根. 综上所述,1=k .。
2012年全国初中数学联赛试题详解
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1.已知1a =,b =2c =,那么,,a b c 的大小关系是 ( C )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<解答:1a ===b ==,2c ===1显然:b a c <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 ( B ) A .3. B .4. C .5. D .6. 解答:222222223232()234x xy y x xy y y x y y ++=+++=++=由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+2⨯9=34故5555544444x y x y x y x y x y y y y y y +=-+=+=+=-⎧⎧⎧⎧+=±=±⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩、,由、、、得 4444=9=1=9=1y y y y x x x x ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--⎩⎩⎩⎩、、、共4组解。
3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE =1,连接AE ,与CD 交于点F ,连接BF 并延长与线段DE 交于点G ,则BG 的长为 ( D )A.3 B.3 C.3 D.3EBD解答:如图,做G H ⊥BE 于H ,易证Rt △AB E ∽Rt △GHB ,设GH=a ,则HE=a ,BH=2-a , 由GH BH a 2-a 2==a=AB BE 123得解得,故BG=3。
4.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b ++的最小值为 ( B )A .18-. B .0. C .1. D .98. 解答:44222222219=2=21=2()48a ab b a b a b ab a b ab ab +++-+-++--+2() 考查以ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab --+其对称轴为14ab = 由22222020a b ab a b ab +-≥++≥和知1122ab -≤≤ 又1111()4242-->-,故当12ab =-时,函数取最小值0。
2012年全国初中数学联赛试卷
2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)223.(7分)已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接.C D.2244..5.(7分)若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1,x2满足,则实数p的所C.6.(7分)由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数字可重复使用),要求满足a+c=b+d.这样的四位数共有二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.(7分)已知互不相等的实数a,b,c满足,则t=_________.8.(7分)使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________.9.(7分)在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则=_________.10.(7分)已知实数a,b,c满足abc=﹣1,a+b+c=4,,则a2+b2+c2= _________.三、解答题(共3小题)11.(20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.12.(25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.13.(25分)已知抛物线的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,),若AM∥BC,求抛物线的解析式.2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)﹣b=﹣﹣=,=+,=+1=<<,<<,22,3.(7分)已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接.C D.DE=DE=.,=.2244..≤,﹣+≤时,时,﹣(﹣)+×+﹣,,或a=﹣5.(7分)若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1,x2满足,则实数p的所C.然后利用得到有关+﹣=[+﹣(+)得=4﹣(),﹣(﹣.6.(7分)由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数字可重复使用),要求满足a+c=b+d.这样的四位数共有二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.(7分)已知互不相等的实数a,b,c满足,则t=±1.=t,b+=t=t,=t,得:=t=t,时,﹣时,a+8.(7分)使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为1.或9.(7分)在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则=.BCBAE=PAsin60=AP==故答案为:10.(7分)已知实数a,b,c满足abc=﹣1,a+b+c=4,,则a2+b2+c2=.,同理可得:,=+,+=,=,即整理得:,=故答案为:三、解答题(共3小题)11.(20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.∴只可能是或或,三角形的外接圆的面积为12.(25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.13.(25分)已知抛物线的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,),若AM∥BC,求抛物线的解析式.中,,的横坐标为:﹣=3b,纵坐标为:b的坐标为是一元二次方程,.,即,.代入,解得(另一解舍去)∴抛物线的解析式为。
全国初中数学竞赛试题含答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)1.如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为( ). (A )2c a (B )2a 2b (C ) a (D )a2.如果正比例函数y = ax (a ≠ 0)与反比例函数y =xb(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).(A )(2,3) (B )(3,-2) (C )(-2,3) (D )(3,2)3.如果a b ,为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A )1 (B )214a - (C )12 (D )144.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ).(A )1 (B )2 (C )3 (D )45.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是( ).(A )0p (B )1p (C )2p (D )3p(第1题图)二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .7.如图,正方形ABCD 的边长为215,E ,F 分别是AB ,BC 分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 .8.如果关于x 的方程x 2+kx+43k 2-3k+92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为 .9.2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD = DC. 分别延长BA ,CD ,交点为E. 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线交于点F. 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的长为 .三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.已知二次函数232y x m x m =++++(),当13x -<<时,恒有0y <;关于x 的方程2320x m x m ++++=()的两个实数根的倒数和小于910-.求m 的取值范围.(第7题图)(第10题图)12.如图,⊙O 的直径为AB ,⊙O 1过点O ,且与⊙O 内切于点B .C 为⊙O 上的点,OC 与⊙O 1交于点D ,且OD CD >.点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与⊙O 1交于点F ,求证:△BOC ∽△1DO F .13.已知整数a ,b 满足:a -b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值.14.求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x L ,, ,,满足122012x x x <<<L ,且122012122012n x x x +++=L .(第12题图)中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1.C解:由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-.2.D解:由题设知,2(3)a -=⋅-,(3)(2)b -⋅-=,所以263a b ==,.解方程组236y x y x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,得32x y =-⎧⎨=-⎩,; 32.x y =⎧⎨=⎩,所以另一个交点的坐标为(3,2).注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).3.D解:由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为 (1)(1)44224a a b a b++++++=, 于是 4423421444a b a b ++++-=.4.D解:设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ,均为非负整数. 由题设可得2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩,, 消去x 得 (2y -7)n = y+4,2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数,所以2y -7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11.从而n 的值分别为8,3,2,1;x 的值分别为14,7,6,7.5.D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====,,,,因此3p 最大.二、填空题6.7<x ≤19解:前四次操作的结果分别为3x -2,3(3x -2)-2 = 9x -8,3(9x -8)-2 = 27x -26,3(27x -26)-2 = 81x -80.由已知得 27x -26≤487, 81x -80>487.解得 7<x ≤19.容易验证,当7<x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7<x ≤19.7.8解:连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==,,所以225AF AB BF a =+=,于是 25cos AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=o .(第7题)于是 25cos AM AE BAF =⋅∠=, 245315MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =8MND S ∆=. 8.32-解:根据题意,关于x 的方程有∆=k 2-4239(3)42k k -+≥0,由此得 (k -3)2≤0.又(k -3)2≥0,所以(k -3)2=0,从而k=3. 此时方程为x 2+3x+49=0,解得x 1=x 2=32-.故2012220111x x =21x =23-. 9.8解:设平局数为a ,胜(负)局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==,;当9m =时,2035b a ==,,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =.(第10题)10.223 解:如图,连接AC ,BD ,OD.由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===,.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅.因为322BA AE BE BA ==,, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA=22AD ,故AD CF BCBA =⋅=2=. 三、解答题11.解: 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>()(),即210m +>(),所以1m ≠-. ………(5分) 当1x =-时,y ≤0;当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-. ………(10分)设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ,,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+,.因为1211910x x +<-,所以 121239210x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-.因此12m <-. …………(20分)12. 证明:连接BD ,因为OB 为1O e 的直径,所以90ODB ∠=︒.又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形.…………(5分)设BC 与1O e 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒.又因为OC OB =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠.…………(15分)又因为1BOC DO F ∠∠,分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F . …………(20分)13.解:设a -b = m (m 是素数),ab = n 2(n 是正整数). 因为 (a+b)2-4ab = (a -b)2, 所以 (2a -m)2-4n 2= m 2,(2a -m+2n)(2a -m -2n) = m 2. ………(5分)因为2a -m+2n 与2a -m -2n 都是正整数,且2a -m+2n >2a -m -2n (m 为素数),所以 2a -m+2n =m 2,2a -m -2n =1.解得 a =2(1)4m +,n =214m -.于是 b = a -m =214m -(). …………(10分)又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012.(第12题)又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025.当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.因此,a 的最小值为2025. …………(20分)14.解:由于122012x x x L ,, ,都是正整数,且122012x x x <<<L ,所以 1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012.于是 122012122012n x x x =+++L ≤1220122012122012+++=L .…………(10分) 当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯L ,, ,,则 1220121220121x x x +++=L .…………(15分) 当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===L ,, ,,122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,,,则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-L 1k n =+=. 综上,满足条件的所有正整数n 为122012L , , , . …………(20分)。
2012年全国初中数学联赛试题答案
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知1a =,b =2c =,那么,,a b c 的大小关系是 ( C )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 ( B ) A .3. B .4. C .5. D .6.3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE =1,连接AE ,与CD 交于点F ,连接BF 并延长与线段DE 交于点G ,则BG 的长为 ( D )A .3 B .3 C .3 D .34.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b ++的最小值为 ( B ) A .18-. B .0. C .1. D .98. 5.若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+,则实数p的所有可能的值之和为 ( B )A .0.B .34-. C .1-. D .54-. 6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd (数字可重复使用),要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 ( C )A .36个.B .40个.C .44个.D .48个. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=,则t =1±.2.使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 .3.在△ABC 中,已知AB =AC ,∠A =40°,P 为AB 上一点,∠ACP =20°,则BCAP=. 4.已知实数,,a b c 满足1abc =-,4a b c ++=,22243131319a b c a a b b c c ++=------,则222a b c ++=332.第二试 (A )一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c (a b c ≤<),则30a b c ++=.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<,所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>,所以15c <. 又因为c 为整数,所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=,把30c a b =--代入,化简得30()4500ab a b -++=,所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯,因为,a b 均为整数且a b ≤,所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以,直角三角形的斜边长13c =,三角形的外接圆的面积为1694π. 二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,A D ⊥OP 于点D .证明:2AD BD CD =⋅.证明:连接OA ,OB ,OC.∵OA ⊥AP ,A D ⊥OP ,∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅,2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅,∴P B P C PD PO ⋅=⋅,∴D 、B 、C 、O 四点共圆, ∴∠PDB =∠PCO =∠OBC =∠ODC ,∠PBD =∠COD ,∴△PB D ∽△COD ,∴PD BD CD OD=,∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三.(本题满分25分)已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-,若AM//BC ,求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +,点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3,)b m . 显然,12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根,所以13x b =,23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ,所以AE因为PA 为⊙D 的切线,所以PA ⊥AD ,又A E ⊥PD ,所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅,即223()||2b c m =+⋅,又易知0m <,所以可得6m =-.又由DA =DC 得22DA DC =,即2222(30)()m b m c +=-+-,把6m =-代入后可解得6c =-(另一解0c =舍去).又因为AM//BC ,所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =(另一解52b =-舍去). 因此,抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 (B )一.(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c (a b c ≤<),则60a b c ++=. 显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<,所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>,所以30c <. 又因为c 为整数,所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=,把60c a b =--代入,化简得60()18000ab a b -++=,所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯,因为,a b 均为整数且a b ≤,所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时,25c =,三角形的外接圆的面积为6254π; 当10,24a b ==时,26c =,三角形的外接圆的面积为169π.二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,A D ⊥OP 于点D ,△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明:∠BAE =∠ACB.证明:连接OA ,OB ,OC ,BD.∵OA ⊥AP ,A D ⊥OP ,∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅,2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅,∴P B P C PD PO ⋅=⋅,∴D 、B 、C 、O 四点共圆, ∴∠PDB =∠PCO =∠OBC =∠ODC ,∠PBD =∠COD ,∴△PB D ∽△COD , ∴PD BDCD OD =, ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=,∴BD AD AD CD=. 又∠BDA =∠BDP +90°=∠ODC +90°=∠ADC ,∴△BDA ∽△ADC , ∴∠BAD =∠ACD ,∴AB 是△ADC 的外接圆的切线,∴∠BAE =∠ACB. 三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同. 二.(本题满分25分)题目和解答与(B )卷第二题相同. 三.(本题满分25分)已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ,且∠QBO =∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++,所以点P 23(3,)2b b c +,点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3,)b m .显然,12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根,所以13x b =,23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ,所以AE因为PA 为⊙D 的切线,所以PA ⊥AD ,又A E ⊥PD ,所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅,即223)()||2b c m =+⋅,又易知0m <,所以可得6m =-.又由DA =DC 得22DA DC =,即2222(30)()m b m c +=-+-,把6m =-代入后可解得6c =-(另一解0c =舍去).将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后,得到的新抛物线为 2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. 由∠QBO =∠OBC 可得tan ∠QBO =tan ∠OBC.作QN ⊥AB ,垂足为N ,则N (312b +-,又233(x b b =+=,所以tan ∠QBO =QN BN22310212b +=12=111)]22==⋅. 又tan ∠OBC =OCOB 1(2b ==⋅,所以111)](22b ⋅=⋅-. 解得4b =(另一解45)03b =<,舍去).因此,抛物线的解析式为21466y x x =-+-.。
【数学竞赛】2012年全国初中数学联赛试题答案
【数学竞赛】2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知1a =-,b =2c =,那么,,a b c 的大小关系是 ( C )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 ( B ) A .3. B .4. C .5. D .6.3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE =1,连接AE ,与CD 交于点F ,连接BF 并延长与线段DE 交于点G ,则BG 的长为 ( D )A B C D 4.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b ++的最小值为 ( B ) A .18-. B .0. C .1. D .98. 5.若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+,则实数p的所有可能的值之和为 ( B )A .0.B .34-. C .1-. D .54-. 6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd (数字可重复使用),要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 ( C )A .36个.B .40个.C .44个.D .48个. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=,则t =1±.2.使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 .3.在△ABC 中,已知AB =AC ,∠A =40°,P 为AB 上一点,∠ACP =20°,则BCAP=.4.已知实数,,a b c 满足1abc =-,4a b c ++=,22243131319a b c a a b b c c ++=------,则222a b c ++=332.第二试 (A )一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c (a b c ≤<),则30a b c ++=.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<,所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>,所以15c <. 又因为c 为整数,所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=,把30c a b =--代入,化简得30()4500ab a b -++=,所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯,因为,a b 均为整数且a b ≤,所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩所以,直角三角形的斜边长13c =,三角形的外接圆的面积为1694π. 二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,A D ⊥OP 于点D .证明:2AD BD CD =⋅.证明:连接OA ,OB ,OC.∵OA ⊥AP ,A D ⊥OP ,∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅,2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅,∴PB PC PD PO ⋅=⋅,∴D 、B 、C 、O 四点共圆, ∴∠PDB =∠PCO =∠OBC =∠ODC ,∠PBD =∠COD ,∴△PB D ∽△COD ,∴PD BD CD OD=,∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三.(本题满分25分)已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-,若AM//BC ,求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +,点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3,)b m . 显然,12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根,所以13x b =,23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ,所以AE因为PA 为⊙D 的切线,所以PA ⊥AD ,又A E ⊥PD ,所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅,即。
(整理)全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准•第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分•如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数•第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知2012 , b:=,3- .2 , c:=,6- 2,那么a,b,c的大小关系是( )A. a< b< cB. a < c< bC. b< a< cD.b< c< a 【答】C.1 _因为一二\ 2 + 1,=3 +、、2 ,1 1 l所以0 ,故b a .又c-a = (、.-2) -1)―飞a b a b(、,2 1),而(、.6)2 -(.2 1)2=3 -0,所以,6.21,故c a.因此b ::a : c.2 22.方程x 2xy 3y =34的整数解(x, y)的组数为()A . 3.B . 4. C. 5. D . 6.【答】B.方程即(x y)2 2y2 =34 ,显然x y必须是偶数,所以可设x,y=2t,则原方程变为2 2I t = 2,2t2 y2 =17 ,它的整数解为'从而可求得原方程的整数解为(x,y)= (-7,3), (1,3), (7,-3),ly v,3.已知正方形ABCD勺边长为1, E为BC边的延长线上一点, BF 并延长与线段DE交于点G,贝U BG的长为A .迈3【答】D.过点C作CP//BG,交DE于点P.因为BC= CE= 1,所以CP是△ BEG 的中位线,所以P为EG的中点.又因为AD= CE= 1 , AD//CE,所以△ ADF^A ECF,所以CF= DF,又CP//FG ,所以FG是厶DCP的中位线,所以G为DP的中点.1 寸2因此DG = GP= PE= — DE =——3 3连接BD,易知/ BDC=Z EDC= 45°,所以/ BDE= 90 °又BD= J2,所以BG= J BD 2+ DG 2= ^2^~ ¥934.已知实数a, b满足a2 b2 =1,则a4 ab b4的最小值为CE= 1,连接AE,与CD交于点F,连接()C.19A ..B . 0.C . 1.D .—.8 8【答】B.4422222221 2 9 a 4ab b 4=(a 2 b 2)-2a 2b 2 - ab =1 -2a 2b 2ab 二-2(ab_—)2—.4 8”221 1 3 1 1 1 29因为2|ab^a b =1,所以ab ,从而 ab,故0乞(ab ),因此2 244 44 161?99 亦 44 90 _ -2(ab ),即 0 _ a ab b 488 8因此a 4ab b 4的最小值为0,当a2,b2或a 2, b 2时取得.2 2 2 22323X 1,X 2 满足 X 1 X 1 =4-(X 2 - X 2),则实数 p的所有可能的值之和为3 A . 0.B ..4【答】B.2 2 2 2x-i x 2 = (x , x 2) _2片 x 2 = 4 p 6p 4 , x ; x ; =(x 「x 2)[(x 1 - x 2)2-3捲 x 2] = -2p(4 p 29p ■ 6).2323223322又由 X 1 X 1 =4-(X 2 X 2)得 X 1 X 2 =4 -(X 1 X 2),所以 4p 2 6p 4 = 4 2p(4p 2 9 p 6),3所以 p(4p 3)( p 1)=0,所以 5 =0, p 2 二一3, p 3=—1.43代入检验可知:p 1 =0, p 2均满足题意,p 3 =-1不满足题意.433因此,实数p 的所有可能的值之和为p 1 p^ 0 ().44abcd (数字可重复使用),要求满足a ^b d .这样的四5.若方程x 2 • 2px -3p -2 =0的两个不相等的实数根 C . -1.由一元二次方程的根与系数的关系可得 X 1 X 2 = -2p ,论 x 2 = -3 p - 2,所以6.由1 , 2, 3, 4这四个数字组成四位数 位数共有A . 36 个.B . 40 个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑: (1) 只用1个数字,组成的四位数可以是 (2) 使用2个不同的数字,使用的数字有( )C . 44 个.D . 48 个. 1111, 2222, 3333, 4444,共有 4 个.6 种可能(1、2, 1、3, 1、4, 2、3, 2、4, 3、4).如果使用的数字是1、2,组成的四位数可以是1122, 1221, 2112, 2211,共有4个;同样地,如果使用的数字是另外5种情况,组成的四位数也各有4个.因此,这样的四位数共有6X 4= 24个.(3)使用3个不同的数字,只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的四位数可以是1232 , 2123,2321 , 3212, 2343, 3234, 3432, 4323,共有8 个.(4)使用4个不同的数字1 , 2, 3, 4,组成的四位数可以是1243, 1342, 2134 , 2431 , 3124 , 3421 , 4213 , 4312 ,共有8 个.因此,满足要求的四位数共有 4 + 24+ 8+ 8= 44个. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1 1 1 1. ___________________________________________________________________ 已知互不相等的实数 a,b,c 满足a +—= b +—= c +—= t ,贝U t= _________________________________ .bca【答】_1.1 1 1 11 由a t 得b ,代入b t 得 t ,整理得ct 2-(ac T )t • (a-c ) =0①b t -ac t -a c 1 2 2 2又由c t 可得ac •仁at ,代入①式得ct -at ・(a -c )=:0,即(c-a )(t -1)=0,又c = a ,a所以t 2 -1 =0,所以t验证可知:b 匚山二口 时t -1; b J,c = -L 时t =-1.因此,t =T .1-a a 1 +a a2. 使得5 2m 1是完全平方数的整数 m 的个数为 ____________ . 【答】1.设5 2m ,1= n 2 (其中n 为正整数),则5 2m = n 2-1=(n ,1)(n-1),显然n 为奇数,设n = 2k-1 (其中 k 是正整数),则 5 2m =4k (k -1),即 5 2m ,=k (k -1).因此,满足要求的整数 m 只有1个.因为 a 2 —3a -1 =a 2 —3a abc =a(bc a - 3) = a(bc — b — c 1) = a(b —1)(c-1),所以显然k 1,此时k 和k -1互质,所以L 严或L m.k-1=1, k-1=2「k = 2m_2或 ’解得k =5,m = 4.k-1=5,3.在厶 ABC 中,已知 AB = AC ,/ A = 40 P 为 AB 上一点,/ ACP = 20°,则匹AP【答】、、3 .设D 为BC 的中点,在△ ABC 外作/ CAE = 20°,则/ BAE = 60° . 1 作 CEL AE, PF 丄 AE,则易证△ ACE^A ACD 所以 CE= CD= - BC.2J31又 PF = PA sin / BAE = PA S in 60°= AP, PF = CE 所以AP = BC2 2 2因此匕BC =丿3 .AP4.已知实数 a,b,c 满足 abc - -1 , a b 4 ,a b — a - 3a -1 b - 3b -1 c - 3c -1c 2【答3322a -3a -1 (b-1)(c-1)1c1,~2=(a -1)(c-1) c -3c-1 (a-1)(b-1)4所以—(a -1)(b -1)(c -1) =(a -1) (b -1) (c-1).91 结合 abc = -1, a b c = 4,可得 ab bc ac . 4 222 233 因此,a b c = (a ■ b c) -2(ab bc ac) .21 1实际上,满足条件的 a,b,c 可以分别为 ,一,4.2 2第二试 (A )一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为 解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c ( aEbcc ),贝U a + b + c = 30.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值.由 a _b : c 及 a b c =30得 30 二a b c : 3c ,所以 c 10. 由 a b c 及a b c =30得 30 = a b c 2c ,所以 c :: 15. 又因为c 为整数,所以11乞C 乞14........................... 5分根据勾股定理可得 a 2 b^c 2,把c =30-a -b 代入,化简得ab-30(a b) 45^ 0 ,所以2 2(30 -a)(30-b) =450 =2 3 5 ,........................ 10分30 - a = 52,1 a = 5,因为a,b 均为整数且a 兰b ,所以只可能是2解得彳............... 15分[30 —b = 2汽32,lb = 12. 169所以,直角三角形的斜边长 C =13,三角形的外接圆的面积为 竺二................ 20分4.. 2•(本题满分25分)如图,PA 为。
2010-2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=,则||||||a b b c c a -+-+-=( B )A .1.B .2.C .3.D .4.2.若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=,49||6a b c -=,则c 可能取的最大值为 ( C ) A .0. B .1. C .2. D .3.3.若b a ,是两个正数,且,0111=+-+-ab b a 则 ( C ) A .103a b <+≤. B .113a b <+≤. C .413a b <+≤. D .423a b <+≤. 4.若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根,则2a b c +-的值为 ( A ) A .-13. B .-9. C .6. D . 0.5.在△ABC 中,已知︒=∠60CAB ,D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且︒=∠60AED ,CE DB ED =+,CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A .15°.B .20°.C .25°.D .30°.6.对于自然数n ,将其各位数字之和记为n a ,如2009200911a =+++=,201020103a =+++=,则12320092010a a a a a +++++=( D )A .28062.B .28065.C .28067.D .28068.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 1.已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2.二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于点C .已知AC AB 3=,︒=∠30CAO ,则c = 19. 3.在等腰直角△ABC 中,AB =BC =5,P 是△ABC 内一点,且PA =5,PC =5,则PB =___10___.4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.第二试 (A )一.(本题满分20分)设整数,,a b c (a b c ≥≥)为三角形的三边长,满足22213a b c ab ac bc ++---=,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=,则a c m n -=+,其中,m n 均为自然数.于是,等式①变为222()26m n m n +++=,即2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的,m n 只有两组:3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ (1)当3,1m n ==时,1b c =+,34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长,所以b c a +>,即(1)4c c c ++>+,解得3c >.又因为三角形的周长不超过30,即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤,解得253c ≤.因此2533c <≤,所以c 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形. (2)当1,3m n ==时,3b c =+,14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长,所以b c a +>,即(3)4c c c ++>+,解得1c >.又因为三角形的周长不超过30,即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤,解得233c ≤.因此2313c <≤,所以c 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC 中,AB =AC ,∠C 的平分线与AB 边交于点P ,M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点,作MD//AC ,交⊙I 于点D.证明:PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ (切点为Q )并延长,交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线,所以∠ACP =∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线,所以∠APC =∠NPC. 又CP 公共,所以△ACP ≌△NCP ,所以∠PAC =∠PNC.由NM =QN ,BA =BC ,所以△QNM ∽△BAC ,故∠NMQ =∠ACB ,所以MQ//AC.又因为MD//AC ,所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上,所以点Q 和点D 重合,故PD 是⊙I 的切线.三.(本题满分25分)已知二次函数2y x bx c =+-错误!未找到引用源。
全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试、选择题:(本题满分42分,每小题7分)已知a -1, b =3 - 2, c =炸6 -2,那么a,b,c 的大小关系是的所有可能的值之和为A . 0.使得5 2m 1是完全平方数的整数 m 的个数为 —1、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数, 在厶ABC 中,已知AB = AC ,/ A = 40 ° P 为AB 上一点,已知实数 a,b,c 满足 abc = T , a b c =4 ,BC/ ACP = 20 ° 贝U ——=AP - b c 2 ra 2b 2c 2 = 33 2 第二试+ ------ ----- + 2 2 2a —3a —1b —3b —1c —3c — 1(A )1.A. a ::: b :::cB. a ::: c ::: bC. b .: a .. cD. b ::: c .: a2. 方程x 2 2xy 3y 2 =34的整数解(x, y )的组数为3.B . 4.C . 5.已知正方形ABCD 的边长为1 , E 为BC 边的延长线上一点, 连接BF 并延长与线段 DE 交于点G,则BG 的长为A . 3. D . 6.CE = 1,连接AE ,与CD 交于点F , (D )2 2 4 4已知实数a, b 满足a b =1,则a ab b 的最小值为B . 0.C . 1.25.若方程x ・2px-3p-2=0的两个不相等的实数根 2x, x 2满足x 1 x ; =4 _则实数p6.由1 , 2, 3, 4这四个数字组成四位数 abcd (数字可重复使用),要求满足a ^b d•这样的四位数共有A . 36 个.二、填空题:(本题满分B . 40个. 28分,每小题1. 已知互不相等的实数 C . 44 个.7分)1 11 a,b, c 满足 a b c t , b caD . 48 个.2. 周长为 30,求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为a,b,c (a兰bcc),贝y a + b+c = 30.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长 c ,下面先求c 的值•由 a 乞 b ::: c 及 a bc = 30 得 30 = abc ::: 3c ,所以 c . 10 .由 a b. c 及 a b c=30 得 30 = a b c .2c ,所以 c ::: 15.又因为c 为整数,所以11乞c 空14.根据勾股定理可得 a 2 b^c 2,把c =30-a -b 代入,化简得ab -30(a - b) - 450 =0,所以(30-a)(30-b) =450 =2 32 52,30_ - 因为a,b 均为整数且a mb ,所以只可能是2解得""30-b = 2 汉3, 也=12.所以,直角三角形的斜边长 c =13,三角形的外接圆的面积为 空4二.(本题满分 25分)如图,PA 为O O 的切线,PBC 为O O 的割线,AD 丄OP 于点D.证明:证明:连接OA ,OB ,OC.1 225分)已知抛物线y x bx c 的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于 A (x 1,0) >6两点,与y 轴交于点C , PA 是厶ABC 的外接圆的切线.设M (0, -^),若AM//BC ,2求抛物线的解析式.3 2解 易求得点P (3b, —b c),点C (0,c).2设厶ABC 的外接圆的圆心为 D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3b,m).1 2显然,x 2是一元二次方程 x bx ^0的两根,所以X 1 = 3b - 9b 6c ,6X 2 =3b • 9b 2 6c ,又 AB 的中点 E 的坐标为(3b,0),所以 AE = ■ 9b 2 6c .a =5,JTAD 2 = BD CD .•/ OA 丄AP , AD 丄OP ,「.由射影定理可得 PA 2 二 PD PO , AD 2 二 PD OD .又由切割线定理可得 PA 2二PB PC ,•••PB PC ^PD PO ,••• D 、B 、C 、O 四点共圆, •••/ PDB = Z PCO =Z OBC = Z ODC ,Z PBD = Z COD PBDCOD ,PD BDCD OD ' • AD 2 =PDCD .三.(本题满分 B (X 2,O) ( % :: X因为PA为O D的切线,所以PA丄AD,又AE丄PD,所以由射影定理可得AE PE DE,即_ 2 ___ 3(.9b 6c)2 = ( b 2 c) | m |,又易知 m :: 0 ,所以可得 m - -6.又由 DA = DC 得 DA — DC 2,即( _9b 2 6c)2 m 2 =(3b-0)2 (m-c)2,把 m = -6 代入后可解得c - 一6 (另一解c = 0舍去).又因为AM//BC ,所以°A = OMOB OC 即 3b — K=tl |3b . 9b 6c | -6|5把c = -6代入解得b (另一解2因此,抛物线的解析式为--5舍去).25x 一 6.2第二试 (B ).(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为 60,求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为a,b, c ( a 兰b<c ),贝U a + b+c = 60.显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长C ,下面先求c 的值•由 a _ b ::: c 及 a b c = 60 得 60 = a b c .. 3c ,所以 c 20. 由 a b c 及a b c =60 得 60 = a b c 2c ,所以 c ::: 30 . 又因为c 为整数,所以21乞c 乞29.根据勾股定理可得 a 2 b^ c 2,把c =60 -a -b 代入,化简得ab -60(a b ) 1800 = 0,所以(60-a)(60-b) =1800 =23 32 52,160 — a = 23 汉5, 160 — a =2汉52,因为a,b 均为整数且a 辽b ,所以只可能是或2 2 2(60_b = 3 X5, (60_b = 2 工3 ,f a - 20, f a =10,解得或’b =15, b = 24.625 当a=20,b=15时,c=25,三角形的外接圆的面积为 - 4当a =10,b =24时,c =26,三角形的外接圆的面积为 169二. 二.(本题满分25分) 接圆与BC 的另一个交点为 证明:连接0A , OB , •/ OA 丄AP , AD 丄0P ,「.由射影定理可得 如图,PA 为O 0的切线,PBC 为O 0的割线,E.证明:/ BAE =Z ACB. OC , BD. 2 2 PA 2 =PD 卩O , AD 2 =PD OD . 又由切割线定理可得 PA 2 =PB PC ,••• PB PC 二 PD 卩0 ,••• D 、B 、C 、O 四点共圆, •••/ PDB = Z PCO =Z OBC = Z ODC ,AD 丄OP 于点D , △ ADC 的外个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点 Q ,且/ QBO = Z OBC.求抛物线的解析式.1 2解抛物线的方程即y =-—(x_3b )■6 3b 2 3—— c ,所以点 P (3b,— b 2 c),点 C (0, c). 2 2设厶ABC 的外接圆的圆心为 D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3b, m ).1 2 / 2显然,为,x 2是一元二次方程 x bx ^0的两根,所以为=3b - 9b 6c ,6X 2 =3^ 9b 2 6c ,又 AB 的中点 E 的坐标为(3b,0),所以 AE = . 9b 2 6c .因为PA 为O D 的切线,所以PA 丄AD ,又AE 丄PD ,所以由射影定理可得AE PE DE ,即(、、9b 2 6c )^(-b 2 c ) |m I 又易知 m :: 0 ,所以可得 m =「6.2又由 DA = DC 得 DA 2 二 DC 2,即(一 9b 2 6c )2 m 2 =(3b-0)2 (m-c )2,把 m = -6 代入后可解 得c =-6 (另一解c=0舍去)•1 3b2 —将抛物线y (x -3b )2 •—— -6向左平移24(-, 3-1)个单位后,得到的新抛物线为6 2y = -1(x -3b 24G -24)2 竺-6.6 2易求得两抛物线的交点为 Q (3b • 12-12、3,坐 48; 3-102).2由/ QBO =Z OBC 可得 tan /QBO = tan / OBC.作 QN 丄AB ,垂足为 N ,则 N (3b 1^12.3,0),又 X 2 =3b . 9b 2 -36 =3(b b 2-4),所以3b 2/ PBD = Z COD ,•••△ PBD s\ COD ,PD BD2BD•- BD CD 二 PD OD 二 AD , • -AD BDA =Z BDP + 90° = Z ODC + 90又/CD=Z ADC BDA ADC , BAD =Z ACD ,• AB 是厶ADC 的外接圆的切线,•/ BAE =Z ACB. (本题满分25分) 题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )B (X 2,0) (本题满分 (本题满分 (本题满分(Xi ::: X2 ) 题目和解答与(B )卷第一题相同. 题目和解答与(B )卷第二题相同. 1 225分)已知抛物线y x bx c 的顶点为P ,与X 轴的正半轴交于 A (X-!,0)、620分) 25分)两点,与y 轴交于点C , PA 是厶ABC 的外接圆的切线•将抛物线向左平移 24C 3 -1)三 48,3 -102 i b 2 32.3 -68--------- . _ --- ------------------------ = — •— ------ --------------3(b 、b 2 匚 4)—(3b 12一12、.3) 2 .b 2 二4 4(31) j b 2—2")二(、严)2 一【心3“)]2」[严_心3_1)] 2 b 2-4 4(「3-1) 2 ,'b 2 -4 4( . 3-1)2又 tan / OBC = 9C =6- 1 (b -、b 2 _4),所以OB3(b + Jb 2 -4) 21 [ .b2 _4 _4(、、3 _1)] £ (b _ .b 2 _4). 解得 b =4 (另一解 b = 4(2.3 -5) ::: 0,舍去)31 2因此,抛物线的解析式为 y 二-丄x 2 • 4x -6 .6tan / QBO = QN BN。
-2012年全国初中数学联赛试卷
2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)223.(7分)已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接.C D.2244..5.(7分)若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1,x2满足,则实数p的所C.6.(7分)由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数字可重复使用),要求满足a+c=b+d.这样的四位数共有二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.(7分)已知互不相等的实数a,b,c满足,则t=_________.8.(7分)使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________.9.(7分)在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则=_________.10.(7分)已知实数a,b,c满足abc=﹣1,a+b+c=4,,则a2+b2+c2= _________.三、解答题(共3小题)11.(20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.12.(25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.13.(25分)已知抛物线的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,),若AM∥BC,求抛物线的解析式.2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)﹣b=﹣﹣=,=+,=+1=<<,<<,22,3.(7分)已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接.C D.DE=DE=.,=.2244..≤,﹣+≤时,时,﹣(﹣)+×+﹣,,或a=﹣5.(7分)若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1,x2满足,则实数p的所C.然后利用得到有关+﹣=[+﹣(+)得=4﹣(),﹣(﹣.6.(7分)由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数字可重复使用),要求满足a+c=b+d.这样的四位数共有二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.(7分)已知互不相等的实数a,b,c满足,则t=±1.=t,代入b+c+=t,=t,得:=t=t,时,,时,8.(7分)使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为1.或9.(7分)在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则=.BCBAE=PAsin60=AP==故答案为:10.(7分)已知实数a,b,c满足abc=﹣1,a+b+c=4,,则a2+b2+c2=.,同理可得:,=+,+=,=,即整理得:,=故答案为:三、解答题(共3小题)11.(20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.∴只可能是或或,三角形的外接圆的面积为12.(25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.13.(25分)已知抛物线的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,),若AM∥BC,求抛物线的解析式.中,﹣的横坐标为:﹣=3b,纵坐标为:b的坐标为是一元二次方程的两根,,.,即,.代入,解得(另一解舍去)∴抛物线的解析式为。
2012年全国初中数学联赛(浙江赛区)
2012年全国初中数学联合竞赛(浙江赛区)试题及参考答案第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知1a =,b =2c =,那么,,a b c 的大小关系是 ( ) A. a b c << B. a c b << C. b a c << D.b c a <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 ( )A .3.B .4.C .5.D .6.3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE =1,连接AE ,与CD 交于点F ,连接BF 并延长与线段DE 交于点G ,则BG 的长为 ( )A .3 B .3 C .3 D .34.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b ++的最小值为 ( )A .18-. B .0. C .1. D .98. 5.若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+,则实数p 的所有可能的值之和为 ( )A .0.B .34-. C .1-. D .54-. 6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd (数字可重复使用),要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 ( )A .36个.B .40个.C .44个.D .48个. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 1.已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=,则t = . 2.使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 .3.在△ABC 中,已知AB =AC ,∠A =40°,P 为AB 上一点,∠ACP =20°,则BCAP= . 4.已知实数,,a b c满足1abc =-,4a b c ++=,22243131319a b c a a b b c c ++=------,则222a b c ++= . 答案:选择题:1.C 2.B 3.D 4.B 5.B 6.C填空题:1.1± 2. 1 3.4.332第二试 (A )一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c (a b c ≤<),则30a b c ++=. 显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长c ,下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<,所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>,所以15c <. 又因为c 为整数,所以1114c ≤≤. 根据勾股定理可得222a b c+=,把30c a b =--代入,化简得30()4500ab a b -++=,所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯,因为,a b 均为整数且a b ≤,所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以,直角三角形的斜边长13c =,三角形的外接圆的面积为1694π. 二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,A D ⊥OP 于点D .证明:2AD BD CD =⋅.证明:连接OA ,OB ,OC.∵OA ⊥AP ,A D ⊥OP ,∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅,2AD PD OD =⋅. 又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅,∴P B P C PD PO ⋅=⋅,∴D 、B 、C 、O 四点共圆,∴∠PDB =∠PCO =∠OBC =∠ODC ,∠PBD =∠COD ,∴△PB D ∽△COD ,∴PD BD CD OD=,∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三.(本题满分25分)已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-,若AM//BC ,求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +,点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ,则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上,设点D 的坐标为(3,)b m .显然,12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根,所以13x b =,23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ,所以AE因为PA 为⊙D 的切线,所以PA ⊥AD ,又A E ⊥PD ,所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅,即223()||2b c m =+⋅,又易知0m <,所以可得6m =-.又由DA =DC 得22DA DC =,即222(30)()m b m c+=-+-,把6m =-代入后可解得6c =-(另一解0c =舍去).又因为AM//BC ,所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =(另一解52b =-舍去). 因此,抛物线的解析式为215662y x x =-+-.。
全国初中数学联赛试卷
2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.(7分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a2.(7分)方程x2+2xy+3y2=34的整数解(x,y)的组数为()A.3B.4C.5D.63.(7分)已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF 并延长与线段DE交于点G,则BG的长为()A.B.C.D.4.(7分)已知实数a,b满足a2+b2=1,则a4+ab+b4的最小值为()A.B.0C.1D.5.(7分)若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1,x2满足,则实数p的所有可能的值之和为()A.0B.C.﹣1 D.6.(7分)由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数字可重复使用),要求满足a+c=b+d.这样的四位数共有()A.36个B.40个C.44个D.48个二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.(7分)已知互不相等的实数a,b,c满足,则t=_________.8.(7分)使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________.9.(7分)在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则=_________.10.(7分)已知实数a,b,c满足abc=﹣1,a+b+c=4,,则a2+b2+c2=_________.三、解答题(共3小题)11.(20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.12.(25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.13.(25分)已知抛物线的顶点为P,与x轴的正半轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,PA是△ABC的外接圆的切线.设M(0,),若AM∥BC,求抛物线的解析式.2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.(7分)已知,,,那么a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a考点:二次根式的混合运算;实数大小比较.专题:计算题。
全国初中数学联合竞赛试题(含解析)
全国2012年初中数学联合竞赛试题(含解析)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知1a =,b =,2c =,那么,,a b c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,x y 的组数为( )A .3.B .4.C .5.D .6.3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE =1,连接AE ,与CD交于点F ,连接BF 并延长与线段DE 交于点G ,则BG 的长为 ( )A D 4.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b ++的最小值为( )A .18-. B .0. C .1. D .98. 5.若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+,则实数p的所有可能的值之和为( )A .0.B .34-. C .1-. D .54-. 6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd (数字可重复使用),要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有( )A .36个.B .40个.C .44个.D .48个. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=,则t =_________. 8.使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 .9.在△ABC 中,已知AB =AC ,∠A =40°,P 为AB 上一点,∠ACP =20°,则BCAP= .10.已知实数,,a b c满足1abc =-,4a b c ++=,22243131319a b c a a b b c c ++=------,则222a b c ++= .第二试 (A)一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,AD ⊥OP 于点D.证明:2AD BD CD =⋅.三.(本题满分25分)已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-,若AM//BC ,求抛物线的解析式.一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知1a =,b =,2c =,那么,,a b c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,x y 的组数为( )A .3.B .4.C .5.D .6.3.已知正方形ABCD 的边长为1,E 为BC 边的延长线上一点,CE =1,连接AE ,与CD交于点F ,连接BF 并延长与线段DE 交于点G ,则BG 的长为 ( )A D连接BD ,易知∠BDC =∠EDC =45°,所以∠BDE =90°.又BD BG ==.4.已知实数,a b 满足221a b +=,则44a ab b ++的最小值为( )A .18-. B .0. C .1. D .98.5.若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+,则实数p的所有可能的值之和为( )A .0.B .34-. C .1-. D .54-.因此,实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数abcd (数字可重复使用),要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有( )A .36个.B .40个.C .44个.D .48个.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 7.已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=,则t =_________.8.使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 . 【答案】 1.【解析】设2521mn ⨯+=(其中n 为正整数),则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-,显然n 为奇数,设21n k =-(其中k 是正整数),则524(1)mk k ⨯=-,即252(1)m k k -⨯=-.10.已知实数,,a b c满足1abc =-,4a b c ++=,22243131319a b c a a b b c c ++=------,则222a b c ++= .因此,222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=. 实际上,满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试 (A)一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.二.(本题满分25分)如图,PA 为⊙O 的切线,PBC 为⊙O 的割线,AD ⊥OP 于点D.证明:2AD BD CD =⋅.三.(本题满分25分)已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ,与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x (12x x <)两点,与y 轴交于点C ,PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-,若AM//BC ,求抛物线的解析式.。
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显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长 c ,下面先求 c 的值. 由 a b c 及 a b c 30 得 30 a b c 3c ,所以 c 10 . 由 a b c 及 a b c 30 得 30 a b c 2c ,所以 c 15 . 又因为 c 为整数,所以 11 c 14 .
( 2 1) ,而 ( 6) 2 ( 2 1) 2 3 2 2 0 ,所以 6 2 1 ,故 c a .因此 b a c .
2.方程 x 2 xy 3 y 34 的整数解 ( x, y ) 的组数为
2 2
( D.6.
2 2
)
A.3. 【答】B.
因此,满足要求的四位数共有 4+24+8+8=44 个. 二、填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分) 1.已知互不相等的实数 a, b, c 满足 a 【答】 1 . 由a
1 1 1 b c t ,则 t _________. b c a
1 1 1 1 1 t 得b t ,整理得 ct 2 (ac 1)t (a c) 0 ① ,代入 b t 得 b t a c t a c 1 2 2 2 又由 c t 可得 ac 1 at ,代入①式得 ct at ( a c) 0 ,即 (c a )(t 1) 0 ,又 c a , a
G F P
1 2 DE= . 3 3
B
C
E
连接 BD,易知∠BDC=∠EDC=45°,所以∠BDE=90°. 又 BD= 2 ,所以 BG= BD DG
2 2
2
2 2 5 . 9 3
4
4.已知实数 a, b 满足 a b 1 ,则 a ab b 的最小值为
2 2 4
( 第 1 页(共 5 页)
B D C
E
BC = 3. AP
2
4. 已 知 实 数 a, b, c 满 足 abc 1 , a b c 4 ,
a b c 4 2 2 ,则 a 3a 1 b 3b 1 c 3c 1 9
a 2 b2 c2 =
【答】
2
.
33 . 2
2
因为 a 3a 1 a 3a abc a (bc a 3) a (bc b c 1) a (b 1)(c 1) ,所以
因此 a ab b 的最小值为 0,当 a
4 4
2 2 2 2 或a 时取得. ,b ,b 2 2 2 2
2 3 2 3
5.若方程 x 2 px 3 p 2 0 的两个不相等的实数根 x1 , x2 满足 x1 x1 4 ( x2 x2 ) ,则实数 p
第一试
一、选择题:(本题满分 42 分,每小题 7 分) 1.已知 a A. a b c 【答】C. 因为
2 1 , b 3 2 , c 6 2 ,那么 a, b, c 的大小关系是
B. a c b C. b a c D. b c a
(
)
1 1 1 1 2 1 , 3 2 , 所 以 0 , 故 b a .又 c a ( 6 2) ( 2 1) 6 a b a b
1 1 1 4 a b c 4 , 2 2 可得 (b 1)(c 1) (a 1)(c 1) (a 1)(b 1) 9 a 3a 1 b 3b 1 c 3c 1 9
2
所以
4 (a 1)(b 1)(c 1) (a 1) (b 1) (c 1) . 9 1 . 4 33 2 2 2 2 因此, a b c ( a b c) 2( ab bc ac) . 2 1 1 实际上,满足条件的 a, b, c 可以分别为 , , 4 . 2 2
……………………10 分
30 a 52 , a 5, 解得 ……………………15 分 2 b 12. 30 b 2 3 ,
2
的所有可能的值之和为 A.0. 【答】 B. 由一元二次方程的根与系数的关系可得 x1 x2 2 p , x1 x2 3 p 2 ,所以
2 x12 x2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 4 p 2 6 p 4 , 3 x13 x2 ( x1 x2 )[( x1 x2 ) 2 3 x1 x2 ] 2 p (4 p 2 9 p 6) .
结合 abc 1 , a b c 4 ,可得 ab bc ac
第二试 (A)
一、 (本题满分 20 分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为 30,求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为 a, b, c ( a b c ) ,则 a b c 30 .
( B.
)
3 . 4
C. 1 .
D.
5 . 4
又由 x1 x1 4 ( x2 x2 ) 得 x1 x2 4 ( x1 x2 ) ,所以 4 p 6 p 4 4 2 p (4 p 9 p 6) ,
2 3 2 3 2 2 3 3
2 2
所以 p (4 p 3)( p 1) 0 ,所以 p1 0, p2 代入检验可知: p1 0, p2
3 , p3 1 . 4
3 均满足题意, p3 1 不满足题意. 4 3 3 因此,实数 p 的所有可能的值之和为 p1 p2 0 ( ) . 4 4
6.由 1,2,3,4 这四个数字组成四位数 abcd (数字可重复使用) ,要求满足 a c b d .这样的四 位数共有 ( ) A.36 个. B.40 个. C.44 个. D.48 个. 【答】C. 根据使用的不同数字的个数分类考虑: (1)只用 1 个数字,组成的四位数可以是 1111,2222,3333,4444,共有 4 个. (2)使用 2 个不同的数字,使用的数字有 6 种可能(1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4).如果 使用的数字是 1、2,组成的四位数可以是 1122,1221,2112,2211,共有 4 个;同样地,如果使用的数 字是另外 5 种情况,组成的四位数也各有 4 个.因此,这样的四位数共有 6×4=24 个. (3)使用 3 个不同的数字,只能是 1、2、2、3 或 2、3、3、4,组成的四位数可以是 1232,2123, 2321,3212,2343,3234,3432,4323,共有 8 个. ( 4)使用 4 个不同的数字 1, 2, 3, 4,组成的四位数可以是 1243, 1342, 2134, 2431, 3124, 3421,4213,4312,共有 8 个. 2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页(共 5 页)
2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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a 1 . a 3a 1 (b 1)(c 1)
2
同理可得
b 1 c 1 , 2 . b 3b 1 (a 1)(c 1) c 3c 1 (a 1)(b 1)
2
结合
显 然 k 1 , 此 时 k 和 k 1互 质 , 所 以
k 5 2m 2 , k 5, k 2m 2 , 或 或 解得 m2 k 1 1, k 1 2 , k 1 5,
k 5, m 4 .
因此,满足要求的整数 m 只有 1 个. 3.在△ABC 中,已知 AB=AC,∠A=40 0 ,所以 t 1 .
2
验证可知: b
m
1 a 1 1 a 1 ,c ,c 时 t 1; b 时 t 1 .因此, t 1 . 1 a a 1 a a
.
2.使得 5 2 1 是完全平方数的整数 m 的个数为 【答】 1.
2 2 2
……………………5 分
根据勾股定理可得 a b c ,把 c 30 a b 代入,化简得 ab 30( a b) 450 0 ,所以
(30 a )(30 b) 450 2 32 52 ,
因为 a, b 均为整数且 a b ,所以只可能是
BC = AP
A
.
3.
1 BC. 2
设 D 为 BC 的中点,在△ABC 外作∠CAE=20°,则∠BAE=60°. 作 CE⊥AE,PF⊥AE,则易证△ACE≌△ACD,所以 CE=CD=
P
F
又 PF=PA sin ∠BAE=PA sin 60°= 因此
3 3 1 AP,PF=CE,所以 AP= BC, 2 2 2
2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档;第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在 评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
设 5 2 1 n (其中 n 为正整数) , 则 5 2 n 1 ( n 1)( n 1) , 显然 n 为奇数, 设 n 2k 1
m 2
m
2
(其中 k 是正整数) ,则 5 2 4k ( k 1) ,即 5 2
m
m2
k (k 1) .
2
B.4.
2
C.5.
方程即 ( x y ) 2 y 34 , 显然 x y 必须是偶数, 所以可设 x y 2t , 则原方程变为 2t y 17 , 它的整数解为 组. 3.已知正方形 ABCD 的边长为 1,E 为 BC 边的延长线上一点,CE=1,连接 AE,与 CD 交于点 F,连接 BF 并延长与线段 DE 交于点 G,则 BG 的长为 ( ) A.