浙江省重点中学协作体高三数学上学期第一次适应性试卷理(含解析)

浙江省重点中学协作体2015届高三上学期第一次适应性数学试卷

（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=（）

A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{2，3} D．{2，3，5}

2．（5分）若a，b，c∈C（C为复数集），则（a﹣b）2+（b﹣c）2=0是a=b=c的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3．（5分）一几何体的三视图如图所示，若正视图和侧视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）

A．B．2πC．3πD．12π

4．（5分）给定下列两个关于异面直线的命题：

命题Ⅰ：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；

命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线．

那么（）

A．命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确B．命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确

C．两个命题都正确D．两个命题都不正确

5．（5分）将二项式（+）n的展开开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，

则该展开式中x的指数是整数的项共有（）个．

A．3 B．4 C．5 D．6

6．（5分）在△ABC中，己知∠BAC=90°，AB=6，若D点在斜边BC上，CD=2DB，则•的值为（）

A．48 B．24 C．12 D．6

7．（5分）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ为（）

A．B．C．D．

8．（5分）设点P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F2的内心，若+=2，则该椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

9．（ 5分）函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，若f

（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解是（）

A．x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞ln4 D．0＜x＜ln4

10．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+2对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为（）

A．B．C．D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．（4分）一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是．

12．（4分）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=．

13．（4分）若复数z1，z2满足|z1|=2，|z2|=3，3z1﹣2z2=，则z1•z2=．

14．（4分）直线+=1椭圆+=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，这样的点P共有个．

15．（4分）设f（x）=cos2x﹣2a（1+cosx）的最小值为，则a=．

16．（4分）在△ABC中，acosB+bcosA=2ccosA，tanB=3tanC，则=．

17．（4分）设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（1）求cosA的值；

（2）若a，b，c成等差数列，求sinC的值．

19．（14分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=，且满足2S n+1=4S n+1（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）当1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a i和a j的所有可能的乘积a i a j之和．

20．（15分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N 分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．

（1）证明：PN⊥AM；

（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

21．（15分）作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点（如图所示），且

在直线l的左上方．

（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；

（2）若∠APB=60°，求△PAB的面积．

22．（14分）已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x﹣1）+g（1﹣x）=x2﹣2x﹣1，且g（1）=﹣1．令．

（1）求g（x）的表达式；

（2）若函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；

（3）记函数H（x）=[x（x﹣a）2﹣1]•[﹣x2+（a﹣1）x+a﹣1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．

浙江省重点中学协作体2015届高三上学期第一次适应性数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）集合A={3，2a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=（）

A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{2，3} D．{2，3，5}

考点：交、并、补集的混合运算．

专题：计算题．

分析：由已知中A∩B={2}，根据集合交集的定义，可得2∈A={3，2a}，且2∈B={a，b}，进而构造出关于A，B的方程组，解方程求出a，b值后，可以求出集合A，B，再由集合并集的定义，即可求出答案．

解答：解：∵集合A={3，2a}，B={a，b}，

∴2∈A={3，2a}，且2∈B={a，b}，

∴2a=2，b=2

∴a=1

故A={3，2}，B={1，2}

故A∪B={1，2，3}

故选A