基本不等式练习题及答案

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1

x

(x＞0)的值域为( )．

A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋b

ab

≤2；③x2＋

1

x2＋1

≥1，其中正确的个

数是

( )．A．0 B．1 C．2 D．3

3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．

B．1 C．2 D．4

4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋

1

x－2

(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝

( )．

A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4

5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1

t

的最小值为________．

考向一利用基本不等式求最值

【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1

x

＋

1

y

的最小值为________；

(2)当x＞0时，则f(x)＝

2x

x2＋1

的最大值为________．

【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋

1

x－1

的最小值为________．

(2)已知0＜x＜2

5

，则y＝2x－5x2的最大值为________．

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

考向二利用基本不等式证明不等式

【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bc

a

＋

ca

b

＋

ab

c

≥a＋b＋c.

．

【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.

求证：1

a

＋

1

b

＋

1

c

≥9.

考向三利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，

x

x2＋3x＋1

≤a恒成立，则a的取值

范围是________．

【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

考向三利用基本不等式解实际问题

【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n

的关系是g(n)＝80

n＋1

.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为

f(n)万元．

(1)求出f(n)的表达式；

(2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元

【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋

1

ab

＋

1

a a－b

的最小值是

( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

双基自测

D ．(2，＋∞) 答案 C

2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2

＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1

－1≥2－1＝1.答案 B

3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤1

2.答案

A

4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋

1

x －2

＋2≥2 x －2×

1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1

x －2

(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.答案 C

5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1

t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1

时取等号．答案 －2

【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，

∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2x

y

时，取等号．

(2)∵x ＞0，∴f (x )＝

2x x 2＋1＝2x ＋

1x

≤22＝1，当且仅当x ＝1

x

，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋2 2 (2)1

【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋

1

x －1

＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2

＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜2

5，

∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝

⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22

＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，

即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8

x

＝1，