基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

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基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)

专题7.3 基本不等式及其应用学习目标1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识点一基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．考点二利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)

基本不等式专题知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高中数学基本不等式及其应用知识归纳+经典例题+变式+习题巩固(带解析)

基本不等式及其应用一、知识梳理1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0). 4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.二、基础演练1.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81答案 A解析因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.2.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋2B.1＋3C.3D.4答案 C解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.3.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案 14解析由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.三、典型例题与变式训练考点一利用基本不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92(2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝⎛⎭⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝mn ，即m ＝4，n ＝2时等号成立.角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45. 感悟升华利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点： ①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1x －y 的最小值为( )A.6B.62C.3D.32答案 A 解析由x ，y >0，x 2－xy ＝2得x －y ＝2x ，则1x －y ＝x 2，所以x ＋6x ＋1x －y ＝x ＋6x ＋x2＝3⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ≥3×2x 2×2x＝6，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以x ＋6x ＋1x －y 的最小值为6.考点二基本不等式的综合应用【例4】 (1) (多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是( ) A.若x ，y >0，x ＋y ＝2，则2x ＋2y 的最大值为4 B.若x <12，则函数y ＝2x ＋12x －1的最大值为－1C.若x ，y >0，x ＋y ＋xy ＝3，则xy 的最小值为1D.函数y ＝1sin 2x ＋4cos 2x的最小值为9(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)BD (2)B解析 (1)对于A ，取x ＝32，y ＝12，可得2x ＋2y ＝32>4，A 错误；对于B ，y ＝2x ＋12x －1＝－⎝⎛⎭⎫1－2x ＋11－2x ＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误；对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝⎛⎭⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD.(2)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53(2) 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，求x ＋3y 的最小值.答案 (1)C解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b ＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.四、练习巩固一、选择题1.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.42C.2D.22答案 A解析因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x＋2y＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.2.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( )A.3B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.3.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1， ∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≤1，即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233， ∴x ＋y 的最大值是233.故选B.4.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( ) A.2 B.23C.4D.22答案 C解析因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.5.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2 B.22C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.6.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( )A.13B.1C.2D.59答案 B解析由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.二、填空题7.若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4ab＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a ＝4时，等号成立.故2a ＋b 的最小值为8. 8.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y－6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.9.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________.答案 4解析因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4.10.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.11.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 12.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞.。

高一基本不等式及其应用知识点+例题+练习含答案

1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．答案 4解析由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2，又x >y >0，所以x －y >0，x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝x －y ＋4x －y ≥2(x －y )·4x －y ＝4，当且仅当x －y ＝2，即x ＝1＋3，y ＝3－1时取等号，所以x 2＋y 2x －y的最小值为4.3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.答案 3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 4．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________．答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15)≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1，当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．思维升华条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________.(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)4 (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6，当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.题型二基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________．答案 12解析由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 (1)32 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6. 所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．题型三不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．9．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6. 解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性． [失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________．①lg(x 2＋14)>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )； ③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )．答案 ③解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的__________条件．答案必要不充分解析因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的必要不充分条件． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．答案 92解析依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b)·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．答案 7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0. 又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a时取等号． 5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋x y＋4≥4＋4＝8. 6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________．答案 1 3解析 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍去)．∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立． 7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为________．答案 2解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.8．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是________．答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，22－3]解析设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－8]解析分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8. 11．(2015·南通二模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组专项能力提升(时间：20分钟)12．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________．答案 16解析由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.13．已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 [0，4a 1] 解析因为m 2＋1m ＝m ＋1m≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，所以要使不等式恒成立，则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4，因为a 1>a 2>0，所以⎩⎨⎧ 0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝4432，3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

必修5基本不等式(含答案)

基本不等式及其应用[考点梳理]1．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥________ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则________，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有________，即a ＋b ≥________，a 2＋b 2≥________.简记为：积定和最小．6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即________，亦即________；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即_____.简记为：和定积最大．7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b≤________≤a ＋b 2≤________，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠： 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab6．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2 ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 22[基础自测]设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取等号，故选B.已知向量m ＝(2，1)，n ＝(2－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为( ) A.12B ．1C ．2D ．4 解：依题意得2a ＝2－b ，即2a ＋b ＝2(a ＞0，b ＞0)，∴2＝2a ＋b ≥22ab ，∴ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，∴ab 的最大值是12.故选A.设f (x )＝lnx ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 解：p ＝f (ab )＝ln ab ，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ＝ln ab ，函数f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，∵a ＋b 2＞ab ，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )．∴q ＞p ＝r.故选C. 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立．故填22.已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则实数a ＝________. 解：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，∴a2＝3，∴a ＝36.故填36. [典例解析]类型一利用基本不等式求最值(1)函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ＞－1)的值域为________．解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝（m ＋4）（m ＋1）m ＝m ＋4m ＋5≥2m ·4m ＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞)．故填[9，＋∞)．(2)若a >b >0，则代数式a 2＋1b （a －b ）的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：∵b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋（a －b ）22＝a 24，∴a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1a 24＝a 2＋4a 2≥4，当且仅当b＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时等号成立．故选C.小结：基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”，使之为定值．(1)已知t ＞0，则函数f (t )＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解：∵t ＞0，∴f (t )＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥－2，当且仅当t ＝1时，f (t )min ＝－2，故填－2.(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (Ⅰ)xy 的最小值； (Ⅱ)x ＋y 的最小值．解：(Ⅰ)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(Ⅱ)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，∵x ＞0，∴y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．类型二利用基本不等式求参数范围已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b－3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3解：∵a >0，b >0，∴由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．∵3b a ＋3ab ≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，故10＋3b a ＋3a b ≥16，∴m ≤16，即m 的最大值为16.故选B.小结：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：(1)a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；(2)a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；(3)a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；(4)a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．若关于x 的不等式mf (x )≤e－x＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围为________．解：由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令t ＝e x (x ＞0)，则t ＞1，且m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t ＞1成立．∵t －1＋1t －1＋1≥2（t －1）·1t －1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立．故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.类型三利用基本不等式解决实际问题某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1)作GH ⊥EF ，垂足为H. ∵DN ＝x ，∴NH ＝40－x ，NA ＝60－x ，∵NH HG ＝NAAM ，∴40－x 10＝60－x AM ，∴AM ＝600－10x 40－x.S 五边形MBCDN ＝S 矩形ABCD －S △AMN ＝40×60－12·AM ·AN ＝2 400－5（60－x ）240－x .∵N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，∴x∈(0，30]．(2)y ＝2 400－5（60－x ）240－x ＝2 400－5[(40－x )＋40040－x ＋40]，当且仅当40－x ＝40040－x ，即x ＝20∈(0，30]时，y 取得最大值2 000, ∴当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 2 000 m 2.小结：建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔排出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知排出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问a ，b 各为多少m 时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔面积忽略不计)．解法一：设y 为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝kab ，其中k 是比例系数且k ＞0.依题意要使y 最小，只需ab 最大．由题设得：4b ＋2ab ＋2a ≤60(a ＞0，b ＞0)，即a ＋2b ≤30－ab (a ＞0，b ＞0)．∵a ＋2b ≥22ab ， ∴22·ab ＋ab ≤30，得0＜ab ≤32.当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 最大值为18，此时得a ＝6，b ＝3. 故当a ＝6 m ，b ＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂质最少．解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2，代入y ＝kab 求解．[归纳小结]1．要熟悉基本不等式的变式和推广，这对提高解题能力是有帮助的，常见的基本不等式的变式和推广有：①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22；③ab ≤ 14(a ＋b )2；④⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b 型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点． [课后作业]1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当且仅当a ＝2时等号成立．故选C.2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A.14 B ．4 C.12D ．2 解：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，∴1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．故选C.3．函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x·（2－x ）＝2，当且仅当12－x ＝2－x 时上式取等号．而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a ＜b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b＜2ab2ab ＝ab.又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A.5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ]≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.6．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号．故选D.7．点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________．解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，∴mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2.故填－2.8．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解：易知定点A (0，0)，B (1，3)．且无论m 取何值，两直线垂直．所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上)．所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立．故填5.9．(1)已知0＜x ＜43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．解：(1)已知0＜x ＜43，∴0＜3x ＜4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时“＝”成立．∴当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为42.10．已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2ab－4a2－b 2的最大值．解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥22ab，即ab≤24，ab≤18，∴S＝2ab－4a2－b2＝2ab－(1－4ab)＝2ab＋4ab－1≤2－12.当且仅当a＝14，b＝12时，等号成立．11．如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x×3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272.当且仅当2x＝3y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y＝32(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y）＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大．(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x＝3y，xy＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6，y＝4.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．解法二：由xy＝24，得x＝24y.∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝6⎝⎛⎭⎪⎫16y＋y≥6×216y×y＝48，当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小．如图所示，已知树顶A离地面212米，树上另一点B离地面112米，某人在离地面32米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．解：问题转化为求△ABC中∠BCA的取值范围．过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.设该人距离此树的距离CD＝x米，看A，B的视角最大，即∠BCA最大．不妨设∠BCD＝α，∠ACD＝β，则∠BCA＝β－α，且tanα＝4x ，tanβ＝9x，所以tan(β－α)＝9x－4x1＋9x×4x＝5xx2＋36＝5 x＋36x≤52x×36x＝512，当且仅当x＝36x，即x＝6时取等号，此时∠BCA最大．故填6.不等式检测1．已知集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋2x －2≤0，则A ∩B ＝( )A ．[－1，1]B ．[－1，2)C ．[1，2)D ．[－2，－1]解：依题意，集合A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |－2≤x <2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．故选D.2．不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1，0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0，2) D ．(1，2)解：∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.∴f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，∴x ∈(－2，0)∪(0，2)．故选B.4．若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A ．a 2 B.12a 2 C ．a D.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形．故选B.5．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B .223 C.33 D.233解：∵x 2＋3xy －1＝0，∴y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S的最大值为2.故选C.7．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 解法一：∵x ∈[1，5]，∴不等式变形为a >－x ＋2x ，∵x ∈[1，5]时，y ＝－x ＋2x 单调递减，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，∴要使不等式在[1，5]上有解，应有a >－235.解法二：一元二次方程x 2＋ax －2＝0的两根之积为－2，两根一正一负．对于二次函数y ＝f (x )＝x 2＋ax －2，开口向上．与x 轴交点一正一负，y ＞0，在区间[1，5]上有解，只需y ＝f (5)＞0即可.52＋5a －2＞0，∴a ＞－235.故选A.8．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5解：显然m ＞2，作出⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m 的可行域，当⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13 时z ＝x －y 的最小值为－1，解得m ＝5.故选D.9．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10．设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解：函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＋3<m 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0＋122＜m 2－3m 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122的最小值为14，∴只要m 2－3m 2＞14即可，得m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.11．已知O 是坐标原点，点A (－1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA→＋OM →|的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[2，5] C ．[1，2] D ．[0，5]解：OA →＋OM →＝(－1，0)＋(x ，y )＝(x －1，y )，设z ＝|OA →＋OM →|＝（x －1）2＋y 2，则z 2的几何意义为M 到定点E (1，0)的距离，由约束条件作出平面区域如图，由图象可知当M 位于点D (0，2)时，z 取得最大值z max ＝1＋4＝5，易知最小值z min ＝1，∴1≤z ≤5，即|OA→＋OM →|的取值范围是[1，5]．故选A. 12．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )A ．－5B ．－4C ．－3D ．－2解：∵AB→·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝32|AB →||AC →|＝23，∴|AB →||AC →|＝4，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×12＝1，∵f (Q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，∴12＋x ＋y ＝1，∴x ＋y ＝12，∵x >0，y >0，∴log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－4.故选B.13．已知集合A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}，集合B ＝{x ∈R|(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．解：∵A ＝{x ∈R|||x ＋2<3}＝{x |－5<x <1}，又∵A ∩B ＝(－1，n )，画数轴可知m ＝－1，n ＝1.故填－1；1.14．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则实数m ＝________.解：画出可行域如图所示，设z ′＝x ＋3y ，当平行直线系z ′＝x ＋3y 过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12时取最小值，有z ′min ＝12＋3×12＝2，此时，目标函数z ＝x ＋3y ＋m 取最小值，有z min ＝z ′min ＋m ＝2＋m ＝4，m ＝2.故填2.15．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．解：设两个正方形边长分别为a ，b (a ≤b )，则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．故填12. 16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解：(1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 00022＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立．(2)F ＝76 000v ＋20×5v ＋18≤76 00020＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.故填(1)1 900；(2)100.17．已知不等式kx 2－x ＋4k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．解：(1)因为不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞－1}，所以－1和－4是方程kx 2－x ＋4k ＝0的两个实根，由韦达定理得x 1＋x 2＝1k ，解得k ＝－15.(2)不等式的解集为∅，则kx 2－x ＋4k ≥0恒成立，所以k ＞0且Δ＝1－16k 2≤0，解得k ≥14.18．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是哪一种？解：设原价为a ，则提价后的价格为方案甲：(1＋p %)(1＋q %)a ，方案乙：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∵1＋p %·1＋q %≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%(当且仅当p ＝q 时取等号)，∵p ＞q ＞0，∴1＋p %·1＋q %＜1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2a ，∴提价多的方案是方案乙．答：提价多的方案是方案乙．19．(1)解不等式4x －1≤x －1；(2)求函数y ＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值．解：(1)4x －1≤x －1⇔4－（x －1）2x －1≤0⇔（x －3）（x ＋1）x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）（x －1）（x －3）≥0，x ≠1⇔ x ≥3或－1≤x ＜1. ∴此不等式的解集为{x |x ≥3或－1≤x ＜1}．(2)∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴2x ＞0，1－2x ＞0，∴y ＝42x ＋91－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋91－2x [2x ＋(1－2x )]＝13＋9×2x 1－2x ＋4×（1－2x ）2x ≥25，当且仅当x ＝15时，等号成立，即函数的最小值为25.20．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，求a 2＋b 2的最小值．解法一：不等式组表示的平面区域如图所示，由于－ab ＜0，所以目标函数在点A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，两端平方得4a 2＋b 2＋4ab ＝20，又4ab ＝2×a ×2b ≤a 2＋4b 2，所以20≤4a 2＋b 2＋a 2＋4b 2＝5(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝45，b ＝25时等号成立．解法二：同解法一得2a ＋b ＝25.把2a ＋b ＝25看作平面直角坐标系aOb 中的直线，则a 2＋b 2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a 2＋b 2的最小值是坐标原点到直线2a ＋b ＝25距离的平方，即⎝⎛⎭⎪⎫|－25|52＝4. 21．某工厂生产甲、乙两种产品．已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ．每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t ，B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t ．甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1 t )，能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，利润总额为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ≤300，5x ＋4y ≤200，4x ＋9y ≤360，x ≥0，y ≥0；z ＝600x ＋1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．作直线l ：600x ＋1 000y ＝0，即直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大．此时z ＝600x ＋1 000y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝200，4x ＋9y ＝360，得M 的坐标为x ＝36029≈12.4，y ＝1 00029≈34.4.故应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大．22．已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1的两个极值点为x 1和x 2，x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，求f (－1)的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝12－8b ＋c ≥0，f ′（－1）＝3－4b ＋c ≤0，f ′（1）＝3＋4b ＋c ≤0，f ′（2）＝12＋8b ＋c ≥0.在平面直角坐标系bOc 中作图，图中阴影部分所示为可行域，易知f (－1)＝2b －c 在点(0，－3)取得最小值3，在点(0，－12)取得最大值12.∴3≤f (－1)≤12.故f (－1)的取值范围为[3，12]．。

(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)

(),,0a b c >(8)≥；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A.6B.42C.22D.26解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为()A.12B.1 C.2 D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2 D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a.故选A. (2014·上海)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x 2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y ＝(x ＞－1)的值域.解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且y ＝＝m ＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故y min ＝9.又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )A.lg>lg x (x >0)B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2||x (x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解：A 中，x 2＋14≥x (x ＞0)，当x ＝12时，x 2＋14＝x.B 中，sin x ＋1sin x ≥2(sin x ∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立.解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有()A.2∈M，0∈MB.2∉M，0∉MC.2∈M，0∉MD.2∉M，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k2)x≤k4＋4⇒x≤＝(k2＋1)＋－2⇒x≤＝2－2(当且仅当k2＝－1时取等号).解法二(代入法)：将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R.故选A.点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；(4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13. 类型三利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x ，所以y ＝225x ＋3602x －360(x ≥2).(2)∵x ≥0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10800，∴y ＝225x ＋3602x －360≥10440，当且仅当225x ＝3602x ，即x ＝24时等号成立.答：当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为am，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a＞1，则a＋的最小值是()A.2B.aC.3D.解：∵a＞1，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当a＝2时等号成立.故选C.2.设a，b∈R，a≠b，且a＋b＝2，则下列各式正确的是()A.ab＜1＜a2＋b22 B.ab＜1≤a2＋b22 C.1＜ab＜a2＋b22 D.ab≤a2＋b22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝＝＋(2－x )≥2·＝2，当且仅当＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.()要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方M20元，侧面造价是每平方M10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ， m ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.()若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2B.7＋2C.6＋4D.7＋4解：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号.故选D.7.若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是.解：因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，所以有＝≤＝，即的最大值为，故填a≥.8.()设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________.解：易知定点A(0，0)，B(1，3).且无论m取何值，两直线垂直.所以无论P与A，B重合与否，均有|P A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上).所以|P A|·|PB|≤12(|P A|2＋|PB|2)＝5.当且仅当|P A|＝|PB|＝5时，等号成立.故填5.9.(1)已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值.解：(1)已知0＜x＜，∴0＜3x＜4.∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立.∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为.(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，所以x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.当且仅当即x＝，y＝时“＝”成立.∴当x＝，y＝时，2x＋4y取最小值为4.10.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，求S＝2－4a2－b2的最大值.解：∵a＞0，b＞0，2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝1－4ab.且1＝2a＋b≥2，即≤，ab≤，∴S＝2－4a2－b2＝2－(1－4ab)＝2＋4ab－1≤.当且仅当a＝，b＝时，等号成立.11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？解：(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤.当且仅当2x＝3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.解法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x＞0，∴0＜y＜6.S＝xy＝y＝(6－y)y.∵0＜y＜6，∴6－y＞0.∴S≤＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.解法一：∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立.由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.解法二：由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长度最小.11/ 11。

高考数学基本不等式及其应用解答

第五讲基本不等式及其应用一、知识梳理：1、若,a b R ∈，则222a b ab +≥ ，当且仅当a b =时等号成立；2、若,a b R +∈, 则2a b ab +≥ , 当且仅当a b =时等号成立；3、若 ,a b R +∈, ,a b S ab P +==,则⑴如果P 是定值，那么当且仅当a b =时，S 的值最小；⑵如果S 是定值，那么当且仅当a b =时，P 的值最大4、若0ab >，则2b a a b+≥，当且仅当a b =时等号成立二、知识回顾： 1、若0x >，则2x x +的最小值为 .答案22 解析：0x >222x x ⇒+≥22x x x =⇒=. 2、已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____.答案 116 3、已知R b a ∈,，则下列不等式不正确．．．的是（）答案 D A ．222a b ab +≥B ．222a b ab +≥-C ．22a b ab +≥D ．222()22a b a b +≥+ 4、已知0,0a b >>，则11ab a b ++ ）答案 C A ．2B ．22C ．4D ．5 解析：因为11112222()4ab ab ab a b ab ab ++≥+≥ 当且仅当11a b =，且1ab ab=a b =时，取“=”号。

5、下列结论正确的是 ( ) 答案 BA .当0x >且1x ≠时，1lg lg x x +2≥ B.0x >当2x x ≥ C ．当2x ≥时，1x x +的最小值为2 D.02x <≤时，1x x -无最大值 6、已知R b a ∈,，且ab >0，则下列不等式不正确．．．的是（）答案 B A ．b a b a ->+||B ．||||||b a b a +<+C ．||2b a ab +≤D ．2≥+b a a b三、典型例题例1、已知,,x y a R +∈,不等式(x+y)(1x + a y)≥9对任意x,y 恒成立,则a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8解：不等式(x +y )(1a x y+)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则：1y ax a x y+++≥1a +≥9，∴24(舍去)，所以正实数a 的最小值为4，选B ．例2、三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而 252510x x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；例3、函数log (3)1,0,1a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0,求nm 21+的最小值；解：(2,1)A --，则21m n +=，1⇒≥≥128m n ⇒+≥≥，当且仅当11,42m n ==时n m 21+取最小值8。

专题05(2.3 基本不等式及其应用)(有答案)

专题05（2.3 基本不等式及其应用）一、单选题1．（2020·宝山·上海交大附中月考）已知0a >，0b >，若4a b +=，则（）A ．22a b +有最小值BC ．11a b+有最大值 D 有最大值【答案】A【分析】根据基本不等式的性质，即可求解22a b +有最小值，得到答案. 【详解】由题意，可知a 0>，b 0>，且a b 4+=，因为0,0a b >>，则a b +≥，即2()42a b ab +≤=，所以()222a b a b 2ab 162ab +=+-=-16248≥-⨯=，当且仅当2a b ==时，等号成立，取得最小值8，故选A ．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．（2019·上海虹口·上外附中高一月考）函数()213log 3y x ax =-+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（）A ．a <<B ．72a <<C ．732a <<D ．3a <<【答案】D【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了．【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==-+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <-+<在[1,2]上恒成立，即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=3x x =即x由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x=+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a << 故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．3．（2018·上海市向明中学高一月考）下列三个函数中值域为[2,)+∞的函数个数为（）（1）122xx y =+（2）22122y x x =+++ （3）1423x x y +=++ A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用基本不等式求解(1)即可;利用换元法以及函数单调性的定义即可求；利用换元法以及二次函数的性质即可求解(3)【详解】(1)20x >∴由基本不等式可得：122x x y =+≥，当且仅当0x =取等号故函数122xx y =+的值域为[2,)+∞ (2)令22t x =+，则2t ≥ 即1y t t=+令122≤<t t ，()12122112121111y y t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于122≤<t t ，则210t t ->，12110t t -<，即()2112110t t t t ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即12y y <，所以函数1y t t=+在[)2,+∞ 上单调递增故15222y ≥+= 故函数22122y x x =+++的值域为5[,)2+∞ (3)令,(20)x t t =>所以()2124232312x x y t t t +=++=++=++ 由于0t >，则()212123t ++>+= 故函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞ 故选B【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，关键是利用基本不等式以及换元法来求解，属于中档题.4．（2018·上海市金山中学高一期中）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释.A ．如果0a b >>>B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．对任意正实数a 和b ，有a b +≥，当且仅当a b =时等号成立【答案】C【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+，可得外围的正方形的面积为2c ，也就是22a b +，四个阴影面积之和刚好为2ab ，可得对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，即可得出.【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+，则外围的正方形的面积为2c ，也就是22a b +，四个阴影面积之和刚好为2ab ，对任意正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，故选C.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，结合勾股定理，利用直角三角形的面积公式，得到其对应的关系，从而可以得到在什么情况下取得等号.5．（2019·上海外国语大学附属大境中学高一期末）已知函数()2x f x =，若a b <，设P =1[()()]2Q f a f b =+，()2a bR f +=，则（） A ．R P Q << B ．P Q R <<C ．Q P R <=D ．P R Q =<【答案】D【分析】根据指数函数的运算性质得到P =22a b +, R =22a b+，Q 222a b+=再根据均值不等式得到R Q <.【详解】函数()2xf x =,P =22a b+,2a b R f +⎛⎫= ⎪⎝⎭=22a b+,故P R =()()12Q f a f b ⎡⎤=+⎣⎦22222a b a b ++=>==P=R 故P R Q =<. 故答案为D.【点睛】这个题目考查了指数函数的运算性质，以及均值不等式的应用；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 二、填空题6．（2018·上海市新中高级中学）若不等式12x a x +-+>的解集为∅，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[]1,3-【分析】由题意得知12x a x +-+≤对任意的x ∈R 恒成立，然后利用绝对值三角不等式求出1x a x +-+的最大值为1a -，得出12a -≤，解出该不等式即可. 【详解】由题意可知，不等式12x a x +-+≤对任意的x ∈R 恒成立，由绝对值三角不等式可得()()111x a x x a x a +-+≤+-+=-，则12a -≤，即212a -≤-≤，解得13a -≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,3-. 故答案为[]1,3-.【点睛】本题考查利用绝对值不等式的解集为空集求参数的取值范围，转化为绝对值不等式在实数集上恒成立是解题的关键，同时借助绝对值三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.7．（2018·上海市七宝中学高一月考）已知关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，则实数t 的取值范围是________；【答案】3t <【分析】先根据绝对值三角不等式得|||12|x x +--最大值，再根据不等式有解条件确定结果.【详解】因为|1||2||12|3x x x x +--≤+-+=，又关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，所以max |1||2|3x x t t +-->∴<（）故答案为3t <【点睛】本题考查绝对值三角不等式以及不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.8．（上海市金山中学高一期末）对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________．【答案】[]4,5- 【解析】()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．（2018·上海市三林中学高一期中）若关于x 的不等式13x a x -+-≤解集非空，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[]2,4-【分析】将13x a x -+-≤转化为()min 13x a x -+-≤，利用绝对值不等式求出1x a x -+-的最小值，即可得结果. 【详解】解：111x a x x a x a -+-≥--+=-13a ∴-≤，解得：24a -≤≤，故答案为[]2,4-【点睛】本题考查绝对值不等式的有解问题，利用不等式x y x y x y -≤±≤+可快速求出最值，是基础题.10．（上海市控江中学）设1x <，则211x x x -+-的值域为_________【答案】(],1-∞-【分析】先将原式化为()211111111-+⎡⎤=+=--++⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果. 【详解】因为1x <，所以10x -<，因此()211111211111-+⎡⎤=+=--++≤-+=-⎢⎥---⎣⎦x x x x x x x ，当且仅当111x x-=-，即0x =时，等号成立；所以211x x x -+-的值域为：(],1-∞-；故答案为(],1-∞-【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.11．（上海市控江中学）设0x >，则______【答案】14【分析】先由题意求出102x <≤，再由基本不等式，得到22141422+-≤⋅x x ，即可得出结果.【详解】由2140-≥x 得1122x -≤≤；又0x >，所以102x <≤再由2211414122224+-=⋅≤⋅=x x x ，当且仅当2x =10,42⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦x 时，等号成立.所以14.故答案为14【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.三、解答题12．（上海市实验学校高一期中）如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为48402cm ，画面上下边要留8cm 空白，左右要留5cm 空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？【答案】高为88厘米，宽为55厘米，所需纸张面积最小为6760平方厘米【分析】设画面高为xcm ，宽为ycm ，求出所需纸张面积S 的表达式，利用基本不等式求解即可．【详解】解：设画面高为xcm ，宽为ycm ，依意有xy ＝4840，x ＞0，y ＞0 则所需纸张面积S ＝（x +16）（y +10）＝xy +16y +10x +160，，即S ＝5000+16y +12x ， ∵x ＞0，y ＞0，xy ＝4840∴16101760y x +≥==，S ≥6760．当且仅当16y ＝10x ，即x ＝88，y ＝55时等号成立．即当画面高为88cm ，宽为55cm 时，所需纸张面积最小为6760cm 2【点睛】本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查计算能力．13．（2019·上海徐汇·位育中学高一期中）某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为k ，若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元. （1）求k 的值；（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用. 【答案】（1）0.05k =；（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【分析】（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k的值；（2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可. 【详解】（1）由题意，当每批购入400台时，全年的运费为36004003600400⨯=，每批购入的电视机的总价值为4002000800000⨯=（元），所以保管费为800000k ⋅（元）因为全年需要支付运费和保管费共43600元，所以360080000043600k +⋅=，解得0.05k =. （2）设每批进货x 台，则运费为36001440000400x x⨯=，保管费为0.052000100x x ⨯=，所以支付运费与保管费的和为1440000100x x+，因为144000010024000x x +≥=，当且仅当1440000100x x =，即120x =时取到等号，所以每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，注意不等式求解最值时的条件，侧重考查数学建模的核心素养.14．（2018·上海普陀·曹杨二中高一期中）已知函数()sin 210.3f x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，＞ (1)当12ω=时,求函数()f x 的单调递减区间； (2)对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；(3)在(2)的条件下,若不等式()1f x t +＜在03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，内恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1；（3） (0,1). 【分析】（1）当12ω=时,写出函数解析式，由正弦型函数性质可求解（2）由题意可知sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根，知其周期为π，即可求解（3）求出()f x 的值域，原不等式可转化为1()1t f x t --<<-恒成立，()f x 的值域是(1,1)t t ---的子集即可.【详解】（1）当12ω=时，()sin 13f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令322232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递减区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为对于(]x a a a π∈+，，为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，所以sin 203x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在(]x a a a π∈+，，为任意实数，有两不等实根，所以22T ππω==,即1ω=. （3）因为()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以233x πππ≤+≤，0sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故1()0f x -≤≤，又因为()1f x t +＜恒成立，所以1()1t f x t --<<-恒成立，所以1110t t --<-⎧⎨->⎩，解得01t <<.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调性，周期，值域，绝对值不等式恒成立，属于难题.15．（上海市进才中学期中）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k ．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行. （1）求k 的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W （燃料费+航行运作费用）的最小值．【答案】()1k 值为0.96，()2该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400元【分析】()1根据题意，设比例系数为k ，得燃料费为21W kv =，将10v =时196W =代入即可算出k 的值；()2算出航行100海里的时间为100v 小时，可燃料费为96v ，其余航行运作费用为15000v元，由此可得航行100海里的总费用为1500096W v v=+，再运用基本不等式求最值即可．【详解】()1由题意，设燃料费为21W kv =，当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当10v =时，196W =，可得29610k =⨯，解之得0.96k =．()2其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为100v 小时，可得其余航行运作费用为10015000150v v⨯=元因此，航行100海里的总费用为210015000150000.9696(015)W v v v v v v=⋅+=+<≤ 15000962400v v+≥=，∴当且仅当1500096v v =时，即12.515v ==<时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：()1k 值为0.96，()2该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400(元)．【点睛】本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．16．（2018·上海市七宝中学高一期中）练习册第21页的题“0a >，0b >，求证：≥”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：+≥a b=时等号成≥.学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若0a>，0b>，0c>，则222a b ca b cb c a++≥++，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到n（2n≥）个正数1a、2a、⋅⋅⋅、1na-、na的情形，并证明. 【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比222a b cb c ab c a+++++可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比222a b cb c ab c a+++++可得证明；【详解】（1）222222a b cb c a a b cb c a+++++≥++，∴222a b ca b cb c a++≥++，当且仅当a b c==时等号成立；（2）222211223112231222,n nn nna aa aa a a a a a aa a a a-++++⋅⋅⋅++++≥++⋅⋅⋅+故2222112122311n nnna aa aa a aa a a a-++⋅⋅⋅++≥++⋅⋅⋅+.当且仅当12...na a a===时等号成立；【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．17．（2018·上海高一期中）我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】15AB=时，总造价最低为132000元.【分析】设AB的长为x米，进而得到宽BC为200x米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设AB的长为x米，则宽BC为200x米，由题意得总造价为200200400(22)5100560200 y xx x=+⨯⨯+⨯⨯+⨯450(2)12000xx=++12000≥132000=，当且仅当4502xx=，即15x=时等号成立．所以当净水池的长15AB=米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．18．（2018·上海市金山中学高一期中）已知两个正数,a b 满足1a b +=.（1）求122a b+的最小值；（2）若不等式222218()x x a b -+-≤+对任意正数,a b 都成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）92；（2）17,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由条件，将1用+a b 代换，将2用22a b +代换，之后再应用基本不等式求得对应式子的最小值；（2）将恒成立问题向最值问题靠拢，首先求得228()a b +的最小值是4，从而将不等式转化为2214x x -+-≤，应用零点分段法求得结果. 【详解】（1），且，.当且仅当，即时，等号成立.故的最小值是.（2）当且仅当，即时，等号成立.的最小值是4.当时，由不等式，得；当时，由不等式，得；当时，由不等式，得.综上，实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求式子的最小值以及绝对值不等式的解法，在解题的过程中，注意应用已知条件，对常数的变形，也可以应用相乘的方法，对于恒成立问题应该向最值靠拢，之后应用零点分段法求解绝对值不等式即可.19．（2017·上海青浦·高一期末）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （千米/时）之间的函数关系为()2920031600=>++vy v v v .（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/时）？（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？【答案】（1）当40v =时，车流量最大，最大车流量为11.1（千辆/时）；（2）()25,64.【分析】（1）将函数解析式变形为92016003y v v ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，利用基本不等式可求得结果，由等号成立求得对应的v 值，即可得解；（2）解不等式29201031600vv v >++即可求得v 的取值范围，进而可得解. 【详解】（1）依题意9209201600833vvy≤=⎛⎫++⎪⎝⎭=，当且仅当40v=等号成立，最大车流量92011.183y=≈（千辆/时）；（2）由条件得292010 31600vv v >++，整理得28916000v v-+<，解得2564v<<.故汽车的平均速度应该在()25,64范围内.【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．（2020·上海黄浦·格致中学高一期末）已知某种气垫船的最大航速是48海里小时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比.若船速为30海里小时,则船每小时的燃料费用为600元，其余费用(不论船速为多少)都是每小时864元．甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速航行到乙地.(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用y，表示为船速x(海里小时)的函数，并指出函数的定义域;(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元?【答案】(1)20086400,(048)3y x xx=+<≤；(2)当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元【分析】(1)由题意先设船速为x,则每小时燃料费2E ax=,求得参数a,再写出自变量取值范围即可.(2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值.【详解】(1) 设船速为x,则每小时燃料费2E ax=,根据题意有260030a=,故23a=,223E x=,则从甲地到乙地所需时间为100x小时. 故总费用221001002008640086433y x x x x x=⨯+⨯=+. 又最大航速是48海里小时故048x <≤ (2)由(1) 20086400,(048)3y x x x=+<≤；故2008640048003y x x =+≥==, 当且仅当200864003x x=即36x =时取得最小值. 故当船速为每小时36海里时,船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元【点睛】本题主要考查函数的实际运用,注意分析自变量与因变量的关系,同时注意取值范围.本题也考查了基本不等式的用法,属于中等题型.21．（2019·宝山·上海交大附中高一期末）动物园需要用篱笆围成两个面积均为502m 的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m ，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m ．（1）设所用篱笆的总长度为l ，垂直于墙的边长为x ．试用解析式将l 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？【答案】（1）1003l x x =+，[2]25，.（2时，所用篱笆的总长度最小，最小为【分析】（1）由题意得每个长方形平行于墙的边长50x ，表示出l ；由2x 且502x，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．【详解】（1）由题得每个长方形平行于墙的边长50x，则1003l x x=+， 2x 且502x， 225x ∴，所以函数的定义域为[2，25]；（2）10010032320l x x x x =+=1003x x =，即x =时取等号，时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是．【点睛】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．。

基本不等式及其应用习题及解析

基本不等式及其应用一．选择题（共15小题）1．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．2102．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．163．已知a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．44．已知x、y都是非负实数，且x+y=2，则的最小值为（）A．B．C．1 D．25．已知x，y，z为正实数，则的最大值为（）A．B．C．D．6．若a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2b2≤ B．a2+b2≥ C．（1+）（1+）≥9 D．+≥47．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b ＞0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．98．若x＞0，y＞0，x+y=1，则的最小值为（）A．B．C．D．9．在下列函数中，最小值是2的是（）A．y=+B．y=（x＞0）C．y=sinx+，x∈（0，）D．y=7x+7﹣x10．已知a+2b=2，且a＞1，b＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．811．函数f（x）=3x+（x＞0）取得最小值时x为（）A．8 B．9 C．2 D．612．已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4] B．[2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）13．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D．14．已知正项等比数列{a n}满足a9=a8+2a7，若存在两项a m，a n使得=4a1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在15．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8二．填空题（共10小题）16．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．17．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．18．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是．19．设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为．20．若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是．21．已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为．22．已知x，y为正实数，则的最小值为．23．若a，b均为非负实数，且a+b=1，则+的最小值为．24．已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为．25．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是．三．解答题（共5小题）26．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）（1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k的取值范围．27．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．28．已知a＞b＞0，求a2+的最小值．29．已知不等式＞1．（1）若不等式对于任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（2）若不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围．30．解下列不等式．（1）6x2﹣x﹣1≥0；（2）﹣x2+2x﹣＞0；（3）≥3；（4）≥1．基本不等式及其应用0617参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2017•乌鲁木齐模拟）已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（）A．35 B．105 C．140 D．210【分析】x，y∈R，x2+y2+xy=315，可得x2+y2=315﹣xy≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，y∈R，x2+y2+xy=315，∴x2+y2=315﹣xy，315﹣xy≥2xy，当且仅当x=y=±时取等号．∴xy≤105．∴x2+y2﹣xy=315﹣2xy≥315﹣210=105．故选：B．【点评】本题考查了重要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．（2017•和平区校级二模）设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】不等式+≥m恒成立，转化为求+的最小值，可得m的最大值．将分母转化为整数，设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣1=b，则y=b+1，令2y﹣1=a，y=（a+1），a＞0，b＞0．那么：+==（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．∴+的最小值为8，则m的最大值为8．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题，利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．3．（2017•全国一模）已知a＞0，b＞0，则的最小值为（）A．B．1 C．2 D．4【分析】构造基本不等式的性质即可求解．【解答】解：由=∵a＞0，b＞0，∴=4，当且仅当a+2b=2时取等号．则的最小值为4．故选D【点评】本题考查了“构造思想”与基本不等式的性质运用，属于基础题．4．（2017•南平一模）已知x、y都是非负实数，且x+y=2，则的最小值为（）A．B．C．1 D．2【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x、y都是非负实数，且x+y=2，∴x+2+y+4=8．∴8≥2，化为：≥，当且仅当x=2，y=0时取等号．则=．其最小值为．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2017•和平区校级二模）已知x，y，z为正实数，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据基本不等式可得x2+y2≥xy，z2+y2≥yz，问题得以解决．【解答】解：x2+y2≥xy，z2+y2≥yz，∴x2+y2+z2≥xy+yz=（xy+yz），∴≤，当且仅当x=z=y时取等号，故的最大值为，故选：B【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题6．（2017•岳麓区校级一模）若a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2b2≤ B．a2+b2≥ C．（1+）（1+）≥9 D．+≥4【分析】由a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，恒大于0，两边平方，根据不等式的性质可得答案．【解答】解：由a+b=1，可得a2+b2+2ab=1，∵2ab≤a2+b2，当且仅当a=b时取等号．∴2a2+2b2≥1，则a2+b2≥．故选B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（2017•淄博一模）设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，a＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则+的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．9【分析】利用向量共线定理可得：2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：=（a﹣1，1），=（﹣b﹣1，2），∵A，B，C 三点共线，∴2（a﹣1）﹣（﹣b﹣1）=0，化为：2a+b=1．又a＞0，b＞0，则+=（2a+b）=4++≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2017•武汉模拟）若x＞0，y＞0，x+y=1，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】通过换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：x＞0，y＞0，x+y=1，则y=1﹣x．∴=+=x﹣2++=x﹣2++2﹣x﹣2+=﹣2+=f（x），f′（x）=+==，0＜x＜1．可知：当x=，y=时，f（x）取得最小值为：﹣2+=．故选：A．【点评】本题考查了换元方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2017春•西城区校级期中）在下列函数中，最小值是2的是（）A．y=+B．y=（x＞0）C．y=sinx+，x∈（0，）D．y=7x+7﹣x【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A，x正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B，y===+≥2，当且仅当=，即x=0时取等号，但x＞0，故错误；选项C，∵x∈（0，），∴sinx∈（0，1），∴y=sinx+≥2，当且仅当sinx=，即sinx=1时取等号，但sinx∈（0，1），取不到1，故错误；选项D，y=7x+7﹣x=7x+≥2，当且仅当7x=即x=0时取等号，故正确．故选：D【点评】本题考查基本不等式，注意等好成立的条件是解决问题的关键，属基础题．10．（2017春•张家口期中）已知a+2b=2，且a＞1，b＞0，则的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由题意可得：a﹣1+2b=1、a﹣1＞0，利用“1的代换”化简所求的式子，由基本不等式求出答案．【解答】解：∵a＞1，b＞0，且a+2b=2，∴a﹣1+2b=1，a﹣1＞0，∴=（）（a﹣1+2b）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号，∴的最小值是8，故选D．【点评】本题考查了“1的代换”，以及基本不等式的应用，考查了化简、变形能力，属于基础题．11．（2017春•东湖区校级月考）函数f（x）=3x+（x＞0）取得最小值时x为（）A．8 B．9 C．2 D．6【分析】根据题意，函数f（x）变形可得：f（x）=++，由基本不等式的性质分析可得且仅当==时，f（x）取得最小值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=3x+=++，又由x＞0，f（x）=++≥3=9，当且仅当==时等号成立，即x=2时等号成立，故选：C．【点评】本题考查基本不等式的性质，关键是对f（x）的形式变形，配凑基本不等式的应用条件．12．（2017春•江西月考）已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4] B．[2，+∞）C．（2，4）D．（4，+∞）【分析】a，b∈R+，由≥ab，可得≥．又，可得（a+b）=5≥（a+b），化简整理即可得出．【解答】解：∵a，b∈R+，∴≥ab，可得≥．∵，∴（a+b）=5≥（a+b），化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，则a+b的取值范围是[1，4]．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（2017春•温江区校级月考）已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D．【分析】展开，并根据x+y=1可以得到，可令t=xy，并求出，而根据的单调性即可求出f（t）的最小值，进而求出z的最小值．【解答】解：z====；令t=xy，则；由在上单调递减，故当t=时有最小值，即：时z有最小值．故选B．【点评】考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件，要熟悉函数的单调性．14．（2017春•南康区校级月考）已知正项等比数列{a n}满足a9=a8+2a7，若存在两项a m，a n 使得=4a 1，则的最小值为（）A．B．C．D．不存在【分析】由a 9=a8+2a7，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得=4a1，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得的最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），∵a9=a8+2a7，∴a7q2=a7q+2a7，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴a1q m+n﹣2=16a1，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=16，∴m+n=6，即+=1，则=（）•（+）=++≥+=上式等号成立时，n2=4m2，即n=2m，而m+n=6，∴m=2，∴最小值为．故选：A．【点评】本题是等差数列和等比数列的综合题，考查等比数列的通项和基本不等式的性质，是中档题．15．（2016•潮南区模拟）已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8【分析】画出函数f（x）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x），如图所示，[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑，故选：D．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．二．填空题（共10小题）16．（2017•天津）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 4 ．【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．17．（2017•四模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 4 ．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2 代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．18．（2017•河西区校级模拟）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是7+4．【分析】log4（3a+4b）=log2，可得3a+4b=ab，a，b＞0.＞0，解得a＞4．于是a+b=a+=+7，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵log4（3a+4b）=log2，∴=，∴，∴3a+4b=ab，a，b＞0．∴＞0，解得a＞4．a+b=a+=+7≥7+=，当且仅当a=4+2时取等号．∴a+b的最小值是7+4．故答案为：7+4．【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．19．（2017•道里区校级三模）设a＞0，b＞1，若a+b=2，则+的最小值为9 ．【分析】由题意可得b﹣1＞0且a+（b﹣1）=1，整体代入可得+=（+）[a+（b ﹣1）]=5++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞0，b＞1，且a+b=2，∴b﹣1＞0且a+（b﹣1）=1，∴+=（+）[a+（b﹣1）]=5++≥5+2=9，当且仅当=时取等号，结合a+（b﹣1）=1可解得a=且b=，故所求最小值为9故答案为：9【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．20．（2017•淮安四模）若正实数x，y满足x+y=1，则的最小值是8 ．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，关键是将变形为（+）+4．21．（2017•绍兴一模）已知正实数x，y满足xy+2x+3y=42，则xy+5x+4y的最小值为55 ．【分析】正实数x，y满足xy+2x+3y=42，可得y=＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+3y=42，∴y=＞0，x＞0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y=3x+y+42=3x++42=3+31≥3×+31=55，当且仅当x=1，y=10时取等号．∴xy+5x+4y的最小值为55．故答案为：55．【点评】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（2017•天津一模）已知x，y为正实数，则的最小值为．【分析】由x，y为正实数，可得=++1，令=t＞0，则f（t）=+t+1=+t++，利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：∵x，y为正实数，∴=++1，令=t＞0，则f（t）=+t+1=+t++≥2+=可知：当=t+即t=时，函数f（t）取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查了换元法和基本不等式求最小值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2017•盐城三模）若a，b均为非负实数，且a+b=1，则+的最小值为 3 ．【分析】观察所求，利用换元变形为在m+n=3的前提下求的最小值．【解答】解：设a+2b=m，2a+b=n，则m+n=3，原式变形为：=（m+n）（）=[5+]（5+2）=3；当且仅当时等号成立；故答案为：3．【点评】本题考查了利用基本不等式求代数式的最小值；关键是正确变形为能够利用基本不等式的形式．24．（2017•嘉兴一模）已知a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，则2a+b的最小值为3+2．【分析】由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，可得b=＞0，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+=a﹣1++3，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由a＞0，b＞0，且满足3a+b=a2+ab，∴b=＞0，解得1＜a＜3．则2a+b=2a+=a﹣1++3≥2+3=2+3，当且仅当a=1+，b=1时取等号．故答案为：3+2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（2017•河东区一模）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是．【分析】直接利用对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，可得x+3y=1．===≥=．当且仅当x=，x+3y=1，即y==，x==时取等号．的最小值是．故答案为：．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．三．解答题（共5小题）26．（2017春•曹妃甸区校级期中）已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）（1）若不等式的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（3）若不等式的解集为∅，求k的取值范围．【分析】（1）根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k的值；（2）跟你就题意△=4﹣24k2＜0，且k＜0，解得即可，（3）根据题意，得△≤0且k＞0，由此求出k的取值范围【解答】解：（1）∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，∴k＜0，且﹣3和﹣2是方程kx2﹣2x+6k=0的实数根，由根与系数的关系，得（﹣3）+（﹣2）=，∴k=﹣；（2）不等式的解集是R，∴△=4﹣24k2＜0，且k＜0，解得k＜﹣，（3）不等式的解集为∅，得△=4﹣24k2≤0，且k＞0，解得k≥．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目．27．（2016•杨浦区三模）图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y （单位：米）（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【分析】（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，从而确定点E的位置；（2）点E在线段AB上，分10≤x≤20与0≤x＜10讨论以确定y关于x的函数关系式，从而利用分段函数解得，当0≤x＜10时，y=2，由二次函数求最小值，当10≤x ≤20时，y=，由基本不等式求最值；从而可得．【解答】解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S▱ABCD，即•EB•h=AB•h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点．（2）∵点E在线段AB上，∴0≤x≤20，当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，∴S▱ABCD=AB•BC•sin∠ABC=20×10×=100．由S△EBF=x•BF•sin120°=25，得BF=，∴由余弦定理得，y=EF==，当0≤x＜10时，点F在线段CD上，由S四边形EBCF=（x+CF）×10×sin60°=25得CF=10﹣x，当BE≥CF时，EF=，当BE＜CF时，EF=，化简均为y=EF=2，综上所述，y=；当0≤x＜10时，y=2，当x=时，y有最小值y min=5，此时CF=；当10≤x≤20时，y=≥10＞5，故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用及基本不等式与二次函数的性质应用，属于中档题．28．（2016•沈阳模拟）已知a＞b＞0，求a2+的最小值．【分析】两次利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0．∴==4，当且仅当b=a﹣b，a2=2，a＞b＞0，即，b=时取等号．∴a2+的最小值是4．【点评】本题考查基本不等式的性质，利用条件进行构造是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．29．（2016春•临汾校级期末）已知不等式＞1．（1）若不等式对于任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（2）若不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）先利用配方法化简不等式分母，再等价转化为对应一元二次不等式，化简后对k分类讨论，由条件和一元二次不等式恒成立问题，列出不等式组求出实数k的取值范围；（2）由（1）化简不等式，由x∈（0，1]得x2+x＞0，分离出k后再化简右边，由x∈（0，1]求出右边的范围，根据恒成立求出实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵x2+x+1=＞0，∴等价于kx2+kx+4＞x2+x+1，则（k﹣1）x2+（k﹣1）x+3＞0，由题意得，（k﹣1）x2+（k﹣1）x+3＞0对于任意x∈R恒成立，当k﹣1=0即k=1时，不等式为3＞0，成立；当k﹣1≠0即k≠1时，，解得1＜k＜13，综上所述：实数k的取值范围是[1，13）；（2）由（1）可知，k（x2+x）＞x2+x﹣3，由x∈（0，1]得，x2+x＞0，∵不等式对于任意x∈（0，1]恒成立，∴=对于任意x∈（0，1]恒成立，设y=x2+x，由x∈（0，1]得y∈（0，2]，∴，则，则k＞，即实数k的取值范围是（）．【点评】本题考查了分式不等式的转化问题，一元二次不等式解法，以及恒成立的转化问题，考查转化思想，化简、变形能力．30．（2016春•红桥区期末）解下列不等式．（1）6x2﹣x﹣1≥0；（2）﹣x2+2x﹣＞0；（3）≥3；（4）≥1．【分析】（1）由一元二次方程的解法求出对应方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（2）先化简不等式，由一元二次方程的解法求出对应方程的根，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（3）先化简分式不等式，再等价转化为一元二次不等式组，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集；（4）先化简分式不等式，再等价转化为对应不等式组，由穿根法求出高次不等式的解集．【解答】解：（1）由6x2﹣x﹣1=0得（3x+1）（2x﹣1）=0，解得x=或x=， (2)所以不等式6x2﹣x﹣1≥0 的解集为{x|x或x} (4)（2）由﹣x2+2x﹣＞0得3x2﹣6x+2＜0，因为3＞0，且方程3x2﹣6x+2=0的解是：x1=，x2=，所以原不等式的解集是 {x|} (8)（3）由得，则，即，所以，解得，则不等式的解集是{x|} (12)（4）原不等式化为：，整理得 0即，如图所以原不等式的解集为{x|x≤1或2＜x≤3或x＞4} (16)【点评】本题考查了分式不等式的化简以及等价转化，一元二次不等式的解法，以及穿根法求高次不等式的解集，考查转化思想，化简、变形能力．。

2.4.3基本不等式及其应用(含答案)

l 米，
求该木质窗框的最大面积 .( 结果用 l 表示，忽略木料本身宽度 ).
第二章不等式
9. 经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量
y (千辆 / 时 )
920v
与汽车的平均速度
v (千米 / 小时 )之间的关系为 y
v2
(v 3v 1600
0)
(1) 在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？
(精确到 0.1 千辆 / 时 )
(2) 若要求该时段内车流量超过 10 千辆 / 时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
提示：分子分母同除以 v 后再处理 .
(选做 )10.(1) 用实验的方法比较三个正数
a, b, c 的算术平均数
a
b
c
和
3
它们的几何平均值 3 abc 的大小，并写出这个基本不等式； (也可以证明 )
第二章不等式
7. 如图，一份印刷品的排版面积 (虚线矩形面积 )为 18 ，
它的两边都留有宽为 1 的空白，顶部和底部都留有宽为如何选择纸张的尺寸注，才能使纸的用量最少？
2 的空白 .
2
1
1
2
注：纸张的尺寸一般用 m n 表示 .
【巩固提高】
8. 如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是
总利润 y (单位 10 万元 )与营运年
数 x (x N * ) 为二次函数关系如图，则每辆客车营运 ( )年时，其营运的年平均利润最大 .
(A) 3 ;
(B) 4 ;
(C) 5 ;
(D) 6 .6
x
6. 建造一个容积为 8 立方米、深为 2 米的长方体无盖水池 .如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低造价是多少元？

基本不等式及其应用习题及解析

基本不等式及其应用习题及解析基本不等式及其应用一、选择题（共15小题）1.已知$x,XXX{R}$，$x+y+xy=315$，则$x+y-xy$的最小值是（）A。

35B。

105C。

140D。

2102.设正实数$x,y$满足$x>1,y>1$，不等式$\frac{x}{y-1}+\frac{y}{x-1}\geq 4$的最小值为（）A。

2B。

4C。

8D。

163.已知$a>0,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$，当且仅当（）A。

$a=b$B。

$a=b=1$XXX 1$D。

$a\neq b$4.已知$x,y$都是非负实数，且$x+y=2$，则$xy$的最大值为（）A。

0B。

$\frac{1}{4}$C。

$\frac{1}{2}$D。

15.已知$x,y,z$为正实数，则$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$的最大值为（）A。

3B。

4C。

5D。

66.若$a,b\in\mathbb{R},ab\neq 0$，且$a+b=1$，则下列不等式中，XXX成立的是（）A。

$ab\leq \frac{1}{4}$XXX{1}{4}$XXX{1}{8}$D。

$ab\geq \frac{1}{8}$7.设向量$\vec{OA}=(1,-2),\vec{OB}=(a,-1),\vec{OC}=(-b,2)$，其中$O$为坐标原点，$a>0,b>0$，若$A,B,C$三点共线，则$\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$的最小值为（）A。

4B。

6C。

8D。

98.若$x>0,y>0,x+y=1$，则$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}$的最小值为（）A。

2B。

3C。

4D。

59.在下列函数中，最小值是2的是（）A。

$y=x^2+1$B。

$y=2-x^2$C。

高考复习第7篇第4讲基本不等式及其应用知识点+例题+练习含答案

第4讲基本不等式及其应用考点一利用基本不等式证明简单不等式【例1】已知x ＞0，y ＞0，z ＞0. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0， ∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xy z ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立.规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练1】已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考点二利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2013·山东卷改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为________．(2)(2014·广州一模)已知2x ＋2y ＝1，(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为________．审题路线条件：x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒变形得：z ＝x 2－3xy ＋4y 2⇒代入z xy ⇒变形后利用基本不等式⇒取等号的条件把x ＋2y －z 转化关于y 的一元二次函数⇒利用配方法求最大值．解析 (1)z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4y x ≥2x y ·4y 3－3＝1，当且仅当x y ＝4yx ，即x＝2y 时等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2. ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号．答案 (1)2 (2)8规律方法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【训练2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(2014·浙江十校联考)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________．解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x 即x＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5.(2)由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 (1)5 (2)2考点三基本不等式的实际应用【例3】 (2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x 时，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为15万元．规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．【训练3】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解 (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.∴y ＝1.5×6＋12xx ×x －(6＋12x )－t＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)． (2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12. 由基本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥29t ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6，当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时等号成立，故y＝27－182t＋1－t＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫t＋12≤27.5－6＝21.5.当且仅当9t＋12＝t＋12时，等号成立，即t＝2.5时，y有最大值21.5.所以2013年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．教你审题7——如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取得最小值为________．[审题]一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|＋|a|b转化为“1”的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件．解析因为a＋b＝2，所以12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b4|a|＝|a|b，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故12|a|＋|a|b的最小值为34.答案3 4[反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值．【自主体验】(2013·福建卷改编)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．解析因为2x ＞0,2y ＞0，所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y，故2x ＋y≤12，即2x ＋y≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2.答案 (－∞，－2]基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·泰安一模)若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式①a ＋b ≥2ab ；②1a ＋1b ＞2ab ；③b a ＋a b ≥2；④a 2＋b 2＞2ab 中，恒成立的是________．解析因为ab ＞0，即b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋a b ≥2b a ×ab ＝2.答案 ③2．(2014·杭州一模)设a ＞0，b ＞0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是______．解析由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，取等号，所以最小值为4. 答案 43．(2013·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．解析由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ， ∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4. 答案 44．(2012·陕西卷改骗)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a、v、ab的大小关系为________．解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝2ssa＋sb＝2sab(a＋b)s＝2aba＋b<2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.答案a<v<ab5．(2014·兰州模拟)已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝________.解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b ＝3.答案 36．(2014·广州模拟)若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．答案97．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为______．解析∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．答案 38．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则1m＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4 二、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8. 证明 1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.10．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·郑州模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为________．解析因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号．又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 1722．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2. 答案 (－4,2)3．(2014·南昌模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．解析由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案 6 二、解答题4．(2013·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )，即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋5 2.而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x ＝9，当且仅当x ＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．方法强化练——不等式 (建议用时：75分钟)一、填空题1．“|x |＜2”是“x 2－x －6＜0”的________条件．解析不等式|x |＜2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6＜0的解集是(－2,3)，于是当x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2,3)，反之则不成立．答案充分不必要2．(2014·青岛一模)若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式①a 2＞b 2；②ba ＜1；③lg(a －b )＞0；④⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 成立的是________．解析 ∵0＜13＜1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是减函数，又a ＞b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b.经验证①②③均错误，∴④对．答案 ④3．(2013·郑州调研)不等式x －13x ＋1≤0的解集为________．解析原不等式等价为(x －1)(3x ＋1)≤0且3x ＋1≠0，解得－13≤x ≤1且x ≠－13，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎦⎥⎤x |－13＜x ≤1，即⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－13，14．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________．解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2≥x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋2≥2x 2·14x 2＋2y 2·14y 2＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22时取等号．答案 45．(2014·长沙诊断)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧2x －y ≥0，x ＋2y ≥0，3x ＋y －5≤0，则2x ＋y 的最大值是________．解析设z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x＋z ，由图象可知当直线经过点B 时，直线的截距最大，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，3x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即B (1,2)，代入z ＝2x ＋y ，得z ＝2x ＋y ＝4. 答案 46．(2013·北京海淀一模)设x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是________．解析 ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，当x ＝4y ＝20时取等号， ∴xy ≤100，lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 答案 27．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用________年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．解析设使用x 年的年平均费用为y 万元．由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *)．由基本不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．答案 108．(2014·天水一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为________．解析作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 29．(2014·湖州模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0.若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为________．解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6. 所以2a ＋3b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b≥136＋2＝256. 答案 25610．(2014·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析依题意，得3x 2＋4xy ≤3x 2＋[x 2＋(2y )2]＝4(x 2＋y 2)，因此有3x 2＋4xyx 2＋y2≤4，当且仅当x ＝2y 时取等号，即3x 2＋4xy x 2＋y 2的最大值是4，结合题意得λ≥3x 2＋4xyx 2＋y 2，故λ≥4，即λ的最小值是4. 答案 411．(2013·烟台模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)．答案 (－2,3)12．(2014·武汉质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ＜0，则不等式f (x )＜9的解集是________．解析当x ≥0时，由3x ＜9得0≤x ＜2. 当x ＜0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＜9得－2＜x ＜0.故f (x )＜9的解集为(－2,2)．答案 (－2,2)13．(2013·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．解析设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .作出可行域如图．平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧ x ＋2y ＝8，x ＝4，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，即A (4,2)，代入z ＝x ＋y ，得z ＝4＋2＝6. 答案 614．(2013·湘潭诊断)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________．解析由a ⊥b 得：a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2.所以，9x ＋3y ≥29x ·3y ＝232x ＋y ＝6. 答案 615．(2013·上海卷)设常数a ＞0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．解析当x ＞0时，f (x )＝9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a ≥a ＋1，解得a ≥15.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞二、解答题16．(2014·镇江模拟)已知f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求实数t 的范围．解 (1)f (x )>k ⇔k x 2－2x ＋6k <0，由已知其解集为{x |x <－3或x >－2}，得x 1＝－3，x 2＝－2是方程k x 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以－2－3＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤66，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.17．(2013·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式，得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米． 18．(2014·泉州调研)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x ＝2－1或2＋1.当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0， ∴3ax 2≥－x 3－3x －1，∴a ≥－x 3－1x －13x 2，设g (x )＝－x 3－1x －13x 2，∴求g (x )的最大值即可，则g ′(x )＝－13＋1x 2＋23x 3＝－x 3＋3x ＋23x 3，设h (x )＝－x 3＋3x ＋2，则h ′(x )＝－3x 2＋3，当x ≥2时，h ′(x )＜0， ∴h (x )在[2，＋∞)上单调递减， ∴g ′(x )在[2，＋∞)上单调递减，∴g ′(x )≤g ′(2)＝0，∴g (x )在(2，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (2)＝－54， ∴a ≥－54.法二因为x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，所以由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.。

(完整版)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含标准答案)

2.4.1基本不等式及其应用（含答案）

2.4.1基本不等式及其应⽤（含答案）【课堂例题】例1.利⽤基本不等式证明：(1)212x x +≥;(2)若0ab >，则2a b b a+≥.例2.利⽤基本不等式证明：(1)22222a b a b ++≥+；(2)222a b c ab bc ac ++≥++；(3),,,()()()8a b c R a b b c c a abc +∈+++≥.例3.(1),a b R +∈，且1a b +=，求证：14ab ≤. (2)0x <，求证：12x x+≤-.例4.⽤,,,>≥<≤填空:(1)22a b + 2||ab ； (2)0,a b ab b a<+ 2-；.【知识再现】1.基本不等式I ：对于，成⽴222a b ab +≥，当且仅当时，等号成⽴;基本不等式II ：对于，成⽴，当且仅当时，等号成⽴.2.两个正实数,a b 的算术平均数是；⼏何平均数是；基本不等式II ⽤⽂字可以描述为 .【基础训练】1.计算下列两个数的算术平均数A 与⼏何平均数G (0)p >：(1)2,8 ;(2)3,12 ;(3),9p p ;(4)22,2p .2.如果,a b R ∈，且0ab >，那么下列不等式恒成⽴的是( )(A)222a b ab +>； (B)a b +≥ (C)11a b +> (D)2b a a b +≥. 3.已知0,a >利⽤基本不等式证明：322a a a +≥.4.利⽤基本不等式证明：2222()()a b a b +≥+.5.我们知道：当0x >时，12x x +≥=，那么下列命题中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号).①若0x >,则212x x+≥；②若0x ≠，则2212x x+≥；③若0x <，则1()2x x-+≥；④若0ab ≠，则||2b a a b+≥；⑤若0ab ≠，则2222b a a b ab a b ab ab++=≥=.6.已知,a b R +∈，利⽤基本不等式，⽐较：(1)2ba +(2)11()()a b a b ++与4的⼤⼩.7.已知,,a b c R +∈，利⽤基本不等式证明：a b c ++≥【巩固提⾼】8.已知0x y >>，试把,,2x y x y +.9.(1)已知,,,a b c d R +∈，利⽤基本不等式证明：44444a b c d abcd +++≥.(2)已知,,a b c R +∈，利⽤基本不等式证明：3333a b c abc ++≥提⽰：(2)左右两边各加上abc 后，左边仿照(1)处理.(选做)10.已知正实数,a b ，作以O 为圆⼼，a b +为直径的圆.,AB a AC b ==，,,OR BC DA BC AE DO ⊥⊥⊥，我们已经知道,2a bOR AD +==,a b 的“算术平均数”和“⼏何平均数”，现在我们把线段DE 的长度称为,a b 的“调和平均数”注，线段AR 的长度称为,a b 的“平⽅平均数”.(1)求,a b 的“调和平均数”和“平⽅平均数”；(2)当D 在圆周上运动时(除去,B C )，根据图像可知这四个平均数的⼤⼩关系是什么？何时它们相等？【温故知新】11.多项式变形：221x x x ++=1x x ++ ； 131x x +=-13(1)1x x -++- ；21x x =- 121x ++-.注：正实数,a b 的“算术平均数”，“⼏何平均数”，“调和平均数”，“平⽅平均数” 就是分别满⾜四个⽅程：2222,,,axa xax a b x x a b x x b x b b --=-==-=--的正数根，从⽅程的结构也可看出这四个平均数的名称由来.B【课堂例题答案】例1.(1)证：根据基本不等式I:2212x x +≥ 证毕. (2)证：0,0a b b a >>，根据基本不等式II: 2a b b a +≥= 证毕. 例2.(1)证：222212,12222a a b b a b a b +≥+≥?++≥+ 证毕. (2)证：222222222222222()2()2a b ab b c bc a b c ab bc ac a b c ab bc ac c a ca ?+≥?+≥?++≥++?++≥++??+≥?证毕.(3)证： ,,a b c R +∈,00()()()80a b b c a b b c c a abc c a ?+≥>??∴+≥?+++>??+≥>??证毕.例3.(1)证：21()24a b ab +≤= 证毕. (2)证：110()()22x x x x x->?-+-≥?+≤- 证毕. 例4.(1)≥；(2)≤；(3)>.【知识再现答案】1.任意实数,a b ；a b =；任意正数,a b ；a b =.2.2a b +两个正数的算术平均数不⼩于⼏何平均数. 【习题答案】1.(1)5,4A G ==;(2)7.5,6A G ==;(3)5,3A p G p ==;(4)21,2A p G p =+=. 2.D3.证：332,0,2a a a a a >∴+≥ 证毕.4.证：22222222222222()()a b ab a b a b ab a b a b a b +≥?+++≥++?+≥+ 证毕.5.①②③④6.(1)当2b a =时，2b a +=2b a ≠时，2b a +>. (2)当1a b ==时，11()()4a b a b ++=；当1a ≠或1b ≠时，11()()4a b a b++>. 7.证：,,a b c R +∈,2()a b b c a b c c a +≥∴+≥?++>?+≥a b c ?++>证毕.8.2x y y x +<<<<. 9.(1)证：,,,a b c d R +∈。

2022年高考数学基本不等式及其应用知识点专项练习含答案

专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）1. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m3. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( )A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√24. 已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式2x +m y≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]5. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d =mk ，其中d 是距离(单位，m 是质量(单位，k 是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k 1，k 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足1k =1k 1+1k 2，并联时得到的弹簧系数k 满足k =k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D.6.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④7.若正实数x，y满足log2(x+3y)=log4x2+log2(2y)，则3x+y的最小值是()A. 12B. 6C. 16D. 88.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为()A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√159.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√210. 已知关于x 的不等式x 2−4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)，则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A. √63B. −2√33 C. 4√33D. −4√3311. 已知关于x 的不等式1a x 2+6x +c <0(ab >1)的解集为⌀，则T =12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 412. 已知函数f(x)=e kk lnx +1x−x ，k ∈(0,+∞)，曲线y =f(x)上总存在两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)使曲线y =f(x)在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1·x 2的取值范围是( )A. [2e ,+∞)B. [4e 2,+∞)C. (2e ,+∞)D. (4e 2,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30分）13. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．14. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．15. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为．16. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______．17. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是．18.已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集；（2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值．专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）18. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元【答案】B【解析】解：设水池池底的一边长为xm ，则另一边长为4x m ，则总造价y =4×120+80×(2x +2⋅4x )×2=480+320(x +4x )⩾480+320×2√x ⋅4x =1760(元)．当且仅当x =4x ，即x =2时，y 取最小值为1760．所以水池的最低造价为1760元．故选B ．19. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m【答案】B【解析】解：设BC =xm ，知AB =1000xm ，∴整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积为S =(x +10)(1000x+4)=1040+4x +10000x≥1040+2√4x ·10000x=1440．当且仅当4x =10000x，即x =50时取等号．∴当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为50 m ．故选B ．20. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( ) A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√2【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析：对A ，因为正实数a ，b 满足a +b =1，所以1=a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b =12时等号成立，所以ab ≤14，当且仅当a =b =12时等号成立，故ab 有最大值14，故A 正确;对B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =1，所以a 2+b 2=1−2ab ≥1−2×14=12，当且仅当a =b =12时等号成立，所以a2+b2有最小值12，故B正确．对C，利用基本不等式，有4a +1b=(4a+1b)(a+b)=4ba+ab+5⩾2√4ba·ab+5=9，当且仅当{a+b=1 4ba=ab,即a=23, b=13时等号成立，故1a +1b有最小值9，故C正确；对D，由题意，得(√a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+2√14=2，故√a+√b≤√2，当且仅当a=b=12时等号成立，即√a+√b有最大值√2，故D错误．故选D．21.已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x +my≥4恒成立，则m的取值范围是()A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]【答案】B【解析】解：∵m>0，xy>0，x+y=2，∴2x+m y=12(x+y)(2x+m y)=12(m+2+2y x+mx y )≥12(m+2+2√2yx⋅mxy)=12(m+2+2√2m)，当且仅当2yx=mxy时取等号，∵不等式2x +my≥4恒成立，∴12(m+2+2√2m)≥4，整理得(√m+3√2)(√m−√2)≥0，解得√m≥√2，即m≥2，∴m的取值范围为[2,+∞)．故选：B．22.在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k =1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：根据题意可得，串联时k=md =101=10，∵1k =1k1+1k2=k1+k2k1k2，∴k=k1k2k1+k2，∴串联时，k=k1k2k1+k2=10；并联时，k′=k1+k2，弹簧拉伸的最大距离为d′=m k′=mk1+k2，要想d′取得最大值，则k′取最小值，k′=k1+k2≥2√k1k2，当且仅当k1=k2时，取等号，当k1=k2时，由k1k2k1+k2=10得，k1=k2=20，∴此时k′=k1+k2=40，∴d′=mk′=1040=14(cm)，则并联时弹簧拉伸的最大距离为14cm，故选A．23.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x 2+y 2)3=16x 2y 2(xy <0)表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】B【解析】解： (x 2+y 2)3=16x 2y 2≤16(x 2+y 22)2,解得x 2+y 2≤4(当且仅当x 2=y 2=2时取等号)则(2)正确；将x 2+y 2=4和(x 2+y 2)3=16x 2y 2联立，解得x 2=y 2=2即圆x 2+y 2=4与曲线相切于点(√2,√2),(−√2,√2),(−√2,−√2),(√2,−√2)则(1)和(3)错误；由xy <0得(4)正确；故选B ．24. 若正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)，则3x +y 的最小值是( ) A. 12B. 6C. 16D. 8【答案】D【解析】解：∵正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)， ∴(x +3y)2=x 2(2y)2，整理，得x +3y =2xy ， ∴1y +3x =2，∴3x +y =12(3x +y)(1y +3x )=12(10+3x y+3yx)≥12(10+6)=8，当且仅当x =y 时取等号．故选D ．25. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a +b =12，c =8，则此三角形面积的最大值为( )A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√15【答案】C【解答】解：由题意，得p =10，所以S =√p(p −a)(p −b)(p −c) =√20(10−a)(10−b)≤√20⋅10−a+10−b2=8√5，当且仅当10−a =10−b ，即a =b =6时等号成立，所以此三角形面积的最大值为8√5．故选C．26.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√2【答案】B【解析】解：函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，可得f(−x)+2g(−x)=e−x，即f(x)−2g(x)=e−x，解得f(x)=12(e x+e−x)，g(x)=14(e x−e−x)，由x∈(0,2]，可得e x∈(1,e2]，由t=e x−e−x在x∈(0,2]递增，可得t∈(0,e2−e−2]，存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，即存在x∈(0,2]，不等式12(e2x+e−2x)−m⋅14(e x−e−x)≤0即m≥2(e2x+e−2x)e x−e−x成立，可得12m≥t2+2t，由t2+2t=t+2t≥2√2，当且仅当t=√2时，取得等号，即有12m≥2√2，可得m≥4√2，即m的最小值为4√2．故选：B．27.已知关于x的不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是()A. √63B. −2√33C. 4√33D. −4√33【答案】D【解析】解：不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，根据韦达定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，那么：x1+x2+a x1x2=4a+13a．∵a<0，∴−(4a+13a )≥2√(−4a)×(−13a)=4√33，即4a+13a ≤−4√33，故x1+x2+a x1x2的最大值为−4√33．故选：D．28.已知关于x的不等式1a x2+6x+c<0(ab>1)的解集为⌀，则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为()A. √3B. 2C. 2√3D. 4【答案】D【解析】解：由题意得：1a >0，b2−4ca≤0，得c≥ab24．∴T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1≥1+2ab+a2b22(ab−1)，令ab−1=m，则m>0，所以T≥1+2(m+1)+(m+1)22m =m2+2m+2≥4.则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为4．故选D．29.已知函数f(x)=e kk lnx+1x−x，k∈(0,+∞)，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1·x2的取值范围是()A. [2e ,+∞) B. [4e2,+∞) C. (2e,+∞) D. (4e2,+∞)【答案】D【解析】解：f′(x)=e kkx −1x2−1(x>0,k>0)，由题意知，f′(x1)=f′(x2)，即e kk ·1x1−1x12=e kk·1x2−1x22，∴e kk (1x1−1x2)=1x12−1x22，∴e kk =1x1+1x2=x1+x2x1x2>√x x，(等号取不到)√x1x2>2ke k恒成立，令g(k)=2ke k ，g′(k)=2−2ke k，令g′(k)=0，得k=1，故有g(k)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上递减，则有g(k)≤g(1)，故g(k)⩽g(1)=2e ，√x1x2>2e，x1x2>4e2，故选D．二、单空题（本大题共6小题，共30分）30. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．【答案】94【解析】解：正数a ，b 满足a +b =2，则a +1+b +1=4．则1a+1+4b+1=14[(a +1)+(b +1)](1a+1+4b+1)=14(5+b+1a+1+4(a+1)b+1)≥14(5+2√b+1a+1×4(a+1)b+1)=14×(5+4)=94，当且仅当a =13，b =53时原式有最小值．故答案为：94．31. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．【答案】800【解析】解：由题意，设彩画长a 米，宽b 米(其中a >0，b >0)，则有2(50a +100b )⩽400，即a +2b ⩽4，所以彩画面积S =ab =a·2b 2⩽12×(a+2b 2)2⩽12×(42)2=2，当且仅当{a =2b a +2b =4，即{a =2b =1时不等式可取等号，此时彩画的面积为2平方米，费用为400元，边框费用为400元，总费用共需要800元．故答案为：800．32. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为．【答案】23【解析】解：∵tanB =2tanA ，角A 为锐角， ∴tanA >0，tanB >0，∴tanC =tan[π−(A +B)]=−tan(A +B)=−tanA+tanB 1−tanAtanB=−32tanB 1−12tan 2B =3tanBtan 2B−2，∴1tan B +1tan C=1tan B +tan 2B−23tanB=tan 2B+13tan B=13(tanB +1tanB) ⩾13×2√tanB ·1tanB =23，当且仅当tanB =1tanB ，即tanB =1时，取等号，故1tanB +1tanC 的最小值为23．故答案为23．33. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______．【答案】(−4,2)【解析】解：由2x +1y =1，可得x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+xy +4y x≥4+2√x y ⋅4y x=8．当且仅当x =2y ，且2x +1y =1，即x =4，y =2时取等号，则x +2y 的最小值为8，x +2y >m 2+2m 恒成立⇔m 2+2m <(x +2y)min ，所以m 2+2m <8恒成立，即m 2+2m −8<0，解得−4<m <2．故实数m 的取值范围是(−4,2)．故答案为(−4,2)．34. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是．【答案】1【解析】解：由已知条件有xyz=xy x 2−3xy+4y 2=1xy +4y x−3≤2√x y ·4yx−3=1，当且仅当x =2y 时，等号成立，因此z =x 2−3xy +4y 2=4y 2−6y 2+4y 2=2y 2，所以2x +1y −2z =2y −1y 2=−(1y −1)2+1≤1．故答案为：1．35. 已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______．【答案】√2【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞), 则有a >0且1=4a ×(2b)=8ab ，即8ab =1，a 2+4b 2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=(a −2b)+12(a−2b)，又由a −2b >0，则(a −2b)+12(a−2b)≥ 2√(a −2b)×12(a−2b)=√2，当(a −2b)=12(a−2b)等号成立．即a 2+4b 2a−2b的最小值为√2；故答案为√2．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集；（2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）34．【解析】（1）由题意可得()42f x x <-+，即为2(1)10ax a x -++<，即(1)(1)0x ax --<，当0a <时，110a >>，由1(1)()0x x a-->，解得1x >或1x a <；当1a =时，2(10)x -<，可得x ∈∅；当1a >时，11a >，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<；当01a <<时，11a <，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<．综上可得，0a <时，解集为{|1x x >或1}x a <；01a <<时，解集为1{|1}x x a<<；1a =时，解集为∅；1a >时，解集为1{|1}x x a<<；（2）由()14f =，1b >-，可得14a b ++=，10+>b ，可得1||1||||11||14||114||4||4||4||a ab a a b a a a a b a b b a a a a ++++=+=++≥=++++，当0a >时，15114||44aa +=+=，可得1||||1a ab ++的最小值为54，当且仅当43a =，53b =时等号成立；当0a <时，13114||44aa +=-=，可得1||||1a ab ++的最小值为34，当且仅当4a =-，7b =时等号成立．所以1||||1a a b ++的最小值为34．。

基本不等式的应用经典练习及答案详解

[基础巩固]1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0解析当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．答案 B2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 解析 ∵a ，b ∈(0,1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ，∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )，∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．答案 D3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 3 解析 a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错； a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．答案 D4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________．①a ＋b 2≥ab ；②a －b ≥2ab ； ③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .解析根据x 2＋y 22≥xy ，a ＋b 2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．答案 ③5．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b 2的大小关系为________．解析用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，则有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋x ＝ (1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2，∴x ≤a ＋b 2.当且仅当a ＝b 时等号成立．答案 x ≤a ＋b 26．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b ≥4.证明 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 ba ·ab ＝4.当且仅当a ＝b 时“＝”成立．[能力提升]7．(多选)有下列式子，正确的有( )A ．a 2＋1＞2aB ．⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2 C.a ＋bab ≥2 D ．x 2＋1x 2＋1≥1解析 ∵a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2a ，故A 不正确；对于B ，当x ＞0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x ＜0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x ＝－1时取“＝”)，∴B 正确；对于C ，若a ＝b ＝－1，则a ＋bab ＝－2＜2，故C 不正确；对于D ，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故D 正确．答案 BD8．(2022·佳木斯模拟)已知a >0，b >0，a 2＋b 2－ab ＝4，下列不等式正确的个数有() ①1a ＋1b ≥1，②ab ≤4，③a ＋b ≤4，④a 2＋b 2≤8.A ．1B ．2C ．3D ．4解析因为a >0，b >0，a 2＋b 2－ab ＝4，所以a 2＋b 2＝ab ＋4≥2ab ，得ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，②正确；由1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，①正确；由a 2＋b 2－ab ＝4，得()a ＋b 2＝3ab ＋4≤34()a ＋b 2＋4，所以a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，③正确；a 2＋b 2＝ab ＋4≤4＋4＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，④正确．故选D.答案 D9．已知a ＞b ＞c ，则 (a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析 ∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c 2. 答案 (a －b )(b －c )≤a －c 210．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b 2≥ab ，b ＋c 2≥bc ，c ＋a 2≥ca ， ∴a ＋b 2＋b ＋c 2＋c ＋a 2≥ab ＋bc ＋ca ，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 不全相等，∴等号不成立，∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .[探索创新]11．已知a ，b 都是正数，求证： 21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 证明 ∵1a ＋1b≥21ab ， ∴11a ＋1b ≤121ab ，即21a ＋1b ≤ab . 又∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋a 2＋b 2＋b 24＝a 2＋b 22， ∴a ＋b 2≤ a 2＋b 22. 又由基本不等式得a ＋b 2≥ab ，故21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．。

2.4.3 基本不等式及其应用(含答案)

【课堂例题】例1.用长为4a 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样才能使所围矩形菜园的面积最大？例2.用篱笆围一个面积为218m 的矩形菜园，如果一边借用已有的一堵墙，则篱笆至少要多少米？例3.某新建居民小区欲建一面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？(结果精确到0.1米)例4.某工厂建造一个无盖的长方体水池，其容积为34800m ，深度为3m ，如果池底每21m的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？43绿地【基础训练】1.(1)把36写成两个正数的积，要求这两个正数的和最小，那么36= .(2)把18写成两个正数的和，要求这两个正数的积最大，那么18= .2.用一根长为L 的铁丝制成一个矩形框架，框架的面积最大值为 .3.斜边长为10的直角三角形，面积最大值为 .4.某种产品的生产者准备对该产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价%p ，第二次提价%q ；方案乙：第一次提价%q ，第二次提价%p ；方案丙：第一次提价%2p q +，第二次提价%2p q +. 其中0p q >>，则上述总提价从小到大排列正确的是（）(A)甲<乙<丙; (B)甲=乙<丙; (C)丙<甲=乙; (D)由,p q 的具体数值确定.5.某汽车公司购买了一批客车投入营运，每辆客车营运的总利润y (单位10万元)与营运年数x *()x N ∈为二次函数关系如图，则每辆客车营运( )年时，其营运的年平均利润最大. (A)3; (B)4; (C)5; (D)6.6.建造一个容积为8造价每平方米分别为7.如图，一份印刷品的排版面积(虚线矩形面积)为18，它的两边都留有宽为1的空白，顶部和底部都留有宽为2的空白.如何选择纸张的尺寸注，才能使纸的用量最少？注：纸张的尺寸一般用m n 表示.【巩固提高】8.如图，制作一个木质窗框，如果可供使用的材料是l 米，求该木质窗框的最大面积.(结果用l 表示，忽略木料本身宽度).12129.经过长期观察测得：在交通繁忙时期，某公段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的关系为2920(0)31600v y v v v =>++ (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到0.1千辆/时)(2)若要求该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？提示：分子分母同除以v 后再处理.(选做)10.(1)用实验的方法比较三个正数,,a b c 的算术平均数3a b c++和(也可以证明)(2)利用(1)，尝试解决《数学》高一年级第一学期46P 课题一所提出的问题.【温故知新】 11.4{|,,0}A y y x x R x x ==+∈≠，则与A 相等的集合是( ).(A) (,4][4,)-∞-+∞; (B) [4,)+∞； (C) (,2][2,)-∞-+∞； (D) [2,)+∞.【课堂例题答案】例1.围成正方形时面积最大.例2.至少需要篱笆12米.例3.绿地长与宽分别为30.6米与22.9米时，人行道所占没面积最小.例4.底面为边长40米的正方形时，总造价最低，总造价为297600元.【习题答案】1.(1)66⨯; (2)99+.2.216L . 3.50.4.B 提示：22(1%)(1%)%%(1%)(1%)(1%)(1%)[](1)22p q p q p q q p ++++++=++<=+ 5.C 提示：2525()1210122(,5)y x x x x x x=-++≤-+=== 6.1760元.7.大小为105⨯规格. 8.248l . 9.(1)当汽车的平均速度v 为40千米/时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时；(2)汽车的平均速度应在(25,64)内.10.(1),,,3a b c a b c R +++∈≥，当且仅当a b c ==时等号成立 (2)227提示：3(4)(12)(12)2(1233x x x x +-+--==322(12)(12))327V x x x ∴=--≤= 11.A。

高考数学专题《基本不等式及其应用》习题含答案解析

专题2.2 基本不等式及其应用1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=的（） AB C D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=， =≤3a c =. 故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案. 【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，练基础反过来，若16ab ≤，则2ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2ab a b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+ ，则ABC 的三个内角大小为（） A ．60A B C === B ．90,45A B C === C ．120,30A B C === D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C ==. 【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）. 而ABC 的面积是1sin 2S bc A =, 所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒. 又因为b=c ，所以90,45A B C ===. 故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，故选：D5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。

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基本不等式及其应用1．基本不等式若a>0,，b>0，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定）(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式(1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )．2a b+()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和2ba +≥ab 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2b a +）2.(3)ab≤22⎪⎭⎫⎝⎛+ba(a，b∈R)．(4)ba＋ab≥2(a，b同号且不为0)．(5)22⎪⎭⎫⎝⎛+ba≤a2＋b22(a，b∈R).（6）baabbaba1122222+≥≥+≥+()0,>ba(7)abc≤a3＋b3＋c33;(),,0a b c>(8)a＋b＋c3≥3abc；(),,0a b c>3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥.(2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( )解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )＜v＜ab＝ab＜v＜a＋b2＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＞a2－a2a＋b＝0，∴v＞a.故选A.(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥22，当且仅当x ＝±42时等号成立.故填22.点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是________.解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4m＋5≥2m·4m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故y min＝9.又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )>lg x(x>0) ＋1sin x≥2(x≠kπ，k∈Z)＋1≥2||x(x∈R) >1(x∈R)解：A中，x2＋14≥x(x＞0)，当x＝12时，x2＋14＝x.B中，sin x＋1sin x≥2(sin x∈(0，1])；sin x＋1sin x≤－2(sin x∈[－1，0)).C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R).D中，1x2＋1∈(0，1](x∈R).故C一定成立，故选C.点拨：这里(1)是形如f(x)＝ax2＋bx＋cx＋d的最值问题，只要分母x＋d＞0，都可以将f(x)转化为f(x)＝a(x＋d)＋ex＋d＋h(这里ae＞0；若ae＜0，可以直接利用单调性等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t＞0，则函数f(t)＝t2－4t＋1t的最小值为.解：∵t＞0，∴f(t)＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2，故填－2.(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(Ⅰ)xy的最小值；(Ⅱ)x＋y的最小值.解：(Ⅰ)由2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，又x＞0，y＞0，则1＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立.(Ⅱ)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝8yy－2，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋8yy－2＝(y－2)＋16y－2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立. 解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22xy·8yx＝18，当且仅当y＝6，x ＝12时等号成立.类型二利用基本不等式求有关参数范围若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )∈M ，0∈M ∉M ，0∉M ∈M ，0∉M ∉M ，0∈M解法一：求出不等式的解集：(1＋k 2)x ≤k 4＋4⇒x ≤k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2⇒x ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k 2＋1）＋5k 2＋1－2min ＝25－2(当且仅当k 2＝5－1时取等号). 解法二(代入法)：将x ＝2，x ＝0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R .故选A. 点拨：一般地，对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题，对于“恒成立”的不等式，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外，要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题：(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；(3)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min； (4)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max.已知函数f(x)＝e x＋e－x，其中e 是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由条件知m(e x＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立.令t＝e x(x＞0)，则t＞1，且m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋1对任意t＞1成立.∵t－1＋1t－1＋1≥2（t－1）·1t－1＋1＝3，∴－1t－1＋1t－1＋1≥－13，当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13.类型三利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝360 x，所以y＝225x＋3602x－360(x≥2).(2)∵x≥0，∴225x＋3602x≥2225×3602＝10800，∴y＝225x＋3602x－360≥10440，当且仅当225x＝3602x，即x＝24时等号成立.答：当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔排出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知排出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2，问a，b各为多少m时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计).解法一：设y为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y＝kab，其中k是比例系数且k＞0.依题意要使y最小，只需ab最大.由题设得：4b＋2ab＋2a≤60(a＞0，b＞0)，即a＋2b≤30－ab(a＞0，b＞0).∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30，得0＜ab≤32.当且仅当a＝2b时取“＝”号，ab最大值为18，此时得a＝6，b＝3.故当a＝6 m，b＝3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二：同解法一得b≤30－aa＋2，代入y＝kab求解.1.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( ) ＜1＜a 2＋b 22＜1≤a 2＋b 22＜ab ＜a 2＋b 22≤a 2＋b 22≤1解：运用不等式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝5－4x ＋x 22－x 在(－∞，2)上的最小值是( )解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x＋(2－x )≥2·12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当12－x＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )元元元元解：假设底面的长、宽分别为x m ，4xm ，由条件知该容器的最低总造价为y＝80＋20x ＋80x≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( ) A.若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2b a ·a b＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y C.若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C 错；对于D ，若x ≤0，则2x＋2－x≥22x ·2－x＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) ＋2 3 ＋23 ＋4 3＋43解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎨⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab时取等号.故选D.7.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是.解：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥15.8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10(P 在以AB 为直径的圆上). 所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2＋|PB |2)＝5.当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立.故填5. 9.(1)已知0＜x ＜43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值. 解：(1)已知0＜x ＜43，∴0＜3x ＜4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时“＝”成立.∴当x ＝23时，x (4－3x )取最大值为43.(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，所以x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝223＝42.当且仅当⎩⎨⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时“＝”成立.∴当x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 取最小值为42.10.已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值. 解：∵a ＞0，b ＞0，2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab.且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18，∴S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab ＋4ab －1≤2－12.当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立. 11.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小解：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件，知4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼的面积为S ，则S ＝xy.解法一：由于2x ＋3y ≥22x ×3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272. 当且仅当2x ＝3y 时等号成立. 由⎩⎨⎧2x ＝3y ，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝，y ＝3.故每间虎笼长为 m ，宽为3 m 时，可使每间虎笼面积最大. 解法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y.∵x ＞0，∴0＜y ＜6.S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )y.∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝. 故每间虎笼长 m ，宽3 m 时，可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y.解法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立. 由⎩⎨⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小. 解法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y×y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长度最小.。

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