3-1 容斥原理

AU B = A + B − AI B .
AU B UC = A + B + C − AI B − B IC − C I A + AI BIC . 规律1： 个集合取 个集合取1,2,…n个做交集 所有可能 ； 个做交集(所有可能 规律 ：n个集合取 个做交集 所有可能)； 规律2：正负号交叉出现。 规律 ：正负号交叉出现。
第三章
容斥原理与鸽巢原理
3.1 容斥原理 3.2 鸽巢原理
3.1 容斥原理
1. 容斥原理 2. 有禁区的排列 3. 广义容斥原理
1. 容斥原理
已学过的：如加法法则，母函数方法等； 已学过的：如加法法则，母函数方法等； 两个计数原理：容斥原理和 计数定理。 两个计数原理：容斥原理和Polya计数定理。 计数定理 求不超过20的正整数中 的正整数中2或 的倍数的个数 的倍数的个数。 例1 求不超过 的正整数中 或3的倍数的个数。 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。 的倍数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 的倍数 共10个； 个 3的倍数是：3，6，9，12，15，18。共6个； 的倍数是： ， ， ， ， ， 。 的倍数是 个 答案是10+6=16个吗？ 个吗？ 答案是 个吗 因为6， ， 在两类中重复计数 应减去， 在两类中重复计数， 否！因为 ，12，18在两类中重复计数，应减去， 故答案是： 故答案是：16-3=13。 。
对于求两个有限集合A和 的并 的元素数目： 的并集 对于求两个有限集合 和B的并集的元素数目： 定理1 定理
AU B = A + B − AI B .
即具有性质A或 的元素的个数等于具有性质 的元素的个数等于具有性质A的元 即具有性质 或B的元素的个数等于具有性质 的元 素个数和具有性质B的元素个数的和，减去同时具 素个数和具有性质 的元素个数的和， 的元素个数的和 有性质A和 的元素个数 的元素个数。 有性质 和B的元素个数。
i =1 j > i k > j
n
所以有： 又因为 A = U − A , 所以有：
A1 I A2 I ... I An = U − A1 U A2 UL U An = U − ∑ Ai + ∑ ∑ Ai I A j - ∑ ∑ ∑ Ai I A j I Ak
i =1 i =1 j > i i= 1 j>i k > j n n n
= A + B + C − AI B − B IC − C I A + AI BIC
= 170 + 130 + 120 − 45 − 22 − 20 + 3 = 336. 即学校共有336名学生。 名学生。 即学校共有 名学生
类似的，对于四个集合有： 类似的，对于四个集合有：
AU B UC U D = A + B + C + D − AI B − AIC − AI D − B IC − B I D − C I D + AI B IC + AI B I D + AIC I D + B IC I D − AI B IC I D .
A I A I A = 0, 1 3 4 A I A I A = 0, 1 4 5 A I A I A = 0, 2 3 5 A I A I A = 17!, 3 4 5
因此满足条件的排列数为： 因此满足条件的排列数为：
A1 I A2 I A3 I A4 I A5
= 26!− 3⋅ 24!− 2⋅ 22!+ 22!+ 4⋅ 20!+ 19!−17!.
类似有： 类似有：|A2∩A3|=0，|A2∩A4|=20!， |A2∩A5|=20!， ， ， ， |A3∩A4|=20!， |A3∩A5|=20!， |A4∩A5|=19!。 ， ， 。 A I A I A = 0, A I A I A = 0, 1 2 3 1 2 4
A I A I A = 0, 1 2 5 A I A I A = 0, 1 3 5 A I A I A = 0, 2 3 4 A I A I A = 0, 2 4 5
+ L + (−1) n A1 I A2 IL I An .
这两个公式就是容斥原理，分别针对并集和交集。 这两个公式就是容斥原理，分别针对并集和交集。 并集
求从1到 的整数中能被3或 除尽的数的个数 除尽的数的个数。 例3 求从 到500的整数中能被 或5除尽的数的个数。 的整数中能被 分别表示1到 的整数中能被3、 除尽的数 令A、B分别表示 到500的整数中能被 、5除尽的数 、 分别表示 的整数中能被 的集合， 的集合，则
AI B IC = U − A − B − C + AI B + B IC + A I C − A I B I C = 871.
求由abcd这4个字符构成的 位符号串中，a、b、 个字符构成的n位符号串中 例6 求由 这 个字符构成的 位符号串中， c都至少出现一次的数目。 都至少出现一次的数目。 都至少出现一次的数目 分别表示不出现a、 、 的符号串的集合 的符号串的集合。 令A、B、C分别表示不出现 、b、c的符号串的集合。 分别表示不出现 A中不出现 ，即符号串的每一位只能取 之一， 中不出现a，即符号串的每一位只能取bcd之一 之一， 中不出现 有三种选择，因此|A|=3n。 有三种选择，因此 类似有|B|=|C|= 3n ， |A∩B|=|B∩C|=|A∩C|= 2n，|A∩B 类似有 ∩C |= 1n=1，|U|= 4n。 ， 因此满足条件的符号串的数目为： 因此满足条件的符号串的数目为：
对于一般的n个有限集合： 对于一般的 个有限集合： 个有限集合 n n 定理3 A1 U A2 UL U A n = ∑ Ai − ∑ ∑ A i I A j 定理
i =1 i =1 j > i
+ ∑ ∑ ∑ A i I A j I Ak − L + (−1) n −1 A1 I A2 IL I An .
A∩B A B
U
定理2 定理 A U B U C = A + B + C
− AI B − BIC − C I A + AI BIC .
A∩B A A∩C A∩B ∩C C B
U
B∩C
一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。 已知修这三门课的学生分别有170、130、120人； 已知修这三门课的学生分别有 、 、 人 同时修数学、物理的学生45人 同时修数学、 同时修数学、物理的学生 人；同时修数学、化学 的20人；同时修物理、化学的 人；同时修三门的 人 同时修物理、化学的22人 3人。假设每个学生至少修一门课，问这学校共有 人 假设每个学生至少修一门课， 多少学生？ 多少学生？ 分别为修数学、 令A、B、C分别为修数学、物理、化学的学生集合。 、 、 分别为修数学 物理、化学的学生集合。 AU B UC
AI B = U − A − B + AI B
= 6!− 4!− 5!+ 3! = 582.
例5 求4个x，3个y，2个z组成的全排列中不允许出现 个 ， 个 ， 个 组成的全排列中不允许出现 xxxx，yyy和zz图象的排列数。 图象的排列数。 ， 和 图象的排列数 表示出现xxxx、yyy、zz图象的排列的集合。 图象的排列的集合。 令ABC表示出现 表示出现 、 、 图象的排列的集合 A中的排列是把 中的排列是把xxxx作为一个元素参加排列，注意 作为一个元素参加排列， 中的排列是把 作为一个元素参加排列 有3个y和2个z，因此 个 和 个 ，因此|A|=6!/(3!2!)=60。 。 类似有|B|=7!/(4!2!)=105， |C|=8!/(4!3!)=280， 类似有 ， ， |A∩B|=4!/2!=12，|B∩C|=6!/4!=30，|A∩C|=5!/3!=20, ， ， |A∩B ∩C |=3!=6，|U|=9!/(4!3!2!)=1260。 ， 。 因此满足条件的排列数为： 因此满足条件的排列数为：
500 A = = 166, 3 500 AI B = = 33, 15
500 B = = 100, 5
因此能被3或5除尽的数的个数为： 因此能被 或 除尽的数的个数为： 除尽的数的个数为
AU B = A + B − AI B = 166 + 100 − 33 = 233.
AI B IC = U − A − B − C + AI B + B IC + AIC − AI B IC n n n = 4 − 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 − 1.
个英文字母作不允许重复的全排列， 例7 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求 个英文字母作不允许重复的全排列 排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求 字样的出现， 排除 ， ， ， ， 字样的出现 满足这些条件的排列数。 满足这些条件的排列数。 令Ai (i=1,2,3,4,5)分别表示出现以上五个单词之一的 分别表示出现以上五个单词之一的 排列的集合。 排列的集合。 A1中的集合是把 中的集合是把dog作为一个元素参加排列，因此 作为一个元素参加排列， 作为一个元素参加排列 有|A1|=24!。 。 类似有： 类似有：|A2|=|A3|=24!， |A4|=|A5|=22! 。 ， 由于dog和god不能同时出现，所以 1∩A2|=0。 不能同时出现， 由于 和 不能同时出现 所以|A 。 由于dog和gum可以以 可以以dogum的方式出现，所以有 的方式出现， 由于 和 可以以 的方式出现 |A1∩A3|=22!。 。 类似有： ， 。 类似有：|A1∩A4|=0， |A1∩A5|=0。
因此小于n且与 互素的正整数的个数为 因此小于 且与n互素的正整数的个数为： 且与 互素的正整数的个数为： n n n n= 1 ψ( ) A I A2 I ... I Ak = n − + + ... + pk p1 p2 n n n k + +L+ −⋅⋅⋅ + (−1) pn−1 pn p1 ⋅⋅⋅ pk p1 p2 1 1 1 = n 1− 1− ⋅⋅⋅ 1− . p1 p2 pk 例如60=22×3×5，所以 例如 × ，