【全国百强校】高考总复习精品课件45空间点_直线_平面之间的位置关系-推荐
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高中数学总复习：空间点、直线、平面之间的位置关系
练后悟通
共面、共线、共点问题的证明方法
目录
高中总复习·数学（提升版）
空间两条直线的位置关系
考向1 空间两条直线位置关系的判断
【例1】 （1）已知α，β，γ是三个平面，α∩β＝ a ，α∩γ＝ b ，β∩γ
＝ c ，且 a ∩ b ＝ O ，则下列结论正确的是（
）
A. 直线 b 与直线 c 可能是异面直线
1， F 四点共面.
目录
高中总复习·数学（提升版）
（2） CE ， D 1 F ， DA 三线共点；
证明：∵ EF ∥ CD 1， EF ＜ CD 1，
∴ CE 与 D 1 F 必相交，
设交点为 P ，如图所示.
则由 P ∈ CE ， CE ⊂平面 ABCD ，
得 P ∈平面 ABCD .
同理 P ∈平面 ADD 1 A 1.
D. 没有公共点
解析： 直线 m 与平面α平行，且直线 a ⊂α，则直线 m 和直线 a 的
位置关系可能平行，可能异面，即没有公共点，但不可能相交，故
选C.
目录
高中总复习·数学（提升版）
2. 如果直线 a ⊂平面α，直线 b ⊂平面β，且α∥β，则 a 与 b （
）
高中总复习·数学（提升版）
2. 在三棱锥 A - BCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 上分别取 E ， F ， G ， H
四点，如果 EF ∩ HG ＝ P ，则点 P （
）
A. 一定在直线 BD 上
B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上
D. 不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上
）
目录
高中总复习·数学（提升版）
空间点、直线、平面之间的位置关系新高考数学自主复习ppt
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
【解析】如图，连接BC1，与B1C交于O点，取CD的中点N，连接ON，NB. 则ON∥DB1，AD1∥BC1. ∴ON与OB所成角即为异面直线AD1与DB1所成角． 在长方体中，B1D＝
【答案】C
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
7．[课标全国Ⅱ2017·10]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
【解析】只有B1C1与EF在同一平面内，是相交 的，而选项A，B，C中的直线与EF都是异面直 线，故选D.
【答案】D
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
4．[黑龙江大庆2020届教学质量检测]设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列 命题错误的是( )
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若n⊥α，n∥m，则m⊥α C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
【答案】C
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点2 空间点、线、面位置关系的判定
3．[陕西西安2019质量检测]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中 点，则下列直线中与直线EF相交的是( )
A．直线AA1 C．直线A1D1
B．直线A1B1 D．直线B1C1
第9章 立体几何
目录
第1节 空间几何体的结构特征、表面积与体积 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 第3节 直线、平面平行的判定及其性质 第4节 直线、平面垂直的判定及其性质 第5节 空间向量、空间角与距离 专题4 空间向量的应用
第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT
a
A
记为：a=A
33
直线与平面
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
21
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
22
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
第二章
点、直线、平面之 间的位置关系
1
2.1 点、直线、平面 之间的位置关系
2
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
3
2.1.1 平 面
4
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
23
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
A /A C /C ,•A /A /B B
C
C
A
B
A
B
C
A
B
C
B
A
等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同，那么这两个角相等.
高三数学精品课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
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考点二 空间两条直线的位置关系(基础考点——自主探究)
自主演练
3．在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱 的图中①点中，，直则线表G示H直∥线MNG；H图，②M中N，是G，异H面，直N线三的点图共面形，的但是 _M__∉②_平_④_面___G_H．N(，填因序此号直)．线 GH 与 MN 异面；图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面；图④中，G，M， N 共面，但 H∉平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面．所以在 图②④中，GH 与 MN 异面．
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
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[主干知识·自主梳理]
小题纠偏
重温教材 自查自纠
1．已知直线 a 和平面 α，β，α∩β ＝l，a⊄α，a⊄β，且 a 在 α，β 内的 射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( D ) A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面
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[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
1．四条线段顺次首尾相连，它们
最多可确定的平面个数有( A )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
首尾相连的四条线段 每相邻两条确定一个 平面，所以最多可以 确定四个平面．
[主干知识·自主梳理] [考点分类·深度剖析] 课时作业
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[主干知识·自主梳理]
重温教材 自查自纠
2．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系
高中数学高考45第八章 立体几何 8 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
例2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平 面β的交线，则下列命题正确的是 A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交
√D.l至少与l1，l2中的一条相交
解析 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相 交.故选D.
的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 .
2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
平行 直线 共面直线
相交直线 异面直线：不同在 任何 一个平面内，没有公共点
(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 把a′与b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围： 0，π2. .
√D.点C和点M
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上.
123456
6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面的对数为_3_.
解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则AB，CD，EF和GH在原正方体中， 显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线， 而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行. 故互为异面的直线有且只有3对.
解 ∵BE∥AF 且 BE＝12AF，G 为 FA 的中点， ∴BE∥FG且BE＝FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH. ∴EF∥CH，∴EF与CH共面. 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
返 首 页
41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返 首 页
5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返 首 页
后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
返 首 页
25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
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43
1.下列结论中正确的是 ( )
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》33PPT课件
两种：平行和相交
思考讨论
①怎么样两个平面平行 ②两个平面平行的画法 ③什么叫做两个平面相交
①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四 边形的对应边平行。
③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通 过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是 公共点的集合，这就是公理3.用符号语言表示为：P∈Α 且P∈ΒΑ∩Β=L,且P∈L.
复习旧知
1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系： ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点.
Hale Waihona Puke 讲授新知观察长方体（图1），围成长方体ABCD— A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种 ？
平面与平面之间的 位置关系
学习目标
（1）了解空间中平面与平面的位置关系； （2）培养学生的空间想象能力. （3）学生通过观察与类比加深了对这些位 置关系的理解、掌握； （4）让学生利用已有的知识与经验归纳整 理本节所学知识.
重难点
1.了解空间两个平面的位置关系。 2.会判断两个平面的位置关系。 3.空间中三个平面之间的位置关系。
重难点
本节主要学习平面与平面的位置关系，平面与 平面的位置关系有两种：
①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难 点.
重难点
作业布置： P56 习题2.1A组 4（4）（5）（6）
重难点
本节内容较少，与上一节课一样,教材没有 讨论面面平行的判定和性质，只介绍了平面与 平面的位置关系.平面与平面的位置关系是立体 几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明 ，却正好发挥我们的空间想象能力和发散思维 能力.
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
，，，分别为棱 ， ，，的中点，
所以// ，//，则//，所以，，
，四点共面.
（2），， 相交于一点.
【证明】 因为 ≠ ，所以 ≠ ，所以为梯形，则与
必相交.设 ∩ = ，因为 ⊂ 平面 ，所以 ∈ 平面
解析：选D.如图所示，在长方体中，, 与都异面，但
是// ,所以A，B错误；, 与都异面，且, 也异
面，所以C错误;, 与都异面，与 相交.故选D.
)
③
2.已知,是两条直线, , 是两个平面，则下列说法中正确的为____.
（填序号）
①若平行于平面 内的无数条直线，则// ;
个数的所有可能值是(
A.1
B.2
)
C.0或1
√
D.无数
解析：选C.若点与直线构成的平面与直线平行，则过且与，都
平行的平面个数为0；
若点与直线构成的平面与直线平行，则过且与，都平行的平面
个数为0；
若过点与直线构成的平面不与直线平行，或过点与直线构成的平
面不与直线平行，则过点且与，都平行的平面个数为1.故选C.
2025届高考数学一轮复习讲义
立体几何与空间向量之
空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面
（1）四个基本事实
不在一条直线上
基本事实1：过①________________的三个点，有且只有一个平面.
两个点
基本事实2：如果一条直线上的②________在一个平面内，那么这条直线
在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有
两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直.
（3）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角⑫.
所以// ，//，则//，所以，，
，四点共面.
（2），， 相交于一点.
【证明】 因为 ≠ ，所以 ≠ ，所以为梯形，则与
必相交.设 ∩ = ，因为 ⊂ 平面 ，所以 ∈ 平面
解析：选D.如图所示，在长方体中，, 与都异面，但
是// ,所以A，B错误；, 与都异面，且, 也异
面，所以C错误;, 与都异面，与 相交.故选D.
)
③
2.已知,是两条直线, , 是两个平面，则下列说法中正确的为____.
（填序号）
①若平行于平面 内的无数条直线，则// ;
个数的所有可能值是(
A.1
B.2
)
C.0或1
√
D.无数
解析：选C.若点与直线构成的平面与直线平行，则过且与，都
平行的平面个数为0；
若点与直线构成的平面与直线平行，则过且与，都平行的平面
个数为0；
若过点与直线构成的平面不与直线平行，或过点与直线构成的平
面不与直线平行，则过点且与，都平行的平面个数为1.故选C.
2025届高考数学一轮复习讲义
立体几何与空间向量之
空间点、直线、平面之间的位置关系
1.平面
（1）四个基本事实
不在一条直线上
基本事实1：过①________________的三个点，有且只有一个平面.
两个点
基本事实2：如果一条直线上的②________在一个平面内，那么这条直线
在这个平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有
两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直.
（3）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角⑫.
高考数学考点回归总复习《第四十五讲 空间点 直线 平面之间的位置关系》课件 新人教版
考点陪练
1.下列命题中正确的是( A.三点确定一个平面
)
B.两条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内
解析:A、B、C均不满足公理2及其推论,故D正确.
答案:D
2.若A表示点,a表示直线,α、β表示平面,则下列表述中,错误 的是( )
A.a⊂α,A∈a⇒A∈α
4.平面与平面的位置关系有两种
平行 无公共点 相交 有一条公共直线
注意:符合语言:(1)点与线:A∈l,A∉l. (2)点与面:A∈α,A∉α.
(3)线与线:l1∥l2,l1∩l2=O,l1与l2异面.
(4)线与面:l⊂α,l⊄α(l∩α=A,或l∥α). (5)面与面:α∥β,α∩β=l.
使CG=2DC,连接HG与EF交于一点,延长DC. 连接D′F必与DC延长线相交,延长D′A′,连接DE必与D′A′延长 线相交.
连接A′C与EF交于EF中点,故选D.
答案:D
5.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共 有( )
①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直
线不可能共面;④其中必有两条在同一平面内 A.4个 C.2个 B.3个 D.1个
(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平 面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面 或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.
【典例1】 已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F分别为 D1C1､C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D､B､F､E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P､Q､R三点共线.
【全国百强校】高考总复习精品课件45空间点_直线_平面之间的位置关系-精编
因此,三条直线DA､CE､D1F交于一点.
共 50 页
28
[反思感悟] 设直线DA与直线D1F交于点M,直线DA与直线 CE交于M′,再证明M,M′重合.
证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于 一点N,再想法证明M,N两点重合.另一种方法是:先证明其 中两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上.如本 题可先说明直线CE和直线D1F共面且交于一点P,而点P既 在平面AD1内,也在平面AC内,所以点P在它们的交线AD上.
共 50 页
29
类型三
线共面问题
解题准备:证明共面问题的常用方法
证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是 首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证 明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几 个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.
共 50 页
30
38
在△EFG中EG2+EF2=1=GF2, ∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角为90°.
共 50 页
39
[反思感悟] 立体几何中,计算问题的一般步骤:(1)作图;(2)证 明;(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平 移的解法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计 算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
25
类型二
线共点问题
解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交 于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为 证明三点共线.
共 50 页
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【典例2】 如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F 分别为棱AB,AA1的中点.
共 50 页
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[反思感悟] 设直线DA与直线D1F交于点M,直线DA与直线 CE交于M′,再证明M,M′重合.
证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于 一点N,再想法证明M,N两点重合.另一种方法是:先证明其 中两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上.如本 题可先说明直线CE和直线D1F共面且交于一点P,而点P既 在平面AD1内,也在平面AC内,所以点P在它们的交线AD上.
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类型三
线共面问题
解题准备:证明共面问题的常用方法
证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是 首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证 明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几 个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.
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在△EFG中EG2+EF2=1=GF2, ∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角为90°.
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[反思感悟] 立体几何中,计算问题的一般步骤:(1)作图;(2)证 明;(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平 移的解法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计 算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
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类型二
线共点问题
解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交 于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为 证明三点共线.
共 50 页
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【典例2】 如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F 分别为棱AB,AA1的中点.
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》808PPT课件
求证： b//
a
b
提示：过a作辅助平面，
且 c
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b，a //, a，b ,
求证： b//
证明：过a作平面，且
a // 性质定理
c
a
b
a a // c b // c
c
c
一条直线和一个平面平行，则过这条直线
的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
l //
β
l
l
l // m
m
m
α
简记为：“线面平行，则线线平行”
找平面与平面的交线。
例2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面，求证：另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b，a //, a，b ,
复习回顾：
相交 共面
1.直线与直线的位置关系有
平行
异面
2.直线与平面平行的判定方法： ⑴定义法；
⑵判定定理．
直线与平面平行的判定定理：
如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，
a 那么这条直线和这个平面平行.
图形
α
b
符号语言: 若a ,b ,a // b，则a //
作用： 判定直线与平面平行的重要依据。
a // b b b //
c
线面平行 线线平行 线面平判行定定理
典型例题：练习册P52例1、例2 跟踪训练：练习册P52变式训练1
课堂小结：
1．直线与平面平行的性质定理
a∥b．
a
b 性质定理的运用．
2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法： ⑴判定定理．线线平行 线面平行 ⑵性质定理．线面平行 线线平行
2024高考数学基础知识综合复习第20讲空间点直线平面之间的位置关系课件
ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1.
因为在正方形A1ADD1中,AD1⊥A1D,所以BC1⊥A1D,故A错误;
因为AD1∥BC1,AD1⊂平面A1ADD1,BC1⊄平面A1ADD1,所以BC1∥平面
A1ADD1,故B正确;
因为AD1∥BC1,AD1与B1D1相交,在等边三角形AB1D1中,∠AD1B1不为直角,所
α互相垂直
l⊥α
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,
它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的
一边垂直
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
符号
语言
图形
语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线垂直,那么该直线与
此平面垂直
符号语言 a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α
图形语言
(2)面面平行的性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交
文字语言
线平行
符号语言 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒)直线与平面垂直的概念
定义
记法
有关
概念
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面
∵AC⊂平面 ACD,EF⊄平面 ACD,∴EF∥平面 ACD,故 A 正确.
由正方体性质可得 AC⊥BD,故 B 正确.
∵E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,AD 的中点,EF∥AC 且
1
GH=2AC,
1
EF=2AC,GH∥AC
且
∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形 EFGH 是平行四边形,故 E,F,G,H 四点共面,故
因为在正方形A1ADD1中,AD1⊥A1D,所以BC1⊥A1D,故A错误;
因为AD1∥BC1,AD1⊂平面A1ADD1,BC1⊄平面A1ADD1,所以BC1∥平面
A1ADD1,故B正确;
因为AD1∥BC1,AD1与B1D1相交,在等边三角形AB1D1中,∠AD1B1不为直角,所
α互相垂直
l⊥α
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,
它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的
一边垂直
(2)直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
符号
语言
图形
语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线垂直,那么该直线与
此平面垂直
符号语言 a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α
图形语言
(2)面面平行的性质定理
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交
文字语言
线平行
符号语言 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒)直线与平面垂直的概念
定义
记法
有关
概念
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面
∵AC⊂平面 ACD,EF⊄平面 ACD,∴EF∥平面 ACD,故 A 正确.
由正方体性质可得 AC⊥BD,故 B 正确.
∵E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,AD 的中点,EF∥AC 且
1
GH=2AC,
1
EF=2AC,GH∥AC
且
∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形 EFGH 是平行四边形,故 E,F,G,H 四点共面,故
高考数学 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件
证明：(1)分别连接 EF、A1B、D1C. ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点，
∴EF 綊12A1B.
又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC，
∴四边形 A1D1CB 为平行四边形， ∴A1B∥CD1，从而 EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面， ∴E、F、D1、C 四点共面．
第二十三页，共41页。
解析(jiě xī)：由题意EF⊂平面ABC，M∈EF，故M∈平面ABC，同理M∈平面ACD，由 公理3，M必在平面ABC和平面ACD的交线AC上，故选A.
第九页，共41页。
4．如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为________．
第3节 空间点、直线、平面之间的位置(wèi zhi)关系
第一页，共41页。
(对应(duìyìng)学生用书第98页)
3．理解两条异面直线(zhíxiàn)所成角、 直线(zhíxiàn)与平面所成角、二面角的 概念． 4．能证明一些空间位置关系的简单命 题．
第二页，共41页。
(对应学生(xuésheng)用书第98～99页) 1．平面的基本性质及公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线 在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过该点的公共直线．
(1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，可得 GH 綊12AD. 又 BC 綊12AD， ∴GH 綊 BC， ∴四边形 BCHG 为平行四边形．
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》100PPT课件
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
问位置关系？空间两直线有哪几 种位置关系？
2.就空间点、线、面位置关系而言， 还有哪几种类型有待分析？
复习： 空间中直线与平面有三种位置关系
（1）直线在平面内---有无数个公共 点；
（2）直线与平面相交---有且只有一个 公共点；
直线.
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系：
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共
C′ B′
C
A
B
思考3：由上面的观察和分析可知，两 个平面的位置关系只有两种，即两个平 面平行，两个平面相交.这两种位置关 系的基本特征是什么？
（1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线.
思考4:下图表示两平面之间的两种位置， 如何用符号语言描述这两种位置关系？
β α
//
l
I l
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
（3）直线与平面平行---没有公共点.
a α
a
a
a
.P
α
α
问位置关系？空间两直线有哪几 种位置关系？
2.就空间点、线、面位置关系而言， 还有哪几种类型有待分析？
复习： 空间中直线与平面有三种位置关系
（1）直线在平面内---有无数个公共 点；
（2）直线与平面相交---有且只有一个 公共点；
直线.
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系：
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
二、两个平面之间有两种位置关系： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有且只有一条公共
C′ B′
C
A
B
思考3：由上面的观察和分析可知，两 个平面的位置关系只有两种，即两个平 面平行，两个平面相交.这两种位置关 系的基本特征是什么？
（1）两个平面平行---没有公共点； （2）两个平面相交---有一条公共直线.
思考4:下图表示两平面之间的两种位置， 如何用符号语言描述这两种位置关系？
β α
//
l
I l
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
课堂小结
一、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个
（3）直线与平面平行---没有公共点.
a α
a
a
a
.P
α
α
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答案:D
共 50 页
18
5.三条直线两两垂直,那么在下列四个结论中,正确的结论共 有( )
①这三条直线必共点;②其中必有两条是异面直线;③三条直 线不可能共面;④其中必有两条在同一平面内
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
共 50 页
19
解析:(1)三条直线两两垂直时,它们可能共点(如正方体同一个 顶点上的三条棱),也可能不共点(如正方体ABCD— A1B1C1D1中的棱AA1,AB,BC),故结论①不正确,也说明必 有结论②不正确;如果三条直线在同一个平面内,根据平面 几何中的垂直于同一条直线的两条直线平行,就导出了其 中两条直线既平行又垂直的矛盾结论,故三条直线不可能 在同一个平面内,结论③正确;
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34
类型四
异面直线所成的角
解题准备:1.求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平 移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时 平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:①直线平移, ②中位线平移,③补形平移.
2.求异面直线所成的角的一般步骤:一作:即据定义作平行线, 作出异面直线所成的角;二证:即证明作出的角是异面直线 所成的角;三求:在三角形中求得直线所成的角的某个三角 函数值.
∴直线d和A确定一个平面α.(如右图)
又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,
则A,E,F,G∈α,∵A,E∈α,A,E∈a,∴a∈α.
同理可证b⊂α,c⊂α,
∴a,b,c,d在同一平面α内.
共 50 页
32
(2)当四条直线中任何三条都不共点时,如右图.
∵这四条直线两两相交, 则设相交直线a,b确定一个平面α. 设直线c与a,b分别交于点H,K,则H,K∈α. 又∵H,K∈c,∴c⊂α.同理可证d⊂α. ∴a,b,c,d四条直线在同一平面α内.
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个
直线在平面外 公共点
直线与平面平行 无公共点
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8
4.平面与平面的位置关系有两种 平行 无公共点 相交 有一条公共直线
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9
注意:符合语言:(1)点与线:A∈l,A∉l. (2)点与面:A∈α,A∉α. (3)线与线:l1∥l2,l1∩l2=O,l1与l2异面. (4)线与面:l⊂α,l⊄α(l∩α=A,或l∥α). (5)面与面:α∥β,α∩β=l.
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20
三条直线两两垂直,这三条直线可能任何两条都不相交,即任 意两条都异面(如正方体ABCD—A1B1C1D1中的棱AA1,BC 和C1D1),故结论④不正确.故选D.
答案:D
共 50 页
21
类型一
点共线问题
解题准备:证明共线问题的常用方法
(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;
第四十五讲 空间点､直线､平面之间的位置关系
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1
回归课本
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2
1.平面的基本性质
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在
这个平面内.
公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.
注意:
(1)过一条直线和直线外一点
(2)经过两条相交直线
均有且只有一个平面
24
(2)在正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面 BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α, 又Q∈EF,所以Q∈β.则Q是α与β的公共点,
同理,P点也是α与β的公共点.
所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R, 所以R∈A1C,R∈α且R∈β, 则R∈PQ,故P､Q､R三点共线.
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共 50 页
33
[反思感悟] 证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两 种途径:一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平 面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面
内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再 证这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点”这一种情 况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.
因此,三条直线DA､CE､D1F交于一点.
共 50 页
28
[反思感悟] 设直线DA与直线D1F交于点M,直线DA与直线 CE交于M′,再证明M,M′重合.
证明三线共点,可以先说明其中两条交于一点M,另两条交于 一点N,再想法证明M,N两点重合.另一种方法是:先证明其 中两条直线交于一点,再证明这个点在第三条直线上.如本 题可先说明直线CE和直线D1F共面且交于一点P,而点P既 在平面AD1内,也在平面AC内,所以点P在它们的交线AD上.
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37
由三角形的中位线定理知,EF∥AC,且EF= 3 ,GE∥BD,且
GE= 13 .GE和EF所成的锐角(或直角)就4 是AC和BD所成
的角. 4
同理, GH 1 , HF 3 ,GH∥AD,HF∥BC.
2
2
又AD⊥BC,∴∠GHF=90°,
∴GF2=GH2+HF2=1.
共 50 页
【典例3】 已知:a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求 证:a,b,c,d共面.
[证明] 弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线 不共点,包括有三条直线共点的情况;两两相交是指任何两 条直线都相交.
共 50 页
31
(1)当四条直线中有三条相交于一点时,不妨设a,b,c相交于一 点A,
共 50 页
40
错源一
基本性质理解不到位
【典例1】 下列说法正确的有( )
(1)在凹凸不平的地面上使用四条腿的凳子比三条腿的凳子更 平稳;
(2)两个平面有可能只有一个公共点;
(3)如果有n条直线都平行于某一条直线,那么这n+1条直线一 定互相平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
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答案:B
共 50 页
14
3.给出下面四个命题: ①如果直线a∥c,b∥c,那么a,b可以确定一个平面; ②如果直线a和b都与直线c相交,那么a,b可以确定一个平面; ③如果a⊥c,b⊥c,那么a,b可以确定一个平面; ④直线a过平面α内一点与平面α外一点,直线b在平面α内不
过该点,那么a和b是异面直线.
A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有无数条
共 50 页
17
解析:在A′D′延长线上取一点H,使A′D′=D′H,在DC延长线上取 一点G,
使CG=2DC,连接HG与EF交于一点,延长DC.
连接D′F必与DC延长线相交,延长D′A′,连接DE必与D′A′延长 线相交.
连接A′C与EF交于EF中点,故选D.
共 50 页
27
[证明] 直线DA⊂平面AD1,直线D1F⊂平面AD1,显然直线DA 与直线D1F不平行,设直线DA与直线D1F交于点M.
同样,直线DA与直线CE都在平面AC内且不平行,设直线AD与 直线CE相交于点M′.
又E､F为棱AB､AA1的中点,∴易知MA=AD,M′A=AD,所以M､ M′为直线AD上的同一点,
共 50 页
15
上述命题中,真命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①中,由公理4知,a∥b,故①正确;②中,a,b可能异面,故②
错误;③中,a,b可能异面,故③错误;④正确. 答案:B
共 50 页
16
4.在正方体ABCD—A′B′C′D′中,E､F分别为棱AA′､CC′的中 点,则在空间中与三条直线A′D′､EF､CD都相交的直线( )
①定义:已知两条异面直线a、b经过空间任意一点O作直线
a′∥a,b′∥b,我们把两相交直线a′,b′所成的锐角(或直角)叫
做异面直线a、b所成的角(或夹角).
②范围:θ∈
0,
2
.
特别地:如果两异面直线所成的角是90°,我们就称这两条直
线互相垂直,记作a⊥b.
共 50 页
7
3.空间中的直线与平面的位置关系
25
类型二
线共点问题
解题准备:证明共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交 于一点,再证交点在第三条直线上,有时也可将问题转化为 证明三点共线.
共 50 页
26
【典例2】 如图所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E､F 分别为棱AB,AA1的中点.
求证:三条直线DA,CE,D1F交于一点.
共 50 页
29
类型三
线共面问题
解题准备:证明共面问题的常用方法
证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是 首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证 明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几 个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.
共 50 页
30
(1)D､B､F､E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P､Q､R三点共线.
共 50 页
23
[解] (1)如图所示,因为EF是△D1B1C1的中位线, 所以EF∥B1D1. 在正方体AC1中,B1D1∥BD, 所以EF∥BD. 所以EF,BD确定一个平面, 即D､B､F､E四点共面.
共 50 页
共 50 页
10
考点陪练
共 50 页
11
1.下列命题中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.两条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线一定在同一平面内 D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内 解析:A、B、C均不满足公理2及其推论,故D正确. 答案:D
共 50 页
12
2.若A表示点,a表示直线,α、β表示平面,则下列表述中,错误 的是( )