由先序序列和结点的左孩子情况构造严格二叉树的高效算法

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数据结构与算法系列研究五——树、二叉树、三叉树、平衡排序二叉树AVL

数据结构与算法系列研究五——树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL⼀、树的定义树是计算机算法最重要的⾮线性结构。

树中每个数据元素⾄多有⼀个直接前驱，但可以有多个直接后继。

树是⼀种以分⽀关系定义的层次结构。

a.树是n(≥0)结点组成的有限集合。

{N.沃恩}(树是n(n≥1)个结点组成的有限集合。

{D.E.Knuth})在任意⼀棵⾮空树中：⑴有且仅有⼀个没有前驱的结点----根(root)。

⑵当n>1时，其余结点有且仅有⼀个直接前驱。

⑶所有结点都可以有0个或多个后继。

b. 树是n(n≥0)个结点组成的有限集合。

在任意⼀棵⾮空树中：⑴有⼀个特定的称为根（root）的结点。

⑵当n>1时，其余结点分为ｍ（ｍ≥0）个互不相交的⼦集T1，T2，…，Tm。

每个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（subtree）树的固有特性---递归性。

即⾮空树是由若⼲棵⼦树组成，⽽⼦树⼜可以由若⼲棵更⼩的⼦树组成。

树的基本操作1、InitTree(&T) 初始化2、DestroyTree(&T) 撤消树3、CreatTree(&T,F) 按F的定义⽣成树4、ClearTree(&T) 清除5、TreeEmpty(T) 判树空6、TreeDepth(T) 求树的深度7、Root(T) 返回根结点8、Parent(T,x) 返回结点 x 的双亲9、Child(T,x,i) 返回结点 x 的第i 个孩⼦10、InsertChild(&T,&p,i,x) 把 x 插⼊到 P的第i棵⼦树处11、DeleteChild(&T,&p,i) 删除结点P的第i棵⼦树12、traverse(T) 遍历树的结点：包含⼀个数据元素及若⼲指向⼦树的分⽀。

●结点的度: 结点拥有⼦树的数⽬●叶结点: 度为零的结点●分枝结点: 度⾮零的结点●树的度: 树中各结点度的最⼤值●孩⼦: 树中某个结点的⼦树的根●双亲: 结点的直接前驱●兄弟: 同⼀双亲的孩⼦互称兄弟●祖先: 从根结点到某结点j 路径上的所有结点（不包括指定结点）。

学习数据结构心得体会

学习数据结构心得体会数据结构研究总结通过一学期对《数据结构与算法》的研究，大概的了解了基本的数据结构和相应的一些算法。

下面总结一下自己一个学期研究的收获和心得。

数据结构是什么：数据结构是计算机存储、组织数据的方式。

数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。

数据结构往往同高效的检索算法和索引技术有关。

数据结构重要性：一般认为，一个数据结构是由数据元素依据某种逻辑联系组织起来的。

对数据元素间逻辑关系的描述称为数据的逻辑结构；数据必须在计算机内存储，数据的存储结构是数据结构的实现形式，是其在计算机内的表示；此外讨论一个数据结构必须同时讨论在该类数据上执行的运算才有意义。

一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构影响数据处理的效率。

在许多类型的程序的设计中，数据结构的选择是一个基本的设计考虑因素。

许多大型系统的构造经验表明，系统实现的困难程度和系统构造的质量都严重的依赖于是否选择了最优的数据结构。

许多时候，确定了数据结构后，算法就容易得到了。

有些时候事情也会反过来，我们根据特定算法来选择数据结构与之适应。

不论哪种情况，选择合适的数据结构都是非常重要的。

选择了数据结构，算法也随之确定，是数据而不是算法是系统构造的关键因素。

这种洞见导致了许多种软件设计方法和程序设计语言的出现，面向对象的程序设计语言就是其中之一。

常见的数据结构：1.顺序表：定义：顺序表是在计算机内存中以数组的形式保存的线性表,是指用一组地址连续的存储单元依次存储数据元素的线性结构。

线性表采用顺序存储的方式存储就称之为顺序表。

顺序表是将表中的结点依次存放在计算机内存中一组地址连续的存储单元中。

基本运算：置表空：sqlsetnull（l）判表满：sqlempty（l）求表长：sqllength(l)插入：sqlinsert（l,i,x）按序号取元素：sqlget（l,i）删除：sqldelete(l,i)按值查找：sqllocate(l,x)2.链表定义：链表是一种物理储备单元上非连续、非顺序的储备结构，数据元素的逻辑顺序是经由过程链表中的指针链接次序实现的。

《数据结构及其应用》笔记含答案第五章_树和二叉树

第5章树和二叉树一、填空题1、指向结点前驱和后继的指针称为线索。

二、判断题1、二叉树是树的特殊形式。

（）2、完全二叉树中，若一个结点没有左孩子，则它必是叶子。

（）3、对于有N个结点的二叉树，其高度为。

（）4、满二叉树一定是完全二叉树，反之未必。

（）5、完全二叉树可采用顺序存储结构实现存储，非完全二叉树则不能。

（）6、若一个结点是某二叉树子树的中序遍历序列中的第一个结点，则它必是该子树的后序遍历序列中的第一个结点。

（）7、不使用递归也可实现二叉树的先序、中序和后序遍历。

（）8、先序遍历二叉树的序列中，任何结点的子树的所有结点不一定跟在该结点之后。

（）9、赫夫曼树是带权路径长度最短的树，路径上权值较大的结点离根较近。

（）110、在赫夫曼编码中，出现频率相同的字符编码长度也一定相同。

（）三、单项选择题1、把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是（A）。

A．唯一的Ｂ．有多种C．有多种，但根结点都没有左孩子Ｄ．有多种，但根结点都没有右孩子解释：因为二叉树有左孩子、右孩子之分，故一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是唯一的。

2、由3个结点可以构造出多少种不同的二叉树？（D）A．2 B．3 C．4 D．5解释：五种情况如下：3、一棵完全二叉树上有1001个结点，其中叶子结点的个数是（D）。

A．250 B． 500 C．254 D．501解释：设度为0结点（叶子结点）个数为A，度为1的结点个数为B，度为2的结点个数为C，有A=C+1，A+B+C=1001，可得2C+B=1000，由完全二叉树的性质可得B=0或1，又因为C为整数，所以B=0，C=500，A=501，即有501个叶子结点。

4、一个具有1025个结点的二叉树的高h为（C）。

A．11 B．10 C．11至1025之间 D．10至1024之间解释：若每层仅有一个结点，则树高h为1025；且其最小树高为⎣log21025⎦ + 1=11，即h在11至1025之间。

各种二叉树的介绍

各种二叉树的介绍
二叉树是一种常见的数据结构，每个节点最多只能有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。

根据二叉树的不同特性和限制，可以将其分为多种类型，包括普通二叉树、满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树等。

普通二叉树：这是最基本的二叉树形式，每个节点最多有两个子节点，且没有特定的限制条件。

满二叉树：在满二叉树中，所有叶子节点都在最后一层，且节点总数为2^n-1，其中n为层数。

也就是说，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。

完全二叉树：完全二叉树的所有叶子节点都在最后一层或倒数第二层，且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续。

如果将满二叉树从右至左、从下往上删除一些节点，剩余的结构就构成完全二叉树。

平衡二叉树（AVL树）：平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它要求每个节点的左子树和右子树的高度差绝对值不超过1，且每个子树也必须是一棵平衡二叉树。

这种树的查找效率通常高于普通二叉树，因此常用于需要频繁查找的场景。

此外，还有一些特殊的二叉树，如红黑树、B树、B+树等，它们具有不同的特性和应用场景。

红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它的左右子树高度差有可能大于1，但通过对节点进行旋转和重新着色等操作，可以保持树的平衡性。

B树和B+树则常用于数据库和文件系统中，它们支持对节点进行分裂和合并操作，以满足快速查找、插入和删除数据的需求。

总之，二叉树是一种非常有用的数据结构，它可以用于实现各种算法和应用，如排序、搜索、压缩、加密等。

不同类型的二叉树具有不同的特性和应用场景，需要根据具体需求进行选择和使用。

二叉树的知识点总结

引言概述：二叉树是计算机科学中一种重要的数据结构，其特点是每个节点最多有两个子节点。

在计算机科学中，二叉树被广泛应用于搜索、排序和组织数据等领域。

本文将对二叉树的知识点进行总结和详细阐述，以帮助读者更好地理解和应用二叉树。

正文内容：一、二叉树的基本概念1.二叉树的定义：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点。

2.二叉树的特点：每个节点最多有两个子节点，左子节点和右子节点。

3.二叉树的性质：二叉树的左子树和右子树也是二叉树，每个节点的左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。

二、二叉树的遍历方式1.前序遍历：先访问根节点，然后递归遍历左子树和右子树。

2.中序遍历：先递归遍历左子树，然后访问根节点，最后递归遍历右子树。

3.后序遍历：先递归遍历左子树和右子树，然后访问根节点。

4.层序遍历：按层次从上到下依次访问每个节点。

三、二叉搜索树1.二叉搜索树的定义：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中的节点按一定的顺序排列。

2.二叉搜索树的性质：对于任意节点，其左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。

3.二叉搜索树的插入操作：将待插入节点与当前节点比较，根据大小关系决定是插入左子树还是右子树。

4.二叉搜索树的删除操作：删除节点时需要考虑其子节点个数，根据不同情况分为三种情况进行处理。

5.二叉搜索树的查找操作：从根节点开始，根据节点值与目标值的大小关系，逐渐向左子树或右子树遍历，直至找到目标值或到达叶子节点。

四、平衡二叉树1.平衡二叉树的定义：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，其中的节点满足平衡条件。

2.平衡二叉树的性质：对于任意节点，其左子树和右子树的高度差不超过1。

3.平衡二叉树的实现：通过旋转操作来调整树结构，使其满足平衡条件。

4.平衡二叉树的插入操作：插入节点后，通过旋转操作保持树的平衡性。

5.平衡二叉树的删除操作：删除节点后，通过旋转操作保持树的平衡性。

设计以先序遍历的顺序建立二叉树的二叉链表存储结构的算法

设计以先序遍历的顺序建立二叉树的二叉链表存储结构的算法一、算法简介二叉树是一种重要的树形结构，它的建立方式有多种，其中一种是按照先序遍历的顺序建立二叉树。

这种方式需要将先序遍历序列和二叉树的存储结构相结合，采用二叉链表存储结构。

具体流程是按照先序遍历序列的顺序依次创建二叉树的各个节点，同时使用二叉链表结构保存每个节点的数据和指针信息。

二、算法实现算法的实现主要包括初始化二叉树、创建节点、建立二叉树等步骤，下面对这些步骤进行详细描述。

1. 初始化二叉树初始化二叉树需要创建一个根节点，同时将根节点的左右指针指向NULL，表示二叉树为空。

2. 创建节点创建节点需要通过输入元素数据来创建，同时节点的左右指针也需要初始化为NULL。

3. 建立二叉树建立二叉树是按照先序遍历序列来实现的，具体流程如下：（1）读入当前节点的元素数据，创建节点，并将其作为当前节点。

（2）判断当前节点的元素数据是否为结束符号（这里结束符号可以指定），如果是，则返回NULL。

（3）递归创建当前节点的左子树，将左子树的根节点赋值给当前节点的左指针。

（4）递归创建当前节点的右子树，将右子树的根节点赋值给当前节点的右指针。

（5）返回当前节点。

三、算法优化虽然上述算法实现简单明了，但它有一个缺点，即无法处理空节点的情况，如果输入的先序遍历序列中存在空节点，那么该算法就无法建立正确的二叉树了。

因此，可以在输入的先序遍历序列中使用一个特殊的符号（如#）表示空节点，在建立节点时，如果遇到该符号，则将该节点的指针设置为NULL即可。

四、算法总结按照先序遍历的顺序建立二叉树是一种基于二叉链表存储结构的建树方式。

它通过递归的方式构建整个二叉树，同时为了处理空节点的情况，还需要对输入的先序遍历序列进行特殊处理。

该算法的效率较高，适用于对先序遍历序列已知的情况下建立二叉树。

计算机数据结构知识点梳理二叉树的定义及其主要特征

当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为；如果i＝1，则序号为i的结点是根结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则序号为i的结点无右孩子。

数据结构(树)习题与答案

一、单选题1、树最适合用来表示（）。

A.元素之间具有分支层次关系的数据B.有序数据元素C.元素之间无联系的数据D.无序数据元素正确答案：A2、在树结构中，若结点A有三个兄弟，且B是A的双亲，则B的度是（）。

A.5B.4C.3D.2正确答案：B3、下列陈述中正确的是（）。

A.二叉树是度为2的有序树B.二叉树中结点只有一个孩子时无左右之分C.二叉树中每个结点最多只有两棵子树，并且有左右之分D.二叉树中必有度为2的结点正确答案：C4、设深度为h的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含结点数至少为（）。

A.2h-1B.2h+1C.h+1D.2h正确答案：A解析： A、除根之外，每层只有两个结点，且互为兄弟。

5、设深度为h的二叉树中只有度为0和度为2的结点，则此类二叉树中所包含结点数至多为（）。

A.2h-1B. 2h+1-1C. 2h-1-1D. 2h+1正确答案：A解析： A、构成完全二叉树。

6、具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为（）。

A.⌊ log2(n)⌋ +1B.⌈log2(n)⌉C.⌊ log2(n)⌋D.⌈log2(n)+1⌉正确答案：A7、具有32个结点的完全二叉树有（）个叶子结点。

A.16B.14C.15D.17正确答案：A解析： A、对结点按层序编号，32号结点的双亲结点编号为16，则17至32号结点都为叶子，共16个。

8、一棵完全二叉树的第6层上有23个叶子结点，则此二叉树最多有（）结点。

A.81B.78C.80D.79正确答案：A解析： A、完全二叉树的叶子结点只能在最下两层，要使结点最多，这棵二叉树深度为7，前6层结点数共为63，第6层有32个结点，其中叶子为23个，非叶子为9个，它们的度都为2，第7层只有18个结点，故整棵二叉树结点数为81.9、具有3个结点的二叉树有（）种。

A.6B.3C.5D.4正确答案：C10、若一棵二叉树有9个度为2的结点，5个度为1的结点，则叶子结点的个数为（）。

课程标准模版

《数据结构》课程标准课程类别①专业技术课适用对象大一下期学生教学系部应用技术一系适用专业计算机信息管理总学时②48 总学分 3制定人黄继勇制定日期审核人审核日期一、课程性质与定位随着计算机软件和硬件的发展，计算机的应用已经深入到社会的各个领域，各行各业都需要对大量的非数值数据进行存储、加工和管理。

如何根据实际应用研究的要求，对这些大量的表面上杂乱无章的数据进行有效地组织、存储和处理，编制出相应的高效算法，这就是《数据结构》这门课程所要研究并加以解决的问题。

《数据结构》是计算机科学中一门综合性的专业技术基础课，也是计算机科学技术应用专业的必修课程，为计算机专业技术人员提供必要的专业基础知识和技能训练，同时也是计算机应用相关学科所必须掌握的课程。

通过本课程的学习，使学生熟练掌握计算机程序设计中常见的各种数据的逻辑结构、存储结构及相应的运算，初步掌握算法的时间分析和空间分析的技术，并能根据计算机加工的数据特性运用数据结构的知识和技巧设计出更好的算法和程序，并进一步培养基本的良好的程序设计能力。

《数据结构》课程适用于三年制计算机信息管理专业，在第二学期开设二、课程目标本课程以培养学生的数据抽象能力和复杂程序设计的能力为总目标。

通过本课程的学习，学生可以学会分析研究计算机加工的数据结构的特性，以便为应用涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及其相应的运算，并初步掌握算法的时间分析和空间分析的技术；另一方面，本课程的学习过程也是复杂程序设计的训练过程，要求学生编写的程序结构清楚和正确易读，符合软件工程的规范。

1．专业能力目标（1）掌握各种主要数据结构的特点、计算机内的表示方法，以及处理数据的算法实现。

①课程类别：公共课程、教师教育课程（专业基础课程）、专业课程（专业技术课程）、专业拓展课程②课程的总学时和总学分与专业人才培养方案一致。

（2）使学生学会分析研究计算机加工的数据结构的特性，以便为应用涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及相应的算法，并初步了解对算法的时间分析和空间分析技术。

数据结构与算法知到章节答案智慧树2023年中国民用航空飞行学院

数据结构与算法知到章节测试答案智慧树2023年最新中国民用航空飞行学院绪论单元测试1.本课程中需要掌握数据结构的基本概念、基本原理和基本方法。

参考答案:对2.在本课程的学习中还需要掌握算法基本的时间复杂度与空间复杂度的分析方法，能够设计出求解问题的高效算法。

参考答案:对第一章测试1.算法的时间复杂度取决于（）。

参考答案:问题的规模2.算法的计算量的大小称为算法的（）。

参考答案:复杂度3.算法的时间复杂度与（）有关。

参考答案:问题规模4.以下关于数据结构的说法中正确的是（）。

参考答案:数据结构的逻辑结构独立于其存储结构5.数据结构研究的内容是（）。

参考答案:包括以上三个方面第二章测试1.线性表是具有n个（）的有限序列。

参考答案:数据元素2.单链表又称为线性链表，在单链表上实施插入和删除操作（）。

参考答案:不需移动结点，只需改变结点指针3.单链表中，增加一个头结点的目的是（）。

参考答案:方便运算的实现4.单链表中，要将指针q指向的新结点插入到指针p指向的单链表结点之后，下面的操作序列中（）是正确的。

参考答案:q->next=p->next; p->next=q;5.链表不具有的特点是（）。

参考答案:可随机访问任一元素第三章测试1.循环队列存储在A[0..m]中，则入队时的操作是（）。

参考答案:rear=(rear+1)%(m+1)2.关于循环队列，以下（）的说法正确。

参考答案:循环队列不会产生假溢出3.如果循环队列用大小为m的数组表示，队头位置为front、队列元素个数为size，那么队尾元素位置rear为（）。

参考答案:(front+size-1)%m4.若顺序栈的栈顶指针指向栈顶元素位置，则压入新元素时，应（）。

参考答案:先移动栈顶指针5.设栈S和队列Q的初始状态均为空，元素{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}依次进入栈S。

若每个元素出栈后立即进入队列Q，且7个元素出队的顺序是{2, 5, 6, 4, 7, 3, 1}，则栈S的容量至少是：参考答案:46.栈操作数据的原则是（）。

数据结构课程设计分类题目 (1)

15、设有一个正整数序列组成的有序单链表（按递增次序有序，且允许有相等的整数存在），试编写能实现下列功能的算法：（要求用最少的时间和最小的空间）
(1)确定在序列中比正整数x大的数有几个（相同的数只计算一次，如序列{20,20,17,16,15,15,11,10,8,7,7,5,4}中比10大的数有5个）；
13、设有一个由正整数组成的无序单链表，编写完成下列功能的算法：
（1）找出最小值结点，且打印该数值；
（2）若该数值是奇数，则将其与直接后继结点的数值交换；
（3）若该数值是偶数，则将其直接后继结点删除。
14、在一个递增有序的线性表中，有数值相同的元素存在。若存储方式为单链表，设计算法去掉数值相同的元素，使表中不再有重复的元素。例如：（7，10，10，21，30，42，42，42，51，70）将变作（7，10，21，30，42，51，70）。
printf(sum)；}
树和二叉树
1、二叉树用二叉链表存储，写一个算法将二叉树中的叶子结点按从右至左的顺序建立一个单链表。
2、知二叉树用二叉链表存储，写出求二叉树宽度的算法。所谓宽度是指在二叉树的各层上，具有结点数最多的那一层上的结点总数。
3、叉树用二叉链表存储，写一个算法交换各结点的左右子树。
4、二叉树用二叉链表存储，若结点的左孩子的数据域的值大于右孩子数据域的值，则交换其左右子树。
19、试设计一个算法打印出由根结点出发到达叶结点的所有路径。
20、试写出算法，求任意二叉树中第一条最长的路径长度，并输出此路径上各结点的值。
21、给定一组项及其权值，假定项都存放于二叉树的树叶结点，则具有最小带权外部路径长度的树称为huffman 树。编写构造huffman 树的算法。
22、已知一中序线索二叉树,写一算法完成对它的中序扫描。

二叉树结点计算公式

二叉树结点计算公式二叉树是一种常用的数据结构，它由结点和连接这些结点的边组成。

每个结点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

在二叉树中，我们可以通过一些计算公式来对结点进行操作和计算。

首先，对于任意一个二叉树的结点，我们可以定义一个计算公式来计算这个结点的值。

这个计算公式可以根据具体的需求来制定，可以是简单的加减乘除运算，也可以是复杂的逻辑判断。

例如，对于一个表示数学表达式的二叉树，我们可以定义一个计算公式来求解表达式的值。

在二叉树的操作中，最常见的是对结点进行遍历。

遍历可以分为三种方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

在前序遍历中，首先输出当前结点的值，然后递归遍历左子树，最后递归遍历右子树。

在中序遍历中，首先递归遍历左子树，然后输出当前结点的值，最后递归遍历右子树。

在后序遍历中，首先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后输出当前结点的值。

除了遍历，二叉树还可以进行插入、删除、查找等操作。

对于插入操作，我们可以根据需要在合适的位置插入一个新的结点。

对于删除操作，我们可以根据结点的值找到对应的结点，并将其删除。

对于查找操作，我们可以根据结点的值递归地在左子树和右子树中查找，直到找到目标结点。

在实际应用中，二叉树可以用来表示各种数据结构，如二叉搜索树、堆等。

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的左子树的所有结点的值都小于根结点的值，右子树的所有结点的值都大于根结点的值。

这种特性使得我们可以利用二叉搜索树进行高效的查找、插入和删除操作。

总之，二叉树结点的计算公式是根据具体需求来定义的，在操作二叉树时，我们可以利用这些计算公式对结点进行操作和计算。

通过遍历、插入、删除、查找等操作，我们可以对二叉树进行全面而有指导意义的应用。

无论是在算法设计还是实际应用中，二叉树都是一种非常重要和有用的数据结构。

数据结构二叉树构造

数据结构二叉树构造
二叉树是一种非常常见的数据结构，它由一个根节点和两个子节点组成，分别是左子树和右子树。

每个子节点又可以递归地包含左子树和右子树。

二叉树的结构非常灵活，可以用来表示各种不同的数据结构，比如堆、决策树等等。

构造二叉树的过程通常包括以下步骤：
1. 定义二叉树的节点结构，包括根节点和左右子节点的定义。

2. 根据需要构造二叉树，可以手动输入节点数据或者从其他数据源中读取数据来构造二叉树。

3. 对于每个节点，需要确定它的左右子节点是什么，并将它们连接到该节点的左右子节点上。

4. 对于每个节点，需要确定它的父节点是什么，并将它连接到父节点上。

5. 最后，可以对二叉树进行遍历、搜索、插入、删除等操作。

构造二叉树的过程中需要注意一些问题，比如如何保证二叉树的平衡性、如何处理空节点等等。

这些问题的处理方式会影响到二叉树的使用效率和正确性。

总之，构造二叉树是一种非常重要的数据结构，它可以用来表示各种不同的数据结构，并且具有灵活性和可扩展性。

在实践中，需要根据具体的需求和应用场景来选择合适的二叉树结构，并且对其进行正确的操作和维护。

左程云,左神的书,笔记

左程云,左神的书,笔记●数组list这个⼤数据不推荐使⽤.因为会发⽣扩容操作,这个操作O(N),推荐使⽤双端队列来做替代.⽤2种顺序回复⼆叉树.'''利⽤先序数组和中序数组回复2查数'''class node():def __init__(self,val):self.left=Noneself.right=Noneself.val=valdef main(list_pre,list_mid):if list_pre==[]:return Nonea=list_preb=list_midhead=node(a[0])qiefen=b.index(head.val)b1=b[:qiefen]b2=b[qiefen+1:]a1=a[1:qiefen+1]a2=a[qiefen+1:]head.left=main(a1,b1)head.right=main(a2,b2)return headprint(main([1,2,4,5,8,9,3,6,7],[4,2,8,5,9,1,6,3,7]).val)head=main([1,2,4,5,8,9,3,6,7],[4,2,8,5,9,1,6,3,7])'''按层打印'''print('下⾯按层便利输出,看结果对不对')a=[head]print(a[0].val)while set(a)!=set([None]):b=[]for i in a:if i!=None:b.append(i.left)b.append(i.right)c=[]for j in b:if j!=None:c.append(j.val)else:c.append(None)print(c)a=b#经验证对了.'''中序和后序.反向切割即可.''''''先序和后序结合重构⼆叉树.如果加⼊条件节点值都不同的⼆叉树,也⼤多情况下⽆法重构出来.⽐如:头结点是1,左孩⼦是2,有孩⼦是null头结点是1 做⼉⼦是null 右⼆⼦是2他们的数组都是⼀样的.#只有每个节点的孩⼦数都是0或者2的2茶树才能被先序和后序重构出来.通过找坐标做分割即可.思路:头,左,右左,右,头分别是两种便利.那么如何找到左和右的切分坐标?只需要找到第⼀排左⾥⾯第⼀个元素,找到他在第⼆排⾥⾯的位置就是.第⼆排左的最后⼀个位置了.因为他是做的head.(前提是⼆叉树⾥⾯元素取值都不相同)'''View Code思路:还是切分后递归即可.'''利⽤先序数组和中序数组回复2查数'''class node():def __init__(self,val):self.left = Noneself.right = Noneself.val = valdef main(list_pre,list_mid):if list_pre == []:return Nonea = list_preb = list_midhead = node(a[0])qiefen = b.index(head.val)b1 = b[:qiefen]b2 = b[qiefen + 1:]a1 = a[1:qiefen + 1]a2 = a[qiefen + 1:]head.left = main(a1,b1)head.right = main(a2,b2)return headprint(main([1,2,4,5,8,9,3,6,7],[4,2,8,5,9,1,6,3,7]).val)head = main([1,2,4,5,8,9,3,6,7],[4,2,8,5,9,1,6,3,7])'''按层打印'''print('下⾯按层便利输出,看结果对不对')a = [head]print(a[0].val)while set(a) != set([None]):b = []for i in a:if i != None:b.append(i.left)b.append(i.right)c = []for j in b:if j != None:c.append(j.val)else:c.append(None)print(c)a = b#经验证对了.'''中序和后序.反向切割即可.''''''先序和后序结合重构⼆叉树.如果加⼊条件节点值都不同的⼆叉树,也⼤多情况下⽆法重构出来.⽐如:头结点是1,左孩⼦是2,有孩⼦是null头结点是1 做⼉⼦是null 右⼆⼦是2他们的数组都是⼀样的.#只有每个节点的孩⼦数都是0或者2的2茶树才能被先序和后序重构出来.通过找坐标做分割即可.思路:头,左,右左,右,头分别是两种便利.那么如何找到左和右的切分坐标?只需要找到第⼀排左⾥⾯第⼀个元素,找到他在第⼆排⾥⾯的位置就是.第⼆排左的最后⼀个位置了.因为他是做的head.(前提是⼆叉树⾥⾯元素取值都不相同)''''''利⽤先序和中序来建⽴后序数组'''def main(first,mid):if first==[]:return []tou_index = mid.index(first[0])zuo1=first[1:tou_index+1]you1=first[tou_index+1:]zuo2=mid[:tou_index]you2=mid[tou_index+1:]return main(zuo1,zuo2)+main(you1,you2)+[first[0]]print(main([1,2,4,5,8,9,3,6,7],[4,2,8,5,9,1,6,3,7]))#[4, 8, 9, 5, 2, 6, 7, 3, 1]结果正确View Code左神的书,真是性价⽐最⾼的.leetcode⼤量类型重复的题⽬.刷了也没啥意思.左神的书,题⽬都很典型.●看哪个是head即可.然后分割,递归.'''因为中序遍历是升序,并且⽆重复,所以是⼆叉搜索数'''def main(list_mid):a=list_midif a==[]:return1if len(a)==1:return1ans=0for i in range(len(a)):head=a[i]left=a[:i]right=a[i+1:]ans+=main(left)*main(right)return ansprint(main([1,2,3,4,5]))View Code●因为是完全⼆叉树,所以如果这⼀层还有下⼀层直接这⼀层加2的多少次⽅即可.所以只需要求树⾼即可.但是最后⼀排呢?●看了这个书,⾥⾯图问题基本没有,所以还需要⾃⼰来补这些图问题的算法.。

二叉树的构造

1、由二叉树的前（先）序序列和中序序列建立该二叉树
分析：若二叉树的任意两个结点的值都不相同，则二叉树的前序序列和中序序列能唯一确定一棵二叉树。

另外，由前序序列和中序序列的定义可知，前序序列中第一个结点必为根结点，而在中序序列中，根结点刚好是左、右子树的分界点，因此，可按如下方法建立二叉树：
1.用前序序列的第一个结点作为根结点;
2.在中序序列中查找根结点的位置，并以此为界将中序序列划分为左、右两个序列(左、
右子树);
3.根据左、右子树的中序序列中的结点个数，将前序序列去掉根结点后的序列划分为
左、右两个序列，它们分别是左、右子树的前序序列;
4.对左、右子树的前序序列和中序序列递归地实施同样方法，直到所得左、右子树为
空。

假设前序序列为ABDGHCEFI，中序序列为GDHBAECIF，则得到的二叉树如下页所示
2、由后序序列和中序序列构造二叉树
根据定义，后序序列的最后一个结点，与先序序列的第一个结点一样，可将中序序列分成两个子序列，分别为这个结点的左子树的中序序列和右子树的中序序列，再取出后序序列的倒数第二个结点，并继续分割中序序列，如此递归下去，当倒着取尽后序序列中的所有结点后，便可构造一棵二叉树。

数据结构第二单元练习题答案

数据结构第二单元练习题答案一、选择1.树最适合用来表示( )A.有序数据元素B.无序数据元素C.元素之间具有分支层次关系的数据D.元素之间无联系的数据2.在下述结论中，正确的是( )①只有一个结点的二叉树的度为0; ②二叉树的度为2；③二叉树的左右子树可任意交换;④深度为K的完全二叉树的结点个数小于或等于深度相同的满二叉树。

A.①②③B.②③④C.②④D.①④3.以下说法正确的是( )A.任何一棵二叉树中至少有一个结点的度为2B.任何一棵二叉树中每个结点的度都为2C.任何一棵二叉树的度肯定等于2D.任何一棵二叉树的度可以小于24.在下列情况中，可称为二叉树的是( )A.每个结点至多有两棵子树的树B.哈夫曼树C.每个结点至多有两棵子树的有序树D.每个结点只有一棵右子树E.以上答案都不对5.深度为h的满m叉树的第k层有( )个结点(1=<k=<h)A.m k-1B.m k-1C.m h-1D.m h-16.在一棵高度为k的满二叉树中，结点总数为( )A.2k-1B.2kC.2k-1D.⎣log2k⎦+17.在一棵三元树中度为3的结点数为2个，度为2的结点数为1个，度为1的结点数为2个，则度为0的结点数为( )个A.4B.5C.6D.78.具有10个叶结点的二叉树中有( )个度为2的结点。

A.8B.9C.10D.ll9.二叉树有n个结点，则其深度为（）A.n-1B.nC.(log2n)+`1D.无法确定该题是二叉树不是完全二叉树由二叉树结点的公式：n=n0+n1+n2=n0+n1+(n0-1)=2n0+n1-1，因为n=1001,所以1002=2n0+n1,在完全二叉树树中，n1只能取0或1,在本题中只能取0，故n=501，因此选E。

10.一个具有1025个结点的二叉树的高h为( )A.11 B．10 C.11至1025之间 D.10至1024之间11.一棵具有 n个结点的完全二叉树的深度是( )A.⎣log2n⎦+1B.log2n+1C.⎣log2n⎦D.log2n-112.将有关二叉树的概念推广到三叉树，则一棵有244个结点的完全三叉树的高度( )A.4B.5C.6D.713.将一棵有100个结点的完全二叉树从根结点这一层开始，每一层上从左到右依次对结点编号，根结点的编号为1，则编号为49的结点的左孩子编号为（）A.98B.99C.50D.48利用二叉树的性质514.在完全二叉树中，若一个结点是叶结点，则它没( )A.左子结点B.右子结点C.左子结点和右子结点D.左子结点，右子结点和兄弟结点15.当一棵有n个结点的二叉树按层次从上到下，同层次从左到右将数据存放在一维数组A[l..n]中时，数组中第i个结点的左孩子为( )A.A[2i](2i=<n)B.A[2i+1](2i+1=<n)C.A[i/2]D.无法确定16.在下列存储形式中，( )不是树的存储形式？A.双亲表示法B.孩子链表表示法C.孩子兄弟表示法D.顺序存储表示法17.以下说法错误的是( )A.完全二叉树上结点之间的父子关系可由它们编号之间的关系来表达B.三叉链表，二叉树求双亲运算很容易实现C．在二叉链表上，求左.右孩子等很容易实现D.在二叉链表上，求双亲运算的时间性能很好18.对二叉树从1开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左右孩子的编号，同一个结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，则可采用（）次序的遍历实现编号。

树的逻辑结构表示方法

树的逻辑结构表示方法树的逻辑结构表示树是一种常见的数据结构，它由一组节点组成，并使用边连接这些节点。

节点之间的关系可以用不同的方法表示。

在本文中，我们将介绍树的逻辑结构表示的各种方法。

1. 儿子兄弟表示法（孩子兄弟链表）儿子兄弟表示法是一种常见的树的逻辑结构表示方法。

在这种表示方法中，每个节点包含两个指针，一个指向它的第一个孩子节点，另一个指向它的右兄弟节点。

具体的表示方法如下：•根节点指向第一个孩子节点（儿子）；•孩子节点指向它的兄弟节点（兄弟）；•最后一个兄弟节点指向NULL。

通过这种方式，可以通过节点之间的指针关系，来表示树的结构。

这种表示方法比较简洁，适用于描述任意形状的树。

2. 双亲表示法双亲表示法是另一种常见的树的逻辑结构表示方法。

在这种表示方法中，每个节点包含一个指向它的父节点的指针。

具体的表示方法如下：•根节点的父节点指针指向NULL；•非根节点的父节点指针指向它的父节点。

通过这种方式，可以通过节点之间的父子关系，来表示树的结构。

这种表示方法比较直观，容易理解。

3. 孩子表示法孩子表示法是一种扩展的双亲表示法。

在这种表示方法中，每个节点包含一个指向它的第一个孩子节点的指针，以及一个指向它的兄弟节点的指针。

具体的表示方法如下：•根节点的第一个孩子节点指针指向它的第一个孩子节点；•非根节点的第一个孩子节点指针指向它的第一个孩子节点；•每个节点的兄弟节点指针指向它的兄弟节点。

通过这种方式，可以更容易地遍历树的节点，但相对于双亲表示法，需要更多的指针。

4. 子节点表示法子节点表示法是一种简单的树表示方法。

在这种表示方法中，每个节点包含一个指向它的子节点的指针。

具体的表示方法如下：•根节点的子节点指针指向它的子节点；•非根节点的子节点指针指向它的子节点。

通过这种方式，可以通过节点之间的父子关系，来表示树的结构。

但相对于儿子兄弟表示法和双亲表示法，无法表示兄弟节点之间的关系。

5. 线索二叉树表示法线索二叉树是一种特殊的二叉树，每个节点包含了指向它的前驱节点和后继节点的指针。

最优二叉树规则

最优二叉树规则最优二叉树是一种常见的数据结构，也被称为霍夫曼树。

它的最主要的特点就是能够在动态数据中快速定位元素的位置，从而进行高效的操作。

接下来，我们将分步骤阐述“最优二叉树规则”。

一、概念介绍最优二叉树是一种满足加权路径长度最小的二叉树。

其中，加权路径长度定义为树中所有叶节点的深度乘以其权重，并且具有公式WPL= ∑(i=1,n) w(i) * d(i)，其中w(i) 代表叶子节点的权重，d(i)代表叶子节点深度。

二、构建步骤1.首先将所有节点按照权重从大到小排序，构造一个包含所有节点的森林，每个节点在单独的树上。

2.从森林中选取两棵根节点权重最小的树进行合并，节点之间添加一个新的父节点，并将权重设置为子节点权重之和。

3.将新生成的树插入到森林中，删除原有两个节点的树。

4.重复上述合并操作，直到森林中只有一棵树，此时形成的树就是最优二叉树。

三、示例分析例如，现在有集合S={A:7,B:8,C:2,D:5}，每个元素及其权重如表所示，我们将使用以上核心步骤来构建其最优二叉树。

1.首先将所有节点按照权重从大到小排序。

C:2,D:5,A:7,B:82.从森林中选取两棵根节点权重最小的树进行合并。

C:2------>----------(1)---------D:5------> A:7--------(3)---------B:8-----3.继续合并子树，形成最底层的新树。

C:2-------> (1)-------(4)---------------(2)--------- A:7-------- B:8--------D:5-------- C:2-------- 最终，我们成功地构建了一个最优二叉树，其中所有的元素在树中的分布符合“贪心算法”的规律，保证了在查找、插入、删除元素时的效率。

总结：最优二叉树规则包含了四个关键步骤：排序，树的合并，新父节点的添加，以及循环合并。