一类双交叉多面体链环模型的分支数与手性

中图分类号 ： ２ Ｏ１
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ：０９２ １ （０２ ０ ． ０ ２ ０ １０ － ４ ２ １ ）２ ０ ３ ． ４ ７
ｄ ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ １０ ２ １ ．０ ２ ０ ．０ ｏ：０ ３ ６／．ｓ ．０９— ７ ４ ２ １ ．２ ０７ ｓ
０ 前 言
目前 ， 化学家 们 已经合成 出 了 Ｄ Ａ四面体 、Ｎ Ｎ Ｄ Ａ立方 体 、Ｎ Ｄ Ａ八 面体 、 Ｎ Ｄ Ａ十 二 面体 、 Ｎ Ｄ Ａ二 十 面体 、 Ｎ 巴克球 等等¨ ， ＤＡ ｊ这些 奇特 的物 质强烈 地 吸引 了我们 的注意 ． 于它 们 的拓 扑性 质 的研 究 对 则 需要 我们 运用 数学 知识来 刻画 ． 最近 几 年 ， 和平 等人 还通 过 构 筑 多 面体链 环 的模 型来 模拟 这 些 Ｄ Ａ 多 面体 和蛋 白质折 叠 结 张 Ｎ 构 ， 通过 纽结 理论 和 图论 知识 给 出 了这 些 多面 体 链 环 的拓 扑 指标 ．． 讨 论 了使 用 Ｄ Ａ分 子 能 并 ５还 Ｊ Ｎ
我们知道任意一个链环 Ｌ Ｇ） （ 都与它的平面图 Ｇ是一一对应的一． 要判断双交叉多面体链环的 手性 ， 利用 引理 １ 我们 可 以分析 双交叉 多面体链 环 的 ＜ 多 项式 的最高 次项 与最低 次项 ， 定 理 ２ ， Ｌ＞ 如
所述。
定 理 ２ 令 Ｇ是一 个来 自双 交叉 多 面体链 环 Ｌ 的有 符号 的平 面 图 ， 果 ｓ ｎ ｅ 如 ｉ （ ）＝１ｅ ｇ ， ∈Ｇ， ＜ ＞ 则
观 察 到这个 顶点 覆 盖 图都 有且 仅有 一 个分 支是 完整 的． 而 言之 ， 换 当扭 曲次 数 ｍ 是 奇数 时 ， 链环 的每
一
・
个顶 点 都完全 拥 有一 个分 支而且 与顶点 的度 无关． 是我们 可 以得 到结 论 ： 于 对于一 个完 整 的双 交叉
．
３ ． ３
多 面体链 环 ， 当边上 的每条 Ｄ Ａ双螺 旋链 的扭 曲次数 ｍ 为 奇数 时 ， 环 支 数 等 于顶 点个 数 ， Ｎ 链 的分 与
第３ ２卷 第 ２期
湖北师范学院学报（自然科学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｕ ｅ Ｎ ｒ ｌ Ｕ ｉ ｒｔ Ｎ ｔｒ ｃ ｎｅ ｏ ｒａ ｏ ｂｉ ｏ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ） Ｈ ｍａ ｅｉ ｕｌ ｅ
Ｖｏ． ２ １３
Ｎｏ ．２，０１ ２ ２
一
类双 交 叉 多面体 链 环 模 型 的分 支数 与手 性
的分支 数． ｃ Ｌ 为链 环 的分支 数． Ｇ＝（ Ｅ） 一个 具有 顶 点集 和 边集 的 图． 们令 ” Ｇ） 令 （） 令 Ｖ， 是 我 （
为 图 Ｇ 的顶 点数 目，（ 为图 Ｇ边 的数 目 厂 Ｇ） 图 Ｇ 面 的数 目． ｅ Ｇ） （ 为
本 文 构筑 的这类 双交 叉 多面体 链 环 的分 支数 由下 述定 理决 定 ： 定 理 １ 任 意一个 双交 叉 多面体 链环 （ 分 支数 ｃ （ ） Ｐ） （ Ｐ） 与其 覆盖 的 多面体 Ｐ有 关 ： １ 当扭 曲次数 ｍ是 奇数 时 ，（ Ｐ ）＝ （ ； ） ｃ Ｌ（ ） Ｐ） ２ 当扭 曲次 数 ｍ是 偶数 时 ，（ Ｐ） ｅＰ） ． 尸） ） ｃＬ（ ）＝ （ ＋厂 ． （ 证明 下 面我们 从 每一个 顶 点 的覆 盖 情况 观察 起 ： 当 ｍ＝ ｎ＋１ 凡＝１２ ３ … ） ｄｇ ） ，， ， ， ２ （ ，，， ，ｅ（ ＝３４ ５ … ｎ时的顶 点覆 盖 如 图 ３ ｂ 所 示 ， 时 我们 可 以 （） 此
种新的多面体链环也是缠绕型多面体链环的推广． 同时， 我们还通过运用纽结理论和图论知识得出它 的链 环 分支数 和分 析判 断出这 种多 面体链 环 的手性 ．
１ 双 交 叉 多面 体 链 环 的构 筑 方 法
多面体链 环 是一类 具有 多面 体形状 的链 环． 构筑 多面体链 环 时 ， 在 只要 解决 好点 的覆 盖和 边 的覆
，
根 据上 面 的定 理 １如 果一个 链环 投影 图 Ｌ是 非手 性 的 ， ＜Ｌ＞多 项式 的最 高 次项 与 最低 次项 ， 则 的幂之 和等 于 ０ 反 之 ， 果一个 链环 投影 图 Ｌ 的 ＜ ． 如 Ｌ＞多项 式 的最 高 次项 与最 低 次 项 的幂 之 和不 等
于 ０ 则这 个链 环是手 性 的． ， ３ ２ 双 交 叉多面体 链 环的手 性判 断 ．
一 ・
．
，
婚≤
一
廷
・
ｍ ＝ ｎ＋１ ｎ＝１２ ３ ） ２ （ ， ，…
ｍ ＝ ｎ ７＝１２ ３ ） ２（ ｌ ，，…
图 １ 边覆 盖
ｌ ｌ
．
图 ２ 度 为 ３的 点 覆 盖
下 面我们 对构 筑方法 进行 阐述 。将 点覆 盖 和边覆 盖结合 （ 图 ２３所 示 ） 当 ｍ＝２ （ 如 ， ． ｎ ｎ＝ｌ２３ ， ，，
多项式的最高次项和最低次项的幂分别为 ｎ＋ （ ＋ 一 ） 一 一 ［ （／ １ｅ 一 ］如果 ｇ （ ） ２， ｅ １ 和 ｎ ２ ２ ／ 一 ） ＋ １ ． ７ ， ｉ ｅ ｎ
（ ； Ｐ） 当扭 曲次数 ｍ是偶数 时，（ （ ）＝ （ ＋ （ ） 其 中 （ ） ｃ Ｌ Ｐ） ｅ Ｐ） ， Ｐ ， Ｐ 表示 多面体 Ｐ的顶点数 Ｐ） 示多面 表 体 Ｐ的面数 ，（ ） ｅ Ｐ 表示 多面体 Ｐ的边数 。此外， 我们得到这类链环 都是 手性 的．
关 键 词 ： 交 叉 多 面体 链 环 ； 性 ； 支 数 双 手 分
顶 点 的度无关．
当 ｍ＝ ｎ ＝１２３ …） ｄｇ ）＝ ，，… ， 的顶点 覆盖如 图 ３ ａ所 示 ．观察 这个顶 点覆盖 ２（ ，，， ，ｅ（ ３４ ５ ｎ时 （） 图， 我们 可 以得 到扭 曲次 数 ｍ 为偶 数时 ， 链环 的分 支数等 于面数 与边 数之 和．
例 如 ： 四面体 Ｐ有 ４个 顶 点 ， 正 当扭 曲次数 舰＝ ３时 ， （ ｃ ｅ）＝ ． ４ 正六 面体 Ｑ有 ６个面 和 １ ２条边 ，
当扭 曲次数 ／ ＝ ７ ４时 ，（ ＝１． 图 ５所示 ： ／ ， ｃ Ｑ） ８ 如
图 ５ 正 四 面 体 双 交叉 多面 体 链 环 Ｐ 和 正 六 面 体 双 交 叉 多 面体 链 环 Ｑ
３ 双 交 叉 多面体 链 环 的手 性
３ １ 纽 结理 论 中的手性 问题 ．
手性 问题 最早 起源 于 ２ 纪 ５ ０世 ０年代 中期 的反应 停 事件． 们 知道 人 的左 右 手互 为镜像 但 不 能 我 重叠 ， 学 上将这 种现 象称 为手性． 果一个 物体 不能 与它 的镜 像 重叠 ， 么该 物体 就称为 手性 物体 科 如 那 很巧合 地 ， 生物体 内的生物 大分子 蛋 白质 、 、 酸也是 手性分 子 ， 酶 核 而药物 在体 内发挥 治疗 作用 正是 通 过与 生物 大分子 间相互 手性 匹配 和分 子识别 ， 因此也奠 定 了手 性在 结构 化学 中的地 位． 铙 像问题在 纽结理 论 中也有 着重 要地 位． 先 ， 们来 介 绍在 纽 结理 论 中 是 如何 定 义镜 像 的． 首 我 设
・
３ ・ ２
在本 文 中 ． 我们 受到 缠绕 型多 面体链 环 的启 发 ， 用 两 条 Ｄ Ａ双 螺旋 结 构 曲线 去 覆 盖任 意 一 个 使 Ｎ 多面 体 的每一 条边 ， 我们 称这 种结 构 为双交 叉 多面体链 环 ． 于此 同时我们 需要 注意 到这种 双 交叉 多面 ห้องสมุดไป่ตู้
体链 环 的构造 中每 条 Ｄ Ａ双螺 旋 结构 曲线 扭 曲次数 ｍ 不 同 ， 覆 盖也 有 很 大 的 区别 。 因此 在 以下 Ｎ 边 阐述 中 ， 我们 一般对 扭 曲次数 ｍ 进行 分类 讨论 ， 图 １ 示． 如 所
Ｌ是一个纽结或链环 ， 那么 Ｌ的镜像就是指 Ｌ在镜子中的像． 通常我们用 Ｌ 表示 ￡的镜像． 手性问 题就是说任给一个纽结或链环 ， 我们怎么判断它是否有手性． 如果一个纽结或链环 Ｌ不与其镜像 Ｌ 同痕 或等 价 ， 们说 是 手性 的 ； 之 ， 我 反 如果 ￡与其 镜像 ’ 同痕 ， 就是 说 是无 手性 的．
…
） 如图 ３ ａ所示） （ （） ，当 ｍ ： ｎ＋１ ｎ＝１２ ３ （ 图 ３ ｂ 所 示 ） ２ （ ， ， …） 如 （） ．
（ ）ｄｇ ） ａ ｅ （ ＝３
图 ３ 点覆 盖 和 边覆 盖
（ ） ｅ （）＝３ ｂｄｇｖ
解 决 了点覆 盖 和边覆 盖之后 ， 类新 的多面体链 环 的构筑 方 法便 可 以运 用在 任 意 的多 面体 上 ． 这 在 我 们构 筑 的多面 体链 环 中 ， 它们 都是 交 替 的 ， 即这类 双 交叉 多面 体链 环都是 交替链 环 ．如 图 ４所示 ．
回 固
图 ４ 扭 曲次 数 ｍ ＝ ３的 双 交 ） ｆ ￣ 面 体链 环和 扭 曲 次 数 ｍ ＝ Ｌ． － ４的 双 交叉 正 六 面体 链 环 ．
２ 双 交 叉 多面 体 链 环 的分 支 数
在 这一 部分 中 。 我们首 先 给 出一 些基 本 的概念 、 语 和符号 ． 术
纽 结 是 中的一条 闭 曲线．链 环 Ｌ＝ ２ Ｋ ｕＫ ＵＫ ， 中 Ｋ （ ＝１ ２ … ， ） 纽结 ， Ｕ… 其 ｉｉ ，， ｎ 是 ｎ是链 环
我们 可 以用 Ｋ ｕ ｍ ｎ多项式 ＜Ｌ＞， ａｆ ａ 来帮 助确 定 一 个纽 结 或链 环 是否 为 手性 ． 首先 ， 我们 有 以下 的 定理 ， 它表 明一个链 环 的 Ｋ ｕｆ ｎ多项 式 ＜ ａｆ ｍａ ￡＞与它镜 像 的多项 式有关 ： 引 理 １６ 如 果 ＜ ［ １ Ｌ＞（ ≠ ＜ Ａ） Ｌ＞（ ） 则 Ｌ是手 性 的 。 ． Ａ ， ‘
盖即可． 基于此 ， 多面体链环的构筑也曾引起张和平和邱文元的研究探讨 ， 构筑 了缠绕型多面体链环． 张和平 等在 ２ １ ００年成 功构筑 了分 叉 的交替 的闭辫 子 多面 体链 环 、 锥形 多面 体链 环 、 一双交 叉多 棱 圈