二次函数与圆综合压轴题例题巩固答案

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二次函数综合压轴题(含答案)

二次函数综合压轴题（含答案）

1．如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．

（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；

（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N 作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；

（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；

（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD 上的一点，求KM+MN+NK的最小值；

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；

二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物

y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵ 点()8Q m ，在抛物线21

y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求

PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式

2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，

AB 是C ⊙的切线．

动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、

Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．

⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；

⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．

二次函数与圆综合训练(含解析)

二次函数与圆综合提高（压轴题）1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且

DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．

（1）求△ABC的面积；

（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；

（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求

⊙O的面积．

．

AG=x

＞

（

﹣）﹣﹣+

﹣

∵＞

2、（2013•宁波压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），

点B的坐标为（4，

0），点C的坐标为

（﹣4，0），点P在

射线AB上运动，连

结CP与y轴交于点

D，连结BD．过P，D，

B三点作⊙Q与y轴

的另一个交点为E，

延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

DE y=

∴==2

得：，=

∴==

得：，

3、抛物线y=x²-bx-3b+3过A、B两点（点A在点B的左边），交y

轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；

（3）连接AM、DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x

轴、y轴分别交于点E、F，若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标.

2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题含参考答案

2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题

1．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．

（1）求证：直线DF 是O 的切线；

（2）求证：24BC CF AC =⋅；

（3）若O 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．

2．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，CD 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥DC ，连接AC ，BC.

（1）求证：AC 是∠DAB 的角平分线；

（2）若AD ＝2，AB ＝3，求AC 的长.

3．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，DE AC ⊥交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F ．

（1）求证：DE 是O 的切线；

（2）若364

AC tanE ==，，求AF 的长．4．如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，

（1）求证：△CDE 是等腰三角形；

（2）若AB=4，)21AE =，求证：△OBC ≌△DCE ．

5．已知锐角△ABC 内接于圆O ，D 为弧AC 上一点，分别连接AD 、BD 、CD ，且∠ACB ＝90°﹣

12∠BAD ．

（1）如图1，求证：AB ＝AD ；

（2）如图2，在CD 延长线上取点E ，连接AE ，使AE ＝AD ，过E 作EF 垂直BD 的延长线于点F ，过C 作CG ⊥EC 交EF 延长线于点G ，设圆O 半径为r ，求证：EG ＝2r ；

人教中考数学压轴题专题复习——圆的综合的综合及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．

（1）求⊙M的半径；

（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．

（3）在（2）的条件下求AF的长．

【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4．

【解析】

【分析】

（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；

（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；

（3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】

（1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM，

∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，

∴BT=TC=1

∴124

；

（2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB，

∴∠HBC+∠BCH=90°

在△COF中，

∵∠OFC+∠OCF=90°，

∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，

在△AEH和△AFH中，

∵

AFH AEH

AHF AHE AH AH

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△AEH≌△AFH（AAS），

∴EH=FH；

（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，

作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，

∵⊙O的半径为4，

∴CG=4，

连AG，

∵∠BCG=90°，

∴CG⊥x轴，

∴CG∥AF，

∵∠BAG=90°，

二次函数与圆结合的压轴题

二次函数和圆

【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k

y x

(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)．

(1) 求经过A 、B 、C 三点的二次函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．

【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线32

y x =-+

与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；

（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；

（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，

0），⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ．

（1）求直线CB 的解析式；

（2）若抛物线y =ax 2+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x

轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C 是否在抛物线上？

（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC 相似？直接写出两组这样的点．

【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax 2 + bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于

中考数学-二次函数与圆结合的压轴题

二次函数和圆

【例题1】 (芜湖市) 已知圆P 的圆心在反比例函数k

y x

(1)k >图象上，并与x 轴相交于A 、B 两点．且始终与y 轴相切于定点C (0，1)． (1) 求经过A 、B 、C 三点的二次

函数图象的解析式;

(2) 若二次函数图象的顶点为

D ，问当k 为何值时，四边形ADBP 为菱形．

图6

y F

E H N M

D C B A

【例题2】(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA=4，AB=2，直线3

y x =-+

与坐标轴交于D 、E 。设M 是AB 的中点，P 是线段DE 上的动点. （1）求M 、D 两点的坐标；

（2）当P 在什么位置时，PA=PB ？求出此时P 点的坐标；

（3）过P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，当以PM 为直径的⊙F 与BC 相切于点N 时，求梯形PMBH 的面积.

【例题3】(甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．

（1）求直线CB的解析式；

（2）若抛物线y=ax2+b x+c的顶点在直线BC上，与x

轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；

（3）试判断点C是否在抛物线上？

（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC相似？直接写出两组这样的点．

【例题4】（绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．

(完整版)二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物

y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵ 点()8Q m ，在抛物线21

y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求

PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，

AB 是C ⊙的切线．

动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．

⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．

专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(解析版)

专题9二次函数与圆综合问题

解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：

1.直线与圆的位置关系：

平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：

（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题

（2）利用勾股定理解决问题

（3）利用相似列出比例式解决问题

2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟

3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.

【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．

【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2即可求解析式；

（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；

（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO'，O'（1，﹣2），NA有最大值和最小值，O'A＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣≤NA≤2+．

初中数学二次函数与圆相结合的压轴题专题,中考数学二次函数与圆相结合的经典题型讲解及答案解析

【仲烦1】（我市）已知圆P的圆心在反比例函数y=-（A：>1）上，并与工轴相交于X、3两点.且

始终与］轴相切于定点C（0,1）.

⑴求经过三点的二次

匣1数图象的解析式；

（2）若二次函教图象的顶点为

D,问当上为何值时'四边

形也站尹为菱形.

【耕音】

解：（1）连接PC、PAx PB，谊P点ffPHXx轴.垂足为H・（1分）

与y轴相切于点C（0, 1），

.-.PC±y^.

•.•P点在反比例函数》二占的囹象上，

•.•P点坐标为（k,1）.（2分）

•.•PAU.

在RtAAPH中，AH=厨2_尸於后一1，

•'•A(k-90 ).(3分)

•.•由。P交x轴于A、B两点，且PHJLAB，由垂径击理可知，PH垂直平分AB.

AOB=OA+2AH=k

•••B3小2_1，0）.《4分〉

故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直钱斛析式为x=k.

可设该抛物线解析式为y=a<x-k）2+h.（5分）

又二.抛物线过C（。，1），B（k-^2_r0），

[ak^-^h=1

•3|—?

昭得a=l，h=1-k^.（7分）

•.•抛物线解析式为y=心）2+1上2.（B分）

（2）由<1）知抛物线顶点D坐标为（k,l-k2>

•・•DH-k2-l.

若四边形ADBP为装形.则必有PH=DH.（10分）

VPH=1，

.•-k2-l=l.

又">1,

（11分）

•・•当k取以时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形•（12分）

3【百麒2]翎南省韶关市）25.如图6,在平面直角坐标系中旭边形OABC是矩形,。虹4应=2,直线），=-"：

二次函数和圆综合[压轴题例题巩固答案解析]

【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛

物21

y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．

⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵ 点()8Q m ，在抛物线21

y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求

PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．

【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 2y x =-+并且线段CM 的长为22 （1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。

（3）若以AB 为直径作⊙N，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。

y x

O E D C B

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，

AB 是C ⊙的切线．

动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、

Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．

⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．

二次函数压轴题(与圆综合问题)

二次函数压轴题（与圆综合问题）

【典例分析】

例1 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C 三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；

①求此抛物线的函数解析式；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．

思路点拨

（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b 取何值，点D的坐标均不改变．

满分解答

（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），

∴

420

6480

a b c

-+=

⎧

⎪

++=

⎨

⎪=-

⎩

，解得

⎧

⎪

⎨

⎪

⎪⎩

．学#科网

∴抛物线的解析式为y=1

x2-

x-4；

②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．

∴D（0，4）．

设直线BD的解析式为y=mx+n．

二次函数和圆练习(含答案)

二次函数和圆

一．解答题（共15小题）

1．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一

动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．

（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；

（2）当点C与点A重合时，求a的值；

（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题；压轴题；动点型；数形结合．

分析：（1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在Rt△OAB 中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到∠ABO的读数．

（2）当C、A重合时，就告诉了点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值．

（3）此题需要结合图形来解，首先画出第一次相切时的示意图（详见解答图）；已知的条件只有圆的半径，那么先连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN是正方形，那么CP与⊙M的半径相等，只要再求出PE就能进一步求得C点坐标；那么可以从PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE及点C、E 的坐标．然后利用C、E的坐标确定a的值，进而可求出AC的长，由此得解．

2023年中考数学压轴题专题10 二次函数与圆存在性问题【含答案】

专题10二次函数与圆存在性问题

二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.

二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.

【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．

（1）求抛物线的表达式；

（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．

当⊙G与⊙E内切时．

①试证明EF与EB的数量关系；

②求点F的坐标．

【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛

物线上，且△ABC是等腰直角三角形．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

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2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴

题

（1）求抛物线的解析式．

3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（

B、C两点（点B在点C的左侧），已知

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．

（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点

（1）请写出直线AB的解析式

（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式

(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得

．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由

5．如图，二次函数y=a ＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点

C ．且B （1

，0），若将△BOC 绕点O 逆时针旋转90°，所得△DOE 的顶点E 恰好与点A 重合，且△ACD 的面积为3．

（1）求这个二次函数的关系式．

（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，请在y 轴上找一点P ，使得△PAM 的周长最小，并求出点P 的坐标．

（3）设这个函数图象的对称轴l 交x 轴于点N ，问：A 、M 、C 、D 、N 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．

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