【全国百强校】河北省沧州市第一中学2017届高三11月月考理数(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{}220M x x x =-<，{}1N x x =≥，则集合()U M C N =I （ ） A ．{}01x x << B ．{}02x x << C ．{}1x x < D ．φ 【答案】A 【解析】试题分析:因}1|{},20|{<=<<=x x N C x x M U ,故()U M C N =I {}01x x <<,应选A. 考点：集合的补集交集运算.2.已知复数1534iz i=+，则z 的虚部为（ ） A ．95i - B ．95i C ．95- D ．95【答案】D考点：复数的概念及运算.3.函数()21xy x e =-的图象大致是（ ）【答案】C 【解析】试题分析:因函数()21xy x e =-是偶函数,且当2=x 时,函数值为正数；当0=x 时,函数值为负数.故应选C.考点：函数的奇偶性对称性及分析判断的能力.4.已知双曲线221259x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离为18，N为2F 中点，O 为坐标原点，则1NO 等于（ ） A ．23B ．1 C. 2 D ．4 【答案】D考点：双曲线的定义与几何性质的综合运用.5.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则2811b b b =（ ）A ．1B ．2 C. 4 D ．8 【答案】D 【解析】试题分析:由2478230a a a -+=可得72742a a =,故27=a ；因2811b b b 8)()(37361107131====++a q b q b ,故应选D.考点：等差数列等比数列的通项公式及性质的综合运用.6.已知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴，过点()4,0A -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A ．2B ． C.6 D ． 【答案】C 【解析】试题分析:因圆心)1,2(C ,故012=-+a ,即1-=a ,所以2),1,4(=--r A ,则40436||=+=AC , 所以636440||==-=AB ,应选C.考点：直线与圆的位置关系及切线长的计算.7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北张家山出土，这是我过现存最早的有系统的数学典籍，其中记录求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取值为（ ） A ．227 B ．258 C.15750 D ．355113【答案】B考点：圆锥体积公式的理解和运用.8.执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M 处的条件为（ ）A ．64?k <B ．64?k ≥ C.32?k < D ．32?k ≥ 【答案】B 【解析】试题分析:因该算法程序中所求121212216841-=--=+⋅⋅⋅++++=k k kS ,由题设6312=-k ,则 6=k ,故算法程序中的空白处应填64≥k ,应选B.考点：算法流程框图的理解和识读及等比数列的求和.9.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A ．4B ． C. D ．8 【答案】B考点：三视图理解和识读及几何图形的面积的计算. 10.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ． ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】试题分析:因函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)32cos(2)(π-=x x g ,故该函数的单调递增区间为ππππk x k 2322≤-≤-,即)(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ,由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤3263πππa a ,解之得23ππ≤≤a ,应选A.考点：余弦函数的单调性及运用.【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以函数的解析式()2cos 2f x x =所对应的图象为背景,考查的是余弦函数的图象和性质及数形结合的数学思想等有关知识和方法的综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的条件信息,将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数)32cos(2)(π-=x x g ，进而求出其单调递增区间为)(63Z k k x k ∈+≤≤-ππππ,然后依据题设建立不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≤3263πππa a ，通过解不等式组使得问题获解. 11.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，过点A 的圆交双曲线的一条渐近线于,P Q 两点，若PQ 不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．(]1,2 B．(C.(]1,3 D ．[)3,+∞【答案】C考点：双曲线与圆的位置关系及双曲线的几何性质的综合运用.【易错点晴】本题考查的是双曲线的几何意义及函数方程思想与数形结合的数学思想的综合运用问题。

求解时要充分借助题设中的“弦长PQ 不小于双曲线的虚轴长”这一重要信息，然后运用圆中的弦、圆心距、半径之间的关系，求出弦22)(2||b c a PQ -+=，再依据上述信息建立不等式b b c a 2)(222≥-+，即)(2)(222a c c a -≥+，通过解不等式求出31≤<e .12.已知,a b R ∈，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设()2x g x e bx a =++.若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （ ）A ．有最大值1e +B ．有最大值e C.有最小值e D ．有最小值e - 【答案】A考点：正切函数的图像和性质及导数的知识的综合运用. 【易错点晴】解答本题的关键是对条件“直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切及不等式()22m g x m ≤≤-恒成立”的理解和运用.由此可得1,2-==b a ,进而将问题转化为求函数2)(2+-=x e x g x 在]2,1[上的最大最小值的问题.求解时借助导数这一工具,先对函数进行求导,判断其单调性,再求出其最小值为1)(min +=e x g ,从而使得问题获解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.椭圆()2211mx y m +=>m ，则m = ． 【答案】2 【解析】试题分析:由已知可得1122=+y mx ,由于1>m ,故由题设m m 2212=,解之可得2=m ,故应填答案2.考点：椭圆的几何性质及运用．14．已知442cos sin 3αα-=，(0,)2πα∈，则cos(2)3πα+= ．考点：二倍角公式、两角和的余弦公式等知识的综合运用．15. 在条件26020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是 ． 【答案】94【解析】试题分析:画出不等式组表示的平面区域如图,结合图形可以看出当动直线bzx b a y +-=经过点)10,8(P 时,by ax z +=取最大值40,即40108=+b a ,也即145=+ba ,所以51ab +14545445)15)(45(+≥++=++=a b a b a b a ,故51a b +的最小值是94.应填答案94.a考点：线性规划的知识及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的知识与数形结合的数学思想的运用问题,解答时先准确的画出画出不等式组26020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的区域,再搞清b z x b a y +-=的几何意义,进而得出动直线b z x b a y +-=经过点)10,8(P 时,by ax z +=取最大值40,即40108=+b a ,也即145=+ba ,然后将51ab +化为ab a b a b a 45445)15)(45(++=++,再运用基本不等式求出51a b +的最小值是94,使得问题获解. 16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围是 ．【答案】考点：三角变换公式及正弦定理等知识的综合运用．【易错点晴】本题以三角形的三边所满足的等量关系式22b a ac -=为背景,考查的是正弦定理及三角变换公式与三角函数中和差化积公式及方程思想等有关知识和数学思想的综合运用.解答时充分运用题设中的22b a ac -=运用正弦定理可得C A A B sin sin sin sin 22=-,然后再运用和差化积得到A A B sin )sin(=-,从而求出46ππ<<A 及23ππ<<B ,进而得到1sin 23<<B ,最后推出332tan 1tan 11<-<B A ,使得问题获解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F ，抛物线上一点P 点横坐标为2，3PF =.（1）求抛物线的方程；（2）过F 且倾斜角为30o 的直线交抛物线C 于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积. 【答案】(1)24y x =；(2)4. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用抛物线的定义求解；(2)借助题设运用直线与抛物线的位置关系探求.试题解析：（1）由抛物线定义可知，232pPF =+=，2p ∴=， ∴抛物线方程为24y x =.考点：直线的方程抛物线等有关知识的综合运用．18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()*121n n S S n n N +=++∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n n a b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)()*21n n a n N =-∈；(2)12111--=-n n T .【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用数列前n 项和与通项之间的关系及等比数列的定义求解；(2)借助题设运用裂项相消求和法探求. 试题解析：（1）121n n S S n +=++Q ，当2n ≥时，12n n S S n -=+，∴121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，12n n a +=，即()*21n n a n N =-∈.（2）21nn a =-Q ，()()1121121212121n n n n n n b ++∴==----⋅-， 2231111111111212121212121n n n n T --∴=-+-++-=-------L . 考点：数列前n 项和与通项之间的关系及等比数列的定义裂项相消求和法等有关知识的综合运用．19.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=.（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆,b c .【答案】(1)60A =o ；(2)2b c ==.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用正弦定理三角变换公式求解；(2)借助题设运用余弦定理及三角形面积公式建立方程组探求.（2）1sin 2S bc A ==4bc =，2222cos a b c bc A =+-，则4b c +=， 所以2b c ==.考点：正弦定理、余弦定理、三角变换公式及三角形面积公式等有关知识的综合运用．20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式推证；(2)借助题设建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式探求.（2）向量()1,2,0BC =uu u r ，()2,2,2CP =--uu r ，()2,2,0AC =uuu r ，()1,0,0AB =uu u r ，由点F 在棱PC 上，设,01CF CP λλ=≤≤uu u r uu r ，设()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--uu u r uu u r uu u r uu u r uu r ，由BF AF ⊥uu u r uuu r 得0BF AF =uu u r uu u r g ，因此()()2122220λλ-+-=，解得34λ=.即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r ，设()1,,n x y z =u r 为平面FAB 的法向量，则1100n AB n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r uu u r g u r uu u r g ， 即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得()10,3,1n =-u r 为平面FAB 的一个法向量. 取平面ABP 的法向量为()20,1,0n =u u r ，则121212cos ,n n n n n n <>===u r u u r u r u u r g u r u u r F AB P --. 考点：向量的数量积公式等有关知识的综合运用．21.（本小题满分12分）定圆(22:16M x y +=，动圆N过点)F 且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .（1）求轨迹E 的方程；（2）设直线1x my =+与E 交于,P Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），则直线1PQ 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】(1)2214x y +=；(2)是，定点为()4,0，证明见解析.（2）由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得：()224230m y my ++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()111,P x y -，则12224m y y m -+=+，12234y y m =+，考点：椭圆的定义标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是运用椭圆的定义求方程的问题和直线与椭圆的位置关系的处置问题.解答本题的第一问时如果不按圆锥曲线的定义求解,其解答过程会较为繁冗,而且还容易出错,因此在解答这类问题时首先要充分理解题意,寻求最为简捷的解答路径,以便达到化繁为简、避难前进的求解之目的.本题的第二问则借助直线与椭圆的位置关系分析探究,从而推证出直线1PQ 与x 轴交于定点()4,0,从而巧妙地使问题获解.22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 1f x x x =+．（1）求函数()f x 的最小值；（2）设()()()2F x ax f x a R '=+∈，讨论函数()F x 的单调性； （3）若斜率为k 的直线与曲线()y f x '=交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，求证：121x x k <<.【答案】(1)21e -；(2)0a ≥时，在区间()0,+∞递增，0a <时，在⎛ ⎝内递增，在⎫+∞⎪⎪⎭内递减；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助题设运用导数的知识求解；(3)依据题设先等价转化,再构设函数运用运用导数的知识分析推证.试题解析：（1）()()ln 20f x x x '=+>，令()0f x '=，得21x e =，当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当21,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 则()f x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内递减，在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内递增， 所以当21x e =时，()2222min 1111ln 1f x f e e e e ⎛⎫⎛⎫==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）证明：()()21212121ln ln f x f x x x k x x x x --==--，要证明121x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-， 等价于21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =（由12x x <，知1t >）， 则只有证11ln t t t-<<，由1t >，知ln 0t >，故等价于()ln 1ln 1t t t t t <-<>（*） <1>设()()1ln 1g t t t t =-->，则()()1101g t t t '=->>，所以()g t 在()1,+∞内是增函数，当1t >时，()()1ln 10g t t t g =-->=，所以1ln t t ->，考点：导数的知识及转化与化归的数学思想等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()()ln 1f x x x =+为背景,精心设置了三道常见的有关函数的问题.其目的是考查导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数)(x f 最小值问题,求解时直接借助导数与函数的单调性之间的关系而获解;第二问是求函数的单调区间,求解时则依据导数与函数的单调性之间的关系建立不等式即可获解;第三问中的不等式证明问题,则运用等价转化的数学思想及分类整合思想进行分析推理,从而使得问题简捷巧妙获证.：。