高三数学二轮总复习 训练18 二项式定理及数学归纳法 理

常考问题18 二项式定理及数学归纳法

(建议用时：80分钟)

1．求证：1＋2＋22

＋…＋2

5n －1

能被31整除．

证明 1＋2＋…＋2

5n －1

＝25n

－12－1

＝32n

－1＝(31＋1)n

－1 ＝31n ＋C 1n ·31n －1

＋…＋C n －1n ·31＋C n

n －1 ＝31n

＋C 1

n ·31n －1

＋…＋C n －1

n ·31

＝31·(31n －1

＋C 1

n ·31

n －2

＋…＋C n －1

n )，

∵31

n －1

，C 1

n ·31

n －2

，…，C n －1

n 都是整数，

∴原式可被31整除．

2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫

x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝

⎛⎭⎪⎪⎫

x ＋13x n 的展开式中系数最大的项．

解 由题意，得2n ＝22n

－240，

∴22n

－2n －240＝0，即(2n －16)(2n

＋15)＝0. 又∵2n

＋15＞0，∴2n

－16＝0.

∴n ＝4.∴⎝

⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫

x ＋13x 4. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，所以，所求⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 4展开式中系数最大的项为第3项，即T 3＝C 24(x )2⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫13x 2

＝63x .

3．已知(1＋x )n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n (n ∈N *

)．

(1)求a 0及S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ；

(2)试比较S n 与(n －2)2n ＋2n 2

的大小，并说明理由． 解 (1)取x ＝1，则a 0＝2n

；

取x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n

， 所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n

. (2)要比较S n 与(n －2)2n

＋2n 2

的大小，

即比较：3n 与(n －1)2n ＋2n 2

的大小． 当n ＝1时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2

； 当n ＝2,3时，3n ＜(n －1)2n ＋2n 2

； 当n ＝4,5时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2

. 猜想：当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2

， 下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，n ＝4时结论成立．

假设当n ＝k (k ≥4)时结论成立，即3k ＞(k －1)2k ＋2k 2

， 两边同乘以3，得3

k ＋1

＞3[(k －1)2k ＋2k 2]＝k 2

k ＋1

＋2(k ＋1)2＋[(k －3)2k ＋4k 2

－4k －2]．

而(k －3)2k

＋4k 2

－4k －2＝(k －3)2k

＋4(k 2

－k －2)＋6＝(k －3)2k

＋4(k －2)(k ＋1)＋6＞0. 所以3

k ＋1

＞[(k ＋1)－1]2

k ＋1

＋2(k ＋1)2

.

即n ＝k ＋1时结论也成立．

所以当n ≥4时，3n ＞(n －1)2n ＋2n 2

成立． 综上得，

当n ＝1时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2

； 当n ＝2,3时，S n ＜(n －2)2n ＋2n 2

； 当n ≥4，n ∈N *

时，S n ＞(n －2)2n ＋2n 2

.

4．(2013·泰州模拟)已知多项式f (n )＝15n 5＋12n 4＋13n 3－1

30

n .

(1)求f (－1)及f (2)的值；

(2)试探求对一切整数n ，f (n )是否一定是整数？并证明你的结论． 解 (1)f (－1)＝0，f (2)＝17

(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n ，f (n )是整数． ①当n ＝1时，f (1)＝1，结论成立．

②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，结论成立，即f (k )＝15k 5＋12k 4＋13k 3－1

30

k 是整数，则当

n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝15(k ＋1)5＋12(k ＋1)4＋13(k ＋1)3－130

(k ＋1)

＝C 05k 5

＋C 15k 4

＋C 25k 3

＋C 35k 2

＋C 4

5k ＋C 5

5

5

＋

C 04k 4

＋C 14k 3

＋C 24k 2

＋C 1

4k ＋C 4

42＋C 03k 3

＋C 13k 2

＋C 2

3k ＋C 3

3

3－

130

(k ＋1)＝f (k )＋k 4＋4k 3＋6k 2

＋4k ＋1. 根据假设f (k )是整数，而k 4

＋4k 3

＋6k 2

＋4k ＋1显然是整数．