专题5 初高中知识衔接题(教师用)
2019届初高中数学衔接知识点及习题
数学亲爱的2019届平冈学子：恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。
从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。
打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。
假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。
你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。
这里给大家几个学数学的建议：1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。
记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。
6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
初高中物理知识衔接试题(两套题,含答案)
初高中物理知识衔接练习（一）班级：_________ 姓名：____________ 得分：___________一、选择题：（每小题4分，共60分）1.我国的“嫦娥工程”将按“绕月、落月和驻月”三步进行。
预计2012年实施落月探测。
已知月球上无大气、无磁场、弱重力。
下列哪个仪器在月球上可以正常使用（ ）A.手电筒B.气压计C.指南针D.电铃2.汶川特大地震发生后，15位空降兵在极其恶劣的环境下实施伞降。
打通了重灾区与外界的信息通道。
空降兵在4999m 高空跳离飞机后先加速下降，最后以较小速度平稳着陆。
关于伞降过程中空降兵动能的变化。
以下说法正确的是（ ） A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 D.先减小后增大3.如图l 所示，badc 是一个“U ”型金属导轨，pq 是一根金属棒，可以在金属导轨上滑动。
金属导轨处于一个蹄形磁铁中，一重物通过定滑轮的细绳与金属棒相连，整个装置置于水平桌面上并处于静止状态。
当重物开始下落且pq 在磁场内运动的过程中（ ）A.回路中有电流，此过程电能转化为机械能B.回路中无电流，此过程电能转化为机械能C.回路中有电流，此过程机械能转化为电能D.回路中无电流，此过程机械能转化为电能4.如图2所示，钢珠沿竖直平面上的光滑轨道abcd 从a 点运动到d 点，钢珠（ ）A.通过d 时的速度比通过c 时大B.在c 点比在b 点的重力势能小C.从a 运动到b 的过程中，动能转化为重力势能D.从b 运动到c 的过程中，机械能转化为重力势能 5.把高2 cm 的发光棒立于焦距为5 cm 的凸透镜前，在凸透镜后的光屏上成了4 cm 高的像，物体离凸透镜的距离可能是（ ）A.7.5 cmB.12.5 cmC.4.5 cmD.10 cm6.如图3所示，升降机以1m/s 的速度匀速上升时，升降机对人的支持力为500 N 。
下列说法正确的是（ ）A.升降机静止在十楼时对人的支持力小于500 NB.升降机以1.5 m/s 速度匀速上升时对人的支持力大于500 NC.升降机以2m/s 速度匀速下降时对人的支持力等于500 ND.升降机以1 m/s 速度匀速下降时对人的支持力小于500 N 图 1图2图37.赛车比赛是人们喜欢观看的运动项目，在比赛过程中，下列说法错误的是（）A.以赛车为参照物，车内赛车手是静止的B.赛车速度越大，通过的路程越长C.加速或转弯时，力改变了赛车的运动状态D.赛车车身很低，轮子相距较远，在快速行驶时不易翻倒8.标有“2V，1W”字样的小灯泡和标有“20Ω，1A”字样的滑动变阻器，连接在如图4所示的电路中，其中电源电压为6V，电流表的量程为“0-O.6A”，电压表的量程为“O-3V”。
河南省郑州外国语学校初高中数学衔接知识点的专题强化训练：专题五 二次函数 Word版含答案
★ 专题五 二次函数【要点回顾】1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题[1] 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？问题[2] 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：[1]当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，函数取最小值 ．[2]当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口方向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，y 随着x 的增大而 ；当 时，函数取最大值 ．上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 2．二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式：（1）．一般式： ； （2）．顶点式： ； （3）．交点式： ．说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求． 3．分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 【例题选讲】例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？例3 已知函数2,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2； （3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为80,(0,20]160(20,40]240,(40,60]320(60,80]400,(80,100]x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪∈⎪∈⎪⎩)y (图2.2－9由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示．【巩固练习】1．选择题：（1）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A ）（－1，4） （B ）（－1，－4） （C ）（1，－4） （D ）（1，4） （2）函数y ＝－x 2＋4x ＋6的最值情况是 （ ） （A ）有最大值6 （B ）有最小值6 （C ）有最大值10 （D ）有最大值2（3）函数y ＝2x 2＋4x －5中，当－3≤x ＜2时，则y 值的取值范围是 （ ） （A ）－3≤y ≤1 （B ）－7≤y ≤1 （C ）－7≤y ≤11 （D ）－7≤y ＜11 2．填空：（1）已知某二次函数的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (1，0)，且过点C （2，4），则该二次函数的表达式为 ．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ．3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，1-），B （1，0），C （1-，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，3-），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （3-，0），（5，0），且与y 轴交于点（0，3-）； （4）已知抛物线的顶点为（3，2-），且与x 轴两交点间的距离为4．4．如图，某农民要用12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m ，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔPAC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式； （2）画出函数y 的图像； （3）求函数y 的取值范围．CP图2.2－10专题五二次函数参考答案例1 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C(与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量yx价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B），将x＝130，y＝70；x＝150，＝50代入方程，有70130,50150,k bk b=+⎧⎨=+⎩解得k＝－1，b＝200．∴ y＝－x＋200．设每天的利润为z（元），则z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当x＝160时，z取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x ＝a时，函数取最小值y＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．①②③说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．例4（1）分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a=-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a-=-+，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x=--+，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．（2） 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x－1) (a ≠0)，展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为2212444a a a a --=-，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±．所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．（3）解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得228842a b c ca b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【巩固练习】1．（1）D （2）C （3）D 2．（1）y ＝x 2＋x －2 （2）y ＝－x 2＋2x ＋3 3．（1）1222--=x x y ．（2）1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ．（4）()22115323222y x x x =--=-+ 4．当长为6m ，宽为3m 时，矩形的面积最大．5．（1）函数f （x ）的解析式为, 02,4, 24,4, 46,8, 68.x x x x y x x x x <≤⎧⎪-<<⎪=⎨-<≤⎪⎪-<<⎩（2）函数y 的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y 的取值范围是0＜y ≤2．。
初升高物理衔接题及答案
初升高物理衔接题及答案一、选择题1. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，经过时间t，速度为v。
则该物体在时间t内的位移为：A. vt/2B. vtC. v^2/2gD. v^2/2a答案：A2. 根据牛顿第二定律，力F与加速度a、质量m的关系是：A. F = maB. F = ma^2C. F = m/aD. F = a/m答案：A3. 一个物体在水平面上以初速度v0开始滑行，摩擦系数为μ，若物体最终停止，则物体滑行的总距离为：A. v0^2/2μgB. v0^2/2μC. v0^2/2μgD. v0^2/2μ答案：B二、填空题1. 一个物体从高处自由落下，不考虑空气阻力，其下落的加速度为______。
答案：g（重力加速度）2. 根据动能定理，物体的动能变化量等于______。
答案：合外力做的功3. 一个物体在水平面上以初速度v0滑行，若摩擦力做功W，物体的动能变化量为______。
答案：-W（负号表示动能减少）三、计算题1. 一辆汽车以10m/s的速度行驶，突然刹车，刹车的加速度为-5m/s²。
求汽车从开始刹车到完全停止所需的时间和滑行的距离。
解答：(1) 根据公式v = v0 + at，其中v为最终速度，v0为初速度，a为加速度，t为时间。
将已知数值代入，得：0 = 10 - 5tt = 2s(2) 根据公式s = v0t + 1/2at²，代入已知数值，得：s = 10*2 + 1/2*(-5)*2²s = 20 - 10s = 10m答案：汽车从开始刹车到完全停止需要2秒，滑行的距离为10米。
四、实验题1. 实验目的：测量小球自由落体的加速度。
实验器材：米尺、小球、计时器。
实验步骤：(1) 将米尺固定在高处，确保小球从同一高度自由落下。
(2) 启动计时器，记录小球落下的时间t。
(3) 测量小球落下的距离h。
(4) 根据公式h = 1/2gt²，计算加速度g。
中考物理专题复习《初高中物理衔接类问题》练习
中考物理专题复习《初高中物理衔接类问题》牛顿第三定律、动能、重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、实际电流表和理想电流表、单摆摆动周期、平抛运动、斜抛运动、万有引力、电场力、凸透镜成像规律、磁力等问题，在初中阶段都没有量化的表达，有的只是定性的说明，但初中课程教学中，有的只是经过拓展学习，初步的达到了和高中阶段所学内容十分接近，在知识和知识简衔接处，用到一定的物理方法就完全可以达到高中阶段所学知识的水平。
在中考中，为了选拔能力素养突出的学生，物理试题的命制就会以初高中衔接知识为素材。
所以毕业班学生多学习这些问题，中考成绩会更加突出。
一、牛顿第三定律1.作用力和反作用力：两个物体之间的作用总是相互的，一个物体对另一个物体施加了力，后一个物体同时对前一个物体也施加力.2. 牛顿第三定律内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上.理解要点：(1)作用力和反作用力相互依赖性，它们是相互依存，互以对方作为自已存在的前提；（2）作用力和反作用力的同时性，它们是同时产生、同时消失，同时变化，不是先有作用力后有反作用力；（3）作用力和反作用力是同一性质的力；（4）作用力和反作用力是不可叠加的，作用力和反作用力分别作用在两个不同的物体上，各产生其效果，不可求它们的合力，两个力的作用效果不能相互抵消，这应注意同二力平衡加以区别。
（5）一对平衡力与作用力、反作用力的比较二、机械能守恒定律（一）动能1．概念：物体由于运动而具有的能量，称为动能。
2．动能表达式：221υm E K =3．动能定理（即合外力做功与动能关系）：12K K E E W -=4．理解：①合F 在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
②合F 做正功时，物体动能增加；合F 做负功时，物体动能减少。
③动能定理揭示了合外力的功与动能变化的关系。
5.适用范围：适用于恒力、变力做功；适用于直线运动，也适用于曲线运动。
完整版)初高中数学衔接知识试题
完整版)初高中数学衔接知识试题整式乘法与因式分解训练试题(1)一、填空：1）若x=5，则x=5；若x=-4，则x=-4.2）若(5-x)(x-3)²=(x-3)⁵-x，则x的取值范围是18/19. 3）(2+3)(2-3)=-5；4）若x+ax+b=(x+2)(x-4)，则a=-2，b=8.5）计算992+99=1091.二、选择题：1）若x²+mx+k是一个完全平方式，则k等于m²。
（C）2）不论a，b为何实数，a²+b²-2a-4b+8的值可以是零。
3）成立的条件是x≠2.4）若(x+y)/(2x-y)=5/4，则y/x=1/2.5）计算a-(-a)=2a。
6）多项式2x-yx-15y的一个因式为x-3y。
三、解答题1.正数x,y满足x+y=2xy，求(x-y)/(x+y)的值．解：将x+y=2xy变形得到(x+y)/(xy)=2，即1/x+1/y=2. 将(x-y)/(x+y)变形得到(x+y)/(x-y)=1/(1-2xy)。
因此(x-y)/(x+y)=1-2xy=1-(x+y)/(xy)=1-2= -1.所以(x-y)/(x+y)的值为-1.2.分解因式：1）x⁵y²-x²y⁵=(xy²-y⁴)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)2）x²+5x-24=(x+8)(x-3)3）a²-2a-15=(a-5)(a+3)4）12y²-5y-2=(4y+1)(3y-2)5）3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)6）(a²-a)²-14(a²-a)+24=(a-3)(a-4)(a²-a-6)7）x²+2x-1=(x+1)²-28）x⁴+x³-5x²+x-6=(x-1)(x+2)(x²+x-3)9）(a-b)²-4(a-b-1)=(a-b-3)(a-b+1)3.（1）已知3a+3b=-9，求2a+4ab+2b-6的值。
中考物理考前题型过关：《初高中知识衔接题》ppt课件(含答案解析)
下落过程中纸锥能达到的最大速度 v=
方法归纳对二力平衡知识的理解和掌握,能够从题目中读出有用 信息是解决此题的关键。
1.
当光从水斜射入空气中时,在交界面上同时发生反射和折射,但折 射角总大于入射角。当入射角增大到一定程度时,折射角会达到 90°。入射角继续增大时,便没有 ,只有反射了。这种反射叫全反 射。光纤通信就是利用激光在光纤内壁不断 (选填“反射”或 “折射”)而实现的。
对于这类问题总结并结合光 现象进行考查,因此解决此类试题要从概念出发,作出光路图进行 分析,得出结论。 2.力学中涉及的初高中知识衔接点有:位移、质点、坐标系求解、 速度(瞬时速度、平均速度、速率)、加速度、受力分析模型、高 中物理力与运动的模型、力的作用是相互的(作用力和反作用力)、 力的合成、二力平衡(多个力)、胡克定律、摩擦力(动摩擦和静摩 擦因数)、匀速圆周运动、牛顿第二定律、牛顿第三定律、动能和 重力势能这几个点。针对这几个点总结如下:
(4)力的合成、二力平衡(多个力)、胡克定律、摩擦力(动摩擦 和静摩擦因数)、匀速圆周运动、牛顿第二定律、牛顿第三定律, 这几者之间还有一定的联系:①首先都是要先进行受力分析;②看 力与力之间的关系(比如力的合成中,分析受力之后明确作用在同 一点的一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同);③个别 点需要计算的,可根据相应公式以及从题干中得到的信息,结合对 物体的受力分析寻找它们之间的关系进行求解。 3.电学方面: (1)对于磁场中电子或质子受力分析这类题,我们可以运用转换法, 将一个电子或质子的运动看作电流的运动,这样就可以用安培定则 规律进行判断极性,再根据磁极间的相互作用力判断受力方向; (2)对于内阻主要在实验中考查,解决这类题的方法可参考电学 “内阻”中的相关问题。
初高中衔接数学试题(含答案)
.初高中衔接数学试题第Ⅰ卷（共42 分）一、选择题：本大题共14 个小题 ,每小题 3 分 ,共 42 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 观察下列四个图形，中心对称图形是（）A ．B ．C． D ．2.斑叶兰被列为二级保护植物，它的一粒种子重约0.0000005克 .将 0.0000005用科学记数法表示为（）77C． 0.566A．5 10B．5 1010D．5 10 3.如图，点 A 所表示的数的绝对值是（）A ． 3B ．3C．1D ．1 334.某校排球队 10 名队员的身高（厘米）如下：195,,182， 188,182,,188 ， ,188.这组数据的众数和中位数分别是（）A ． ,188B ． 188,187C． 187,188 D ．188,5. 计算 a 2 35a 3 a3的结果是（）A ． a55a 6B． a65a9C． 4a 6 D ． 4a66.不等式组A．C．2x13x213 23 x 2的解集在数轴上表示正确的是（）B．D．7 ．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为()A ．{x| x ＞3 或 x ＜－ 2}B．{x| x ＞2 或 x ＜－ 3}.C．{x | －2 ＜x ＜3} D ． {x| － 3＜ x ＜2}8. 如图，三角形纸片ABC ，AB AC , BAC 90 ，点E为AB中点 . 沿过点E的直线折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕现交于点 F .已知EF3 ，则BC的长是（）2A．3 2B．3 2C． 3D．3 3 29. 如图，将线段AB 绕点 P 按顺时针方向旋转90 ，得到线段 A B ，其中点 A、 B 的对应点分别是点 A 、B ，，则点A 的坐标是（）A．1,3B．4,0C． 3, 3D． 5, 110. 已知二次函数y ax 2bx c(a 0) 的图象如图所示，则正比例函y (b c) x 与反比例函数y a b c在x同一坐标系中的大致图象是（）．A B C D．11. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的 3 个扇形）做游戏 . 游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在概率是（）1 4 52 A ．B ．C.D ．399312 ．若关于 x 的一元二次方程x 2－ 2 x + k =0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值围是（）A ． k ＜ 1B ． k ≤1C ． k ＞－ 1D ． k ＞ 113 ．大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼” ．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30 °，再往楼的方向前进 60m 至 B 处，D测得仰 角为 60 °，若学生的身高忽略不计， 3 ≈1.7 ，结果精确到 1m ，则该楼的高度 CD 为（）BCA第 12 题图A ． 47mB ． 51mC ． 53mD ． 54m14. 甲、乙两组各有12 名学生，组长绘制了本组 5 月份家庭用水量的统计图表，如图，比较5 月份两组家庭用水量的中位数，下列说确的是()A ．甲组比乙组大B ．甲、乙两组相同C ．乙组比甲组大D ．无法判断第Ⅱ卷（共 96 分）二、填空题（每题 3 分，满分 18 分，将答案填在答题纸上）15. 已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S 甲2、S 乙2，16. 5 月份，甲、乙两个工厂用水量共为200 吨 .进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比 5 月份减少了15%，乙工厂用水量比 5 月份减少了10%，两个工厂 6 月份用水量共为174吨，求两个工厂 5 月份的用水量各是多少. 设甲工厂 5 月份用水量为x 吨，乙工厂 5 月份用水量为y 吨，根据题意列关于 x, y 的方程组为．17. 如图，Rt ABC， B 90 , C 30 ，O为AC上一点，OA 2 ，以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与CB 相切于点 E ，与 AB 相交于点 F ，连接 OE、OF ，则图中阴影部分的面积是．318．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为．819. 对于实数p ， q ，我们用符号min p, q 表示 p ， q 两数中较小的数，如min 1,2 1 ，因此min2,3；若min ( x1)2 , x21，则x．20.阅读理解：如图 1 ，⊙O与直线a, b都相切 . 不论⊙O如何转动，直线a,b之间的距离始终保持不变（等于⊙O 的半径）.我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”.图 2 是利用圆的这一特性的例子.将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进.据说，古埃及就是利用只有的方法将巨石推到金字塔顶的.拓展应用：如图 3 所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”.如图 4 ，夹在平行线c,d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变.若直线c, d之间的距离等于2cm ，则莱洛三角形的周长为cm .三、解答题（本大题共 5 小题，共60 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.求下列关于 x 的不等式的解：(1)x 2－(2 m ＋1) x＋ m 2＋m ＜ 0.(2) ．求不等式 ax ＋1 ＜a2＋ x 的解．22. 八年级（ 1 ) 班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计请根据图息解决下列问题：（ 1 ）共有名同学参与问卷调查；（ 2 ）补全条形统计图和扇形统计图；（ 3 ）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读 2 本课外书的人数约为多少.23. 某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45 ，乙勘测员在 B 处测得点 O 位于南偏西 73.7 ，测得AC840m, BC 500m .请求出点O到BC的距离 .24 ，cos73.77 ，tan 73.724参考数据：sin 73.72525724. 已知反比例函数的图象经过三个点 A 4, 3 , B 2m, y1 , C 6m, y2，其中m0 .（ 1）当 y1 y2 4 时，求 m 的值；（ 2）如图，过点 B、 C 分别作x轴、 y 轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在 x 轴上，若三角形PBD的面积是8 ，请写出点 P 坐标（不需要写解答过程).25. 某公司投入研发费用80 万元（ 80 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品.公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为 6 元/件. 此产品年销售量y (万件）与售价x ( 元/件）之间满足函数关系式 y x26 ..（2 ）该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3 ）第二年，该公司将第一年的利润 20 万元（ 20 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为 5元/件 .为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12 万件 .请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.新预科部数学试题答案1-5 CBABC6-10BCBDC11-14CABBx y2007416.17.3(1 15%) x(110%)y 1742015.___>___2 3 18.19.3； 2 或-1..20. 2 π21(1) 解 x 2－ (2 m ＋ 1) x ＋m 2＋m ＜ 0 ，因式分解得 (x －m )[ x － (m ＋ 1)] ＜ 0.∵m ＜ m ＋1 ，∴m ＜ x ＜m ＋1.即不等式的解为m ＜x ＜m ＋ 1(2)解：将原不等式化为 (a－1) x ＜ a2－1.①当 a－1 ＞0 ，即 a ＞1 时， x ＜a＋1.②当 a－1 ＜0 ，即 a ＜1 时， x ＞a＋1.③当 a－1 ＝0 ，即 a ＝1 时，不等式无解．综上所述，当 a＞ 1 时，不等式的解集为 x ＜a ＋1 ；当 a＜ 1 时，不等式的解集为 x ＞a ＋1 ；当 a＝ 1 时，不等式无解22 232425。
初高中数学衔接测试题
初高中数学衔接测试题初高中数学衔接测试题随着中考的结束，很多同学即将升入高中，但是初高中的数学跨度较大，很多同学在暑假里提前预习了高中的部分知识，但是仅仅靠自己预习很难做到把知识掌握熟练，因此，在这里提供一套初高中数学衔接测试题，帮助大家检测自己的预习效果，为即将到来的高中数学学习打好基础。
一、选择题1、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，4)，则线段AB的长度为（）。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 52、下列哪个数是质数？ A. 10 B. 11 C. 12 D. 133、下列哪个式子是正确的？ A. 2x+3y=5 B. 2x-3y=6 C. 3x+2y=7 D. 4x+4y=94、已知方程2x+3=5，则x的值是（）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 45、函数y=x²在x=3处的导数为（）。
A. 6 B. 9 C. 2 D. 0二、填空题6、在等差数列{an}中，已知a1=2，公差d=3，则a5的值为_________。
61、若(x-2)²+ly-1l=0，则x+y的值为_________。
611、已知三角形三边长分别为3、4、5，则该三角形的面积为_________。
6111、若函数f(x)=x³-6x²+9x-3在区间[0，5]上的最大值为_________。
61111、若关于x的方程2x-a²+3a=0有实数根，则a的取值范围为_________。
三、解答题11、求函数y=√x²+2x+5在区间[-2，2]上的值域。
111、解方程组：{2x+y=6， x-3y=1。
1111、求过点(2，-1)，且与原点距离最大的直线的方程。
11111、已知f(x)={x²+4x+3， x≤0， {2x+3， x>0，求f(-3)，f(1)，f(-1)。
111111、求过点(2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的方程。
初高中数学衔接(含答案)
第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ①x ＜0；①若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，①不存在满足条件的x ；①若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ①x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．13A B x0 4C D xP |x －1||x －3|图1．1－11.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -．解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 21x +，22x y +是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等． 一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．解： （1=（20)a ==≥；（3220)xx x ==-<．例2 (3．解法一：(3解法二： (3＝12． 例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2解： （1）==，===，>（2）①=== 又 4＞22，①6＋4＞6＋22，.例4 化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅-⋅＝2004⎡⎤+⋅⋅⎣⎦＝20041⋅例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x=-， ①01x <<，①11x x>>， 所以，原式＝1x x -．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ．解： ①2210x y +==+=，1xy ==，①22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练 习 1．填空： （1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___； （4）若2x ==______ __． 2．选择题：=成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ①(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，①5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． （1）证明：①11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，①111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910．（3）证明：①1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n ≥2，且n 是正整数，①1n ＋1 一定为正数，①1112334(1)n n +++⨯⨯+＜12．例3 设ce a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ①(2e －1)(e －2)＝0，①e ＝12＜1，舍去；或e ＝2．①e ＝2． 练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y-+的值． 4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________．B 组1．填空：（1）12a =，13b =，则2223352a aba ab b-=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y++=+__ __；2．已知：11,23x y ==的值． C 组1．选择题：（1=（ ）（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）（A （B （C ） （D ）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=． 3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．－1 －2 x x 图1．2－1 －1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，①221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，①2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=， 22a x =． （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =， ∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4． 练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x 2…188228 18从表中不难看出，要得到2x 2的值，只要把相应的x 2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．12x 2，y ＝－同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐yy ＝2x 2 y ＝2(x ＋1)2y ＝2(x ＋1)2＋1 y ＝x 2y ＝2x 2图2.2-1xO y标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a)＋c －24ba224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba -时，y 随着x 的增大而减小；当x＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a-．上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x ＝－1；顶点坐标为(－1，4)；当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；x y O x ＝－ A 图2.2-3x y O x ＝－ A 图2.2-4 y A (－1,4) D (0,1) B当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 3(,0)3和C 3(,0)3-，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200．设每天的利润为z （元），则z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x +2b )224bc +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练 习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ． （2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．y ① x O －2 a a 24图2.2－6x y O a －2 2 4 a 2②－2 x y O a a 2 4 ③2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx ＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x －x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2． ∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2， ∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得。
初中数学：初高中衔接题(2021年浙教版)
初高中衔接题1．阅读材料：若a b ＝N ，则b ＝log a N ，称b 为以a 为底N 的对数．例如23＝8，则log 28＝log 223＝3.根据材料填空：log 39＝______．2．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(a ，b)，那么向量OP →可以表示为：OP →＝(a ，b)．如果OA →与OB →互相垂直，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，那么x 1x 2＋y 1y 2＝0.若OM →与ON →互相垂直，OM →＝(sin α，1)，ON →＝(2，－3)，则锐角∠α＝________.3．对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y′＝nx n －1＋mx m －1(m ，n 为常数)． 例如y ＝x 4＋x 2，则y′＝4x 3＋2x.已知：y ＝13x 3＋(m －1)x 2＋m 2x.若方程y′＝0有两个相等的实数根，则m 的值为________．4．阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a →∥b →，则x 1·y 2＝x 2·y 1，根据该材料填空．已知a →＝(4，3)，b →＝(8，m)，且a →∥b →，则m ＝______.5．一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°＝sin(60°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. 类似地，可以求得sin 15°的值是________．6．将四个数a ，b ，c ，d 排成两行、两列，两边各加上一条竖线段，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，上述记号就叫做二阶行列式，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22x13－x 1x －3＝10，则x ＝________． 7．阅读材料：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi(a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(4＋i)＋(6－2i)＝(4＋6)＋(1－2)i ＝10－i ； (2－i)(3＋i)＝6－3i ＋2i －i 2＝6－i －(－1)＝7－i ； (4＋i)(4－i)＝16－i 2＝16－(－1)＝17； (2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝4＋4i －1＝3＋4i. 根据以上信息，完成下面计算： (1＋2i)(2－i)＋(2－i)2＝________．8．已知：对于任意实数a ，b ，总有a 2＋b 2≥2ab，且当a ＝b 时，代数式a 2＋b 2取得最小值为2ab.若一个矩形的面积固定为n ，它的周长是否会有最值？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由．9．现场学习：观察一列数：1，2，4，8，16，…，这一列数按规律排列，我们把它叫做一个数列，其中的每个数，叫做这个数列中的项，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于2，我们把这个数列叫做等比数列，这个常数2叫做这个等比数列的公比．一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比． 解决问题：(1)已知等比数列5，－15，45，…，那么它的第六项是________；(2)已知一个等比数列的各项都是正数，且第2项是10，第4项是40，则它的公比为________；(3)如果等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，公比为q ，那么有a 2＝a 1q ，a 3＝a 29＝(a 1q)q ＝a 1q 2，…，a n ＝________.(用a 1与q 的式子表示，其中n 为大于1的自然数)10．阅读下面材料：我们知道一次函数y ＝kx ＋b(k≠0，k ，b 是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0，A ，B ，C 是常数)的形式，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离可用公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2计算．例如：求点P(3，4)到直线y ＝－2x ＋5的距离．解：∵y＝－2x ＋5，∴2x＋y －5＝0，其中A ＝2，B ＝1，C ＝－5， ∴点P(3，4)到直线y ＝－2x ＋5的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2＝|2×3＋1×4－5|22＋12＝55＝ 5. 根据以上材料解答下列问题：(1)求点Q(－2，2)到直线3x －y ＋7＝0的距离；(2)如图，直线y ＝－x 沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．11．如果函数y ＝f(x)满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2. ①若x 1<x 2，都有f(x 1)<f(x 2)，则称f(x)是增函数； ②若x 1<x 2，都有f(x 1)>f(x 2)，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)＝6x (x>0)是减函数．证明：设0<x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝6x 1－6x 2＝6x 2－6x 1x 1x 2＝6（x 2－x 1）x 1x 2.∵0<x 1<x 2， ∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴6（x 2－x 1）x 1x 2>0，即f(x 1)－f(x 2)>0.∴f(x 1)>f(x 2)．∴函数f(x)＝6x (x>0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f(x)＝1x2＋x(x<0)，f(－1)＝1（－1）2＋(－1)＝0，f(－2)＝1（－2）2＋(－2)＝－74.(1)计算：f(－3)＝______，f(－4)＝______；(2)猜想：函数f(x)＝1x 2＋x(x<0)是________函数(填“增”或“减”)；(3)请仿照例题证明你的猜想．参考答案1．2 2.60° 3.12 4.6 5.6－24 6.4 7.7－i8．解：设矩形的长为a ，宽为b(a≥b＞0)．周长C ＝2(a ＋b)≥4ab ＝4n ，且当a ＝b 时，代数式2(a ＋b)取得最小值为4n ，此时a ＝b ＝n.故若一个矩形的面积固定为n ，它的周长有最小值，周长的最小值为4n ，此时矩形的长和宽均为n. 9．解：(1)－1 215提示：5×(－3)6－1＝－1 215. (2)2 (3)a n ＝a 1q n －110．解：(1)∵3x－y ＋7＝0， ∴A＝3，B ＝－1，C ＝7. ∵点Q(－2，2)，∴d＝|－2×3－1×2＋7|32＋（－1）2＝110＝1010， ∴点Q(－2，2)到直线3x －y ＋7＝0的距离为1010.(2)直线y ＝－x 沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线为y ＝－x ＋2. 在直线y ＝－x 上任意取一点P ， 当x ＝0时，y ＝0， ∴P(0，0)． ∵直线y ＝－x ＋2， ∴A＝1，B ＝1，C ＝－2， ∴d＝|0＋0－2|12＋12＝2， ∴两平行线之间的距离为 2. 11．解：(1)－269 －6316(2)增(3)设x1＜x2＜0，f(x1)－f(x2)＝1x12＋x1－1x22－x2＝(x1－x2)(1－x1＋x2x12x22)．∵x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝1x2＋x(x＜0)是增函数．。
初升高数学衔接知识专题训练
专题一 数与式1.数的乘方与开方（1）若a x n=（n 是大于1的整数），则x 叫做a 的n 次方根，记作: n n a a x .=叫做根式，整数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根（0的算术平方根是0），记作：a 。
（2）正数有 个平方根，负数 平方根。
（3）运算性质： ①())0(2≥=a a a ；②=2a ；③()=33a ；④=33a ；⑤ab b a =⋅（ ）；⑥==2a abab )0,0(>≥a b （分母有理化）；⑦)0,0(>≥=b a b aba 。
点拨： | a | 表示点a 到原点的距离，这是绝对值的概念，也是绝对值的几何意义。
（4）幂的运算①正整数指数幂：=na ；②零指数幂：=0a （a ≠0）；③负整数指数幂：()()m ma==-1（m a ,0≠是正整数）；④整数指数幂的运算性质（m 、n 均为整数）：例1 计算：().2012201382190311-++⎪⎭⎫⎝⎛-+-2.常用乘法公式：⑴平方差公式：()()=-+b a b a ； ⑵完全平方公式：()=±2b a ；⑶立方和公式：()()=+-+22b ab a b a ； ⑷立方差公式：()()=++-22b ab a b a ；⑸完全立方公式：()=+3b a ；()=-3b a ；⑹三数和的完全平方公式：()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++例2 计算：⑴;2141212⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x ⑵()()22323y x y x +--；⑶()()9332+-+y y y ； ⑷()312-x ； ⑸()2c b a --。
变式训练1 填空：1）()22y x += ；2）=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121x x ； 3）()32+x （ ）=2783+x ； 4）()()=++-22422bab a b a 。
初高中物理衔接—数学专题.word(教师版)
数学知识的准备一、乘法公式1、我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 2、我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=- （3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+- 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．【课堂练习1】 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．二、 一元二次方程1、根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① （1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．【课堂练习2】 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x = ②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ba-，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．【选用例题】 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 三、直角三角形1、弧度与角度的转换关系1度=π/180弧度( ≈弧度 ) 1弧度＝180°/π （≈°）【课堂练习3】 360°＝360×π/180 ＝2π 弧度 4π/3 弧度＝4π/3 ×180°/π ＝ 240°2、弧长与圆心角、半径的关系弧长r l ⋅=α α为圆心角（弧度单位） 周长r c ⋅=π23、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，AB ＝c ,BC ＝a ，AC ＝b , 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90°3）、边角间的关系：sin A = ； cos A = ； tan A = ； cot A = ； sin B = ； cos B = ； tan B = ； cot B = 4αsin α cos α tan α cot α 300450 226005、同角三角函数的基本关系式 1cos sin 22=+θθ θθθcos sin tan =θθθsin cos cot = 6、正弦、余弦的诱导公式诱导公式一：ααπcos )2sin(=- ααπsin )2cos(=- ααπcot )2(tan =-诱导公式二：ααπcos )2sin(=+ ααπcos -)2sin(=+ ααπcot -)2(tan =+ 诱导公式三：sin （π＋α）＝－sin α cos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α 诱导公式四：sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α 诱导公式五 (k ∈Z)：sin （2k ·π＋α）＝sin α cos （2k ·π＋α）＝cos α tan （2k ·π＋α）＝tan α诱导公式六：sin （2π－α）＝sin （－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos （－α）＝cos αtan （2π－α）＝ tan （－α）＝－tan α【课堂练习4】（2009全国卷Ⅰ文）o585sin 的值为(A) 22-(B)22 (C)32- (D) 32解析：本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。
高中衔接连贯试题及答案
高中衔接连贯试题及答案1. 阅读下面的句子，选择最合适的词语填入空白处，使句子衔接连贯。
A. 因此B. 然而C. 尽管D. 但是句子：他努力学习，_________ 成绩仍然没有提高。
答案：C2. 根据上下文，选择最恰当的词语完成句子。
A. 因为B. 所以C. 既然D. 那么句子：_________ 明天是周末，我们一起去郊外游玩吧。
答案：C3. 阅读以下段落，选择最合适的连接词填入空白处。
A. 此外B. 然而C. 虽然D. 尽管段落：他是一个勤奋的学生，_______ 他的成绩并不总是名列前茅。
答案：C4. 选择正确的词语填入空白处，使句子逻辑通顺。
A. 既然B. 因此C. 既然D. 但是句子：_______ 他答应过要来，我们就应该相信他。
答案：A5. 根据上下文，选择最合适的词语完成句子。
A. 因为B. 所以C. 既然D. 那么句子：_________ 他没有按时完成作业，老师决定让他留下来补课。
答案：B6. 阅读以下段落，选择最合适的连接词填入空白处。
A. 此外B. 然而C. 虽然D. 尽管段落：她非常热爱音乐，_______ 她选择了成为一名医生。
答案：B7. 选择正确的词语填入空白处，使句子逻辑通顺。
A. 既然B. 因此C. 既然D. 但是句子：_______ 你已经决定了，我们就应该支持你。
答案：A8. 根据上下文，选择最合适的词语完成句子。
A. 因为B. 所以C. 既然D. 那么句子：_________ 我们早有准备，所以没有感到惊慌。
答案：B9. 阅读以下段落，选择最合适的连接词填入空白处。
A. 此外B. 然而C. 虽然D. 尽管段落：他经常帮助别人，_______ 他从不期待任何回报。
答案：C10. 选择正确的词语填入空白处，使句子逻辑通顺。
A. 既然B. 因此C. 既然D. 但是句子：_______ 你已经完成了任务，就可以放松一下了。
答案：B11. 根据上下文，选择最合适的词语完成句子。
教学反思与高中知识衔接的中考题(含答案)
与高中知识衔接的中考题与高中知识衔接的各类问题成为这几年中考的新亮点．初高中知识是相互联系的，高中数学知识是初中数学知识的延拓和提高．加强对初高中数学衔接内容的考查，有助于培养学生的自学能力，有利于提高学生的阅读理解能力和分析问题、解决问题的能力．下面择几例供大家欣赏学习．一、关于函数对应法则例1 （2005年四川）如果记y=221xx+=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值．即f（1）=22111+=12，f（12）表示当x=12时，y的值．即f（12）=221()12151()2=+；那么f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n）+f（1n）=________．解析∵f（n）+f（1n）=22222221()111111()n nnn n nn+=+++++=1，∴原式=n-1+12=n-12．二、关于等比数列例2 （2005年海南）下面是某种细胞分裂示意图（如图），这种细胞每过30分钟便由1个分裂或2个．根据此规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30分钟可分裂成_________细胞；（2）这样的一个细胞经过3小时后可分裂成______个细胞；（3）这样的一个细胞经过N （N 为正整数）小时后可分裂成_____个细胞． 解析 （1）24=16；（2）26=64；（3）22n ．例3 （2004年呼和浩特）下列一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……第2004•个数是（ ）．（A ）22004 （B ）22004-1 （C ）22003 （D ）以上答案均不对解析 a 1=1=20，a 2=2=21，a 3=4=22，……a 2004=22003，故选（C ）．三、关于数列通项例4 （2005年山东威海）一组按规律排列的数：1371321,,,,49162536，……请你推断第9个数是_____． 解析a 1=2221133;4293a ===； a 3=422771313;164255a ===； a 5=92221217373;36610100a ===．四、关于阶乘运算例5 （2004年昆明）观察下列等式（式子中的“！”是一种数字运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，……计算100!98!=______． 解析 原式=1009998!98!⨯⨯=9900．五、关于杨辉三角．例6 （2005年南京）如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a 、b 、c 、d 是相邻两行的前四个数，那么当a=8时，c=______，d=_______．12 23 4 34 7 7 45 11 14 11 5……a b………………c d……………………解析依此规律写下去，可得c=9，d=37．六、关于虚数单位例7（2001年十堰）小明是一位刻苦学习，勤于思考、勇于创造的同学，一天，他在解方程时，突然产生了这样的想法，x2=-1这个方程在实数范围内无解，•如果存在一个数i2=-1，那么方程x2=-1可以变为x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=-1的两个根，•小明还发现i具有如下性质：i1=i，i2=-1，i3=i2·i=（-1）·i=-i．i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4·i=i．i6=（i2）3=（-1）3=-1，i7=i6·i=-i，i8=（i4）2=1，请你观察上述等式，根据你发现的规律填空：i4n+1=______，i4n+2=_______，i4n+3=_______．（n为自然数）．解析i4n+1=i4n·i=（i4）n·i=i，i4n+2=i4n·i2=（i4）n·i2=-1，i4n+3=i4n·i3=（i4）n·i3=-i．下面两例供练习：1．（2004年青海）22．有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，•…第n个数记为a n，若a1=-12，从第2个数起，每个数都等于：1与它前面的那个数差的倒数，试求a2，a3，a4的值，并推断a2003，a2004的值，写出推断过程．2．（2004年哈尔滨）观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20．这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，•用关于n•的等式表示这个规律为_________．参考答案：1．a2=23，a3=3，a4=-12．a2003=23，a2004=3．推断过程略．2．（n+2）2-n2=4（n+1）．。
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专题五 初高中知识衔接题
【例】重力为2.5×10－3 N 的雨滴从高空由静止开始竖直落下(不计横向的影响)，雨滴下
落过程中受到的空气阻力F 阻与下落速度的平方(v 2)成正比，关系为F 阻＝kv 2，其中k 为常数，且k ＝1×10－4 N·s2/m2。
求： (1)雨滴匀速下落时所受到空气阻力的大小。
(2)若雨滴匀速下落的距离为400 m ，则这个过程重力对雨滴做的功为多少？ (3)雨滴匀速下落时的速度为多少？
(4)请在图甲中画出从开始下落到落地这一过程中雨滴的运动速度随时间变化的图象。
[答案]（1）雨滴匀速下落，二力平衡，F 阻＝G ＝2.5×10－3
N （2）W ＝Gh=2.5×10－3
N ×400m=1J （3）根据F 阻＝kv 2
则k
F V 阻
＝5m/s （4）如图乙所示
【解析】当雨滴匀速下落时，受到的重力与阻力是一对平衡力，所以F 阻＝G ；重力对雨滴做的功W ＝Gh ；根据题目已知的空气阻力与下落速度的关系式F 阻＝kv 2，由于阻力系数k 已知，所以可求出匀速下落的速度；雨滴刚开始下落时，雨滴在重力作用下将加速下落，速度越来越大，同时雨滴受到的阻力也越来越大，当阻力增大到与重力相等时，雨滴开始匀速下落，所以雨滴的运动速度随时间变化的图象如图乙所示。
同步练习
1．在平直公路上，汽车启动后在第10 s 末，速度表的指针指在如图所示的位置，前10 s 内汽车运动的距离为150 m 。
则第10 s 末汽车的瞬时速度是__70__km/h ，前10 s 内汽车的平均速度是__15__m/s 。
2．(2014，绥化)我们学过匀速直线运动，但变速直线运动是一种更普遍的运动形式。
速度随时间均匀变化的运动称之为匀变速运动，可以表示为Δv
Δt (Δ表示变化量)，在物理学中，把这个比值
叫加速度，用字母a 表示。
它是反映物体速度变化快慢的物理量。
若用v 0表示匀变速运动的开始速度，经过一段时间t 后，速度变为v 1，则物体的加速度a ＝
Δv
Δt ＝（v 1－v 0）t。
根据以上信息回答：
(1)加速度的物理意义是__反映物体运动变化快慢的物理量__。
(2)一个做匀变速直线运动的物体开始时的速度是2 m/s ，运动2 s 后速度变为6 m/s ，则物体的加速度是__2__m/s 2。
3．在学习了“探究滑动摩擦力的大小与哪些因素有关”后，同学们知道滑动摩擦力的大小与接触面的粗糙程度和压力的大小有关。
在接触面的粗糙程度相同的情况下，滑动摩擦力的大小与压力的比值为定值，这个定值叫作动摩擦系数(μ)。
如图所示为滑动摩擦力(f )与压力(F 压)的关系图象，由图象可知下面结论错误的是( D )
A ．当F 压＝2 N ，时f ＝4 N
B ．当f ＝2 N 时F 压＝1 N
C ．μ＝2
D ．μ＝0.5
4．(2014，安徽)用电压表和电流表可以测量未知导体R 的阻值(即伏安法测电阻)，图甲为一种
测量方案的原理图(不考虑多次测量，图中用“电源”表示电路的其他部分)。
(1)某次实验时电压表和电流表的读数如图乙所示，电压表的读数为 1.6V ，电流表的读数为0.5A ，则电阻的测量值R ＝__3.2__Ω；
(2)考虑到电压表的内阻对电路的影响，必然会给测量结果带来误差，那么用这种方案测量出来的电阻值__小于__(选填“大于”“小于”或“等于”)真实值，其原因是电流表测量的是通过待测电阻和电压表的总电流，该电流比通过待测电阻的电流偏大，而电压表测量的就是待测电阻两端电压，根据R ＝U I
可知，待测电阻的测量值小于真实值。
5．(2014，黄冈)五一期间，小宇乘坐爸爸驾驶的小汽车外出游玩，发现车内吊着的一个装饰物在摆动，摆动很有节奏且来回摆动一次时间大致相同。
他想：摆动一次所需的时间(周期)与什么因素有关？回到学校，他找来一些长短不一的细线和质量不同的小球，做成不同的单摆(如图所示)来探究。
(1)请猜想单摆摆一次所需时间(周期)与哪些因素有关？
__可能与摆长有关(与单摆相关物理量的猜测均可)__(写出一种猜想即可) (2)在老师的指导下，小宇和其他同学合作完成了该实验。
①实验中，需要测量单摆长L 、摆球质量m 、摆角θ(θ小于10°)、摆动一次所需时间T 。
其中摆球质量m 除了用天平直接测量外，还可用下列测量仪器中__C__(只填序号)进行间接测量。
A ．温度计
B ．密度计
C ．弹簧测力计
D ．气压计 ②测量相关实验数据，记录如下：
分析上表中的数据，得出单摆的周期与质量、摆角、摆长的关系是__单摆摆动周期与摆球质量、摆角无关，与摆长有关，摆长越长，周期越大__。
(3)小宇采用的实验方法是__控制变量法__。
6．(2014，泰安)在电学实验中，往往认为电压表对测量的电路没有影响，事实上电压表有大的电阻值(简称内阻R V)，在电路中有很小的电流通过电压表，电压表的示数就是这很小的电流与其内阻R V的乘积。
现在要测量一个未知电阻R x(大约2 kΩ～3 kΩ)的阻值，物理实验室中已有实验器材：2节干电池(电压未知)、未知电阻R x、开关多个、导线若干。
另外，提供可选择的实验器材有3个：
a．电流表(0～0.6 A，分度值0.02 A)
b．电流表(0～5 mA，分度值0.1 mA)
c．电压表(0～3 V，R V＝3 kΩ)
请你利用已有实验器材，参考题目中给出的信息，再从提供可选择的3个实验器材中选择1个器材设计一个实验方案，准确测量未知电阻R X 的阻值。
(1)选择的实验器材：__C__(填器材的序号)。
(2)在方框中画出实验电路图(实验中不拆接仪器)
解：
(3)按照电路图连接电路，写出实验步骤并用字母表示出测量的物理量。
解：按照电路图连接电路，闭合开关S 1、断开开关S 2，记下电压表的示数U 1；同时闭合开关S 1、S 2，记下电压表的示数U 2。
(4)用测量的物理量和已知物理量表示R x ＝__根据U 1R V ＝
U 2－U 1R x ，得R x ＝（U 2－U 1）R V
U 1
__。
7．当弹簧不受拉力作用时，我们称其长度为原长，在弹簧的弹性限度内，弹簧所受拉力和弹簧的伸长量之比叫做弹簧的劲度系数。
某次实验测得弹簧的弹力F 与弹簧的长度l 关系如图所示，试求：
(1)弹簧的原长为多少？
(2)劲度系数为多少？
解：(1)由图可知，当弹力为零时，弹簧原长为4 cm (2)因为F ＝kx ，即F ＝k (l －l 0)，所以k ＝
F
l －l 0＝ 4 N 12 cm －4 cm
＝0.5 N/cm ＝50 N/m 8．如图所示，一质量为m 的物体，从高为h ，长为s 的光滑斜面顶端由静止自由滑下(忽略外界阻力的影响)。
(1)请作出该物体的受力示意图。
解：
(2)物体由于运动而具有的能叫动能，可用E k 表示。
若物体的动能E k 与物体的质量m 、速度v 的定量关系可表示为E k ＝12
mv 2
，请利用机械能守恒推导：物体到达斜面底端的速度大小v ＝2gh .
解：物体由斜面顶端滑至底端时重力做功W ＝Gh ＝mgh ，重力势能减小了mgh ，物体的动能增加了E k ＝12mv 2。
因为忽略外界阻力的影响，根据机械能定恒定律有，动能的增加量等于重力势能的减
小量，即E k ＝12
mv 2
＝mgh ，所以物体到达斜面底端的速度大小为v ＝2gh
9．干电池是我们实验时经常使用的电源，它除了有稳定的电压外，本身也具有一定的电阻。
可以把一个实际的电源看成一个理想的电源(即电阻为零)和一个电阻串联组成，如图甲所示。
如果用一理想电压表直接在电源两端测得电压为6 V ，用如图乙所示的电路开关S 闭合时测量出的实际电压为5 V ，图中R ＝5 Ω，求电源的电阻r 。
解：闭合S 时，电路中电阻R 和电源内阻r 串联连接在电路中，电压表测量电阻R 两端电压，故电源内阻所分得的电压U r ＝U 源－U 实＝6 V －5 V ＝1 V ，电路中的电流I ＝U 实R ＝5 V 5 Ω
＝1 A ，故电源的电阻r ＝U r I
＝1v/1A ＝1 Ω
10．实验中常忽略电源的电阻，但在精确计算中其内阻是不可忽略的，精确的测量中将电源看成一个理想的电源(即电阻为零)和一个电阻r 串联(如图中方框内的电路所示)。
在图中，当滑动变阻器的滑片停在某一位置时电流表和电压表的示数分别为0.20 A 和1.98 V ，改变滑片的位置后，两表的示数分别为0.40 A 和1.96 V ，则电源电压和内阻分别为多少？
解：图中所示的滑动变阻器和电源的内阻r 串联连接在电路中，电流表测量的是电路中的电流，电压表测量的是滑动变阻器两端的电压，当滑动变阻器在某一位置时，U 源＝U 滑1＋I 1r ，代入数据可得
U 源＝1.98 V ＋0.2 A ×r ①，当改变滑动变阻器的滑片位置后，U 源＝U 滑2＋I 2r ，代入数据可得U 源＝
0.4 A×r ＋1.96 V②，联立①②可得r ＝0.1 Ω，U 源＝2 V。