必修4常用公式及结论

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（1）点 P( x, y) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到点 P ( x h, y k ) . (2) 函数 y f ( x) 的图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式
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为 y f ( x h) k . (3) 图象 C 按向量 a= (h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y f ( x) ,则 C 的函数
向量的平行与垂直
设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，且 b 0，则
Hale Waihona Puke A||b b=λ a x 1 y2 x2 y1 0 . a b(a 0) a·b=0 x 1 x2 y1 y2 0 . 线段的定比分公式
设P PP2 ，则 1 2 的分点, 是实数，且 PP 1 ( x1 , y1 ) ， P 2 ( x2 , y2 ) ， P( x, y ) 是线段 PP 1
≠0，ω ＞0)的周期 T 正弦定理 余弦定理
.
a b c 2R . sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A ; b2 c2 a2 2ca cos B ; c2 a2 b2 2ab cos C .
面积定理
1 1 1 aha bhb chc （ ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高）. 2 2 2 1 1 1 （2） S ab sin C bc sin A ca sin B . 2 2 2 1 (3) SOAB (| OA | | OB |) 2 (OA OB) 2 . 2
x1 x2 x OP OP2 1 OP 1 1 y y1 y2 1
OP tOP 1 (1 t )OP 2 （t
三角形的重心坐标公式
1 ）. 1
△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐 标是 G(
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
点的平移公式
x' x h x x' h OP' OP PP' . ' ' y y k y y k
注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ，且 PP 的 坐标为 (h, k ) . “按向量平移”的几个结论
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解析式为 y f ( x h) k . (4) 曲 线 C : f ( x, y) 0 按 向 量 a= (h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为
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f ( x h, y k ) 0 .
(5) 向量 m= ( x, y) 按向量 a= (h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y) . 三角形五“心”向量形式的充要条件
特别地,有
sin sin k (1)k (k Z ) .
co s cos 2k (k Z ) . tan tan k (k Z ) .
最简单的三角不等式及其解集
sin x a(| a | 1) x (2k arcsin a, 2k arcsin a), k Z . sin x a(| a | 1) x (2k arcsin a, 2k arcsin a), k Z . cos x a(| a | 1) x (2k arccos a, 2k arccos a), k Z . cos x a(| a | 1) x (2k arccos a, 2k 2 arccos a), k Z .
n n (1) 2 co s , co s( ) n 1 2 (1) 2 sin ,
(n 为奇数)

和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ;
.
2 tan . 1 tan 2
三倍角公式
sin 3 3sin 4sin 3 4sin sin( )sin( ) . 3 3 cos3 4cos3 3cos 4cos cos( ) cos( ) 3 3
3tan tan 3 tan 3 tan tan( ) tan( ) . 2 1 3tan 3 3
2 2 2
三角函数的周期公式




.
函数 y sin( x ) ， x∈R 及函数 y cos( x ) ， x∈R(A,ω , 为常数， 且 A≠0， ω ＞0)的周期 T
2

；函数 y tan( x ) ， x k

2
, k Z (A,ω , 为常数，且 A
cos

x1 x2 y1 y2
2 2 x12 y12 x2 y2
(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).
平面两点间的距离公式
d A, B = | AB | AB AB
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ).
tan x a(a R) x (k arctan a, k ), k Z . 2
tan x a(a R) x (k


2
, k arctan a), k Z .
2 ( ) ( )
角的变形： 2 ( ) ( )
必修 4 常用公式及结论
三角函数 常见三角不等式
（1）若 x (0,

) ，则 sin x x tan x .(2) 若 x (0, ) ，则 1 sin x cos x 2 . 2 2

(3) | sin x | | cos x | 1 . 同角三角函数的基本关系式
sin 2 cos2 1 ， tan =
正弦、余弦的诱导公式
sin ， tan cot 1 . cos
n 2 ( 1) sin , n sin( ) n 1 2 (1) 2 co s ,
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数)
a 与 b 的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ ．
a·b 的几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积． 平面向量的坐标运算
(1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a+b= ( x1 x2 , y1 y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a-b= ( x1 x2 , y1 y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ,则 AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 ) . (4)设 a= ( x, y), R ，则 a= ( x, y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，则 a·b= ( x1 x2 y1 y2 ) . 两向量的夹角公式
（ b）; （a·b）= a·b= a·
如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数λ 1、λ 2，使得 a=λ 1e1+λ 2e2． 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 向量平行的坐标表示
设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，且 b 0，则 a b(b 0) x 1 y2 x2 y1 0 .
( )
向量 实数与向量的积的运算律
设λ 、μ 为实数，那么 (1) 结合律：λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律：(λ +μ )a=λ a+μ a;(3)第二分配律：λ (a+b)=λ a+λ b. 向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;(2)（ a） ·b= (3)（a+b） ·c= a ·c +b·c. 平面向量基本定理
tan( ) tan tan . 1 tan tan
sin( )sin( ) sin 2 sin 2 (平方正弦公式); cos( ) cos( ) cos 2 sin 2 .
a sin b cos = a 2 b2 sin( ) ( 辅助角 所在象限由点 (a ,b ) 的象限决定 ,
sin x a x k (1)k arcsin a(k Z ,| a | 1) .
co s x a x 2k arccos a(k Z ,| a | 1) . tan x a x k arctan a(k Z , a R) .
设 O 为 ABC 所在平面上一点，角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ，则 （1） O 为 ABC 的外心 OA OB OC . （2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 . （3） O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA . （4） O 为 ABC 的内心 aOA bOB cOC 0 . （5） O 为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC .