(易错题精选)初中数学三角形难题汇编附答案

【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，
∴AO＝ ，
∴AC＝16，BD＝12，
∴菱形面积＝ ＝96，
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．
5．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()
此三角形为直角三角形，
故AB＝2BC＝2×4＝8cm，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.
3．如图,已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E,连接BE, CE,如图:在射线AD上取点F连接BF, CF,如图,依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（）
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD.
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中,△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD.
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD；只有△ABC是等腰直角三角形时AD=CD，CG=EG；利用“角角边”证明△BCE和△BFE全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC．
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x轴交于点N，
∵B（3， ），∴OA=3，AB= ，∴OB=2 ，∴∠BOA=30°，
∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，
故选C．
【点睛】
图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量．
14．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．
6．如图，在 中， 的垂直平分线交 于 ， 的中垂线交 于 ， ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,在由等边对等角，根据三角形内角和定理求解.
A．45°B．30 °C．15°D．60°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果．
【详解】
解：∵ABCD是长方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAF=60°，
∴∠DAF=30°，
∵长方形ABCD沿AE折叠，
∴△ADE≌△AFE，
∴∠DAE=∠EAF= ∠DAF=15°．
A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD.得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.
【详解】
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠EBD.
又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，
∴△ABD≌△EBD(AAS)，
（易错题精选）初中数学三角形难题汇编附答案
一、选择题
1．如图，直线 ，点 、 分别在直线 、 上， ，若点C在直线b上， ，且直线a和b的距离为3，则线段 的长度为（ ）
A． B．ຫໍສະໝຸດ BaiduC．3D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
过C作CD⊥直线a，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】
过C作CD⊥直线a，∴∠ADC=90°．
A．20°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．
【详解】
在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
①分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 和 ．
②作直线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB＝∠CAE＝30°，即可得出AE的长．
【详解】
由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN= ，
∴CN=3－ －1.5=1，
∴CD2=CN2+DN2=12+（ ）2= ，∴CD= .
故选B.
点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.
12．如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：
8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， 轴，点 在函数 的图象上，若 ，则 的值为（）
A．1B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的
值，本题得以解决．
【详解】
等腰直角三角形 的顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ，CA⊥x轴， ，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查作图-基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
17．如图，在 中， ，分别是以点A，点B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交点的连线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ，则 （）
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠EBF，
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（AAS），
∴BF=BC，故（4）正确，
综上所述，正确的有（1）（4）共2个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．
∵∠1=45°，∠BAC=105°，∴∠DAC=30°．
∵CD=3，∴AC=2CD=6．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
2．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为()cm
A．6B．8C． D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】
设∠A＝x，
则∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，
即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是 .
故选C.
【点睛】
考查全等三角形的判定，找出数字的变化规律是解题的关键.
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（ ）
A．60B．48C．24D．96
【答案】D
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．
【解析】
试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′= = =5．故选B．
10．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能
【答案】D
【解析】
从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，
故选D．
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3， )，点C的坐标为( ，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=25°，
∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，
根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，
故选：A．
【点睛】
此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是( )
15．如图，在菱形 中， ， 的垂直平分线交对角线 于点 ，垂足为 ，连接 、 ，则 的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB即可解决问题；
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB＝ ∠BCD=25°，
∵EF垂直平分线段BC，
【详解】
如图所示：
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB, ,
同理可得： ,
∵ ， ，
∴
∴
故选：D
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
7．如图，在 中， ，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 中，一定成立的有( )
【详解】
∵EF∥AC，∠BCA=90°，
∴∠CGE=∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠CEG=90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，
∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），
∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；
只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG而立，故（2）（3）不一定成立，错误；
A．50°B．55°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．
【详解】
如图，延长l2，交∠1的边于一点，
∵11∥l2，
∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，
由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，
A．nB．2n-1C． D．3(n+1)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对全等三角形；图3中有6对全等三角形，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，
，
， ，
点 的坐标为 ，
点 在函数 的图象上，
，
故选： ．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键
是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）
∴AD＝ED，AB＝BE，
∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC
＝AD＋DC＋EC
＝AC＋EC＝AB＋EC
＝BE＋EC＝BC
＝10 cm.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质.掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
∴AE＝BE，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠CBA＝30°，
∴∠EAB＝∠CAE＝30°，
∴CE＝ AE＝4，
∴AE＝8．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．
13．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（）