2020清华强基计划试题

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2020年清华大学强基计划招生考试数学试题

2020年清华大学强基计划招生考试数学试题金石为开教研部整理1.已知122≤+y x ，22y xy x -+求的最值_________.2.非等边三角形ABC 中，AC BC =，P O ,分别为ABC ∆的外心和内心，D 在BC 上BP OD ⊥，下列选项正确的是（）.A.C.3.,B A 4.0=a A.A C.A 5.P 6.∆A.17.P 4β，下列为定值的是（）.A.βαtan tanB.2tan 2tanβαC.()βα+∆tan PAB S D.()βα+∆cos PAB S 8.甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（）.A.甲对B.对C.丙对D.以上说法均不对9.ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，3=AB ，1=BC0=+PC PB PA ，以下说法正确的是（）.A.︒=∠120APBB.︒=∠120BPC C.PCBP =2 D.PCAP 2=10.∞→n lim A.π4311.从39612.望()Y E 13.A.214.y x ,A.x 2+B.x y y x 4422++与可以均为完全平方数C.x y y x 5522++与可以均为完全平方数D.x y y x 6622++与可以均为完全平方数15.⎪⎭⎫ ⎝⎛++51arcsin 103arccos 1arctan sin =_________.16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为α，侧棱与底面夹角为β，问一个βtan 与αcos 的关系，设高为h ，底面边长为a ，余弦定理刻画αcos 即可.17.()x ee e xf x x xsin 2++=-，[]2,2-上()x f 上下界之和为_________.18.()x f 的图像如图所示，()t x a x x f ==,与直线，x 轴围成图形的面积为()t S ，问()t S '的最大值为_________，()x f '的最大值为__________.19.定义数列{}n a ，若*N n ∈∀，*N m ∈∃，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”，以下正确的是（）.A.{11222=≥-=n n n n a ，，，数列{}n a 为“某数列”B.kn a n =，k 为常数，则{}n a 为“某数列”C.忘记了D.任意的等差数列{}n a ，存在“某数列”{}n b ,{}n c ，使nn n c b a +=。

2024年清华大学强基计划数学学科笔试试题

清华大学2024年强基计划数学学科试题考试时间 2024年6月28日8:00-12:001. 已知{}{}θθθθθθ3cos ,2cos ,cos 3sin ,2sin ,sin =，则=θ_____.2. 已知4ln =+=+b b a e a ,则下列选项中正确的有（）A. 1ln ln >+a b aB.1ln ln =+a b aC.4<abD.e ab >3. 某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。

A.96B.98C.104D.1024. 在平面直角坐标系内，()1,2,18200),(22A y x y x M≤+∈，若OMA ∆的面积不超过3，则满足条件的整点M 个数为_____.6.已知2111,1nn n a a a a +==+，下列选项中正确的有（）. A.333lim =+∞→n a n n B.[]20400=a C.2lim =+∞→n a n n D.[]30900=a 7.正整数{}100,,2,1,, ∈c b a ，且c b a b c a >>=+,211，满足这样条件的()c b a ,,的组数为（）. A.60 B.90 C.75 D.868. 从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A 出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（）.A. 进行4次这样的操作回到A 的概率为)311(214+⋅ B. 进行2次这样的操作回到A 的概率为95C. 进行4次这样的操作回到A 的概率为)311(214−⋅ D. 进行2次这样的操作回到A 的概率为31 9.圆周上721,,A A A 七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公告点的概率是（）. A.73 B.21 C.72 D.31 10.1021,,a a a 是一个10,,3,2,1 的排列，要求1−i a 和1+i a 一定有一个大于i a （9,,3,2 =i ），则满足的排列的总数为_____.11.直线c by ax c by ax x y x Q y x p c by ax l ++++==++22112211),,(),,(,0:，下列选项中正确的有（）. A.若1>x ，则l 与射线PQ 相交B. 若1=x ，则l 与射线PQ 平行C.若1−=x ，则l 与射线PQ 垂直D.若x 存在，则Q 在l 上12.在ABC ∆中，CAP BAP A ∠=∠=∠,60 ,P 在ABC ∆内部，延长BP 交AC 于Q ，且PQCP BP 111=+，则=∠BPC （）. A. 140 B. 130 C. 110 D. 12013.几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：张三：甲是第4名；李四：乙不是第2或第4名；王五：丙排在乙前面；刘六：丁是第1名已知只有一个人说假话，下列正确的是（）.A.丙是第1名B.丁是第2名C.乙是第3名D.甲是第4名14.=++++)122arctan 22arctan 2tan(arctan 22 _____. 15.已知2024,,*≤+∈b a N b a ，使得b a b a b ab ++++227的解的组数有（）组.16.点集{}*,,4,5),(Ν∈≤≤=y x y x y x S ，则由S 中的点可组成_____个不同的三角形.17.已知31,0132111==+−++a a a a n n n ，下列选项中正确的有（）. A.21lim =+∞→n n a B.61−>n S n C.+−11n n a a 是等比数列 D.2n S n < 18.已知复数2,1+==z z z n ，则n 的最小值为_____.19.已知一个正四面体边长为22，P 2，考虑AD AP ⋅，下列说法正确的有（）.A.最小值为224−B.最大值为222+C.最小值为222−D.最大值为224+20.已知)0,,(),,(≥+++++=c b a ba c a cbc b a c b a f ，则),,(c b a f 的最大值、最小值分别为_____. 21.已知023=++r px x 在)2,0(上三个不等实根，则r q p ++的可能取值为_____.22.四面体ABC V −中，4,322=====CB CA VC VB VA ，，求CA 与VB 所成弦角的取值范围_____.23.已知xe x xf 1)(−=，下列选项中正确的有（）. A.a x f =)(两根,,21x x 且421=+x xB.a x f =)(两根，则)1,0(2ea ∈ C.任意R m ∈，函数m x f x g +=)()(都有最小值D.任意R m ∈，使得函数m x f x g +=)()(有最大值24.)(x f 是在[]10，上的连续函数，设∑=−−=n k n nk f n k f A 1)()1(，则（） A.n n A A 2≤ B.m n n A A +≤ C.n n A A 22≤ D.mn n A A +≤225.双曲线12222=−by a x ，斜率为1的直线l 交C 于B A ,两点，D 为C 上另一点，BOD AOD BD AD ∆∆⊥,.重心分别为Q P ,，ABD ∆外心为M ，若8−=⋅⋅OM OQ OP k k k ，则双曲线的离心率为_____.26.过抛物线y x 42=焦点F 的直线与抛物线交于点),(),,(2211y x B y x A 两点，l 过B 且与抛物线在A 处的切线平行，l 交抛物线与另一点),(33y x D ，交y 轴于E 点，则下列选项中正确的有（）.A.1323x x x =+B.FE FB =C.ABD ∆面积的最小值为16D.121=y y27.x x x f cos ln )(+=所有极值点依次为n a a a ,,11，则=−++∞→n n n a a 1lim _____. 28.x x u b au u u f 1,2)(2+=−++=，)(u f 有零点，则22b a +的最小值为_____.清华大学2024年强基计划数学学科试题解析。

清华大学2020年强基计划笔试面试真题

清华大学2020年强基计划笔试面试真题
（一）面试面试形式为阅读一篇材料，并根据材料进行5分钟演讲，并回答提问，准备时间为45分钟。

来自不同省份的多位考生都表示面试材料为《我的书院我做主》。

今年清华本科招生的一大动作是新设立致理、未央、探微、行健、日新五大书院，统筹推进强基计划人才培养。

一位浙江考生说，面试现场发放了书院相关的材料，写出演讲提纲再参加面试。

面试中先进行5分钟的演讲，之后再回答现场提问。

考官提问：北京十一学校一位考生的简历中写有生物竞赛获奖信息，评委还问到跟竞赛相关的问题。

一位来自湖北的考生点评说，这次面试主要考查信息提炼总结、观点表达以及临场应变能力，同时考量学生对清华的关注和认同。

（二）语文语文都是不定项选择题，题目有：1、《蜘蛛丝》芥川龙之介2、《美国人的性格》费孝通3、文言文智子疑邻4、赋得暮雨送李胄
（三）数学1、三角形和向量。

向量关系式指向的信息是费马点。

2、和折叠相关的立体几何问题。

3、通过侧棱与底面的角度和相邻侧面的二面角分别确定同一个正四棱锥，问这两个角度之间的关系。

4、0-9的数字排列成的数被396整除的个数。

（四）物理1、电容器与电路。

2、磁矩
（五）化学整体难度很简单，很多都是考察定义问题，竞赛内容很少。

（六）其他1、敦煌文化一文，谈谈文章给自己印象最深刻部分的内容，并解释其理由；2、谈论自己对文化交流与文明交融的的理解与认识；3、谈论自己对国家“一带一路”战略的看法和认识。

2020年清华强基计划试题及解析

2020年清华大学强基计划试题1. 若22+1x y ≤，则22x xy y +-的取值范围是（）.A.,22⎡-⎢⎣⎦B.[]1,1-C. ,22⎡-⎢⎣⎦D.[]2,2-2. 在非等边三角形ABC 中，CA CB =，若O ，P 分别为ABC ∆的外心和内心，点D 在线段BC 上，且满足OD BP ⊥，则下列说法正确的是（）.A.OCP 三点共线B.OD ACC.BDOP 四点共圆D.PD AC3. 已知集合{},,1,2,3,2020A B C ⊆ ，且A C ⊆，B C ⊆，则有序集合组(,,)A B C 的个数是（）.A.20202B.20203C. 20204D.202054. 已知数列{}n a 满足01a =，11()i i a a i N +=+∈，则201kk A a==∑的值可能是（）.A.0B.2C.10D.125. 已知P 在椭圆22143x y +=上，(1,0)A ，(1,1)B ，则PA PB +的最大值是（）.A.4B.4+4+ D.66. 已知ABC ∆的三条边长均为整数，且面积为有理数，则AB 的值可能是（）. A.1 B.2 C.3 D.47. 已知P 为双曲线2214x y -=上一点，(2,0)A -，(2,0)B ，令PAB α∠=，PBA β∠=，PAB∆的面积为S ，则下列表达式为定值的是（）. A.tan tan αβ B.tantan22αβC.tan()S αβ+ D.cot()S αβ+8. 甲、乙、丙三人一起做同一道题，甲说：“我做错了。

”乙说：“甲做对了。

”丙说：“我做错了。

”而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁可能做对了题目（）. A.甲 B.乙 C.丙 D.没有人9. 在直角ABC ∆中，90ABC ∠=，AB =，1BC =且0PA PB PCPA PB PC++=，则下列说法正确的是（）.A.120APB ∠=B.120BPC ∠=C.2PC PB =D.2PA PC =10. 求值：212lim arctan nn k k →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）. A.2πB.34π C.54π D.32π11. 从0~9这十个数中任取五个数组成一个五位数ABCDE （A 可以为0），则396ABCDE 的概率是（）. A.1396 B.1324 C.1315 D.121012. 随机变量(1,2,3,)X = ，(012)Y =，，，满足1()2k P X k ==，且(mod 3)Y X ≡，则()E Y =（）. A.47 B.87 C.127 D.16713. 已知向量,,a b c 满足1a ≤，1b ≤，22a b c a b ++=-，则下列说法正确的是（）.A.c 的最大值是B.c 的最大值是C.c 的最小值是0D.c 的最小值是214. 若存在*,x y N ∈，使得22,x ky y kx ++均为完全平方数，则正整数k 可能是（）. A.2 B.4 C.5 D.615. 求值：sin arctan1⎛++= ⎝（）.A.0B.12C.2D.116. 已知四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱和底面夹角为β，则（）. A.2cos tan 1αβ+= B.2sec tan 1αβ+=-C.2cos 2tan 1αβ+=D.2sec 2tan 1αβ+=-17. 已知函数2()sin (22)xx xe f x x x e e-=+-≤≤+，则()f x 的最大值与最小值的和是（）. A.2 B.e C.3 D.418. 已知函数()f x 图象如图所示，记()y f x =，x a =，()x t a t c =<< 及x 轴围成的曲边梯形面积为()S t ，则下列说法正确的是（）. A.()()S t cf b < B.()()S t f a '≤ C.()()S t f b '≤ D.()()S t f c '≤19. 我们称数列{}n a 为好数列，若对于任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得1nm ii a a==∑，则下列说法正确的是（）.A.若21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则数列{}n a 为好数列B.若n a kn =（k 为常数），则数列{}n a 为好数列C.存在任意两项均不相同的好数列{}n a ，且对于任意*n N ∈，n a <D.对于任意等差数列{}n a ，存在好数列{}n b ，{}n c ，使得对于任意*n N ∈，有n n n a b c =+20. 求值：2244sin sin cos xdx x xπ=+⎰（）. A.πC.2πD.2020年清华大学强基计划试题解析1. 【答案】C【解析】设cos x r θ=，sin y r θ=，01r ≤≤，则22222(sin cos sin cos )x xy y r θθθθ+-=+-2221sin 2cos 2,,22222r r r θθ⎡⎤⎡⎛⎫=-∈-∈-⎢⎥⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦等号显然可以取到，故选C 。

清华强基面试题

清华强基面试题【最新版】目录1.清华强基计划简介2.清华强基面试题目特点3.清华强基面试题目分类4.清华强基面试题目示例5.清华强基面试的备考建议正文【1.清华强基计划简介】清华大学强基计划，全称为“清华大学基础学科拔尖学生培养试验计划”，旨在选拔和培养有志于从事基础学科研究、有潜力成为高层次科学家的优秀学生。

该计划从 2020 年开始实施，通过优化课程体系、强化实践环节、提升国际化水平等手段，为学生提供更加优质的教育资源。

【2.清华强基面试题目特点】清华强基面试题目以考查学生综合素质和学科潜力为主要目标，具有以下特点：（1）注重学科基础：面试题目往往涉及数学、物理、化学等基础学科知识，考查学生对基础知识的掌握程度。

（2）强调逻辑思维：题目往往具有一定的难度，需要学生运用逻辑思维、分析问题的能力来解决问题。

（3）关注创新能力：面试题目中可能包含一些创新性问题，以考查学生的创新意识和能力。

（4）涉及时事热点：题目可能涉及时事热点，考查学生对社会现象的关注和理解。

【3.清华强基面试题目分类】清华强基面试题目主要分为以下几类：（1）学科基础知识题：考查学生对基础学科知识的掌握程度。

（2）综合分析题：考查学生运用逻辑思维、分析问题的能力。

（3）创新题型：考查学生的创新意识和能力。

（4）时事热点题：考查学生对社会现象的关注和理解。

【4.清华强基面试题目示例】以下是一些清华强基面试题目的示例：（1）学科基础知识题：简述麦克斯韦方程组的基本原理。

（2）综合分析题：如何从经济学角度分析共享单车的普及？（3）创新题型：请设计一种新型材料，并简述其性能及应用领域。

（4）时事热点题：对近年来我国科技领域的快速发展，请谈谈你的看法。

【5.清华强基面试的备考建议】（1）扎实基础：加强基础学科知识的学习，提高自己的学术素养。

（2）提高思维能力：通过做一些思维训练题来提高自己的逻辑思维和分析问题的能力。

（3）关注时事热点：多关注时事新闻，了解社会现象，提高自己的社会责任感。

2020年清华大学强基计划数学试题及其详解

２０２０年清华大学强基计划数学试题及其详解甘志国(北京丰台二中㊀１０００７１)摘㊀要:２０２０年清华大学强基计划数学试题共２０道不定项选择题ꎬ该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.本文给出该试题(回忆版)的详细解答ꎬ对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.关键词:清华大学强基计划ꎻ数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ详细解答中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６３－０７收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:甘志国(１９７１－)ꎬ男ꎬ湖北省竹溪人ꎬ硕士ꎬ中学正高级教师ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:北京市教育学会十三五教育科研滚动立项课题数学文化与高考研究 (课题编号:ＦＴ２０１７ＧＤ００３)㊀㊀全卷共２０道不定项选择题.以下试题是回忆版ꎬ但对准备参加重点大学强基计划考试的读者仍有重要参考作用.该试题较其他２０２０年重点大学强基计划的数学试题难度都要大.针对下面的试题题号按难度渐升的顺序叙述如下:第８题是简易逻辑问题ꎻ第１６题是立体几何中的空间角问题ꎻ第１题是求二元函数的最值ꎻ第１７题考查函数的奇偶性ꎻ第５ꎬ７题是平面解析几何问题(后者是双曲线与三角函数的综合)ꎻ第１５题是反三角函数问题ꎻ第２题是平面几何问题ꎻ第９题是平面向量问题ꎻ第１３题是空间向量问题ꎻ第１２题是求期望(但涉及无穷递缩等比数列各项的和)ꎻ第１８题涉及定积分与导数ꎻ第１９题是关于数列前ｎ项和的新定义问题ꎻ第１０题是求极限(涉及反三角函数及不易想到的裂项法求数列前ｎ项和)ꎻ第３题是集合与排列组合的综合ꎻ第４题是递推数列问题ꎻ第６ꎬ１４题是初等数论中的整数性质问题ꎻ第１１题是概率与整数性质的综合问题(用枚举法求解时情况较多)ꎻ第２０题是定积分.㊀㊀一㊁试题呈现１.若ｘ２＋ｙ２ɤ１(ｘꎬｙɪＲ)ꎬ则ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－３２ꎬ３２[]㊀㊀㊀Ｂ.[－１ꎬ１]Ｃ.－５２ꎬ５２[]Ｄ.[－２ꎬ２]２.在非等边ΔＡＢＣ中ꎬＢＣ＝ＡＣꎬ点ＯꎬＰ分别是ΔＡＢＣ的外心与内心.若点Ｄ在边ＢＣ上且ＯＤʅＢＰꎬ则下列选项正确的是(㊀㊀).Ａ.ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆㊀㊀㊀Ｂ.ＯＤʊＡＣＣ.ＯＤʊＡＢＤ.ＤＰʊＡＣ３.若ＡꎬＢꎬＣ⊆１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬＡ⊆ＣꎬＢ⊆Ｃꎬ则有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是(㊀㊀).Ａ.２２０２０㊀Ｂ.３２０２０㊀㊀Ｃ.４２０２０㊀㊀Ｄ.５２０２０４.若ａ０＝０ꎬａｉ＋１＝ａｉ＋１(ｉɪＮ)ꎬ则ð２０ｋ＝１ａｋ的值可以是(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.１０㊀㊀Ｄ.１２５.已知点Ａ(１ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ１).若Ｐ为椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１上的动点ꎬ则ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是(㊀㊀).㊀Ａ.４＋２ꎬ４－２㊀㊀Ｂ.４＋３ꎬ４－３Ｃ.４＋５ꎬ４－５Ｄ.４＋６ꎬ４－６６.若一个三角形的各边长均为整数且其面积为有理数ꎬ则该三角形某一边的长可以是(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀Ｂ.２㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４７.已知两点Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬＰ为双曲线ｘ２４－ｙ２＝１上不是顶点的动点.若øＰＡＢ＝αꎬøＰＢＡ＝βꎬ则下列各式中为定值的是(㊀㊀).Ａ.ｔａｎαｔａｎβ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｔａｎα２ｔａｎβ２３６Ｃ.ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)Ｄ.ＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)８.甲㊁乙㊁丙三人做同一道题.甲说我做错了 ꎬ乙说甲做对了 ꎬ丙说我做错了 ꎬ老师说有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若老师说的话一定正确ꎬ则(㊀㊀).Ａ.甲说的对㊀㊀Ｂ.乙说的对Ｃ.丙说的对Ｄ.甲㊁乙㊁丙说的均不对９.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬøＡＢＣ＝９０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝１ꎬＰＡңＰＡң＋ＰＢңＰＢң＋ＰＣңＰＣң＝０ꎬ则(㊀㊀).Ａ.øＡＰＢ＝１２０ʎＢ.øＢＰＣ＝１２０ʎＣ.２ＢＰ＝ＰＣ㊀㊀Ｄ.ＡＰ＝２ＰＣ１０.ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝(㊀㊀).Ａ.３π４㊀㊀Ｂ.π㊀㊀Ｃ.３π２㊀㊀Ｄ.７π３１１.若从０ꎬ１ꎬ２ꎬ ꎬ９中选取５个两两互异的数字依次排成一个五位数(包括０在首位的五位数ꎬ其大小就是把０去掉后的四位数)ꎬ则它能被３９６整除的概率是(㊀㊀).㊀Ａ.１３９６㊀Ｂ.１３２４㊀㊀Ｃ.１３１５㊀㊀Ｄ.１２１０１２.已知Ｐ(Ｘ＝ｋ)＝１２ｋ(ｋ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ )ꎬ若Ｙ为Ｘ除以３所得的余数ꎬ则随机变量Ｙ的期望是(㊀㊀).Ａ.４７㊀Ｂ.８７㊀㊀Ｃ.１２７㊀㊀Ｄ.１６７１３.若空间向量ａꎬｂꎬｃ满足｜ａ｜ɤ１ꎬ｜ｂ｜ɤ１ꎬ｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜＝｜ａ－２ｂ｜ꎬ则｜ｃ｜的最值为(㊀㊀).Ａ.最大值为４２Ｂ.最大值为２５Ｃ.最小值为０Ｄ.最小值为２１４.若ｘꎬｙɪＮ∗ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).Ａ.ｘ２＋２ｙ与ｙ２＋２ｘ可以均为完全平方数Ｂ.ｘ２＋４ｙ与ｙ２＋４ｘ可以均为完全平方数Ｃ.ｘ２＋５ｙ与ｙ２＋５ｘ可以均为完全平方数Ｄ.ｘ２＋６ｙ与ｙ２＋６ｘ可以均为完全平方数１５.ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀Ｂ.１２㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀Ｄ.１１６.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为αꎬ侧棱与底面所成线面角的大小为βꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃｏｓα＋ｔａｎ２β＝１㊀㊀Ｂ.ｓｅｃα＋ｔａｎ２β＝－１Ｃ.ｃｏｓα＋２ｔａｎ２β＝１Ｄ.ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１１７.函数ｆ(ｘ)＝２ｅｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)的最大值与最小值之和是(㊀㊀).Ａ.２㊀Ｂ.ｅ㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.４图１１８.已知ｙ＝ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬｘ＝ｃ是其极大值点ꎬ函数ｙ＝ｆ(ｘ)的部分图象如图１所示.若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象与直线ｘ＝ａꎬｘ＝ｔ(ａ<ｔ<ｂ)ꎬｙ＝０围成图形的面积为Ｓ(ｔ)ꎬ则当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)ꎬＳᶄ(ｘ)的最大值分别是(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｂ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｂ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｂ)Ｃ.ｆ(ｃ)ꎬｆᶄ(ａ)㊀Ｄ.ｆᶄ(ａ)ꎬｆ(ｃ)１９.把数列ａｎ{}的前ｎ项和记作Ｓｎ.若∀ｎɪＮ∗ꎬ∃ｍɪＮ∗ꎬＳｎ＝ａｍꎬ则称数列ａｎ{}为某数列 .以下选项中正确的是(㊀㊀).Ａ.若ａｎ＝１ꎬｎ＝１２ｎ－２ꎬｎȡ２{ꎬ则ａｎ{}为某数列Ｂ.若ａｎ＝ｋ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为某数列Ｃ.若ａｎ＝ｋｎ(ｋ为常数)ꎬ则ａｎ{}为某数列Ｄ.对于任意的等差数列ａｎ{}ꎬ均存在两个某数列ｂｎ{}ꎬｃｎ{}ꎬ使得ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ２０.ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(㊀㊀).Ａ.π㊀Ｂ.２π㊀㊀Ｃ.２π㊀㊀Ｄ.５π㊀㊀二㊁试题解析１.Ｃ.可设ｘ＝ｒｃｏｓθꎬｙ＝ｒｓｉｎθ(０ɤθ<２πꎬ０ɤｒɤ１)ꎬ得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２＝ｒ２１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θæèçöø÷.由辅助角公式ꎬ可得１２ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ的取值范围是－５２ꎬ５２[].再由０ɤｒɤ１ꎬ可得ｘ２＋ｘｙ－ｙ２的最大值与最图２小值分别是５２ꎬ－５２.２.ＡＤ.由题设ꎬ可得点ＯꎬＰ不重合.㊀如图２所示ꎬ可得点ＯꎬＰ在等腰әＡＢＣ底边上的高ＣＥ上(点Ｅ是边ＡＢ的中点).可设直线ＯＤꎬＢＰ交于点Ｒꎬ可得øＲ＝øＣＥＢ＝９０ʎꎬ所以ＯꎬＲꎬＥꎬＢ四点共圆.４６再由题设点Ｐ是әＡＢＣ的内心 ꎬ可得øＣＢＰ＝øＲＢＥ＝øＲＯＰꎬ所以ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ得选项Ａ正确.㊀由ＢꎬＤꎬＯꎬＰ四点共圆ꎬ可得øＢＤＰ＝øＢＯＰ.由题设点Ｏ是әＡＢＣ的外心 ꎬ可得øＢＯＰ＝２øＢＣＯ＝øＢＣＡꎬ所以øＢＤＰ＝øＢＣＡ.所以ＤＰʊＡＣꎬ得选项Ｄ正确ꎬ选项Ｂ错误.若ＯＤʊＡＢꎬ由ＣＥʅＡＢꎬ可得ＣＥʅＯＤ.又由ＰＢʅＯＤꎬ可得ＰＢʊＣＥ.而直线ＰＢꎬＣＥ交于点Ｐꎬ所以选项Ｃ错误.３.解法１㊀Ｄ.若集合Ｃ已确定ꎬ由Ａ⊆Ｃ可得集合Ａ有２Ｃ种可能(其中Ｃ表示集合Ｃ的元素个数)ꎻ同理ꎬ由Ｂ⊆Ｃ可得集合Ｂ有２Ｃ种可能.所以有序集合组(ＡꎬＢ)的组数是２Ｃ２Ｃ＝４Ｃ.所以有序集合组(ＡꎬＢꎬＣ)的组数是ð２０２０Ｃ＝０(ＣＣ２０２０４Ｃ)＝(１＋４)２０２０＝５２０２０.图３解法２㊀Ｄ.如图３所示ꎬ其中Ｕ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０{}ꎬ可得元素１ꎬ２ꎬ３ꎬ ꎬ２０２０均有５种填法:∁ＵＣꎬ∁Ｕ(ＡɣＢ)ꎬ∁Ａ(ＡɘＢ)ꎬＡɘＢꎬ∁Ｂ(ＡɘＢ).由分步乘法计数原理ꎬ可得所求答案是５２０２０.４.ＢＣ.先用数学归纳法证明ａ２ｋꎬａ２ｋ＋１(ｋɪＮ)分别是偶数㊁奇数.当ｋ＝０时成立ꎬａ０＝０ꎬａ１＝ʃ１.假设ｋ＝ｎ时成立ꎬ即ａ２ｎꎬａ２ｎ＋１分别是偶数㊁奇数.可得ａ２ｎ＋２＝ａ２ｎ＋１＋１ꎬ所以ａ２ｎ＋２是偶数ꎻ再由ａ２ｎ＋３＝ａ２ｎ＋２＋１ꎬ可得ａ２ｎ＋３是奇数.所以ｋ＝ｎ＋１时也成立.所以欲证结论成立.由题设ꎬ得ａ２ｋ＝ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ＝－ａ２ｋ－１－１(ｋɪＮ∗)ꎬ所以ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１或ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝－１(ｋɪＮ∗).可设ａ２ｋ－１＝２ｍ－１(ｍɪＺ)ꎬ当ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝２ａ２ｋ－１＋１时ꎬ可得ａ２ｋ－１＋ａ２ｋ＝４ｍ－１.所以总有ａ２ｋ－１＋ａ２ｋʉ－１(ｍｏｄ４).因而ð２０ｋ＝１ａｋʉ２(ｍｏｄ４)ꎬ进而可排除选项ＡＤ.当(ａ０ꎬａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａ２０)＝(０ꎬ－１ꎬ０ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ－２ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ－４ꎬ３ꎬ４)时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝２ꎬ所以选项Ｂ正确.当ａ０＝ａ２＝ａ４＝＝ａ２０＝０ꎬａ１＝ａ３＝ａ５＝＝ａ１９＝－１时ꎬ满足题设ꎬ且此时ð２０ｋ＝１ａｋ＝１０ꎬ所以选项Ｃ正确.５.Ｃ.由题意ꎬ得椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右焦点分别为Ａᶄ(－１ꎬ０)ꎬＡ(１ꎬ０).由椭圆定义ꎬ得ＰＡ＋ＰＢ＝４＋(ＰＢ－ＰＡᶄ)ꎬＰＢ－ＰＡᶄɤＡᶄＢ＝(１＋１)２＋(１－０)２＝５.所以ＰＡ＋ＰＢ的最大值与最小值分别是４＋５ꎬ４－５.㊀６.ＣＤ.因为三边长分别是３ꎬ４ꎬ５的三角形的面积６是有理数ꎬ所以选项Ｄ正确.若满足题设的三角形的某一边长可以是１ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(１ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得１＋ｂ>ｃꎬ即１＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃꎬ所以ｂ＝ｃ.可得该三角形的面积１２１ｂ２－１４＝４ｂ２－１４ꎬ因而设４ｂ２－１＝(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２(ｂ２－ｎ２＋ｎ)＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!所以选项Ａ错误.若满足题设的三角形的某一边长可以是２ꎬ则可设其另外边长分别是ｂꎬｃ(２ɤｂɤｃꎻｂꎬｃɪＮ∗).由三角形两边之和大于第三边 ꎬ可得２＋ｂ>ｃꎬ即２＋ｂȡｃ＋１ꎬ所以ｂȡｃ－１.所以ｂ＝ｃ－１或ｃ.若ｂ＝ｃ－１ꎬ由海伦公式ꎬ可得该三角形的面积是１４３[４ｂ(ｂ＋１)－３]ꎬ因而设４ｂ(ｂ＋１)－３＝３(２ｎ－１)２(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ得２[ｂ(ｂ＋１)－３ｎ２＋３ｎ－１]＝１(ｂꎬｎɪＮ∗)ꎬ这不可能!若ｂ＝ｃꎬ可得该三角形的面积１２２ｂ２－１＝ｂ２－１(ｂȡ２).由(ｂ－１)２<ｂ２－１<ｂ２ꎬ可得ｂ２－１∉Ｑꎬ与题设矛盾!所以选项Ｂ错误.７.ＡＣ.由对称性知ꎬ可不妨设点Ｐ(ｍꎬｎ)(ｍ>２ꎬｎ>０)ꎬ得ｍ２４－ｎ２＝１ꎬ即４－ｍ２＝－４ｎ２.所以ｔａｎα＝ｎｍ＋２ꎬｔａｎβ＝－ｎｍ－２＝ｎ２－ｍ.所以ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２ｎ２－ｍ＝ｎ２４－ｍ２＝－１４.故选项Ａ正确.所以ｔａｎ(α＋β)＝ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ＝ｎｍ＋２＋ｎ２－ｍ１＋１４＝１６５ｎ４－ｍ２＝－４５ｎꎬｃｏｔ(α＋β)＝－５４ｎꎬＳәＰＡＢ＝１２(２＋２)ｎ＝２ｎ.５６所以ＳәＰＡＢｔａｎ(α＋β)＝－８５ꎬＳәＰＡＢｃｏｔ(α＋β)＝－５２ｎ２.故选项Ｃ正确㊁Ｄ错误.可选(ｍꎬｎ)＝(４ꎬ３)ꎬ得ｔａｎα＝１２３ꎬｔａｎβ＝－３２ꎬ所以ｔａｎα２＝１３－２３ꎬｔａｎβ２＝２３＋２１３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝２３９＋２７３－６７－１２３.还可选(ｍꎬｎ)＝(６ꎬ２２)ꎬ得ｔａｎα＝１２２ꎬｔａｎβ＝－１２ꎬ所以ｔａｎα２＝３－２２ꎬｔａｎβ２＝２＋３.所以ｔａｎα２ｔａｎβ２＝３２＋３３－２６－４.可证得２３９＋２７３－６７－１２３<３２＋３３－２６－４ꎬ所以选项Ｂ错误.８.Ａ.若仅甲说的对ꎬ则甲做错了ꎻ可得乙㊁丙均说错了ꎬ得丙做对了.满足题设有且仅有一人做对ꎬ有且仅有一人说错了 .若仅乙说的对ꎬ则甲做对了ꎻ可得甲㊁丙均说错了ꎬ得丙也做对了.不满足题设有且仅有一人做对 .若仅丙说的对ꎬ则丙做错了ꎻ可得甲说错了ꎬ得甲做对了ꎻ还可得乙说错了ꎬ得甲也做错了.前后矛盾!综上所述ꎬ可得仅甲说的对.图４９.ＡＢＣＤ.如图４ꎬ设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＤң＋ＰＥң＝ＰＦңꎬ可得菱形ＰＤＦＥꎬ且射线ＰＦ平分øＡＰＢ.所以ＰＦң＋ＰＣңＰＣң＝０.所以ＣꎬＰꎬＦ三点共线ꎬ得øＡＰＣ＝øＢＰＣ.同理ꎬ可得øＢＰＣ＝øＢＰＡ.再由øＡＰＣ＋øＢＰＣ＋øＢＰＡ＝３６０ʎꎬ可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ因而选项ＡꎬＢ均正确.在ＲｔәＡＢＣ中ꎬ可得øＢＡＣ＝３０ʎꎬøＡＣＢ＝６０ʎ.设øＰＡＣ＝θ(０ʎ<θ<３０ʎ)ꎬ可得øＰＣＡ＝６０ʎ－θꎬøＰＣＢ＝θꎬ所以әＰＡＣʐәＰＣＢꎬ得ＰＣＰＢ＝ＰＡＰＣ＝ＡＣＣＢ＝２ꎬ即２ＢＰ＝ＰＣꎬＡＰ＝２ＰＣꎬ因而选项ＣꎬＤ均正确.注㊀在图４中ꎬ若设ＰＡңＰＡң＝ＰＤңꎬＰＢңＰＢң＝ＰＥңꎬＰＣңＰＣң＝ＰＨңꎬ由题设可得ＰＤң＝ＰＥң＝ＰＨң＝１ꎬＰＤң＋ＰＥң＋ＰＨң＝０ꎬ进而可得øＡＰＣ＝øＢＰＣ＝øＢＰＡ＝１２０ʎꎬ也得选项ＡꎬＢ均正确.点Ｐ是әＡＢＣ的费马点.１０.Ａ.先证明ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)(ｋɪＮ∗)成立.因为ｔａｎ[ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)]＝(ｋ＋１)－(ｋ－１)１＋(ｋ＋１)(ｋ－１)＝２ｋ２ꎬ又ａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２[öø÷(ｋɪＮ∗)ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)>ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ꎬ所以ａｒｃｔａｎ２ｋ２ꎬａｒｃｔａｎ(ｋ＋１)－ａｒｃｔａｎ(ｋ－１)ɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ所以欲证结论成立.因而ｌｉｍｎң¥ðｎｋ＝１ａｒｃｔａｎ２ｋ２＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ－ａｒｃｔａｎ１－ａｒｃｔａｎ０]＝ｌｉｍｎң¥[ａｒｃｔａｎ(ｎ＋１)＋ａｒｃｔａｎｎ]－π４＝ｌｉｍｎң¥π－ａｒｃｔａｎ２ｎ＋１ｎ２＋ｎ－１[]－π４＝π－π４＝３π４.１１.Ｃ.可得３９６＝４ˑ９ˑ１１.若排成的五位数是９的倍数ꎬ则这５个数字之和是９的倍数ꎬ进而可得所选取的５个数字只可能是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ５ꎬ９ꎻ０ꎬ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ９ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎻ０ꎬ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎻ０ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎻ０ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ０ꎬ３ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ４ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ０ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ８ꎻ１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎻ１ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎻ１ꎬ２ꎬ７ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ３ꎬ６ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ１ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ１ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ２ꎬ３ꎬ５ꎬ８ꎬ９ꎻ２ꎬ３ꎬ６ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎻ２ꎬ４ꎬ６ꎬ７ꎬ８ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ９ꎻ３ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ８之一.若所选取的５个数字是０ꎬ１ꎬ２ꎬ６ꎬ９ꎬ由排成的五位数是４的倍数ꎬ可得末两位数只可能是２０ꎬ６０ꎬ１２ꎬ９２ꎬ１６ꎬ９６之一.再由排成的五位数是１１的倍数ꎬ可得排成的五位数只可能是１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６之一.又由４ꎬ９ꎬ１１两两互质ꎬ所以得到的４个五位数均满足题设.进而可得满足题设的五位数共９６个:１０６９２ꎬ６０１９２ꎬ１０２９６ꎬ２０１９６ꎬ１７８２０ꎬ８７１２０ꎬ２１７８０ꎬ７１２８０ꎬ０８７１２ꎬ７８０１２ꎬ０７１２８ꎬ１７０２８ꎬ１３８６０ꎬ８３１６０ꎬ３１６８０ꎬ６１３８０ꎬ０８３１６ꎬ３８０１６ꎬ０３１６８ꎬ１３０６８ꎬ１５８４０ꎬ８５１４０ꎬ４１５８０ꎬ５１４８０ꎬ０１５８４ꎬ５１０８４ꎬ０５１４８ꎬ１５０４８ꎬ３０４９２ꎬ４０３９２ꎬ２９３０４ꎬ３９２０４ꎬ３７６２０ꎬ６７３２０ꎬ２３７６０ꎬ７３２６０ꎬ０６７３２ꎬ７６０３２ꎬ０２３７６ꎬ３２０７６ꎬ４７５２０ꎬ５７４２０ꎬ２５７４０ꎬ７５２４０ꎬ０４７５２ꎬ７４０５２ꎬ０７５２４ꎬ５７０２４ꎬ３５６４０ꎬ６５３４０ꎬ４３５６０ꎬ５３４６０ꎬ０３５６４ꎬ５３０６４ꎬ０４３５６ꎬ３４０５６ꎬ６８９０４ꎬ９８６０４ꎬ６０９８４ꎬ９０６８４ꎬ３８４１２ꎬ４８３１２ꎬ２１３８４ꎬ３１２８４ꎬ１４６５２ꎬ６４１５２ꎬ１４２５６ꎬ２４１５６ꎬ８７９１２ꎬ９７８１２ꎬ８１９７２ꎬ９１８７２ꎬ４７９１６ꎬ９７４１６ꎬ６６４１９７６ꎬ９１４７６ꎬ５７８１６ꎬ８７５１６ꎬ５１８７６ꎬ８１５７６ꎬ８５９３２ꎬ９５８３２ꎬ８３９５２ꎬ９３８５２ꎬ７６８２４ꎬ８６７２４ꎬ７２８６４ꎬ８２７６４ꎬ４６７２８ꎬ７６４２８ꎬ４２７６８ꎬ７２４６８ꎬ４５９３６ꎬ９５４３６ꎬ４３９５６ꎬ９３４５６.所以所求答案是９６Ａ５１０＝１３１５.注㊀用电脑编程可以验证上述答案是正确的.１２.Ｂ.可得Ｐ(Ｙ＝０)＝１２３＋１２６＋１２９＋＝１２３１－１２３＝１７ꎻＰ(Ｙ＝１)＝１２１＋１２４＋１２７＋＝１２１１－１２３＝４７ꎻＰ(Ｙ＝２)＝１２２＋１２５＋１２８＋＝１２２１－１２３＝２７所以随机变量Ｙ的期望是Ｅ(Ｙ)＝０ˑ１７＋１ˑ４７＋２ˑ２７＝８７.１３.ＢＣ.由题设ꎬ可得｜ａ－２ｂ｜＝｜ａ＋２ｂ＋ｃ｜ȡ｜ｃ｜－｜ａ＋２ｂ｜ꎬ｜ｃ｜ɤ１｜ａ＋２ｂ｜＋１｜ａ－２ｂ｜.由柯西不等式ꎬ可得(１｜ａ＋２ｂ｜＋１｜ａ－２ｂ｜)２ɤ(１２＋１２)(｜ａ＋２ｂ｜２＋｜ａ－２ｂ｜２)＝４(｜ａ｜２＋４｜ｂ｜２)ɤ２０.所以｜ｃ｜ɤ２５.当ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(－４ꎬ－２)时满足题设ꎬ且｜ｃ｜＝２５.综上ꎬ｜ｃ｜的最大值为２５ꎬ故选项Ａ错误ꎬＢ正确.还可得ａ＝(０ꎬ１)ꎬｂ＝(１ꎬ０)ꎬｃ＝(０ꎬ０)满足题设ꎬ进而可得｜ｃ｜的最小值为０ꎬ故选项Ｃ正确ꎬＤ错误.１４.ＣＤ.由对称性知ꎬ可不妨设ｘɤｙ.对于选项Ａꎬ由ｙ２<ｙ２＋２ｘɤｙ２＋２ｙ<(ｙ＋１)２ꎬ所以ｙ２＋２ｘ不为完全平方数ꎬ故选项Ａ错误.对于选项Ｂꎬ由ｙ２<ｙ２＋４ｘɤｙ２＋４ｙ<(ｙ＋２)２ꎬ所以若ｙ２＋２ｘ为完全平方数ꎬ则ｙ２＋４ｘ＝(ｙ＋１)２ꎬ２(２ｘ－ｙ)＝１ꎬ这不可能!故选项Ｂ错误.选ｘ＝ｙ＝４ꎬ得ｘ２＋５ｙ＝ｙ２＋５ｘ＝６２ꎬ故选项Ｃ正确.选ｘ＝ｙ＝２ꎬ得ｘ２＋６ｙ＝ｙ２＋６ｘ＝４２ꎬ故选项Ｄ正确.１５.１.设复数ｚ１＝１＋ｉꎬｚ２＝２＋ｉꎬｚ３＝３＋ｉꎬ可得ａｒｇｚ１＝ａｒｃｔａｎ１ꎬａｒｇｚ２＝ａｒｃｓｉｎ１５ꎬａｒｇｚ３＝ａｒｃｃｏｓ３１０.所以ｚ１ｚ２ｚ３＝(１＋ｉ)(５＋５ｉ)＝１０ｉꎬａｒｇ(ｚ１ｚ２ｚ３)＝π２.所以ｓｉｎａｒｃｔａｎ１＋ａｒｃｃｏｓ３１０＋ａｒｃｓｉｎ１５æèçöø÷＝ｓｉｎπ２＝１.１６.Ｄ.如图５ꎬ设正四棱锥的底面边长ＡＢ＝２ꎬ高ＰＯ图５＝ｈꎬ可得ｔａｎβ＝ｔａｎøＰＡＯ＝ＰＯＡＯ＝ｈ２.㊀㊀在ＲｔәＰＯＢ中ꎬ可求得ＰＢ＝ＰＯ２＋ＯＢ２＝ｈ２＋２.设等腰әＰＡＢ的底边ＡＢ的中点是Ｍꎬ可得ＰＭʅＡＢ.还可求得ＰＭ＝ＰＡ２＋ＡＭ２＝ｈ２＋１.作ＡＨʅＰＢ于点Ｈꎬ连接ＣＨꎬ可得α＝øＡＨＣꎬＣＨ＝ＡＨ.还可得２ＳәＰＡＢ＝ＡＢＰＭ＝ＡＨＰＢ.所以ＣＨ＝ＡＨ＝ＡＢＰＭＰＢ＝２ｈ２＋１ｈ２＋２ꎬＡＣ＝２２.在әＡＣＨ中ꎬ由余弦定理ꎬ可求得ｃｏｓα＝ｃｏｓøＡＨＣ＝ＡＨ２＋ＣＨ２－ＡＣ２２ＡＨＣＨ＝＝－１ｈ２＋１.进而可得ｓｅｃα＋２ｔａｎ２β＝－１.１７.Ａ.由闭区间上的连续函数存在最大值与最小值 ꎬ可得函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值均存在.可得ｆ(ｘ)－１＝ｅｘ－ｅ－ｘｅｘ＋ｅ－ｘ＋ｓｉｎｘ(－２ɤｘɤ２)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－１(－２ɤｘɤ２)是奇函数.当ｘɪ[０ꎬ１]时ꎬｇ(ｘ)<２ꎬ所以函数ｇ(ｘ)的最大值与最小值均存在且互为相反数ꎬ可分别设为Ｍꎬ－Ｍ.所以函数ｆ(ｘ)的最大值与最小值分别是１＋Ｍꎬ１－Ｍ.所以所求答案是(１＋Ｍ)＋(１－Ｍ)＝２.１８.Ｄ.由ｆ(ｘ)是上凸函数ꎬ可得ｆᶄ(ｘ)是减函数ꎬ所以当ｘɪ[ａꎬｂ]时ꎬ函数ｆᶄ(ｘ)的最大值是ｆᶄ(ａ).还可得Ｓ(ｔ)＝ʏｔａｆ(ｘ)ｄｘꎬ所以Ｓᶄ(ｘ)＝ｆ(ｘ).由题设及图１ꎬ可得Ｓᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｘ)ｍａｘ＝ｆ(ｃ).１９.ＡＢＤ.对于选项Ａꎬ可求得Ｓｎ＝２ｎ－１(ｎɪＮ∗)ꎬ所以Ｓｎ＝ａｎ＋１(ｎɪＮ∗)ꎬ故选项Ａ正确.选项Ｂ错误.若ｋ＝１２ꎬ则∀ｍɪＮ∗ꎬＳ２＝１ʂａｍ.选项Ｃ正确.∀ｎɪＮ∗ꎬＳｎ＝ｋ(１＋２＋＋ｎ)＝ａ１＋２＋＋ｎ.选项Ｄ正确.设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ可得ａｎ＝ｄｎ＋(ａ１－ｄ)(ｎɪＮ∗).选ｂｎ＝ｄｎꎬｃｎ＝ａ１－ｄꎬｎ＝１０ꎬｎȡ２{(ｎɪＮ∗)ꎬ易知ａｎ＝ｂｎ＋ｃｎ.由于∀ｎɪＮ∗ꎬＴｎ＝ａ１(其中Ｔｎ表７６示数列ｃｎ{}的前ｎ项和)ꎬ所以ｃｎ{}是某数列 .由选项Ｃ正确ꎬ知ｂｎ{}是某数列 .２０.解法１㊀Ｂ.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ(ｘɪＲ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋π)ꎬｆ(ｘ)＝ｆ(π－ｘ)(ｘɪＲ)ꎬ所以π是函数ｆ(ｘ)的一个周期且函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝π２对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏπ０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏπ/２０１－ｃｏｓ２ｘ１－１２ｓｉｎ２２ｘｄ(２ｘ)＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ２－ｓｉｎ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ－２ʏπ０ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｔ＝ｕ＋π２)２ʏπ/２－π/２１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＋２ʏπ/２－π/２ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕｄｕ.再由ｙ＝１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕꎬｙ＝ｓｉｎｕ１＋ｓｉｎ２ｕ－π２ɤｕɤπ２æèçöø÷分别是偶函数㊁奇函数ꎬ可得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０１２ｓｉｎ２ｕ＋ｃｏｓ２ｕｄｕ＝(设ｕ＝π/２－ｖ)－４ʏ０π/２１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝４ʏπ/２０１ｓｉｎ２ｖ＋２ｃｏｓ２ｖｄｖ＝２２ʏπ/２０ｄｔａｎｖ２æèçöø÷ｔａｎｖ２æèçöø÷２＋１＝(设ｗ＝ｔａｎｖ２)２２ʏ＋¥０ｄｗｗ２＋１＝２２ａｒｃｔａｎｗ＋¥０＝２２π２－０æèçöø÷＝２π.解法２㊀Ｂ.在解法１中ꎬ已得ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝４ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏπ/２０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝(设ｘ＝ｔ＋π２)ʏ０－π/２ｃｏｓ２ｔｓｉｎ４ｔ＋ｃｏｓ４ｔｄｔ＝(设ｔ＝－ｘ)ʏπ/２０ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝２ʏ０ｔａｎ２ｘ＋１ｔａｎ４ｘ＋１ｄｔａｎｘ＝(设ｔａｎｘ＝ｔ)２ʏ＋¥０ｔ２＋１ｔ４＋１ｄｔ＝２ʏ＋¥０ｄｔ－１ｔæèçöø÷ｔ－１ｔæèçöø÷２＋２＝(设ｔ－１ｔ＝ｕ)２ʏ＋¥－¥ｄｕｕ２＋２＝２２ａｒｃｔａｎｕ２＋¥－¥＝２π２－－π２æèçöø÷[]＝２π.解法３㊀Ｂ.由降幂公式ꎬ可得ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ２１－ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＋１＋ｃｏｓ２ｘ２æèçöø÷２＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋ｃｏｓ２２ｘ＝１－ｃｏｓ２ｘ１＋１＋ｃｏｓ４ｘ２＝２(１－ｃｏｓ２ｘ)３＋ｃｏｓ４ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ２π０１－ｃｏｓ２ｘ３＋ｃｏｓ４ｘｄ(２ｘ)＝(设ｔ＝２ｘ)ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ.设函数ｆ(ｔ)＝１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓｔ(ｔɪＲ)ꎬ可得ｆ(ｔ)＝ｆ(ｔ＋２π)ꎬｆ(ｔ)＝ｆ(２π－ｔ)(ｔɪＲ)ꎬ所以２π是函数ｆ(ｔ)的一个周期且函数ｆ(ｔ)的图象关于直线ｘ＝π对称.因而ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ＝ʏ４π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏ２π０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝４ʏπ０１－ｃｏｓｔ３＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝２ʏπ０１－ｃｏｓｔ１＋ｃｏｓ２ｔｄｔ＝(设ｕ＝ｃｏｓｔ)２ʏ１－１１－ｕ(１＋ｕ２)１－ｕ２ｄｕ＝２ʏ１－１１１＋ｕ２１－ｕ１＋ｕｄｕ＝(设ｖ＝１－ｕ１＋ｕ)４ʏ＋¥０ｖ２ｖ４＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖｖ２－２ｖ＋１ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖｖ２＋２ｖ＋１ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２æèçöø÷＋１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２æèçöø÷－１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ＝２ʏ＋¥０ｖ－１２ｖ－１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ－２ʏ＋¥０ｖ＋１２ｖ＋１２æèçöø÷２＋１２ｄｖ８６＋ʏ＋¥０ｄｖｖ－１２æèçöø÷２＋１２＋ʏ＋¥０ｄｖｖ＋１２æèçöø÷２＋１２＝２ʏ＋¥－ｗｗ２＋１２ｄｗ－２ʏ＋¥ｗｗ２＋１２ｄｗ＋ʏ＋¥－ｄｗｗ２＋１２＋ʏ＋¥ｄｗｗ２＋１２＝２ʏ－ｗｗ２＋１２ｄｗ＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥－＋２ａｒｃｔａｎ２ｗ＋¥＝２π２－－π４æèçöø÷[]＋２π２－π４æèçöø÷＝２π.(因为ｙ＝ｗｗ２＋１２－１２ɤｗɤ１２æèçöø÷是奇函数)解法４㊀Ｂ.因为ｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘ＝(ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ)２－２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ＝１－１２ｓｉｎ２２ｘꎬ可得１２ɤｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ１ꎬｓｉｎ２ｘɤｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘɤ２ｓｉｎ２ｘ.所以ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ.再由ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｄｘ＝２ｘ－ｓｉｎ２ｘ４２π０＝πꎬ可得π<ʏ２π０ｓｉｎ２ｘｓｉｎ４ｘ＋ｃｏｓ４ｘｄｘ<２π.再由排除法ꎬ可知答案是Ｂ.[责任编辑:李㊀璟]换元转化㊀化难为易叶文明㊀李㊀阳(浙江省松阳二中㊀３２３４０６)摘㊀要:换元法是解数学题的一种常用方法ꎬ它的实质是通过换元转化ꎬ从而把复杂问题简单化ꎬ有利于问题的解决.关键词:换元ꎻ绝对值ꎻ最值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００６９－０２收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:叶文明(１９６７－)ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.李阳(１９９１－)ꎬ男ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解数学题时ꎬ常把某个式子看成一个整体ꎬ用一个变量去代替它ꎬ从而使问题得到简化的方法叫换元法.换元法的实质是转化ꎬ把复杂问题简单化.换元法在研究方程㊁不等式㊁函数㊁数列㊁解析几何等问题中有广泛的应用ꎬ它几乎涵盖高中阶段的所有内容ꎬ是一种常用的解题方法.例１㊀(２０２０浙江新高考学考模拟卷五)已知正数ｘꎬｙ满足ｘ＋ｙ＝１ꎬ则ｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１的最小值为.解析㊀方法一㊀４ｘ＋２＋１ｙ＋１＝１４ˑ４ｘ＋２＋１ｙ＋１æèçöø÷ｘ＋２＋ｙ＋１()ȡ９４ʑｘ２ｘ＋２＋ｙ２ｙ＋１＝ｘ－２＋４ｘ＋２＋ｙ－１＋１ｙ＋１＝４ｘ＋２＋１ｙ＋１＋ｘ＋ｙ－３ȡ１４ꎬ即最小值为１４.方法二㊀(换元)令ｘ＋２＝ａꎬｙ＋１＝ｂꎬ则ａ＋ｂ＝４.９６。

重点高校2020强基计划笔试真题

重点高校2020年强基计划笔试真题目录清华大学 (2)336689北京大学.............................................................................................................................................（一）数学.........................................................................................................................................（二）物理.........................................................................................................................................（三）化学.........................................................................................................................................南京大学.............................................................................................................................................浙江大学.............................................................................................................................................中山大学..........................................................................................................................................山东大学..........................................................................................................................................关于我们 (101112)清华大学清华大学2020强基计划笔试共考三门：数学、物理和化学。

高中资料库 2020年清华大学强基计划笔试试题

2020年清华大学强基计划笔试试题1.已知实数x,y满足x2+y2≤1，则x2+xy−y2的最大值为__________。

A.1B. √52C. √103D.√22.设a,b,c均为正实数，若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则__________。

A.max{a,b,c}≥12(a+b+c) B.max{a,b,c}≥49(a+b+c)C.min{a,b,c}≤14(a+b+c) D.min{a,b,c}≤13(a+b+c)3.已知平面向量a,b满足|a|≤2,|b|≤1，且c满足|a−2b−c|≤|a+2b|.那么对所有可能的c而言，|c|的__________。

A.最大值为4√2B.最大值为2√6C.最小值为0D.最小值为√24.在ΔABC中，AC=1，BC=√3，AB=2.M为AB中点。

将ΔABC沿CM折起，使得B−ACM的体积为√22，则折起后AB的长度可能为__________。

A.1B.√2C.√3D.25.已知A(1,1),Q(1,0)，P为椭圆x24+y23=1上的动点，则|PA|+|PQ|的________。

A.最大值为4+√3B.最大值为4+√5C.最小值为4−√3D.最小值为4−√56.已知A,B分别为双曲线x24−y2=1的左、右顶点，P为该双曲线上不同于A,B 的任意一点。

设∠PAB=α,∠PBA=β，ΔPAB的面积为S，则__________。

A. tanαtanβ为定值B. tanα2tanβ2为定值C.S⋅tan(α+β)为定值D.S⋅cot(α+β)为定值7.设正四棱锥的侧棱与底面所成角为α，相邻两侧面所成角为β，则__________。

A.cosβ=cos2αcos2α−2B.cosβ=cos2α−1cos2α+1C.tanβ2=sinα D.cotβ2=sinα8.已知复数z1,z2在复平面内对应的点为Z1,Z2.O为坐标原点，若|z1|=1，5z12−2z1z2+z22=0，则ΔOZ1Z2的面积为__________。

强基计划：为未来自主选择一次

天天刷高考真题、高考模拟题，你是不是感到有点厌倦？让我们换一些另类的题目来醒醒神吧！1.南京大学·用繁体字将这首诗再写一遍：近试上张水部朱庆馀洞房昨夜停红烛，待晓堂前拜舅姑。

妆罢低声问夫婿，画眉深浅入时无。

2.清华大学·|a |≤1，|b |≤1，|a +2b +c |=|a -2b |，则|c |的最值为（　）A.最大值为4√2B.最大值为2√5C.最小值为0D.最小值为23.北京大学·当代人理解《红楼梦》是不是比曹雪芹还厉害？4.清华大学·根据面试材料《我的书院我做主》进行5分钟演讲。

5.复旦大学·当今社会上人与人的关系为什么会变得冷淡？6.华中科技大学·火箭升空过程中掉落的碎片材料是什么？7.中国科学技术大学·如果让你做城市规划，你会如何对待城中古建筑？是不是觉得这些题目比常规的高考题更“烧脑”、更有挑战性？实不相瞒，以上都是强基计划2020年的校测笔试题（题1、2）和面试题（题3、4、5、6、7）的考生回忆版。

如果你想走一条不同寻常的人生路，那么再看看下面的三个小问题：1.你想在高端芯片与软件、智能科技、新材料等关键领域深研报国，或者想填补历史、哲学、古文字学等人文社会科学领域的人才空缺吗？2.你有决心在某一基础学科领域攻读近10年吗？3.你有远大的科研志向和吃苦耐劳的精神吗？如果对以上问题你给出的答案都是肯定的，那么就跟我们一起来了解强基计划吧，同时也重新了解自己，并认真考虑是否要加入2022年的强基计划。

●《求学》编辑部整理为未来强基计划：一强基计划是什么？1.强基计划的定位——“强”“基”2020年1月，教育部发布了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（以下简称《意见》），自此，自主招生成为过去，取而代之的是强基计划。

在文件中，教育部明确指出：“强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生。

强基计划冲刺课程化学最新版

2020清华强基计划化学冲刺卷及答案（考试时间60分钟，试卷满分100分）一．多选题（每道题有1~2个选项符合题意，共20题，每题5分，共100分，少选扣本题一半分值，见错本题不得分）1．以下哪个物质是八隅体（）A.HBrB.PCl3C.NH3l42. 氟单质是最强的单质氧化剂，正是因为这一点给氟单质的制备带来了很多的困难，1986年，Karl O.Christe成功地利用化学方法制得氟单质：先以HF、KF、H2O2和KMnO4为原料制备出K2MnF6，再以SbCl5和HF为原料制备出SbF5，然后以K2MnF6和SbF5为原料制各MnF4。

MnF4不稳定，可分解放出F2并生成MnF3。

制备氟单质过程中涉及到的四步化学方程式不正确的是（）A. 10HF+2KF+2KMnO4+3H2O2=2K2MnF6+8H2O+3O2↑B. SbCl5+5HF=SbF5+5HClC. K2MnF6+SbF5=K2SbF7+MnF4D. 2MnF4=2MnF3+F2↑3.CH3-SO3H分子与(CH3)3C-SO3H分子中，谁的C-S键长更长，谁的C-S-O键角更大，下列说法错误是（）A. CH3-SO3H分子的C-S键更短B.甲基是给电子基团C.叔丁基中含有一个三级碳和三个一级碳D. (CH3)3C-SO3H分子的C-S-O键角更小，因为叔丁基空间位阻较大，O被挤得远离C 4．下列关于元素周期表的说法不正确的是（）A.同周期IIA和IIIA族的原子序数差值可能是1、11、25B.镧系元素和锕系元素各有14种C.79号元素位于周期表第6周期IB族，化学性质较活泼D.并不是所有的元素都有天然同位素5．鉴定NO3-离子的方法之一是利用“棕色环”现象：将含有NO3-的溶液放入试管，加入FeSO4，混匀，然后顺着管壁加入浓H2SO4，在溶液的界面上出现“棕色环”。

分离出棕色物质，研究发现其化学式为[Fe(NO)(H2O)5]SO4。

2023年强基计划清华物理试卷

2023年强基计划清华物理试卷一、选择题（共20题，每题5分）1.下面哪个选项符合牛顿第一定律？– A. 速度不变的物体受到合力作用时，其加速度为零.– B. 物体受到合力作用时，其速度会发生变化.– C. 物体自身受到的作用力会导致其速度保持不变.– D. 物体自身受到的作用力会使其速度产生变化.2.一个质点在自由落体运动的过程中，如果考虑空气阻力，则可以得到的正确的结论是：– A. 物体的加速度始终等于重力加速度.– B. 物体的加速度随时间的增大而增大.– C. 物体的速度随时间的增大而减小.– D. 物体受到的合力随速度的增大而增大.3.下列说法正确的是：– A. 功是标量，它的单位是焦耳.– B. 动能是矢量，它的单位是牛顿.– C. 功可以是负数，它的单位是牛顿.– D. 动能是标量，它的单位是焦耳.4.下列各项中，不属于力学能守恒定律的是：– A. 势能守恒.– B. 动能守恒.– C. 力的合成定律.– D. 力的分解定律.5.物体在圆周运动的过程中，如果只考虑向心力，则可以得到的正确的结论是：– A. 物体的速度始终不变.– B. 物体的加速度始终不变.– C. 物体的加速度与速度成正比.– D. 物体的加速度与半径成正比.…二、填空题（共10题，每题10分）21.现有一个圆环，其半径为30 cm，质量为200 g，已知摩擦系数为0.2，求圆环在水平面上运动时的摩擦力大小。

22.某物体质量为1 kg，从高度为2 m处自由下落，下落过程中受到空气阻力，阻力大小与速度成正比，比例系数k=0.5 N·s/m，求物体下落到地面时的速度。

23.一个自行车小组共有10台自行车，每台自行车的质量均为20 kg，小组的总质量为多少？24.力与加速度成正比，比例系数为2 N/kg，当物体受到的作用力为12N时，求物体的加速度大小。

25.一根弹簧的弹性势能公式为E=0.5kx^2，已知弹簧的劲度系数k=50N/m，弹簧被压缩了8 cm，求弹簧的势能大小。

清华强基数学试题及答案

清华强基数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是偶函数？A. y = x^2B. y = cos(x)C. y = |x|D. y = sin(x)答案：C2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(3)的值。

A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A3. 以下哪个数是无理数？A. 3.1415B. πC. √2D. 0.33333答案：B4. 求下列方程的解集：x^2 - 5x + 6 = 0A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2, 4}答案：B5. 已知等差数列的首项为a1 = 2，公差为d = 3，求第5项a5的值。

A. 17B. 14C. 13D. 12答案：A6. 以下哪个是正弦函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 求极限lim (x→0) (sin(x) / x) 的值为 _______。

答案：12. 已知圆的半径为5，求圆的面积。

答案：25π3. 一个三角形的三边长分别为3, 4, 5，判断该三角形是否为直角三角形。

答案：是4. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 在x=1处的导数值。

答案：0三、解答题（每题25分，共50分）1. 解不等式：|x + 2| - |x - 3| < 4，并给出解集。

答案：解：首先考虑x的取值范围对不等式的影响。

当x < -2时，不等式变为-(x + 2) - (3 - x) < 4，简化后得到x > -3.5，因此在这个范围内的解集为-3.5 < x < -2。

当-2 ≤ x ≤ 3时，不等式变为(x + 2) - (3 - x) < 4，简化后得到2x < 5，即x < 2.5，因此在这个范围内的解集为-2 ≤ x < 2.5。

当x > 3时，不等式变为(x + 2)- (x - 3) < 4，简化后得到5 < 4，这是不可能的，所以在这个范围内没有解。

2020年强基计划物理试题

2020年强基计划物理试题第一部分选择题1.下面哪一组物理量的量纲相同？A. 动能和势能B. 动量和角动量C. 力和功D. 热容和比热答案：B2.一个光滑的半径为R的圆环质量为M，转动惯量为I，从无初速度以角速度ω绕垂线上的定点做匀加速直线运动，当速度达到v时，圆环与落点之间的距离为A. $R - \\displaystyle\\frac{v^2}{2\\omega^2}$B. $R - \\displaystyle\\frac{v^2}{2\\omega^2} -\\displaystyle\\frac{Mg}{\\omega^2}$C. $R - \\displaystyle\\frac{v^2}{2\\omega^2} -\\displaystyle\\frac{Mg}{2\\omega^2}$D. $R - \\displaystyle\\frac{v^2}{2\\omega^2} -\\displaystyle\\frac{Mg}{\\omega^2}$答案：C3.在匀强电场中，同一电势差下，电子和质子的动能之比是A. 1 ： 1B. 1 ： 2C. 1 ： 4D. 1 ： 8答案：D4.有一根长为l，横截面积为A的理想细长棒，它的电阻是R，导线的温度系数为α，如果把温度从零升高到T，温度系数是增大还是减小，同时这段棒的电阻相对于它在零度时的电阻A. 温度系数增大，电阻也增大B. 温度系数减小，电阻的变化是不定的C. 温度系数增大，电阻的变化是不定的D. 温度系数减小，电阻也减小答案：A5.以能量守恒定律为基础，物体在光滑水平面上斜抛运动的理论计算的基本出发点是A. 能量在初始时刻和最高点相同B. 速度在最高点为零C. 飞行时间为2v/gD. 起始和结束时刻物体的高度相等答案：A第二部分填空题1.一个地球人在月球表面上去翱翔，月球表面上的重力加速度是地球表面上的1/6，如果在地球的某个山顶能够用同样的劲使自己直接起飞，则他在月球表面上跑速度大约是：__（六个阿拉伯数字）__ （单位：米每秒）答案：102.将一个3欧的电阻器绕在直径为20cm，长度为l，电平行于轴线且中心经过电阻器底面中点的均匀磁场中，当电流为3A时，测得该磁场的大小为2T，则当l=15cm时，电阻器上出现的受热电动势大约是：__（四个阿拉伯数字）__ （单位：伏）答案：0.503.有一根横放的均匀细杆，长为L，质量为M，贴有一根线密度为λ的细杆，排斥力恒为其线密度与距离的比值，它的长度可忽略不计，求杆的转动惯量。