2018-2019数学同步导学练课件试题人教A版必修4全国通用版第1章

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2018学年高中数学新课标人教A版必修4同步学案：1.1.2

第1章1.1第2课时1.1.2弧度制课前准备温故知新：过去我们学习过用角度制来度量角，这种度量角的方法很好理解，但给出的弧长公式较繁杂，不是很简洁。

既然长度和重量等都有多种度量制，那么角度是不是会有更简洁的度量方法呢？研究发现，圆的弧长与半经的比值的大小只与所对圆心角的大小直接相关，而与圆的半经和弧长不直接相关。

这就为我们设计度量角的新方法提供了方便。

学习目标：了解弧度制.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.同时要求同学们熟记特殊角的弧度数掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养同学们运用弧度制解决具体问题的意识和能力．课前思索：如何解决角度制下公式的烦琐问题？弧度制的引入对解决与角相关问题的优越性在那里？角度制下的角与弧度制下的角如何互化？课堂学习一、学习引领1．角度制：过去同学们研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？实际上是规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，有了它，可以计算弧长，公式为180rn l π=．这种度量角的方法便于理解，但在使用时还是有不方便的地方，这就导致能不能用更为简洁的形式度量角的思考。

2．弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为零。

弧度制的建立将角度与实数建立起一一对应关系。

3．为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小有关呢？如图，设α∠为()0>n n 的角，圆弧和的长分别为和1l ，点M 和1M 到点O 的距离（即圆半径）分别为r ()0>r 和1r ()01>r ，由己学过的弧长公式可得：r n l 180π=，11180r n l π=，于是18011πn r l r l ==．上式表明，以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由α∠的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关． 4．扇形的弧长与面积公式：弧长公式为l r α=)0(>α，面积为21122S lr r α==，其中r 为扇形所对应圆的半径；(02)ααπ<<为扇形的中心角。

2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章三角函数1 章末高效整合精品

2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)．即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值，其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号对单调性的影响．

2018年新人教A版高中数学必修4全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学必修四全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1任意角第1章1.1-1.1.2弧度制第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四第1章1.3第2课时诱导公式五、六第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象第1章1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1章1.6三角函数模型的简单应用第1章章末复习课第1章单元评估验收(一)第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第2章2.5平面向量应用举例第2章章末复习课第2章单元评估验收(二)第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第3章3.2简单的三角恒等变换第3章章末复习课第3章单元评估验收(三)模块综合评价第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角A级基础巩固一、选择题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．答案：A4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D5．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°三、解答题9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.B级能力提升1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}{－45°，315°}3．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203πC.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D二、填空题6．π12 rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3 rad则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l|α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1. 答案：(1)180π (2)1三、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ，又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z .B 级能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级基础巩固一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 答案：B2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0，所以MP ＞0＞OM . 答案：D3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：B4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈ZC.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1.又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22.答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2，所以sin α＝y 4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5，所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.B 级能力提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合．解：如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪k π－π4＜α＜k π＋π4，k ∈Z .第一章三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析：1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0，所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)．解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角，所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2α＝1，所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式第1课时诱导公式二、三、四A 级基础巩固一、选择题1．sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋ 3 解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32. 答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：因为sin (π＋α)＝35，所以sin α＝－35.因为α为第三象限角，所以cos α＝－45.所以cos (π－α)＝－cos α＝45.答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin (2 017π＋α)＋b cos (2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13.答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________．解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2 三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0，所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.B 级能力提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.其中与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3.答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是第二象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标．解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35.(2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0，所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255. 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六A 级基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223 B ．－13C.13D.223解析：因为π6－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________．解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010.又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010.答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α，所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920. B 级能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝ ________．解析：因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223，由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223.答案：－2233．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边，所以等式成立．第一章三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象A 级基础巩固一、选择题1．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 解析：由题意－m ＝sin π2，所以－m ＝1，所以m ＝－1.答案：C2．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．形状不同，位置相同D ．形状不同，位置不同解析：解析式相同，定义域不同．答案：B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C.当x ＝3π2时，y＝－sin 3π2＝1，排除B.答案：D4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．答案：B5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π 解析：由y ＝cos x 的图象知，在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.答案：A 二、填空题6．用“五点法”画出y ＝2sin x 在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．解析：可结合函数y ＝sin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．答案：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－2，(2π，0) 7．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________．解析：因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1，所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1，0] 8．函数y ＝log 12sin x 的定义域是______________．解析：由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z.答案：{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} 三、解答题9．用“五点法”作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图．解：列表：10．判断方程sin x ＝x10的根的个数．解：当x ＝3π时，y ＝x 10＝3π10<1；。

2018-2019高中数学人教A版必修四(全国通用版)同步课件第一章三角函数1.1.1

第一章 §1.1
任意角和弧度制
1.1.1 任意角
学习目标
1.了解角的概念.
2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这
些角.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案角的构成要素有始边、顶点、终边. 思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案有顺时针和逆时针两种旋转方向.
解答
(3)－950°15′. 解因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范
围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
解答
类型三
终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角；解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k· 360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°＜k· 360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k· 360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
解答
(2)最小的正角；
解由0°＜k· 360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k· 360°＜
－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)[360°，720°)的角.
解由360°≤k· 360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k· 360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

2018学年高中数学新课标人教A版必修4同步学案：1.1.1

第1章1.1第1课时1.1.1任意角课前准备温故知新：在过去我们所学的角都是在003600--之间的角，如果把角局限到这样一个范围之内，有很多问题无法解决，比如时钟分针顺时针和逆时针方向分别转半圈，所形成的角是否相等，跳水运动员转体2周半是转了多少，这些都无法表示。

这些都要求角的范围必须在原有的基础上扩大。

学习目标：了解任意角的概念，会表示终边相同的角，并能结合图示了解象限角和轴上角。

课前思索：正角和负角的区别是什么？终边相同的角一定相等吗？课堂学习一、学习引领1．角的概念进行推广的导因：在初中学习数学时，我们认识了在003600≤≤α范围内的角，但是在现实生活中会接触到不在该范围内的角，这样对角进行了推广就急切的被提出来。

为了使按不同方向旋转所得角有所区别，规定：在直角坐标系中，将角α的始边绕原点O 逆时针方向旋转，则可以得到所有的正角；如果按照顺时针方向旋转，则得到所有的负角。

另外，对于角的概念推广之后要注意几个问题：（1）注意旋转方向不同产生正角、负角和零角；（2）要注意角的集合形式不唯一；（3）按终边位置不同产生象限角和轴线角；（4）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同；（5）要注意{}090|<=ααA ，=B {α是锐角}，=C {α是第一象限角}这三者之间的联系；（6）要注意区间角：如[]0090,0，注意它与象限角和轴线角的区别；（7）若α是第二象限角，2α不一定是第一象限角，α2也不一定是第四象限角。

2．正角、零角、负角的形成：正角是指一条射线按逆时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．对于它的理解首先是要旋转，不旋转不行，同时要注意旋转方向，一定是逆时针方向，至于旋转多少没有限制．所以任意的正角是存在的，正角越大说明按逆时针旋转的量也越大（或者圈数越多）．零角则是一条射线没有做任何旋转所形成的角，有的同学对这个会出现理解上的误差，他认为不旋转就形不成角．负角则是指一条射线按顺时针方向旋转（一定要注意方向）所形成的角．有了负角之后，角的范围就可以任意得到扩充．3．理解好象限角与轴上角（有的称为轴线角）：象限角：角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的非负半轴，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角；终边在第二象限的角可表示为：{}Z k k k ∈+⋅<<+⋅,180360903600000αα，同学们，你能表示出终边在第一、三、四象限的角吗？请你试一试．轴上角（有的称为轴线角）：角的顶点合于坐标原点，角的始边是x 轴的非负半轴，那么角的终边落在坐标轴上，称为轴上角（也可称为轴线角），此时这个角不属于任何一个象限．终边在y 非负半轴的角的集合为{}Z k k ∈+⋅=,9036000ββ，你能写出其它轴上角吗？请同学们试一试．4．终边相同的角：所有与α角终边相同的角内可以构成一个集合：S={β|β=α+k ²360°，k ∈Z }，也就是说任意与角α终边相同的角，都可以表示成角α与0360的整数倍的和．同学们要记住终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。

2018年高中数学人教A版必修4第1章三角函数1.5.1习题含解析.docx

人教版 2018-2019 学年高中数学必修4 习题1.5函数y=A sin(ωx+φ)的图象第 1 课时画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象课时过关能力提升·基础巩固1 把y= sin x的图象向左平移个单位长度得到的图象的解析式为A .y= cos xB .y= sin xC.y= sin x解析 :把 y= sinx 的图象向左平移个单位长度 ,得到的图象的解析式为y=si x.答案 :A2 要得到函数y= cos 2x的图象,只需把函数y= sin 2x的图象()A. 向左平移个单位长度向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度向右平移个单位长度解析 :y=cos2x= si则需把函数 y= sin2x 的图象向左平移个单位长度得到函数y= cos2x 的图象 .答案 :A3 要得到y= si-的图象只要将的图象A. 向左平移个单位长度向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度向右平移个单位长度答案 :B4 为了得到函数y=si- 的图象可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度向右平移个单位长度解析 :y=si--则将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,得函数y= sin-即y= si-的图象.答案 :A5 用“五点法”画函数y= 2si在一个周期内的简图时五个关键点是--则解析 :周期 T-答案 :26 把函数y= 2si的图象上的所有点向右平移个单位长度再把所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得到的图象对应的解析 :把函数 y=2si的图象上的所有点向右平移个单位长度,得函数y= 2si-4=2sin3 - 4 的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 ,得到函数y= 2si-的图象,即y= 2si-答案 :y=2si-7 用“五点法”画y= 4si在一个周期内的简图时所描的五个点分别是--解析 :令则x即最后一个关键点是答案 :8把函数y= 3si的图象向右平移个单位长度再向下平移个单位长度则得到的函数的解析式是解析 :函数 y= 3si的图象向右平移个单位长度得函数y=3si-2x,再向下平移 1 个单位长度得y= 3sin2x-1.答案 :y=3sin 2x-19 已知函数f( x)= 3si-∈ R.(1)列表并画出函数 f(x)在一个周期内的简图 ;(2) 将函数 y= sin x 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象 ?解(1) 函数 f(x)的周期 T由解得x列表如下 :x0π2π3si- 0 3 0 -3 0描出五个关键点并光滑连线,得到一个周期的简图.图象如下 :(2)先把 y= sinx 的图象向右平移个单位长度 ,再把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍 (纵坐标不变), 最后把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍 (横坐标不变 ), 得到 f( x)的图象 .10 函数y=5si-的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到解将函数 y=sinx 的图象依次进行如下变换:①把函数 y= sinx 的图象向右平移个单位长度 ,得到函数 y= si- 的图象 ;②把函数 y= si-的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变),得到函数y= si-的图象;③把函数 y= si-的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 5 倍 (横坐标不变 ), 得到函数y= 5si-的图象;④把函数 y= 5si-的图象向上平移 1 个单位长度 ,得到函数y= 5si-的图象.经过上述变换,就得到函数y= 5si-的图象.能力提升1 用“五点法”画函数f(x)=A sin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且 x1 +x 5则等于A答案 :C2 某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)( A> 0,ω> 0)在一个周期内的简图时,列表如下 :ωx+φ0π2πxy0 2 0 -2 0则有 ()A. A= 0,ωC.A= 2,ω= 3,φ=解析 :由表格得 A= 2∴ ω= 3.∴ ωx+ φ= 3x+ φ.当x时,3x+φ答案 :C3 若函数y= sin(2x+θ)的图象向左平移个单位后恰好与的图象重合则的最小正值是A解析 :函数 y= sin(2x+ θ)的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为y=si=sin2 + 3+ .∵ y= sin2x 与 y=si的图象重合,∈ Z ),θ= 2kπ∈ Z) .∴ θ的最小正值是答案 :D4 已知a是实数,则函数f(x)= 1+a sin ax的图象不可能是()解析 :当 a= 0 时 ,f(x)= 1,此时函数f(x) 的图象是 C 项 ;当 a≠0 时 ,周期 T若|a|> 1,则T< 2π,此时函数f(x)的最大值1+|a|> 1+ 1= 2,此时函数f(x)的图象可能是 B 项 ;若 |a|< 1,则 T> 2π,此时函数 f(x)的最大值1+|a|< 1+ 1=2,此时函数 f( x)的图象可能是 A 项 ;若 |a|= 1,则周期 T= 2π;所以函数 f(x)= 1+a sinax 的图象不可能是 D 项 .答案 :D5 函数f(x)= sin(ωx+ φ的最小正周期为且其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数则函数的图象A. 关于点对称关于直线对称C.关于点对称关于直线对称解析 :∵T= π,∴ω= 2.∴ f(x)= sin(2 x+ φ).由图象左移个单位长度后为奇函数知 ,y= si是奇函数 ,∴ φ∈ Z .∴ φ=kπ∈ Z.又∵ |φ|∴ f(x)= si-令 2x∈ Z ,∴ x∈ Z .故选B .答案 :B★ 6 将函数f( x)的图象向右平移个单位长度后再向上平移个单位长度得函数-的图象则解析 :将 y= 2si-的图象向左平移个单位长度,得函数y= 2si-1312 的图象,再向下平移一个单位长度,得函数y=2sin4 + 13 12 1的图象,即f(x)= 2si答案 :2si7 用“五点法”画出函数y在一个周期内的图象解列表 :2x0π2πxy000描点 ,连线 ,其图象如图 .★8 已知函数f( x)=5si的最小正周期为(1)求 f(x);(2)函数 y= sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f(x)的图象 ?解(1) ∵ T= 4π,∴4π∴ f(x)= 5si(2)步骤 :①将函数 y= sinx 的图象向左平移个单位长度,得函数y= si的图象;②将 y=si的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 ,得函数 y= si6 的图象;③将函数 y= si的图象上所有点的纵坐标变为原来的 5 倍 ,横坐标不变 ,得函数y= 5si的图象;④将函数 y= 5si的图象向下平移 2 个单位长度得函数y= 5si的图象,即函数 f( x)的图象 .。

2018-2019高中数学人教A版必修四(全国通用版)同步课件第一章三角函数1.1.2

∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.
解答
反思与感悟
用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π
的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
π 74π 解 ∵－1 480° ＝－1 480×180＝－ 9 ， 74π 16π 16π 而－ 9 ＝－10π＋ 9 ，且 0≤α≤2π，∴α＝ 9 .
解答
类型三
例3 A.π √
解析
扇形的弧长及面积公式的应用
(1)若扇形的中心角为 120° ，半径为 3，则此扇形的面积为 3π 2 3π C. 3 D. 9 2π 扇形的中心角为 120° ＝ 3 ，半径为 3， 5π B. 4
解答
反思与感悟
将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，
牢记 π rad ＝ 180 °即可求解 . 把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以
180 即可. ° π
跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度： 35 5π π － 3 ①－150°＝________ ； 6 ；②2 100°＝________ π 5π 16 ③11°15′＝________ ；④112°30′＝________. 8 (2)把下列弧度化成角度：
提示答案
题型探究
类型一角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；
解 20π π 20° ＝180＝9.
15π π －15° ＝－180＝－12.
(2)－15°；
解
解答
7π (3)12；
解 7π 7 ＝ × 180° ＝ 105° . 11 解－ 5 ＝－ 5 ×180° ＝－396° .

2019-2020学年新导学同步人教A版高中数学必修4_第1章三角函1.2.1.2

在[0,2π)范围内，sinπ6＝sin56π＝12，则点 P1，P2 分别在56π，π6的
终边上，又 sin α≥12，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满
足 sin α≥12的角 α 的终边所在的范围，即当 α∈[0,2π)时，π6≤α≤56π，
故函数 f(α)的定义域为α2kπ＋π6≤α≤2kπ＋56π，k∈Z
类型三利用三角函数线解不等式例 3 求函数 f(α)＝ 2sin α－1的定义域．
【解析】要使函数 f(α)有意义，则 sin α≥12. 如图所示，画出单位圆，作直线 y＝12，交单位圆于 P1，P2 两点，连接 OP1，OP2，过点 P1，P2 作 x 轴的垂线，垂足分在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围，并由此写出角 α 的集合．
(1)sin α≥ 23； (2)cos α≤－12.
解析：(1)作直线 y＝ 23，交单位圆于 A，B 两点，作射线 OA， OB，则 OA 与 OB 围成的区域(如图 1 所示的阴影部分，包括边界) 即为角 α 的终边所在的范围．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的三角函数线是直线．( × ) (2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( × ) (3)第二象限的角没有正切线．( × )
2．有下列四个说法： ①α 一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α 和 α＋π 有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角终边相同．不正确说法的个数是( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
故满足要求的角 α 的集合为α2kπ＋π3 ≤α≤2kπ＋23π，k∈Z.
(2)作直线 x＝－12，交单位圆于 C，D 两点，作射线 OC 与 OD，则 OC 与 OD 围成的区域(如图 2 所示的阴影部分，包括边界)，即为角 α 的终边所在的范围．

2018-2019高中数学人教A版必修四(全国通用版)新学案同步讲义第一章+三角函数章末检测试卷(一)含答案

章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．(2017·杭州期末)角α的终边上有一点P (a ，a )(a ≠0)，则sin α的值是( ) A.22B ．－22C ．1D.22或－22答案 D 解析 r ＝a 2＋a 2＝2|a |，所以sin α＝ar ＝⎩⎨⎧22，a >0，－22，a <0，所以sin α的值是22或－22. 2．计算cos(－780°)的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 cos(－780°)＝cos780°＝cos(360°×2＋60°)＝cos60°＝12，故选C.3．在直径为20cm 的圆中，165°圆心角所对应的弧长为( ) A.25π3cmB.55π6cmC.40π3cmD.55π3cm 答案 B解析 ∵165°＝π180×165rad ＝11π12rad ，∴l ＝11π12×10＝55π6(cm)．4．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2cos (α－2π)的值为( )A ．1B ．－45C ．－1D ．－4答案 A解析根据任意角的三角函数定义，可得tan α＝3，所以sin (π－α)－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α2cos (α－2π)＝sin α－cos α2cos α＝12tan α－12＝32－12＝1.故选A. 5．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)与直线y ＝12的交点中，距离最近的两点间距离为π3，那么此函数的周期是( ) A.π3B ．πC ．2πD ．4π 答案 B解析 ωx ＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或ωx ＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，||(ωx 2＋φ)－(ωx 1＋φ)≥2π3，||x 2－x 1≥2π3ω，令2π3ω＝π3，得ω＝2，T ＝2πω＝π. 6．(2017·金华十校期末)要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象向左平移π6个单位长度．7．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析因为0≤x ≤9，所以0≤π6x ≤9π6，－π3≤π6x －π3≤9π6－π3，即－π3≤π6x －π3≤7π6，所以当π6x －π3＝－π3时，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)有最小值2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3，当π6x －π3＝π2时， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)有最大值2sin π2＝2，所以最大值与最小值之和为2－ 3.8．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．故选D.9．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 A解析由已知可得函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象经过点⎝⎛⎭⎫－π12，2和点⎝⎛⎭⎫5π12，－2，则A ＝2，T ＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y ＝2sin(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫－π12，2代入得－π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝2π3，此时y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选A. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT (k ∈N )，即π2＝4k ＋14·T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．(2018·牌头中学月考)一个半径大于2的扇形，其周长C ＝10，面积S ＝6，则这个扇形的半径r ＝________，圆心角α＝________. 答案 3 43解析由2r ＋rα＝10得：α＝10－2rr ，将上式代入S ＝12αr 2＝6，得r 2－5r ＋6＝0，∴r ＝3(r ＝2舍去)，∴α＝10－2r r ＝43.12．(2018·牌头中学月考)函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12，1 解析令u ＝cos x ，则函数为y ＝f (u )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )， ∴cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴u ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴函数y ＝f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 13．(2018·牌头中学月考)已知角α为第三象限角，若tan α＝25，则sin α＝________，sin α－cos α＝________. 答案－235－2314．函数y ＝tan(sin x )的定义域为______________，值域为______________．答案 R [tan(－1)，tan 1] 解析因为－1≤sin x ≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x )≤tan1，所以y ＝tan(sin x )的定义域为R ，值域为[tan(－1)，tan 1]．15．(2018·牌头中学月考)A 为锐角三角形一内角，则y ＝74＋sin A －sin 2A 的最大值为________，此时A 的值为________．答案 2 π616．设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是________．答案 32解析向右平移4π3个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2. ∵与原函数图象相同，故－4π3ω＝2n π(n ∈Z )，∴ω＝－32n (n ∈Z )，∵ω>0，∴ωmin ＝32.17．在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是________．(填序号) ①f (cos A )>f (cos B )； ②f (sin A )>f (sin B )； ③f (sin A )>f (cos B )； ④f (sin A )<f (cos B )．答案 ③解析根据0<A ＋B <π2，得0<A <π2－B <π2，所以sin A <sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B .又y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，所以f (sin A )>f (cos B )．三、解答题(本大题共5小题，共74分)18．(14分)求值sin 2120°＋cos180°＋tan45°－cos 2(－330°)＋sin(－210°)．解原式＝⎝⎛⎭⎫322－1＋1－cos 230°＋sin30°＝⎝⎛⎭⎫322－1＋1－⎝⎛⎭⎫322＋12＝12. 19．(15分)已知f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43，x ∈[－1，3]． ∴当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－(1＋tan 2θ)图象的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2. 20．(15分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，f (x )的值域为[－1,2]． 21．(15分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)求函数f (x )的最小值及f (x )取到最小值时自变量x 的集合；(2)指出函数y ＝f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过哪些变换得到； (3)当x ∈[0，m ]时，函数y ＝f (x )的值域为[－3，2]，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )min ＝－2，此时2x －π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π12，k ∈Z ，即此时自变量x 的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π12，k ∈Z . (2)把函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，最后再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． (3)如图，因为当x ∈[0，m ]时，y ＝f (x )取到最大值2，所以m ≥5π12.又函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，11π12上是减函数，故m 的最大值为⎣⎡⎦⎤5π12，11π12内使函数值为－3的值，令2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－3，得x ＝5π6，所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤5π12，5π6.22．(15分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )，a ∈R .(1)求g (a )；(2)若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值．解 (1)f (x )＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x ) ＝2cos 2x －2a cos x －1－2a ＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－a22－2a －1. 若a 2<－1，即a <－2，则当cos x ＝－1时，f (x )有最小值g (a )＝2⎝⎛⎭⎫－1－a 22－a 22－2a －1＝1；若－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，f (x )有最小值g (a )＝－a 22－2a －1；若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时，f (x )有最小值g (a )＝2⎝⎛⎭⎫1－a 22－a 22－2a －1＝1－4a . ∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a <－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ，a >2.(2)若g (a )＝12，由所求g (a )的解析式知只能是－a 22－2a －1＝12或1－4a ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，－a 22－2a －1＝12，解得a ＝－1或a ＝－3(舍)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >2，1－4a ＝12，解得a ＝18(舍)．此时f (x )＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋12，得f (x )max ＝5. ∴若g (a )＝12，应有a ＝－1，此时f (x )的最大值是5.。

2018-2019学年高中数学(人教A版)选修4-4同步导学案：第二讲参数方程一第一课时Word版含答案

一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念及圆的参数方程学习目标 1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题．知识点一参数方程的概念思考在生活中，两个陌生的人通过第三方建立联系，那么对于曲线上点的坐标(x ，y )，直接描述它们之间的关系比较困难时，可以怎么办呢？答案可以引入参数，作为x ，y 联系的桥梁．梳理参数方程的概念 (1)参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程． (2)参数的意义参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．特别提醒：普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式，参数方程可以与普通方程进行互化．知识点二圆的参数方程思考如图，角θ的终边与单位圆交于一点P ，P 的坐标如何表示？答案 P (cos θ，sin θ)，由任意角的三角函数的定义即x ＝cos θ，y ＝sin θ. 梳理圆的参数方程类型一参数方程及应用例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．解 (1)把点M 1的坐标(0,1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1.解得t ＝0.∴点M 1在曲线C 上．同理可知，点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M 3(6，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1，解得t ＝2，a ＝9.∴a ＝9.反思与感悟参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标普通方程下的判断方法是一致的．跟踪训练1 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 上的点Q (－3，－3)对应的参数θ的值； (2)若点P (m ，－1)在曲线C 上，求m 的值．解 (1)把点Q 的坐标(－3，－3)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝2cos θ，－3＝－2＋2sin θ，即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝－12，解得θ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，故曲线上的点Q 对应的参数θ的值是7π6＋2k π(k ∈Z )．(2)把点P 的坐标(m ，－1)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，－1＝－2＋2sin θ，解得sin θ＝12，故cos θ＝±32，即m ＝±3，即所求m 的值是±3. 类型二求曲线的参数方程例2 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．解方法一设点P (x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于点Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0<t <a )． ∵|OA |＝a 2－t 2， ∴|BQ |＝a 2－t 2.又∵|PQ |＝|OB |＝t ，∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t(0<t <a )．方法二设点P (x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，则∠ABO ＝π2－θ，在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ(θ为参数，0<θ<π2)．反思与感悟求曲线参数方程的主要步骤(1)画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标． (2)选择适当的参数，参数的选择要考虑以下两点①曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程； ②x ，y 的值可以由参数惟一确定．(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．跟踪训练2 长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，AB →＝3AP →，点P 的轨迹为曲线C .(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．解 (1)设P (x ，y )，由题意，得 x ＝23|AB |cos(π－α)＝－2cos α， y ＝13|AB |sin(π－α)＝sin α. 所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α.(α为参数，π2<α<π)(2)由(1)得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2 ＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8 ＝－3⎝⎛⎭⎫sin α－232＋283. 当sin α＝23时，|PD |取得最大值2213.类型三圆的参数方程及应用例3 如图，圆O 的半径为2，P 是圆O 上的动点，Q (4,0)在x 轴上．M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，(1)求点M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形； (2)若(x ，y )是M 轨迹上的点，求x ＋2y 的取值范围．解 (1)设点M (x ，y )，令∠xOP ＝θ，。

2018年高中数学人教A版必修4第1章三角函数 1.5.2习题含解析

第2课时函数y=A sin(ωx+φ)的性质及应用课时过关·能力提升基础巩固1简谐运动y=3si的相位和初相分别是A.3,5B.5xC.3答案:B2函数f(x)=si-的图象的一条对称轴是A.xC.x=解析:函数f(x)=si-的图象的对称轴是x∈Z,即x=kπ∈Z.当k=-1时x=-π故选C.答案:C3设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则的最小正周期是A.2πB.πC解析:函数y=sinωx的图象中,对称中心到对称轴的最小值是其中T为函数y=sinωx的最小正周期,则解得T=π.答案:B4已知f(x)=sin(3x+φ)的图象的一个对称中心是-则可取A解析:由于-则si-∴si验证各选项可知仅当φ=时满足si答案:B5已知ω>0,0<φ<π,直线x和是函数图象的两条相邻的对称轴则A解析:周期T=-∴f(x)=sin(x+φ).由题意知又0<φ<π,∴φ答案:A6函数y=A sin(ωx+φ∈的部分图象如图则此函数表达式为A.y=-4si-C.y=4si-解析:观察图象知函数的最大值是4,则A=4,函数的周期T=2×[6-(-2)]=16,则16则有y=4si又点(-2,0)在函数y=A sin(ωx+φ)的图象上,则0=4si-所以si-又|φ|所以所以y=4si答案:D解得7函数f(x)=A sin(ωx+φ其中的图象如图为了得到的图象则只要将的图象A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:由函数f(x)的图象,知函数f(x)的最小值是-1,则A=1;函数f(x)的周期是-则解得ω=3,则f(x)=sin(3x+φ).又函数f(x)的图象经过点则即si又|φ|则所以f(x)=si所以要得到g(x)=sin3x的图象,只需将f(x)的图象向右平移个单位长度.答案:B8关于函数f(x)=2si-以下说法其最小正周期为图象关于点对称直线是其图象的一条对称轴其中正确命题的序号是.答案:①②③9若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有-且则实数的值等于答案:-5或-110点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;(2)求该物体在t=5s时的位置.解(1)设x和t之间的函数关系式为x=3sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π).则由T可得当t=0时,有x=3sinφ=3,即sinφ=1.又0≤φ<2π,所以φ故所求函数关系式为x=3si即x=3co(2)令t=5,得x=3co故该物体在当t=5s时的位置是在点O的左侧且距点O1.5cm处.11挂在弹簧下的小球上下振动,它在时间t(单位:s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(单位:cm)由函数关系式h=3si决定(1)以t为横坐标,h为纵坐标作出这个函数的图象(其中0≤t≤π);(2)经过多少时间,小球往复振动一次?(3)每秒小球能往复振动多少次?解(1)利用五点法可以作出其图象(如图).(2)小球经过πs往复振动一次.(3)每秒小球能往复振动次.能力提升1若函数f(x)=2si-是偶函数则的值可以是A解析:由于f(x)是偶函数,则 f (x )的图象关于 y 轴即直线 x=0 对称,则 f (0)=±2,又当 φ时,f (0)=2si -则 φ 的值可以是答案:A2 已知函数 f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x=1 和 x=-1 处分别取得最大值和最小值,且对于任意x 1,x 2∈[-1,1],x 1≠x 2,都有- -则A .函数 y=f (x+1)一定是周期为 4 的偶函数B .函数 y=f (x+1)一定是周期为 2 的奇函数C .函数 y=f (x+1)一定是周期为 4 的奇函数D .函数 y=f (x+1)一定是周期为 2 的偶函数答案:A3 已知函数 f (x )=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f (x )≤对 ∈R 恒成立,且则的单调递增区间是A-∈Z )B∈Z )C∈Z )D- ∈Z )答案:C★4 若函数 f (x )=3sin(ωx+φ)对任意 x 都有则A.3 或 0 C.0B.-3 或 3D.-3 或 0解析:由于函数 f (x )=3sin(ωx+φ)对任意 x 都有则函数f (x )的图象关于直线x对称,则是函数f (x )的最大值或最小值,则或3.答案:B5函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图,则函数解析式为y=.解析:由题图知,A=5,由知T=3π,∴ω则y=5si由图象知最高点坐标为将其代入y=5si得5si∈Z),解得φ=2kπ∈Z).由于|φ|<π,则φ答案:5si★6已知函数f(x)=si若且在区间内有最大值无最小值则解析:由于f(x)在区间内有最大值,无最小值,则周期T故又则直线x是函数f(x)图象的对称轴,所以所以si所以∈Z),所以ω∈Z).又ω>0,所以ω答案:7已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),图象最低点的纵坐标是相邻的两个对称中心是和求:(1)f(x)的解析式;(2)f(x)的值域;(3)f(x)的对称轴.解(1)A-∴f(x)在f(x)的图象上,∴又-π<φ<0,∴φ=∴f(x)-(2)值域是[(3)令2x∈Z),∴x∈Z).∴对称轴是直线x∈Z).★8已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点对称且在区间上是单调函数求和的值解∵f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)在x=0时取得最值,即sinφ=1或sinφ=-1.又0≤φ≤π,故φ由f(x)的图象关于点M对称,可知si解得∈Z.又f(x)在上是单调函数,∴T≥π,即≥π.∴ω≤2,又ω>0,∴当k=1时,ω当k=2时,ω=2.故φ或。

【人教A版】2019年必修四导学案设计(含答案)第一章 1.4.3

人教版高中数学必修精品教学资料1.4.3 正切函数的性质与图象[学习目标] 1.了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一正切函数的图象 1．正切函数的图象：2．正切函数的图象叫做正切曲线． 3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π,k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y ＝tan x ,x ∈[－π2,π2]的简图吗？怎样画．答案能．找三个关键点：(π4,1),(0,0),(－π4,－1),两条平行线：x ＝π2,x ＝－π2.知识点二正切函数图象的性质1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2,k ∈Z )的图象与性质见下表：π2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|ω|.思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性,请指出其对称特征．答案具有对称性,为中心对称,对称中心为(k π2,0),k ∈Z .题型一正切函数的定义域例1 (1)函数y ＝tan(sin x )的定义域为,值域为．答案 R [tan(－1),tan 1] 解析因为－1≤sin x ≤1, 所以tan(－1)≤tan(sin x )≤tan 1, 所以y ＝tan(sin x )的定义域为R , 值域为[tan(－1),tan 1]．(2)求函数y ＝tan(2x －π4)的定义域．解由2x －π4≠π2＋k π,k ∈Z 得,x ≠38π＋12k π,所以y ＝tan(2x －π4)的定义域为{x |x ≠3π8＋12k π,k ∈Z }．反思与感悟求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内,满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π,所以所求x 的范围是[k π－π4,k π＋π4)(k ∈Z )即函数定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．题型二求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4, 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2 (k ∈Z ),得2k π－π2<x <2k π＋32π,k ∈Z ,∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π,k ∈Z .周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体,解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π,k ∈Z 即可．当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间．解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上是增函数,∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π,k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2,k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2 (k ∈Z )．题型三正切函数图象性质的应用例3 (1)函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D.π6答案 C解析最小正周期为T ＝π|ω|＝π2.(2)画出函数y ＝|tan x |的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．解由y ＝|tan x |得,y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )其图象如图：由图象可知,函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的周期T ＝π,函数y ＝|tan x |的单调递增区间[k π,k π＋π2)(k ∈Z ),单调递减区间为(k π－π2,k π)(k ∈Z )．反思与感悟 1.可用“三点两线法”作正切函数的简图：“三点”是指点(－π4,－1),(0,0),(π4,1),“两线”是指直线x ＝－π2,x ＝π2.为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形化简,在变形、化简过程中一定要注意等价变形． 2．一般地,函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.跟踪训练3 (1)下列函数中,既是以π为周期的奇函数,又是(0,π2)上的增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |答案 A解析由于y ＝tan x 与y ＝tan x2是奇函数,但是只有y ＝tan x 的周期为π,y ＝cos x 与y ＝|sin x |是偶函数．(2)画出f (x )＝tan|x |的图象,并根据其图象判断其单调区间,周期性,奇偶性．解 f (x )＝tan|x |化为f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象,作出f (x )＝tan|x |的图象,如图所示,由图象知,f (x )不是周期函数,是偶函数,单调增区间为[0,π2),(k π＋π2,k π＋32π)(k ∈N )；单调减区间为(－π2,0],(k π－32π,k π－π2)(k ＝0,－1,－2,…)．与三角函数相关的函数零点问题例4 当x ∈(－32π,32π)时,确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．分析 tan x －sin x ＝0的根即为tan x ＝sin x 的根,也就是y ＝tan x 与y ＝sin x 交点的横坐标,所以可根据图形进行分析．解在同一平面直角坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sin x 在(－3π2,3π2)上的图象,如图,由图象可知它们有三个交点,∴方程有三个根．点评数形结合思想,是高中数学的一类重要的数学思想方法,其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．1．下列说法正确的是( )A ．正切函数在整个定义域内是增函数B ．正切函数在整个定义域内是减函数C ．函数y ＝3 tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角,则y ＝tan x 是增函数答案 C解析由正切函数性质可知A 、B 、D 均不正确,又y ＝3tan x 2＝3tan|x |为偶函数, 故其图象关于y 轴对称,故选C.2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2,k π＋π2),k ∈ZB ．(k π,(k ＋1)π),k ∈ZC ．(k π－3π4,k π＋π4),k ∈ZD ．(k π－π4,k π＋3π4),k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3解得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z ),∴x ＝k π2(k ∈Z ),又x ∈[0,2π),∴x ＝0,π2,π,3π2.故选B.5．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是．答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )解析由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z ),得x ＝k π2－π3 (k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．1．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线,渐近线方程为x ＝k π＋π2,k ∈Z ,相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增．作正切曲线简图时,只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π2,x ＝π2,然后描出三个点(0,0),(π4,1),(－π4,－1),用光滑的曲线连接得到一条曲线,再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ,值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π,函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在每个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增,不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．(4)正切函数在每个单独的区间(－π2＋k π,π2＋k π)(k ∈Z )内都是增函数,但在整个定义域内不是,例如,180°>30°,但tan 180°＝0<tan 30°＝33.一、选择题1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5,x ∈R 且x ≠310π＋k π,k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π,0)答案 C2．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )为( ) A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数答案 A解析 ∵1＋tan 2x >|tan x |≥－tan x ,∴其定义域为{x |x ≠k π＋π2,k ∈Z }关于原点对称,又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＋lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 1＝0, ∴f (x )为奇函数,故选A.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )答案 A4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支曲线截直线y ＝π4所得线段长为π4,则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4答案 A解析由题意,得T ＝πω＝π4,∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ,f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.5．函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( ) A ．(k π－π2,k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－π2,k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π－π4,k π＋π2)(k ∈Z )D ．(k π－π4,k π＋π4)(k ∈Z )答案 C解析由题意得1＋tan x >0,即tan x >－1, 由正切函数的图象得k π－π4<x <k π＋π2(k ∈Z )．6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )答案 D解析当π2<x <π时,tan x <sin x ,y ＝2tan x <0；当x ＝π时,y ＝0；当π<x <3π2时,tan x >sin x ,y ＝2sin x ．故选D. 二、填空题7．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是．答案 (2k π－π2,2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π,2k π＋3π2)(k ∈Z )解析由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知,同时为单调递增的区间为(2k π－π2,2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π,2k π＋3π2)(k ∈Z )．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2,则ω＝.答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2,∴ω＝±2.9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1,x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为．答案 [－4,4] 解析 ∵－π4≤x ≤π4,∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ,则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1,即x ＝－π4时,y min ＝－4,当t ＝1,即x ＝π4时,y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．10．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2,π2)是减函数,则ω的取值范围是．答案 [－1,0)解析 ∵y ＝tan ωx 在(－π2,π2)内是减函数,∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1,即－1≤ω＜0. 三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．解由tan x ＋1tan x －1>0得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为(k π－π2,k π－π4)∪(k π＋π4,k π＋π2)(k ∈Z )关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lgtan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg(－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1)＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x ),∴f (x )是奇函数．12．求函数y ＝tan(x 2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2,k ∈Z ,得x ≠2k π＋53π,k ∈Z .∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π,k ∈Z }．②T ＝π12＝2π.∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2,k ∈Z ,解得2k π－π3<x <2k π＋53π,k ∈Z .∴函数的单调增区间为(2k π－π3,2k π＋53π),k ∈Z .④由x 2－π3＝k π2,k ∈Z ,得x ＝k π＋23π,k ∈Z .∴函数的对称中心是(k π＋23π,0),k ∈Z .13．(1)求函数y ＝3tan(π4－2x )的单调区间；(2)比较tan 1,tan 2,tan 3的大小．解 (1)y ＝3tan(π4－2x ) ＝－3tan(2x －π4), 由－π2＋k π<2x －π4<k π＋π2,k ∈Z , 得－π8＋k π2<x <k π2＋3π8,k ∈Z . ∴y ＝3tan(π4－2x )的单调减区间为(－π8＋k π2,3π8＋k π2)(k ∈Z )． (2)tan 2＝－tan(π－2)＝tan(2－π)tan 3＝－tan(π－3)＝tan(3－π)∵－π2<2－π<3－π<1<π2, ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1∴tan 2<tan 3<tan 1.。

【人教A版】2019年必修四导学案设计(含答案)第一章 1.3(一)

人教版高中数学必修精品教学资料[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点一诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α,cos(α＋2kπ)＝cos α,tan(α＋2kπ)＝tan α,其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α,cos(π＋α)＝－cos α,tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α,cos(－α)＝cos α,tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α,cos(π－α)＝－cos α,tan(π－α)＝－tan α.思考1任意角α与π＋α,－α,π－α的终边之间有怎样的对称关系？答案π＋α与α的终边关于原点对称；－α与α的终边关于x轴对称；π－α与α的终边关于y轴对称．思考2设任意角α的终边与单位圆交于点P(x0,y0),分别写出π＋α,－α,π－α的终边与单位圆的交点坐标．答案若角α的终边与单位圆交于点(x0,y0),那么π＋α的终边与单位圆交于点(－x0,－y0)；－α的终边与单位圆交于点(x0,－y0)；π－α的终边与单位圆交于点(－x0,y0)．知识点二诱导公式的记忆2kπ＋α(k∈Z),π＋α,π－α,－α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变,符号看象限”．思考你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗？答案诱导公式一把任意角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值；诱导公式二把第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数值；诱导公式三将负角的三角函数转化为正角的三角函数；诱导公式四将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．题型一给角求值例1 求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)；(2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]．解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23π) ＝－sin 23π＝－sin(π－π3) ＝－sin π3＝－32. (2)cos 196π＝cos(2π＋76π) ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. (3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23π)] ＝sin π3＝32. 反思与感悟对于负角的三角函数求值,可先利用诱导公式三化为正角的三角函数,若化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一,化为0°到360°间的角的三角函数．若这时角是90°到180°间的角,再利用180°－α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是180°～270°间的角,则用180°＋α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是270°～360°间的角,则利用360°－α的诱导公式化为0°～90°间的三角函数．跟踪训练1 求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°)．解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π)(2)cos 296π＝cos(4π＋56π) ＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.题型二给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13,且α为第四象限角, 求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0,且α为第四象限角, ∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋(α－75°) ＝－sin(α－75°)＝223. 反思与感悟解答这类给值求值的问题,首先应把所给的值进行化简,再结合被求值的式子的特点,观察所给值的式子与被求式的特点,找出它们之间的内在联系,特别是角之间的关系,恰当地选择诱导公式．跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－35,π<α<2π,求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35,∴cos α＝35, ∵π<α<2π,∴3π2<α<2π,∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α题型三三角函数式的化简例3 化简下列各式．(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)； (2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 反思与感悟利用诱导公式进行化简,主要是进行角的转化,最终达到角的统一,能求值的要求出值,三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化为弦函数．(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. 跟踪训练3 化简：(1)sin (540°＋α)·cos (－α)tan (α－180°)； (2)cos (θ＋4π)·cos 2(θ＋π)·sin 2(θ＋3π)sin (θ－4π)sin (5π＋θ)cos 2(－π＋θ). 解 (1)原式＝sin[360°＋(180°＋α]·cos α－tan (180°－α)＝sin (180°＋α)cos αtan α＝－sin αcos αsin αcos α＝－cos 2α. (2)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·(－sin θ)·cos 2θ＝－cos θ.分类讨论思想在三角函数中的应用例4 证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α,n ∈Z . 证明当n 为偶数时,令n ＝2k ,k ∈Z ,左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α,∴左边＝右边．当n 为奇数时,令n ＝2k －1,k ∈Z ,左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α) ＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α,∴左边＝右边．综上所述,2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α,n ∈Z 成立．点评解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简,如果被化简式子中的角是k π±α(k ∈Z )的形式,往往对参数k 进行讨论．常见的一些关于参数k 的结论有sin(k π＋α)＝(－1)k sin α(k ∈Z )；cos(k π＋α)＝(－1)k cos α(k ∈Z )；sin(k π－α)＝(－1)k ＋1sin α(k ∈Z )；cos(k π－α)＝(－1)k cos α(k ∈Z )等．1．sin 585°的值为( )A ．－22B.22C ．－32D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( ) A ．－1＋32B.1－32C.3－12D.3＋12答案 C解析原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3 ＝－cos π3＋sin π3＝3－12. 3．记cos(－80°)＝k ,那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k 1－k 2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ,∴cos 80°＝k ,∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2 k.4．化简：cos(180°＋α)sin(α＋360°)sin(－α－180°)cos(－180°－α).解原式＝(－cos α)·sin α[－sin(α＋180°)]·cos(180°＋α)＝sin αcosαsin(α＋180°)cos(180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1.1．明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号,α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角．3．已知角求值问题,一般要利用诱导公式三和公式一,将负角化为正角,将大角化为0～2π之间的角,然后利用特殊角的三角函数求解．必须对一些特殊角的三角函数值熟记,做到“见角知值,见值知角”一、选择题1．cos 600°的值为()A.32B.12C．－32D．－12答案 D解析cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2答案 D解析原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．已知cos(α－π)＝－513,且α是第四象限角,则sin α等于() A ．－1213B.1213C.512D ．±1213答案 A解析 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513,∴cos α＝513,又α是第四象限角,∴sin α<0,则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.4．若sin(－110°)＝a ,则tan 70°等于( ) A.a 1－a 2B.－a 1－a 2C.a 1＋a 2D.－a1＋a 2答案 B解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°)＝－sin 70°＝a ,∴sin 70°＝－a ,∴cos 70°＝1－(－a )2＝1－a 2,∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a1－a 2.5．tan(5π＋α)＝m ,则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1 D ．1答案 A解析原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.6．若sin(π－α)＝log 814,且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0,则cos(π＋α)的值为( ) A.53 B ．－53C ．±53D ．以上都不对答案 B 解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23, ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53. 二、填空题7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33,则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝. 答案－33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33. 8．若cos(π＋α)＝－12,32π<α<2π,则sin(α－2π)＝. 答案－32解析由cos(π＋α)＝－12,得cos α＝12, 故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－(12)2 ＝－32(α为第四象限角)． 9.cos (－585°)sin 585°＋sin (－570°)的值等于．答案 2＋2解析原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋225°)－sin (360°＋210°) ＝cos 225°sin 225°－sin 210°＝－cos 45°sin (180°＋45°)－sin (180°＋30°)＝－22－22＋12＝2＋2. 10．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β),且f (4)＝3,则f (2 017)的值为．答案－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3,∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.三、解答题11．化简下列各式．(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.12．若cos(α－π)＝－23,求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23,∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时,cos α＝23, sin α＝1－cos 2α＝53,∴tan α＝sin αcos α＝52, ∴原式＝－52. 当α为第四象限角时,cos α＝23, sin α＝－1－cos 2α＝－53, ∴tan α＝sin αcos α＝－52,∴原式＝52. 综上,原式＝±52. 13．在△ABC 中,若sin(2π－A )＝－2sin(π－B ),3cos A ＝－2cos(π－B ),求△ABC 的三个内角．解由条件得sin A ＝2sin B ,3cos A ＝2cos B ,平方相加得2cos 2A ＝1,cos A ＝±22, 又∵A ∈(0,π),∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时,cos B ＝－32<0,∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π, ∴A ,B 均为钝角,不合题意,舍去．∴A ＝π4,cos B ＝32,∴B ＝π6,∴C ＝712π.。

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第一章三角函数
如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢？本章将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型．通过本章的学习，我们将知道：三角函数是怎样的一种函数？具有哪些特有的性质？在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些重要作用？
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第一章
三角函数
第一章三角函数
到过海边的人都知道，海水有涨潮和落潮现象，涨潮时，海水上涨，波浪
滚滚，景色十分壮观；退潮时，海水悄然退去，露出一片海滩．在我国，有闻
名中外的钱塘江涨潮，当潮流涌来时，潮端陡立，水花四溅，像一道高速推进
的直立水墙，形成“滔天浊浪排空来，翻江倒海山为摧”的壮观景象．科学地
讲，潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动，是海洋中常见
的自然现象之一．实际上，现实中的许多运动变化都有着循环反复、周而复始
的现象，这种变化规律称为周期性．在唐代诗人王湾的《江南恋》中有这样的
数学
诗句：“客路青山外，行舟绿水前．潮平两岸阔，风正一帆悬 .海日生残夜，江
必
修 ④
春入旧年．”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期性变化规律．
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