陕西商洛市柞水高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的三角函数(一)学案北师大版4!
陕西省商洛市柞水县高中数学第三章三角恒等变形3.2.1两角和与差的正余弦函数导学案学案(无答案)北师大版
两角和与差的正、余弦函数班级姓名组号【学习目标】1、通过学习，增强数学化归意识；2、理解公式推导，掌握公式特点并熟记公式；3、能够运用公式进行化简、求值、证明。
【学习重点】两角和与差的正弦、余弦公式及其推导。
【学习难点】灵活运用公式进行求值、化简和证明。
【学习过程】一、预习自学1、阅读材料——两点间的距离公式推导两差角余弦公式在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ (两角和余弦公式）-替换上式的β，你能得到怎样的公式？2、思考用β3、思考能否利用诱导公式由两角和的余弦公式推出两角和的正弦公式？进而推出两角差的正弦公式吗？cos(α+β)= ____________________；cos(α-β)___________________；sin(α+β)______________________；sin(α-β)_______________________；二、合作探究1、不查表，求οο15cos ,75cos 的值。
2、已知求的值。
)cos(),cos(βαβα+-3、求+=x x sin )(f x cos 3的最大值和周期。
三、达标检测1、判断正误：（1）βαβαcos cos )cos(+=+ （ ）（2）等式βαβαcos cos cos -=-）（ （ ）2、求下列各式的值：（1）ο105cos = 252cos -12π（）（）= 3、求下列各式的值：（1）οο15sin 15cos 22-=（2）οοοο35cos 95cos 35sin 95sin +=四、我的疑惑：______________________________________ ),23,(,135cos ),,2(,54sin ππββππαα∈-=∈=。
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数学案北师大版
1.2 二倍角的三角函数知识梳理 1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sin αcos α；（S 2α）cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;（C 2α） tan2α=αα2tan 1tan 2-.（T 2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠k π+2π及α≠2πk+4π（k∈Z）时才成立. ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式 （1）公式：sin2α=±2cos 1α-；cos 2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-.（2）公式的理解 关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k∈Z ），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k∈Z ）之外，还必须有α≠2k π（k∈Z ）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用. 知识导学①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理. 例如：已知cos α=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：（用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理）∵α为第四象限的角，∴2α是第二或第四象限的角. ∴tan2α<0. ∴tan 2α=ααcos 1cos 1+-=32331331--=+-- =262)26(21348212-=--=--. 解法二：（用tan2α=ααsin cos 1-来处理）∵α为第四象限的角，∴sin α<0. ∴sin α=36311cos 12-=--=--α. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=26236331-=--. 解法三：（用tan2α=ααcos 1sin +） ∵α为第四象限的角，∴sin α<0. ∴sin α=36311cos 12-=--=--α. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=26233633136-=--=--. 比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααsin cos 1+来处理，可以避免这些问题.尤其是tan2α=ααsin cos 1+，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1+求半角的正切值. 2.为什么说1+sin α和1-sin α是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sin α要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sin α中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2＋b 2，sin α=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sin α=sin 22α+cos22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2.这个结论应用很广泛.。
高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)北师大版必修4
【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值．
解 因为 sin 2α＝2sin αcos α ＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝－2245， 故ta2nt2aαn＋α1＝－2245， 解得 tan α＝－43或－34， 因为 α∈－π4，0，tan α＞－1， 故 tan α＝－34.
tan α＋tan β
2tan α
3．tan(α＋β)＝1－tan αtan β，令β＝α，得tan 2α＝1－tan2α .
【预习评价】
1．计算 1－2sin215°的结果为( )
1 A.2
3 C. 2
2 B. 2 D．1
答案 C
2．sin 105°cos 105°的值为( 1
A.4
) B．－14
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.
【训练 1】 求下列各式的值．
(1)cos
72°cos
36°；(2)sin150°＋cos
3 50°.
解
(1)cos
72°cos
36°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)学案北师大版必修4
§3 二倍角的三角函数(一)内容要求 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点)．知识点1 二倍角公式1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，令β＝α，得sin 2α＝2sin_αcos_α. 2．cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，令β＝α，得cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.3．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，令β＝α，得tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 【预习评价】1．计算1－2sin 215°的结果为( ) A.12 B.22C.32D ．1答案 C2．sin 105°cos 105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34答案 B知识点2 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2，降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.【预习评价】1．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，故选D. 答案 D2.tan 75°1－tan 275°的值是( ) A.36B ．－36C ．2 3D ．－2 3答案 B题型一 化简求值【例1】 求下列各式的值． (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－ta n 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. 规律方法 在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用． 【训练1】 求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝212cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.【例2】 (1)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A.15 B ．－15C ．－75D.75(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝1－2425＝15.故选A. (2)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－1825＝725.答案 (1)A (2)D【迁移1】 若(1)中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，求sin α＋cos α的值．解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，所以sin α＋cos α＜0(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125，所以sin α＋cos α＝－15.【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值． 解 因为sin 2α＝2sin αcos α ＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2425， 故2tan αtan 2α＋1＝－2425， 解得tan α＝－43或－34，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，tan α＞－1， 故tan α＝－34.规律方法 1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1.题型三 三角函数式的化简或证明【例3】 化简：(1)cos 10°1＋3tan 10°cos 70°1＋cos 40°；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解 (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°2sin 20°cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)原式＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.规律方法 被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简． 【训练2】 化简下列各式： (1)2sin 2α1＋cos 2α×cos 2αcos 2α； (2)1－cos 20°cos 80°1－cos 20°；(3)11－tan θ－11＋tan θ. 解 (1)原式＝2sin 2α2cos 2α×cos 2αcos 2α＝tan 2α. (2)原式＝2sin 210°sin 10°2sin 210°＝2sin 210°2sin 210°＝ 2. (3)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan θ1＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.课堂达标1．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32 解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 答案 B2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A3．若tan α＝2，则tan 2α＝________. 解析 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 答案 －434．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________. 解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425. 答案 －24255．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 课堂小结1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－π2，α－π4等之间关系的应用．3．式中出现1＋cos α，1＋sin α时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号.基础过关1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1解析 f (x )＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 答案 B2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )A.724 B ．－724C.247D ．－247解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×－341－－342＝－247，故选D.答案 D3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12D.23解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.答案 A4．2sin 222.5°－1＝________. 解析 原式＝－cos 45°＝－22. 答案 －225．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案1166．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α的值．解 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32.7．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsinπ4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.能力提升8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A.459B.259C ．－459D ．－259解析 令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23，0＜α＜π，∴sin α＝53. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459.答案 A9．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A ．4 3 B.833C ．4D ．8解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos xsin x＝2sin 2x ＋2cos 2x sin x cos x＝4sin 2x， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8. 答案 D10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 答案 311．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 答案 212．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．(选做题)设函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．(1)求f (x )的解析式，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，f (x )的取值范围； (2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，求cos x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6 ∵T ＝2π2ω＝πω＝2π， ∴ω＝12. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )∈［3，2］. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝65， sin x ＝35，∴cos x ＝±1－sin 2x ＝±45.。
(新)高中数学第三章三角恒等变形3_3二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案北师大版必修41
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值.思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得 sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61， ∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31. 又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π). ∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-.友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sinα=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析：∵sinα=135,α∈(2π,π)， ∴cosα=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sinαcosα=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________.解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x x x x xx x x x x x x x x x Sin2xtanx(x+4π). ∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π, ∴sin(x+4π)=54- Tan(x+4π)=34-, sin2x=-cos(2π+2x) =-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-. 友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ： （1）（cos12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos 6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sinθ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51, ∴cos2θ=-51. 由cos2θ=1-2sin 2θ,得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sinθ=515-. ∴应选C.答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x=1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1. 当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41. 友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x =2cos(2x+4π),所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3 化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x xx xx x ---=-•--•+-πππππ x x x x 2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值.思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得 sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61， ∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31. 又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π). ∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-.友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sinα=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析：∵sinα=135,α∈(2π,π)， ∴cosα=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sinαcosα=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________.解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x x x x xx x x x x x x x x x Sin2xtanx(x+4π). ∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π, ∴sin(x+4π)=54- Tan(x+4π)=34-, sin2x=-cos(2π+2x) =-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-. 友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ： （1）（cos12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos 6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sinθ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51, ∴cos2θ=-51. 由cos2θ=1-2sin 2θ,得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sinθ=515-. ∴应选C.答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x=1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1. 当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41. 友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x =2cos(2x+4π),所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3 化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x x x ---=-•--•+-πππππ x x x x 2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
高中数学第三章三角恒等变形3第1课时倍角公式及其应用教学案北师大版
第1课时 倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式S 2α，C 2α中，角α为任意角，在T 2α中，只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π4(k ∈Z )时，才成立． 2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)12－sin 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. [尝试解答] (1)原式＝12(2sin 75°cos 75°)＝12sin 150°＝12×12＝14. (2)原式＝12(1－2sin 2π8)＝12cos π4＝12×22＝24.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.二倍角公式的“三用”： (1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的． (2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (3)公式的变形用主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α(升幂公式)，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2(降幂公式)．练一练 1．求值：(1)sin π64cos π64cos π32cos π16cos π8＝________；(2)2sin 50°＋cos 10°（1＋3tan 10°）1＋cos 10°＝________．解析：(1)原式＝12sin π32cos π32cos π16cos π8＝14sin π16cos π16cos π8＝18sin π8cos π8 ＝116sin π4＝232. (2)原式＝2sin 50°＋cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）2cos 25° ＝2sin 50°＋cos 10°＋3sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2（12cos 10°＋32sin 10°）2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos 50°2cos 5°＝22（22sin 50°＋22cos 50°）2cos 5°＝22sin 95°2cos 5°＝2.答案：(1)232(2)2讲一讲2．已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin （α＋π4）cos （2α＋4π）的值．[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝513，∴sin α＝1213.原式＝22（sin α＋cos α）cos 2α＝22·sin α＋cos αcos 2α－sin 2α ＝22·1cos α－sin α＝22×1513－1213＝－13214.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．练一练2．已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）的值．解： (1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3.∵3π4<α<π， ∴－1<tan α<0， ∴tan α＝－13.(2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）＝5（sin 2α2＋cos 2α2）＋4sin α＋61＋cos α2－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.讲一讲3．(湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．[尝试解答] (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－2，故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．解决此类问题的步骤：(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为a sin α＋b cos α＋k 的形式；(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y ＝a 2＋b 2sin(ωα＋φ)＋k 或y ＝a 2＋b 2cos(ωα＋φ)＋k 的形式．(其中φ可由a ，b 的值唯一确定)(3)利用f (x )＝sin x 或f (x )＝cos x 的性质进行研究，求得结果． 练一练3．(山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力． (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.已知cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．[解] 法一：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，由cos x ＋sin x ＝2sin (π4＋x )，cos x －sin x ＝2cos(π4＋x )，∴原式＝sin 2x tan(π4＋x )．又∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， ∴sin(π4＋x )<0，∴sin(π4＋x )＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43.而sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos 2(π4＋x )，∴原式＝－43sin 2x ＝43cos(2x ＋π2)＝43cos2(x ＋π4) ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1＝－2875.法二：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x ＝sin 2x ＋2sin x cos xsin xcos x 1－tan x＝sin 2x 1＋tan x1－tan x＝sin 2x tan(π4＋x )．(*)又∵17π12<x <7π4.∴5π3<π4＋x <2π， ∵cos(π4＋x )＝35，∴sin(π4＋x )＝－1－cos 2（π4＋x ）＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43，又sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos2(π4＋x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝1－2×925＝725，将上述结果代入(*)式有，原式＝725×(－43)＝－2875.法三：原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝sin 2x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，①由cos(π4＋x )＝35，得22(cos x －sin x )＝35，即cos x －sin x ＝325.②平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725③∴(cos x ＋sin x )2＝1＋sin 2x ＝3225.又∵17π12<x <3π2，∴cos x ＋sin x <0.则cos x ＋sin x ＝－425.④将②③④代入①有原式＝725×（－452）352＝－2875.1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：选B 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.4．cos2π8－sin 2π8＝________． 解析：cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 答案：225．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 012答案： 2 0126．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：法一：由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0. ∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－179.tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 法二：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝13×(－173)＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.一、选择题1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225C.1225D.2425解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425. 2．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.3．(江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝eq \f (\r (3),4)，θ∈(34π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62 B ．－62C ．－22 D.22 解析：选C cos(π4＋θ)×cos(π4－θ) ＝sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12， ∴sin θ＋cos θ＝－22. 二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________．解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)． ∴T ＝2π2＝π. 答案：π6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20° ＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20° ＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3. 答案： 37．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x tan 2x的值为________． 解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x＝2， ∴tan x ＝13. 又∵tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x， ∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49.答案：498．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 答案：1三、解答题9．已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值． 解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. ∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4. ∴sin(α＋π4)＝－ 1－cos 2（α＋π4） ＝－ 1－（35）2＝－45. ∴cos 2α＝sin(2α＋π2) ＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4) ＝2×(－45)×35＝－2425， sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4) ＝1－2×(35)2＝725. ∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值． 解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35. 所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4) ＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值. 思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61，∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31.又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π).∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-. 友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系. 各个击破 类题演练 1已知sin α=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值. 解析：∵sin α=135,α∈(2π,π)，∴cos α=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sin αcos α=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________. 解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π. 答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x xx x x x x x x x x x x x xSin2xtanx(x+4π).∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π,∴sin(x+4π)=54-Tan(x+4π)=34-,sin2x=-cos(2π+2x)=-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-.友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ：（1）（cos 12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2 已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510-B.510C.515-D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sin θ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51,∴cos2θ=-51.由cos2θ=1-2sin 2θ, 得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sin θ=515-. ∴应选C. 答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x =1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1.当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41.友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x. (1)求f(x)的最小正周期； （2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x =2cos(2x+4π), 所以f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ. 解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x x x ---=-∙--∙+-πππππx x x x2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
陕西省商洛市柞水县高中数学第三章三角恒等变形3.3二倍角的三角函数(一)学案(无答案)北师大版必修4
二倍角的三角函数（一）班级 姓名 组号【学习目标】1、在倍角公式的推导中，领会从一般到特殊的数学思想方法，进一步增强数学化归意识；2、能利用和角公式推导出二倍角公式，理解公式特点并熟记公式；3、能够灵活运用公式进行简单的化简、求值。
【学习重点】二倍角公式推导及其应用。
【学习难点】关于二倍角的理解及公式应用【学习过程】一、 预习自学1、复习：（1）=+)sin(βα =+)cos(βα=+)tan(βα（2）同角三角函数的基本关系：平方关系： 商数关系：2、自学：阅读课本第124至125页内容，思考回答下列问题（1）用α替换复习问题（1）中的β，试运用两角和的三角函数和同角三角函数的基本关系推导α2sin ，α2cos ， α2tan 公式（2）思考二倍角公式左边的角与右边的角有何变化？幂指数又有何变化？由左到右角减半，幂指数 ；由右到左角增倍，幂指数 ；（3）试思考42,,242αααβαααβ++与与与之间的三角函数关系是二倍角与单角间的三角函数关系吗？试写出其中一组角的三角函数关系。
二、合作探究 问题1、不查表，求下列各式的值：（1）sin15°cos15°（2）22cos 22.5sin 22.5-o o （3）1-2sin 215° （4）1-5.22cos 22ο（4）οο75tan 175tan - 问题2、已知)20(,3tan πθθ<<=，求θθ2cos 2sin -。
问题3、已知)2,4(,1352sin ππαα∈=，求α4的三角函数。
问题4、要把半径为R 的半圆形木料裁成长方形，怎样裁取才能使长方形面积最大？三、达标检测1、已知παπα223,87cos <<=，求αα2cos ,2sin 。
2、已知12tan -=α，求α2tan 的值。
3、求οοο80cos 40cos 20cos 的值。
四、我的疑惑：_____________________________________。
高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的正弦、余
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值.思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得 sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61， ∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31. 又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π). ∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-.友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sinα=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析：∵sinα=135,α∈(2π,π)， ∴cosα=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sinαcosα=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________.解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x x x x xx x x x x x x x x x Sin2xtanx(x+4π). ∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π, ∴sin(x+4π)=54- Tan(x+4π)=34-, sin2x=-cos(2π+2x) =-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-. 友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ： （1）（cos12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos 6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sinθ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51, ∴cos2θ=-51. 由cos2θ=1-2sin 2θ,得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sinθ=515-. ∴应选C.答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x=1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1. 当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41. 友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x =2cos(2x+4π),所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3 化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x x x ---=-•--•+-πππππ x x x x 2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
陕西省商洛市柞水县高中数学第三章三角恒等变形3.3二倍角的三角函数(二)学案(无答案)北师大版必修4
二倍角的三角函数（二）
班级 姓名 组号
【学习目标】
1、进一步体会二倍角公式逆用的特点；
2、理解并掌握逆用二倍角公式在化简三角函数式中的应用
【学习重点】二倍角公式及变形
【学习难点】二倍角公式及变形的应用
【学习过程】
一、预习自学
1、试从二倍角公式中导出θ2sin 及θ2
cos ： θ2sin = θ2cos = 这组公式的作用是
2、阅读P126-P127，并思考问题1中如何确定θθcos sin 、的符号？
二、合作探究
1、已知54sin -
=θ，θ为第四象限角，试求： （1）2sin
θ （2）2cos θ (3)2
tan θ
2、已知432tan =θ，（πθπ<<2）求)4cos(21sin 2cos 22πθθθ+-+。
3、求函数x x x x x f cos sin 4sin 3cos 35)(22-+=，]247,4[π
π∈x 的最小值，并求其单调
区间。
三、达标检测
1、若5
42cos =θ，求θθ44cos sin +。
2、求证：22cos 14sin 2αα-=。
3、求函数1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f 的最小正周期及在]4,6[ππ-上的最值。
四、我的疑惑。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的三角函数教案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学
1.3 二倍角的三角函数整体设计教学分析“二倍角的三角函数〞是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角〞关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具.通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律.通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验〞.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理. 三维目标1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 2课时教学过程 第1课时导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，假设sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课 新知探究 提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α,β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？ ④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα吗？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化.教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ⇒sin2α=2sinαcosα〔S 2α〕; cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ⇒cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α);tan(α+β)=a aa a a 2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=⇒-+ββ(T 2α). 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫作二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角〞专指“二倍角〞.教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫作倍角公式〔用多媒体演示〕.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角〞专指“二倍角〞,遇到“三倍角〞等名词时,“三〞字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠2πk +4π和α≠kπ+2π(k∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2α是4α的二倍,3α是23α的二倍,3α是6α的二倍，2π-α是4π-2α的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. 例如:sin2α=2sin 4αcos 4α,cos 3α=cos 26α-sin 26α等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4αcos 4α=2(2sin 4αcos 4α)=2sin 2α,40tan 240tan 2-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，2tan α=tan2α(1-tan 2α)等等.问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.假设sin2α=2sin α,那么2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=k π(k∈Z ). 假设cos2α=2cos α,那么2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 假设tan2α=2tan α,那么αα2tan 1tan 2-2tan α,∴tanα=0.结合tan α≠±1,∴α=k π(k∈Z ).解答：①—⑧〔略〕. 应用示例 思路1 例1tanα=21,求tan2α的值. 解:tan2α=34tan 2tan 22=-αα. 例2设α是第二象限角,cosα=-0.6,求sin2α,cos2α和tan2α的值. 解:因为α是第二象限角,所以sinα＞0,tanα＜0. 由于cosα=-0.6,故sinα=α2cos 1-=0.8. 可得sin2α=2sinα·cosα=-0.96,cos2α=2cos 2α-1=2×(-0.6)2-1=-0.28, tan2α=7242cos 2sin =αα.例3在△ABC 中,AB=AC=2BC(如图1),求角A 的正弦值.图1解:作AD⊥BC 于D,设∠BAD=θ,那么∠A=2θ. 因为BD=21BC=41AB, 所以sinθ=AB BD =41. 因为0＜2θ＜π,所以0＜θ＜2π, 于是cosθ=415, 故sinA=sin2θ=815. 4.要把半径为R 的半圆形木料截成长方形(如图2),应怎样截取,才能使长方形面积最大?图2解:如图2,设圆心为O,长方形面积为S,∠AOB=α,那么 AB=Rsin α,OB=Rcos α, S=(Rsin α)·2(Rcosα) =2R 2sin α·cosα =R 2sin2α.当si n2α取最大值,即sin2α=1时,截面面积最大.不难推出α=4π时,长方形截面面积最大,最大截面面积等于R 2.例5sin2α=135,4π＜α＜2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角〞是相对的这一换元思想.让学生体会“倍〞的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.此题中的条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成. 解:由4π＜α＜2π,得2π＜2α＜π. 又∵sin2α=135,∴cos2α=-α2sin 12-=-2)135(1-=-1312.于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(-1312)=-169120;cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=169119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=-119120.点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规X ，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点. 变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=2615cos 15cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ . 点评：此题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007高考某某,某某卷,9)假设22)4sin(2cos -=-παα,那么cosα+sinα的值为() 2721C.21D.27 答案:C3.(2007高考某某卷,6)以下各式中,值为23的是() A.2sin15°-cos15°215°-sin 215° 215°-1215°+cos 215° 答案:B例6证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ.活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1〞的代换，对“1〞的妙用大家深有体会，这里可否在“1〞上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨,鼓励.强调“1〞的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它. 证明:方法一:左边=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=++-+θθθθθθθθθθ=θθθθθθθθθθθθ2222cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 1cos sin ++=+-+)cos (sin cos )sin sin(cos θθθθθ++=tanθ=右边,所以,原式成立. 方法二:左边=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++θtan ==右边.所以，原式成立. 方法三:左边=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+•++--•++=++-+=)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin )sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin •+•+=-+++-+++ =tanθ=右边. 所以，原式成立.点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1〞的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规X 才是.思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.此题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式,并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=16120sin 1620sin 20sin 16160sin 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233===••.点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值. 解：方法一:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =⨯=A A , tanA=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A , 又tanB=2, 所以tan2B=342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B . 于是tan(2A+2B)=11744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A .方法二:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =⨯=A A .又tanB=2, 所以tan(A+B)=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A . 于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)] =11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A . 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野. 变式训练1.(2007某某某某)设向量a =(cosα,21)的模为22,那么cos2α等于…()4121C.21D.23解析:由|a |=41cos 2+α=22,得cos 2α+41=21,cos 2α=41,∴cos2α=2cos 2α-1=2×41-1=-21. 答案:B 2.化简：αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++.解：原式＝)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 22cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 222αααααααααααα++=++ =cot2α.知能训练(2007某某卷,17)cosα=71,cos(α-β)=1413,且0＜β＜α＜2π, (1)求tan2α的值; (2)求β. 解:(1)由cosα=71,0＜α＜2π,得sinα=734)71(1cos 122=-=-α. ∴tanα=3471734cos sin =⨯=αα.于是tan2α=.4738)34(1342tan 1tan 222-=-⨯=-αα (2)由0＜β＜α＜2π,得0＜α-β＜2π. 又∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=1433)1413(1)(cos 122=-=--βα. 由β=α-(β-α),得cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=71×1413+734×211433=.∴β=3π. 点评:此题主要考查三角恒等变形的主要基本公式,三角函数值的符号,三角函数值求角以及计算能力. 作业课本习题3—2 A 组1—4. 课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规X 解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.设计感想1.新课改的核心理念是：以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分表达了“学生主体、主动探索、培养能力〞的新课改理念，表达“活动、开放、综合〞的创新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程还是比较流畅的.2.纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用〞的探索创新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣.第2课时导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用倍角公式进行了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式,并用它来解决一些三角函数式的化简,求值等.思路2.先让学生写出上节课学习的二倍角公式,接着出示课本例5让学生探究,由此展开新课.推进新课 新知探究 提出问题 ①α与2α有什么关系? ②如何建立cosα与sin22α之间的关系？ ③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？ ④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin 22α,将公式中的α用2α代替,解出sin22α即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cosα=1-2sin 22α, 所以sin 22α=2cos 1α-① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cosα=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22α=ααcos 1cos 1+-③ 又根据正切函数的定义,得到tanαααααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos22sin2cos 2sin 2+=••==;④tanαααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2-=••==.⑤这样我们就得到另外两个公式: tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式,称之为半角公式. 在这些公式中,根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果2α所在象限无法确定,那么应保留根号前面的正,负两个符号.教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出以下特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式〞转化为右式的“一次式〞(即用此式可达到“降次〞的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的二倍角. ②sin 22α=2cos 1α-. ③④略(见活动〕.应用示例思路1例1cosα=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+±=+α, tan 2α=4354532cos2sin±=±=αα. 点评：此题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练(2005东城)θ为第二象限角,sin(π-θ)=2524,那么cos 2θ的值为() A.53B.54C.±53D.±54解析:∵sin(π-θ)=2524∴sinθ=2524. 又θ为第二象限角, ∴cosθ=-257,cosθ=2cos 22θ-1, 而2θ在第一,三象限, ∴cos 2θ=±53.答案:C 例2sin2α=-1312,π＜2α＜23π,求tanα.解:因为π＜2α＜23π,故2π＜α＜43π,α是2α的一半,运用半角公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a , 所以tanα=23131213512sin 2cos 1-=-+=-αα. 例3sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b==(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化,提升学生的运算,化简能力及整体代换思想.此题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41, ∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=21(1+83)=1611. 点评：此题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练(2007高考某某卷,12) sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,那么cos2θ的值是___________. 答案:-257例4B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证:A B A B 2424sin sin cos cos +=1. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换. 证法一:∵B AB A 2424sin sin cos cos +=1,∴cos 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos 2B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴AB A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B+sin 2B=1. 证法二:令BA 22sin cos =cos α,B Asin sin 2=sinα, 那么cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2kπ(k∈Z ),即B=2kπ+α(k∈Z ). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角△ABC 中,A,B,C 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S ＜1. 证明:∵S=B A B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++ 又A+B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tanA＞tan(90°-B)=cotB ＞0. ∴tanA·tanB＞1.∴S＜1.思路2例1sin2 010°=-21,求sin1 005°,cos1 005°,tan1 005°的值. 解:因为2 010°=5×360°+210°是第三象限的角, 所以cos2 010°=-232010sin 12-=- . 又1 005°=2×360°+285°是第四象限的角,所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=-, cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+, tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-=. 例2证明x x cos sin 1+=tan(24x+π). 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(24x +π)=2sin 2cos 2sin2cos 2sin 4sin 2cos 4cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()24sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++.方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(coscos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos 2x,得 )24tan(2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x x x x x +=-+=-+πππ 点评：此题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练 α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β,② ①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91 ∵α∈(0,2π),∴sinα=31.∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin 2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin 2α+cos 2α)=3×31=1.∵α,β∈(0,2π), ∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α, 3sin2α-2sin2β=0sin2β=23πsin2α=3sin αcos α,∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sinαcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由3sin 2α=cos2β,23πsin2α=sin2β,两式相除,得tan α=cot2β,∴tanα=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tanα＞0.∴tan(2π-2β)＞0.又∵β∈(0,2π),∴-2π＜2π-2β＜2π.结合tan(2π-2β)＞0,得0＜2π-2β＜2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例3求证:aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简〞的原那么,另外“化弦为切〞与“化切为弦〞也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==βββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ.证明:原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.而上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成立,即原等式得证.知能训练 1.假设sinα=135,α在第二象限,那么tan 2α的值为() B.-5C.5151 2.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,那么sin 4θ等于() A.21a + B.21a -21a +21a- 3.sinθ=-53,3π＜θ＜27π,那么tan 2θ=__________________.答案:课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3—2A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式,积化和差,和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.备课资料备用习题1.cosα=135(23π＜α＜2π),那么tan 2a 等于() A.32B.2323322.α为钝角,β为锐角,且sinα=54,sinβ=1312,那么cos 2βα-等于() B.-7C.-65657 D.65657 3.(2005某某,10)假设sin(6π-α)=31,那么cos(32π+2α)等于()9731C.31D.974.(2006崇文)θ是第二象限角,sinθ=54,那么tan(2θ-4π)的值为() 31C.3134参考答案: 由23π＜α＜2π可知,角α是第四象限的角, ∴sinα=-1312)135(1cos 122-=--=-α. ∴tan 3213121351sin cos 12-=--=-=ααα. 2.D 由,得cosα=-53,cosβ=135. 于是cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ =-653313125413553=⨯+⨯. ∵α为钝角,β为锐角,∴2βα-为锐角.∴cos2βα-=6565721653321)cos(=+=+-βα.cos(32π+2α)=cos［π-2(6π+α)］=-cos ［2(6π+α)］=2sin 2(6π-α)-1=-97.由sinθ=54,cosθ=-53,∴tan(2θ-4π)=tan 21(θ-2θ)=31sin 1cos )2cos(1)2sin(=+-=-+-θθπθπθ.。
2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变形3二倍角的三角函数第1课时倍角公式学案北师大版
第1课时 倍角公式二倍角公式思考：二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？[提示] sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α； tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α.1．计算1－2sin 215°的结果为( ) A ．12 B ．22C ．32D ．1C2．sin 105°cos 105°的值为( ) A ．14 B ．－14C ．34D ．－34B 3.tan 75°1－tan 275°的值是( ) A ．36B ．－36C ．2 3D ．－2 3B4．若sin α＝55，则cos 4α－sin 4α＝________. 35[cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35.]【例1】 (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. [解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用：(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的.(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知.(3)公式的变形应用.1．求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°. [解] (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.【例2】 已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.1．条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．2．当遇到π4±x 这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝16，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4x 的值． [解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝12cos 2x ＝16， ∴cos 2x ＝13.∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2x ∈(π，2π)， ∴sin 2x ＝－223.∴tan 2x ＝sin 2xcos 2x ＝－2 2.∴tan 4x ＝2tan 2x 1－tan 22x ＝－421－8＝427.[探究问题]1．倍角公式成立的条件是什么？[提示] 由任意角的三角函数的定义可知，S 2α，C 2α中的角α是任意的，但要使T 2α有意义，需要α≠π4＋k π2(k ∈Z )．2．如何对“二倍角”进行广义的理解？[提示] 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍； 3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)． 3．“二倍角”的余弦公式的应用形式有哪些？[提示] 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2；③1－cos 2α＝2sin 2α； ④sin 2α＝1－cos 2α2.【例3】 化简：(1)cos 10°(1＋3tan 10°)cos 70°1＋cos 40°；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.[思路探究] 先把切化弦，再用二倍角公式化简即可．[解] (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°2sin 20°cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)原式＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.1．将例3(1)变为化简“1－cos 20°cos 80°1－cos 20°”．[解] 原式＝2sin 210°sin 10°2sin 210°＝2sin 210°2sin 210°＝ 2. 2．将例3(2)变为化简“2sin 2α1＋cos 2α×cos 2αcos 2α”．[解] 原式＝2sin 2α2cos2α×cos 2αcos 2α＝tan 2α.被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的.若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简.1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－π2，α－π4等之间关系的应用． 3．式中出现1＋cos α，1＋sin α时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R ，总有sin 2α＝2sin α.( ) (2)对任意α∈R ，总有cos 2α＝1－2cos 2α.( ) (3)对任意α∈R ，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( ) (4)sin 22°30′cos 22°30′＝24.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C ．12D ．32B [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32.] 3．若tan α＝2，则tan 2α＝________. －43 [tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．求值：sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80° 1－cos 20°.[解] ∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.。
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二倍角的三角函数（一）
班级 姓名 组号
【学习目标】1、在倍角公式的推导中，领会从一般到特殊的数学思想方法，进一步增强数学化归意识；
2、能利用和角公式推导出二倍角公式，理解公式特点并熟记公式；
3、能够灵活运用公式进行简单的化简、求值。
【学习重点】二倍角公式推导及其应用。
【学习难点】关于二倍角的理解及公式应用
【学习过程】
一、 预习自学
1、复习：（1）=+)sin(βα =+)cos(βα
=+)tan(βα
（2）同角三角函数的基本关系：
平方关系： 商数关系：
2、自学：阅读课本第124至125页内容，思考回答下列问题
（1）用α替换复习问题（1）中的β，试运用两角和的三角函数和同角三角函数的基本关系推导α2sin ，α2cos ， α2tan 公式
（2）思考二倍角公式左边的角与右边的角有何变化？幂指数又有何变化？
由左到右角减半，幂指数 ；由右到左角增倍，幂指数 ；
（3）试思考42,,242α
α
αβ
αααβ++与与与之间的三角函数关系是二倍角与单角间的三角函数关
系吗？试写出其中一组角的三角函数关系。
二、合作探究 问题1、不查表，求下列各式的值：
（1）sin15°cos15° （2）22cos 22.5sin 22.5-
（3）1-2sin 215° （4）1-5.22cos 22
（4）
75tan 175tan -
问题2、已知)20(,3tan π
θθ<<=，求θθ2cos 2sin -。
问题3、已知)2,4(,135
2sin π
π
αα∈=，求α4的三角函数。
问题4、要把半径为R 的半圆形木料裁成长方形，怎样裁取才能使长方形面积最大？
三、达标检测
1、已知παπ
α223,87
cos <<=，求αα2cos ,2sin 。
2、已知12tan -=α，求α2tan 的值。
3、求 80cos 40cos 20cos 的值。
四、我的疑惑：_____________________________________。