陕西商洛市柞水高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的三角函数(一)学案北师大版4!
陕西省商洛市柞水县高中数学第三章三角恒等变形3.2.1两角和与差的正余弦函数导学案学案(无答案)北师大版
两角和与差的正、余弦函数班级姓名组号【学习目标】1、通过学习，增强数学化归意识；2、理解公式推导，掌握公式特点并熟记公式；3、能够运用公式进行化简、求值、证明。
【学习重点】两角和与差的正弦、余弦公式及其推导。
【学习难点】灵活运用公式进行求值、化简和证明。
【学习过程】一、预习自学1、阅读材料——两点间的距离公式推导两差角余弦公式在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ (两角和余弦公式）-替换上式的β，你能得到怎样的公式？2、思考用β3、思考能否利用诱导公式由两角和的余弦公式推出两角和的正弦公式？进而推出两角差的正弦公式吗？cos(α+β)= ____________________；cos(α-β)___________________；sin(α+β)______________________；sin(α-β)_______________________；二、合作探究1、不查表，求οο15cos ,75cos 的值。
2、已知求的值。
)cos(),cos(βαβα+-3、求+=x x sin )(f x cos 3的最大值和周期。
三、达标检测1、判断正误：（1）βαβαcos cos )cos(+=+ （ ）（2）等式βαβαcos cos cos -=-）（ （ ）2、求下列各式的值：（1）ο105cos = 252cos -12π（）（）= 3、求下列各式的值：（1）οο15sin 15cos 22-=（2）οοοο35cos 95cos 35sin 95sin +=四、我的疑惑：______________________________________ ),23,(,135cos ),,2(,54sin ππββππαα∈-=∈=。
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数学案北师大版
1.2 二倍角的三角函数知识梳理 1.倍角公式（1）公式：sin2α=2sin αcos α；（S 2α）cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;（C 2α） tan2α=αα2tan 1tan 2-.（T 2α）（2）公式的理解①成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T 2α则只有当α≠k π+2π及α≠2πk+4π（k∈Z）时才成立. ②倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. ③cos2α的变形：cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α， cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-；（这两个公式称为降幂公式） 1+cos2α=2cos 2α，1-cos2α=2sin 2α.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式 （1）公式：sin2α=±2cos 1α-；cos 2α=±2cos 1α+； tan2α=±ααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 1+=-=+-.（2）公式的理解 关于半角正切公式：tan2α=ααsin cos 1-不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan2α=±ααcos 1cos 1+-和tan 2α=ααcos 1sin +的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π（k∈Z ），而第一个公式除α≠(2k+1)π（k∈Z ）之外，还必须有α≠2k π（k∈Z ）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用. 知识导学①要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；②学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；③选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理；第二种方法是用tan2α=ααsin cos 1-来处理；第三种方法是用tan 2α=ααcos 1sin +来处理. 例如：已知cos α=33，α为第四象限的角，求tan 2α的值.解法一：（用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理）∵α为第四象限的角，∴2α是第二或第四象限的角. ∴tan2α<0. ∴tan 2α=ααcos 1cos 1+-=32331331--=+-- =262)26(21348212-=--=--. 解法二：（用tan2α=ααsin cos 1-来处理）∵α为第四象限的角，∴sin α<0. ∴sin α=36311cos 12-=--=--α. ∴tan 2α=ααsin cos 1-=26236331-=--. 解法三：（用tan2α=ααcos 1sin +） ∵α为第四象限的角，∴sin α<0. ∴sin α=36311cos 12-=--=--α. ∴tan 2α=ααcos 1sin +=26233633136-=--=--. 比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan2α时，用tan2α=±ααcos 1cos 1+-来处理，要由α所在的象限确定2α所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan2α=ααsin cos 1-或tan 2α=ααsin cos 1+来处理，可以避免这些问题.尤其是tan2α=ααsin cos 1+，分母是单项式，容易计算.因此常用tan 2α=ααsin cos 1+求半角的正切值. 2.为什么说1+sin α和1-sin α是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2的形式特点.1±sin α要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a 2和b 2，联想1±sin α中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a 2＋b 2，sin α=2ab.由同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式得1±sin α=sin 22α+cos22α±2sin 2αcos 2α=(sin 2α±cos 2α)2.这个结论应用很广泛.。
高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)北师大版必修4
【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值．
解 因为 sin 2α＝2sin αcos α ＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝－2245， 故ta2nt2aαn＋α1＝－2245， 解得 tan α＝－43或－34， 因为 α∈－π4，0，tan α＞－1， 故 tan α＝－34.
tan α＋tan β
2tan α
3．tan(α＋β)＝1－tan αtan β，令β＝α，得tan 2α＝1－tan2α .
【预习评价】
1．计算 1－2sin215°的结果为( )
1 A.2
3 C. 2
2 B. 2 D．1
答案 C
2．sin 105°cos 105°的值为( 1
A.4
) B．－14
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.
【训练 1】 求下列各式的值．
(1)cos
72°cos
36°；(2)sin150°＋cos
3 50°.
解
(1)cos
72°cos
36°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)学案北师大版必修4
§3 二倍角的三角函数(一)内容要求 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点).2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用(难点)．知识点1 二倍角公式1．sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，令β＝α，得sin 2α＝2sin_αcos_α. 2．cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，令β＝α，得cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.3．tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，令β＝α，得tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 【预习评价】1．计算1－2sin 215°的结果为( ) A.12 B.22C.32D ．1答案 C2．sin 105°cos 105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34答案 B知识点2 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2，降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.【预习评价】1．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，故选D. 答案 D2.tan 75°1－tan 275°的值是( ) A.36B ．－36C ．2 3D ．－2 3答案 B题型一 化简求值【例1】 求下列各式的值． (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－ta n 60°＝－ 3.(4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. 规律方法 在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用(1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知．(3)公式的变形应用． 【训练1】 求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝212cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.【例2】 (1)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A.15 B ．－15C ．－75D.75(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝1－2425＝15.故选A. (2)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－1825＝725.答案 (1)A (2)D【迁移1】 若(1)中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，求sin α＋cos α的值．解 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，所以sin α＋cos α＜0(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝125，所以sin α＋cos α＝－15.【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值． 解 因为sin 2α＝2sin αcos α ＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2425， 故2tan αtan 2α＋1＝－2425， 解得tan α＝－43或－34，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，tan α＞－1， 故tan α＝－34.规律方法 1.从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．当遇到π4±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似这样的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1.题型三 三角函数式的化简或证明【例3】 化简：(1)cos 10°1＋3tan 10°cos 70°1＋cos 40°；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解 (1)原式＝cos 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°2sin 20°cos 20°＝cos 10°＋3sin 10°22sin 40°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°22sin 40°＝22sin 40°sin 40°＝2 2.(2)原式＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1cos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.规律方法 被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简． 【训练2】 化简下列各式： (1)2sin 2α1＋cos 2α×cos 2αcos 2α； (2)1－cos 20°cos 80°1－cos 20°；(3)11－tan θ－11＋tan θ. 解 (1)原式＝2sin 2α2cos 2α×cos 2αcos 2α＝tan 2α. (2)原式＝2sin 210°sin 10°2sin 210°＝2sin 210°2sin 210°＝ 2. (3)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan θ1＋tan θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.课堂达标1．sin4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32 解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 答案 B2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A3．若tan α＝2，则tan 2α＝________. 解析 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 答案 －434．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________. 解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝cos 2[(x －π4)]＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425. 答案 －24255．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解 ∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 课堂小结1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－π2，α－π4等之间关系的应用．3．式中出现1＋cos α，1＋sin α时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号.基础过关1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1解析 f (x )＝12sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 答案 B2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( )A.724 B ．－724C.247D ．－247解析 cos x ＝45，x ∈(－π2，0)，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×－341－－342＝－247，故选D.答案 D3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12D.23解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos[2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4]2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，选A.答案 A4．2sin 222.5°－1＝________. 解析 原式＝－cos 45°＝－22. 答案 －225．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________. 解析 原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. 答案1166．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α的值．解 ∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32.7．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，原式＝1＋2cos 2αcos π4＋sin 2αsinπ4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝145.能力提升8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A.459B.259C ．－459D ．－259解析 令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23，0＜α＜π，∴sin α＝53. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459.答案 A9．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( ) A ．4 3 B.833C ．4D ．8解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos xsin x＝2sin 2x ＋2cos 2x sin x cos x＝4sin 2x， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8. 答案 D10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝2sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 答案 311．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 解析 ∵f (x )＝cos x －(1－cos 2x )－(2cos 2x －1)＋74＝－cos 2x ＋cos x ＋74＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋2. ∴当cos x ＝12时，f (x )max ＝2. 答案 212．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α. 解 ∵sin 22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0，∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴2cos 2α>0. ∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6. 13．(选做题)设函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．(1)求f (x )的解析式，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，f (x )的取值范围； (2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝65，求cos x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6 ∵T ＝2π2ω＝πω＝2π， ∴ω＝12. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )∈［3，2］. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝65， sin x ＝35，∴cos x ＝±1－sin 2x ＝±45.。
(新)高中数学第三章三角恒等变形3_3二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案北师大版必修41
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值.思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得 sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61， ∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31. 又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π). ∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-.友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sinα=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析：∵sinα=135,α∈(2π,π)， ∴cosα=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sinαcosα=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________.解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x x x x xx x x x x x x x x x Sin2xtanx(x+4π). ∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π, ∴sin(x+4π)=54- Tan(x+4π)=34-, sin2x=-cos(2π+2x) =-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-. 友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ： （1）（cos12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos 6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sinθ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51, ∴cos2θ=-51. 由cos2θ=1-2sin 2θ,得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sinθ=515-. ∴应选C.答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x=1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1. 当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41. 友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x =2cos(2x+4π),所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3 化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x xx xx x ---=-•--•+-πππππ x x x x 2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4
3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学三点剖析1.二倍角与降幂公式【例1】 已知sin(4π+x)sin(4π-x)=61,x∈(2π,π)，求sin4x 的值.思路分析:注意到4π+x+4π-x=2π，可用诱导公式变形后计算.解:由sin(4π+x)sin(4π-x)=61可得 sin(4π+x)cos(4π+x)=61，即21sin(2π+2x)=61， ∴sin(2π+2x)=31，即cos2x=31. 又∵x∈(2π,π),∴2x∈(π,2π). ∴sin2x=322)31(12-=--. ∴sin4x=2sin2xcos2x=924-.友情提示在应用二倍角的同时，也用诱导公式或同角的三角函数关系.各个击破类题演练 1已知sinα=135,α∈(2π,π),求sin2α,cos2α,tan2α的值.解析：∵sinα=135,α∈(2π,π)， ∴cosα=1312)135(1sin 122-=--=--α， ∴sin2α=2sinαcosα=2×135×(1312-)=169120-，cos2α=1-2sin 2α=1-2×(135)2=169119，tan2α=1191201191691691202cos 2sin -=⨯-=αα.变式提升 1(2006上海高考，文6) 函数y=sinxcosx 的最小正周期是___________.解析：化简，得y=21sin2x,∴T=π.答案：π2.二倍角公式的变式应用【例2】已知cos(4π+x)=53,1217π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值，再由条件求出这些值.解:原式=)4cos(2cos )4sin(sin 22cos sin cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 22ππ++=-+=-+x x x x xx x x x x x x x x x Sin2xtanx(x+4π). ∵cos(4π+x)=53,1217π<x<47π, ∴sin(x+4π)=54- Tan(x+4π)=34-, sin2x=-cos(2π+2x) =-［2cos 2(4π+x)-1］=257. ∴原式=257×(34-)=7528-. 友情提示分析角与角的关系，如4π-x 与4π+x 互为余角；2x 是x 的倍角.角的关系往往是解题的突破口.类题演练 2求下列各式的值 ： （1）（cos12π-sin 12π）(cos 12π+sin 12π); (2)21-cos 28π. 解析:(1)(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π =cos 6π=23. (2)21-cos 28π=21-(2cos 28π-1) =21-cos 4π=42-.变式提升 2已知θ∈（45π,23π）,|cos2θ|=51,则sin θ的值是（ ） A.510- B.510 C.515- D.515 解析:∵θ∈(45π,23π),∴sinθ<0,且2θ∈(25π,3π). ∴cos2θ<0.∵|cos2θ|=51, ∴cos2θ=-51. 由cos2θ=1-2sin 2θ,得sin 2θ=5322cos 1=-θ, ∴sinθ=515-. ∴应选C.答案:C3.升降幂公式的应用【例3】 求函数y=sin 6x+cos 6x 的最值.思路分析：见“高次”降为“低次”，利用a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)和sin 2x+cos 2x=1求解.解：y=sin 6x+cos 6x=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x=1-3sin 2xcos 2x=1-43sin 22x =8385+cos4x, ∴当x=2πk (k∈Z )时，y 取最大值为1. 当x=2πk +4π(k∈Z )时，y 取最小值41. 友情提示遇到高次就降幂，sin 2x+cos 2x=1,sin 2x=22cos 1x -,cos 2x=22cos 1x +都起到了降幂的作用，在应用cos2α公式变形时，当心出现符号错误.类题演练 3已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.(1)求f(x)的最小正周期；（2）若x∈［0,2π］,求f(x)的最大值、最小值. 解：（1）因为f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x =cos2x-sin2x =2cos(2x+4π),所以f(x)的最小正周期T=22π=π.(2)因为0≤x≤2π, 所以4π≤2x+4π≤45π,所以在［0，2π］上f(x)的最大值为1，最小值为2-.变式提升 3 化简：)4(sin )4tan(221cos 2cos 2224x x x x +-+-ππ.解：原式=)4cos()4sin(4)1cos 2()4(cos )4cos()4sin(2)1cos 4cos 4(2122224x x x x x x x x ---=-•--•+-πππππ x x x x 2cos 22cos )22sin(22cos 22=-=π=21cos2x.。
高中数学第三章三角恒等变形3第1课时倍角公式及其应用教学案北师大版
第1课时 倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式S 2α，C 2α中，角α为任意角，在T 2α中，只有当α≠k π＋π2(k ∈Z )及α≠k π2＋π4(k ∈Z )时，才成立． 2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当α＝2k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α才成立．讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)12－sin 2π8；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°. [尝试解答] (1)原式＝12(2sin 75°cos 75°)＝12sin 150°＝12×12＝14. (2)原式＝12(1－2sin 2π8)＝12cos π4＝12×22＝24.(3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.二倍角公式的“三用”： (1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的． (2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (3)公式的变形用主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α(升幂公式)，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2(降幂公式)．练一练 1．求值：(1)sin π64cos π64cos π32cos π16cos π8＝________；(2)2sin 50°＋cos 10°（1＋3tan 10°）1＋cos 10°＝________．解析：(1)原式＝12sin π32cos π32cos π16cos π8＝14sin π16cos π16cos π8＝18sin π8cos π8 ＝116sin π4＝232. (2)原式＝2sin 50°＋cos 10°（1＋3sin 10°cos 10°）2cos 25° ＝2sin 50°＋cos 10°＋3sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2（12cos 10°＋32sin 10°）2cos 5°＝2sin 50°＋2sin 40°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos 50°2cos 5°＝22（22sin 50°＋22cos 50°）2cos 5°＝22sin 95°2cos 5°＝2.答案：(1)232(2)2讲一讲2．已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin （α＋π4）cos （2α＋4π）的值．[尝试解答] ∵α为第一象限角，且cos α＝513，∴sin α＝1213.原式＝22（sin α＋cos α）cos 2α＝22·sin α＋cos αcos 2α－sin 2α ＝22·1cos α－sin α＝22×1513－1213＝－13214.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．练一练2．已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）的值．解： (1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3.∵3π4<α<π， ∴－1<tan α<0， ∴tan α＝－13.(2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin （α－π4）＝5（sin 2α2＋cos 2α2）＋4sin α＋61＋cos α2－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.讲一讲3．(湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．[尝试解答] (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－2，故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．解决此类问题的步骤：(1)运用倍角公式进行恒等变形，通常是逆用二倍角正弦和余弦，转化为a sin α＋b cos α＋k 的形式；(2)运用和(差)正(余)弦公式进行恒等变形时，通常是逆用两角和与差的正余弦公式，转化为y ＝a 2＋b 2sin(ωα＋φ)＋k 或y ＝a 2＋b 2cos(ωα＋φ)＋k 的形式．(其中φ可由a ，b 的值唯一确定)(3)利用f (x )＝sin x 或f (x )＝cos x 的性质进行研究，求得结果． 练一练3．(山东高考)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解：本题主要考查三角函数的图像和性质，考查转化思想和运算能力． (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值分别为32，－1.已知cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x 的值．[解] 法一：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，由cos x ＋sin x ＝2sin (π4＋x )，cos x －sin x ＝2cos(π4＋x )，∴原式＝sin 2x tan(π4＋x )．又∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， ∴sin(π4＋x )<0，∴sin(π4＋x )＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43.而sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos 2(π4＋x )，∴原式＝－43sin 2x ＝43cos(2x ＋π2)＝43cos2(x ＋π4) ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1＝－2875.法二：∵sin 2x ＋2sin 2x1－tan x ＝sin 2x ＋2sin x cos xsin xcos x 1－tan x＝sin 2x 1＋tan x1－tan x＝sin 2x tan(π4＋x )．(*)又∵17π12<x <7π4.∴5π3<π4＋x <2π， ∵cos(π4＋x )＝35，∴sin(π4＋x )＝－1－cos 2（π4＋x ）＝－45，∴tan(π4＋x )＝－43，又sin 2x ＝－cos(π2＋2x )＝－cos2(π4＋x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －1＝1－2×925＝725，将上述结果代入(*)式有，原式＝725×(－43)＝－2875.法三：原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝sin 2x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x，①由cos(π4＋x )＝35，得22(cos x －sin x )＝35，即cos x －sin x ＝325.②平方得1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725③∴(cos x ＋sin x )2＝1＋sin 2x ＝3225.又∵17π12<x <3π2，∴cos x ＋sin x <0.则cos x ＋sin x ＝－425.④将②③④代入①有原式＝725×（－452）352＝－2875.1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32解析：选B 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 2．(全国甲卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15C ．－15D ．－725解析：选D 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.3．(江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×(33)2＝13.4．cos2π8－sin 2π8＝________． 解析：cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 答案：225．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos 2α＋tan 2α＝________．解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝1＋tan α1－tan α＝2 012答案： 2 0126．已知sin α＋cos α＝13，且0<α<π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．解：法一：由sin α＋cos α＝13，得(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵sin αcos α<0，0<α<π， ∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝13>0，∴sin α>|cos α|.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0. ∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－179.tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717. 法二：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝19，即1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－89.∵0<α<π，∴sin α>0.又sin αcos α＝－49<0，∴cos α<0.∴sin α－cos α>0.∴sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝173. ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝13×(－173)＝－179. ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝81717.一、选择题1．(全国大纲)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( ) A ．－2425 B ．－1225C.1225D.2425解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425. 2．(陕西高考)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.22 B.12C ．0D ．－1解析：选C 由向量互相垂直得到a ·b ＝－1＋2cos 2θ＝cos 2θ＝0.3．(江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.43解析：选A 由已知条件得tan α＋1tan α－1＝12⇒tan α＝3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 4．已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝eq \f (\r (3),4)，θ∈(34π，π)，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62 B ．－62C ．－22 D.22 解析：选C cos(π4＋θ)×cos(π4－θ) ＝sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝12sin(π2－2θ) ＝12cos 2θ＝34. ∴cos 2θ＝32. ∵θ∈(34π，π)，∴2θ∈(32π，2π)， ∴sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ<0， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12， ∴sin θ＋cos θ＝－22. 二、填空题5．函数f (x )＝cos 2x －23sin x cos x 的最小正周期是________．解析：f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos(2x ＋π3)． ∴T ＝2π2＝π. 答案：π6．求值：tan 20°＋4sin 20°＝________．解析：tan 20°＋4sin 20°＝sin 20°＋4sin 20°cos 20°cos 20°＝sin 20°＋2sin 40°cos 20°＝sin 20°＋2sin （60°－20°）cos 20° ＝sin 20°＋2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°cos 20° ＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝2sin 60°＝ 3. 答案： 37．已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x tan 2x的值为________． 解析：∵tan(x ＋π4)＝tan x ＋11－tan x＝2， ∴tan x ＝13. 又∵tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x， ∴tan x tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12(1－19)＝49.答案：498．化简：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1. 答案：1三、解答题9．已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值． 解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. ∵cos(α＋π4)>0，∴3π4<α＋π4<7π4. ∴sin(α＋π4)＝－ 1－cos 2（α＋π4） ＝－ 1－（35）2＝－45. ∴cos 2α＝sin(2α＋π2) ＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4) ＝2×(－45)×35＝－2425， sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4) ＝1－2×(35)2＝725. ∴cos(2α＋π4)＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×(－2425－725)＝－31250. 10．(四川高考)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值． 解：(1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos (x ＋π4)． 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos (α＋π4)＝3210， 所以cos (α＋π4)＝35. 所以sin 2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos 2(α＋π4) ＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－1825＝725.。
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二倍角的三角函数（一）
班级 姓名 组号
【学习目标】1、在倍角公式的推导中，领会从一般到特殊的数学思想方法，进一步增强数学化归意识；
2、能利用和角公式推导出二倍角公式，理解公式特点并熟记公式；
3、能够灵活运用公式进行简单的化简、求值。
【学习重点】二倍角公式推导及其应用。
【学习难点】关于二倍角的理解及公式应用
【学习过程】
一、 预习自学
1、复习：（1）=+)sin(βα =+)cos(βα
=+)tan(βα
（2）同角三角函数的基本关系：
平方关系： 商数关系：
2、自学：阅读课本第124至125页内容，思考回答下列问题
（1）用α替换复习问题（1）中的β，试运用两角和的三角函数和同角三角函数的基本关系推导α2sin ，α2cos ， α2tan 公式
（2）思考二倍角公式左边的角与右边的角有何变化？幂指数又有何变化？
由左到右角减半，幂指数 ；由右到左角增倍，幂指数 ；
（3）试思考42,,242α
α
αβ
αααβ++与与与之间的三角函数关系是二倍角与单角间的三角函数关
系吗？试写出其中一组角的三角函数关系。
二、合作探究 问题1、不查表，求下列各式的值：
（1）sin15°cos15° （2）22cos 22.5sin 22.5-
（3）1-2sin 215° （4）1-5.22cos 22
（4）
75tan 175tan -
问题2、已知)20(,3tan π
θθ<<=，求θθ2cos 2sin -。
问题3、已知)2,4(,135
2sin π
π
αα∈=，求α4的三角函数。
问题4、要把半径为R 的半圆形木料裁成长方形，怎样裁取才能使长方形面积最大？
三、达标检测
1、已知παπ
α223,87
cos <<=，求αα2cos ,2sin 。
2、已知12tan -=α，求α2tan 的值。
3、求 80cos 40cos 20cos 的值。
四、我的疑惑：_____________________________________。