2019河北省高二上学期数学(理)期末考试试题 (2)
2019年高二上学期期末考试(数学理)
2019年高二上学期期末考试（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上.3．考试结束后，监考人员将试卷Ⅱ和答题卡一并收回.一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列0，-1，0，1，0，-1，0，1，…的一个通项公式是( )A. B.cos C.cos D.cos3. 设，则是的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件XYCBAC ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．（x ≠0） B ．（x ≠0） C ．（x ≠0） D ．（x ≠0）5．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α，βR ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A ．平面 B ．直线 C ．圆 D ．线段 6．在中,,则( )A ．B ．C ．D ．7．在等比数列1129119753,243,}{a a a a a a a a n 则若中 的值为 （ ）A ．9B ．1C ．2D ．3 8．给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( ) A ． B ． 1 C ． 4 D ． 9． 在中,若,则是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形10．等差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 12．四棱柱的底面ABCD 为矩形，AB ＝1，AD ＝2，，，则的长为( ) A ． B ． C ． D ．xx第一学期高中二年级期末模块检测考试数学试题（理工农医类）注意事项：1、第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2018-2019学年河北省石家庄市高二上学期期末考试数学(理)试卷
石家庄市2018～2019学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意抛物线的准线方程公式得出结果.【详解】抛物线的准线为所以抛物线的准线方程为故选：A【点睛】考查了抛物线的准线方程，属于基础题.2.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是A. 7，11，19B. 7，12，17C. 6，13，17D. 6，12，18【答案】D【解析】【分析】要计算各层抽取的人数，按照分层抽样的规则，求出答案即可.【详解】由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1:2:3所以抽取人数老年人：中年人：青年人：故选：D.【点睛】本题目考查了分层抽样，属于基础题.3.已知命题：，；命题：，，则下列说法中正确的是A. 是假命题B. 是真命题C. 是真命题D. 是假命题【答案】C【解析】【分析】先判断命题的真假，进而求得复合命题真假判断真值表得到答案.【详解】命题p，，即命题p为真，对命题q，去，所以命题q为假，为真所以是真命题故选：C.【点睛】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可；(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.4.下列说法中正确的是A. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真.B. “”是“”的充分不必要条件.C. “若，则，全为0.”的逆否命题是“若，全不为0，则.”D. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真.【答案】A【解析】【详解】答案A，“否命题”和“逆命题”互为逆否，同真假，所以A对；答案B，“”是“”的充分必要条件，所以B错；答案C，“若，则，全为0.”的逆否命题是“若，不全为0，则.”，所以C错答案D，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为假，所以D错.【点睛】本题目主要考查命题的真假性和逻辑用语，属于基础题.5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为A. -1B. 0C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】直接根据程序框图计算得出结果.【详解】由程序框图可知；i=1,s=3;1=2,s=4,下一次i=3，输出s=4故选：D.【点睛】本题目考查了程序框图，属于基础题.6.是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是根据某中学学生社团某日早6点至晚9点在某中学东、西两个校区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，东、西两个校区浓度的方差较小的是A. 东校区B. 西校区C. 东、西两个校区相等D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】根据茎叶图得数据分布，即可得到两地浓度的方差大小.【详解】根据茎叶图可知，东校区数据集中在0.06和0.07之间，数据分布比较稳定；而西校区则分布比较分散，不如东校区集中，所以东校区方差较小.故选：A.【点睛】本题目考查了统计图中茎叶图，以及方差代表的是数据的稳定性，注意不能去计算，这样费时费力，属于中等偏下题目.7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则该双曲线的离心率为A. 5B. 5或C.D. 或【答案】C【解析】【分析】根据题意，双曲线的一条渐近线与直线平行，求出a、b的关系，在利用斜率公式求出斜率.【详解】双曲线的渐近线为直线的斜率为双曲线离心率为故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程以及离心率的公式，属于简单题. 8.圆与直线的位置关系A. 相切B. 相离C. 相交D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】据题意，先求出直线过定点（1,1），再判断出点与圆的位置关系，可得直线与圆的位置关系. 【详解】直线化简为易知直线过定点(1,1) 而 知点在圆内直线与圆相交.故选：C.【点睛】本题目考查直线过定点的问题以及点与圆的位置关系，注意没必要联立方程解方程组，然后用判别式来求解，这样子运算量较大，属于中档题.9.将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一个等可能时间，实验发生包含的事件总数为36种，列出绝对值大于3的6种情况，根据对立事件利用概率公式求得结果.【详解】由题意，连续抛掷两次骰子6共有种情况；绝对值大于3的有共6种，所以绝对值不大于3有：36-6=30种，故所求概率故选：B.【点睛】本题考查了古典概型，对立事件；，属于简单题型.10.已知点，，则，两点的距离的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由两点之间的距离公式求得AB之间的距离用t表示出来，建立关于t的函数，转化为求函数的最小值.【详解】因为点，所以有二次函数易知，当时，取得最小值为的最小值为故选：C.【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，建立函数关系求最值，属于基础题型.11.已知正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量,然后求得结果.【详解】在正四面体中，点、分别是、的中点则=因为是正四面体，所以即所以=故选：B.【点睛】本题考查了空间几何体与向量的综合知识，熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题.12.已知离心率为的双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点.若的面积为2，则实数的值为A. 2B.C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】利用双曲线离心率求出渐近线方程，利用三角形面积，结合离心率即可得到方程组求出a 即可.【详解】因为双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点,所以，所以三角形面积双曲线离心率解得故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的性质渐近线，离心率以及圆的相关知识，是一道较为综合的题型，必须掌握好圆锥曲线等相关知识点，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“，”的否定是__________．【答案】，【解析】【分析】根据特征命题的否定为全称命题，求得结果.【详解】命题“，”是特称命题，所以其否定命题：故答案为：【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.14.在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是__________．【答案】(或)【解析】【分析】设取出的两个数分别为x、y，可得满足“x、y∈（0，1）”的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，而事件“两数之和小于”对应的区域为正方形的内部且在直线下方的部分，根据题中数据分别计算两部分的面积，由几何概型的计算公式可得答案．【详解】设取出的两个数分别为x、y，可得0＜x＜1且0＜y＜1，满足条件的点（x，y）所在的区域为横纵坐标都在（0，1）之间的正方形内部，即如图的正方形OABC的内部，其面积为S=1×1=1，若两数之和小于，即，对应的区域为直线下方，且在正方形OABC内部，即如图的阴影部分．∵直线x分别交BC、AB于点∴．因此，阴影部分面积为．由此可得：两数之和小于的概率为．故答案为：．【点睛】本题给出在区间（0，1）内随机地取出两个数，求两数之和小于的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、正方形和三角形的面积公式、几何概型计算公式等知识点，属于中档题．15.如图，是直三棱柱，，点、分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值为【答案】.【解析】取BC的中点E，连接EF1，则EF1//BD1，所以就是异面直线BD1与AF1所成的角，，16.设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：设直线与轴的交点为，连接。
2019河北省高二上学期学(理)期末考试数试题
高二普通班数学(理科)第一学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 设命题:22012x p x R ∃∈>，，则p ⌝为A ．,22012x x R ∀∈≤ B. ,22012x x R ∀∈> C. ,22012x x R ∃∈≤ D. ,22012x x R ∃∈<2. 已知,,a b c R ∈,命题“若3a b c ++=,则2223a b c ++≥”的否命题是 A.若3a b c ++≠,则2223a b c ++< B.若3a b c ++=,则2223a b c ++< C.若3a b c ++≠,则2223a b c ++≥ D.若2223a b c ++≥,则3a b c ++=3. 用a 、b 、c 表示三条不同的直线, γ表示平面,给出下列命题: ①若//a b ,//b c ,则//a c ;②若a b ⊥,b c ⊥,则a c ⊥;③若//a γ,//b γ,则//a b ;④若a γ⊥,b γ⊥,则//a b ;则其中正确的是A ．①② B.②③ C.①④ D.③④ 4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-,则抛物线的方程是 A ．28y x =- B. 24y x =- C. 28y x = D. 24y x = 5. “0a =”是“函数ln y x a =-为偶函数”的 A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分又不必要条件6. 设抛物线212y x =的焦点为F ,点P 在此抛物线上且横坐标为5，则PF 等于 A ．4 B. 6 C. 8 D. 107. 椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ,过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于( )A.32B. 3C. 72D. 48.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于 A ．23 B ．33 C ．23 D ．139. 设2:2310p x x -+≤，()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D.()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 10. 若双曲线过点()3,2，且渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的方程是 A ．2219x y -= B.2219y x -= C.2219y x -= D.2219x y -= 11. 设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得()22123PF PF b ab -=-,则该双曲线的离心率为A ．2 B. 15 C. 4 D. 1712. 设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2aN c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是 A ．2(0)2， B. 2(1)2，C. 25()26， D. 5(,1)6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13. 设12F F 、分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，3OM =,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．14. 若f ′(x 0)＝4，则lim Δx →f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________． 15.如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象,则f (2)+f'(2)= .16.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤).17.（本小题满分10分)(1)已知函数y ＝f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． (2)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2xf ′(0)，求f ′(0)的值．18.（本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝π2，D 是棱AC 的中点，且AB ＝BC ＝BB 1＝2.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ； (2)求异面直线AB 1与BC 1所成的角．19.（本小题满分12分）已知R m ∈,命题p ：对任意[]1,1-∈x ，不等式m m x 4122-≥-恒成立；命题q ：存在 []1,1-∈x ，使得m ax ≥成立。
河北省2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试卷及解析
2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修3第二、三章，选修2-1，修2-2第一章1.1～1.4，第三章.第Ⅰ卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2,240x x ∀>-…”的否定是（ ） A.2,240x x ∀-<„ B.2,240x x ∀>-< C.002,240x x ∃>-< D.002,240x x ∃-<„2.双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ）A.34y x =±B.y x =C.43y x =±D.y x = 3.(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为m =（ ） A.4B.3C.2D.55.将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”6.若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ） A.1B.2C.3D.47.记一个三位数的各位数字的和为M ，则从M 不超过5的三位奇数中任取一个，M 为偶数的概率为（ ）A.513B.512C.413D.138.已知直线:20l x y -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，点(1,4)P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A.43B.2C.29.已知点P 在椭圆22:14x C y +=上，直线:0l x y m -+=，则“m =P 到直线l 的距离的”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动，将竞赛成绩按照[80,90),[90,100),,[140,150]L 分成7组，得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110 ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3 ③若该商场有1000名职工，考试成绩在110分以下的被解雇，则解雇的职工有400人④若该商场有1000名职工，商场规定只有安全知识竞赛超过140分（包括10分）的人员才能成为安全科成员，则安全科成员有50人 A.①③B.②③C.②④D.①④11.现有下列四条曲线：①曲线22xy e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知双曲线22:145x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A.(9,)+∞B.(9,)⋃+∞C.D.(9,)⋃+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上. 13.若抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则p =_______.14.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11AE xAA yAB zAD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x y z ++=________.15.已知函数()h x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0h x g x h x g x ''-<，且(1)0h -=.若()0()h a g a <，则a 的取值范围为_________.16.已知在三棱锥P ABC -，1,PA AB BC AC PB PC ======PC 与AB 所成角的余弦值是_________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知p ：函数()()(,)xf x a m a m R =-∈在R 上单调递减，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于1.（1）当5m =时，p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围. 18.（12分）为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示，如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这2名学生中从测试成绩介于80～90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率. 19.（12分）某地区实施“光盘行动”以后，某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划，进店的每一位客人需预交50元，啤酒根据需要自己用量杯量取.结账时，根据每桌剩余酒量，按一定倍率收费（如下表），每桌剩余酒量不足1升的，按0升计算（如剩余1.7升，记为剩余1升）.例如结账时，某桌剩余酒量恰好为2升，则该桌的每位客人还应付50 1.25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系，下面是随机采集的5组数据(,)x y （其中x 表示饮酒人数，y （升）表示饮酒量）：(1,0.8),(2,1,5),(3,2,5),(4,3.2),(5,4,5). （1）求由这5组数据得到的y 关于x 的回归直线方程；（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒，小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒，这时，酒吧服务生对小王说，根据他的经验，小王和朋友量取的啤酒可能喝不完，可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒，会更划算.试问小王是否该接受服务生的建议？参考数据：回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+，其中 ()()()1122211ˆˆˆ,nni iiii i n ni i i i x ynx yxxy y bay bx x nxx x====---===---∑∑∑∑. 20.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面1A AD .（2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. 21.（12分）已知函数2()ln x f x x=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u r u u u u r ，且1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r .（1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若2||6||CD MN =，求2CD F S ∆.2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷参考答案1.C 全称命题的否定是特称命题.2.B 题意可得2,a b ==x 轴上，故其渐近线方程是2y x =±. 3.D 因为(1)(3)24i i i --=-，所以(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于第四象限. 4.A 由题意可得132(1)2m m ---=，解得4m =.5.C A ，B ，D 中的两个事件都可能同时发生，但C 中的两个事件不可能同时发生.6.C 由题意可得4p =，则点P 到x 轴的距离是532p-=. 7.A 满足条件的三位数有101，1l1，121，131，201，21，221，301，311，103，113，203，401，共13个，其中M 为偶数的三位数有101，121，211，301，103.故所求概率为513. 8.D 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121212122,8,1y y x x y y x x -+=+==-.因为A ，B 两点在双曲线C 上，所以2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以22221212220x x y y a b ---=，则()()()()2221212122221212128142y y y y b y y a x x x x x x +--===⨯=-+-，即2b a =，即双曲线C=.9.B 设直线1:0l x y n -+=，联立221,40,x y x y n ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩整理得2258440x nx n ++-=，令()226420440n n ∆=--=，解得n =若m =则直线l 与1l之间的距离d ==即点P 到直线l.当点P 到直线l，即直线l 与1l 之间的最小距离d =m =m =-故选B. 10.B 由频率分布直方图知众数估计值为1101201152+=，中位数在110～120之间，设为x ，则0.0050100.0150100.020010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得113.3x ≈.考试成绩在110分以下的有1000(0.0050.0150.02)10400⨯++⨯=人.安全知识考试超过140分（包括140分）的人员有10000.00251025⨯⨯=人，则安全科成员有25人.故②③正确.11.C 若()22xf x e =-，则由()22xf x e '==，得0x =，点(0,0)在直线2y x =上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()2cos 2f x x '==，得2()x k k Z π=∈，(2)0f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；若1()3f x x x =+，则由21()32f x x'=-=，得1,(1,4),(1,4)x =±--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切；若3()2f x x x =--，则由2()312f x x '=-=，得1x =±，其中(1,2)--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.12.D由题意可得3c ==.不妨设点P 在双曲线C 的右支上，当2PF x ⊥轴时，将3x =代入22145x y -=，得52y =±，即25||2PF =，则121322PF PF a =+=，故129PF PF +=；当12PF PF ⊥时，则222121212||||36,|||4,|PF PF F F PF PF ⎧+==⎪⎨-=⎪⎩解得1222PF PF ==-12PF PF +=，且1226PF PF c +>=.综上，12PF PF +的取值范围是(9,)⋃+∞. 13.14 由题意可得128p =，则14p =. 14.0 连接AE （图略），由题意可得1122AE AB AD =+，则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-.因为11A E xAA yAB zAD =++，所以11,2x y z =-==，所以0x y z ++=.15.(1,0)(1,)-⋃+∞ 由题意构造函数()()()h x F x g x =，当0x <时，()()()()0h x g x h x g x ''-<，则()0F x '<，则()F x 在区间(,0)-∞上单调递减，又()F x 为奇函数，(1)0h -=，所以(1)(1)0F F -==，则()0()h a g a <的a 的取值范围为(1,0)(1,)-⋃+∞.由222PA AB PB +=，得PA AB ⊥，由222PA AC PC +=，得PA AC ⊥，由222AB BC AC +=，得AB BC ⊥.过A 作AB 的垂线AD ，以A 为原点，,,AD AB AP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C P -，所以(1,1,1)PC =--u u u r ，(0,1,0)AB =u u u r ，于是|||cos ,|3||PC AB PC AB PC AB ⋅〈〉===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . 17.解：（1）因为5m =，所以()(5)xf x a =-， 因为p 是真命题，所以051a <-<，所以56a <<.故a 的取值范围是(5,6).（2）若p 是真命题，则01a m <-<，解得1m a m <<+. 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +. 若q 是真命题，则11a ->，解得2a >.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以2m ≥. 18.解：（1）这组数据的众数为86； 平均数为5164667885863872929880.512+++++⨯+⨯++=.（2）在被抽取的学生中有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，将“达标”学生编号为A ，B “未达标”学生编号为,,,a b c d ，则从6人中任取2人，有以下情况：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b A c A d B a B b B c B d A B a b a c a d b c b d c d .共15种.其中符合条件的为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b A c A d B a B b B c B d A B ，共9种.故至少有1人“达标”的概率93155P ==. 19.解：（1）123450,81,52,53,24,53, 2.555x y ++++++++====，551221546.637.5ˆ0.9155455i ii ii x yxybxx ==--===--∑∑，2.50.9130.23a y bx =-=-⨯=-，所求回归直线方程为0.910.23y x =-.（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升， 若不再邀请人，则剩余酒量8 5.23 2.77-=升，酒吧记为剩余2升， 预计需要支付506120%360⨯⨯=元；若再邀请1人，大约需饮酒0.9170.23 6.14⨯-=升，剩余酒量8 6.14 1.86-=升， 酒吧记为剩余1升，预计支付5071350⨯⨯=元；若再邀请2人，大约需饮酒0.9180.237.05⨯-=升，剩余酒量87.050.95-=升. 酒吧记为剩余0升，预计支付50890%360⨯⨯=元.所以应该接受建议，且再邀请1位朋友更划算. 20.（1）证明：连接1A B .因为1111,,A AB A AC AB AC AA AA ∠=∠==，所以11A AB A AC ∆∆≌，所以11A B AC =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因为1A D AD D ⋂=，所以BC ⊥平面1A AD .（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O 因为1A AD ∆是等边三角形，所以1AO AD ⊥. 由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间坐标系O xyz -. 因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD ∆是等边三角形，所以13AO =.所以A ，1(0,0,3)A，(B，(2,0)C -，则1((2,0)AA AC ==--u u r u u u r .设平面1AA C 的法向量(,,)n x y z =r，则130,20,n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩rr 令1z =，得3,1)n =-r . 易知平面1A AD 的一个法向量为(0,4,0)BC =-u u u r，记二面角1D AA C --为θ，则|cos |||||||n BC n BC θ⋅===r u u u r r ，故sin 13θ==.21.解：（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2(2ln 1)()ln x x f x x-'=，令()0f x '=，则x =在(0,1)⋃上，()0f x '<；在)+∞上，()0f x '>. 所以()f x的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞. （2）由()0g x =，得()f x a =.因为()1242333,2e f e e f e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且24332e e >，又2f e =，所以a 的取值范围为2433,{2}2ee e ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦.22.解；（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∵Q 在W 上，将8,77c b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=，得2234c a =.又∵1167PF PQ ⋅=-，∴8816(,),777c b c b ⎛⎫--⋅-=- ⎪⎝⎭，∴222c b -=. 又∵222a b c =+，∴224,1a b ==，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2,||4CD MN ==，不符合题意； 当直线2l 的斜率为0时，||4,||1CD MN ==，也不符合题意. ∴设直线2l的方程为(0)y k x k =+≠，联立22(1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222411240k x x k +++-=，则21212212441k x x x x k -+==+.()2241||41kMNk+==+.由221,1,4y xkxy⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4kCDk+=+.又∵26||||MN CD=，∴()()2222241161414k kk k++=++，∴22k=，∴||CD=∵2F到直线CD的距离1d==，∴2112F CDS∆=⨯⨯=。
河北省廊坊市2018-2019年高二上期末数学试卷(理)含答案解析
2018-2019学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤02．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B． C． D．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4 B．5 C．6 D．7）2）C．（2，4）D．（1.5，4）5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或 D．27．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．168．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C． D．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x=．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．18．如图，ABCD为边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°，G，H分别为AB，EC的中点．（1）求证：GH∥平面ADEF；（2）求二面角F﹣BD﹣E的大小．19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．21．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．22．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD1垂直于平面ABCD，且，M是线段AB的中点．（1）求证：BC⊥AD1；（2）设N是线段AC上的一个动点，问当的值为多少时，可使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为，并证明你的结论．2018-2019学年河北省廊坊市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若命题p：∀x∈R，x2﹣3x+5＞0，则该命题的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+5≤0 B．∃x∈R，x2﹣3x+5＞0C．∀x∈R，x2﹣3x+5＜0 D．∀x∈R，x2﹣3x+5≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x2﹣3x+5≤0，故选：A．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线，即x2=2y中，p=1，=，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．某商场有A、B、C、D四类产品，A、B、C、D分别有40，10，30，20种，现从这抽取一个容量为20的样本，则抽取的B、D两类产品种数之和是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】分层抽样方法．【分析】先计算分层抽样的抽样比，再求抽取的B、D两类产品种数之和即可．【解答】解：共有产品100种，抽取容量为20的样本，各抽取=，故抽取的B、D两类产品种数之和为（10+10）×=6．故选：C．）2）C．（2，4）D．（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可得结论．【解答】解：由表中数据可得：=（0+1+2+3+4）=2，=（1+3+4+5+7）=4，∵回归直线一定经过样本数据中心点，故选：C．5．“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的方程进行判断即可．【解答】解：若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选：B6．已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由题意可得=2，即有b=2a，c==a，可得e==，故选：A．7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】循环结构．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．S与n对应变化如下表：故选C8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则动点P（n，m）的轨迹是（）A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．圆的一部分【考点】轨迹方程．【分析】由椭圆双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m和n 的关系即可．【解答】解：∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴9﹣n2=4+m2，即m2+n2=5（0＜n＜3）这是圆的一部分，故选：D．9．一个圆内有一个内接等边三角形，一动点在圆内运动，则此点落在等边三角形内部的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的面积进行计算即可．【解答】解：设圆的半径为R，则圆内接等边三角形的边长为R，则正三角形的面积S=×（R）2×=R2，圆的面积S=πR2，则点落在等边三角形内部的概率为P==，故选：B．10．在空间四边形ABCD中，，P在线段AD上，且DP=2PA，Q为BC的中点，则=（）A．B．C．D．【考点】空间向量的加减法．【分析】由于=，=﹣，=，即可得出．【解答】解：=，=﹣=﹣，==，∴=﹣++．11．在直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AM与BN所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，所有的棱长都为2，则A（0，0，0），M（，，2），B（，1，0），N（，，2），=（），=（﹣，﹣，2），设AM与BN所成角为θ，则cosθ===．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），由和P（x0，y0）为椭圆上任意一点，列出方程组，能求出使得成立的P点的个数．【解答】解：设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知空间向量，若，则x=4．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直的性质求解．【解答】解：∵空间向量，，∴=﹣2（1﹣x）﹣x﹣2=0，解得x=4．故答案为：4．14．连续抛掷2颗骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再用列举法求出出现朝上的点数之和等于8的基本事件个数，由此能求出出现朝上的点数之和等于8的概率．【解答】解：连续抛掷2颗骰子，基本事件总数n=6×6=36，出现朝上的点数之和等于8的基本事件有：（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4），共5个，∴出现朝上的点数之和等于8的概率为p=．故答案为：．15．已知f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1，应用秦九韶算法计算x=2时的值时，v2的值为8．【考点】秦九韶算法．【分析】由f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，即可得出．【解答】解：f（x）=x5+x4+2x3+3x2+4x+1=（（（x+1）x+2）x+4）x+1，∴x=2时，v0=1，v1=（2+1）×2=6，v2=6+2=8．故答案为：8．16．下列四个命题中：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；②统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，且r越大相关性越强；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题为真命题；④双曲线与双曲线有相同的焦点．其中真命题的序号为①③④．【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题判断①，根据线性关系判断②，根据对数函数函数性质判断③，根据双曲线的性质判断④．【解答】解：①若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，故①正确；②用相关指数|r|来刻画回归效果，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，故②错误；③“若lgx2=0，则x=1”的否命题是：若lgx2≠0，则x≠1为真命题，故③正确；④双曲线中c2=13，双曲线中c2=13，有相同的焦点，故④正确；其中真命题的序号为：①③④，故答案为：①③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．5000辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示．问：（1）求汽车速度在[50，70）的频率；（2）根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图分别求出[50，60）的频率和[60，70）的频率，由此能求出汽车速度在[50，70）的频率．（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，由此能求出样本数据的中位数．【解答】解：（1）由频率分布直方图得[50，60）的频率为0.03×10=0.3，…[60，70）的频率为0.04×10=0.4，…∴汽车速度在[50，70）的频率为0.3+0.4=0.7．…（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知中位数落在[60，70）之间，0.1+0.3+（x﹣60）×0.04=0.5，…解得x=62.5，∴样本数据的中位数为62.5．…18．如图，ABCD为边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角为45°，G，H分别为AB，EC的中点．（1）求证：GH∥平面ADEF；（2）求二面角F﹣BD﹣E的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取DE的中点P，连接AP，PH，证明四边形AGHP为平行四边形，可得AP ∥GH，利用线面平行的判定定理证明：GH∥平面ADEF；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F﹣BD﹣E的大小．【解答】（1）证明：取DE的中点P，连接AP，PH．∵PH为△EDC的中位线，∴PH∥DC且PH=DC．∵AG∥DC且AG=，∴四边形AGHP为平行四边形．∴AP∥GH，又∵AP⊄平面ADEF，GH⊂平面ADEF，∴GH∥平面ADEF…（2）解：如图建立空间直角坐标系，…由条件可知B（2，2，0），F（，0，1）．∵BE与平面ABCD所成角为45°，且DE⊥平面ABCD，∴DE=BD=2，∴E（0，0，2）∴=（，0，1），=（2，2，0）设平面FBD的法向量为=（x，y，z），则，∴取=（1，﹣1，﹣）…∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD．又∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，∵DB∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．∴=（﹣2，2，0）可作为面BDE的一个法向量∴cos＜，＞=…又∵二面角F﹣BD﹣E为锐二面角，∴其大小为45°．…19．已知椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，且离心率为．（1）求椭圆方程；（2）过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，令y=0，得焦点（2，0），再由离心率e==，能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出l的方程．【解答】（本题满分12分）解：（1）∵椭圆，焦点在直线x﹣2y﹣2=0上，∴令y=0，得焦点（2，0），∴c=2，∵离心率e==，∴，解得a=4，∴b2=16﹣4=12，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵过P（3，1）作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，∴由题意，x1+x2=6，y1+y2=2，，∴+=0，∴k l==﹣，∴l的方程为：y﹣1=﹣，即9x+4y﹣31=0．20．某商家开展迎新春促销抽奖活动，小张、小李两人相约同一天上午去参加抽奖活动．（1）若抽奖规则是从一个装有3个红球和4个白球的袋中又放回地抽取2个球，当两球同色时则中奖，求中奖的概率；（2）若小张计划在10：00～10：40之间赶到，小李计划在10：20～11：00之间赶到，求小张比小李提前到达的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可．（2）根据几何概型的概率公式求出对应事件对应区域的面积进行计算即可．【解答】解：（1）从袋中7个球中的摸出2个，试验的结果共有7×7=49（种）…中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为4×4=16；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为3×3=9．…所以，中奖这个事件包含的基本事件数为16+9=25．因此，中奖概率为．…（2）设小张和小李到达的时间分别为10点到11点之间的x，y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤4或0≤y≤60}；…记小张比小李提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤4或0≤y≤60}；．…如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）===．所以，小张比小李提前到达的概率为．…21．已知抛物线y2=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．（1）求m的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y ，设直线l 与抛物线两个不同的交点坐标为A ，B ，进而根据判别是对大于0，及x 1+x 2的和x 1x 2的表达式，求得AB 的长度的表达式，根据|AB |的范围确定a 的范围（2）求出线段AB 的垂直平分线方程，得Q 的坐标，进而表示出△NAB 的面积，根据|AB |范围确定三角形面积的最大值．【解答】解：（1）设直线l 的方程为y=x ﹣m 代入y 2=ax ，得y 2﹣ay ﹣am=0．设直线l 与抛物线两个不同的交点坐标为A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），△=a 2﹣4（﹣am ）＞0，∴m ＞﹣，y 1+y 2=a ，y 1y 2=﹣am ，|AB |=≤a ，∴m ，∴﹣＜m ；（2）由（1）线段AB 的中点坐标为（+m ，），线段AB 的垂直平分线方程为y ﹣=﹣（x ﹣﹣m ），令y=0，可得Q （m +a ，0），Q 到AB 的距离d=，∴△QAB 面积S=≤=，∴△QAB 面积的最大值为．22．如图所示，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD 1垂直于平面ABCD ，且，M 是线段AB 的中点．（1）求证：BC ⊥AD 1；（2）设N 是线段AC 上的一个动点，问当的值为多少时，可使得D 1N 与平面C 1D 1M 所成角的正弦值为，并证明你的结论．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连接AC ，推导出AC ⊥BC ，BC ⊥CD 1，从而BC ⊥面ACD 1，由此能证明BC ⊥AD 1．（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．【解答】证明：（1）连接AC，在△ABC中，AB=2，AC=，BC=1，∵BC2+AC2=AB2，∴AC⊥BC，又∵CD1⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴BC⊥CD1，又AC∩CD1=C，AC⊂面ACD1，CD1⊂面ACD1，∴BC⊥面ACD1，∵AD1⊂面ACD1，∴BC⊥AD1．解：（2）当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．证明如下：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD1为z轴，建立空间直角坐标系．C（0，0，0），A（），B（0，1，0），M（），D1（0，0，），由=，得C1（﹣，，），设N（a，0，0），（0＜a＜），设面的法向量=（x，y，z），则，即，取x=1，得=（1，，1），=（a，0，﹣），由题意|cos＜，＞|==，]解得a=或a=2（舍），∴当=时，使得D1N与平面C1D1M所成角的正弦值为．2019年7月30日。
2019学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)人教版
2019学年上学期高二年级期末考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，∴．故选项A正确，选项B,C,D不正确．选A．2. “”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】“，”的否定是，,故选D.3. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以，所以是方程表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故选A.4. 曲线与直线与直线所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为，结合图形可得封闭图形的面积为，应选答案D。
5. 设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的离心率是，可得，即，可得则其渐近线的方程为故选6. 设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，由得，∴函数的单调减区间为，又函数在区间上单调递减，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．选C．点睛：已知函数在区间上的单调性求参数的方法（1）利用导数求解，转化为导函数在该区间上大于等于零（或小于等于零）恒成立的问题求解，一般通过分离参数化为求函数的最值的问题．（2）先求出已知函数的单调区间，然后将问题转化为所给的区间是函数相应的单调区间的子集的问题处理．7. 设，函数的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为，由题意得，∴，∵，∴的最小值是．选A．8. 公差不为0的等差数列中，已知且，其前项和的最大值为（）A. 25B. 26C. 27D. 28【答案】B【解析】设等差数列的公差为,∵，∴，整理得，∵，∴．∴，∴当时，．故最大，且．选B．点睛：求等差数列前n项和最值的常用方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和 (A、B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值．9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. B. C. 90 D. 81【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的平行六面体（四棱柱）．其底面的面积为，前后两个面的面积为，左右两个面的面积为．故棱柱的表面积为．选B．10. 已知实数满足约束条件如果目标函数的最大值为，则实数的值为（）A. 3B.C. 3或D. 3或【答案】D【解析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为，目标函数的最大值只需直线的截距最大，当，(1) ,即时，最优解为，，符合题意；（2），即时，最优解为，，不符舍去；当，（3），即时，最优解为，，符合；（4），即时，最优解为，，不符舍去；，，综上：实数的值为3或，选D.11. 在中，，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设另一焦点为中，，又，在中焦距则故选点睛：本题主要考查了椭圆的简单性质。
2019届高二上学期期末考试(理科数学试卷及答案详解)
2019届高二上学期期末考试试卷数学（理科）一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．已知集合},3125|{R x x x M ∈≤-≤-=，},0)8(|{Z x x x x N ∈≤-=，则=N M （ ）A. )20(，B. ]20[，C. }20{，D. }210{，，2．给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ） A ．②③ B.①② C. ③④ D. ①④3．已知变量x ，y 满足约束条件24240,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A. 0B. 2C. 4D. 84．已知,l m 是直线，α是平面，且m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5．等差数列{}n a 中，10a >，310S S =，则当n S 取最大值时，n 的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 不存在6．已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31(5c =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. a c b >>7．已知a 是函数x x f x21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足( )A. 0)(0=x fB. 0)(0<x fC. 0)(0>x fD. )(0x f 的符号不确定 8．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x 值 为48，则输入的x 值为( )A ．12B ．8C ．6D ．3 9．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以 将函数y x =的图象（ ）Ａ．向右平移12π个单位Ｂ．向右平移4π个单位Ｃ．向左平移12π个单位Ｄ．向左平移4π个单位10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( ) A.163πB. 83πC.D.11．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于M 、N 两点，若32≥MN ，则k 的取值范围是（ ）A. 3[,0]4-B ．[C ．[D ．2[,0]3-12．椭圆22195x y +=的左、右焦点分别是12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为2π，,A B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则12||y y -的值为（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题
2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修3第二、三章，选修2-1，修2-2第一章1.1～1.4，第三章.第Ⅰ卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2x ∀>，240x -≥”的否定是（ ） A. 2x ∀≤，240x -< B. 2x ∀>，240x -< C. 02x ∃≤，0240x -<D. 02x ∃>，0240x -<2.双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ） A. 34y x =?B. 43y x =±C. 2y x =±D. 3y x =±3.()()13i i --在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x轴上，且焦距为，则m =（ ）A 2B. 3C. 4D. 55.将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌” C 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”.D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”6.若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47.记一个三位数的各位数字的和为M ,则从M 不超过5的三位奇数中任取一个,M 为偶数的概率为( ) A.513B.512C.413D.138.已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB的中点,则双曲线C 的离心率为( )A.43B. 2C.D.9.已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =P 到直线l 的距离） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照[)80, 90,[90,100),… ,[140,150]分成7组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110; ②根据频率分布直方图估计该商场职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3;③若该商场有1000名职工,考试成绩在110分以下的被解雇,则解雇的职工有400人;④若该商场有1000名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过140分(包括140分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有50人. A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④11.现有下列四条曲线：①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12.已知双曲线C ：22145x y -=左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A. ()9,+∞B. (()9,+∞UC. (()9,+∞UD. (第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线22y px =(0p >)的焦点坐标为1(,0)8,则p =__________.14.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA yAB zAD =++u u u v u u u v u u u v u u u v，则x y z ++=______.15.已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 16.已知在三棱锥P ABC -中，1PA AB BC ===，AC PB ==PC =则异面直线PC 与AB所成角的余弦值是__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数()()xf x a m =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于1. （1）当5m =时，p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围.的18.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率. 19.某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交50元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足1升的,按0升计算(如剩余1.7升,记为剩余1升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为2升,则该桌的每位客人还应付50 1. 25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的5组数据(),x y (其中x 表示饮酒人数,y (升)表示饮酒量):()1,0.8,()2,1.5,()3,2. 5,(4,3.2),()5,4. 5.（1）求由这5组数据得到的y 关于x 的回归直线方程;（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？参考数据:回归直线的方程是y bx a =+$$$,其中1122211()()()nni iiii i nni ii i x y nx y x x yy b x nxx x ====---==--∑∑∑∑$,a y bx =-$$.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC的的中点.（1）证明：BC ⊥平面1A AD .（2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值.21.已知函数()2ln x f x x=. （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围.22.已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u v u u u u v ，且1167PF PQ ⋅=-u u u v u u u v . （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.。
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，则（________ ）A．________ B．________ C．________ D．2. 复数（________ ）A．_________ B．_________ C．_________ D．3. 抛物线的焦点到准线的距离为（________ ）A．2_________ B．4_________ C．_________ D．4. （________ ）A．-1_________ B．1_________ C．0_________ D．-85. 曲线在处的切线平行于直线，则点坐标为（________ ）A．B．C．或D．或6. 已知函数，若将函数的图像向左平移个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数（________ ）A．_________ B．_________ C．_________ D．7. 已知是不等式组表示的平面区域内的一点，，为坐标原点，则的最大值（________ ）A．2 ________ B．3 ________ C．5 ________ D．68. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（________ ）A．种 ________ B．种________ C．种 ________D．种9. 已知展开式中各项系数和为625，则展开式中含项的系数为（________ ）A．216________ B．224 ________ C．240 ________ D．25010. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（________ ）A． _________ B． ________ C．20 ________ D．4011. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支相交于两点，若，且，则双曲线的离心率（________ ）A． ________ B． ________ C． ________D．12. 已知数列满足：，则（________ ）A． ________ B．________ C． ________ D．二、填空题13. 在正项等比数列中，前项和为，，则________．14. 设向量与的夹角为，且，则__________ ．15. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种（用数字作答）．16. 已知函数的导函数为，若使得成立的，则实数的取值范围为________．三、解答题17. 等差数列中，，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 在中，已知角的对边分别为，且．（1）求的大小；（2）若，试判断的形状．19. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率；（2）估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率．20. 如图：四棱锥中，底面是平行四边形，，平面平面，，，分别为线段和的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面和平面所成二面角的大小为60°？若存在，试确定的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知两点，直线相交于点，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点的轨迹方程；（2）记点的轨迹为曲线，曲线上在第一象限的点的横坐标为1，过点且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线于，求的面积的最大值（其中点为坐标原点）．22. 设为实数，函数，（1）当时，求在上的极大值；（2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二上学期期末理科数学卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、选择题1. 已知集合.■- __________________________________ _ -..，则，「二( )A _______B •.一 - 一； ______________ C•肺 __________________D.2. 复数____ ( )1-?/—2 Hr ? —2 3 2 ~ J +A. _- __________ B . _ _________ C. ^^ __________ D.—3. 抛物线.i的焦点到准线的距离为A . 2 ________B . 4 ________C .右 ______4. | ：( ________ )A . -1 ________B . 1 __________ C. 0 ________ D . -85. 曲线：：汇-严在，.处的切线平行于直线：=》：-［，则，点坐标为( _________ )A. 'B . -C. 1或D. 「或.6. 已知函数.| ^ ■ ■，若将函数I .：■的图像向左平移匚个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数卩二（____________________ ）A . _________B .兰 ______________ C.巴_____________ D .匚卜 + 12 07. 已知P（芷们是不等式组表示的平面区域内的一点，,[ 堆0O为坐标原点，则的最大值（ _________________________ ）A. 2 _________ B . 3 _______ C . 5 __________ D . 68. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去, 且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（________________ ）A •「种_____________B •」种____________C . 一种________________■Ti ■rD.」种9. 已知] ——展开式中各项系数和为625,则展开式中含•项的系数为（ _______ ）A. 216 ________ B . 224 __________ C . 240 _________ D . 25010. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ _________________ ）rA . —___________ B. —___________ C. 20 __________ D. 4011. 已知双曲线的左、右焦点分别为 •…厂，过：的直h-线与双曲线］的右支相交于• J 两点，若丄卷，且『打 则双曲线的离心率总=（ _____________ ）A - J - - ■. -----------------B . NU ----------------------------C - J :- ------------------- D- \ :12・ 已知数列；;满足- ■■ •，则■..=（ ________ ）、填空题15. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序 只能出现在第一或最后一步，程序 和：在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________ 种（用数字作答）.16. 已知函数.— 的导函数为. ，若使得f （斗成立的 斗cl ，则实数肚 的取值范围为 __________________________________ •三、解答题17.等差数列；「中，（1）求：的通项公式;A•B •C •7 7■yi123\. _______ D .1__13.在正项等比数列；一」中，前二项和为::巴 ' ■■-，贝V二14.设向量；与：的夹角为口 丫 * 廿.-?■，且.■■： = :.■: j. ■■- ( .1..-(2)设' "18.在_ ：,；中，已知角 』目 打的对边分别为•口L ，且 ■ 1 2•气J rrm f'的大小；，试判断_ ,的形状.719.分成六组…__L I _汕 __________ . - I 后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：1 求证：•’ 平面宀^2 在线段上是否存在一点:，使得平面和平面(1)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60名学生，将其数学成绩（均为整数）GL0I1S0.D1 0_00«(2)设' "（1 ）求分数在… “）内的频率；（2）估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为L.m」；的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段 ______________ I内的概率.20. 如图：四棱锥>■中，底面，；,，是平行四边形,面二I 平面.：讥.；■：,：二'「和，7<?和，「：的中点.PGC所成二面角的，平■ 分别为线段大小为60°?若存在，试确定 .；的位置；若不存在，请说明理由.21. 已知两点,| I ■ I ■，直线川上匚二:阳相交于点：’，且这两条直线的斜率之积为—.4(1 )求点•「的轨迹方程；(2)记点r的轨迹为曲线：，曲线：上在第一象限的点,.的横坐标为1,过点，且斜率互为相反数的两条直线分别交曲线：于，：，求"■：：':的面积的最大值(其中点「为坐标原点).22. 设.■为实数，函数；I ：- I ,(1 )当•.二时，求•在上的极大值；有两个极值点时,(2)设函数八.；•_ q小•「.)：「，当 - 总有■ . - 「，求实数..的值.参考答案及解析第1题【答案】E【解析】试酚析；5- {v|v>2}l = ,因此选B・第2题【答案】A【解析】试题分析；选氐1-方5 5 S第3题【答案】b【解析】试题分析；抛物线宀帚的焦点到准线的距离为戸,而2厂gap因此选c・斗 4 S第4题【答案】C【解析】试题分折；| tin vrft =(—eos \) =0.选GJ—> NHV第5题【答案】b I 【解析】试题分析：因対f 0) = 3*+E二斗=兀二±L j因此尸点坐标为Cl,0)或(-L7)、选巴第6题【答案】j【解析】试题井析：圏数y-fM的图像向左平移匚个单位后所得解析式：6V = sin(2Cv + —) + ^?) = sin(2x +—4所以.二十僻=二一丘把住E 2》二> 沪兰上+也丁、0 < < -T6 J 3 2 6,因此梓-；选区v第7题【答案】【解析】试题分析：可行域为一个三角形哉殴其内^ 其中览0® C（阳）DW）而0A 0P=^2y,因此直线"2$弋过点匚时取最大值乩选D.第8题【答案】【解析】C试题分折：由題意得：有个居民家去两名水暧工，其他两个居民家各去一名水暖工，因此分配的方案共有%那选二第9题【答案】【解析】试题分析：由题育得戈5M=625=54=>W = 4 ,因此席产匚：（2日_（丁孑=U（2）i3b二,由vr4-yF.l得心2』系数为C；⑵4呼=2応也•Jbr第10题【答案】A【解析】试题分析；该几何体为T四檯锥，高为苗底为一个直角梯形，上底下底为4高为£因此体积L1X4<J-X（1+4）X4=^ ,选山■F匸第11题【答案】【解析】试题分析：设阿卜旳W ,则\^0\ = \F2Q\\PF]-\PQ\-2a ,因此\f2nr-2a= 2a =^> = 2\flci ,从而（2^）2= （ijla）- 4- Q逅a - 2Z7）==>e'= 5 - 2迈n g 三2迈"选D-第12题【答案】【解析】试酚析；3 弓fl —gX 知i$ =9沖 f种）+（%$-%】尸L丸气p" ■气"⑷*列"+L +3l+ -=—+ 33-（c_ 亠4〉#（込一勺）屮（色亠吗）斗角<3? 4+3]+ —=-+273^ a- >+91 S1 =-3 c245所臥0 = 2+27玄从而^>a-35 =—,8 58而= @20｝厂白2000〉* （白2000 一“200° ~*~L + （知一吗）4 91^2009 + 32®0+ L n, A（1-尹川）f列】5厲-243 -3跖因此G■仆=;J015----- ,选氏8'）^3_ 3:^―■ + _二—8十竽）卡角第13题【答案】=9” ----- -- + 仇= ----- +----- >---- ，l-3e - S g £第14题【答案】3116【解析】试题井析！由题青得：①= 6= 竺竺二6导</+可：丸=>?訂〔员舍)j第14题【答案】10【解析】凉鉛析：二业也之简山宀竺竺―巫.2 |CL2)p|(3J)| 10第15题【答案】【解析】试题分析：先排程獰d有两种方込再将占和C捆在一起后扌也有鲨£种方法，因此共有2堆4；二光种方■法.第16题【答案】【解析】试题分析！因为/V）二丄，所I次丄二箔佃£+伽1皮>.血◎ =-^--由£工0<：£兰1> -令-1 1 A 1 , 十存Q <0'从而F= —-血兀在（31）上单调11减，因此ma>-^=. yc?e（0.彳）,因此实数口的取值范围対匕斗〉第17题【答案】【解析】试题分析：求等差数列通项公式』一股利用待定系数法』即列出关于苜顶及公差的两个浊立条件 fa. + ct/ = 4 1、组成方程组“ .廿 …、解得，码=14二+・再代入通项公式即可，陌 =上0 + BG ) 2试题解折：報 ⑴ 设等差数列依｝的公差为沖,则碍二丐+6・1M <耐q 二片号十亍尹L 十(二—第18题【答案】所臥利用裂顶相涌法求和,艮 7 ? 17 ? ?亍尹寸尹L 览-而戸 2n « +1 总、4胡=44] +18fV = 2(q 4⑵'F叫 1) 卄所以｛迅｝的適项公式为禹⑵& = 2*如1) 2?»+1(1) ZB-- , (2)等边三角形.【解析】试题分朴⑴ 切化弦去分母得=2^A^C=\^2c^Ac^C ,再扌雕两甬和余弦公式及诱导公式得®左-£ ,最后根据三毎形內角范围得心斗⑵ 先根据问量数量积得| j| jyr i j jijf «j JBAc^C - at CQ&B - —ac -—；即b~ =ac r再根据余弦定理得2 2b'= a' —2arcas5 =a2 -fr2—ac? £7" + r' = lac、亂曲=疋j Elltt \ABC是等边二甬形・KlSBffi：解：⑴2MI U^C-1+2«$4^C7A2cc</i+'Q=l，二e曲工：7二Z£= -・3.uhi aw 1 沪. …、BA BC -(ic cos B = —crc —，- ■ £)' = ac , ■ b" - ci~ ~c~ ~Ioccos B = c" ~ae，2 2jr'• <T~ -^-c2= 2ac、：WK又"/ =—…"-A4百匚是等边三角形.第19题【答案】<1) 03 ,⑵ 121 , (3) ?.【解析】试题分析；＜1＞频率分布直方團中各小长方形面积为概率，其和为b因此分数在［120.130）內的频^1-（0.140.15+0.15 4-0 254-0.05） = 1-0 7 = 03 （2）利用组中值求平均分；7 = 95x0 1 + 105x0 15 + 115x0 15十125x0 3十135x0.25十】45x0 05 = 121（3）先按分层抽样确定［110,120）分数段与［120,130）分数段的人数各为2人和4人'从中任取2人共有15种基本事件，其中2人皆在分数段［120.130）内包含6种基本事件，因此至多如人在分数段［120.130 ）包含15弋书种基本9 3事件,从而所求概率为計扌试题解析：解：（1）分数在［120」30 ）内的频率为1-（0 1+0 15 + 0.15 + 0.25+0 05） = 1-0 7 = 0 3 .（2）估计平均分为x = 95xQ 1+105x0 15 + 115x0 15+125x0 3 + 135x0,25+145x0.05 = 121 •（3）由题意，［110.120）分数段的人数为60*0.】5 = 9 （人）在［120.130）分数段的人数为60x03 = 18 （人〉•T用分层抽样的方法在分数段为［110.130）的学生中抽取一个容量为6的样本…•・需在［110.120）分数段内抽取2人'并分别记为"刃;在［120.130）分数段內抽取4人，并分别记为c.bcd ；设''从样本中任取2人，至多有1人在分数段［120.130）内”为事件〃,则基本事件共有皈』｝,0g｝,L ｛加/｝,机"丄｛”&｝,｛"｝丄｛"｝,共15个・则事件川包含的基本事件有5，"｝.｛加.刃｝,彻丄｝.｛加《｝・｛加,召.｛774｝,0.0｝,｛恥｝.｛仏”｝.共9个、'15第20 题【答案】(1〉i羊见解析，(2) B点.【解析】试题分析：⑴证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明.而线线平行 ,通常从平面几何中寻找，本题需取阳中点为/¥ ,利用FCER是平行四边形得到ECI HF ,(2)研究二面角，一般利用空间直角坐标系，通过空间向量数量积进行研究：先建立直角坐标系,即先证明线线垂直，这可利用题中面面垂直条件，通过面面垂直•性质定理转化为线面垂直C丄平面P.Q ,从而得,再利用方程组求出各面的法向邑最后根据向童数童积求出法冋量夹角，歹灶对应方程即可•试题解析：解⑴ 取丹中点为H ,连结CE、HE FH；因为旅E分别为必、PD的中点，所^HEJLID.HE^4-w'因为曲CD是平行四边形，且F为线段BC的中点，所^FCJJAD. FC = -.W ,2所SHEHFUHEuFC四边形FCEH是平行四边形，所臥ECHHF , 又因为平面PAF.HFU平面北妒,所以CE"平面PAF ,⑵因为四边形肋CD为平行四边形且＜4CB = 90。
2019年高二上学期期末考试理数试题含答案
2019年高二上学期期末考试理数试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间之间坐标系中，平面内有和两点，平面的一个法向量为，则等于（）A． B． C． D．2.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为（）A． B． C． D．3.已知，若直线与直线垂直，则等于（）A． B． C． D．4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是直线倾斜角的倍，则等于（）A． B． C. D．5.已知命题，.若是假命题，则命题可以是（）A．椭圆的焦点在轴上 B．圆与轴相交 C.若集合，则 D．已知点和点，则直线与线段无交点6.空间四边形中，，，，点在上，且，为中点，则等于（）A． B． C. D．7.“”是“圆与圆有公共点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件8.已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（）（1）若，，则；（2）若，，，，则；（3）如果，，，是异面直线，那么与相交；（4）若，，且，，则且.A． B． C. D．9.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，、分别是、的中点，则点到平面的距离为（）A． B． C. D．10.已知直线与圆相交于、两点，，且，则等于（）A． B． C. D．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C. D．12.已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于.若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C. D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.底面半径为的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为 ．14.在平面直角坐标系中，正方形的中心坐标为，其一边所在直线的方程为，则边所在直线的方程为 ．15.椭圆的右顶点和上顶点分别为和，右焦点为.若、、成等比数列，则该椭圆的离心率为 ．16.在正方体中，是上一点，若平面与平面所成锐二面角的正切值为，设三棱锥外接球的直径为，则 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，，，点在直线上.（1）若直线的斜率是直线的斜率的2倍，求直线的方程；（2）点关于轴对称点为，若以为直径的圆过点，求的坐标.18. （本小题满分12分）已知双曲线的离心率为，经过第一、三象限的渐近线的斜率为，且.（1）求的取值范围；（2）设条件；条件()()2:2220q m a m a a -+++≤.若是的必要不充分条件，求的取值范围.19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面，底面是一直角梯形，，，，，.（1）若，为垂足，求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.20. （本小题满分12分）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点.当直线的斜率是时，.（1）求抛物线的方程；（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围.21. （本小题满分12分）如图，四边形是矩形，平面，，且，，.（1）过作平面平面，平面与、分别交于、，求与平面所成角的正弦值；（2）为直线上一点，且平面平面，求的值.22. （本小题满分12分）已知、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且，.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积.试卷答案一、选择题1.C 由题意得，则，即，解得.2.B 由三视图可知，俯视图是一个直角梯形，上、下底和高分别为、和，其面积为.3.D 由题意得cos2sin2cos4sin cos0θθθθθ-=-=，，.4.A 由已知得双曲线的渐近线的倾斜角为，则，得.5.D 易判断命题是假命题，若是假命题，则为假命题，选项、、均正确，对于，作图知直线与线段有交点，所以选.6.A211211322322MN MO ON OA OB OC a b c=+=-++=-++.7.A 若圆与圆有公共点，则，解得或，故选.8.B 根据面面垂直的判定定理可知命题（1）正确；若，，，，则与平行或相交，故命题（2）错误；如果，，，是异面直线，那么与相交或平行，故命题（3）错误；由线面平行的性质定理可知命题（4）正确.故正确命题有个，故选.9.A 建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即630,2630.2x zx y⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取，得.又,故点到平面的距离为.10.B ，直线与直线垂直，且圆心到直线的距离为，即23,2,31aa⎧=-=⎪+⎩，作图知，解得3,4.3ab⎧=-⎪⎨=⎪⎩则.11.D 该几何体的直观图如图所示.连接，则该几何体由直三棱柱和三棱锥组合而成，其体积为1112232238 232⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.C 抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，又，、、三点共线，且是线段的中点，，，，则，，圆心到直线的距离为，所求的弦长为.二、填空题13. 设高为，则由题意得，解得.14. 直线上的点关于点对称点为，设直线的方程为，则直线过，解得，所以边所在直线的方程为.15. 、、，由得，，，则，解得或（舍去）.16. 过作交于，过作于，连接，则为平面与平面所成锐二面角的平面角，，，设，则，，则，，则三棱锥外接球的直径，.三、解答题17.解：（1）点在直线上，可设点，直线的斜率是直线的斜率的倍，，解得，则点，直线方程为，即.（2）点关于轴对称点，，以为直径的圆过点，，即，解得，即，圆的圆心坐标为. 18.解：（1）由已知得:,,,,解得，，，即的取值范围.（2）()()2222m a m a a -+++≤0，，即，是的必要不充分条件，解得，即的取值范围为.19.解：法一：（1）过点作交于，连接，则与所成角即为与所成角.在中，，由得，..2223333433a PA PE a PD a ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，.32234433a a CD PE ME a PD a ∴===. 连接.在中，，，，，，，.又底面，，.平面.平面，.在中，.异面直线与所成角的余弦值为.法二：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设与所成角为，则()230cos a a a AE CD AE CD a a θ+===-+ 异面直线与所成角的余弦值为.（2）易知，，，则平面.平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，.而，，由，.得0,0.ax ay ax ay ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩令，. 设向量与所成角为， 则2225cos 511BC m BC m a α====++..平面与平面所成锐二面角的正切值为.20.解：（1）设，，当直线的斜率是时，的方程为，即.由得，又，，③由①②③及得：，，，即抛物线的方程为.（2）易知的斜率存在，且不为，设，的中点坐标为，由得，④，.线段的中垂线方程为，线段的中垂线在轴上的截距为.对于方程④，由得或，.21.解：（1）当时，平面平面.证明：连接，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，平面平面，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则，，，设与平面所成角为，则sin cos,AF nθ===（2）设，，则，，，点的坐标为，平面，，欲使平面平面，只要，，，，得，.22.解：（1），，，，，.即，则，，，椭圆.（2）设直线的方程为.由221124y x mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得.①设、的坐标分别为、，的中点为，则，.因为是等腰的底边，所以.所以的斜率241334mkm-==--+，解得.此时方程①为，解得，，所以，，所以. 此时，点到直线的距离，所以的面积.$22375 5767 坧8Q 32922 809A 肚34793 87E9 蟩精品文档26756 6884 梄32198 7DC6 緆q23630 5C4E 屎24970 618A 憊实用文档。
2019学年高二上学期期末考试数学(理)试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上） 1．已知{}n a 是等比数列，则“10a >”是“20190a >”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件2．在等差数列{}n a 中， n S 为其前n 项和，若1560S =，则9113a a -的值为（ ） A ． 4 B ． 8C ． 12D ． 163．下列说法正确的是A ． 命题“0,ln 1x x x ∀>≤-”的否定是：“0000ln 1x x x ∃>>-，” B ． 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”C ． 若命题“p 或q ”为真， “p 且q ”为假，则“p ⌝或q ⌝”为假命题D ．“任意实数大于0”不是命题4．观察下列各式： 223344551,3,4,7,11a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=，…，照此规律，则1010a b +的值为（ ）A ． 123B ． 132C ． 76D ． 285．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的虚轴长为8，右顶点(,0)a 到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．2212516x y -= D ．2211625x y -= 6．在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆是（ ）A ． 直角三角形B ． 钝角三角形C ． 等腰直角三角形D ． 等边三角形7．已知数列{}n a 的前n 项和21n n s =-，则数列{}2n a 的前10项和为（ ）A ．1041-B ． ()21021- C ．()101413- D ．()101213- 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若,c o s (2c o s )a baC c A ==-，则co s B =（ ）A ．B ．14C ．D ．9．如图,四面体ABCD 中,AB,BC,BD 两两垂直,BC=BD=2,点E 是CD 的中点,异面直线AD 与BE 则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )AB ．23CD ．1310．已知函数()23x f x e mx =-+的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线13y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 11．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，若()()'1f x f x +>， ()02019f =，则不等式()2018xxe f x e >+（e 为自然对数的底数）的解集为( )A ． ()2018,+∞B ． ()(),02018,-∞⋃+∞C ． ()(),00-∞⋃+∞，D ． ()0+∞，12．以椭圆22195x y += 上的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 坐标为()2,1，双曲线C 上点()0000,(0,0)P x y x y >> ，满足1212PM PF PM PF PF PF ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-的值为（ ） A ．12B ． 1C ． 2D ． 4二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在正确的位置） 13．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l 与该抛物线交于两点，过其中一交点A 向准线作垂线，垂足为B ，若ABF ∆是面积为p =__________．14．已知函数()2sin 2f x x f x π⎛⎫⎝'=+⎪⎭，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'_________________.15．如图，三棱锥P ABC -中， PA PB PC ，，两两垂直， 2PA PB PC ===，设点K 是ABC ∆内一点，现定义()()f K x y z =，，，其中x y z ，，分别是三棱锥K P A B -， K PBC -， K PAC -的体积，若()13f K a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，则3a b ab +的最小值为__________． 16．已知数列{}n a 满足：23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈，数列2211log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n s ，则1210s s s ⋅⋅⋅=_____________．三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设实数、满足约束条件2040250x y x y x y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩（1）求221z x y =+的最小值；（2）求221x y z x ++=+的取值范围。
河北省张家口市学年高二上学期期末考试数学理试题解析版
河北省张家口市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.从已经编号的～名学生中抽取20人进行调查，采用系统抽样法若第1组抽取的号码是2，则第10组抽取的号码是A. 74B. 83C. 92D. 96【答案】B【解析】解：样本间隔为，第10组抽取的号码是，故选：B．求出样本间隔，结合系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．2.命题“，”的否定是A. “，B. “，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“，”的否定是：，．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”即乙领取的钱数不少于丙、丁的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数，乙获得“最佳手气”的概率．故选：A．利用隔板法得到共计有种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到样本的茎叶图，如图所示，则下列判断错误的是A. 甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63B. 甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56C. 甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数D. 甲消费额的方差小于乙消费额的方差【答案】D【解析】解：由茎叶图可得：对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，可得正确；对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，可得正确；对于C，甲，乙，可得甲乙，可得正确；对于D，甲，乙，可得：甲乙，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误；故选：D．由茎叶图计算两组的众数，中位数，平均数，方差即可得解．本题考查茎叶图的应用，考查数据的几个常见的量，本题是一个基础题，解题时注意对于数据的个数不要弄丢数据，属于基础题．5.抛物线C：的焦点为F，点M为C上第一象限内一点，，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，则N的纵坐标为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】解：抛物线C：的焦点为，点M为C上第一象限内一点，，y轴上一点N位于以MF为直径的圆上，即，时，．故选：C．利用已知条件，求出圆的方程，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.已知，函数的图象在点处的切线为l，则l在y轴上的截距为A. B. C. 2 D. 1【答案】D【解析】解：函数，可得，切线的斜率为：，切点坐标，切线方程l为：，l在y轴上的截距为：．故选：D．求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y 轴上的截距．本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．7.已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点，双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，可得，可得，解得，所以双曲线C的渐近线方程：故选：B．求出双曲线的焦点坐标与抛物线的焦点坐标，然后求解即可．本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．8.正方体中，O为底面ABCD的中心，则直线与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：正方体中，O为底面ABCD的中心，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则1，，0，，0，，2，，，，1，，设平面的法向量y，，则，取，得0，，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．故选：A．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.函数在时有极值0，那么的值为A. 14B. 40C. 48D. 52【答案】B【解析】解：函数，，若在时有极值0，可得，则，解得：，或，，当，时，，满足题意函数在时有极值0．当，时，，不满足题意：函数在时有极值0．．故选：B．，若在时有极值0，可得，解得a，b，并且验证即可得出．本题考查了利用导数研究函数的极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s，k依次是A. 15，4B. 15，5C. 31，6D. 31，7【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得，，，第1次执行循环体，，，，第2次执行循环体，，，，第3次执行循环体，，第4次执行循环体，，，，第5次执行循环体，，第6次执行循环体，，第7次执行循环体，，第8次执行循环体，，，，此时，满足条件，退出循环，输出s，k的值分别为：15，4．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.已知双曲线C：，P是双曲线C上不同于顶点的动点，经过P分别作曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线围成平行四边形OAPB，则四边形OAPB 的面积是A. 2B. 1C.D.【答案】B【解析】解：设，则，设PA和渐近线平行，PB和渐近线平行，由PA：，PB：，且PA和渐近线的距离为，由和，求得，可得，即有四边形OAPB的面积是．故选：B．设，则，求得渐近线方程，设出PA，PB的方程，运用点到直线的距离公式求得渐近线和PA的距离，以及B的坐标，再由平行四边形的面积公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式和化简运算能力，属于中档题．12.已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设，，且时，则直线MN斜率的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：设直线l的方程为，则，设点、将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，，由韦达定理得．．所以，，所以，x轴为的角平分线，，所以，将式代入韦达定理得，，则，所以，，，所以，．设直线MN的斜率为k，则即，所以，，解得或．故选：A．设点、，并设直线l的方程为，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并结合韦达定理得出直线QM和直线NQ的斜率互为相反数，得出的角平分线为x轴，利用角平分线的性质得出，可得出，代入韦达定理并消去可得出关于的函数表达式，可计算出的范围，由可得出直线MN的斜率k的取值范围．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查角平分线的性质，同时也考查了韦达定理法在抛物线综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的图象在点处的切线斜率为______．【答案】0【解析】解：，．函数的图象在点处的切线斜率为：0．故答案为：0．先对函数进行求导运算，根据在点处切线的斜率为在点处的导数值，可得答案．本题主要考查函数的导数和在某点处切线斜率的关系属基础题．14.已知四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，底面ABCD，底面ABCD为正方形，现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥的内部的概率为______．【答案】【解析】解：四棱锥扩展为正方体，则正方体的对角线的长是外接球的直径，即，即，则四棱锥的条件，球的体积为，则该点取自四棱锥的内部的概率，故答案为：根据条件求出四棱锥的条件和球的体积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，结合条件求出四棱锥和球的体积是解决本题的关键．15.椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的点，，，则椭圆C的短轴长是______．【答案】【解析】解：椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的点，，，，，可得：，，，，解得：则椭圆C的短轴长是．故答案为：．利用椭圆的定义以及余弦定理以及三角形的面积，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．16.函数，，，若存在实数x，使得成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，，，若存在实数，使得成立，可得成立，可令，，由，时，，递增；时，，递减，可得处取得极小值，且为最小值，可得，解得，故a的范围是．由题意可得成立，可令，求得导数和单调性、极值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．本题考查不等式成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p：，q：，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：由得，即p：，若q是p的必要条件，即，即当时，恒成立，即恒成立，设，函数的导数，当时，恒成立，即此时为增函数，即当时，函数取得最小值为，则，即实数a的取值范围是．【解析】求出p的等价条件，结合必要条件的定义转化为当时，恒成立问题进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的定义，根据必要条件的定义转化为不等式恒成立是解决本题的关键．18.某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：Ⅰ根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；的结果保留两位小数Ⅱ试根据求出的线性回归方程，预测时，用次卡洗车的车辆数．参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中，，．【答案】解：Ⅰ，．，．．．则y关于x的线性回归方程为；Ⅱ由Ⅰ的线性回归方程可得，当时，用次卡洗车的车辆数估计是．【解析】Ⅰ由已知图表结合公式即可求得y关于x的线性回归方程；Ⅱ在Ⅰ中求得的线性回归方程中，取求得y值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.过去大多数人采用储蓄的方式将钱储蓄起来，以保证自己生活的稳定考虑到通货膨胀的压力，如果我们把所有的钱都用来储蓄，这并不是一种很好的方式随着金融业的发展，普通人能够使用的投资理财工具也多了起来为了研究某种理财工具的使用情况，现对年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：Ⅰ估计使用这种理财工具的人员年龄的中位数、平均数；Ⅱ采用分层抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，则第三组至少有1个人被抽到的概率是多少？【答案】解：Ⅰ年龄在，，的频率为，，，，，中位数为，平均数的估计值为：．Ⅱ第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，三个组依次抽取的人数为2，4，2．Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，第三组至少有1个人被抽到的概率．【解析】Ⅰ由频率分布直方图能求出中位数和平均数的估计值．Ⅱ第二组、第三组、第四组的频率比为1：2：1，由此能求出三个组依次抽取的人数．Ⅲ在Ⅱ中抽取的8人中，随机抽取2人，基本事件总数，第三组至少有1个人被抽到的对立事件是第三组没有人被抽到，利用对立事件概率计算公式能求出第三组至少有1个人被抽到的概率．本题考查中位数、平均数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.如图所示的多面体中，四边形ABCD为菱形，，，面ABCD，，，异面直线AF，CD所成角的余弦值为．Ⅰ求证：面面EDB；Ⅱ求二面角的余弦值．【答案】证明：Ⅰ四边形ABCD是菱形，，面ABCD，面ABCD，，，面EBD，面ACF，面面EDB．解：Ⅱ四边形ABCD是菱形，，，，，，，，，四边形EFOD是平行四边形，，面ABCD，面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，0，，设0，，则，，，，解得，则0，，1，，1，，，，，设平面AFB的法向量y，，则，取，得，设平面AFE的法向量y，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，由图形得为钝角，则．二面角的余弦值为．【解析】Ⅰ推导出，从而，进而面EBD，由此能证明面面EDB．Ⅱ推导出四边形EFOD是平行四边形，从而，由面ABCD，得面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知，，圆上的动点T满足：线段TQ的垂直平分线与线段TP相交于点K．Ⅰ求点K的轨迹C的方程；Ⅱ经过点的斜率之积为的两条直线，分别与曲线C相交于M，N两点，试判断直线MN是否经过定点若是，则求出定点坐标；若否，则说明理由．【答案】解：Ⅰ，点K的轨迹是以P，Q为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，点K的轨迹方程为：，Ⅱ设直线AM的斜率为k，则直线AM的方程为，联立可得，整理，可得，则，则，代入，可得，，同理可得，当M，N的横坐标不相等时，直线MN的斜率，故直线MN的方程为，令，可得，此时直线MN经过点，当M，N的横坐标相等时，有，解得，此时点M，N的横坐标为，此时直线MN经过点，综上所述直线MN经过点【解析】Ⅰ利用椭圆的定义即可得出k的轨迹方程；Ⅱ设直线AM的方程为，代入椭圆方程消元，得出M，N坐标的关系，求出MN的方程，即可求出点的坐标．本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题．22.已知，．Ⅰ讨论的单调性；Ⅱ当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：Ⅰ的定义域是，，当时，，在递增，当时，在上，，递减，在上，，递增，综上，当时，在递增，时，在递减，在递增；Ⅱ恒成立，即恒成立，设，则，，的单调性和相同，当时，在递增，，故在递增，，当时，在递减，在递增，当时，，在递增，，故是增函数，故，当时，在区间上，递减，故，故递减，故，不合题意，综上，a的范围是．【解析】Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为恒成立，设，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
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高二实验部数学上学期期末考试试题（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x |2x 2﹣5x ﹣3≤0}，B={x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．设复数z=1+i ，i 是虚数单位，则+（）2=（ ）A ．1﹣3iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．命题“∃x 0∈（0，），cosx 0＞sinx 0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈（0，），cosx 0≤sinx 0 B ．∀x ∈（0，），cosx ≤sinxC ．∀x ∈（0，），cosx ＞sinxD ．∃x 0∉（0，），cosx 0＞sinx 0 4．设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 4a 8=32,则S 11的最小值为 A.222 B.244 C.22 D.445．已知向量，满足•（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg ）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（ ）A ．27.5B ．26.5C ．25.6D ．25.77．已知sin （）=，则cos （2）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ． 8．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．48种9．如图，B 、D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中，，则=（ ）A ．1B ．2C ．tD ．2t10．已知实数x ，y 满足条件|x ﹣1|+|y ﹣1|≤2，则2x +y 的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．911.设函数()f x 在R 上可导, ()()2'23,f x x f x =-则()1f -与()1f 的大小关系是( )A. ()(1)1f f -=B. ()()f f ->11C. ()(1)1f f -<D.不确定12．抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共4题每题5分满分20分）13．若（a +x ）（1+x ）4的展开式中，x 的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x 3的系数为 ．14．已知正四面体ABCD 的棱长为l ，E 是AB 的中点，过E 作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为 ．15.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是16．设函数y=的图象上存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ．三．解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每题12分)17．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a=2且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 的面积的最大值．18．设函数，数列{a n}满足，n∈N*，且n≥2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，设，若恒成立，求实数t的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．20．已知函数f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=e x﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程；（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范围．21．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．22．已知函数f（x）=e x﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．理答案1-12 BABBD CABAC BA13.1814.15.16.（0，]17.【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，故△ABC的面积的最大值为：．18.【解答】解：（1）依题意，a n﹣a n=（n≥2），﹣1又∵a1=1，∴数列{a n}是首项为1、公差为的等差数列，故其通项公式a n=1+（n﹣1）=；（2）由（1）可知a n+1=，∴=（﹣），∴=（﹣+﹣+…+﹣）=，恒成立等价于≥，即t≤恒成立．令g（x）=（x＞0），则g′（x）=＞0，∴g（x）=（x＞0）为增函数，∴当n=1时取最小值，故实数t的取值范围是（﹣∞，]．19.【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DN．∵M，N是PB，PC的中点，∴MN BC，又AD BC，∴MN AD，∴四边形ADNM是平行四边形，∴AM∥DN，又AM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AM∥平面PCD．（II）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC．∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC，∴AC=，∠DCA=∠BCA=45°，又BC=2，∴AB==．∴AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB．又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ACM，∴平面ACM⊥平面PAB．（III）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥AD．以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（﹣，，）（a＞0）．∴=（1，1，0），=（﹣，，），=（1，1，﹣a）．设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则．∴．令x=1得=（1，﹣1，）．∴cos＜＞==．∵PC与平面ACM所成角为30°，∴=．解得a=．∴|PA|=．20.【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，则f′（1）=e﹣1．而f（1）=e，∴所求切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1；（Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=e x﹣tx2+x，t∈R，∴g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．⇔e x﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=．则F′（x）=，设G（x）=，则G′（x）=对任意x∈（0，+∞）恒成立．∴G（x）=在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0．∴x∈（0，1）时，G（x）＜0，x∈（1，+∞）时，G（x）＞0，即x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．∴F（x）≥F（1）=1．∴t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．21.【解答】解：（Ⅰ）∵，c=1，a2=b2+c2，∴=b，∴椭圆C的方程为：．（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，显然不成立．因此可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，∴，，由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，∵，∴，∴﹣2=，∵1≤λ≤2，∴∈，∴0≤，又AB边上的中线长为===，∵0≤，∴=t∈．∴f（t）=2t2﹣7t+4=2﹣∈．∴．∴△ABT中AB边上中线长的取值范围是22.【解答】（I）解由f（x）=e x﹣3x+3a，x∈R知f′（x）=e x﹣3，x∈R．…令f′（x）=0，得x=ln 3，…于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．x （﹣∞，ln 3）ln 3 （ln 3，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓3（1﹣ln 3+a）↑故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln 3]，单调递增区间是[ln3，+∞），…f（x）在x=ln 3处取得极小值，极小值为f（ln 3）=e ln3﹣3ln 3+3a=3（1﹣ln 3+a）．…（II）证明：待证不等式等价于…设，x∈R，于是g'（x）=e x﹣3x+3a，x∈R．由（I）及知：g'（x）的最小值为g′（ln 3）=3（1﹣ln 3+a）＞0．…于是对任意x∈R，都有g'（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．…而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即，故。