概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

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概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中对的打“√”错的打“×” ）

1、连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f 也一定是连续函数（×）

2、随机变量X 是定义在样本空间S 上的实值单值函数（√）

3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量（√）

4、离散型随机变量X 的分布律就是X 的取值和X 取值的概率（√）

5、随机变量X 的分布函数()F x 表示随机变量X 取值不超过x 的累积概率（√）

6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的（×）

7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类（×）

8、若()()()()P ABC P A P B P C =成立，则,,A B C 相互独立（×）

9、若,,A B C 相互独立，则必有()()()()P ABC P A P B P C = （√）二、单选题

1、设123,,X X X 是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),X N X N X N

{22)(1,2,3)i i P P X i =-≤≤=，则（ A ）

A ．123P P P >> B. 213P P P >> C. 321P P P >> D. 132P P P >>

2、设随机变量~(0,1)X N ，其分布函数为()x Φ，则随机变量min{,0}Y X =的分布函数()F y 为（ D ）

A 、1,

()(),0y F y y y >⎧=⎨

Φ≤⎩ B 、1,

()(),0y F y y y ≥⎧=⎨

二、随机变量及其分布(答案)

解：
即
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三、计算题：
1．设求和
解： = 1
=
2．设随机变量X的密度函数为，且
求：（1）常数（2）（3）的分布函数
解：（1）由归一性
又
解得
由此得
（2）
（3）的分布函数
3．设某种电子元件的使用寿命X（单位：h）服从参数的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：
（1）一个元件时间在200h以上的概率；
2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为
，，
3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X的概率分布为
三、计算题：
1．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：
（1）X的概率分布；（2）；（3）
解：（1），，，，
随机变量X的分布律为：
，，
X分布函数为
5．设随机变量，若，求
解：由于
所以
概率论与数理统计练习题
系专业班姓名学号
第二章随机变量及其分布（二）
一、选择题：
1．设连续性随机变量X的密度函数为，则下列等式成立的是[A]
（A）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

概率论与数理统计第二章答案

第二章随机变量及其分布

1、解：

设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为

投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为

投保一年内没有死亡：0X

0 P

2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律

解：X 可以取值3，4，5，分布律为

61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10

11)2,1,3()3(35

435

335

2=⨯=

===

⨯====

⨯=

==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5

P ：10

6,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

)0(315313===C C X P

3512)1(3

15213

12=⨯==C C C X P 35

1)2(3

113

22=

⨯=

=C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2

P ： 35

1,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0

（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。） x

1 2 O P

概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)

第一章习题解答

1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝；

（2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n

（3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中；

（4）Ω=｛（x,y）｝。

2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员；

（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的；

（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；

（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。

3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；

（6）

4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/8

5．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1

（2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)；

又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β)

6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。

223由题设可知样本点总数，。

2C52C411所以；

7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”，

《概率论与数理统计》第02章习题解答

第二章随即变量及其分布

1、设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机的选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。解：{}()

10.40.41,2,k P Y k k -==-⨯=⋅⋅⋅

2、解：用1231,2,3),,i A i i A A A =表示第个阀门开(,且相互独立，()0.8(1,2,3)i P A i == 12

312323{0}()()[()()()()]P X P A A A P A P A P A P A P A ⎡⎤===+-⎣⎦

072.0)2.02.02.02.0(2.0=⨯-+= 2123123{1}[()

]0.8(0.20.20.04)0.2(0.8)P X P A A A A A A ===+-+⨯

416.0=

3123{2}()(0.8)0.512P X P A A A ====

3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X 表示15人无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险是相互独立的），问X 服从什么分布，写出X 的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率

（1）恰有3人；（2）至少有两人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解：()~15,0.2X B

{}1515(0.2)(0.8)k

k k P X k C -==⨯ k =0,1,2,……,15 （1）{}3

312153(0.2)(0.8)0.2501P X C ==⨯=

（2）{}0015114151521(0.2)(0.8)0.2(0.8)0.8329P X C C ≥=-⨯-⨯=

概率论与数理统计-第二章习题附答案

习题2-2

1. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量

1,,

0,A X A =⎧⎨

⎩

发生不发生.

写出随机变量X 的分布律. 解

0 1

1-p p

2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,

且取这四个值的相应概率依次为c c c c 167

,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P .

解由离散型随机变量的分布律的性质知，

13571,24816c c c c

+++= 所以37

16c =.

所求概率为

P {X <1| X

≠}=

258167852121

}0{}1{=

++=≠-=c

c c c X P X P .

3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若

{P X ≥5

1}9=, 求{P Y ≥1}. 解注意p{x=k}=k

k n k

C p q -,由题设5

{9P X =≥

1}1{0}1,P X q =-==- 故213

q p =-=. 从而

{P Y

≥3

2191}1{0}1()

P Y =-==-=

4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.

解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27

19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278

)

1(3

-p , 故 p =3

1. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

解：(1) 由题设知
h h x ,0 x a , f ( x) a 其他． 0, 1

f ( x )d x ( h
0
a
h ah x )d x ， a 2 2 h ， a
从而
2 2 x ,0 x a , f ( x) a a 2 ．其他． 0,
(3) 方法 1： P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ．方法 2： P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 ． 4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的概率都是 0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达 40000 元；当第二组成功时，每年的销售额可达 60000 元，若失败则分文全无．以 X 记这两种新药的年销售额，求 X 的分布律．解：设 Ai {第 i 组取得成功}， i 1,2 ，由题可知， A1 ， A2 相互独立，且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 ．两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况：A1 A2 ，A1 A2 ，A1 A2 ，

x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4

概率论与数理统计习题答案(完整版)

(2) 一个人的血型与两种抗体都发生作用的概率.
解由已知可得: 一个人血型是AB型血的概率为0.04. (1) PA=0.34+0.04=0.38, PB=0.12+0.04=0.16
(2) P=0.04
第一章章末习题1(第35页)
1. 已知随机事件A, B满足P(AB)=P(A B), 且P(A)=p,
5. 进行一个试验: 先抛一枚均匀的硬币, 然后抛一个
均匀的骰子,
(1) 描述该试验的样本空间；
(2) 硬币是正面且骰子点数是奇数的概率是多少？
解 (1) 设试验是观察硬币正反面和骰子的点数, 则 ={ (正面, 1点), (正面, 2点), (正面, 3点), (正面, 4点), (正面, 5点), (正面, 6点), (反面, 1点), (反面, 2点), (反面, 3点), (反面, 4点), (反面, 5点), (反面, 6点), } (2) P=3/12=1/4＝0.25
3 解 (1) 组合法: n＝ C10 , n1 C52 C52 10 1 0.08333 所以, P1=n1/n＝ 3 C10 120 12 2 C4 6 1 0.05 (2) P2=n2/n＝ 3 C10 120 20 或用排列法:
1 C3 5 4 1 (1) P1=n1/n＝ 0.08333 10 9 8 12 1 C3 43 1 (2) P2=n2/n＝ 0.05 10 9 8 20

概率论与数理统计第二章习题与答案

概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布

习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出X 随机变量的分布律.

解：X 可以取值3，4，5，分布律为

61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10

11)2,1,3()3(35

435

335

2=⨯=

===

⨯====

⨯=

==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为

也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10

103,101

习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为

p -1)10(<

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）

（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称

Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.

解：（1）P (X=k )=q k －

k=1,2,……

（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功}

,,2,1,0,

)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)

概率论与数理统计2.第二章练习题（答案）

概率论与数理统计2.第⼆章练习题（答案）

第⼆章练习题(答案)

⼀、单项选择题

1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为

3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数，则⼀定成⽴的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1]

4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C )

5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25)，记 P1 = P (X “ + 5), 则正确的是

(A)对任意“，均有Pi = p 2 (B)对任意“，均有Pi v p?

(c)对任意〃，均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2

6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C )

F(x) =

kx+b 、 x<0 0 < x< x>

则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0

龙， (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In

2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数

(A ) z 7

fl -cosx ； 2 0, f sinx,

A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0);

B. f (x)

1, x < 0

[cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)⾮负

《概率论与数理统计》第二章习题解答

第二章随机变量及其分布

1、解：

设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010

投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X

2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律

解：X 可以取值3，4，5，分布律为

61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10

11)2,1,3()3(35

335

2=⨯=

===

⨯====

⨯=

==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5

P ：10

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

)0(315313===C C X P

3512)1(3

15213

12=⨯==C C C X P 35

1)2(3

113

22=

⨯=

=C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2

P ： 35

1,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。）

概率论与数理统计练习册-第二章答案

第二章随机变量及其分布

基础训练Ⅰ

一、选择题

1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。

A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2

P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2

C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1

P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()

1( =+=

k k k b

p k 为离散型随机变量的概率分布。

A ）2

B ）1

C ）1/2

D ）3

3、设⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）

A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数

4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）

A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/2

5、设随机变量),(~2

σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）

A) 0 B)

μ C) μ- D) σ

二、填空题

1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。

2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛5.03.02.0210

，则P (X ≤1.5) = 0.5 。 3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩

概率论及数理统计习题及答案第二章

《概率论与数理统计》习题及答案

第二章

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，

所求概率为

13133()

(|)()

P A A P A A P A =，

因为 312A A A =+

所以 312()()

()0.6

0.30.9

P A P A P A =+=+=

131()()0.6

P A A P A ==

故

1362

(|)93

P A A =

=. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’

i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则

12A B B =+

112

464

122

21010

()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为

242112

464()1

(|)()5

P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.

解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为

6113333

611511/()()2

(|)()()//3

C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.

概率论与数理统计第二章习题附答案

习题4-1

1. 设随机变量

求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +.

解由定义和数学期望的性质知

2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=;

8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E .

2. 设随机变量X 的概率密度为

,0,()0,

0.x

e x

f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤

求X

e Z X Y 22-==和的数学期望.

解 0

()(2)2()2

2x E Y E X E X x x ∞-====⎰

e d ,

220

()()3

X x x E Z E e e e dx ∞

---==⋅=

⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为

,060,()600,

x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它

记Y 为游客等候电梯的时间,则

05,25,525,()55,2555,65,

5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪

⎨

⎪⎪⎩≤≤≤≤

因此, 600

()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞

概率论及数理统计习题及答案第二章

《概率论与数理统计》习题及答案

第二章

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，

所求概率为

13133()

(|)()

P A A P A A P A =，

因为 312A A A =+

所以 312()()

()0.6

0.30.9

P A P A P A =+=+=

131()()0.6

P A A P A ==

故

1362

(|)93

P A A =

=. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’

i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则

12A B B =+

112

464

122

21010

()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为

242112

464()1

(|)()5

P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.

解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为

6113333

611511/()()2

(|)()()//3

C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.

概率论与数理统计第二章习题解答

《概率论与数理统计》第二章习

题解答(总16页)

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第二章随机变量及其分布

1、解：

设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为；投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为

投保一年内没有死亡：

的分布律为：

2、一袋中有5

3、

4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律

解：X 可以取值3，4，5，分布律为

61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10

11)2,1,3()3(35

435

335

2=⨯=

===

⨯====

⨯=

==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为

也可列为下表 X ： 3， 4，5

P ：10

6,103,101

3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3522)0(315

313=

==C C X P 3512)1(3

15213

12=⨯==C C C X P 35

1)2(3

113

22=⨯=

=C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2

P ： 35

1,3512,3522

4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1)

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