两个随机变量函数

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两个随机变量相乘矩母函数

两个随机变量相乘矩母函数随机变量的矩母函数在概率论和统计学中经常用于描述随机变量的性质和特征。

本文将介绍两个随机变量相乘时的矩母函数。

首先，我们先回顾一下随机变量的矩母函数。

设X是一个随机变量，其概率质量函数为P(X=x)，则X的矩母函数定义为M(t)=E(e^tX)，其中E(·)表示期望值运算符。

矩母函数可以用来计算各阶矩，包括均值、方差、偏度和峰度等。

同时，矩母函数的性质和变换公式也可以通过矩母函数进行推导和证明。

接下来，假设有两个随机变量X和Y，它们相互独立，并且它们的矩母函数分别为Mx(t)和My(t)。

我们想要计算这两个随机变量相乘的矩母函数。

根据随机变量相乘的定义，我们有Z=X*Y。

要求Z的矩母函数，可以利用随机变量的矩母函数的性质和变换公式。

首先，我们知道对于独立的随机变量X和Y，它们的联合概率密度函数为P(X=x, Y=y)=P(X=x)*P(Y=y)。

这样，我们可以得到Z的概率质量函数为P(Z=z)=∑P(X=x, Y=z/x)，其中∑表示对所有可能的x求和。

根据相互独立的性质，我们可以将联合概率分解为边缘概率的乘积，即P(Z=z)=∑P(X=x)*P(Y=z/x)。

然后，我们可以计算Z的矩母函数。

根据矩母函数的定义，我们有Mz(t)=E(e^tZ)=∑e^tz*P(Z=z)。

将概率质量函数的表达式代入矩母函数的定义中，我们可以得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z/x)。

接下来，我们可以利用独立性的性质将上式展开。

由于X和Y是独立的，所以P(Y=z/x)=P(Y=z)。

因此，我们可以将P(Y=z/x)提出来，得到Mz(t)=∑P(Y=z)∑e^tz*P(X=x)。

再进一步，我们可以将两个求和符号合并，得到Mz(t)=∑e^tz*∑P(X=x)*P(Y=z)。

由于内层求和是X的概率质量函数的矩母函数Mx(t)，所以我们可以将其代入，得到Mz(t)=∑e^tz*Mx(t)。

两个随机变量的函数的分布

f (x, z x)dx
fX (x) fY (z x)dx
f (z y, y)dy fX (z y) fY (y)dy
连续场合的卷积公式
类似可得： fX Y (z)
f (x, x z)dx
fX (x) fY (x z)dx
f (z y, y)dy
fX (z y) fY ( y)dy
(3) 当 1 < z 时,
fZ (z)
1 e(zx)dx ez (e 1).
0
1x
1 ez, 0 z 1
故 fZ (z) ez (e 1), z 1 .
0,
其他
例6 设 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求Z = X+Y 的分布.
解
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
fXY (z)
f (x, z ) 1 dx x | x |
fX
(x)
fY
(
z) x
|
1 x
|
dx
f ( z , y) 1 dy y | y |
z
1
fX
(
) y
fY
(
y)
|
y
|
dy
fX /Y (z)
f (yz, y) | y | dy
fX ( yz) fY ( y) | y | dy
应用：若 Xi b(1, p)， i=1, 2, …, n且相互独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn b(n, p). 相互独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布
二、两个连续型随机变量的和差积商概率密度公式
定理1 数为
设连续型随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函

两个随机变量函数的分布

z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)

两个随机变量的函数的分布

(z-x)2
+ -
-
e 2 e 2 dx
-
BG
2 -
6
fZ
(z)
=
1
2
-z2
e4
+ -(x- z )2
e 2 dx
-
可得：
即Z服从N(0,2)分布。
BG
7
一般,设X ,Y相互独立且 X ~ N ( μ1 ,σ12 ),Y,
σ
2 2
).则
Z
=
X
+ Y 仍然服从正态分布
, 且有
Z
~
N ( μ1
fZ (z) = - fX (z - y) fY ( y)dy
fZ (z) = - fX (x) fY (z - x)dx
这两个公式称为卷积公式,记作fX * fY ,即
+
+
fX * fY = - fX (z - y) fY ( y)dy = - fX (x) fY (z - x)dx
BG
5
设X和Y是相独立的随机变量且它们的分布函数分别记为FX (x)和FY (y)。
当M = max(X,Y )时, 有 FM (z) = P{M z} = P{X z,Y z} = P{X z}P{Y z}
= FX(z)FY (z)
类似地, N = min(x ,y )时,有 FN (z) = P{N z} = 1- P{N z} = 1- P{x z,y z}
=p(x,y)dxdy +p(x,y)dxdy
G1
G2
BG
11
z
0
=[ y(y p ,y u )d y -y(y p ,y u )d y ]d u .

两个随机变量函数的分布

解: X 0
1
P 1/2 1/2
Y0
1
P 1/2 1/2
(XP,{YZ)=的zk取} 值= P数{对g(为X,(Y0),0=),(z0k,}1=),(1,0),(1p,i1j ,),k 1,2,
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
i, j
g( xi , y j )zk
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{X=0}P{Y=0} =1/4
（1）
1
f(x, y)dxdy
ke(xy)dxdy k k 1
00
(2)F(x,
y)
x 0
y e-(uv)dudv
0
(1 e-x )(1 ey ),0 x ,0 y
0, 其它
( 3 )P( 0 X 1,0 Y 2 ) 1 2 e( x y )dxdy ( 1 e1 )( 1 e2 ) 00
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
fZ ( z ) fX ( x ) fY ( z x )dx
1
x2
e2
2
1
( z x )2
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令 t x z ，得
2
fZ (
z
)
1
2
z2
e4
et2 dt
1
z2
g( xi , y j )zk
概率 1/10 2/10 3/10 2/10 1/10 1/10
（X,Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)

两个随机变量的函数的分布

如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩形来绘制直方图，矩形的面积等于该组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并绘制点来表示它们的值。

3.5 两个随机变量的函数的分布

第五节
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和：两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z

概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.

2018/10/8
e
1

k 2
k!
e
2

1
1!
e
1

k 1 2
( k 1)!
e
2

k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn

i 1
n
i
, 的分布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题在一维随机变量中讨论了：已知随机变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。在多维随机变量中需讨论：已知随机变量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)

《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布

FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]

两个随机变量的函数的分布-m

如果两个随机变量相互独立，那么它们的积的分布可以通过乘积概率质量函数计算。
如果两个随机变量不是独立的，那么它们的积的分布可能需要使用联合概率质量函数进行计算。
应用
金融领域
在金融领域中，两个随机变量的函数的分布可以用于计算投资组合的风险和回报。例如，股票价格的两个随机变量的函数的分布可以用于计算股票的波动率和相关性。
1. 深入研究两个随机变量的函数的分布-m的性质，探索更多有趣的性质和结论。
03
2. 将两个随机变量的函数的分布-m的理论应用于实际问题中，为解决实际问题提供新的思路和方法。
展望
3. 进一步拓展两个随机变量的函数的分布-m的理论，与其他相关理论进行交叉研究，以期取得更多的创新成果。
实际应用前景：两个随机变量的函数的分布-m的理论不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也具有广阔的前景。例如，在金融、通信、物理等领域中，都可以利用两个随机变量的函数的分布-m的理论进行建模和分析。未来，随着科技的不断发展，这一理论的应用前景将更加广阔。
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03 两个随机变量的函数的期望和方差
联合期望和方差
联合期望
E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)是两个随机变量X和Y的函数。
联合方差
D[g(X,Y)]，衡量g(X,Y)的取值与其期望的偏离程度。
条件期望和方差
条件期望
E[g(X,Y)|X=x]或E[g(X,Y)|Y=y]，即在给定X或Y的条件下， g(X,Y)的期望。
独立性
01
如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的函数也具有独立性。
02
独立性意味着一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量

§3.3 两个随机变量函数的分布

§3.3 两个随机变量函数的分布在实际问题中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，医学上考察某地区40岁以上的人群，用X 和Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知Z 与X ，Y 的函数关系式),(Y X g Z = 我们希望通过),(Y X 的分布来确定Z 的分布. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: （1）Y X Z +=(2) },m ax{Y X Z =和},m in{Y X Z =，其中X 与Y 相互独立. 一、离散型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维离散型随机变量,其概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i ，又),(y x g 是一个二元函数, 则(,)Z g X Y =也是一个一维离散型随机变量, 设),(Y X g Z =的所有可能取值为 ,2,1,=k z k , 则Z 的概率分布为(,){}{(,)}i j kk k ij g x y z P Z z P g X Y z P =====∑,,2,1 =k其中(,)i j kij g x y z P =∑是指若有一些(),i j x y 都使(,)i j k g x y z =，则将这些(),i j x y 对应的概率相加。

例1 设随机变量),(Y X 的概率分布如下表求（1）Z X Y =+的概率分布；（2）Z XY =的概率分布解由),(Y X 的概率分布可得把Z 值相同项对应的概率值合并得（1）Z X Y =+的概率分布为（2）Z XY =的概率分布例2 :若X 和Y 相互独立,且分别服从参数为21,λλ的泊松分布,求Y X Z +=的分布律.解:因,X Y 所有可能取值为012，，，，故Y X Z +=,X Y 所有可能取值为012，，，，事件{}{}Z n X Y n ==+=可以写成互不相容的事件{}X k Y n k ==-，(0,1,2,,)k n =之和，由,X Y 相互独立，所以有{}P Z n ={}P X Y n =+={}0nk P X k Y n k ====-∑，{}{}0n k P X k P Y n k ====-∑()1212!!kn k nk ee k n k λλλλ---==⋅-∑()()121201!!nk n kk ek n k λλλλ-+-==⋅-∑()()12120!!!!nk n kk e n n k n k λλλλ-+-==⋅-∑()1212!nk k n k nk e C n λλλλ-+-==⋅⋅∑()()1212!n en λλλλ-+=+()012n =，，，这表明Y X Z +=服从参数为12λλ+的泊松分布。

两个随机变量的函数的分布

yf ( yu, y) d y d u
0
0
同理可得
z0

f
(x,
y) d
xd
y

yf
( yu,
y) d
y du,
G2
故有 FZ (z) P{Z z}
f (x, y) d x d y f (x, y) d x d y
G1
G2
z
0
[ yf (yu, y)d y yf (yu, y)d y]du.
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} f (x, y) d x d y x yz
zy
[ f (x, y) d x] d y
x u y
z
[ f (u y, y) d u]d y

y x yz
O
x
z
[ f (u y, y) d y]d u.
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解
由于 fX (x)
1
x2
e 2,
2
x ,
fY ( y)
1
y2
e 2,
2
y ,
由公式

fZ (z) f X (x) fY (z x) d x.
G1
G2

yz f (x , y) d x d y 0

f (x, y)d xd y,
0
yz
O
xz y
x
令u x y ,
G2
yz

两个随机变量的函数及其分布

主题简介
两个随机变量的函数及其分布是概率论和统计学中的重要概念，主要研究两个随机变量之间的关系及其变化规律。
在实际应用中，许多问题都需要考虑两个或多个随机变量的相互作用，例如金融市场的相关性分析、生物统计学中的遗传学研究等。
目的和重要性
目的
探讨两个随机变量之间的函数关系，分析其分布特性，为实际问题提供理论依据和解决方案。
险和收益的平衡。
信用风险评估
03
利用两个随机变量的函数分布，可以对借款人的信用风险进行
评估，如评估贷款违约的概率。
在机器学习中的应用
特征工程
通过将两个随机变量的函数分布作为特征，可以提高机器学习模型的性能，如将图像的边缘检测结果作为特征用于图像分类。
聚类分析
基于两个随机变量的函数分布，可以对数据进行聚类分析，如K-means聚类算法中利用距离度量进行聚类。
预测与决策
基于两个随机变量的函数分布，可以对未来数据进行预测，并据此做出决策，如利用时间序列数据进行趋势预测。
在金融风险管理中的应用
风险评估
01
通过分析两个随机变量的函数分布，可以对金融风险进行评估，
如计算根据两个随机变量的函数分布，可以优化投资组合，以实现风
理论意义
完善概率论和统计学的理论体系，促进学科发展。
实际应用
为相关领域的研究和实践提供有效的分析工具和方法，如金融市场预测、医学诊断等。
PART 02
两个随机变量的独立性
REPORTING
WENKU DESIGN
独立性的定义
两个随机变量X和Y是独立的，如果它们的联合概率分布与各自的概率分布相乘得到的概率分布相同。
降维处理

两个随机变量的函数

问题的提出二维离散型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布小结
为随机变量时,函数当 (ξ,η)为随机变量时函数 ζ = g(ξ,η) 也是随机变量. 也是随机变量当随机变量 (ξ,η) 的联合分布已知时, 的联合分布已知时, 的分布? 如何求出它们的函数 ζ = g(ξ,η) 的分布
i =0
= ∑ P(ξ = i ) P(η = r i )
i =0
r
i r = ∑Cn1 pi (1 p)n1i Cn2i pri (1 p)n2 (ri)
r
= ∑C C
i =0 i n1
i=0 r
r i n2
p (1 p )
r
n1 + n2 r
=C
i + ( r i ) n1 + n2
留作课下思考
二,连续型分布的情形设(ξ,η)为连续型随机变量 ,具有概率密为连续型随机变量度f(x,y),ζ=g (ξ,η) (设g(x,y)是已知的连续函 , 设是已知的连续函概率密度? 数), 如何求出 ζ 的概率密度? 为了求得ζ的概率密度先求ζ的分布函数的概率密度,先求为了求得的概率密度先求的分布函数 Fζ(z),然后对求出的的分布函数 ζ(z)求导, 的分布函数F 求导求导, ,然后对求出的ζ的分布函数并可得到ζ的概率密度的概率密度f 并可得到的概率密度 ζ(z).
P(ξ = i) =
λ1
P(η = j) =
λ2j
j!
r
i!
e
λ 1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
eλ2
由卷积公式
P(ζ = r) = ∑P(ξ = i,η = r i)
i=0

两个随机变量的最大值和最小值的分布函数

两个随机变量的最大值和最小值的分布函数
有非降性、有界性、右连续性三个性质：1、非降性，f(x)是一个不减函数。

2、有界性，因为 f（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限f（x0+0）必存在。

3.右连续性。

因为 f（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限f（x0+0）必存在。

对于任意实数而言。

因此，若未知x的原产函数，就可以晓得x落到任一区间上的概率，在这个意义上说道，原产函数完备地叙述了随机变量的统计数据规律性。

如果将x看作就是数轴上的随机点的座标，那么，原产函数f(x)在x处的函数值就则表示x落到区间上。

分布函数的性质：
f(x)=p(x≤x)
f(x)为随机变量x的分布函数，其充分必要条件为：
1.非降性
f(x)是一个不减函数,对于任意实数而言。

2.有界性
从几何上说明，将区间端点x沿数轴无限向左移动（即)，则“随机点x落在点x左边”这一事件趋于不可能事件，从而其概率趋于0，又若将点x无限右移（即)，则“随机点x落在点x左边”这一事件趋于必然事件，从而趋于概率1。

3.右连续性
因为 f（x）是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限f（x0+0）必存在。

随机变量同分布的定义

随机变量同分布的定义
在概率论和数理统计中，随机变量是一种具有不确定性的数值，它的取值是由概率分布所确定的。

当两个随机变量具有相同的概率分布时，我们称它们是同分布的。

具体来说，给定两个随机变量X和Y，如果它们的概率分布函数相同，即对于任意实数a，有P(X≤a) = P(Y≤a)，我们称X和Y是同分布的。

这意味着无论我们选择哪个随机变量，它们的取值情况都具有相同的概率。

同分布性在概率论和统计学中起着重要的作用。

它可以帮助我们分析和解释随机事件的概率分布。

当我们对一个随机变量的概率分布了解较多时，同分布性可以帮助我们推导出其他相关随机变量的性质。

同时，同分布性也是许多统计推断方法的基础，例如参数估计和假设检验。

需要注意的是，同分布并不意味着两个随机变量的取值完全相同，而是它们的概率分布相同。

同分布是一种很强的关系，它对于理解随机变量之间的关联和相互作用具有重要的意义。

总结起来，当两个随机变量具有相同的概率分布时，我们称它们是同分布的。

同分布性在概率论和统计学中具有重要的意义，可以帮助我们分析随机事件的概率分布和推导出其他相关随机变量的性质。

同分布并不意味着取值相同，而是指概率分布函数相同。

01-3.5两个随机变量的函数的分布

−∞ −∞3.5 两个随机变量的函数的分布一、知识点1、离散型随机变量（X , Y ）的分布律P {X = x i , Y = y j } = p ij ,则Z = g (X , Y )的分布为：P {Z = z k } = P {g (X , Y ) = z k } = ∑g (x i ,y j )=z k p ij .2、连续型随机变量（X , Y ）的概率密度为f (x , y )，则Z = g (X , Y )的分布函数为：F Z (z ) = P {Z ≤ z } = ∬g (x ,y )≤z f (x , y )dxdy ，f Z (z ) = F Z ′(z ).3、随机变量Z = X + Y 的分布： F Z (z ) = P (Z ≤ z ) = P ( X + Y ≤ z ) ,f Z (z ) =f Z (z ) = ∫+∞ f (x , z − x )dx ∫+∞ f (z − y , y )dy 特别，当X 与Y 相互独立时，f (z ) = f ∗ f =+∞f (x )f (z − x )dx = +∞ f (z − y )f (y )dy . Z X Y ∫−∞ X Y ∫−∞ X Y4、最值函数Z = max (X , Y ) , Z = min (X , Y )： X , Y 相互独立，F max (z ) = F X (z ) ∙ F Y (z )F min (z ) = 1 − [1 − F X (z )] ∙ [1 − F Y (z )]5、正态分布的推广性质：（1）两个独立的正态分布的和仍为正态分布（μ1 + μ2，σ2 + σ2）. 1 2（2）n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布，且μ = ∑i C i μi ，σ2 = ∑i C 2σ2. i i6、泊松分布可加性：X 1~π(λ1),X 2~π(λ2), X 1与X 2相互独立，则Z = X 1 + X 2~π(λ1 + λ2).7、二项分布可加性：X 1~B (n 1, p ), X 2~B (n 2, p ), X 1与X 2相互独立，则Z = X 1 + X 2~B (n 1 + n 2, p ).二、重点：1、求离散型随机变量函数的分布；2、求连续型随机变量函数的分布；3、重要公式和结论；4、Z = X + Y 和最值函数的概率分布.三、难点：Z = X + Y 和最值函数的概率密度及分布函数的求解.。

两个随机变量函数的分布

P{Z 3} P{X Y 3} P{X 3，Y 1} 3 ， 20
P{Z 4} P{X Y 4} P{X 4，Y 4} 1 ， 20
于是得Z =X +Y 的分布律(表3-13)
表3-13
同理可得，Z = XY 的分布律为(表3-14)。
表3-14
例3.17 设X，Y 相互独立，且分别服从
求随机变量Z =X +Y 的分布密度.
解 X，Y 相互独立，所以由卷积公式知
fZ (z) f X (x) fY (z x) dx
。
由题设可知 fX (x) fY ( y)只有当0 x 1 ，y 0 ，即当0 x 1
且z x 0 时才不等于零。现在所求的积分变量为x，z 当作参数,
当积分变量满足x 的不等式组时，被积函数
概率学与数理统计
两个随机变量函数的分布
设( X , Y )为二维随机变量，则 Z ( X ，Y ) 是( X , Y )的
函数，Z 是一维随机变量，现在的问题是如何由( X , Y )的分布，求出Z 的分布，就是已知二维随机变量( X , Y )的分布律
或密度函数，求Z ( X ，Y ) 的分布律或密度函数问题。
特别地，当X 和Y 相互独立时，设( X , Y )关于X，Y 的边缘
概率密度分别为fX (x)，fY (y)，则有
fZ (z)
fX
(z
y)
fY
dy
，
及
(3.18)
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x) dx
。
(3.19)
这两个公式称为卷积(Convolution)公式，记为 fX fY 即
0 x 1

两个随机变量函数

两个随机变量相乘 矩母函数

两个随机变量的函数的分布

两个随机变量函数的分布

两个随机变量的函数的分布

两个随机变量函数的分布

两个随机变量的函数的分布

3.5 两个随机变量的函数的分布

概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.

《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布

两个随机变量的函数的分布-m

§3.3 两个随机变量函数的分布

两个随机变量的函数的分布

两个随机变量的函数及其分布

两个随机变量的函数

两个随机变量的最大值和最小值的分布函数

随机变量同分布的定义

01-3.5两个随机变量的函数的分布

两个随机变量函数的分布

两个随机变量相乘矩母函数