高三下学期理科数学第一次高考模拟试卷及答案
2023届高考理科数学模拟试卷一(含答案及解析)
2023届高考理科数学模拟试题一(含答案及解析)本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、准考证号用黑墨水钢笔、签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上，答在试题卷上不得分；3． 考试结束，考生只需将答题卷交回。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B *=*第一部分 选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数1z i =+，则2z= A ． i 2-B ．i 2C ．i -1D ．i +12. 设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则()U C A B =A ．[1,4)-B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(1,4)-3. 椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14B ．12C ． 2D ．4 4. ABC ∆中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠=A ．6πB ．4π C ．34π D ．4π或34π5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a(n N ＋)的直线的斜率是A ．4B ．3C ．2D ．16.已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ,且1)2()4(=-=f f )()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示， 则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(00b a f b a 所围成的面积是A ．2B ．4C ．5D ．87. 一台机床有13的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ， 加工A 时,停机的概率是310，加工B 时，停机的概率是25，则这台机床停机的概率为( )A ． 1130B ．307 C ．107 D ．1018. 在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如简改动 用橡皮擦干静后 再选涂其他答案标号回答非选择题时 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人 手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（ ）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（ ）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（ ）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得6分 部分选对的得部分分 有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（ ）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧 且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =． （1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍 且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限 且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ． （1）求椭圆W 的方程 （2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图 在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥． （1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点 是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立 求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列） 使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日 中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态 量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态 其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋 再输入第二道逻辑门后 粒子的自旋状态有p 的概率发生改变 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ． （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥 记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数． 参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一 选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义 所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去） 所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错 由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错 对于B 对数据从小到大重新排序 即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字 由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确 对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确 故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数 所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样 令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数 又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减 要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确 设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时 显然不为零 设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号 故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时 有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号 故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分） 【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上 所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=． （2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图 取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立 又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减 当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值 且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+． 令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增 而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解 所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣． （2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知 当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p． 所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。
高三数学下学期模拟试卷一理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学下学期模拟试卷〔一〕理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.复数满足，那么复数的虚部为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，，应选B.2.集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据指数函数的值域求出集合A，然后根据对数函数有意义求出集合B，最后根据交集的定义求出所求即可．【详解】∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝lg〔2﹣x〕}＝{x|2﹣x＜0}={x|x＜2}=〔﹣∞，2〕，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}=，应选A.【点睛】此题主要考察集合的根本运算，利用函数的性质求出集合A，B是解决此题的关键，比较根底．3.AQI即空气质量指数，AQI越小，说明空气质量越好，当AQI不大于AQI时称空气质量为“优良〞.如图是某3月1日到12日AQI的统计数据.那么以下表达正确的选项是〔〕A.这12天的AQI的中位数是90B.12天中超过7天空气质量为“优良〞C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这12天的AQI的平均值为100【答案】C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是95+922=93.5，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良〞的有95，85，77，67，72，92一共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 应选C ．4.平面向量a →=〔2，3〕，b →=〔x ，4〕，假设a →⊥〔a →−b →〕，那么x =〔〕 A.1 B.12C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】可求出a →−b →=(2−x ，−1)，根据a →⊥(a →−b →)即可得出a →⋅(a →−b →)=0，进展数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】a →−b →=(2−x ，−1)；∵a →⊥(a →−b →)；∴a →⋅(a →−b →)=2(2−x)−3=0；解得x =12．应选B.【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于根底题． 5.m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面.以下说法正确的选项是〔〕 A.假设m//α，n//α，那么m//n B.假设m ⊥α，n ⊥α，那么m//n C.假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n//α D.假设m//α，m ⊥n ，那么n ⊥α 【答案】B 【解析】 【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的断定，即可判断．【详解】A ．假设m ∥α，n ∥α，那么m ，n 相交或者平行或者异面，故A 错；B ．假设m ⊥α，n ⊥α，由线面垂直的性质定理可知m//n ，故B 正确；C ．假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥α或者n ⊂α，故C 错；D ．假设m ∥α，m ⊥n ，那么n ∥α或者n ⊂α或者n ⊥α，故D 错．应选：B ．【点睛】此题考察空间直线与平面的位置关系，考察直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟定理是解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，假设输入的a ，b 分别为5和2，那么输出的n =〔〕 A.5 B.4C.3D.2【答案】B 【解析】模拟程序运行，可得：a =5，b =2，n =1，a =152，b =4，不满足条件a ≤b ，执行循环体 n =2，a =454，b =8，不满足条件a ≤b ，执行循环体 n =3，a =1358，b =16，不满足条件a ≤b ，执行循环体n =4，a =40516，b =32，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值是4应选B7.函数f (x )=√3sin (2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，那么φ等于〔〕 A.π6B.−π6C.π3D.−π3【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象变换规律求得平移后的解析式设为g 〔x 〕，再根据对称性求得结果．【详解】函数f 〔x 〕=√3sin 〔2x +φ〕〔|φ|＜π2〕的图象向左平移π6个单位后， 得到g 〔x 〕=√3sin 〔2x +π3+φ〕〔|φ|＜π2〕的图象， 由于平移后的图象关于原点对称，故g 〔0〕=√3sin 〔π3+φ〕＝0，∴π3+φ=k π〔k ∈Z 〕 由|φ|＜π2得：φ=−π3，应选：D ．【点睛】此题考察的知识点是函数图象的平移变换，三角函数的对称性，属于根底题． 8.a 为常数，a =∫2xdx 10，那么(√x −a x )6的展开式中的常数项是〔〕 A.10 B.12 C.15 D.16【答案】C 【解析】 【分析】计算定积分求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得常数项． 【详解】a =∫12xdx ＝x 2|01=1，∴〔√x −1x〕6的通项公式为T r +1＝C 6r√x6−r（−1x ）r＝〔﹣1〕r C 6r x6−3r 2，令6−3r 2=0，解得r ＝2，那么二项展开式中的常数项为〔﹣1〕2C 62＝15， 应选C.【点睛】此题主要考察定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题． 9.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x −4)2+y 2=4相切，那么该双曲线的离心率为〔〕 A.2 B.2√33C.√3D.32【答案】B 【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：y =b ax ，即：bx −ay =0，由直线与圆的位置关系可得：√a 2+b 2=2，整理可得：2b =c ，那么：c 2=4(c 2−a 2),∴3c 2=4a 2， 据此有：e 2=c 2a 2=43,∴e =2√33. 此题选择B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e =ca ；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 10.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sinx,，当o ≤x <π，f (x )=0，那么f (23π6)=〔〕A.12B.√32C.0D.−12【答案】A 【解析】试题分析：因为函数f(x),(x ∈R)满足f(x +π)=f(x)+sinx ，当0≤x <π时，f(x)=0，所以f(23π6)=f(π+17π6)=f(17π6)+sin17π6=f(11π6)+sin11π6+sin17π6=f(5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=sin5π6+sin11π6+sin17π6=12−12+12=12，应选A ．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】此题主要考察了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，此题的解答中函数f(x)满足f(x +π)=f(x)+sinx ，当0≤x <π时，f(x)=0，利用三角函数的诱导公式，即可求解f(23π6)的值，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．【此处有视频，请去附件查看】11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的间隔为√3，那么四面体ABCD 外接球的外表积为〔〕 A.6π B.7πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】四面体ABCD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的间隔，就是球的半径，然后求球的外表积即可．【详解】根据题意可知四面体ABCD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的间隔，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD＝CD＝1，BC=√3，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为12×√3sin120°=1由题意可得：球心到底面的间隔为√32，∴球的半径为r=√34+1=√72．外接球的外表积为：4πr2＝7π应选：B．【点睛】此题考察空间想象才能，计算才能；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的间隔相等，说明中心就是外接球的球心，是此题解题的关键，属于中档题．12.函数f(x)=|lg(x−1)|，假设1<a<b且f(a)=f(b)，那么实数2a+b的取值范围是〔〕A.[3+2√2，+∞)B.(3+2√2，+∞)C.[6，+∞)D.(6，+∞)【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质的可知：函数f〔x〕＝|lg〔x﹣1〕|，假设1＜a＜b且f〔a〕＝f〔b〕，可得log110(a−1)=lg(b−1)，即1a−1=b−1，可得a，b的关系，利用根本不等式求解2a+b的取值范围.【详解】函数f〔x〕＝|lg〔x﹣1〕|，∵1＜a＜b且f〔a〕＝f〔b〕，那么b＞2，1＜a＜2，∴log110(a−1)=lg(b−1)，即1a−1=b−1，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a=bb−1．那么2a+b=2bb−1+b=(2b−2)+2b−1+b−1+1=(b−1)+2b−1+3≥2√2+3，当且仅当b=√2+1时取等号．满足b＞2，应选：A．【点睛】此题考察对数函数的性质和根本不等式的综合运用，考察了数形结合思想，属于中档题．二、填空题。
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案
高三下学期数学(理科)模拟考试卷-附参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，则选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，则将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{220,M xx x N x y =--<==∣∣，则M N ⋃=（ ） A.(],e ∞- B.()0,2 C.(]1,e - D.()1,2- 2.已知复数z 满足()12i 34i z -=-，则z 的共轭复数z =（ ）A.12i --B.12i -+C.12i -D.12i +3.2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.若随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ）A.0.46B.0.046C.0.68D.0.0684.过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为1O ，半径为r ，点1O 到C 的准线l 的距离与r 的积为25，则()12r x x +=（ ）A.40B.30C.25D.205.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度30.1mg /m为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，则竣工1周后室内甲醛浓度为36.25mg /m ,3周后室内甲醛浓度为31mg /m ，且室内甲醛浓度()t ρ（单位：3mg /m ）与竣工后保持良好通风的时间t （*t ∈N ）（单位：周）近似满足函数关系式()eat bt ρ+=，则该文化娱乐场所的甲醛浓度若要达到安全开放标准，竣工后至少需要放置的时间为（ ） A.5周 B.6周 C.7周 D.8周6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14 B.4 C.12 D.27.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线右支上一点，且12MF MF ⊥，延长2MF 交双曲线C 于点P .若12MF PF =，则双曲线C 的离心率为（ ）8.在ABC 中90,4,,A AB AC P Q ===是平面ABC 上的动点，且2AP AQ PQ ===，M 是边BC 上一点，则MP MQ ⋅的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（ ）A.若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+B.若随机变量()23,N ξσ~，且(6)0.84P ξ<=，则(36)0.34P ξ<<=C.若样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强D.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n .若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则67m n +=10.2022年12月，神舟十四号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆（都包含,M N 点）组成的“曲圆”，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点()0,3F ，椭圆的短轴长等于半圆的直径，如图，在平面直角坐标系中下半圆与y 轴交于点G .若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A.椭圆的离心率为12B.AFG 的周长为6+C.ABF 面积的最大值是92D.线段AB长度的取值范围是6,3⎡+⎣11.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1AA ⊥底面ABCD ，三棱锥1A BCD -的体积是3，底面ABCD 和1111A B C D 的中心分别是O 和1,O E 是11O C 的中点，过点E 的平面α分别交11111,,BB B C C D 于点,,F N M ，且BD ∥平面,G α是线段MN 上任意一点（含端点），P 是线段1A C 上任意一点（含端点），则（ ）A.侧棱1AAB.四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球的表面积是40πC.当1125B F BB =时，则平面α截四棱柱所得的截面是六边形 D.PO PG +的最小值是512.已知()()e e ,, 1.01,1e 1e 0.9911a bc d a b c d c d a b >>==-=-=++，则（ ）A.0a b +>B.0c d +>C.0a d +>D.0b c +>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系xOy 中角α的顶点为O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆229x y +=相交于点5t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 14.已知多项式5625601256(2)(1)x x a a x a x a x a x -+-=+++++，则1a =__________.15.已知函数()()2e 2ln x f x k x x x =+-和()2e xg x x=，若()g x 的极小值点是()f x 的唯一极值点，则实数k 的最大值为__________.16.“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设A 是一个“0，1数列”，定义数列()f A ：数列A 中每个0都变为“1,0,1”，A 中每个1都变为“0,1,0”，所得到的新数列.例如数列:1,0A ，则数列():0,1,0,1,0,1f A .已知数列1:1,0,1,0,1A ，且数列()1,1,2,3,k k A f A k +==，记数列k A 的所有项之和为k S ，则1k k S S ++=__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中3,,sin AC AB DAC BAC BAC ∠∠∠====.（1）求边BC ； （2）若23CDA π∠=，求四边形ABCD 的面积. 18.（本小题满分12分）在各项均为正数的数列{}n a 中()21112,2n n n n a a a a a ++==+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证1n S <19.（本小题满分12分）2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试，考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮､羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加.某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.（1）若该男生进行了3天训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后6天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望. 20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别是12,,F F P 是椭圆上一动点（与左､右顶点不重合），12PF F的内切圆半径的最大值是312.（1）求椭圆C 的方程；（2）过()4,0H 作斜率不为0的直线l 交椭圆于,A B 两点，过B 作垂直于x 轴的直线交椭圆于另一点Q ，连接AQ ，设ABQ 的外心为G ，求证：2AQ GF 为定值.21.（本小题满分12分）在三棱台111A B C ABC -中1AA ⊥平面111111,2,1,ABC AB AC AA A B AB AC ====⊥,E F 分别是1,BC BB 的中点，D 是棱11A C 上的动点.（1）求证：1AB DE ⊥（2）若D 是线段11A C 的中点，平面DEF 与11A B 的交点记为M ，求平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点12,x x ，且122x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）证明：222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭参考答案1.【答案】C 解析：2201,2M xx x =--<=-∣，由1ln 0x -，得0e x <，则{0,e]N x y ===∣，所以(]1,e M N ⋃=-.故选C.2.【答案】C 解析：因为()12i 34i 5z -=-==，可得()()()512i 512i 12i 12i 12i z +===+--+，所以12i z =-.故选C. 3.【答案】D 解析：设随机抽取一人进行验血，其诊断结果为阳性为事件A ，设随机抽取一人为患者为事件B ，随机抽取一人为非患者为事件B ，则()()()()()0.980.050.020.95P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=∣∣0.068.故选D.4.【答案】A 解析：由抛物线的性质知，点1O 到C 的准线l 的距离为12AB r =，依题意得2255r r =⇒=，又点1O 到C 的准线l 的距离为()121252x x r ++==，则有128x x +=，故()1240r x x +=.故选A.5.【答案】B 解析：由题意可知()()()()32341e6.25,3e 1,e 125a ba b a ρρρρ++======解得2e 5a=.设该文化娱乐场所竣工后放置0t 周后甲醛浓度达到安全开放标准，则()()0001102e e e6.255t a t at b a b t ρ--++⎛⎫==⋅=⨯ ⎪⎝⎭0.1，整理得01562.52t -⎛⎫ ⎪⎝⎭.设1562.52m -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 因为455562.522⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以415m <-<，即56m <<，则011t m --，即0t m 故竣工后至少需要放置的时间为6周.故选B.6.【答案】D 解析：设圆柱和圆锥底面半径分别为,r R ，因为圆锥轴截面的顶角为直，设圆柱高为h ，则,h R r h R r R R-==-，由题意得()222R r r R r πππ⨯=+⨯-，解得2r R=.故选D .7.【答案】D 解析：设1(2)MF t t a =>，由双曲线的定义可得22MF t a =-，又21PF MF t == 则12PF t a =+，由12MF MF ⊥，可得22211||MF MP PF +=，即222(22)(2)t t a t a +-=+，解得3t a =.又2221221MF MF F F +=，即222(3)4a a c +=即c =，所以c e a ==.故选D.8.【答案】B 解析：取PQ 的中点N ，则,MP MN NP MQ MN NQ MN NP =+=+=-，可得()()2221,MP MQ MN NP MN NP MN NP MN MN MA AN MA AN ⋅=+⋅-=-=-=+-当且仅当点N 在线段AM 上时，则等号成立，故|||||||||||3|MN MA AN MA -=-显然当AM BC ⊥时，则MA 取到最小值|||||3||233|MN MA ∴--=故21312MP MQ MN ⋅=--=.故选B.9.【答案】BC 解析：对于A ，由方差的性质可得()()()224D D D ηξξ==，故A 错误；对于B ，由正态密度曲线的对称性可得(36)(6)0.50.34P P ξξ<<=<-=，故B 正确；对于C ，由样本相关系数知识可得，样本相关系数r 的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强，故C 正确；对于D ，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372m +，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，则30,3777,22n m =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30,40,n m =⎧⎨=⎩故70m n +=，故D 错误.故选BC. 10.【答案】BD 解析：由题知，椭圆中的几何量3b c ==，所以a =则离心率2c e a ===故A 不正确；因为3AB OB OA OA =+=+由椭圆性质可知332OA ，所以6332AB +故D 正确；设,A B 到y 轴的距离分别为12,d d则()1212113222ABFAOFOBFSSSd OF d OF d d =+=⋅+⋅=+当点A在短轴的端点处时，则12,d d 同时取得最大值3，故ABF 面积的最大值是9，故C 不正确；由椭圆定义知2AF AG a +==AFG 的周长6AFGCFG =+=+B 正确.故选BD.11.【答案】BCD 解析：对于选项A ，因为三棱锥1A BCD -的体积111323V AA=⨯⨯=解得1AA=A错误；对于选项B，外接球的半径满足22221440R AB AD AA=++=故外接球的表面积2440S Rππ==，故选项B正确；对于选项D，因为BD∥平面1111,,BD B D B Dα⊄∥平面α，所以11B D∥平面α，又平面1111A B C D⋂平面11,MN B Dα=⊂平面1111A B C D，所以11B D MN∥，又因为四边形1111A B C D是正方形1111A CB D⊥，所以11AC MN⊥，因为侧棱1AA⊥底面1111,A B C D MN⊂底面1111A B C D 所以1AA MN⊥，又1111AC AA A⋂=，所以MN⊥平面11AAC C，垂足是E，故对任意的G，都有PG PE，又因为1111114OO O E AC===，故215PO PG PO PE OE OO++==，故选项D正确；对于选项C，如图，延长MN交11A B的延长线于点Q，连接AQ交1BB于点F，在平面11CC D D内作MH AF∥交1DD于点H，连接AH，则平面α截四棱柱所得的截面是五边形AFNMH，因为1112B Q B N AB==，所以此时1113B FBB=，故11113B FBB<<时截面是六边形，1113B FB<时截面是五边形，故选项C正确.故选BCD.12.【答案】AD 解析：对于A，e e1.010,1,111a ba ba b==>∴>->-++令()e(1)1xf x xx=>-+则()2e1)xxf xx=+'所以()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且()01f=，又()1 1.01f>故01,10a b<<-<<令()()()()()()ln ln2ln1ln1,1,1h x f x f x x x x x=--=-++-+∈-，则()2112220111h xx x x-=-+=-<+-+-'，所以()h x在()1,1-上单调递减，且()()00,1,0h b=∈-()()()()()()ln ln0,,,f b f b f b f b f af b a b∴-->∴>-∴>-∴>-即0a b+>，故选项A 正确；对于B ，()()1e 1e 0.990,1,1c d c d c d -=-=>∴<< 令()()1e (1)x g x x x =-<，则()e x g x x '=-，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g =，又()10.99g -<，故01,10c d <<-<<.令()()()()()()()ln ln 2ln 1ln 1,1,1m x g x g x x x x h x x =--=-++-+=∈-，所以()m x 在()1,1-上单调递减，且()()()()()()00,0,1,ln ln 0,m c g c g c g c g c =∈∴--<∴<- ()(),g d g c d c ∴<-∴<-，即0c d +<，故选项B 错误；对于C ，()()()()()()()11100,0.99,1,0,101f xg a a g a g d g x f a =∴-==>-∈-∴->- 又()g x 在(),0∞-上单调递增 ,0a d a d ∴->∴+< 故选项C 错误；对于D ，由C 可知 ()()(),0,1g b g c b ->-∈ 又()g x 在()0,1上单调递减，b c ∴-< 即0b c +>，故选项D 正确.故选AD.13.【答案】35- 解析：因为角α的终边与圆229x y +=相交于点t ⎫⎪⎪⎝⎭，所以cos 3α=÷=223sin 2cos22cos 12125πααα⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.【答案】74 解析：对于5(2)x -，其二项展开式的通项为515C (2)r r r r T x -+=-，令51r -=，得4r =，故4455C (2)80T x x =-=，对于6(1)x -，其二项展开式的通项为616C (1)k k k k T x -+=- 令61k -=，得5k =，故5566C (1)6T x x =-=-，所以180674a =-=.15.【答案】2e 4 解析：由()2e x g x x =可得()()22442e e e 2x x x x x x x g x x x'-⋅-⋅==，当0x <或2x >时，则()0g x '>，当02x <<时，则()0g x '<，所以()g x 的极小值点是2.由()()2e 2ln xf x k x x x=+-可得()()()()432e 2e 12,0,xx x x k f x k x x x x x x ∞-⎛⎫⎛⎫=+-='--∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的唯一极值点为2，所以3e 0x k x x -或3e 0x k x x -恒成立，所以2e x k x 或2e xk x在()0,∞+上恒成立，因为()2e xg x x=在()0,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，当x ∞→+时，则()g x ∞→+，所以2e x k x 在()0,∞+上恒成立，则()2min e ()24k g x g ==.16.【答案】1103k -⨯ 解析：设数列k A 中0的个数为,1k a 的个数为k b ，则112,2k k k k k k a a b b a b ++=+=+，两式相加，得()113k k k k a b a b +++=+，又115,a b +=∴数列{}k k a b +是以5为首项，3为公比的等比数列153k k k a b -∴+=⨯两式相减，得17.【答案】解：（1）因为sin 14BAC BAC ∠∠=为锐角，所以cos 14BAC ∠==.因为3AC AB ==，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB BAC ∠=+-⋅⋅即279231BC =+-=，得1BC =. （2）在ADC 中由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC∠∠==，所以1CD =.在ADC 中由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD ∠+-=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =.因为121331273,12sin 214423ABCACDSS π=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=所以34ABCACDABCD S SS=+==四边形. 18.【答案】解：（1）()()()211112,20n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴-+=，则120n n a a +-=或10n n a a ++= 10,2n n n a a a +>∴=∴数列{}n a 为等比数列，公比为12,2,a =∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）证明：由（1）得112,2n n n n a a ++==则n b ======∴数列{}n b 的前n项和为11n S n =+-=-1n S ∴<当2n时，则10,n n n S S b --===>∴当*n ∈N 时，则{}n S 为递增数列1n S S ∴n S1n S <19.【答案】解：（1）当第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天训练的也是“篮球运球上篮”为事件A ；当第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天训练的是“篮球运球上篮”为事件B . 由题知，3天的训练过程中总共的可能情况为32212⨯⨯=种 所以，()()12112111,126126P A P B ⨯⨯⨯⨯==== 所以，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率()()13P P A P B =+=.（2）由题知，X 的可能取值为0,1,2,3考前最后6天训练中所有可能的结果有53296⨯=种当0X =时，则第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，所以，()5521210329648P X ⨯====⨯； 当1X=时，则共有24444220+++++=种选择，所以()20519624P X ===； 当3X =时，则共有844824+++=种选择，所以()2413964P X ===； 所以()()()()5025210139648P X P X P X P X ==-=-=-=== 所以，X 的分布列为所以()1012324824484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.【答案】解：（1）由题意知1,22c a c a =∴=，又222b a c =-，则,b =设12PF F 的内切圆半径为r ，则()()()121212112222PFF SPF PF F F r a c r a cr =++⋅=+⋅=+⋅. 故当12PF F 面积最大时，则r 最大，即点P 位于椭圆短轴顶点时r = )a c bc +=，把2,a c b ==代入，解得2,1a b c === 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为4x ty =+代入椭圆方程得()()()222223424360,Δ(24)1443414440t y ty t t t +++==-+=-> 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212222436,3434t y y y y t t -+==++ 因此可得1223234x x t +=+ 所以AB 中点的坐标为221612,3434t t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭因为G 是ABQ 的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段BQ 的垂直平分线的交点，由题意可知,B Q 关于x 轴对称，故()22,Q x y -AB 的垂直平分线方程为2216123434tt x y t t ⎛⎫--=+ ⎪++⎝⎭ 令0y =，得2434x t =+，即24,034G t ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以2222431,3434t GF t t =-=++ 又AQ ==221234t t ==+ 故24AQ GF =，所以2AQGF 为定值，定值为4. 21.【答案】解：（1）证明：取线段AB 的中点G ，连接1,A G EG ，如图所示 因为,E G 分别为,BC AB 的中点，所以EG AC ∥在三棱台111A B C ABC -中11AC AC ∥ 所以，11EG AC ∥，且11D A C ∈ 故1,,,E G A D 四点共面.因为1AA ⊥平面,ABC AG ⊂平面ABC ，所以1AA AG ⊥ 因为1111111,,AA A B AG AG A B AA AG ===⊥∥ 所以四边形11AA B G 是正方形，所以11AB AG ⊥. 又1111111111,,,AB AC AC AG A AC AG ⊥⋂=⊂平面1A DEG 所以1AB ⊥平面1A DEG .因为DE ⊂平面1A DEG ，所以1AB DE ⊥.（2）延长EF 与11C B 相交于点Q ，连接DQ ，则11DQ A B M ⋂=. 因为,F E 分别为1BB 和BC 的中点1B Q BE ∥，所以111B Q B FBE BF== 则11112B Q BE BC B C ===，所以，1B 为1C Q 的中点. 又因为D 为11A C 的中点，且11A B DQ M ⋂=，则M 为11A C Q 的重心 所以1112233A M AB == 因为1AA ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥.因为11111,AB AC AC AC ⊥∥，所以1AB AC ⊥. 又因为1111,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B 所以AC ⊥平面11AA B B ，所以1,,AC AB AA 两两垂直以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系则()()()()20,0,0,0,2,0,2,0,0,1,1,0,0,,13A B C E M ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()22,0,0,0,,1,1,1,03AC AM AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 设平面AMC 的法向量为()1,,n a b c =则1120,20,3n AC a n AM b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3b =-，则()10,3,2n =-. 设平面AME 的法向量为()2,,n x y z =则220,20,3n AE x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取3y =-，可得()23,3,2n =-. 所以，12121213cos ,2213n n n n n n ⋅===⨯ 故平面AMC 与平面AME 夹角的余弦值为22. 22.【答案】解：（1）()ln 1f x x ax =-+的定义域为()()110,,ax f x a x x∞-+=='- 当0a 时，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 不可能有两个零点，故舍去；当0a >时，则令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a> 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减 所以max 11()ln f x f a a ⎛⎫==⎪⎝⎭. 要使()f x 有两个零点，则max 1()ln 0f x a=>，解得01a <<. 又22111444242ln 10,ln 1110e e e e a f a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-<=-+<-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当01a <<时，则()f x 在11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和214,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点21,,x x 且122x x >，所以1122ln 10,ln 10,x ax x ax -+=⎧⎨-+=⎩由fx 的单调性知，当()21,x x x ∈时，则()0f x > 当()1,x x ∞∈+时，则()0f x <.因为2212x x x <<，所以()220f x >，即()2222ln 221ln 1x ax x ax -+>-+ 所以2ln2ax <，而22ln 1x ax +=，即2ln 1ln2x +<，所以220ex <<，而22ln 1x a x +=.令()ln 12,0,e x h x x x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()221ln 1ln x x h x x x -'--== 因为20,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2ln ln 0ex ->->，所以()0h x '> 所以()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增所以()2ln2eln22e 2eh x h ⎫<==⎪⎭，所以eln20,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）因为1220x x >>，所以22211212e e 2x x x x x x ⎛⎫⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号 而1220x x >>，故222112e e x xx x ⎛⎫⋅+>⋅⎪⎝⎭要证222112e x x x x ⎛⎫⋅+>⎪⎝⎭2e 42⋅，即证1228e x x ，即证1228ln ln e x x 即证12ln ln 3ln22x x +-.设12x t x =，因为1220x x >>，所以2t > 由（1）得1122ln 1,ln 1,x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，两式作差，化简得21ln ln ln 1,ln 1ln 11t tx x t t t =-=-+-- 所以122ln ln ln ln 21tx x t t +=+--. 令()2ln ln 2,21tg t t t t =+->-，则()2212ln (1)t t t g t t t '--=-. 令()212ln t t t t ϕ=--，则()()2222ln ,20t t t t tϕϕ'=---''=>，易知()t ϕ'在()2,∞+上单调递增故()()222ln20t ϕϕ'>'=->，所以()t ϕ在()2,∞+上单调递增，所以()()234ln20t ϕϕ>=->所以()g t 在()2,∞+上单调递增，所以()()23ln22g t g >=-，即12ln ln 3ln22x x +>-得证.所以不等式222112e x x x x ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭.。
高三数学下学期第一次模拟考试试题含解析 试题
【点睛】此题主要考察程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决此题的关键．
， 是双曲线C： 的两个焦点，P是C上一点，假设 ，且 的最小内角的正弦值为 ，那么C的离心率为
A.2B.3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义求出 ， ， ，然后利用最小内角的正弦值为 ，其余弦值为 ，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【详解】解： 依题意 ，
，即
，
，
，
椭圆C的方程为 ，
设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
那么 ， ，
，k， 成等比数列，
，
那么 ，
即 ，
解得
故 ．
【点睛】此题考察直线与圆锥曲线位置关系的应用，考察了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．
中，底面ABCD是矩形，且 ， ， 平面ABCD，F是线段BC的中点．
【解析】
【分析】
由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．
在 中，一共有15人，其中5人不低于 ，在这15人中，抽取3人，在 中一共有5人，抽取1人，随机变量 的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 ．
【详解】解： 由频率分布直方图的性质得：
，
解得 ， ．
在 中，一共有15人，其中5人不低于 ，在这15人中，抽取3人，
那么： 解得 ．
应选：B．
【点睛】此题考察几何概型，重点考察学生对根底概念的理解和计算才能，属于中等题．
， 满足 ，那么向量 与 的夹角是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 即可得出 ，从而得出 ， ，从而可求出 ，根据向量夹角的范围即可求出 与 的夹角．
高考数学理科模拟试题(附答案)
高三年级第一次模拟考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。
1．复数23()1i i +-= （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>⌝⌝条件且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a ≤-3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ）A ．（0，1）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 4．如右图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．49B ．511 C ．712 D ．613 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若641241,4,S S S S S ==则 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．46．要得到函数()sin(2)3f x x π=+的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．28．如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（ ）A ．30种B ．10种C ．24种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。
陕西省2025届高三数学第一次模拟联考试题理含解析
陕西省2025届高三第一次模拟联考理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将复数化成形式，再求模。
【详解】所以模是故选D.【点睛】本题考查复数的计算，解题的关键是将复数化成形式，属于简洁题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。
5.公元263年左右，我国数学家刘徽发觉当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限靠近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是闻名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循环过程中S与n的数值，满意推断框的条件，即可结束循环，得到答案．【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满意条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满意条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满意条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中依据给定的程序框图，逐次循环，留意推断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。
高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
天水市一中级—第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 21(x －1)＞0}，B ＝{x |x 2x －3＜0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x；命题q ：∀x ∈2π，tan x ＞sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(q )C ．(p )∧qD ．p ∧(q )4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为21，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.6411B.43C.83D.1611 5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD等于 ( )A.→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM 6.设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：① ＞ ；② ＜ ； ③，其中所有的正确结论的序号是.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15,60)B ．(15,60]C ．[12,48)D ．(12,48]10．已知P (x ，y )为平面区域a ≤x ≤a ＋1y2－x2≤0(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D ．611．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－25，则数列an 1的前n 项和T n ＝( )A ．－2n ＋1n B.2n ＋1n C ．－2n ＋12n D.2n ＋12n12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则M 到直线l 1：5x －4y ＋4＝0和l 2：x＝－52的距离之和的最小值为( )A.4141B.3131C.4141D.3131第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．双曲线Γ：a2y2－b2x2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．14．已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x ． 15.已知，则不等式的解集为16．在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为p i，第i组区间的中点值为x i(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 315在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝ex x2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －3＝0平行．(1)求证：方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小者)，求m (x )的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)若f (x )＜b 的解集为{x |－1＜x ＜2}，求实数a 、b 的值；(2)若a ＝2时，不等式f (x )＋m ≥f (x ＋2)对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．数学(理科)答案1．解析：选A.因为＝2－i 4＋3i ＋1－3i ＝2＋i 2＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选D.由题可知A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜23}，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ≤1}，故选D.3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，则綈p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q 是真命题，故选C.4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 42种可能．共有C 42＋2C 41＋C 42×2×2＋C 42＝44种情况，因而所求概率为P ＝25644＝6411，故选A.5．解析：选D.因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以→OA ＋→OC ＝2→OM ，→OB＋→OD ＝2→OM ，所以→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD ＝4→OM，故选D. 6.【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。
高三数学下学期第一次模拟考试试题理含解析
武邑中学2021-2021学年下学期高三第一次模拟考试数学〔理工〕试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合，，满足，，假设，那么集合( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，化简,再由可得结果.【详解】因为，所以，由可得，所以,所以，可得,解得，即集合，应选C.【点睛】集合的根本运算的关注点：〔1〕看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；〔2〕有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进展运算，可使问题简单明了，易于解决；〔3〕注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．2.在复平面内，复数满足，那么的一共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由一共轭复数的概念得答案．【详解】由z〔1﹣i〕=2，得z=，∴．那么z的一共轭复数对应的点的坐标为〔1，﹣1〕，位于第四象限．应选：D．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．3.如下图,程度放置的圆柱形物体的三视图是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】正视图：从前向后看；侧视图：从左向右看；俯视图：从上向下看。
【详解】由题可知该圆柱的正视图与俯视图是矩形，侧视图是圆形，应选A【点睛】此题考察三视图，属于简单题。
4.函数的图象大致为 ( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，求出的单调区间及最值，即可排除错误选项。
【详解】令，那么，令，得，即在上单调递增；令，得，即在上单调递减。
所以当时，有最小值，所有，所以对于任意，都有，故排除B,C,D，应选A。
【点睛】此题考察函数图形的判断，需借助导函数求单调区间与最值，结合函数与导数的关系，即可排除错误选项，考察分析解题的才能，属根底题。
高三数学下学期第一次模拟考试试题理含解析_1
中学高三年级第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.复数 (i为虚数单位)的一共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析：化简复数z，由一共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的一共轭复数为1﹣i.应选：B．点睛：此题考察复数的代数形式的运算，涉及一共轭复数，属根底题．2.设集合，．假设，那么( )A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，应选C3.函数的图象可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除A，B，通过特殊点的函数值排除C，即可推出答案．【详解】令y＝=2|x|sin2x，那么，所以函数为奇函数，故排除选项A和B；当x＝时，函数值y=0，故排除选项C．应选：D．【点睛】此题考察函数图像的判断和根本性质的应用，对于选择题，可以采用排除法，属于根底题．4. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间是不超过10分钟的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间是总长度为40，等车不超过10分钟的时间是长度为20，故所求概率为，选B.【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考察几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度〞,常见的测度有长度、面积、体积等.5.向量，且，那么A. B. C. 6 D. 8【答案】D【解析】【分析】根据条件先求出，然后再根据向量垂直的充要条件得到，即可得到结果．【详解】∵，∴．∵，∴，∴．应选D．【点睛】此题考察向量的坐标运算，解题时根据向量垂直的充要条件得到数量积为零，进而得到关于的方程是解题的关键，属于根底题．6.双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆有公一共焦点，那么C的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的焦点坐标可得根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，结合性质解得，，从而可得结果.【详解】椭圆的焦点坐标，那么双曲线的焦点坐标为，可得，双曲线的一条渐近线方程为，可得，即，可得，解得，，所求的双曲线方程为：，应选B．【点睛】此题考察椭圆与双曲线的方程，以及简单性质的应用，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进展分析，既使不画出图形，考虑时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等双曲线的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联络.7.在中，，BC边上的高等于,那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设,应选C.考点：解三角形.【此处有视频，请去附件查看】8.假设将函数的图象向左平移个单位长度，那么平移后的图象的对称轴为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由得：，即平移后的图象的对称轴方程为，应选：B．【点睛】此题考察函数的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．9.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式一共有〔〕A. 36种B. 18种C. 24种D. 12种【答案】A【解析】【分析】根据题意，分2步进展：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，即可得答案．【详解】根据题意，先将4项工作分成3组，有C42=6种分组方法，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33=6种情况，那么有6×6=36种不同的安排方式；应选：A．【点睛】此题考察排列组合的实际应用，注意分组方法和排列方法的区别，属于根底题．10.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，实现该算法的程序框图如下图，假设输入的，，依次输入的为2，2，5，那么输出的〔〕A. 7B. 17C. 12D. 34【答案】B【解析】【分析】该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】∵输入的x＝2，n＝2，当输入的a为2时，S＝2，k＝1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S＝6，k＝2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S＝17，k＝3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，应选：B．【点睛】此题考察了循环构造程序框图，当循环次数不多，或者有规律可循时，可采用模拟程序法进展解答，属于根底题．11.直三棱柱中，，，，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过补体的方法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，那么∠BC1D 即为异面直线与所成的角．在中，分别求出，，的长，得+BD2＝，∠BC1D即可得出．【详解】如下图，把直三棱柱补成直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，由，得∠BC1D即为异面直线与所成的角；在，BC1＝，因为，所以，所以BD＝，C1D ＝=，∴+BD2＝，∴∠DBC1＝90°，∴cos∠BC1D＝．应选：C．【点睛】此题考察了空间中的两条异面直线所成角的问题，利用了补体的思想，属于中档题．12.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，假设，那么C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据点到直线的间隔求出|PF2|＝b，再求出|OP|＝a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得a＝c，问题得以解决．【详解】双曲线C：1〔a＞0．b＞0〕的一条渐近线方程为y x，∴点F2到渐近线的间隔d b，即|PF2|＝b，∴|OP|a，cos∠PF2O，∵|PF1||OP|，∴|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c4c2﹣3b2＝4c2﹣3〔c2﹣a2〕，即3a2＝c2，即a＝c，∴e，应选：C．【点睛】此题考察了双曲线的简单性质，点到直线的间隔公式及余弦定理的应用，属于中档题．二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.设x，y满足约束条件，那么的最小值为________________．【答案】【解析】分析：根据所给不等式组，画出可行域，将目的函数化成，可知z的最小值即为截距的最大值。
高三数学下学期第一次模拟考试试题理
2200
2400
2600
2800
3000
3200
1 36
1 2000
36
1 9
1 2200
9
2 9
2 2400
9
5 18
5 2600
18
2
1
9
9
2
1
2800 3000
9
9
1 36
1 3200
36
2600
19.（ 1）证明：连接 AC1，
∵ A1B1C1D1 ABCD 为四棱台，四边形 A1B1C1D1 : 四边形 ABCD ， ∴ A1B1 1 A1C 1 ，由 AC 2 得， A1C1 1 ，
（）
A．0
B． 2019
C. 4036
D ．4037
9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（
）
A． 24
B． 36
C. 40
D ． 400
r 10. 已知向量 a
sin 4 x ,cos 4 x
r ，向量 b
2
2
1,1 ，函数 f x
rr agb ，则下列说法正确的
马鸣风萧萧整理
n1 2n 1
1
11
∴ 2 Tn 1 2 22 L
1n 2n 1 2n
n2 所以 Tn 4 2n 1 .
18.解：打 5， 6，7，8 折的概率分别为
1
1 2n 11
n 2n
2
2
1 1, 2 3 2 63 2
n2 2n ， 1, 1, 1 ， 336
（1）事件 A 为“三位顾客中恰有两位顾客打 6 折”，
马鸣风萧萧整理
高三数学下学期第一次模拟考试试题理含解析试题1
卜人入州八九几市潮王学校HY第二高级2021届高三下学期第一次模拟考试数学〔理〕试题一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.设集合A=那么A B="(")A. B.〔3，4〕 C.〔-2，1〕 D.〔4+〕【答案】B【解析】试题分析：因为，又因为，所以.考点：解不等式求交集.【此处有视频，请去附件查看】2.复数，那么对应的点所在的象限为〔〕A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法那么进展化简，结合一共轭复数以及复数的几何意义进展判断即可.【详解】那么，对应的点的坐标为，位于第四象限此题正确选项：【点睛】此题主要考察复数的几何意义，结合复数的运算法那么进展化简是解决此题的关键，属于根底题.3.以下函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是〔〕A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.此题正确选项：【点睛】此题考察奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于根底题．4.函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．【详解】函数的最小正周期为：此题正确选项：【点睛】此题考察三角函数的周期性及其求法，考察二倍角的余弦公式，属根底题．5.以下说法错误的选项是〔〕A.，那么〞B.“〞是“〞的充分不必要条件C.存在，使得，那么:对任意，都有D.假设且【答案】D【解析】【分析】正确；解方程得到解集和的包含关系，结合充要条件的断定可知错误，由此可得结果.【详解】，那么〞，可知正确；选项：由，解得，因此“〞是“〞的充分不必要，可知正确；对任意，都有，可知正确；选项：由且不正确.此题正确选项：【点睛】此题考察了简易逻辑的断定方法、方程的解法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题.6.在等差数列中，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，结合前项和公式直接求解即可．【详解】在等差数列中，此题正确选项：【点睛】此题考察等差数列的前项和的求法，是根底题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7.函数的零点所在的区间是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：函数零点在区间〔e，3〕内考点：函数零点存在性定理8.二项式的展开式中，常数项为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，再求得常数项．【详解】二项式的展开式的通项公式为令，求得故展开式中的常数项为此题正确选项：【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于根底题．9.执行如下列图的程序框图，假设，那么输出的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值．【详解】执行如下列图的程序框图，有满足条件，有，；满足条件，有,；满足条件，有，；满足条件，有，；不满足条件，退出循环，输出的值是此题正确选项：【点睛】此题考察了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环构造进展了考察，属于根底题.10.椭圆左右焦点分别为，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的离心率，设出椭圆方程，假设点坐标，利用和在椭圆上构造方程组，解得结果代入渐进性方程，得到的关系，再利用双曲线之间的关系，求解离心率即可．【详解】椭圆左右焦点分别为，椭圆的离心率为不妨令，那么所以椭圆方程为：双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足可设，可得，那么：，解得：代入双曲线方程渐近线方程，可得双曲线的离心率为：此题正确选项：【点睛】此题考察椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线之间满足的关系是解题关键.11.假设抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的间隔分别为和，那么的值是〔〕A. B. C.或者 D.或者【答案】C【解析】设P(x0,y0),那么∴36=2p,即p2-20p+36=0.解得p=2或者18应选C.12.满足不等式组，设的最小值为，那么函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义求出的值，然后根据三角函数的周期公式进展求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如以下列图阴影局部所示：的几何意义是区域内的点到定点的间隔的平方由图象知的间隔最小此时最小值为那么最小正周期此题正确选项：【点睛】此题主要考察三角函数周期的计算以及线性规划的应用，根据线性规划中间隔型问题的求解方法求出的值是解决此题的关键．二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.向量，假设，那么__________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的性质直接构造方程求解．【详解】向量，且，解得：此题正确结果：【点睛】此题考察向量平行的性质，属于根底题．14.假设，那么的值是__________．【答案】2【解析】试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.15.在中，内角所对的边分别为，，当的面积最大时，__________．【答案】0【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，得出，利用正弦定理求出，带入面积公式可得关于的函数，从而得出面积最大时对应的的值，进而求得．【详解】，由正弦定理可得：又由可得：或者或者〔舍去〕，由正弦定理可得当时获得最大值，此时此题正确结果：【点睛】此题考察了三角恒等变换，正弦定理，三角形的面积公式，关键是可以通过正弦定理对边角关系式进展化简，从而得到角之间的关系．16.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，那么此点到直线的间隔大于的概率是__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，找到点到直线间隔等于的临界状态，从而找到符合题意的区域，以面积为测度，可求得概率．【详解】如图，不等式对应的区域为及其内部其中求得直线交轴于点当点在线段上时，点到直线的间隔等于要使点到直线的间隔大于，那么点应在内〔或者其边界〕因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率此题正确结果：【点睛】此题考察几何概型，确定符合条件要求的点构成的区域是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.在中，〔1〕求的值；〔2〕假设为的中点，求的长.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕在三角形中，，再求出，代入即得；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，再由正弦定理得，解得．在中，用余弦定理可求得.试题解析：〔Ⅰ〕且，∴2分4分6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得8分由正弦定理得，即，解得．10分在中，，所以12分考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.18.设数列的前项和为，〔1〕设，证明数列是等比数列；〔2〕求数列的通项公式.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔1〕先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义进展证明〔2〕先求由变形得，根据等差数列定义求，即得数列的通项公式试题解析：〔1〕由及，有∵.①∴.②②－①得，∴，设，那么．且．∴数列是首项为3，公比为2的等比数列．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，∴，∴，设，那么,∴．∴{}是以为首项，公差为的等差数列．∴，∴．19.椭圆的离心率为，其中左焦点.〔1〕求出椭圆的方程；〔2〕假设直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值.【答案】〔1〕〔2〕或者【解析】【分析】〔1〕根据离心率和焦点坐标求出，从而得到椭圆方程；〔2〕将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出点横坐标，代入直线得到坐标；再将代入曲线方程，从而求得.【详解】〔1〕由题意得：，解得：，所以椭圆的方程为：〔2〕设点，，线段的中点为由，消去得由，解得：所以，因为点在曲线上所以解得：或者【点睛】此题考察直线与椭圆的综合应用问题，关键是可以通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果.20.函数〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕求函数的单调区间.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕利用解析式求出切点坐标，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；〔2〕求导后可知导函数的正负由的符号决定；分别在，和三种情况下讨论的正负，从而得到导函数的正负，进而确定的单调区间；在讨论时要注意的定义域与的根的大小关系.【详解】当时，，那么又，所以在处的切线方程为，即〔2〕由函数，得：当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为当时，令，即，解得：当时，所以变化情况如下表：极小值所以的单调递减区间为，；单调递增区间为当时，所以变化情况如下表：极大值所以的单调递增区间为；单调递减区间为，【点睛】此题考察利用导数的几何意义求解切线方程、讨论含参数函数的单调性问题；解决含参函数单调性问题的关键是对于影响导函数符号的式子的讨论；此题的易错点是在讨论过程中忽略最高次项系数为零的情况和函数的定义域的影响.21.袋中装有黑色球和白色球一共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的时机都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数.〔1〕求随机变量的分布和均值；〔2〕求甲摸到白色球的概率.【答案】(1)分布列见解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解析】分析：〔1〕由先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望；〔2〕记事件A为“甲摸到白色球〞，那么事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球〞；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球〞；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球〞，利用互斥事件概率加法公式可得.详解：设袋中白色球一共有x个，x∈N*且x≥2，那么依题意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.随机变量X的分布列为X 1 2 3 4 5P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)记事件A为“甲摸到白色球〞，那么事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球〞；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球〞；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球〞．依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.点睛：此题考察的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式.22.直线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为〔1〕求圆的直角坐标方程；〔2〕设圆与直线交于点，假设点的坐标为，求【答案】(1).(2).【解析】〔1〕由，可得，即．〔2〕将的参数方程代入圆的直角坐标方程，可得，即．由于，故可设，是方程的两个实根，由根与系数关系可得，，又直线过点，故．23..〔1〕当时，求不等式的解集；〔2〕假设时不等式成立，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：〔1〕当时，，即故不等式的解集为．〔2〕当时成立等价于当时成立．假设，那么当时；假设，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考察的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进展分类讨论，求得结果.。
高三数学下学期第一次模拟考试试题 理含解析 试题
宁夏六盘山高级中学2021届高三下学期第一次模拟考试制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学(理)试题一、选择题(本大题一一共12小题，一共60.0分)1.设集合，，那么中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】可求出集合，然后进展交集的运算即可求出，从而得出元素的个数．【详解】；∴；∴中元素的个数为2．应选：B．【点睛】考察描绘法、列举法的定义，以及交集的运算，集合元素的概念，熟记概念即可，属于根底题型.2.满足＝i(i为虚数单位)的复数z等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】得，应选B．3.函数的部分图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数为奇函数排除A；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案．【详解】函数的定义域为〔-∞，0〕∪〔0，+∞〕，且f〔-x〕=-f〔x〕，函数为奇函数，排除A；又当x→+∞时，y→+∞，排除B；而x＞0时，,可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数的部分图象大致为C．应选C．【点睛】此题考察函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等根底知识，考察逻辑推理才能、抽象概括才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题．4.向量，满足，，， ( )A. 6B. 4C.D.【答案】C【解析】【分析】由可求，然后由，代入即可求解【详解】∵，∴，∵，，∴，，应选：C．【点睛】此题主要考察了向量的数量积的性质的简单应用，熟记模的计算公式即可，属于根底试题．5.设的内角的对边分别是，假设，，，那么( )A. 1B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由利用二倍角的余弦函数公式可求的值，根据余弦定理即可解得的值．【详解】∵，，，∴，∴由余弦定理，可得：，可得：，∴解得：，或者(舍去)．应选：D．【点睛】此题主要考察了二倍角的余弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．6.双曲线与抛物线有一样的焦点，那么该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件求出双曲线的一个焦点为，可得关于的方程，求出，由此能求出双曲线的渐近线方程．【详解】∵抛物线的焦点为，∴双曲线的一个焦点为，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为．应选：A．【点睛】此题主要考察圆锥曲线的根本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进展了综合性考察．7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法.如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入n，x的值分别为4，2，那么输出v的值是A. 66B. 33C. 16D. 8【答案】A【解析】初始值，程序运行过程如下：,;;;;跳出循环，输出的值是,应选A.8.定义在上的函数，，设两曲线与在公一共点处的切线一样，那么值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.应选D.【点睛】本小题主要考察函数导数与切线，考察两个函数公一共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于根底题.9.中国古代数学名著?九章算术?中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为〔为弦长，为半径长与圆心到弦的间隔之差〕.〞据此计算，一个圆中弓形所对应的弦长，，质点随机投入此圆中，那么质点落在该弓形内的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圆中弓形面积为,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为可知：弓形的面积.设圆的半径为，那么，解得，所以圆的面积，所以质点落在弓形内的概率为,应选C.【点睛】此题主要考察“面积型〞的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：〔1〕不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；〔2〕根本领件对应的区域测度把握不准导致错误；〔3〕利用几何概型的概率公式时 , 无视验证事件是否等可能性导致错误.的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，那么所成的角的余弦值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：设的交点为，连接，那么为所成的角或者其补角；设正四棱锥的棱长为，那么，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．【此处有视频，请去附件查看】11.定义在上的奇函数满足，当时，，那么函数在区间上所有零点之和为( )A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】根据的奇偶性和对称性，推出函数的周期性，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，利用对称性进展求解即可．【详解】解：∵奇函数满足，∴，即是周期为4的周期函数，同时函数关于对称，∵假设，那么，∴即，，假设，那么，此时，，假设，那么，此时，，由得，作出函数与，在上的图象，由图象知两个函数图象有4个交点，且四个交点，两两关于点对称，设彼此对称的交点横坐标为，，，，那么，，得，，即，函数在区间上所有零点之和为8，应选：A．【点睛】此题主要考察函数与方程的应用，根据条件求出函数的周期，利用数形结合转化为两个函数的交点问题是解决此题的关键．12.点是抛物线上的一个动点，是圆：上的一个动点，那么的最小值为〔〕A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】由题意可知圆的圆心坐标，半径为1；抛物线的焦点，虚线为抛物线的准线；为点到虚线的间隔且，由抛物线的性质可知，.故可知。
高三数学下学期第一次模拟考试试题 理新人教版
2019届高三第一次模拟考试理科数学卷试题（时间120分钟，满分150分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1．已知集合{}220A x x x =+≤,(){}10B xx x =+>,则=⋂B A ( )A ．∅B ．()1,0-C ．(]1,0-D ．(]1,2-2．欧拉（Leonhard Euler,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，表示的复数54i eπ-在复平面内位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限3．已知△ABC 中，点D 为BC 中点，若向量()()1,2,2,3AB AC ==u u u r u u u r ，则AD DC ⋅u u u r u u u r=( )A ．2B ．4C ．2-D ．4-4．若直线0bx ay -=()0,0a b >>的倾斜角为60o，则双曲线22221x y a b-=的离心率为( )A ．2B ．3 C.5 D ．55．若[],2,2x y ∈-,则224x y +≤的概率为 ( )A ．14 B.12 C ．π8 D.π46．若函数ππ()sin()(0,0,,)22f x A x A x =+>>-<<∈R ωϕωϕ的部分图象如图所示,则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ) A ．1 B.1- C ．3 D.3- 7．如图所示,棱长为1的正方形网格中画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱长的和为( )A ．12B ．4+45C ．8+46D ．4+83 8．若01a b <<<,则1,,log ,log ba b aa b a b 的大小关系为( )A ．1log log ba b aab a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>>C ．1log log ba b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>>9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对(x ,y )所对应的点都在函数()bf x ax c x=++的图象上，则实数,,a b c 的值依次为( ) A ．1,2,2- B ．2,3-,2 C ．59,3,22- D ．311,,22-10．已知直线()0y t t =≠与曲线()220y p x p =>交于N M ,两点，若x 轴上存在关于原点对称的两点B A ,(A M ,均在y 轴右侧)，使得MN NB MA -+恒为定值2，则p =( )A ．1B ．2C ．3D ．411．在三棱锥A BCD -中，1,AB AC ==2DB DC ==，3AD BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球表面积为( ) A ．πB ．7π4C ．4πD ．7π12. 定义在R 上的函数()f x ，当[]0,2x ∈时，()()411f x x =--，且对任意实数()122,22,2n n x n N n +*⎡⎤∈--∈≥⎣⎦，都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，则a 的取值范围是( ) A. []2,10 B. 2,10⎡⎤⎣⎦C. ()2,10D.[)2,10二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分) 13．若()()2ln 1e4xaf x x =+-是偶函数，则数据3，6，8，a 的中位数是 . 14．成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示就是222a b c +=，可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数,,a b c 满足222a b c +=，我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数，下面给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，这几组勾股数有如下规律：第一个数是奇数m ,且第二个、第三个数都可以用含m 的代数式来表示，依此规律,当13m =时，得到的一组勾股数是 ．15．已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ,若存在()00,x y D ∈，使得()0011y k x +=+，则实数k 的取值范围是 . 16．四边形ABCD 中22AD AB ==,CB CD ⊥，2BC CD BD +≥，则四边形ABCD 面积的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）(一)必考题：共60分17．（本小题满分12分）已知()12112n n n S na n a a a -=+-+++L .(1)若{}n a 是等差数列,且15S =,218S =,求n a ； (2)若{}n a 是等比数列,且123,15S S ==,求n S .18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱-'''ABC ABC ，=90BAC ∠︒，=='AB AC AA λ， 点,M N 分别为'AB 和''BC的中点. （Ⅰ）证明：//''MN AACC平面； （Ⅱ）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值.19． （本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数（人） x30 25 y10 结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，将频率视为概率. （Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.20．(本题满分12分) 已知圆2220x y x +-=关于椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，已知O 为坐标原点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点P 在椭圆C 上，求k 的值及平行四边形OAPB 的面积. 21．（本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++,其中常数0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知1a =,()f x 在()0x t t =>处的切线为()y g x =,求证：当()02x t t ⎛--> ⎝⎭时,()()()0x t f x g x -->⎡⎤⎣⎦恒成立. (二)选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为222cos24sin 3ρθρθ+=.(1)求出直线l 的普通方程及曲线1C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，点C 是曲线1C 上与A ，B 不重合的一点，求∆ABC 面积的最大值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x x x =-++．(Ⅰ)若不等式()|1|f x m ≥+恒成立，求实数m 的最大值M ； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若正数,,a b c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++．2019年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷班级： 姓名： 座号：第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,9,27A =，{}3log ,B y y x x A ==∈，则A B =I ( )A ．{}13，B ．{}139，，C ．{}3927，，D ．{}13927，，， 2. 已知复数z 满足2zi i =--（i 为虚数单位），则z = ( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．53. 已知等差数列{}n a 的首项1a 和公差d 均不为零，且2a ，4a ，8a 成等比数列， 则15923+++a a a a a = ( ) A ．6 B ． 5 C ． 4 D ．34. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如右上图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB 、CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A ．112 B ． 18C ．16D ．524 5. 已知直线m ⊥平面α，则“直线n m ⊥”是“n α∥”的 ( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件6. 已知圆C ：223x y +=，点(0,23)A -，(,23)B a ．从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围为( )A ．(,23)(23,)-∞-+∞UB ．(,4)(4,)-∞-+∞UC ． (,2)(2,)-∞-+∞UD ．(4,4)-7.将函数()2cos 23sin f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为 ( ) A ．6π B ． 3π C ．23π D ．56π8. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A ．13B ．23C ．12D ．349.定义123nnp p p p ++++L 为n 个正数123,,,,n p p p p L 的“均倒数”．若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12233410111111b b b b b b b b ++++=L ( ) A ．111 B ．109 C ．1110 D ．121110.已知向量a r ，b r 满足+3a b =r r ，2a b -=r r ，则+a b r r的取值范围是 ( )A ．[2,3]B ．[3,4]C ．[2,13]D ．[3,13] 11.已知MOD 函数是一个求余函数，记(,)MOD m n 表示m 除以 n 的余数，例如(8,3)2MOD =．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为56，则输出的值为 ( ) A ．6 B ． 7 C ．8 D ．9 12.已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则关于x 的方程(())f f x t =，给出下列五个命题：①存在实数t ，使得该方程没有实根； ②存在实数t ，使得该方程恰有1个实根；③存在实数t ，使得该方程恰有2个不同实根； ④存在实数t ，使得该方程恰有3个不同实根； ⑤存在实数t ，使得该方程恰有4个不同实根．其中正确的命题的个数是 ( ) A ．4 B ． 3 C ．2 D ．1 二、填空题（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.设0.63.152,0.5,sin6a b c π-===，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”连接) 14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ；15.设1F 、2F 分别是双曲线()222210,0 x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，12PF F ∆的面积为9，且7a b +=，则该双曲线的离心率为 ；16.已知函数11()3sin()22f x x x =+-+，则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+= ；三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分.17. (本小题满分12分) 已知函数23()3sin()sin()cos 12f x x x x π=-+-+． (Ⅰ)求函数() f x 的递增区间；(Ⅱ)若ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，3()2f A =，22AD BD ==，求cos C ．18. (本小题满分12分)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为950元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中浮动比率是在基准保费上上下浮动）：年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 1A 2A3A 4A5A6A数量105520155(Ⅰ)求这60辆车普通6座以下私家车在第四年续保时保费的平均值（精确到0.1元） (Ⅱ)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致．试完成下列问题：①若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选3辆车，求这3辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，4PA AB BC ===，90ABC ∠=o ，43PC =，D 为线段AC 的中点，E 是线段PC上一动点． （1）当DE AC ⊥时，求证：PA ∥面DEB ； （2）当BDE ∆的面积最小时，求三棱锥E BCD -的体积．20. (本小题满分12分)已知一定点(0,1)F ，及一定直线l ：1y =-，以动点M 为圆心的圆M 过点F ，且与直线l 相切．(Ⅰ)求动点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设P 在直线l 上，直线PA ，PB 分别与曲线C 相切于A ，B ，N 为线段AB 的中点．求证： 2AB NP =，且直线AB 恒过定点．21. (本小题满分12分) 已知函数()sin cos f x x x x =+.(Ⅰ)若(0,2)x π∈，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若0x >，记i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，证明：222223411111+9n x x x x +++<L （2n n N *≥∈，）．(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4—4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知直线l的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-．(Ⅰ) 求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ) 设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求OA OB ⋅的值．23.选修4-5：不等式选讲 (本小题满分10分)设函数()1f x x x a =++-．(Ⅰ)当2a =时，求不等式()5f x >的解集；(Ⅱ)对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．2019年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） {3log ,0,1,2,3B y x x A ==∈=，则1,3A B =I ，故应选A ．2. D 【解析】：∵2zi i =--，∴12z i =-+，∴5z =，故应选D ．3. D 【解析】：∵2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++，∴21d a d =，又0d ≠，10a ≠，∴1d a =，∴11(1)0n a a n d na =+-=≠，∴1591112311+++5+93+2+3a a a a a a a a a a ==，故应选D ．4. C 【解析】：设2AB =，则1BG =，5AG =，故多边形AEFGHID 的面积155222122S =⨯⨯+⨯⨯=，∵2sin cos 5AB EAB GAB AG ∠=∠==，∴112sin 522225S AE AB EAB =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=阴影部分，故所求概率为21126P ==．故应选C ． 5. B 【解析】： 由m ⊥α，n m ⊥推不出n α∥（可能n α⊂），由m ⊥α，n α∥能推出n m ⊥； 6. B 【解析】：点B 在直线23y =上，过点(0,23)A -作圆的切线，设该切线的斜率为k ，则该切线的方程为23y kx =-，即230kx y --=．由圆心到切线的距离等于半径得：22331k =+，∴3k =±，∴该切线的方程为323y x =±-，它和直线23y =的交点为(4,2)-、(4,2)．故要使视线不被圆C挡住，则实数a 的取值范围为(,4)(4,)-∞-+∞U ，故应选B ．（或作出图形，利用平几法，求相关线段）7. C 【解析】：∵()2cos 23sin 4cos()3f x x x x π=-=+向左平移ϕ（0ϕ>）单位后得到函数()g x =4cos()3x πϕ++，又()g x 为偶函数，故3k πϕπ+=，k Z ∈，故3k πϕπ=-+，k Z ∈，故min 23πϕ=，故应选C ． 8. A 【解析】：抠点法:在长方体1111ABCD A B C D -中抠点，①由正视图可知：11C D 上没有点； ②由侧视图可知：11B C 上没有点； ③由俯视图可知：1CC 上没有点；④由正（俯）视图可知：,D E 处有点，由虚线可知,B F 处有点，A 点排除．由上述可还原出四棱锥1A BEDF -，如右上图所示，∴111BEDF S =⨯=，∴1111133A BEDF V -=⨯⨯=．故选A .9. C 【解析】：依题意得：121n n S n =+，∴22n S n n =+，故可得41n a n =-，∴14n n a b n +==，11111(1)1n n b b n n n n +==-++，再由裂项求和法，可得1223341011111111011111b b b b b b b b ++++=-=L ，故应选C ．10. D 【解析】：∵+3a b =r r ，2a b -=r r ，∴2(+)9a b =r r ，2()4a b -=r r ，∴22(+)()13a b a b +-=r r r r ，∴2213+2a b =r r ，∴2213+2a b =r r ，∴2213+22a b a b =≥r r r r ，（当且仅当13a b ==r r 时，等号成立），∴2222(+)13()a b a b =≥+r r r r ，∴13a b +≤r r ，又a b a b +≥±r r r r ，∴3a b +≥r r，故应选D ．11. B 【解析】：此框图的功能是求56大于1的约数的个数，其约数有2，4，7，8，14，28，56，共有7个，故应选B ．12. B 【解析】：设()m f x =，则()f m t =，先作出2,0(),0m m f m m m ⎧≥=⎨-<⎩的图象，及直线y t =，结合图象可以看出：①当0t <时，m 不存在，从而x 不存在；②当0t =时，0m =，则0x =，原方程有唯一根；③当01t <<时，则存在唯一负数m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线y m =，结合图象，可以看出：x 不存在；④当1t ≥时，则存在一个负数1m 或一个非负数2m 与之对应，再作出2,0()0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，的图象，及直线i y m =（1,2i =），结合图象，可以看出：⑴对于负数1m ，没有x 与之对应，⑵当21m ≥时，则有两个不同的x 与之对应，⑶当201m <<时，则有唯一的x 与之对应，综上所述：原方程的根的情况有：无实根，恰有1实根，恰有2实根，从而可得①、②、③正确．故应选B ．二、填空题：（本题共 4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. b c a << 【解析】∵0.6 3.1 3.1152,0.52,sin26a b c π---=====， 3.110.6-<-<-，∴b c a <<；14.3 【解析】：画出可行域后可得最优解为(1,1)P -，故max 3z =； 15.54【解析】：由1212222121824PF PF PF PF a PF PF c ⎧⋅=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩u u u r u u u u r u u ur u u u u r u u u r u u u 得：29b =，故3b =，又7a b +=，∴4a =，∴5c =，∴54e =； 16.2018【解析】：∵11()3sin()22f x x x =+-+，∴1111(1)13sin()13sin()2222f x x x x x -=-+-+=---+，∴()(1)2f x f x +-=，又设1232018()()()()2019201920192019S f f f f =+++⋅⋅⋅+，则20183()()20192019S f f =+⋅⋅⋅+ 21()()20192019f f ++，∴1201822017320162[()()][()()][()()]201920192019201920192019S f f f f f f =++++++⋅⋅⋅ 20181[()()]22222201820192019f f ++=++++=⨯L ，∴2018S =． 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分. 17. (本小题满分12分) 解：(Ⅰ)∵23()3sin()sin()cos 12f x x x x π-+-+=231cos23sin cos sin 22x x x x x -⋅+=+ 1sin(2)62x π=-+，………3分，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，∴63k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数() f x 的递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈，………6分； (Ⅱ) ∵3()2f A =，∴13sin(2)622A π-+=，∴sin(2)16A π-=，又0A π<<，∴112666A πππ-<-<， ∴262A ππ-=，∴3A π=，又AD 平分BAC ∠，∴6BAD π∠=，……8分；又22AD BD =，又由 正弦定理得：sin sin BD ADBAD B =∠22sin sin 6B =，∴2sin 2B =，又203B π<<，∴=4B π；……10分∴()34C πππ=-+，∴123262cos cos()()342C ππ-=-+=-=．……12分18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)这60辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为105520155119(0.9+0.8+0.7+1+ 1.1+ 1.3)950950942.1606060606060120⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯≈元；…5分 (Ⅱ) ①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌车龄已满三年的二手车中有2辆事故车，设为a ，b ，4辆非事故车，设为1，2，3，4．从这6辆车中随机挑选3辆车的情况有(,,1)a b ，(,,2)a b ，(,,3)a b ，(,,4)a b ，(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ，(,1,2)b ，(,1,3)b ， (,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种情况．…6分其中3辆车中恰好有一辆为事故车的情况有：(,1,2)a ，(,1,3)a ，(,1,4)a ，(,2,3)a ，(,2,4)a ，(,3,4)a ，(,1,2)b ，(,1,3)b ，(,1,4)b ，(,2,3)b ，(,2,4)b ，(,3,4)b ，共12种．…7分，故该顾客在店内随机挑选3辆车，这3辆车中恰好有一辆事故车的概率为123=205.…9分， ②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利的平均值为1[(5000)401000080]5000120-⨯+⨯=(元)．…12分19. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)在直角ABC ∆中，90ABC ∠=o，4AB BC ==，∴42AC =， 又∵ 在PAC ∆中，4PA =，42AC =，43PC =，∴222PC PA AC =+，∴PA AC ⊥…3分，又DE AC ⊥，∴PA DE ∥，又PA ⊄面DEB ，DE ⊂ 面DEB ，∴PA ∥面DEB …6分(Ⅱ)∵PA AC ⊥，PA AB ⊥，AB AC A =I ，∴PA ⊥面ABC ，又DB ⊂面ABC ，∴PA DB ⊥， 又∵AB BC =，AD DC =，∴DB AC ⊥，又PA AC A =I ，∴DB ⊥面PAC ，又DE ⊂面PAC ， ∴DB DE ⊥，…9分，又1222DB AC ==，∴当DE 最小时，BDE ∆的面积最小，又当DE PC ⊥时，DE 最小，故此时126sin 22243PA DE DC PCA AC PC ==⨯=⨯=，∴cos ACEC DC PCA PC =⨯===∴112233DEC S DE EC ∆=⨯==，又DB ⊥面PAC ，∴11163339E BCD B CDE CDE V V S BD --∆==⨯=⨯= ……12分．20. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵圆M 过点F ，且与直线l 相切，∴点M 到点F 的距离等于点M 到直线l 的距离，∴点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点，以直线l ：1y =-为准线的一抛物线，∴12p=即2p =，∴动点M 的轨迹C 的方程为24x y =；…4分(Ⅱ)依题意可设0(,1)P x -，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，…5分，又24x y =，∴214y x =，∴12y x '=， ∴切线PA 的斜率1112k x =，∴切线PA ：211111()42y x x x x -=-，即211240x x y x --=，…6分， 同理可得：切线PB 的斜率2212k x =，PB ：222240x x y x --=，…7分，又0(,1)P x -，∴21012+40x x x -=且22022+40x x x -=，故方程202+40x x x -=即20240x x x --=有两根1x ，2x ，∴124x x =-，…8分， ∴1212121111224k k x x x x =⨯==-，∴PA PB ⊥，…9分，又N 为线段AB 的中点，∴2AB NP =…10分，又由21012+40x x x -=得：21101+1024x x x -=，即1011+102x x y -=，同理可得：2021+102x x y -=， 故直线AB 的方程为01+102x x y -=…11分，故直线AB 恒过定点(0,1)F ．…12分．21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ∵()sin cos f x x x x =+，02x π<<，∴()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，02x π<<…1分令()0f x '=，则2x π=或32x π=，…2分，∴当02x π<<或322x ππ<<时，()0f x '>，当322x ππ<<时，()0f x '<，∴()f x 在(0,)2π上递增，在3(,)22ππ上递减，()f x 在3(,2)2ππ上递增，∴当2x π=时，()f x取得极大值，()()22f x f ππ==极大值，当32x π=时，()f x 取得极小值，33()()22f x f ππ==-极小值；…5分(Ⅱ)∵i x 为()f x 的从小到大的第i （i N *∈）个极值点，又令()0f x '=，0x >，则(21)2i i x π-=， i N *∈，…6分，∴222221441(21)(21)1i x i i ππ=<⨯---2222(22)i i π=⨯-2111()1i iπ=⨯--，2i ≥，i N *∈，…9分， ∴22222341111+n x x x x +++L 22111111111111[()()()()]()12233411n n n ππ<-+-+-++-=⨯--L 2119π<<．…12分．22. (本小题满分10分) 解：(Ⅰ)∵直线l的参数方程为1x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数），∴直线l的普通方程为1)y x =-，即y =，∴直线l 的极坐标方程：=3πθ…2分；又∵曲线C 的极坐标方程为24cos sin 4ρρθθ=+-，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2244x y x +=+-，即22(2)(3x y -+=，∴曲线C的直角坐标方程为22(2)(3x y -+=，…5分；(Ⅱ)∵将直线l ：=3πθ代入曲线C的极坐标方程：24cos sin 4ρρθθ=+-得：2540ρρ-+=，…7分；设直线l 与曲线C 的两交点,A B 的极坐标分别为11(,)A ρθ，22(,)B ρθ，∴124ρρ=，…8分； ∴12124OA OB ρρρρ⋅=⋅==的值．…10分．23．解：(Ⅰ)∵()1f x x x a =++-，∴当2a =时，21,1()123,1221,2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩，…2分；又()5f x >，∴1215x x <-⎧⎨-+>⎩或1235x -≤≤⎧⎨>⎩或2215x x >⎧⎨->⎩，…3分；∴12x x <-⎧⎨<-⎩或x ∈∅或23x x >⎧⎨>⎩， ∴2x <-或3x >，…4分；∴()5f x >的解集为(,2)(3,)-∞-+∞U ；…5分；(Ⅱ) ∵()11f x x x a a =++-≥+（当且仅当(1)()0x x a +-≤时，等号成立），…6分； ∴min ()1f x a =+…7分；又对任意实数x ，都有()3f x ≥恒成立，∴min ()3f x ≥，…8分；∴13a +≥，∴13a +≥或13a +≤-，∴2a ≥或4a ≤-．…9分；故实数a 的取值范围为2a ≥或4a ≤-．…10分．。
高三数学第一次模拟考试试卷(理科)答案和解析
高三第一次阶段性模拟测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）)1. 设集合Q ={x|2x 2−5x ≤0, x ∈N}，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是( ) A.3B.4C.7D.82. 下列判断正确的是（ ）A.若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B.命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”C.“sinα=12”是“α=π6”的充分不必要条件D.命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”3. 若函数y =ax 与y =−bx 在(0, +∞)上都是减函数，则y =ax 2+bx 在(0, +∞)上是（ ） A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增4. 三个数60.7，0.76，log 0.76的从小到大的顺序是（ ） A.log 0.76<0.76<60.7 B.0.76<60.7<log 0.76 C.log 0.76<60.7<0.76D.0.76<log 0.76<60.75. 函数f(x)＝a x−1a(a >0, a ≠1)的图象可能是（ ）A.B.C. D.6. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x <1}，B ＝{x|log 3x >0}，则A ∩(∁U B)＝（ ） A.{x|x >1}B.{x|x >0}C.{x|0<x <1}D.{x|x <0}7. 已知p:|m +1|<1，q ：幂函数y ＝(m 2−m −1)x m 在(0, +∞)上单调递减，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y =10lgx 的定义域和值域相同的是（ ） A.y =xB.y =lgxC.y =2xD.y =√x9. 已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x +4)=f(x)，当x ∈(0, 2)时，f(x)=2x 2，则f(2 019)等于( ) A.−2B.2C.−98D.9810. 已知函数f(x)={x 2+x,x ≥0−3x,x <0 ，若a[f(a)−f(−a)]>0，则实数a 的取值范围为（ ）A.(1, +∞)B.(2, +∞)C.(−∞, −1)∪(1, +∞)D.(−∞, −2)∪(2, +∞)11. 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是（ ） A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]12. 设函数f(x)={2−x ，x ≤0，1,x >0，则满足f(x +1)<f(2x)的x 的取值范围是（ ）A.(−∞, −1]B.(0, +∞)C.(−1, 0)D.(−∞, 0)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）) 13. 已知复数z ＝3−4i ，则|z|z=________．14. 函数f(x)=√4−4x +ln(x +4)的定义域为________． 15. 若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0, m]，值域为[−254, −4]，则m 的取值范围是________．16. 已知函数f(x)={√x +1,−1<x <0,2x,x ≥0若实数a 满足f(a)＝f(a −1)，则f(1a )＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）)17. 已知命题p ：方程x 2+mx +1＝0有两个不相等的负实根，命题q ：不等式4x 2+4(m −2)x +1>0的解集为R ，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18. 计算以下式子的值： （1）2lg2+lg25； （2）(1−log 63)2+log 62⋅log 618log 64；（3）(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5．19. 已知函数f(x)＝x 2+(2a −1)x −3．（1）当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，求函数f(x)的值域．（2）若函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，求实数a 的取值范围． 20. 已知f(x)＝log a 1+x1−x (a >0, a ≠1)． （1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；（3）求使f(x)>0的x 取值范围．21. 已知幂函数f(x)=x (m2+m)−1(m ∈N ∗)，经过点(2, √2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2−a)>f(a −1)的实数a 的取值范围．22. 已知直线l 的参数方程为{x =−2+tcosαy =tsinα （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sinθ−2cosθ． （1）求曲线C 的参数方程；（2）当α=π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分） 1. 【答案】 D【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】解出集合Q ，再根据P ⊆Q ，根据子集的性质，求出子集的个数即为集合P 的个数. 【解答】解：集合Q ={x|2x 2−5x ≤0, x ∈N}={x|0≤x ≤52, x ∈N}，∴ Q ={0, 1, 2}，共有三个元素， ∵ P ⊆Q .又Q 的子集的个数为23=8， ∴ P 的个数为8. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】直接利用命题真假的判定，充分条件和必要条件，命题的否定，真值表的应用判定A 、B 、C 、D 的结果． 【解答】对于选项A ：若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为假命题． 对于选项B ：命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”真命题． 对于选项C ：“sinα=12”是“α=π6”的必要不充分条件，假命题．对于选项D ：命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”假命题． 3. 【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明【解析】根据y =ax 与y =−bx 在(0, +∞)上都是减函数，得到a <0，b <0，对二次函数配方，即可判断y =ax 2+bx 在(0, +∞)上的单调性． 【解答】解：∵ y =ax 与y =−bx 在(0, +∞)上都是减函数， ∴ a <0，b <0，∴ y =ax 2+bx 的对称轴方程x =−b 2a<0，∴ y =ax 2+bx 在(0, +∞)上为减函数． 故选B . 4. 【答案】 A【考点】利用不等式比较两数大小 【解析】由函数y ＝6x ，y ＝0.7x 和y ＝log 0.7x 单调性，可得60.7>1，0<0.76<1，log 0.76<0，进而可得答案． 【解答】因为指数函数y ＝6x 单调递增，故60.7>60＝1，同理因为指数函数y ＝0.7x 单调递减，故0<0.76<0.70＝1， 又因为对数函数y ＝log 0.7x 单调递减，故log 0.76<log 0.71＝0， 故log 0.76<0.76<60.7， 5. 【答案】 D【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点(−1, 0)，问题得以解决． 【解答】当0<a <1时，函数f(x)＝a x −1a ，为减函数，当a >1时，函数f(x)＝a x −1a，为增函数，且当x ＝−1时f(−1)＝0，即函数恒经过点(−1, 0)，6.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先化简集合A、B，求出∁U B，然后借助数轴即可求得答案．【解答】A＝{x|x<0}，B＝{x|x>1}，则∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<0}，7.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】分别化简p，q，再根据充分必要条件的定义即可判断．【解答】p:|m+1|<1等价于−2<m<0，∵幂函数y＝(m2−m−1)x m在(0, +∞)上单调递减，∴m2−m−1＝1，且m<0，解得m＝−1，∴p是q的必要不充分条件，8.【答案】D【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法【解析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为(0, +∞)，函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为(0, +∞)，值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为(0, +∞)，不满足要求；函数y=√x的定义域和值域均为(0, +∞)，满足要求；故选D.9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用【解析】求出函数的周期，转化所求函数值为已知条件，求解即可．【解答】解：f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，可得函数的周期为：4，f(2 019)=f(2016+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)．当x∈(0, 2)时，f(x)=2x2，f(2 019)=−f(1)=−2×12=−2．故选A．10.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断分段函数的应用【解析】结合已知的函数的解析式，分别求出a>0和a<0时的情况下不等式的解集，即可得到答案．【解答】当a>0时，不等式a[f(a)−f(−a)]>0化为a2+a−3a>0，解得a>2，当a<0时，不等式a[f(a)−f(−a)]>0化为−a2−2a<0，解得a<−2，综上所述a的取值范围为(−∞, −2)∪(2, +∞)，11.【答案】D【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性．【解答】解：∵ 函数f(x)为奇函数． 若f(1)=−1，则f(−1)=1，又∵ 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，−1≤f(x −2)≤1， ∴ f(1)≤f(x −2)≤f(−1)， ∴ −1≤x −2≤1， 解得：x ∈[1, 3]， 故选D . 12. 【答案】 D【考点】分段函数的应用函数单调性的判断与证明 【解析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可． 【解答】解：函数f(x)={2−x ，x ≤0，1,x >0的图象如图：满足f(x +1)<f(2x)，可得：2x <0<x +1或2x <x +1≤0， 解得x ∈(−∞, 0)． 故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 【答案】35+45i 【考点】 复数的运算 【解析】由已知求得|z|，代入|z|z ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】∵ z ＝3−4i ，∴ |z|＝|z|=√32+(−4)2=5， 则|z|z =53−4i =5(3+4i)(3−4i)(3+4i)=35+45i ． 14. 【答案】 (−4, 1]【考点】函数的值域及其求法 【解析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【解答】由{4−4x ≥0x +4>0，解得−4<x ≤1．∴ 函数f(x)=√4−4x +ln(x +4)的定义域为(−4, 1]． 15. 【答案】 [32, 3] 【考点】二次函数的性质 【解析】根据函数的函数值f(32)=−254，f(0)=−4，结合函数的图象即可求解 【解答】解：∵ f(x)=x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴ f(32)=−254，又f(0)=−4， 故由二次函数图象可知：m 的值最小为32，最大为3．m 的取值范围是：32≤m ≤3．故答案为：[32, 3].16. 【答案】 8【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】分析可得函数f(x)在(−1, 0)和区间[0, +∞)上都是增函数，进而分析可得若实数a 满足f(a)＝f(a −1)，必有a >0，且有2a =√a ，解可得a 的值，结合解析式求出f(1a )的值即可得答案． 【解答】根据题意，f(x)={√x +1,−1<x <0,2x,x ≥0其定义域为(−1, +∞)，则函数f(x)在(−1, 0)和区间[0, +∞)上都是增函数， 当a ≥1时，有2a ＝2(a −1)，无解； 当−1<a <0时，无解；若实数a 满足f(a)＝f(a −1)，必有−1<a −1<0且1>a >0，且有2a =√a ，解可得a =14，则f(1a)＝f(4)＝8，故f(1a )＝8，三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. 【答案】令f(x)＝x 2+mx +1，若命题p 真，则有{△=m 2−4>0−m2<0f(0)>0，解得 m >2． 若命题q 真，则有判别式△′＝[4(m −2)]2−16<0，解得 1<m <3．根据p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，可得命题p 和命题q 一个为真，另一个为假． 当命题p 为真、命题q 为假时，m ≥3． 当命题p 为假、命题q 为真时，1<m ≤2． 综上可得，m 的取值范围为[3, +∞)∪(1, 2]． 【考点】复合命题及其真假判断 一元二次不等式的应用一元二次方程的根的分布与系数的关系 【解析】若命题p 真，则有 {△=m 2−4>0−m2<0f(0)>0，解得 m >2；若命题q 真，则有判别式△′＝[4(m −2)]2−16<0，解得 1<m <3．分命题p 为真、命题q 为假，以及命题p 为假、命题q 为真两种情况，分别求出m 的取值范围，取并集即得所求． 【解答】令f(x)＝x 2+mx +1，若命题p 真，则有{△=m 2−4>0−m2<0f(0)>0，解得 m >2． 若命题q 真，则有判别式△′＝[4(m −2)]2−16<0，解得 1<m <3．根据p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，可得命题p 和命题q 一个为真，另一个为假． 当命题p 为真、命题q 为假时，m ≥3． 当命题p 为假、命题q 为真时，1<m ≤2． 综上可得，m 的取值范围为[3, +∞)∪(1, 2]． 18. 【答案】原式＝lg4+lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2；原式=(log 66−log 63)2+log 62⋅log 61821og 62=(log 62)2+log 62⋅log 61821og 62=log 62(log 62+log 618)21og 62=log 6362=1； 原式=1+14⋅23−0.1=910+16=1615． 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 对数的运算性质 【解析】（1）进行对数的运算即可； （2）进行对数的运算即可； （3）进行指数的运算即可． 【解答】原式＝lg4+lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2； 原式=(log 66−log 63)2+log 62⋅log 61821og 62=(log 62)2+log 62⋅log 61821og 62=log 62(log 62+log 618)21og 62=log 6362=1；原式=1+14⋅23−0.1=910+16=1615．19. 【答案】当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，函数f(x)＝x 2+(2a −1)x −3＝x 2+3x −3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f(x)的值域为[−214, 15]．若函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴ a ≥32，即实数a 的范围为[32, +∞)【考点】函数单调性的性质与判断 二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，利用二次函数的性质求得函数f(x)的值域． （2）由函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，可得1−2a 2≤−1，由此求得a 的范围．【解答】当a ＝2，x ∈[−2, 3]时，函数f(x)＝x 2+(2a −1)x −3＝x 2+3x −3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f(x)的值域为[−214, 15]．若函数f(x)在[−1, 3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴ a ≥32，即实数a 的范围为[32, +∞)20. 【答案】由对数函数的定义知1+x 1−x >0．如果{1+x >01−x >0，则−1<x <1；如果{1+x <01−x <0，则不等式组无解．故f(x)的定义域为(−1, 1)∵ f(−x)=log a 1−x 1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f(x)为奇函数．(ⅰ)对a >1，log a 1+x1−x >0等价于1+x1−x >1，①而从（1）知1−x >0，故①等价于1+x >1−x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0, 1)时有f(x)>0．(ⅱ)对0<a <1，log a 1+x 1−x>0等价于0<1+x 1−x<1．②而从（1）知1−x >0，故②等价于−1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(−1, 0)时有f(x)>0．【考点】函数奇偶性的性质与判断 对数函数的定义域 【解析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f(−x)和f(x)的关系，注意到1+x1−x 和1−x1+x 互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f(−x)+f(x)＝0得到．（3）由对数函数的图象可知，要使f (x)>0，需分a >0和a <0两种境况讨论． 【解答】由对数函数的定义知1+x1−x >0．如果{1+x >01−x >0，则−1<x <1； 如果{1+x <01−x <0 ，则不等式组无解．故f(x)的定义域为(−1, 1)∵ f(−x)=log a 1−x 1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f(x)为奇函数．(ⅰ)对a >1，log a 1+x 1−x >0等价于1+x1−x >1，①而从（1）知1−x >0，故①等价于1+x >1−x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0, 1)时有f(x)>0．(ⅱ)对0<a <1，log a 1+x1−x >0等价于 0<1+x1−x <1．②而从（1）知1−x >0，故②等价于−1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(−1, 0)时有f(x)>0． 21. 【答案】∵ 幂函数f(x)经过点(2, √2)， ∴ √2=2(m 2+m)−1，即212=2(m2+m)−1∴ m 2+m ＝2．解得m ＝1或m ＝−2． 又∵ m ∈N ∗，∴ m ＝1．∴ f(x)=x 12，则函数的定义域为[0, +∞)，并且在定义域上为增函数． 由f(2−a)>f(a −1)得{2−a ≥0a −1≥02−a >a −1 解得1≤a <32．∴ a 的取值范围为[1, 32)． 【考点】 幂函数的性质 【解析】先根据幂函数的定义求出m 的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可． 【解答】∵ 幂函数f(x)经过点(2, √2)， ∴ √2=2(m 2+m)−1，即212=2(m2+m)−1∴ m 2+m ＝2．解得m ＝1或m ＝−2． 又∵ m ∈N ∗，∴ m ＝1．∴ f(x)=x 12，则函数的定义域为[0, +∞)，并且在定义域上为增函数． 由f(2−a)>f(a −1)得{2−a ≥0a −1≥02−a >a −1 解得1≤a <32．∴ a 的取值范围为[1, 32)．22. 【答案】由ρ＝2sinθ−2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ−2ρcosθ．把{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2代入可得：曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2＝2y −2x ， 标准方程为(x +1)2+(y −1)2＝2． 曲线C 的直角坐标方程化为参数方程为{x =−1+√2cosφy =1+√2sinφ（φ为参数）．当α=π4时，直线l 的方程为{x =−2+√22t y =√22t化成普通方程为y ＝x +2．联立{x 2+y 2=2y −2xy =x +2，解得{x =0y =2 ，或{x =−2y =0 ．利用{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2可得：直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2, π2)，(2, π)．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）由ρ＝2sinθ−2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ−2ρcosθ．把{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2代入可得：曲线C 的直角坐标方程．利用cos 2φ+sin 2φ＝1即可标准曲线C 的直角坐标方程化为参数方程．（2）当α=π4时，直线l 的方程为{x =−2+√22t y =√22t，化成普通方程为y ＝x +2．与圆的方程联立解出，进而化为极坐标． 【解答】由ρ＝2sinθ−2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ−2ρcosθ．把{x =ρcosθy =ρsinθ ，ρ2＝x 2+y 2代入可得：曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2＝2y −2x ， 标准方程为(x +1)2+(y −1)2＝2． 曲线C 的直角坐标方程化为参数方程为{x =−1+√2cosφy =1+√2sinφ（φ为参数）．当α=π4时，直线l 的方程为{x =−2+√22ty =√22t化成普通方程为y ＝x +2．联立{x 2+y 2=2y −2xy =x +2，解得{x =0y =2 ，或{x =−2y =0 ．利用{x =ρcosθy =ρsinθ，ρ2＝x 2+y 2可得：直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2, π2)，(2, π)．。
高三数学理科第一次模拟考试试卷及答案
大同市高三年级第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷1至3页,第II卷4至7页.2. 回答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在机读卡上.3. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本雕和答4. 回答第II卷时，将答案写在答题纸相应位置上.写在本试卷上无效.5. 考试结束后，将本试卷、机读卡和答题纸一并交回.参考公式：样本数据x1，x2，…，X x n的标准差锥体体积公式其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积、体积公式其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第I卷选择题(共60分）一、选择题：本大题共12题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.1.已知l为实数集，，则=A. B. C. D.2. 复数的值是A. B. C. D.3. 下列说法错误的是A. 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系：B. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；D. 在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好4. 下列判断错误的是A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题“”的否定是“”C. 若为假命题,则p, q均为假命题D. 若则=15. 在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于A. 16B. 32C. 64D. 2566. 已知向量,,，则=A. B. C. 5 D. 257. 已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则/(X)的取值范围是A. B. C. D.8. 如果执行右面的程序框图，那么输出的t=A. 96B. 120C. 144D. 3009. 定义在R上的函数满足且吋，,,则=A. 1B.C. -1D.10. 某几何体的直观图如右图所示，则该几何体的侧（左）视图的面积为A. B.C. D.11. 已知定义在及上的函数满足，且，，若有穷数列第II卷非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，毎小题5分，共20分，将答案填在答题卷相应位置上。
高三数学下学期一模考试试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期高三年级一模考试数学〔理科〕试卷 第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕 1.全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，那么RAB =〔〕A.{1,1}- B.{0,1} C.{0,1,5}D.}1,0,1{- 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简集合B,再求RAB 得解.【详解】由题得B={x|x≥2或者x≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<，所以{0,1}RA B =.应选：B【点睛】此题主要考察集合的交集和补集运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.假设复数z 满足(1i)|1|z +=+，那么在复平面内z 的一共轭复数对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数z和z,再求出在复平面内z的一共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)iz ii i-===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的一共轭复数对应的点为〔1,1〕，在第一象限.应选：A【点睛】此题主要考察复数的模和复数的除法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.3.某单位一共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，那么青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为〔〕A.25B.35C.2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组一共有人,这六人中抽取两人的根本领件一共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，根本领件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，应选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2021年第一季度五GDP情况图，那么以下陈述中不正确的选项是〔〕A.2021年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是.B.与去年同期相比，2021年第一季度的GDP总量实现了增长.C.去年同期的GDP总量不超过4000亿元.D.2021年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的只有1个.【答案】D 【解析】分析：解决此题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，根据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的有均第一；均第四，一共2个.故D 错误. 应选D.点睛：此题考察条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点,直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点,那么||||1PQ PF +的最小值为()A.1B.25+C.45+D.122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，那么12PF PQ PF PQ +=+d ≥〔d 为点2F 到渐近线0x -=的1=〕，即1PF PQ +的最小值为122+；应选D.点睛：此题考察双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或者双曲线的点到两焦点的间隔问题时，往往利用椭圆或者双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的间隔合理转化到另一个焦点间的间隔. 6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成〔锐〕二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB 〔〕A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】 【分析】 以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，那么(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 平面AMN 与平面ABC 所成〔锐)二面角为6π， 2||1cos6||||m n m n a π∴==+，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，BM a ==，tan AB AMB BM ∴∠== 3AMB π∴∠=．【点睛】此题考察角的大小的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．7.函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如下列图，那么a ω可取〔〕 A.2πB.πC.2πD.4π【答案】B 【解析】分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Zπϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==． 因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故cos 012a aπ==，所以21=a ． 综上()21k aωπ=+，k ∈N ，应选B ．点睛：此题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的才能，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或者取值范围． 8.九章算术中描绘的“羡除〞是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，那么该羡除的体积为〔〕 A.20B.24C.28D.32【解析】 【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为： 由三视图可得：,4,2,6EFBC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的间隔为4d =，,AD BC 间的间隔为3.如以下列图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,FAGHB E IDCJ--为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，那么棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形. 又()114123632F AGHBE IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=；1243122FGH EIJV -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.应选A.【点睛】此题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规那么几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规那么的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,那么c b b c +的最大值是〔〕A.8B.6C. D.4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高〞容易联想到面积，11262a a ⨯=bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时获得最大值4，应选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合条件灵敏转化边和角之间的关系，利用根本不等式或者函数方法求最值.在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.10.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设12>0x x ，且()()120f x f x +=，那么12x x +的最小值为〔〕A.6πB.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】 先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍， 所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π， 故12x x +的最小值为23π.应选：D【点睛】此题主要考察正弦型函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，那么ABC ∆的边长是〔〕A.8B.10C.12D.14【答案】C 【解析】 【分析】 设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，|||2MC AB =，|||MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||cos cos(90)||MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=tan θ=,所以直线AB 的方程为1)y x =-， 联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，.应选：C ．【点睛】此题考察抛物线的方程与性质，考察抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数()(1x g x e x a =+--〔a R ∈，e 为自然对数的底数〕,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．假设存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，那么实数a 的取值范围为〔〕A.⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B.)+∞C.)+∞D.,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先构造函数()()212Tx f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-， 因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()Tx 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减，所以()Tx 在R 上单调递减.因为存在()()0112x xf x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭， 所以()()000112f x f x x +≥-+， 所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12x hx g x x e a x ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点，所以()hx 在12x ≤时有一个零点因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=， 所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a>，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()hx 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤⎪⎝⎭，解得a ≥，所以a 的取值范围为,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭，应选D. 【点睛】此题主要考察函数与方程的综合问题，难度较大.第二卷〔一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，那么3z x y =+的最小值为__________. 【答案】2 【解析】【分析】先画出可行域，利用目的函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域〔如图示：阴影局部〕： 由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A 〔12,12〕，由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3zx y =+的最小值为32+122=． 故答案为：2．【点睛】此题考察了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目的函数的几何意义．110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，那么2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是___________． 【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0==．考点：三角函数的化简求值．()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间间隔，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率〞为常数； ②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，那么“曲率〞(,)3A B ϕ>； ③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间的“曲率〞(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()x f x e =上不同两点，且121x x -=，假设·(,)1t A B ϕ<恒成立，那么实数t 的取值范围是(,1)-∞【答案】①③ 【解析】 试题分析：因当时，，曲率为0，是常数,故①是正确的；又因当时,,故(,)A B k k A B ABϕ-=,所以②是错误的；因，故,所以(,)A B k k A B ABϕ-=,故③正确成立；因,故(,)A B k k A B ABϕ-=,所以,所以④是错误的.故应填①③。