建筑力学(王志)第八章

(0 x1 1) (1＜x2＜2) (1 x2 2)
M ( x1 ) 2 x1， (0 x1 1)
FAY
Fs(x)
FBY 2kN
x
BC : V ( x3 ) 2 x3，(0＜x3 2)
2 x3 (0 x3 2) 2kN M ( x3 ) 2 x3 2 ，
例1 已知一简支梁如下图所示，荷载F1＝24kN，F2=80kN， 求梁跨中截面E处的剪力VE和弯矩ME。
A
1m
F1 C
F2
E D
4m
B
2m
1.5m
8.1
A l/2
梁的内力
Me C l/2 q B
例2 简支梁受均布力q和集中力偶Me=ql2/4的作用，求C截面 的剪力和弯矩。
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
x
b C l M(x)
B FB
剪力方程无需分段： M(x) A x V(x) F
A
Me 0 x l V x FA l
B V(x) FB
弯矩方程——两段： Me AC段： M x FA x x CB段：
0 x a l Me l x a x l M x FA x M e
A
L
F B
解：①求支反力
FAY F ; M A FL
x
V(x) F
②写出内力方程
V ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
FL
x
(0 x l )
③根据方程画内力图
注意：弯矩图中正的弯矩值 绘在x轴的下方(即弯矩值绘 在弯曲时梁的受拉侧)。
AC :
2、写出内力方程 V ( x1 ) FAY 2(kN ), M ( x1 ) FAY x1 2 x1 (kN.m),
CD :
V ( x2 ) FAY 2 2 2 0, M ( x2 ) FAY x2 2( x2 1) 2(kN.m),
BC :
8.2
绘制梁的内力图——剪力图和弯矩图
一般情况下，梁各个截面上的剪力和弯矩 是不相同的，它们 随着截面位置的变化而变化，可以表示为坐标x的函数，即： V=V(x)
M=M(x)
分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
为了找出最大弯矩和最大剪力所在的截面位置，按剪力 方程和弯矩方程绘制剪力图和弯矩图。
MA
FAY
F=8kN A FA 2m 1.5m 1 1 1.5m q=12kN/m
2 2
3m 1.5m
B FB
解： 1、求支反力
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
3 M B 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0 FA 15kN Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
M1 V1
FA
q=12kN/m
M2 V2
FB
8.1
梁的内力
q0
例3 图示悬臂梁受三角形分布荷载作用，分布荷载的最大 集度为q0。求B、C两截面的剪力和弯矩。
A C
l/2 l/2 B
8.1
结论：
梁的内力
1、任一截面上的剪力等于截面以左（或以右）梁上外力 的代数和。 2、任一截面上的弯矩等于截面以左（或以右）梁上的外 力对该截面形心的力矩的代数和。
第八章
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
静定结构的内力分析
梁的内力 绘制梁的内力图——剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系 多跨静定梁的内力 静定平面刚架的内力 三铰拱的内力 静定平面桁架的内力 组合结构的内力 静定结构的基本特性
一、弯曲实例
工厂厂房的天车大梁：
若研究对象取m - m 截面的右段：
M C
FBY
Y 0, m 0,
C
V F FBY 0.
FBY (l x) F (a x) M 0.
V F (l a ) , l M F (l a) x l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上 存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： V 构件受弯时，横截面上存在 FAX A FAY m F B FBY
l
3、作剪力图和弯矩图 a A C l Me V l
b
Me V x l
B M x M e x
l
Me l x M x l
0 x a
a x l
x Meb l x M
b>a时 M max
M eb l 发生在C截面右侧
Mea l
* 集中力偶作用 点处剪力图无影 响，弯矩图有突 变，突变值的大 小等于集中力偶 的大小。
RA
l
RA=RB=F/2
8.1
A
梁的内力
m
再利用截面法，求内力。称V为剪力，使梁发生相对错动，产生 剪切的效果。M称为弯矩，使梁发生弯曲变形。算出值。
m
a RA V=RA M=RA*a
V
M
8.1
考察右半段。
M
V m m
梁的内力
F B
l-a
RB
得出相同的结论
a
A
[例]已知：如图，F，a，l。
F
B
求：距A端 x 处截面上内力。
解：①求外力（支座反力）
l
FAX A FAY F B FBY
X 0, F 0 m 0 , F l Fa 0 Y 0 , F F F 0
AX
A BY AY BY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
Fa F (l a) , FAY l l
3、根据方程画内力图
M ( x)
x
M ( x)
8.2
绘制梁的内力图——剪力图和弯矩图
规定：剪力图中的正值画在x轴的上方，负值画在x轴的下方； 弯矩图画在梁的受拉边，或者说正弯矩画在x轴的下方，负弯 矩画在x轴的上方。
例
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
和弯矩图。
q
A FA x
l
B FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
q(x) — 分布力 1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
L （L称为梁的跨长）
L
8.1
RA
梁的内力
P
q
M
NB
q
P M
RA
平面弯曲的计算简图 （可以用轴线代替梁）
NB
8.1
一、剪力和弯矩
梁的内力
l/2 F m m a RB
A
B
先求支反力：
V
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折
Fa l
x
Fab l
x
M
a b l / 2时，M max
Fl 为极大值。 4
这种剪力不连续的情况，是因为荷载简化成集中力的 缘故。实际上荷载不是集中作用在一点上，而总是分布在 一小段的长度上。如果将力F以分布力表示，则剪力力是 连续的，弯矩图在此处将是一段光滑的曲线。
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
M(x) V(x)
Fa l x M x FB (l x) V(x) l a x l
Fa a x l V x FB l
Fb 0 x a V x l Fb M x x0 x a l
2、计算1-1截面的内力
F=8kN
V1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
3、计算2-2截面的内力
V2 q 1.5 FB 11kN M 2 FB 1.5 q 1.5 1.5 30kN m 2
②求内力 FAX A FAY A FAY
m
F
B FBY
研究对象：m - m 截面的左段： Y 0, FAY V 0.
m x
V
m
V FAY
C
0,
M FAY x 0.
F (l a) x l
F (l a) l
M FAY x
C
V
M
F
∴ 弯曲构件内力： V －剪力， M －弯矩。
m x
A
FAY M
V C V C FBY M F
平行于截面的内力（剪力）。
二、弯曲内力的正负号规定:
① 剪力V V(+) V(+) ② 弯矩M： M(+)
剪力V绕梁段上任意一点顺时针转动时为正剪力。
V(–) V(–)
使梁向下凸的弯矩为正弯矩，反之为负弯矩。
M(+) M(–) M(–)
三、求指定截面上的剪力与弯矩
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
8.1
梁的内力
当杆件受到垂直于杆轴线的外力作用时，杆轴线的曲率将发生 变化，同时杆中任意两横截面也将绕横向轴做相对转动。这种变形 称为弯曲(Bending)。凡是以弯曲变形为主要变形形式的杆件称为 梁（Beam）。
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
V ( x3 ) FBY 1 x3 2 x3 , 2 x3 x3 M ( x3 ) FBY x3 1 x3 2 x3 , 2 2
A
2kN C D
1kN/m B
AC : V ( x1 ) 2, CD : V ( x2 ) 0， M ( x2 ) 2，
ql FA FB 2
q A FA
x
2 2 x qlx qx V(x) M x FA x qx 2 2 2
M(x) V x F qx ql qx A
3、作剪力图和弯矩图
q l
A
ql B V x 2 qx
V
ql 2
qlx qx2 M x 2 2
F
(+) (-)
V图
(+)
M图
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。 Me a b B A C FA FB l
解: 1、求支反力
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
2、 列剪力方程和弯矩方程 A FA a
Vmax
ql 2
ql2 8
M
l/2
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
M max
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
ql 8
2
Байду номын сангаас
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA l
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
M(x)
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
V
Fb l
Fb V1 x l B V x Fa 2 l FB Fb M 1 x x l Fa l x M 2 ( x) l
x
Fab l
Fa l
x
M
a
F
C
l
b
A
x Fb l
P M
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
RA
q
三、平面弯曲的概念：
NB
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
静定梁的分类（三种基本形式）
8.2
绘制梁的内力图——剪力图和弯矩图
结论：
1、当集中力或集中力偶将梁分为若干段时，剪力方程和弯 矩方程需分段写出，（但在集中力偶作用截面剪力方程不必 分段）。当部分梁上承受分布荷载作用时，也有类似情况。 2、在集中力作用处的左、右两侧横截面的剪力值将发生突变， 突变值等于该集中力的大小。 3、在集中力偶作用处的左、右两侧横截面的弯矩值将发生突 变，突变值等于该力偶的力偶矩。
总结
在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为 一斜直线。 在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图 为一抛物线。且弯矩M最大值发生于V=0处。
集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;
弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。 在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力 偶的大小而剪力图无改变。
A FAY
2kN C D
1kN/m B x3 FBY
[例] 画出梁的内力图。 解：1、支反力 Y 0, FAY FBY 2 1 2 0
x1
1m
x2 1m 2m
M
B
0, 1 2 1 2 3 FAY 4 0 FBY 2(kN )
FAY 2(kN );