《抛物线的简单几何性质》课件

y l O F x
X≥0 ; 1. 范围： 抛物线向右上方
和右下方无限延伸．
y2 = 2px（p>0）
l
y
2. 对称性：
抛物线关于x轴对称.
O F
x
抛物线的对称轴叫做
抛物线的轴.
y2 = 2px（p>0）
3. 顶点： 抛物线和它的轴的 l y
交点叫做抛物线的
顶点．
F O
x
4. 离心率：
e ＝1
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
范围
离心率
y2=2px (p>0)
l
y
0 F
y
x (0,0)
x轴
(
p 2
p 2
, 0)
x0
e 1
y2=-2px (p>0)
l
x y
F
O
(0,0)
x轴
(
, 0)
x0
e 1
x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
F
O
x
(0,0)
y轴
l
y O F
p (0 ，) 2
解：∵p=2， x2-6x+1=0
∴焦点F(1,0)，准线l：x=-1
则直线l的方程为：y=x-1，代入y2=4x化简得：
∴x1+x2=6
所以|AB|=|AA’|+|BB’|=x1+x2+2=8 A’ ∴ 线段|AB|的长为8。
设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦
y A
点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则
解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直
角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)
与原点重合,轴垂直与灯口直径.
y
A O F B
x
设抛物线的标准方程是
y 2 p x ( p 0 ).
2
由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方 程,得 3 0 即
p
2
2 p 4 0,
.
2
因此所求方程为 y2 =4x.
抛物线的性质特点:
(1).抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也
可以无限延伸,但没有渐进线; (2).抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3).抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; (4).抛物线的离心率是确定的,为1.
实际运用
探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处. 已知灯口圆的直径为60cm,灯 深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置.
有|AB|=x1+x2+p． B’
O
F B
x
特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通
径|AB|=2p
例2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点 M(2, 2
2
)，求它的标准方程.
解:根据题意,可设它的标准方程为 y2 =2px ( p > 0 ). 因为点M在抛物线上,所以 即
(2 2 ) 4 p p=2.
45 4
所以所求抛物线的标准方程是 焦点坐标是
( 45 8 , 0 ).
y
2
45 2
x,
小结:
（1）抛物线的简单几何性质
（2）抛物线与椭圆、双曲线几何性质的不同点
（3）应用性质求标准方程的方法和步骤
y0
e 1
l
x
(0,0)
y轴
(0， ) 2
p
y0
e 1
例1 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛 物线相交于A、B两点,求AB的长.
解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程 联立方程组，求出A、B坐标，利用两点间的距离公式 求出|AB|. y 解法二(数形结合)：由右图集 A A’ 抛物线的定义可知： |AF|=|AA’|，|BF|=|BB’|，所以 |AB|=|AA’|+|BB’| O x F =x1+1+x2+1 B B’ =x1+x2+2 即只要求出x1+x2即可求出|AB|
抛物线的几何性质
标准方程
图形
y O F
焦点
x
准线
x p 2
y2=2px
l
F(
p 2
, 0)
y
y2=-2px
y
F
O
x
F (
p 2
, 0)
x
p 2
l
x2=2py
l
F O
F (0 ,
x
p 2
)
y
p 2
y l O
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x2=-2py
F
F (0,
p 2
)
y
p 2
y2 = 2px（p>0）