二元一次方程(组)与一次函数应用的四种常见题型(2020年最新)
第17讲二元一次方程(组)与一次函数(知识解读题型精讲随堂检测)(原卷版)
第17讲二元一次方程（组）与一次函数知识点1 一次函数与二元一次方程一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kxy+b=0的解；以二元一次方程kxy+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.知识点2 一次函数与二元一次方程组在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法.注意：1.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立.2.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点3 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．【题型1 一次函数与二元一次方程】【典例1】下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x ﹣3y＝6的解的是（）A．B．C．D．【变式11】如图，函数y＝kx﹣1的图象过点（1，2），则关于x的方程kx﹣1＝2的解是．【变式12】直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是．【变式13】已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴相交于点A（2，0），与y轴相交于点B（0，3），则关于x的方程kx+b＝0的解是．【题型2 一次函数与二元一次方程组】【典例2】如图，一次函数y＝2x+1的图象与y＝kx+b的图象相交于点A，则方程组的解是（）A．B．C．D．【变式21】如图，直线y＝kx+b和直线y＝mx+n相交于点（3，﹣2），则方程组的解是（）A．B．C．D．【变式22】已知直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣2x+4交于点C（m，2），则方程组的解是（）A．B．C．D．【变式23】如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【变式24】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n 交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（）A．B．C．D．【题型3 用二元一次方程组确定一次函数的表达式】【典例3】如图，直线l1：y1＝kx+b与y轴交于点A，与x轴交于点B（，0），直线l2：y2＝﹣x+2与y轴交于点C，与直线l1交于点D，点D到y轴的距离为2．（1）求直线l1的函数表达式；（2）请直接写出方程组的解：；（3）求△ACD的面积；（4）在直线l1上是否存在异于点D的另一点M，使得△ACD与△ACM的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式31】若正比例函数y＝﹣2x的图象与一次函数y＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣3．（1）求该一次函数的表达式．（2）直接写出方程组的解．【变式32】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b1和l2：y＝k2x+b2相交于点A．（1）观察图象，直接写出方程组的解；（2）若直线l2：y＝k2x+b2与y轴的交点为（0，﹣4），求一次函数y＝k2x+b2的表达式．【变式33】已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）．（1）求a，b的值；（2）方程组的解为．（3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式34】如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直线l1对应的表达式；（2）直接写出方程组的解；（3）求三角形ABP的面积．1．如果直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（）A．B．C．D．2．若以关于x，y的二元一次方程x﹣2y+b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，则常数b的值为（）A．0B．﹣1C．2D．13．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≤3B．x≥3C．x≤D．x≥4．如图，已知一次函数y＝x+1和一次函数y＝ax+3图象交于点P，点P的横坐标为1，那么方程y＝x+1和方程y＝ax+3的公共解为（）A．B．C．D．5．已知方程组的解为，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为．7．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（m，1），则关于x、y的二元一次方程组的解是．8．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1，（1）关于x，y的方程组的解是；（2）a＝；（3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积．9．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）．（1）求直线l1对应的表达式．（2）直接写出方程组的解．（3）求四边形P AOC的面积．10．某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…210﹣1﹣2﹣10m2其中m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象．（3）观察函数图象发现：①该函数的最小值为；该函数是轴对称图形吗？（填“是”或“否”）；若是，其对称轴是．②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是．（4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是．11．如图，直线l1：y＝x+5交y轴，x轴于A，B两点，直线l2：y＝﹣x﹣1交y轴，x轴于C，D两点，直线l1，l2相交于P点．（1）方程组的解是；（2）求直线l1，l2与x轴围成的三角形面积；（3）过P点的直线把△P AC面积两等分，直接写出这条直线的解析式．。
一次函数与二元一次方程组测试题(含答案)
一次函数与二元一次方程(组) 练习题一、选择题1．图中两直线L 1，L 2的交点坐标可以看作方程组( )的解． A ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ B. 121x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．321x y x y -=⎧⎨-=⎩ D. 321x y x y -=-⎧⎨-=-⎩2．把方程x+1=4y+3x化为y=kx+b 的形式，正确的是( ) A ．y=13x+1 B ．y=16x+14 C ．y=16x+1 D ．y=13x+143．若直线y=2x+n 与y=mx-1相交于点(1，-2)，则( )．A ．m=12，n=-52B ．m=12，n=-1；C ．m=-1，n=-52D ．m=-3，n=-324．直线y=12x-6与直线y=-231x-1132的交点坐标是( )．A ．(-8，-10)B ．(0，-6)；C ．(10，-1)D ．以上答案均不对5．在y=kx+b 中，当x=1时y=2；当x=2时y=4，则k ，b 的值是( )． A ．00k b =⎧⎨=⎩ B. 20k b =⎧⎨=⎩ C ．31k b =⎧⎨=⎩ D. 02k b =⎧⎨=⎩6．直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．-4C ．2D ．-2 二、填空题1．点(2，3)在一次函数y=2x-1的________；x=2，y=3是方程2x-y=1的_______．2．已知4,353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 是方程组3,12x y xy +=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，那么一次函数y=3-x 和y=2x +1的交点是________．3．一次函数y=3x+7的图像与y 轴的交点在二元一次方程-•2x+•by=•18•上，•则b=_________．4．已知关系x ，y 的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，-1)，则a=_______，b=________．5．已知一次函数y=-32x+m 和y=12x+n 的图像都经过A(-2，•0)•，•则A•点可看成方程组________的解．6．已知方程组230,2360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为4,31,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩则一次函数y=3x-3与y=-32x+3的交点P 的坐标是______．三、解答题1．若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x 和y=2x-1的交点，求a 的值．2．(1)在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2，y=x-3的图像． (2)两者的图像有何关系?(3)你能找出一组数适合方程x-y=2，x-y=3吗?_________________，•这说明方程组2,3,x y x y -=-⎧⎨-=⎩ ________．3．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．探究应用拓展性训练1．(学科内综合题)在直角坐标系中，直线L 1经过点(2，3)和(-1，-3)，直线L 2经过原点，且与直线L 1交于点(-2，a)． (1)求a 的值．(2)(-2，a)可看成怎样的二元一次方程组的解?(3)设交点为P ，直线L 1与y 轴交于点A ，你能求出△APO 的面积吗? 2．(探究题)已知两条直线a 1x+b 1y=c 1和a 2x+b 2y=c 2，当12a a ≠12bb 时，方程组111222,,a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 有唯一解?•这两条直线相交?你知道当a 1，a 2，b 1，b 2，c 1，c 2分别满足什么条件时，方程组111222,,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩无解?无数多组解?这时对应的两条直线的位置关系是怎样的?3．如图，L 1，L 2•分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h ，照明效果一样． (1)根据图像分别求出L 1，L 2的函数关系式． (2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?(3)小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．11.3.3 一次函数与二元一次方程(组) 同步练习答案：一、选择题1．B 解析：设L 1的关系式为y=kx-1，将x=2，y=3代入，得3=2k-1，解得k=2． ∴L 1的关系式为y=2x-1，即2x-y=1．设L 2的关系式为y=kx+1，将x=2，y=3代入，得3=2k+1，解得k=1． ∴L 2的关系式为y=x+1，即x-y=-1． 故应选B ．2．B 解析：∵x+1=4y+3x ，∴4y=x+1-3x ，4y=23x+1，y=16x+14．故应选B ． 3．C 解析：把x=1，y=-2代入y=2x +n 得-2=12+n ，n=-2-12，n=-52.把x=1，y=-2代入y=mx-1得-2=m-1，m=-2+1，m=-1，故应选C ．4．C 解析：解方程组16,22113131y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得10,1,x y =⎧⎨=-⎩∴直线y=12x-6与直线y=-231x-1131的交点为(10，-1)，•故应选C ．5．B 解析：把1,2,x y =⎧⎨=⎩ 2,4,x y =⎧⎨=⎩分别代入y=kx+b ，得2,24,k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得2,0,k b =⎧⎨=⎩故应选B ．6．B 解析：把y=0代入2x+5y=-4，得2x=-4，x=-2． 所以交点坐标为(-2，0)．把x=-2，y=0代入kx-3y=8，得-2k=8，k=-4，故应选B ． 二、填空题1．解析：当x=2时，y=2x-1=2×2-1=3，∴(2，3)在一次函数y=2x-1的图像上． 即x=2，y=3是方程2x-y=1的解． 答案：图像上 解2．解析：因为方程组3,1,2x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩中的两个方程变形后为3,1,2y x xy =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 所以函数y=3-x 与y=2x +1的交点坐标就是二元一次方程组的解，即为（43，53）。
一次函数与二元一次方程(组) 同步练习题
一、选择题
1．B解析：设L1的关系式为y=kx-1，将x=2，y=3代入，得3=2k-1，
解得k=2．
∴L1的关系式为y=2x-1，即2x-y=1．
设L2的关系式为y=kx+1，将x=2，y=3代入，得3=2k+1，解得k=1．
∴L2的关系式为y=x+1，即x-y=-1．
故应选B．
2．B解析：∵x+1=4y+，∴4y=x+1-，4y=x+1，y=x+．故应选B．
3．C解析：把x=1，y=-2代入y=+n得-2=+n，n=-2-，n=-.
把x=1，y=-2代入y=mx-1得-2=m-1，m=-2+1，m=-1，故应选C．
4．C解析：解方程组，得
∴直线y=x-6与直线y=-x-的交点为(10，-1)，故应选C．
一次函数与二元一次方程(组)同步练习题
11.3.3一次函数与二元一次方程(组)同步练习题
一、选择题
1．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组()的解．
A．B.
C．D.
2．把方程x+1=4y+化为y=kx+b的形式，正确的是()
A．y=x+1B．y=x+C．y=x+1D．y=x+
3．若直线y=+n与y=mx-1相交于点(1，-2)，则()．
把x=0，y=7代入-2x+by=18，得7b=18，b=。答案：4．解析：把x=1，
y=-1分别代入3ax+2by=0，5ax-3by=19得
解得答案：23
5．解析：把代入y=-x+m，得0=3+m，∴m=-3，
二元一次方程组题型归纳
二元一次方程组题型总结题型一：二元一次方程的概念及求解 例1已知（a — 2） x — byi a—1= 5是关于x 、y 的二元一次方程，则a= ______ , b= _____2 .二元一次方程 3x + 2y = 15的正整数解为 __________________ .3.若 |2a + 3b — 7| 与（2a + 5b — 1） 2互为相反数，则 a= ____ , b= ______ . 4. 2x — 3y = 4x — y = 5 的解为 ______________满足 __________________________条件时，有无数解; 满足 __________________________条件时，无解。
题型二：方程组有解的情况 。
（方程组有唯一解、无解或无数解的情况）方程组a 2X 购c i满足b 2 y C 2条件时，有唯一解;例1 .关于x 、y 的二元一次方程组2xmx y 1没有解时,3y 22二兀一次方程组2x y x ny有无数解，则 m=,n=类型三：方程组的解与待定系数x —2例1 .已知x2是方程组3mx 2y 1的解，则m 2— n 2的值为4x ny 722.若满足方程组3x kx 2y(2 4的x 、y 的值相等，则k =1）y 63:若方程组2x 2k 〉y < (k 3 1)y 103x 4y 2a —x 4若方程组b与 3ax _y 2 5 2xby 4有相同的解，则a =5,b=5.若xy11都是关于3X 、 y 的方程| a | x + by = 6的解，贝U a + b 的值为的解互为相反数，则 k 的值为一 一 一 x1x2 一 一 6.关于x , y 的二兀一次方程 ax + b = y 的两个解是 ，，则这个二兀一次方y 1 y 1程是 ____________x 1ax by 07:如果是方程组的解，下列各式中成立的是（）y 2 bx cy 1A 、a + 4c = 2B 、4a + c = 2C 、a + 4c + 2= 0D 、4a + c + 2 = 0题型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。
专题二 一次函数与二元一次方程组问题 2020年中考数学冲刺难点突破 一次函数问题(解析版)
2020年中考数学冲刺难点突破一次函数问题专题二一次函数与二元一次方程组问题【知识点总结】一、二元一次方程与一次函数的关系若k，b表示常数且k≠0，则y－kx＝b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．事实上，以方程y－kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同．二、用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：1、先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；2、建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；3、写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y.三、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：1、写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b；2、把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；3、解方程组，求出k，b的值，写出其表达式．【针对训练】1、在平面直角坐标系中，已知点A（x，y），点B（x﹣my，mx﹣y）（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A（1，2）的“3族衍生点”B的坐标为（1﹣3×2，3×1﹣2），即B（﹣5，1）．（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为；（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是（﹣1，5），则点A的坐标为；（3）若点A（x，0）（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；（4）若点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在．解：（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为（2﹣2×0，2×2﹣0），即（2，4），故答案为（2，4）；（2）设点A坐标为（x，y），由题意可得：，∴，∴点A坐标为（2，1）；（3）∴点A（x，0），∴点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），∴AB＝|mx|，∴AB＝OA，∴|x|＝|mx|，∴m＝±1；（4）∴点A（x，y），∴点A（x，y）的“m族衍生点”为（x﹣my，mx﹣y），点A（x，y）的“﹣m族衍生点”为（x+my，﹣mx﹣y），∴点A（x，y）的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，∴，∴x＝0，∴点A在y轴上，故答案为：y轴上．2、阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图∴：在∴ABC中，∴ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：∴ADC∴∴CEB．（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图∴，可得到结论；∴ADC∴∴CEB．请你说明理由．（2）学以致用：如图∴，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图∴，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接BE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若∴DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．解：（1）理由：∴∴ACB＝90°，∴∴ACD＝∴BCE＝90°，又∴∴ADC＝90°，∴∴ACD+∴DAC＝90°，∴∴BCE＝∴DAC，且∴ADC＝∴BEC＝90°，∴∴ADC∴∴CEB；（2）如图，过点O作ON∴OM交直线CD于点N，分别过M、N作ME∴x轴NF∴x轴，由（1）可得：∴NFO∴∴OEM，∴，∴点M（2，1），∴OE＝2，ME＝1，∴tanα＝＝，∴，∴NF＝3，OF＝，∴点N（﹣，3），∴设直线CD表达式：y＝kx+b，∴∴∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+；（3）当∴CDP＝90°时，如图，过点P作PH∴BC，交BC延长线于点H，∴∴ADC+∴CDP＝180°，∴点A，点D，点P三点共线，∴∴BAP＝∴B＝∴H＝90°，∴四边形ABHP是矩形，∴AB＝PH＝3，∴将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∴AEP＝90°，∴∴AEB＝∴PEH＝90°，且∴BAE+∴AEB＝90°，∴∴BAE＝∴PEH，且∴B＝∴H＝90°，AE＝EP，∴∴ABE∴∴EHP（AAS），∴BE＝PH＝3，当∴CPD＝90°时，如图，过点P作PH∴BC，交BC延长线于点H，延长HP交AD的延长线于N，则四边形CDNH是矩形，∴CD＝NH＝3，DN＝CH，设BE＝x，则EC＝5﹣x，∴将线段AE绕点E顺时针旋转90°，∴AE＝EP，∴AEP＝90°，∴∴AEB＝∴PEH＝90°，且∴BAE+∴AEB＝90°，∴∴BAE＝∴PEH，且∴B＝∴EHP＝90°，AE＝EP，∴∴ABE∴∴EHP（AAS），∴PH＝BE＝x，AB＝EH＝3，∴PN＝3﹣x，CH＝3﹣（5﹣x）＝x﹣2＝DN，∴∴DPC＝90°，∴∴DPN+∴CPH＝90°，且∴CPH+∴PCH＝90°，∴∴PCH＝∴DPN，且∴N＝∴CHP＝90°，∴∴CPH∴∴PDH，∴，∴∴x＝∴点P在矩形ABCD外部，∴x＝，∴BE＝，综上所述：当BE的长为3或时，∴DPC为直角三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC∴x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN∴x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．解：（1）∴AC∴x轴，点A（5，0），∴点C的横坐标为5，对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，对于x＝0，y＝6，∴点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，，∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，∴OM＝6﹣2t，∴OM∴AN，MN∴x轴，∴四边形MOAN为平行四边形，∴OM＝AN，∴6﹣2t＝3t，解得，t＝，∴当MN∴x轴时，t＝；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF∴x轴，交OB于E，交AC于F，∴EF∴x轴，BM∴AN，∴AOE＝90°，∴四边形EOAF为矩形，∴EF＝OA＝5，EO＝F A，∴BM∴AN，∴∴BDM∴∴ADN，∴＝＝，∴EF＝5，∴DE＝2，DF＝3，∴BM∴AN，∴∴BDE∴∴ADF，∴＝＝，∴＝，∴OB＝6，∴EO＝F A＝，∴CF＝AC﹣F A＝，∴CD＝＝．4、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE∴y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且∴CGF＝∴ABC时，求点G的坐标．解：（1）根据题意可得：，解得：∴点D坐标（2，4）（2）∴直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，∴点B（0，8），点A（4，0），∴直线y＝x+3交y轴于点C，∴点C（0，3），∴AE∴y轴交直线y＝x+3于点E，∴点E（4，5）∴点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），∴BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，∴BC＝AE＝AC＝BE，∴四边形ACBE是菱形；（3）∴BC＝AC，∴∴ABC＝∴CAB，∴∴CGF＝∴ABC，∴AGF＝∴ABC+∴BFG＝∴AGC+∴CGF∴∴AGC＝∴BFG，且FG＝CG，∴ABC＝∴CAB，∴∴ACG∴∴BGF（AAS）∴BG＝AC＝5，设点G（a，﹣2a+8），∴（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，∴a＝±，∴点G在线段AB上∴a＝，∴点G（，8﹣2）5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S∴ACE＝S∴ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与∴APD全等，求点F的坐标．解：（1）∴直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，∴令y＝0，则3x﹣6＝0，∴x＝2，∴D（2，0）；（2）如图1，∴直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，∴令y＝0．∴x+2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由（1）知，D（2，0），∴AD＝4，联立直线l1，l2的解析式得，，解得，，∴C（4，6），∴S∴ACD＝AD•|y C|＝×4×6＝12，∴S∴ACE＝S∴ACD，∴S∴ACE＝12，直线l1与y轴的交点记作点B，∴B（0，2），设点E（0，m），∴BE＝|m﹣2|，∴S∴ACE＝BE•|x C﹣x A|＝|m﹣2|×|4+2|＝4|m﹣2|＝12，∴m＝﹣2或m＝6，∴点E（0，﹣2）或（0，6）；（3）如图2，∴当点F在直线l1上方时，∴以A、P、F为顶点的三角形与∴APD全等，∴∴、当∴APF'∴∴APD时，连接DF'，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），∴OB＝OA＝OD，∴∴ABO＝∴DBO＝45°，∴∴ABD＝90°，∴DB∴l1，∴∴APF'∴∴APD，∴PF'＝PD，AF'＝AD，∴直线l1是线段DF'的垂直平分线，∴点D，F'关于直线l1对称，∴DF'∴l1，∴DF'过点B，且点B是DF'的中点，∴F'（﹣2，4），∴、当∴P AF∴∴APD时，∴PF＝AD，∴APF＝∴P AD，∴PF∴AD，∴点D（2，0），A（﹣2，6），∴点D向左平移4个单位，∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，6），∴F（﹣3，3），∴当点F在直线l1下方时，∴∴P AF''∴∴APD，由∴∴知，∴P AF∴∴APD，∴∴P AF∴∴P AF''，∴AF＝AF''，PF＝PF''，∴点F与点F'关于直线l1对称，∴FF''∴l1，∴DF'∴l1，∴FF'∴DF'，而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），∴F''（1，﹣1），即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）．6、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S∴AOP：S∴AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求∴APC的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，∴点A（2，0），点B（﹣4，3），∴，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE∴x轴于E，过P作PD∴x轴于D，∴PD∴BE，∴S∴AOP：S∴AOB＝2：3，∴＝，∴点B（﹣4，3），∴BE＝3，∴PD∴BE，∴∴APD∴∴ABE，∴＝＝，∴PD＝2，当y＝2时，x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；（3）点A（2，0）、点B（﹣4，3），点P（﹣2，2），则AP＝2，AB＝CA＝3，过点P作HP∴AC交AC的延长线于点H，则AH＝AP＝，PH＝AP sin60°＝，∴APC的面积＝AC×PH＝×3×＝；设点C（x，y），则PC2＝PH2+HC2＝15+（+3）2＝95＝（x+2）2+（y﹣2）2…∴，CA2＝45＝（x﹣2）2+y2…∴，联立∴∴并解得：x＝，y＝，故点C（，）．7、如图，正方形AOBC的边长为2，点O为坐标原点，边OB，OA分别在x轴，y轴上，点D是BC的中点，点P是线段AC上的一个点，如果将OA沿直线OP对折，使点A的对应点A′恰好落在PD所在直线上．（1）若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线是，当点P在C点时，A′点的位置关系是，OP所在的直线表达式是．（2）若点P不是端点，用你所学的数学知识求出OP所在直线的表达式．（3）在（2）的情况下，x轴上是否存在点Q，使∴DPQ的周长为最小值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由轴对称的性质可得，若点P是端点，即当点P在A点时，A′点的位置关系是点A，OP所在的直线是y轴；当点P在C点时，∴∴AOC＝∴BOC＝45°，∴A′点的位置关系是点B，OP所在的直线表达式是y＝x．故答案为：A，y轴；B，y＝x．（2）连接OD，∴正方形AOBC的边长为2，点D是BC的中点，∴＝＝．由折叠的性质可知，OA′＝OA＝2，∴OA′D＝90°．∴A′D＝1．设点P（x，2），P A′＝x，PC＝2﹣x，CD＝1．∴（x+1）2＝（2﹣x）2+12．解得x＝．所以P（，2），∴OP所在直线的表达式是y＝3x．（3）存在．若∴DPQ的周长为最小，即是要PQ+DQ为最小．∴点D关于x轴的对称点是D′（2，﹣1），∴设直线PD'的解析式为y＝kx+b，，解得，∴直线PD′的函数表达式为y＝﹣x+．当y＝0时，x＝．∴点Q（，0）．8、如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1（1）求直线BC的解析式；（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE ＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别与x轴交于A（6，0），∴b＝6，∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，∴B（0，6），∴OB＝6，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝2，∴C（﹣2，0）设BC的解析式是y＝kx+b，∴解得，直线BC的解析式是：y＝3x+6；（2）存在．理由如下：如图1中，∵S△BDF＝S△BDE，∴只需DF＝DE，即D为EF中点，∵点E为直线AB与EF的交点，∴∴点E（，）∵点F为直线BC与EF的交点，∴∴点F（，）∵D为EF中点，∴+，∴a＝0舍去，a＝（3）K点的位置不发生变化．理由如下：如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m，∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠OPB＝∠PQC，∵PB＝PQ，∴△BOP≌△PCQ（AAS），∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，∴AC＝QC＝6+m，∴∠QAC＝∠OAK＝45°，∴OA＝OK＝6，∴K（0，﹣6）．9、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且AB＝BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点B（0，8），点A（﹣4，0）∴AO＝4，BO＝8，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴AO＝CO＝4，∴点C（4，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA，∵点Q横坐标为m，∴点Q（m，﹣2m+8）∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，∴△AGP≌△CHQ（AAS），∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，∵PE∥BC，∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，∴∠PEA＝∠PAE，∴AP＝PE，且AP＝CQ，∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，∴△PEF≌△QCF（AAS）∴S△PEF＝S△QCF，∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB的面积，∴S＝S△ABC﹣S△PAE＝×8×8﹣×（2m﹣8）×（2m﹣8）＝16m﹣2m2；（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，∵AB＝BC，BO⊥AC，∴BO是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，∴△APM≌△CQM（SSS）∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，∴∠APM＝∠AMP＝45°，∴AP＝AM，∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）∴AE＝OM，PE＝AO＝4，∴2m﹣8＝4，∴m＝6，∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，∴解得：∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．10、已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，AB＝AC，连接BC．（1）如图1，求直线BC解析式；（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ 的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．解：（1）由已知可得A（﹣3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，∵AB＝AC，∴AC＝5，∴C（2，0），设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B与点C代入，得，∴，∴BC的直线解析式为y＝﹣2x+4；（2）过点Q作MQ⊥y轴，与y轴交于点M，过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，∵Q点横坐标是t，∴MQ＝t，∵MQ∥OC，∴，∴，∴BQ＝t，∵AP＝BQ，∴AP＝t，∵AB＝5，∴PB＝5﹣t，在等腰三角形ABC中，AC＝AB＝5，BC＝2，∵AB×CF＝AC×OB，∴CF＝OB＝4，∵EQ∥CF∴∴EQ＝2t，∴S＝×（5﹣t）＝（0≤t≤2）；（3）如图3，∵将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，∴AH＝AB＝5，AE＝EH，∴OH＝BH﹣OB＝1，∵EH2＝EO2+OH2，∴AE2＝（4﹣AE）2+1，∴AE＝＝EH，∴OE＝，∴点E（﹣，0）∵EH＝FH＝，∴OF＝∴点F（0，）∴直线EF解析式为y＝x+，直线BE的解析式为：y＝3x+4，∴﹣2x+4＝x+，∴x＝，∴点G（，）∴BG＝＝，∵BG＝AP，∴AP＝1，设点P（a，a+4）∴1＝∴a＝﹣，∴点P（﹣，），∴直线PG的解析式为：y＝x+，∴3x+4＝x+，∴x＝﹣1，∴点T（﹣1，1）∴BT＝＝11、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求△AOB的面积：（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴点B（7，0），﹣x+7＝x∴x＝3，∴点A（3，4）∴S△AOB＝×7×4＝14；（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，∴此时AC+BC最小值为AH，∵点A（3，4），点H（﹣7，0），∴AH＝＝2，∴AC+BC最小值为2，设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），∴，解得：∴直线AH解析式为：y＝x+；（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，∵以同样的速度运动，∴BQ＝OP，∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，∴点D（0，7），∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，∴∠QBE＝∠EQB＝45°，∴QE＝BE，∴QB＝QE＝EB，若PB＝QB，且OP＝BQ，∴OP＝PB＝＝BQ，∴BE＝EQ＝，∴OE＝7﹣，∴点Q（7﹣，），若QP＝QB，且QE⊥OB，∴PE＝BE，∵OB＝7＝OP+PE+BE，∴7＝BE+2BE，∴BE＝＝QE，∴OE＝∴点Q（，），如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，∴BF＝FQ＝BQ，∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，∴∠FPB＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF，∴PB＝BF，∴7﹣BQ＝∴BQ＝，∴BE＝QE＝，∴点Q坐标为（7﹣，）．。
二元一次方程(组)与一次函数应用的四种常见题型
题型训练
6．若方程组x2＋x＋y＝2y2＝，3没有解，则一次函数 y＝2－x 与 y＝32－x 的图象必定( B ) A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
题型训练
7．直线 y＝－a1x＋b1 与直线 y＝a2x＋b2 有唯一交点，则二元一
次方程组aa12xx＋ －yy＝ ＝－b1，b2的解的情况是( B )
题型训练
3．在平面直角坐标系中，一次函数 y＝－x＋4 的图象如图所示． (1)在同一平面直角坐标系中，作出一次函数 y＝2x－5 的图象；
解：函数 y＝2x－5 的图象如图所示．
题型训练 (2)用图象法解方程组x2＋x－y＝y＝4，5；
解：由图象看出两条直线的交点坐标为(3，1)， 所以方程组的解为xy＝＝13.，
人教版 八年级下
期末提分练案
第6讲 一次函数与二元一次方程组的关 系及其应用
第2课时 题型训练 二元一次方程(线 y＝－x＋4 与 y＝x＋2 如图所示，则方程组
yy＝＝－x＋x＋ 2 4，的解为( B )
x＝3 A.y＝1
x＝0 C.y＝4
x＝1 B.y＝3
形的面积为12×4－52×1＝34.
题型训练
4．已知方程组－ ex＋mxy＋＝yf＝n，的解为xy＝＝64，，则直线 y＝mx＋n 与 y＝－ex＋f 的交点坐标为( A )
A．(4，6)
B．(－4，6)
C．(4，－6)
D．(－4，－6)
题型训练
5．已知xy＝＝－3，2和xy＝＝12，是二元一次方程 ax＋by＝－3 的两组解， 则一次函数 y＝ax＋b 的图象与 y 轴的交点坐标是( C ) A．(0，－7) B．(0，4) C．0，－37 D．－37，0
(完整版)一次函数与二元一次方程专题
一次函数与二元一次方程专题一．选择题（共10小题）1．如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（）A．B．C．D．2．如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．3．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（）A．B．C．D．5．直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．用图象法解方程组时，下图中正确的是（）A．B．C．D．7．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．8．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则直线与y=﹣x+5的交点坐标为（）A．（4，1） B．（1，4） C．（﹣4，1）D．（2，1）9．如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（（）A．y=﹣x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x﹣2 D．y=x+210．某校九年级（2）班40名同学这“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，假设（x，y）是两个一次函数图象的交点，则这两个一次函数解析式分别是（）A．y=27﹣x与y=x+22 B．y=27﹣x与y=x+C．y=27﹣x与y=x+33 D．y=27﹣x与y=x+33二．填空题（共10小题）11．已知一次函数y=﹣mx+4和y=3x﹣n的图象交于点P（3，1），则关于x的方程组的解是．12．如果方程组无解，那么直线y=（﹣k+1）x﹣3不经过第象限．13．如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是．14．如图，已知两条直线l1、l2的交点可看作是某方程组的解，则这个方程组为．15．如图，点A的坐标可以看成是方程组的解．16．一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是．17．如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P，则二元一次方程组的解是．18．如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是．19．已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为．20．如图所示，直线L1的解析式是y=2x﹣1，直线L2的解析式是y=x+1，则方程组的解是．三．解答题（共10小题）21．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．22．如图，（1）点A的坐标可以看成是方程组的解．（写出解答过程）（2）求出两直线与y轴所围成的三角形的面积．23．某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始相向修路，施工期间，甲队改变了一次修路速度，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到公路修通，甲、乙两个工程队各自所修公路的长度y（米）与修路时间x（天）之间的函数图象如图所示．（1）求甲队前8天所修公路的长度；（2）求甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式；（3）求这条公路的总长度．24．汽车出发前油箱有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．（1）汽车行驶h后加油，中途加油L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．25．已知在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，1）、B（4，4）．求这个一次函数的解析式．26．已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3，当x=2时，y=7．（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）当x=4时，求y的值．27．已知y﹣3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17．求：（1）y与x的函数关系；（2）当x=5时，y的值．28．已知一次函数的图象经过A（﹣2，﹣3），B（1，3）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积．29．甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙在甲出发2小时后匀速前往B地，设甲、乙两车与A地的路程为s（千米），甲车离开A 地的时间为t（时），s与t之间的函数图象如图所示．（1）求a和b的值．（2）求两车在途中相遇时t的值．（3）当两车相距60千米时，t=时．30．某公司一辆绿化洒水车以每分50升的速度给一片树林浇水，一段时间后关闭洒水阀门，行驶到一片草坪处，以另一洒水速度匀速给草坪浇水，直到洒水车内的水全部用光，洒水车内的水量y（升）与时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）求a的值；（2）求洒水车给草坪浇水时y与x之间的函数关系式．（3）当x=13时，洒水车共浇水多少升？一次函数与二元一次方程专题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•昌平区二模）如图，两个一次函数图象的交点坐标为（2，4），则关于x，y的方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．【解答】解：∵直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点坐标为（2，4），∴二元一次方程组的解为，故答案为A【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．2．（2016•临清市二模）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣3，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P（﹣3，1），即x=﹣3，y=1同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故选C．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3．（2016春•单县期末）已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解选择答案．【解答】解：把（﹣1，a）代入y=2x得a=﹣2，则直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，﹣2），则方程组的解为．故选D．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．4．（2016秋•滕州市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x、y的方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】首先将点A的横坐标代入y=x+3求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解．【解答】解：∵直线l1：y=x+3与直线l2：y=mx+n交于点A（﹣1，b），∴当x=﹣1时，b=﹣1+3=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∴关于x、y的方程组的解是，故选C．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是了解方程组的解与函数图象的交点坐标的关系．5．（2016春•迁安市期末）直线l是以二元一次方程8x﹣4y=5的解为坐标所构成的直线，则该直线不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先用含x的代数式表示y可得一次函数解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解．【解答】解：∵8x﹣4y=5，∴y=2x﹣，∵k=2＞0，b=﹣＜0，∴图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限．故选B．【点评】此题考查了一次函数与二元一次方程，任何一个二元一次方程都可以化成一个一次函数．同时考查了一次函数图象与系数的关系．6．（2015秋•连云港期末）用图象法解方程组时，下图中正确的是（）A．B．C．D．【分析】将方程组的两个方程，化为y=kx+b的形式；然后再根据两个一次函数的解析式，判断符合条件的函数图象．【解答】解：解方程组的两个方程可以转化为：y=x﹣2和y=﹣2x+4；只有C符合这两个函数的图象．故选C．【点评】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线．从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值．从“形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标．7．（2016春•长春期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是（）A．B．C．D．【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）；分别求出图中两条直线的解析式为y=2x﹣1，y=﹣x+2，因此所解的二元一次方程组是．故选A．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．8．（2015秋•兴化市校级月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则直线与y=﹣x+5的交点坐标为（）A．（4，1） B．（1，4） C．（﹣4，1）D．（2，1）【分析】二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标．【解答】解：∵二元一次方程组的解是，∴直线与y=﹣x+5的交点坐标为（4，1）．故选A．【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．9．（2014•泗县校级模拟）如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（（）A．y=﹣x+2 B．y=x﹣2 C．y=﹣x﹣2 D．y=x+2【分析】把方程组的解代入方程组得到关于m、n的方程组，然后求出m、n的值，再代入函数解析式即可得解．【解答】解：根据题意，将代入方程组，得，即，①×2得，6m﹣2n=2…③，②﹣③得，3m=3，∴m=1，把m=1代入①，得，3﹣n=1，∴n=2，∴一次函数解析式为y=x+2．故选D．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据方程组的解的定义得到关于m、n的方程组并求出m、n的值是解题的关键．10．（2013•荆州模拟）某校九年级（2）班40名同学这“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：捐款（元）1234人数67表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，假设（x，y）是两个一次函数图象的交点，则这两个一次函数解析式分别是（）A．y=27﹣x与y=x+22 B．y=27﹣x与y=x+C．y=27﹣x与y=x+33 D．y=27﹣x与y=x+33【分析】本题的等量关系是：捐1元的人数+捐2元的人数+捐3元的人数+捐4元的人数=40人，1元的捐款+2元的捐款+3元的捐款+4元的捐款=100元．由此可得出方程组，求出未知数的解，进而代入各选项解析式，即可得出答案．【解答】解：设捐款2元的有x人，捐款3元的有y人，则，解之得：．则捐款2元的有15人，捐款3元的有12人，当x=15，y=12时，只有代入A使得两函数解析式左右相等，故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及两函数交点问题，解题关键是求出x，y的值．二．填空题（共10小题）11．（2017春•云梦县期中）已知一次函数y=﹣mx+4和y=3x﹣n的图象交于点P （3，1），则关于x的方程组的解是．【分析】根据方程组的解即为函数图象的交点坐标解答．【解答】解：∵一次函数y=﹣mx+4和y=3x﹣n的图象交于点P（3，1），∴方程组的解是；故答案为：【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．12．（2017春•威海期中）如果方程组无解，那么直线y=（﹣k+1）x﹣3不经过第二象限．【分析】方程组无解，即直线y=﹣x+1与y=（2k+1）x﹣3平行，那么﹣1=2k+1，求出k的值，进而求解即可．【解答】解：∵方程组无解，∴直线y=﹣x+1与y=（2k+1）x﹣3平行，∴﹣1=2k+1，解得k=﹣1，在直线y=2x﹣3中，∵2＞0，﹣3＜0，∴直线y=2x﹣3经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为二．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象与系数的关系，求出k的值是解题的关键．13．（2016•莘县二模）如图，一次函数y=kx1+b1的图象l1与y=kx2+b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是．【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．【解答】解：由图可知，方程组的解是．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．14．（2016•重庆校级二模）如图，已知两条直线l1、l2的交点可看作是某方程组的解，则这个方程组为．【分析】根据函数图象可以分别求得直线l1、l2的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：由函数图象可知，直线l1过点（0，），（2，3），设解析式为：y=k1+b，则，解得，，即直线l1的解析式为：y=；直线l2过点（0，0），（2，3），设解析式为y=k2x，则3=2k2，得k2=，即直线l2的解析式为：y=，故这个方程组为：，故答案为：．【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确一次函数与二元一次方程组的关系，利用数形结合的思想解答问题．15．（2016春•安陆市期末）如图，点A的坐标可以看成是方程组的解．【分析】先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．【解答】解：设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5；设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x﹣1，所以点A的坐标可以看成是方程组解．故答案为．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求次函数解析式．16．（2016秋•郓城县期末）一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P，且点P 的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是．【分析】先把x=1代入y=x+1，得出y=2，则两个一次函数的交点P的坐标为（1，2）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：把x=1代入y=x+1，得出y=2，函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P（1，2），即x=1，y=2同时满足两个一次函数的解析式．所以关于x，y的方程组的解是．故答案为．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．17．（2016秋•南海区期末）如图，已知一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P，则二元一次方程组的解是．【分析】根据图象可得两个一次函数的交点坐标为P（4，﹣6），那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【解答】解：∵一次函数y=2x+b和y=kx﹣3（k≠0）的图象交于点P（4，﹣6），∴点P（4，﹣6）满足二元一次方程组，∴方程组的解是．故答案为．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．18．（2016春•沙坪坝区期中）如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是．【分析】由两条直线的交点坐标（m，4），先求出m，再求出方程组的解即可．【解答】解：∵y=x=2经过P（m，4），∴4=m+2，∴m=2，∴直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P（2，4），∴，故答案为【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．19．（2016秋•曲江区校级期中）已知直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征确定两直线的交点坐标，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解选择答案．【解答】解：把（﹣1，a）代入y=2x得a=﹣2，则直线y=2x与y=﹣x+b的交点为（﹣1，﹣2），则方程组的解为．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．20．（2015•西藏一模）如图所示，直线L1的解析式是y=2x﹣1，直线L2的解析式是y=x+1，则方程组的解是．【分析】二元一次方程组的解就是组成二元一次方程组的两个方程的公共解，即直线l1与l2的交点的坐标．【解答】解：根据题意知，二元一次方程组的解就是直线l1与l2的交点的坐标，又∵交点坐标（2，3），∴原方程组的解是：．故答案是：【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程组的解就是组成该方程组的两条直线的图象的交点．三．解答题（共10小题）21．（2016春•浠水县期末）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P （1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．【分析】（1）直接把P（1，b）代入y=x+1可求出b的值；（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y=x+1得b=1+1=2；（2）由（1）得P（1，2），所以方程组的解为；（3）直线l3：y=nx+m经过点P．理由如下：因为y=mx+n经过点P（1，2），所以m+n=2，所以直线y=nx+m也经过P点．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征对（3）进行判断．22．（2014秋•陕西校级月考）如图，（1）点A的坐标可以看成是方程组的解．（写出解答过程）（2）求出两直线与y轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）先利用待定系数法分别求出两直线的解析式，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案；（2）根据函数图象与坐标轴的交点坐标和两函数的交点坐标利用三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）设过点（0，5）和点（2，3）的解析式为y=kx+b，则，解得，所以该一次函数解析式为y=﹣x+5；设过点（0，﹣1）和点（2，3）的解析式为y=mx+n，则，解得，所以该一次函数解析式为y=2x﹣1，所以点A的坐标可以看成是方程组解．故答案为：；（2）围成的三角形的面积为：S=[5﹣（﹣1）]×2=6．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的知识，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．也考查了待定系数法求次函数解析式．23．（2017•农安县模拟）某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时开始相向修路，施工期间，甲队改变了一次修路速度，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到公路修通，甲、乙两个工程队各自所修公路的长度y（米）与修路时间x（天）之间的函数图象如图所示．（1）求甲队前8天所修公路的长度；（2）求甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式；（3）求这条公路的总长度．【分析】（1）由函数图象在x=8时相交可知：前8天甲、乙两队修的公路一样长，结合修路长度=每日所修长度×修路天数可计算出乙队前8天所修的公路长度，从而得出结论；（2）设甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式为y=kx+b，代入图象中点的坐标可列出关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（3）由图象可知乙队修的公路总长度，再根据（2）得出的解析式求出甲队修的公路的总长度，二者相加即可得出结论．【解答】解：（1）由图象可知前八天甲、乙两队修的公路一样长，乙队前八天所修公路的长度为840÷12×8=560（米），答：甲队前8天所修公路的长度为560米．（2）设甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将点（4，360），（8，560）代入，得，解得．故甲工程队改变修路速度后y与x之间的函数关系式为y=50x+160（4≤x≤16）．（3）当x=16时，y=50×16+160=960；由图象可知乙队共修了840米．960+840=1800（米）．答：这条公路的总长度为1800米．【点评】本题考查了一次函数的性质、代数系数法求函数解析式，解题的关键：（1）由图象交点得出前8天甲、乙两队修的公路一样长；（2）代入点的坐标得出关于k、b的二元一次方程组；（3）代入x值求y值．本题属于基础题，难度不大，解决给题型题目是，结合图象中的点，代入函数解析式得出方程（或方程组）是关键．24．（2017•青羊区模拟）汽车出发前油箱有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升．图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系．（1）汽车行驶3h后加油，中途加油31L；（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；（3）已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．【分析】（1）根据函数图象3小时时油箱油量变多解答；（2）利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）求出加油前行驶的路程和用油量，再求出从加油站到目的地所需要的油量，然后判断即可．【解答】解：（1）从图象中可以看出，汽车行驶3小时后加油，中途加油45﹣14=31升；（2）因为函数图象过点（0，50）和（3，14），所以设函数关系式为y=kt+b，则，解得，因此，y=﹣12t+50；（3）油箱中的油够用．∵汽车加油前行驶了3小时，行驶了3×70=210（km），用去了50﹣14=36升油，而目的地距加油站还有210km，∴要达到目的地还需36升油，而中途加油31升后有油45升，即油箱中的剩余油量是45升，所以够用．因此，要到达目的地油箱中的油够用．【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息并准确识图，观察出油箱中的油量的变化是解题的关键．25．（2017春•普陀区期中）已知在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，1）、B（4，4）．求这个一次函数的解析式．【分析】根据点A、B的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式，此题得解．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，1）、B（4，4）．∴，解得：．∴这个一次函数的解析式为：y=x+2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．26．（2017春•沙坪坝区期中）已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3，当x=2时，y=7．（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）当x=4时，求y的值．【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式即可；（2）将x=4代入一次函数关系式中，求出y值即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，将（0，3）、（2，7）代入y=kx+b，，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=2x+3．（2）当x=4时，y=2x+3=2×4+3=11．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）将x=4代入一次函数关系式求出y值．27．（2016秋•二道区校级期末）已知y﹣3与x+5成正比例，且当x=2时，y=17．求：（1）y与x的函数关系；（2）当x=5时，y的值．【分析】（1）由y﹣3与x+5成正比例，设y﹣3=k（x+5），把x与y的值代入求。
完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)
完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)二元一次方程组常见题型二元一次方程组是初中数学中的重要内容，常见的题型包括分配调运问题、行程问题、百分数问题、分配问题、浓度分配问题和金融分配问题等。
其中，分配调运问题是指在不同的地方分配人员或物品，需要根据条件求出各个地方的人数或物品数量。
例如，某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，需要求出到两个工厂的人数各是多少。
行程问题是指两个人或物体在不同的路程上移动，需要根据条件求出它们的速度或路程。
例如，甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。
需要求出甲、乙的平均速度各是多少。
百分数问题是指在数量变化中涉及到百分数的计算，需要根据条件求出各个数量的值。
例如，某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，需要求出这个市现在的城镇人口与农村人口。
分配问题是指在已知总量和每份数量的情况下，需要求出总量或份数。
例如，某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个；若每人4个，则有一个少1个，需要求出幼儿园有几个小朋友。
浓度分配问题是指在不同浓度的物质中混合，需要根据条件求出各个物质的数量或浓度。
例如，要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少。
金融分配问题是指在不同价格的商品中混合，需要根据条件求出各个商品的数量或价格。
例如，需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6元的杂拌糖200千克。
几何分配问题）用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米。
可以列出以下两个方程：1、8x = 482、4y = 48解方程得到x = 6，y = 12，因此每块小长方形的长是6厘米，宽是12厘米。
(完整版)一次函数与二元一次方程组(练习题)
一次函数与二元一次方程组题型一：基础回顾例1.直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，那么k= 。
拓展变式练习1.在y=kx+b 中，当x=1时y=2；当x=2时y=4，则k ，b 的值是 。
2.直线y=12x-6与直线y=-231x-1132的交点坐标是 。
3.若直线y=2x +n 与y=mx-1相交于点(1，-2)，则____m =，____n =。
题型二：技能拓展例2.已知4,353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组3,12x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，那么一次函数y=3-x 和y=2x +1的交点是________。
拓展变式练习1.一次函数y=3x+7的图像与y 轴的交点在二元一次方程-•2x+•by=•18•上，•则b=_________。
2.已知关系x ，y 的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，-1)，则a=_______，b=________。
3.已知方程组230,2360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为4,31,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩则一次函数y=3x-3与y=-32x+3的交点P 的坐标是______。
题型三：综合能力提升例3.(福州卷)如图，L 1，L 2•分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h ，照明效果一样．(1)根据图像分别求出L 1，L 2的函数关系式．(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等?(3)小亮房间计划照明2500h ，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．解析：(1)设L 1的解析式为y 1=k 1x+2，由图像得17=500k 1+2，解得k=0．03，∴y 1=0．03x+2(0≤x ≤2000)．设L 2的解析式为y 2=k 2x+20，由图像得26=500k 2+20，解得k 2=0．012．∴y 2=0．012x+20(0≤x ≤2000)．(2)当y 1=y 2时，两种灯的费用相等，∴0．03x+2=0．012x+20，解得x=1000．∴当照明时间为1000h 时，两种灯的费用相等．(3)最省钱的用灯方法：节能灯使用2000h ，白炽灯使用500h ．拓展变式练习1.（桂林）某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售. 该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨. 现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工？ 解：设该公司安排x 天粗加工, 安排y 天精加工.……………1分据题意得:1684104x y x y +=⎧⎨+=⎩……………………………………4分 解得:106x y =⎧⎨=⎩………………………………………………7分 答: 该公司安排10天粗加工, 安排6天精加工.…………8分2.（湖南郴州市）受气候等因素的影响，今年某些农产品的价格有所上涨. 张大叔在承包的10亩地里所种植的甲、乙两种蔬菜共获利13800元.其中甲种蔬菜每亩获利1200元，乙种蔬菜每亩获利1500元.则甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？答案：（1）设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x 、y 亩，依题意可得：101200150013800x y x y …………………………………………4分 解这个方程组得46xy …………………………………………7分 巩固练习：一．选择题1．（浙江省喜嘉兴市）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（ ）小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？哦，…，我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔A ．0.8元/支，2.6元/本B ．0.8元/支，3.6元/本C ．1.2元/支，2.6元/本D ．1.2元/支，3.6元/本【关键词】二元一次方程组【答案】D2. （辽宁省丹东市）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x 分，（5）班得y 分，根据题意所列的方程组应为（ ） A ．65,240x y x y =⎧⎨=-⎩ B ．65,240x y x y =⎧⎨=+⎩ C ．56,240x y x y =⎧⎨=+⎩ D ．56,240x y x y =⎧⎨=-⎩【关键词】二元一次方程组【答案】D3.（四川绵阳9，3）灾后重建，四川从悲壮走向豪迈.灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15 人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15 包.请问这次采购派男女村民各多少人？A ．男村民3人，女村民12人B ．男村民5人，女村民10人C ．男村民6人，女村民9人D ．男村民7人，女村民8人【答案】B4.（山东枣庄，6，3分）已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组7,1ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A5.（山东泰安，11 ，3分）某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则方程组正确的是（ ）A.⎩⎨⎧x+y=3012x+16y=400B.⎩⎨⎧x+y=3016x+12y=400C.⎩⎨⎧12x+16y=30x+y=400D.⎩⎨⎧16x+12y=30x+y=400 【答案】B二．填空1.一次函数的图象过点A （5，3）且平行于直线y =3x －21,则这个函数的解析式为________。
二元一次方程题型
二元一次方程题型一、和差倍数问题知识梳理：和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题：甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字。
问甲、乙两人每分钟各打多少个?解：设甲每分钟打x个字，乙每分钟打y个字。
根据题意可列方程组为2(x+y)=240①x-y=10①由①得x+y=120 ①，①+① 得2x=130，解得x=65，将x=65代入①得：y=55。
答：甲每分钟打65个字，乙每分钟打55个字。
思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
典型例题：某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个，螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母?解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。
由题意可列方程组为x+y=22①2x1200x=2000y①由①得6x=5y①，由① 得x=22-y，代入①得6(22-y)=5y，整理得11y=132，解得y=12，则x=22-12=10。
答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。
思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
知识梳理：我们在解决工程问题时通常把工作总量看成1；工作量＝工作效率×工作时间；总工作量=每个个体工作量之和；工作效率=工作量÷工作时间（即单位时间的工作量）；工作效率=1÷完成工作的总时间。
典型例题：现要整理一批文件，由1个人完成需要40个小时，计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起再做8小时，完成这项任务，假设这些人的工作效率都相同，则应先安排多少人工作?解：设总工作量为1，应先安排x人工作。
中考数学《一次函数与二元一次方程(组)的综合应用》专项练习题及答案
中考数学《一次函数与二元一次方程(组)的综合应用》专项练习题及答案一、单选题1．已知一次函数 y =x +1 和一次函数 y =2x −2 的图象的交点坐标是 (3,4) ，据此可知方程组{x −y =−12x −y =2 的解为（ ） A ．{x =3y =4B ．{x =4y =3C ．{x =−3y =−4D ．{x =−4y =−32．如图，直线y ＝kx+b 交x 轴于点A （﹣2，0），直线y ＝mx+n 交x 轴于点B （5，0），这两条直线相交于点C （2，c ），则关于x 的不等式组 {kx +b <0mx +n >0的解集为（ ）A ．x ＜5B ．1＜x ＜5C ．﹣2＜x ＜5D ．x ＜﹣23．用图象法解二元一次方程组{kx −y +b =0x −y +2=0时，小英所画图象如图所示，则方程组的解为（ ）A ．{x =1y =2B ．{x =2y =1C ．{x =1y =2.5D ．{x =1y =34．已知直线y ＝2x 与y ＝﹣x+b 的交点（﹣1，a ），则方程组 {2x −y =0x +y =b 的解为（ ） A ．{x =1y =2B ．{x =−1y =2C ．{x =1y =−2D ．{x =−1y =−25．如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得关于x ，y 的二元一次方程组{y =ax +b y =kx的解是（ ）A ．{x =−2y =−4B ．{x =−4y =−2C ．{x =2y =−4D ．{x =−4y =26．下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x ﹣y=2的解的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x+3与直线l 2：y ＝mx+n 交于点A （﹣1，2），则关于x 、y 的方程组{y =x +3y =mx +n 的解为（ ） A ．{x =2y =1B ．{x =2y =−1C ．{x =−1y =2D ．{x =−1y =−28．如图，是在同一坐标系内作出的一次函数l 1、l 2的图象，设l 1：y ＝k 1x+b 1，l 2：y ＝k 2x+b 2，则方程组 {y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2的解是（ ）A ．{x =−2y =2B ．{x =−2y =3C ．{x =−3y =3D ． {x =−3y =49．如图，l 1经过点(0，1.5)和(2，3)，l 2经过原点和点(2，3)，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是（ ）A ．{3x −4y =−63x −2y =0B ．{−3x +4y =63x +2y =0C ．{3x −4y =63x −2y =0D ．{3x −4y =63x +2y =010．直线 y =2x −3 与直线 y =x −1 的交点坐标是（ ）A ．(2，1)B ．(4，3)C ．(2，−1)D ．(−2，1)11．已知直线y=3x ﹣3与y=﹣32x+b 的交点的坐标为（43，a ），则方程组{−3x +y +3=03x +2y −2b =0的解是（ ）A ．{x =43y =−1B ．{x =43y =1C ．{x =−43y =−1D ．{x =−43y =112．如图，已知一次函数y=ax+b 和y=kx 的图象相交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组 的解是（ ）A ．{x =−4y =−2B ．{x =−2y =−4C ．{x =2y =4D ．{x =2y =−4二、填空题13．已知方程组{x +y =12x −y =2的解为{x =1y =0，则一次函数y=﹣x+1和y=2x ﹣2的图象的交点坐标为14．如图，直线l 1的解析式是y ＝2x －1，直线l 2的解析式是y ＝x ＋1，则方程组 {x −y =−12x −y =1 的解是 ．15．一次函数y ＝3x －5与y ＝2x ＋b 的图象的交点的坐标为P(1，－2)，则方程组 {y =3x −5y =2x +b 中b的值为 .16．如图，已知函数y=x ﹣2和y=﹣2x+1的图象交于点P （1，﹣1），根据图象可得方程组{x −y =22x +y =1的解是 ．17．已知函数y=2x+1和y=﹣x ﹣2的图象交于点P ，点P 的坐标为（﹣1，﹣1），则方程组{2x −y +1=0x +y +2=0的解为 ． 18．我们规定：当k ，b 为常数，k≠0，b≠0，k≠b 时，一次函数y ＝kx+b 与y ＝bx+k 互为交换函数，例如：y ＝5x+2的交换函数为y ＝2x+5．一次函数y ＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为 ．三、综合题19．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝ 34 x+ 32交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，点B 为垂足，点C 的横坐标为﹣1，点C 在直线y ＝2x ﹣1上，连接BC ．（1）求点A的坐标；（2）求∠CBO的度数．20．如图，在直角坐标系中，直线y=−43x+4与分别于x、y轴交于点A，B，点C在x轴上CD∠AB．垂足为D，交y轴于点E （0，3）．（1）求∠AOB的面积；（2）求线段CE的长；（3）求D点的坐标．21．如图，两直线l1：y=−x+4、l2：y=2x+1相交于点P，与x轴分别相交于A、B 两点．（1）求P点的坐标；（2）求S∠PAB．22．一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中x的值对应为点的横坐标，y的值对应为点的纵坐标，如二元一次方程x ﹣2y=0的解 {x =0y =0 和 {x =2y =1 可以转化为点的坐标A （0，0）和B （2，1）．以方程x ﹣2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x ﹣2y=0的图象．（1）写出二元一次方程x ﹣2y=0的任意一组解 ，并把它转化为点C 的坐标 ；（2）在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如方程x ﹣2y=0的图象是由该方程所有的解转化成的点组成，在图中描出点A 、点B 和点C ，观察它们是否在同一直线上； （3）取满足二元一次方程x+y=3的两个解，并把它们转化成点的坐标，画出二元一次方程x+y=3的图象；（4）根据图象，写出二元一次方程x ﹣2y=0的图象和二元一次方程x+y=3的图象的交点坐标 ，由此可得二元一次方程组 {x −2y =0x +y =3 的解是 ．23．如图，直线y 1=kx+b 与坐标轴交于A （0，2），B （m ，0）两点，与直线y 2=-4x+12交于点P （2，n ），直线y 2=-4x+12交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求m ，n 值；（2）直接写出方程组{y =kx +b y =−4x +12的解为 ；（3）求∠PBC的面积．24．为便民惠民，树人公园特推出下列优惠方案：①普通卡：每人每次20元；②贵宾卡：年费为200元，每人每次10元；③至尊卡：年费为500元，但进入不再收费．设某人参观x次时，所需总费用为y元．（1）直接写出选择普通卡和贵宾卡消费时的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，求出点A，B，C的坐标；（3）根据图象，直接写出选择哪种方案更合算．参考答案1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】A11．【答案】B12．【答案】A13．【答案】（1，0）14．【答案】15．【答案】-416．【答案】{x=1y=−117．【答案】{x=−1y=−1 18．【答案】119．【答案】（1）解：由{y=2x−1①y=34x+32②，解得{x=2y=3∴A（2，3）；（2）解：过C点作CD∠x轴于D∵A（2，3）∴B （2，0）∵点C 的横坐标为﹣1，点C 在直线y ＝2x ﹣1上 ∴y ＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3 ∴C （﹣1，﹣3） ∴BD ＝3，CD ＝3∴∠CBD 的等腰直角三角形 ∴∠CBO ＝45°．20．【答案】（1）解：∵当x=0时， y =4 ，∴B （0，4）∵当y=0时， x =3 ，∴A （3，0） ∴OA ＝3，OB ＝4 ∴S ∠AOB =12×3×4=6 （2）解：∵E （0，3） ∴OE=3 ∴OE=OA∵∠ECO+∠CEO=90°，∠BED+∠DBE=90°，∠CEO=∠BED ∴∠ECO=∠DBE 又∵∠COE=∠BDE=90° ∴∠AOB∠∠EOC （AAS ）； ∴OC=OB=4∴Rt∠COE 中，CE =√OC 2+OE 2=√42+32=5 （3）解：由（2）得OC ＝4，即C （﹣4，0） 设直线CE 的解析式为y=kx+b 把C （﹣4，0），E （0，3）代入得 {−4k +b =0b =3 解得{b =3k =34∴直线CE 解析式为： y =34x +3由题意得方程组 {y =−43x +4y =34x +3解得： {x =1225y =8425 ∴D (1225,8425) ．21．【答案】（1）解：联立方程组得： {y =−x +4y =2x +1，解得 {x =1y =3 ，因此 P(1,3) （2）解：在 y =−x +4 中，当 y =0 时， −x +4=0 ， x =4 ，在 y =2x +1 中，当 y =0时 2x +1=0 ， x =−12 ，∴A (−12,0) ，B (4,0) ，∴AB= |x A −x B |=92∴S ∠PAB = 92⋅|y P |⋅12=92×3×12=27422．【答案】（1）{x =−2y =−1；（﹣2，﹣1）（2）解：如图，点A 、点B 和点C 同一直线上（3）二元一次方程x+y=3的两个解为 {x =3y =0 或 {x =0y =3 ，把它们转化成点的坐标为（3，0），（0，3） 如图（4）（2，1）；{x =2y =123．【答案】（1）解：把点P （2，n ）代入y 2=−4x +12得：n =−8+12=4第 11 页 共 11 ∴P （2，4）把A （0，2），P （2，4）代入y 1=kx +b 得，{b =22k +b =4解得：{k =1b =2∴y 1=x +2把B （m ，0）代入y 1=x +2得：0=m +2解得：m =−2∴m =−2，n =4；（2）{x =2y =4（3）解：当y 2=−4x +12=0时解得：x =3∴C （3，0）∵P （2，4），B （－2，0），C （3，0）∴BC=5∴S △PBC =12×5×4=10． 24．【答案】（1）解：由题意得，普通卡：y 1＝20x ；贵宾卡：y 2＝10x ＋200； （2）解：令y 1＝500得：20x ＝500，解得：x ＝25∴点B 坐标为（25，500）；令y 2＝500得：10x ＋200＝500，解得：x ＝30∴点C 的坐标为（30，500）；联立y 1、y 2得： {y ＝20x y ＝10x +200解得： {x ＝20y ＝400 ∴点A 的坐标为（20，400）；∴A （20，400），B （25，500），C （30，500）；（3）解：由图像可知：①当0＜x ＜20时，选择普通卡更合算； ②当x ＝20时，选择普通卡和贵宾卡的总费用相同，均比至尊卡合算； ③当20＜x ＜30时，选择贵宾卡更合算；④当x ＝30时，选择贵宾卡和至尊卡的总费用相同，均比普通卡合算； ⑤当x ＞30时，选择至尊卡更合算．。
备战2024年中考数学复习之必考点题型全归纳(全国通用)专题12 一次函数(原卷版)
专题12一次函数【专题目录】技巧1：一次函数常见的四类易错题技巧2：一次函数的两种常见应用技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【题型】一、正比例函数的定义【题型】二、正比例函数的图像与性质【题型】三、一次函数的定义求参数【题型】四、一次函数的图像【题型】五、一次函数的性质【题型】六、求一次函数解析式【题型】七、一次函数与一元一次方程【题型】八、一次函数与一元一次不等式【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）【题型】十、一次函数的实际应用【考纲要求】1、理解一次函数的概念，会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．2、会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义一次函数与正比例函数一次函数与正比例函数的定义如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质.一次函数与正比例函数的关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。
它可以由直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为0,kb，与y轴的交点为(0,b).【考点总结】二、一次函数的图象与性质【注意】1、确定一次函数表达式用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:（1）由题意设出函数的关系式;（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.2、y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．3、y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象一次函数的图象与性质函数系数取值大致图象经过的象限函数性质y =kx (k ≠0)k >0一、三y 随x 增大而增大k <0二、四y 随x 增大而减小y =kx +b(k ≠0)k >0b >0一、二、三y 随x 增大而增大k >0b <0一、三、四k <0b >0一、二、四y 随x 增大而减小k <0b <0二、三、四所对应的x 的取值范围．4、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．【技巧归纳】技巧1：一次函数常见的四类易错题【类型】一、忽视函数定义中的隐含条件而致错1．已知关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，求m 的值．2．已知关于x 的函数y ＝kx －2k ＋3－x ＋5是一次函数，求k 的值．【类型】二、忽视分类或分类不全而致错3．已知一次函数y ＝kx ＋4的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求这个一次函数的表达式．4．一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，对应的函数值的取值范围为1≤y≤9，求k ＋b 的值．5．在平面直角坐标系中，点P(2，a)到x 轴的距离为4，且点P 在直线y ＝－x ＋m 上，求m 的值．【类型】三、忽视自变量的取值范围而致错6．若等腰三角形的周长是80cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm )与底边长x(cm )的函数关系的图像是()7．若函数y 2＋6（x≤3），（x>3），则当y ＝20时，自变量x 的值是()A ．±14B ．4C ．±14或4D ．4或－148．现有450本图书供给学生阅读，每人9本，求余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式，并求自变量x 的取值范围．【类型】四、忽视一次函数的性质而致错9．若正比例函数y ＝(2－m)x 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是()A ．m<0B ．m>0C ．m<2D ．m>210．下列各图中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx(m ，n 是常数，且mn≠0)的大致图像的是()11．若一次函数y＝kx＋b的图像不经过第三象限，则k，b的取值范围分别为k________0，b________0.技巧2：一次函数的两种常见应用【类型】一、利用一次函数解决实际问题题型1：行程问题1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300km；②乙车比甲车晚出发1h，却早到1h；③乙车出发后2.5h追上甲车；④当甲、乙两车相距50km时，t＝54或154.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图像，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h；(2)求线段DE对应的函数表达式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．题型2：工程问题3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图像如图所示．(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．(2)求乙组加工零件总量a的值．(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？题型3：实际问题中的分段函数4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3g，则超出部分可打八折．(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；(2)李阿姨要买一个质量不少于4g且不超过10g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10t以内(包括10t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值；某户居民上月用水8t，应交水费多少元？(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．【类型】二、利用一次函数解决几何问题题型4：利用图像解几何问题6．如图①所示，正方形ABCD 的边长为6cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A→B→C→D 运动，设运动的时间为t(s )，△APD 的面积为S(cm 2)，S 与t 的函数图像如图②所示，请回答下列问题：(1)点P 在AB 上运动的时间为________s ，在CD 上运动的速度为________cm /s ，△APD 的面积S 的最大值为________cm 2；(2)求出点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式；(3)当t 为何值时，△APD 的面积为10cm 2?题型5：利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)7．在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点A 开始按A→B→C→D 的方向运动到点D.如图，设动点P 所经过的路程为x ，△APD 的面积为y.(当点P 与点A 或D 重合时，y ＝0)(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)画出此函数的图像．技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【类型】一、利用两直线的交点坐标确定方程组的解1．已知直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2＝－x ＋4，＝x ＋2的解为()A ＝3＝1B ＝1＝3C ＝0＝4D ＝4＝02．已知直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，a)－y ＝0，＋y －b ＝0的解和a ，b 的值．3．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x ＋4的图像如图所示．(1)在同一坐标系中，作出一次函数y ＝2x －5的图像；(2)＋y ＝4，－y ＝5；(3)求一次函数y ＝－x ＋4与y ＝2x －5的图像与x 轴所围成的三角形的面积．【类型】二、利用方程(组)的解求两直线的交点坐标4mx ＋y ＝n ，＋y ＝f ＝4，＝6，则直线y ＝mx ＋n 与y ＝－ex ＋f 的交点坐标为()A ．(4，6)B ．(－4，6)C ．(4，－6)D ．(－4，－6)5．＝3，＝－2＝2，＝1是二元一次方程ax ＋by ＝－3的两组解，则一次函数y ＝a x ＋b 的图像与y 轴的交点坐标是()A ．(0，－7)B ．(0，4)C D －37，【类型】三、方程组的解与两个一次函数图像位置的关系6＋y ＝2，＋2y ＝3没有解，则一次函数y ＝2－x 与y ＝32－x 的图像必定()A ．重合B ．平行C ．相交D ．无法确定7．直线y ＝－a 1x ＋b 1与直线y ＝a 2x ＋b 21x ＋y ＝b 1，2x －y ＝－b 2的解的情况是()A ．无解B ．有唯一解C ．有两个解D ．有无数解【类型】四、利用二元一次方程组求一次函数的表达式8．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式．9．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(3，－3)，且与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上．(1)求直线AB 对应的函数表达式；(2)求直线AB 与坐标轴所围成的△BOC(O 为坐标原点，C 为直线AB 与y 轴的交点)的面积．【题型讲解】【题型】一、正比例函数的定义例1、若一次函数y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数，则m 的值为_______．【题型】二、正比例函数的图像与性质例2、若正比例函数12y x 经过两点（1，1y ）和（2，2y ），则1y 和2y 的大小关系为（）A ．12y y B ．12y y C ．12y y D ．无法确定【题型】三、一次函数的定义求参数例3、已知一次函数3y kx 的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（）A ．1,2 B ．1,2 C ．2,3D ．3,4【题型】四、一次函数的图像例4、若m ﹣2，则一次函数 11y m x m 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【题型】五、一次函数的性质例5、设k 0 ，关于x 的一次函数2y kx ，当12x 时的最大值是（）A ．2k B ．22k C ．22k D ．2k 【题型】六、求一次函数解析式例6、直线y kx b 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kx b 的解集是（）A ．2x ≤B ．4x C ．2x D ．4x 【题型】七、一次函数与一元一次方程例7、一次函数3y kx （k 为常数且0k ）的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程 530k x 的解为（）A ．5x B ．3x C ．3x D ．5x 【题型】八、一次函数与一元一次不等式例8、如图，直线(0)y kx b k 经过点(1,1)P ，当kx b x 时，则x 的取值范围为（）A ．1xB ．1 xC ．1xD ．1x 【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）例9、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则△AOB 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【题型】十、一次函数的实际应用例10、A ，B 两地相距200千米．早上8：00货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B 地联系．B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B 地．两辆货车离开各自出发地的路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B 地的速度至少为每小时多少千米？一次函数（达标训练）一、单选题1．已知一次函数4y kx 经过 11,y ， 22,y ，且12y y ，它的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．已知一次函数1y kx 经过 11,A y ， 22,B y 两点，且12y y ，则k 的取值范围是（）A ．0k B ．0k C ．0k D ．不能确定3．一次函数2y x m 的图象经过第一、二、四象限，则m 可能的取值为（）A ．-1B ．34C ．0D ．14．一次函数31y x 的图象经过（）A ．一、二、四象限B ．一、三、四象限C ．一、二、三象限D ．二、三、四象限5．若23y x b ，y 是x 的正比例函数，则b 的值是（）A ．0B ．23C ．23D ．32二、填空题6．请写出一个图象经过点 2,0A 的函数的解析式：______．7．将直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．三、解答题8．某中学积极响应“双减”政策，为了丰富学生的课外活动，激发学生参加体育活动的兴趣，准备购买一批新的羽毛球拍．已知甲、乙两商店销售同一种羽毛球拍，但两个商店的原价和销售方式均不同．在甲商店，无论一次性购买多少支羽毛球拍，一律按原价出售；在乙商店，一次性购买羽毛球拍的数量不超过20支，按原价销售，若一次性购买球拍数量超过20支，超出的部分打八折．设该学校购买了x 支羽毛球拍，在甲商店购买所需的费用为1y 元，在乙商店购买所需的费用为2y 元，1y ，2y 关于x 的函数图像如图所示．(1)分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式．(2)请求出m 的值，并说明m 的实际意义．(3)若该学校一次性购买羽毛球拍的数量超过80支，但不超过120支，到哪家商店购买更优惠？一次函数（提升测评）一、单选题1．一次函数 32y k x k 01k 有意义的k 的值可能为（）A ．－3B ．－1C ．－2D ．22．已知直线1:24l y x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，若将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点，若△ABC 的面积为6，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知一次函数y =-kx +k ，y 随x 的增大而减小，则在直角坐标系内大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4．在平而直角坐标系中，一次函数32y x m 的图像关于直线1y 对称后经过坐标原点，则m 的值为（）A ．1B ．2C ．1 D ．25．甲、乙两自行车运动爱好者从A 地出发前往B 地，匀速骑行．甲、乙两人离A 地的距离y （单位：km ）与乙骑行时间x （单位：h ）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（）A ．乙骑行1h 时两人相遇B ．甲的速度比乙的速度慢C ．3h 时，甲、乙两人相距15kmD ．2h 时，甲离A 地的距离为40km二、填空题6．如图，直线3y x 和2y kx 相交于点 ,3P a ，则关于x 的不等式32 x kx 的解集是______．7．如图，直线l 的函数表达式为1y x ，在直线l 上顺次取点2341(2,1),(3,2),4,3),(5,4),,(1,)(n A A A A A n n，构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为123,,,,n S S S S ，则2022S __________．三、解答题8．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中m＞0，直线y＝kx﹣1与y轴相交于C点．(1)求点C坐标．(2)若m＝2，①求△ABC的面积；②若点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，求k的取值范围；(3)当k＝﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB的交点为P点（不与A点、B点重合），且AP＜2，求m的取值范围．。
一次函数与二元次方程组(题型+解析)
一次函数与二元一次方程（组）的关系【教学目标】1.理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；2.学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法；【重点难点】1.对应关系的理解及实际问题的探究2.二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解【教学内容】课前巩固：确定一次函数表达式一、正比例函数1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示：问题1：在物体下滑的过程中，时间和速度都是变量，速度与时间的这种关系与我们学的哪种函数类似？问题2：如果想知道每个时刻物体的速度，通过图象能否确定？例如下落0.2秒的速度？问题3：如图，观察图象，你能得到哪些信息？问题4：请写出 v 与 t 的关系式；问题5：下滑3秒时物体的速度是多少？想一想？确定正比例函数的表达式需要几个条件？二、一次函数2、若一次函数 y = 2x + b 的图象经过点A(-1，4），则 b=＿＿；该函数图象经过点B(1，＿）和点C（＿，0）。
3、假如又有同学画了如下一条直线，你能知道该函数的表达式吗？想一想？确定一次函数的表达式需要几个条件？三、例题分析例1、下表中，y是x的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表。
x -3 -2 -1 0 1y 6 4A52Ov(米/秒)t/秒Y2-3O x例2 、在弹性限度内，弹簧的长度 y （厘米）是所挂物体质量 x （千克）的一次函数。
一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。
请写出 y 与x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度。
解：设 y=kx+b ，根据题意，得14.5=b ① 16=3k+b ②将b=14.5代入②，得k=0.5。
在弹性限度内，y 于x 的关系是为：y=0.5x+14.5， 当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5（厘米） 即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米。
二元一次方程与一次函数经典习题
二元一次方程与一次函数课程学习要求1．知识与能力目标（1）二元一次方程和一次函数的关系.（2）二元一次方程组的图象解法.（3）通过学生的思考和操作，力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法.同时培养学生初步的数形结合的意识和能力.重点难点剖析1.二元一次方程和一次函数的关系.【剖析】1.例如：函数y=x+1和y=4x-2的交点坐标就是由两个函数表达式组成的方程组⎩⎨⎧-=+=241x y x y 的解.因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题.2. 二元一次方程组无解<=>一次函数的图像平行（无交点）二元一次方程组有一解<=>一次函数的图像相交（有一个交点）二元一次方程组有无数个解<=>一次函数的图像重合（有无数个交点）2. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.【剖析】1.把两个方程都化成函数表达式的形式.2.画出两个函数的图象.3.画出交点坐标，交点坐标即为方程组的解.（A 层）夯实基础训练一、选择题1．如果直线y=3x+6与y=2x-4交点坐标为（a ，b ），则x a y b=⎧⎨=⎩是方程组_______的解（ •）A ．3624y x y x -=⎧⎨+=-⎩B ．3624y x y x -=⎧⎨-=⎩C ．3634x y x y -=⎧⎨-=⎩ D ．3624X Y X Y -=-⎧⎨-=-⎩2．已知y 1=-x+1和y 2=-2x-1，当x>-2时y 1>y 2；当x<-2时y 1<y 2，则直线y 1=-x+1和直线y 2=-2x-1的交点是（ ）A ．（-2，3）B ．（-2，-5）C ．（3，-2）D ．（-5，-2）3．已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，则直线y=2x+1与y=-x+4的交点是（ ）A ．（1，0）B ．（1，3）C ．（-1，-1）D ．（-1，5）4．直线AB ∥x 轴，且A 点坐标为（1，-2），则直线AB 上任意一点的纵坐标都是-•2，此时我们称直线AB 为y=-2，那么直线y=3与直线x=2的交点是（ ）A ．（3，2）B ．（2，3）C ．（-2，-3）D ．（-3，-2）二、填空题1.已知直线y=ax+b 经过点（1，2）和（2，3），则a=________，b=________．2．解方程组157x y x y +=⎧⎨-=⎩解为________，则直线y=-x+15和y=x-7的交点坐标是________．•3．已知函数y=mx-（4m-3）的图象过原点，则m 应取值为．4．直线y=2x-1与y=x+4的交点是（5，9），则当x_______时，直线y=2x-1•上的点在直线y=x+4上相应点的上方；当x_______时，直线y=2x-1上的点在直线y=x+4上相应点的下方．三、解答题1.某超市为“开业三周年”举行了店庆活动．对A 、B 两种商品实行打折出售．打折前，购买5件A 商品和1件B 商品需用84元；购买6件A 商品和3件B 商品需用108元．而店庆期间，购买50件A 商品和50件B 商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？（B 层）拓展知识训练一、选择题1.若一次函数y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的图像没有交点,则方程组⎩⎨⎧=+=0b y -x K -b y -x k 2211的解的情况是 ( ) .A. 有无数组解B. 有两组解C. 只有一组解D. 没有解2. 如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a,b),则⎩⎨⎧==by a x 是方程组( )的解.A. ⎩⎨⎧=+=-4y 2x 63x -yB.⎩⎨⎧==++0y -4-2x 0y 63xC.⎩⎨⎧== 04-y -2x -6y -3xD.⎩⎨⎧==4y -2x 6y -3x3. 若方程组⎩⎨⎧=+=+32y 2x 2y x 没有解,由此一次函数y=2-x 与y=23-x 的图像必定 ( ). A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 4. 已知方程组⎩⎨⎧==+02y -x 4ky 2x 有正数解,则k 的取值范围是 ( ). A. k>4 B. k ≥4 C. k>0 D. k>-4二、填空题1. 若一次函数y=3x-5与y=2x+7的交点P 的坐标为(15,38),则方程组⎩⎨⎧==7y -2x 5y -3x 的解为___.2. 在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=2x+3与y=2x-3的图像这两个图像______交点 (填”有”或”没有”),由此可知⎩⎨⎧==+03-y -2x 03y -2x 的解的情况是__________.3. 在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=2x-2与2y=4x-4的图像,这两个图像的关系是_________,由此可知方程组⎩⎨⎧=4-2y -4x 02-y -2x 的解的情况是__________.1222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解 ．.据统计，2008年1016964倍少69万人次.在此期间，地面公100km/h ，汽车从A 地到B 地一，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
二元一次方程组(题型篇)-初中数学题型大全
A.3B. C. D.
【详解】
解：把 代入： ，
故选： ．
变式
1.下列四组数中，是方程 的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】将A选项代入得4×0−(−10)=10，所以此选项正确；
将B选项代入得4×3.5−(−4)=18，所以此选项错误；
【详解】
两人的速度和为 （千米/时），
设甲的速度为 千米/时，乙的速度为 千米/时，
由题意可得 ，
解得 ．
答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为2千米/时．
变式4.3
8.从夏令营地到学校先下山后走平路，某人骑自行车以12千米/时速度下山，再以9千米/时速度通过平地，用了1小时，返回时以8千米/时通过平路，6千米/时速度上山回到原地，共用1小时15分钟，求营地到学校有多远？
故该方程组的解为 ．
【点睛】此题考查的是解三元一次方程组，掌握利用加减消元法解三元一次方程组是解决此题的关键．
题型四：二元一次方程组的实际应用
二元一次方程组在实际应用过程中要重点把握等量关系的建立，找到题目中隐藏的两个变量，建立方程组，解方程即可．
常见的问题有：将错就错（错中求解）；方案选择；行程问题；工程问题；数字问题；销售利润问题；古代问题等．
把 代入①，得 ，
解得： ，
所以原方程组的解是 ．
【点睛】本题考查加减消元法解方程组，关键是要使方程组一未知数系数的绝对值相等，同号两式相减，异号两式相加．
③整体代入
例2.3先阅读，再解方程组．
解方程组 时，可由①得 ③，然后再将③代入②，
得 ，解得 ，从而进一步得 这种方法被称为“整体代入法”．
二元一次方程组和一次函数问题
二元一次方程组（3）教学目标利用二元一次方程组求解一次函数，掌握一次函数与二元一次方程组的关系。
重难点分析：重点：1、利用二元一次方程组求解一次函数表达式；2、二元一次方程组的解与一次函数的关系；难点：1、二元一次方程组与一次函数的关系；2、方案选择问题。
知识点梳理1、二元一次方程与一次函数的关系若k ，b 表示常数且0≠k ，则b kx y =-为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得b kx y +=，将x ，y 看作自变量、因变量，则b kx y +=是一次函数．事实上，以方程b kx y =-的解为坐标的点组成的图象与一次函数b kx y +=的图象相同。
结论：（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上；（2）一次函数的图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程。
2、二元一次方程与对应两条直线的关系（1）方程组的解是对应的两条直线的交点坐标（2）两条直线的交点坐标是对应的方程组的解特别的：（1）两平行直线的k 相等；（2）方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解，对应的两直线平行。
3、三元一次方程组的基本概念知识点1：二元一次方程（组）与一次函数的基本关系【例1】图中两直线1l ，2l 的交点坐标可以看作方程组【 】的解。
A ．121x y x y -=⎧⎨-=-⎩ B. 121x y x y -=-⎧⎨-=⎩C ．321x y x y -=⎧⎨-=⎩ D. 321x y x y -=-⎧⎨-=-⎩【例2】（1）在同一直角坐标系中作出一次函数2+=x y ，3-=x y 的图像。
（2）两者的图像有何关系?（3）你能找出一组数适合方程2-=-y x ，3=-y x 吗?_________________，•这说明方程组2,3,x y x y -=-⎧⎨-=⎩________。
【随堂练习】1、直线83=-y kx ，452-=+y x 交点的纵坐标为0，则k 的值为【 】A ．4B ．-4C ．2D ．-22、把方程341x y x +=+化为b kx y +=的形式是________________。
二元一次方程和一次函数的应用题
题目：二元一次方程和一次函数的应用题一、引言在初中的数学学习中，我们接触到了二元一次方程和一次函数的概念。
这两个概念在日常生活中有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将通过一系列应用题的方式，来深入探讨二元一次方程和一次函数的实际应用，以帮助读者更加深入地理解和掌握这两个数学概念。
二、二元一次方程的应用题1. 风速问题某地温度为20摄氏度，风速为8米/秒时，室外温度高于室内温度。
如果风速减小到4米/秒，室外温度低于室内温度。
求室内室外温度。
解析：设室内温度为x摄氏度，室外温度为y摄氏度。
由题意可得到如下两个方程：x - y = k（式1）k = 2t（式2）将式2代入式1中，得到：x - y = 2t当风速为8米/秒时，室外温度高于室内温度，即y > x，代入上述方程组，可解得室内温度为18摄氏度，室外温度为20摄氏度。
当风速为4米/秒时，室外温度低于室内温度，即y < x，代入上述方程组，可解得室内温度为22摄氏度，室外温度为20摄氏度。
2. 速度问题甲、乙两地相距500公里，甲地到乙地有一辆以80km/h的汽车，乙地到甲地有一辆以100km/h的汽车。
两车同时出发相向而行，多久能相遇？解析：设甲地汽车行驶时间为x小时，乙地汽车行驶时间为y小时。
根据题意可得到如下两个方程：80x + 100y = 500（式1）x + y = t（式2）其中t为两车相遇的时间。
将式2代入式1中，得到：80x + 100(t-x) = 500解得x = 2.5，y = 2.5，所以两车相遇的时间为2.5小时。
三、一次函数的应用题1. 成本和收入问题某公司生产一种产品，每生产一件产品的成本为20元，售价为30元。
如果销售量为x件，求出销售x件产品的收入和成本之差的一次函数。
解析：收入为30x，成本为20x，所以收入和成本之差为30x - 20x = 10x。
销售x件产品的收入和成本之差为10x元，可以表示成y = 10x 的一次函数。