小升初奥数几何图形
小学奥数几何图形大全
⼩学奥数⼏何图形⼤全⼏何图形综合1．如图，四边形ABCD 是直⾓梯形．其中AD=12(厘⽶)，AB=8(厘⽶)，BC=15(厘⽶)，且△ADE ，四边形DEBF ，△CDF 的⾯积相等．阴影△DEF 的⾯积是多少平⽅厘⽶？2．如图，长⽅形ABCD 的⾯积是96平⽅厘⽶，E 是AD 边上靠近D 点的三等分点，F 是CD 边上靠近C 点的四等分点.阴影部分的⾯积是多少平⽅厘⽶？3．如图，把⼀个正⽅形的两边分别增加3和5厘⽶，⽶(阴影部分)．原正⽅形的⾯积为多少平⽅厘⽶？4．如图，把⼀个正⽅形的相邻两边分别减少2厘⽶和446平⽅厘⽶(阴影部分).原正⽅形的⾯积为多少平⽅厘⽶？5．如图，在△ABC 中，AD 的长度是AB 的四分之三，AE 的长度是 AC 的三分之⼆.请问：△ADE 的⾯积是△ABC ⾯积的⼏分之⼏？6．如图，在△ABC 中，BC=3CD ，AC=3AE ，那么△ABC 的⾯积是△CDE 的多少倍？7．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对⾓线AC 、BD 分成四个部分.△AOB 的⾯积是3平⽅千⽶，△BOC 的⾯积是2平⽅千⽶，△COD 的⾯积是1平⽅千⽶，如果公园由⼤⼩为6.9平⽅千⽶的陆地和⼀块⼈⼯湖组成，那么⼈⼯湖的⾯积是多少平⽅千⽶？E DF B CA D E AB CE A D8.如图，在梯形ABCD 中，AD 长9厘⽶，BC 长15厘⽶， BD 长12厘⽶，那么OD 长多少厘⽶？ 9.如图，有8个半径为1厘⽶的⼩圆，⽤它们圆周的⼀部分连成⼀个花瓣图形，图中的⿊点是这些圆的圆⼼.如果圆周率π取3.14，那么花瓣图形的周长和⾯积分别是多少？ 10.图中甲区域⽐⼄区域的⾯积⼤57其中直⾓三⾓形竖直的直⾓边的长度是多少？(π取3.14) 11.如图，在3×3的⽅格表中，分别以A 、E 为圆⼼，3、2为半径，画出圆⼼⾓都是90o的两段圆弧.图中阴影部分的⾯积是多少? (π取3.14).(π取13.下图是⼀个直⾓边长为3厘⽶、4厘⽶的直⾓三⾓形.将该三⾓形⼀任意⼀条边所在直线为轴进⾏旋转，求所得⽴体图形的表⾯积和体积.14.如图，已知正⽅形ABCD 的边长为4厘⽶，求阴影部分的⾯积.A D OB C●●●●●●●●●●●●●●●a bc d e f hg15.斜边长为10厘⽶的等腰直⾓三⾓形的⾯积是多少？16.右图中两个完全相同的三⾓形重叠在⼀起，则阴影部分的⾯积是多少？17.求图中四边形的⾯积.18.图中⼋条边的长度正好分别是1,2,3,4,5,6,7,8厘⽶. 已知a =2厘⽶，b=4厘⽶，c =5厘⽶，求图形的⾯积.19.如图所⽰，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于多少度？20.如图,⼀个边长为1⽶的正⽅形被分成4个⼩长⽅形，它们的⾯积分别是0.3平⽅⽶、0.4平⽅⽶、0.2平⽅⽶、0.1平⽅⽶. 已知图中的阴影部分是正⽅形，那么它的⾯积是多少平⽅⽶？21.如图所⽰，三⾓形ABC 中，DE 与BC 平⾏，且AD :DB=5求AE :EC 及DE :BC .22.如图,间相互重叠.已知露在外⾯的部分中，红⾊的⾯积是20，黄⾊的⾯积是14，绿⾊的⾯积是10.那么,B A D 1 2 3 4 5 6 绿23.如图所⽰，已知△ABC 的⾯积为1平⽅厘⽶，D 、E是AB 、AC 边的中点.求三⾓形OBC 的⾯积.24.在如图所⽰的正⽅形中，A 、B 、C 分别是ED 、EG 、GF的中点.请问：△CDO 的⾯积是△ABO ⾯积的⼏倍？25.如图,四边形ABCD 是平⾏四边形，⾯积为72平⽅厘⽶，E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，请问：阴影部分的⾯积为多少平⽅厘⽶？26.如图,△ABC 中，CE=2AE ，F 是AD的中点，△ABC 为1，那么阴影部分的⾯积多少？27.如图,△ABC 中，AD 、BE 相交于点O ，△OAE 、△OAB△OBD 的⾯积分别为1、2、3，那么四边形ODCE28.图中有半径分别为5厘⽶、4厘⽶、3厘⽶的三个圆，A 部分(即两⼩圆重叠部分)的⾯积与阴影部分的⾯积相⽐，哪个⼤？⼤多少？29.如图，图中最⼤的长⽅形⾯积是27，最⼩的长⽅形⾯积是5⾯积.30.阅读理解:(1)阅读：勾股定理是⼏何学中⼀颗光彩夺⽬的明珠，被称为“⼏何学的基⽯”，中国是发现和研究勾股定理最古⽼的国家之⼀。
小升初六年级奥数几何知识专题
第一讲：几何综合之圆与扇形解析第四讲：几何综合之几何之比解析第六讲：几何综合之差不变原理解析第七讲：几何综合之等积变化解析第九讲：几何综合之等积变化解析第十讲：几何综合之图形综合训练题第十一讲：几何综合之等积变化练习几何综合之图形综合训练题（六年级奥数）1.明和爷爷分别沿小圆(A →B →C →D →E →A)和大圆两条路线散步．(如图)如果速度相同，两人同时出发，谁先回到出发地点？为什么？4用胶带捆住两根直径1分米的毛竹，捆一周（接头不计）胶带至少要多少分米？5、ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知:AB =BC =10cm,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π)6、计算图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）7．上右图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为______平方厘米．8．图中，每个小正方形的面积均为1个面积单位，共9个面积单位，则图中阴影部分面积为多少个面积单位？9．图中△AOB 的面积为152cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，则梯形ABCD 的面积为______．10．在下左图中ABCD 是梯形，AECD 是平行四边形，则阴影部分的面积是______平方厘米（图中单位：厘米）．图形的计数。
例1、数出下列各图中长方形的个数分别是多少？A BC D C D例2 下图中共有多少个正方形？例3下图中有多少个角？练习1、有（ ）个角。
2、下图中共有多少个正方形？3．如图，O 为△A1A6A12的边A1A12上的一点，分别连结OA2，OA3，…，OA11，图中共有______个三角形．4、数一数（1）、下图中一共有多少个长方形。
E FDAB CO5、将ABC 的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个三角形？6. 图中，圆的面积与长方形的面积相等。
长方形的长是12厘米，圆的半径是（ ）厘米。
7． 三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. AB 长40厘米, BC 长 厘米.8．图中三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分面积。
小升初数学几何图形专题训练含参考答案(5篇)
小升初数学几何图形专题知识训练含答案一、单选题1．甲数和乙数的比是4∶7，甲数是乙数的（）A．47B．74C．342．甲数的14和乙数的34相等，那么甲数（）乙数。
A．大于B．小于C．等于D．不能比较3．在一张长8厘米，宽6厘米的长方形纸上，剪下一个最大的正方形，这个正方形的面积是（）。
A．36平方厘米B．48平方厘米C．64平方厘米4．下面图形都是由3个边长1厘米的小正方形组成的，其中周长最长的是（）。
A．B．C．5．旋转能得到（）A．圆柱B．圆锥C．一个空心的球6．如图，图中的物体从（）看到的形状是相同的．A．正面和上面B．正面和右面C．上面和右面7．下面运用“转化”思想方法的是（）。
A．①和②B．①和③C．②和③8．下列叙述正确的是（）A．两个数的最小公倍数是它们最大公因数的倍数。
B．三角形的底和高扩大2倍，它的面积也扩大2倍。
C．相邻两个非0的自然数，其中一定有一个是合数。
9．两个完全相同的长方形（如图），将图①和图②阴影部分的面积相比，（）A．图①大B．图②大C．图①和图②相等10．下列说法中正确的有（）。
①2厘米长的线段向上平移10厘米，线段的长还是2厘米。
②8080008000这个数只读出一个“零”。
③万级包括亿万、千万、百万、十万、万五个数位。
④三位数乘两位数，积不可能是六位数。
A．2个B．3个C．4个二、填空题11．在一个宽为6厘米的长方形里恰好能画两个同样尽量大的圆(如图).圆的直径为厘米，半径为厘米；一个圆的周长为厘米，面积为平方厘米；长方形的面积是平方厘米，阴影部分的面积是平方厘米．12．一个梯形的上底是5.8厘米，下底是6.2厘米，高是2.5厘米，它的面积是平方厘米。
13．是由几个拼成的。
；；。
14．在横线上填上“平移”或“旋转”。
汽车行驶中车轮的运动是现象；推拉门被推开是现象。
15．把一个棱长为6 cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是。
小升初奥数专项之几何(二)
小升初奥数专项之几何（二）
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1、下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
2. 已知一个圆的面积是28.26平方厘米，那么这个圆的半径和周长分别是多少？
3. 图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米。
其中直线三角形竖直的直角边的长度是多少？（π取3.14）
4. 如图，在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板。
问：
余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
5．如图，求阴影部分的面积．(π取3)
6. 左下图中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米，当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取3.14）
7. 一个圆柱和一个圆锥，它们的底面半径的比是2：3，体积的比是3：5，它们高的比是_________．
8. 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图），由图中的数据可推知瓶子的容积是_________立方厘米．（π取3.14）
9. 用若干棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于_________cm2．
10. 如图是由几个边长为1cm的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置叠加的立方体的个数，则这个几何体的表面积是_________.
11. 如图，将一根长10米的长方体木块锯成6段，表面积比原来增加了100平方分米，这根长方体木块原来的体积是_________立方分米．
12. 用棱长为1cm的正方体木块叠成一个立方体．根据下面给出的三个不同方向看到的图形，可以知道这个立方体的体积是_________，表面积是_________．。
小升初数学思维拓展几何图形专项训练专题4-等积变形(位移、割补)
专题4-等积变形（位移、割补）小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、等积变形的主要方法：（1）三角形内等底等高的三角形；（2）平行线内等底等高的三角形；（3）公共部分的传递性；（4）极值原理（变与不变）。
【典例一】如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．求小路的占地面积？【分析】无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分14×2，横的部分20×2，计算重叠2×2，则小路面积为（20+14）×2-2×2=64（平方米）．【解答】解：小路面积为：（20+14）×2-2×2=64（平方米），答：小路的占地面积64平方米．【点评】利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横的长方形和重叠的小正方形，进而解答．【典例二】如图，五边形ABCDE是一片荒地的示意图，陈家承包后想将其中的小路E M N---改成直路EG，然后在直路EG，然后在直路EG两旁分别种植不同的蔬菜，并使改道前后路两旁的面积，保持不变，请你左图中画出这条直路．（图中体现画法1)【分析】利用尺规作图做//EN MG，如图根据两条平行线之间的垂线段相等和同底等高的三角形的面积相等，可得S ENG S EMN∆=∆，由此作图即可．【解答】解：画法如图所示，连接EN，过点M作//MG EN，交CB于点G，连接EG，EG即为所求直路的位置．【点评】此题利用两条平行线之间的垂线段相等和同底等高的三角形的面积相等的知识作图．【典例三】A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A 注水，求（1）2分钟容器A中的水有多高？（2）3分钟时容器A中的水有多高．【分析】已知B容器的底面半径是A容器的2倍，高相等，B容器的容积就是A容器的4倍；因此，单独注满B容器需要4分钟，要把两个容器都注满一共需要145+=（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A中的水位是容器高的一半，即1226÷=（厘米）（其余的水流到B容器了）；由此可知，用2.5分钟的时间两个容器中的水的高度相等，都是6厘米；以后的时间两个容器中的水位同时上升，用3 2.50.5-=（分钟）分钟注入两个容器的高度加上6厘米即是3分钟后的高度．【解答】解：（1）A 容器的容积是：23.141 3.141 3.14⨯=⨯=（立方厘米），B 容器的容积是：23.142 3.14412.56⨯=⨯=（立方厘米），12.56 3.144÷=，即B 容器的容积是A 容器容积的4倍，因为一水龙头单独向A 注水，一分钟可注满，所以要注满B 容器需要4分钟，因此注满A 、B 两个容器需要145+=（分钟），已知现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，2分钟后A 中的水位是容器高的一半，即1226÷=（厘米）；（2）因为注满A 、B 两个容器需要145+=（分钟），所以52 2.5÷=（分钟）时，A 、B 容器中的水位都是容器高的一半，即6厘米，2.5分钟后两容器中的水位是同时上升的，3分钟后，实际上3 2.50.5-=（分钟）水位是同时上升的，10.5510÷=，112 1.210⨯=（厘米），6 1.27.2+=（厘米）；答：2分钟时，容器A 中的高度是6厘米，3分钟时，容器A 中水的高度是7.2厘米．【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答关键是理解现在两个容器在它们高度一半处用一个细管连通，当A 中的水高是容器高的一半时，其余的水流到B 容器了；以后的时间两个容器中的水位同时上升，即注满两容器时间的110乘容器高就是0.5分钟上升的水的高度．一．选择题（共4小题）1．我国古代数学家刘徽利用“出入相补”原理计算平面图形的面积，其原理是：把一个图形分割、移补，而面积保持不变。
最新小升初数学衔接训练--几何知识
精品文档小升初数学衔接训练几何初步知识一、平面图形与空间图形1、正方形（C：周长S：面积a：边长）周长＝边长× 4C=4a面积 =边长×边长S=a×a2、正方体（V:体积a:棱长）表面积 =棱长×棱长× 6S表=a×a×6体积 =棱长×棱长×棱长V=a×a×a3、长方形（ C ：周长S：面积a：边长）周长 =( 长 +宽) ×2C=2(a+b)面积 =长×宽S=ab4、长方体（V:体积s:面积a:长b:宽 h: 高）(1)表面积 ( 长×宽 +长×高 +宽×高 ) ×2S=2(ab+ah+bh)(2) 体积 =长×宽×高V=abh或v=sh5、三角形（s：面积a：底h：高）面积 =底×高÷ 2s=ah÷2三角形高 =面积×2÷底三角形底 =面积×2÷高6、平行四边形（s：面积a：底h：高）面积 =底×高s=ah7、梯形（s：面积a：上底b：下底h：高）面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b) × h ÷28、圆形（ S：面积 C ：周长л d=直径r=半径）(1)周长 =直径×л =2× л ×半径 C= лd=2л r(2) 面积 =半径×半径×лs=л r29、扇形（半径用r 表示， n 表示圆心角的度数，面积用 s 表示）s= nл r2/36010、环形(1)特征由两个半径不相等的同心圆组成，有无数条对称轴。
(2)计算公式 s=л (R2-r2）精品文档11、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径）体积 =底面积×高÷ 3v=sh/312、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长）(1)侧面积 =底面周长×高 =ch(2 л r 或л d)(2)表面积 =侧面积 +底面积×2 = s 侧 +2 s 底(3)体积 =底面积×高 = sh（4）体积＝侧面积÷ 2×半径巩固练习：1、一个长方形的周长是30 分米，长与宽的比是3： 2，这个长方形的面积是（）2、在下图中，平行四边形的面积是20 平方厘米，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是（），阴影部分的面积是（）平方厘米。
西安小升初奥数几何综合（蝴蝶模型、等高模型、一半模型、勾股定理、容斥原理、差不变原理等）
西安⼩升初奥数⼏何综合（蝴蝶模型、等⾼模型、⼀半模型、勾股定理、容斥原理、差不变原理等）第⼀讲：直线型⼏何模块⼀长度问题1.（2015铁⼀中5.30）⼩明家买了新房，需要装修，根据房型⽰意图上的数据，⼩明帮爸爸算出了地⾯的周长，周长是多少？（注:每⼀转弯处都是直⾓，数据如图所⽰）2.求下图的周长。
3.下⾯是⼀个零件的平⾯图，图中每条短线都是5厘⽶，零件长35厘⽶，⾼30厘⽶，求这个零件的周长是多少厘⽶？4.下图是⼀⾯砖墙的平⾯图，每块砖长20厘⽶，⾼8厘⽶，像途中那样⼀层、⼆层……，⼀共摆⼗层，求摆好后这⼗层砖墙的周长是多少？5.如图所⽰，在⼀个正⽅形内画中、⼩两个正⽅形，使三个正⽅形具有公共定点，这样⼤正⽅形被分割成了正⽅形区域甲，和L形区域⼄和丙。
甲的边长为4厘⽶，⼄的周长是甲的周长的1.5倍，丙的周长是⼄的周长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘⽶？EF长多少厘⽶？6.如图，⼀个六边形的6个内⾓都是120°，其连续四边的长依次是1厘⽶、9厘⽶、9厘⽶、5厘⽶。
求这个六边形的周长。
7.图（1）、图（2）是两个形状、⼤⼩完全相同的⼤长⽅形，在每个⼤长⽅形内放⼊四个如图（2）所⽰的⼩长⽅形，阴影的区域是空下来的地⽅，已知⼤长⽅形的长⽐宽多6厘⽶，问图（1）、图（2）中阴影区域的周长哪个⼤？⼤了多少？模块⼆⾓度问题8.（2014年某师⼤附中5.31）如图，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，如果图中所有的⾓的和等于180°，那么∠AOD的度数是多少？9.将ΔABC绕点C按顺时针⽅向旋转30°，得到ΔB′A′C，若AC和A′B′垂直，则∠BAC的度数是多少？10.如图把⼀个长⽅形ABCD沿AE对折，点B落在F点，EF交AD于点G，如果∠BEA＝38°，∠EGA的度数是多少？11.已知长⽅形ABCD，将三⾓形BCD沿对⾓线BD折叠，记点C的对应点为C'，∠ADC'＝20°，则∠BDC的度数为多少？12.如图，在三⾓形ABC中，点D在BC上，且∠ABC＝∠ACB、∠ADC＝∠DAC，∠DAB＝21°，求∠ABC的度数。
小升初奥数几何图形解法举例
几何图形的十大解法一、学奥数到底有什么用对目前绝大部分学奥数的孩子和他们的家长来说，那就是通过各种杯赛获奖得到一个上重点中学试验班的机会，因为现在的升学制度决定了奥数已经成为升学的一个重要手段。
其实我们目前学的某些内容，比如抽屉原理等，可能以后在初中甚至高中的课本里我们都根本不可能接触到的，但是我们学习的其实是一些思想方法，更具体的说，是培养一种解决问题的能力。
能把小学奥数学好的同学，我相信学习中学的知识的时候，至少在理科方面，那绝对是游刃有余的。
二、怎样学好奥数学奥数最佳的起步时间应该是三年级，这个时间启蒙教育特别重要，能不能尽快入门，或者说“开窍“，这是一个很重要的时期。
五年级的时候最好就应该把六年级的内容学的差不多了.下面具体谈一下奥数的学习方法学奥数有诀窍吗？根据我学习奥数的经验，答案是没有。
但如果非要我说一个的话，那就是“做题”。
那么这里就有两个问题了，一是我该做哪些题呢？二是我该做多少，应该怎么做呢？我们先说一下做哪些题，现在市面上的奥数书种类繁多。
我觉推荐《华罗庚学校数学课本》，这本书内容不难，适合入门学习。
《华罗庚思维训练导引》是一本分类习题集，每个专题15个题目，虽然有的题目偏难，但这本书选题都非常有代表性，值得一做（做三星题目为主）。
除了专题训练外，大量的综合练习也是必不可少的，《小学数学ABC》《小学数学奥林匹克试题详解》和刘京友编写的《题库》这3本书非常好。
通过做综合练习找出自己问题所在，再集中的有针对性的加强这方面的练习，达到差漏补缺的目的。
这就要求我们每次做完题，不会的或者做错的一定要弄明白为止。
有的同学可能一天做好几套题目，做完了对对答案，每套错的都不多，自我感觉也不错，做了半天也累了就把书扔下不管了。
这样的学习是没有效果的，因为你原先会的还是会，不会的那些呢？还是不会！因此题目不在于你做了多少，关键是你遇到的每一道题目无论你当时是否会做，事后你是否都真正理解了，再遇到类似的题目还会不会做。
小升初数学思维拓展几何图形专项训练专题5-三角形面积与底的正比关系
专题5-三角形面积与底的正比关系小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、三角形的面积：s=21×底×高，由该公式有以下推论：（1）当底相同时：S1：S2=a：b；（2）当两个三角形相似时：S1：S2=（a：b）2．【典例一】图中三角形ABC 的面积是2120cm ，AE EC =，23DC BD =，那么三角形AED 的面积是多少2cm ？【分析】根据23DC BD =，则2DC =份，3BD =份，5BC BD DC =+=份，即25DC BC =；若ADC ∆的底边取DC ，ABC ∆的底边取BC ，则这两个三角形的高是相同的，根据三角形的面积公式以及底边和高的关系，则得：ADC ∆的面积25ABC =∆的面积；又因为AE EC =，所以AED ∆和CED ∆底边和高相等，所以AED ∆的面积12ADC =∆的面积；据此得解．【解答】解：根据以上分析，得：21120322⨯⨯+2112052=⨯⨯11205=⨯24=（平方厘米）答：三角形AED 的面积是224cm ．【点评】根据三角形的面积公式，以及底边和高的关系推导出三角形之间面积的关系是解决此题的关键．【典例二】有一块平行四边形菜地（如图），DE EF FC ==，13GB BD =，三角形GEF 种的是小白菜，面积是28m ，求这块平行四边形菜地的面积是多少2m【分析】连接GC ，根据DE EF FC ==，所以三角形DEG 和三角形GEF 和三角形CFG 的面积相等，它们是等底等高的三角形，据此可求出三角形DCG 的面积，又因13GB BD =，三角形BCD 和三角形BCG 是等高的三角形，它们底边的比就是面积的比，可求出三角形BCD 的面积，再乘2就是平行四边形菜地的面积，据此解答．【解答】解：如图因DE EF FC ==，8DEG GEF CFG S S S ∆∆∆===（平方米）33824DCG GEF S S ∆∆==⨯=（平方米）又因13GB BD =，所以33243622BCD DCG S S ∆∆==⨯=（平方米）所以平行四边形菜地的面积是36272⨯=（平方米）答：这块平行四边形菜地的面积是72平方米．【点评】本题的重点是连接CG ，再根据三角形面积和底边成正比进行解答．一．选择题（共8小题）1．如图所示，平行四边形ABCD 中，2CD CE =。
小升初奥数知识点之几何问题
几何问题计算公式
三角形的面积＝底×高÷2。
公式S=a×h÷2
正方形的面积＝边长×边长公式S=a×a
长方形的面积＝长×宽公式S=a×b
平行四边形的面积＝底×高公式S=a×h
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2公式S=(a+b)h÷2
内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa
圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr
圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2
圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=πdh ＝2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2
圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh
圆锥的体积＝1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh
分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
小升初奥数几何图形的认识
等腰梯形： 等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相腰．
菱形： 菱形的四条边都相等，对角分别相等．
圆： 圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线 叫圆的直径．
直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．
3 和 4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰
三角形的两条边的长度分别是 4 和 9，这个三角形的周长可能是多少？
【巩固】周长是 12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？ 【巩固】用 7 根长度都是 1 寸的火柴棍拼成了一个三角形．请问：这个三角形的三条边长分别是多少？
【例 6】 下 图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？
例题精讲
本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立 体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．
几何图形的定义：
几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素． 点： 用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置． 线段： 沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点． 射线： 从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．
扇形：
长方体： 长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的 三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．
正方体： 正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．
圆柱： 圆柱的两个底面是完全相同的圆．
经典小学奥数题型(几何图形)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，A BCD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =， 那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDBM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEFS =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI H G FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABNS =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形 5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDED【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。
小升初数学思维拓展几何图形专项训练专题1-组合图形的个数
专题1-组合图形的个数小升初数学思维拓展几何图形专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、组合图形的概念。
圆，三角形，正多边形，梯形，平行四边形为基本图形其余的为组合图形，可以用辅助线分解为基本图。
2、组合图形的计数实质上就是分类数图形，解决方法。
（1）合理进行分类．（2）利用排列组合的有关公式进行每一个类的数量计算．（3）将所有的类的数量进行相加．（4）仔细检查，防止遗漏。
【典例一】试数出下图有多少个三角形．【分析】三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形，根据概念找出图中图形的个数．【解答】解：单个三角形组成的三角形有8个，2个三角形组成的三角形有4个，4个三角形组成的三角形有4个，8+4+4=16（个）．答：有16个三角形．【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．【典例二】平面上有100条直线，这些直线最少有多少个交点？最多有多少个交点？【分析】这些直线交点最少时，100条直线互相平行；这些直线交点最多时，100条直线两两相交．依此即可求解．【解答】解：100条直线互相平行时没有交点，所以这些直线最少有0个交点；n 条直线最多有1(1)2n n -个交点，所以100条直线最多有1100(1001)49502⨯⨯-=个交点，答：这些直线最少有0个交点，最多有4950个交点．【点评】考查了组合图形的计数，注意平行和相交的特征，应理解和应用．【典例三】1个角3个角6个角10个角那么从一个顶点引出的n 条射线能组成多少个角？【分析】观察题干可知，角的总个数与这点引发射线组成的子角的个数有关：当从一点引发n 条射线时，子角的个数就是1n -个，则一共有123(1)(1)(11)2(1)2n n n n n +++⋯+-=--+÷=-÷个角，据此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：从一个顶点引出的n 条射线能组成1n -个子角，所以组成的角的总个数为：123(1)(1)2n n n +++⋯+-=-÷（个)，答：从一个顶点引出的n 条射线能组成(1)2n n -÷个角．【点评】考查了数角的个数，要有总结规律的能力或公式应用的能力．一．选择题（共8小题）1．城市义工协会开展垃圾分类宣传进社区活动。
小升初--几何图形问题及详细解答
3.（05 年 101 中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小
灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我
把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需 10 分钟，16
分钟，20 分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？
11.（★★）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米，求阴 影部分的面积。 解：我们要得到阴影部分，只要两个正方形的面积和扣除三个三角形的面积即可。 那么正方形面积和为：10×10＋12×12＝244。 三角形 ABG 面积为 50；三角形 ABD 面积为 1/2×22×12＝132；三角形 AFG 面积为 1/2×2×12＝12。则阴影部分面积为 244－50－132－12＝50。
7.（101 中学考题）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三
个小长方形的面积分别为 15、18、30 公顷，问图中阴影部分的面积是多少？ 解：设定阴影部分面积为 X,则不难由长方形面积公式看出比例关系为：X/30=15/18，则 X=25。
8.正方形 ABFD 的面积为 100 平方厘米，直角三角形 ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面 积大 30 平方厘米，求 DE 的长是多少？ 解：公共部分的运用，三角形 ABC 面积-三角形 CDE 的面积=30， 两部分都加上公共部分（四边形 BCDF），正方形 ABFD-三角形 BFE=30， 所以三角形 BFE 的面积为 70，所以 FE 的长为 70×2÷10=14，所以 DE=4。
35÷5×6=42。 2.（06 年西城实验考题）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图) 如果小正方形面积是 1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，那麽直角三角形中，最短的直角 边长度是______米. 解答：小正方形面积是 1 平方米，大正方形面积是 5 平方米，所以外边四个面积和是 5-1=4， 所以每个三角形的面积是 1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正 方形的边长，所以求出短边长就是 1。
经典小学奥数题型(几何图形)
经典小学奥数题型(几何图形)经典小学奥数题型（几何图形）在小学奥数竞赛中，几何图形是一个常见的考点。
通过熟悉和掌握一些经典的几何题型，学生能够提高解题能力，增强空间想象力，并且培养逻辑思维。
一、平面图形的边、角和面积计算1. 边和角计算设某个多边形的边数为 n，则它的内角和为 (n-2) × 180 度。
如果该多边形是正多边形，则每个内角都相等，即每个内角为 [(n-2) ×180]/n 度。
2. 正多边形的面积计算设正多边形的边长为 a，边数为 n，则正多边形的面积 S = (n ×a^2)/(4 × tan(π/n)) 平方单位。
3. 三角形的面积计算设三角形的底边长为 a，高为 h，则三角形的面积 S = (a × h) /2 平方单位。
二、相似三角形的性质当两个三角形的相应角相等时，我们可以推论他们是相似三角形。
相似三角形之间存在以下几个性质：1. 边长的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例应该相等： AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。
2. 面积的比例如果两个三角形 ABC 和 XYZ 是相似的，那么对应边长之间的比例的平方等于对应面积之间的比例：(AB/XY)^2 = (BC/YZ)^2 =(AC/XZ)^2 = S(ABC)/S(XYZ)。
三、三角形的周长和面积计算1. 三角形的周长计算将三角形的三条边长相加，即可得到三角形的周长。
2. 海伦公式设三角形的三条边长为 a、b、c，令 p = (a+b+c)/2 为半周长，则三角形的面积S = √( p × (p-a) × (p-b) × (p-c) ) 平方单位。
四、平行四边形和矩形的性质1. 平行四边形的性质平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相等分，并且对角线相交的点将对角线份平分。
2. 矩形的性质矩形是一种特殊的平行四边形，它的对边相等且互相平行，且所有角都是直角。
小升初六年级奥数——几何（平面图形）
⼩升初六年级奥数——⼏何（平⾯图形）⼀、分数百分数问题，⽐和⽐例这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占⽐例⾮常⾼，重点应该掌握好以下内容：对单位1的正确理解，知道甲⽐⼄多百分之⼏和⼄⽐甲少百分之⼏的区别；求单位1的正确⽅法，⽤具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点；分数⽐和整数⽐的转化，了解正⽐和反⽐关系；通过对“份数”的理解结合⽐例解决和倍（按⽐例分配）和差倍问题；⼆、⾏程问题应⽤题⾥最重要的内容，因为综合考察了学⽣⽐例，⽅程的运⽤以及分析复杂问题的能⼒，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌握以下内容：路程速度时间三个量之间的⽐例关系，即当路程⼀定时，速度与时间成反⽐；速度⼀定时，路程与时间成正⽐；时间⼀定时，速度与路程成正⽐。
特别需要强调的是在很多题⽬中⼀定要先去找到这个“⼀定”的量；当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的⽐例关系求第三个量的⽐；学会⽤⽐例的⽅法分析解决⼀般的⾏程问题；有了以上基础，进⼀步加强多次相遇追及问题及⽕车过桥流⽔⾏船等特殊⾏程问题的理解，重点是学会如何去分析⼀个复杂的题⽬，⽽不是⼀味的做题；三、⼏何问题⼏何问题是各个学校考察的重点内容，分为平⾯⼏何和⽴体⼏何两⼤块，具体的平⾯⼏何⾥分为直线形问题和圆与扇形；⽴体⼏何⾥分为表⾯积和体积两⼤部分内容。
学⽣应重点掌握以下内容：等积变换及⾯积中⽐例的应⽤；与圆和扇形的周长⾯积相关的⼏何问题，处理不规则图形问题的相关⽅法；⽴体图形⾯积：染⾊问题、切⾯问题、投影法、切挖问题；⽴体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题；四、数论问题常考内容，⽽且可以应⽤于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容：掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数⼀定是9的倍数等；最好了解其中的道理，因为这个⽅法可以⽤在许多题⽬中，包括⼀些数字谜问题；掌握约数倍数的性质，会⽤分解质因数法，短除法，辗转相除法求两个数的最⼤公因数和最⼩公倍数；学会求约数个数的⽅法，为了提⾼灵活运⽤的能⼒，需了解这个⽅法的原理；了解同余的概念，学会把余数问题转化成整除问题，下⾯的这个性质是⾮常有⽤的：两个数被第三个数去除，如果所得的余数相同，那么这两个数的差就能被这个数整除；能够解决求⼀个多位数除以⼀个较⼩的⾃然数所得的余数问题，例如求1011121314 (9)899除以11的余数，以及求20082008除以13的余数这类问题；五、计算问题计算问题通常在前⼏个题⽬中出现概率较⾼，主要考察两个⽅⾯，⼀个是基本的四则运算能⼒，同时，⼀些速算巧算及裂项换元等技巧也经常成为考察的重点。
小升初奥数几何图形
1、已知甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,求CE的长.
2、四边形ABCD是长为10厘米,宽6厘米的长方形,三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米.求CF的长.
3、平行四边形ABCD中,BC=10厘米.直角三角形BCE的直角边EC=8厘米.已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米.求CF的长.
3、在长方形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,分别以AB、BC为半径作扇形,求阴影部分面积.
4、大正方形和小正方形的边长分别为4厘米和3厘米,求阴影部分面积.
例6：圆.
1、已知四分之一圆的半径是10cm,其中有一个最大的正方形,求阴影部分的面积.
2、已知圆中有一个最大的正方形,正方形中又有一个最大的圆,求大圆和小圆的面积比.
3、根据对应数据,求阴影部分面积.
4、已知阴影部分的面积是40平方厘米,求圆环的面积.
经过了以上问题的训练,你应该有很多收获.自己总结一下,以后再遇到这种求阴影部分面积的坑人题目,应该能应付得来了.但还有一类图形类题目仍未解决,那就是立体图形.我们已经学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱和圆锥,常见的问题是求算它们的表面积和体积,当然还有一些另类的题目.接下来,我们看看各地毕业、升学考试中出现过的立体图形题目.
5、在正方体中,削出一个体积最大的圆柱,已知圆柱的侧面积是628平方厘米.求正方体的表面积.
6、一只小蚂蚁在正方体的顶点A处,它要沿着正方体的表面爬到顶点H处觅食.
（1）请画出它爬行的最短路线.（一条即可）
（2）最短路线有（ ）条.
二、能力点评
学法升华
一、知识收获
以上问题,你觉得哪些较为简单,哪些比较困难
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求阴影部分面积常用的方法有哪些
三、技巧提炼
最短路径怎么画
课后作业
一、看图求面积。
1、已知甲部分的面积比乙部分的面积大57cm2，BC=20cm，
求AB的长度。
2、求阴影部分的面积。
3、平行四边形中有两个完全相同的正六边形，每个正六边形的面积是8cm2，求平行四边形的面积。
4、已知圆环的面积是25.12平方厘米，求阴影部分的面积。
例1：基本图形的面积计算。
1、下图的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。
2、已知平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。
例2：正方形和三角形之间的组合图形。
1、甲、乙分别是边长为6厘米和4厘米的正方形，求阴影部分面积。
2、甲、乙分别是边长为4厘米和3厘米的正方形，求阴影部分面积。
小升初奥数几何图形
辅导讲义
教学内容
一、能力培养
几何图形是数学里非常重要的知识，它主要包括长度、面积、体积等方面，也是升学、分班考试必考的内容（比较侧重于阴影部分的面积）。今天我们重点来研究这一板块的计算问题。我们已经掌握了几种基本图形的面积计算方法，我们先来复习一下。
正方形面积=边长×边长=对角线2÷2
例7：立体图形。
1、下图中，不能围成一个正方体的是（ ）。
2、如图，一个正方体放在一个长方体上面，正方体棱长2厘米，长方体的长、宽、高分别为5厘米、5厘米、2厘米，求这个组合图形的表面积和体积。
3、一张长方形铁皮按图剪裁，正好能做成一个圆柱体，求这个圆柱体的体积。
4、将下面的直角三角形以AB为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积。
长方形面积=长×宽
平行四边形面积=底×高
三角形面积=底×高÷2
梯形面积=（上底+下底）×高÷2
圆面积=半径2×π。
由两个甚至更多的基本图形组合在一起，就构成了一个组合图形。要计算组合图形的面积，就要根据图形的关系，灵活运用平移、旋转、分割、拼接、等积变形等方法。
下面我们来看看具体的题目。如果你都会做，你就无敌了。
5、如图，长方形ABCD，三角形ABG的面积是20，三角形CDQ的面积是35，求阴影部分面积。
6、在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知AO:CO=1:2，S△AOD=30，求梯形ABCD的面积。
例5：用“排空法、平移旋转法、二次求差法”解决有关圆的组合图形。
1、求阴影部分的面积。
2、已知正方形的边长为10厘米，以边长为直径作半圆，求阴影部分的面积。
例4：等积变形。
1、已知小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。
2、已知大正方形的边长是6分米，求阴影部分的面积。
3、三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC中点，AE的长度是ED的2倍，求阴影部分的面积。
4、已知中间小三角形的面积是5平方厘米，把三角形的三条边都向外延长，使得延长线段的长度与原来小三角形的对应边长都相等，求大三角形ABC的面积。
5、在正方体中，削出一个体积最大的圆柱，已知圆柱的侧面积是628平方厘米。求正方体的表面积。
6、一只小蚂蚁在正方体的顶点A处，它要沿着正方体的表面爬到顶点H处觅食。
（1）请画出它爬行的最短路线。（一条即可）
（2）最短路线有（ ）条。
二、能力点评
学法升华
一、知识收获
以上问题，你觉得哪些较为简单，哪些比较困难
3、根据对应数据，求阴影部分面积。
4、已知阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。
经过了以上问题的训练，你应该有很多收获。自己总结一下，以后再遇到这种求阴影部分面积的坑人题目，应该能应付得来了。但还有一类图形类题目仍未解决，那就是立体图形。我们已经学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱和圆锥，常见的问题是求算它们的表面积和体积，当然还有一些另类的题目。接下来，我们看看各地毕业、升学考试中出现过的立体图形题目。
3、在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，分别以AB、BC为半径作扇形，求阴影部分面积。
4、大正方形和小正方形的边长分别为4厘米和3厘米，求阴影部分面积。
例6：圆。
1、已知四分之一圆的半径是10cm，其中有一个最大的正方形，求阴影部分的面积。
2、已知圆中有一个最大的正方形，正方形中又有一个最大的圆，求大圆和小圆的面积比。
3、甲、乙分别是边长为8厘米和5厘米的正方形，求阴影部分面积。
例3：已知图形间的面积关系，求解长度。
1、已知甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长。
2、四边形ABCD是长为10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。求CF的长。
3、平行四边形ABCD中，BC=10厘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。直角三角形BCE的直角边EC=8厘米。已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。求CF的长。