《自动控制原理》 胡寿松 第05#6章 频域稳定裕度.ppt概要

上述两图中，γ均为正值
（2）幅值裕度
①在开环幅相频率特性曲线中定义
幅值裕度是指在(-1,j0)点处的幅值1与开环幅相
曲线在穿越频率ωx点处的幅值之比，用字母h表示。
计算公式：
1 1 h A( x ) G( jx ) H ( jx )
②在开环对数幅频特性曲线中定义 幅值裕度是指零分贝线与穿越频率ωx点处的对数 幅度值之间的距离。
直观、准确。因此，须进一步探讨频域指标与时
域指标之间的关系。
闭环系统的频域性能指标主要有4个：系统带
宽、带宽频率、谐振峰值、谐振频率。
开环系统的频域性能指标主要有3个：相角裕
度、幅值裕度、截止频率。
1 闭环系统的频带宽度（带宽定义）
设Φ(jω)为闭环系统的频率特性（可通过计算或 实验方法获得），则闭环系统的带宽频率定义如下：
系统的相对稳定性可用开环频率特性曲线（开环
幅相曲线和开环对数曲线）对(-1，j0)点的接近程度
来表示。通常，这种接近程度是以相角裕度和幅值裕
度来度量的。
在不同的开环频率特性曲线中，相角裕度和幅值
裕度的定义形式有所不同，但本质上相同，无论是在
开环幅相曲线还是开环对数曲线中，它们都是反映曲
线对(-1，j0)点的接近程度。
t d / T
1 1 h() t d 0.69T 2 2
上升时间： t t t 2.202 T r 2 1 调节时间： h(ts ) 1 et
s
/T
0.95h() 0.95 ts 3T
延迟时间： td 0.69T b
0.69
2.202
例5-14
典型二阶系统如图所示，试确定系统的相角
R(s)
2 n - s( s 2 n )
裕度。 解：典型二阶系统的开环频率特 性表达式为：
C(s)
图 典型二阶系统
2 n G ( j ) H ( j ) G ( j ) j ( j 2 n )
(arctg 90 ) 2 2 n 2 4 2n

（1）K=10时：
10 10 [(1 3 3 )] G ( j x ) 1.25 3 3 2 ( j x 1) 1 3

2
c
3
102 1
3
100 1 1.908
c
(c ) 3arctgc 1.908 187.0
2 2 b
20lg1 3 3
1 20 lg 20 lg 2 2 2 1 T b 1 2 2 2 1 T b b 1 T 1
1
1 1 T 2b2
可见，一阶系统的带宽与时间常数T成反比关系。
根据一阶系统的时域动态性能指标公式可得： 延迟时间： h(t d ) 1 e
(c ) (180 ) 180 187.0 7.0


1 1 h 0.8 G( j x ) H ( j x ) | 1.25 |
例5-14
典型二阶系统如图所示，试确定系统的相角
裕度。
R(s)
2 n - s( s 2 n )
C(s)
图 典型二阶系统
ζ有关，且为ζ的增函数，即ζ越大，γ越大，系统
稳定性就越好，但系统响应速度变差。
对于高阶系统，一般计算截止频率ωc比较困难,
在工程设计和分析时，只要求粗略估计系统的相角裕
度，故一般可根据对数幅频特性渐近线确定截止频率
ωc，即令La(ωc)=0，求取ωc，再由相频特性确定相
角裕度。 对于最小相位系统，要使系统稳定，要求相角裕
5-4 频域稳定裕度
1 稳定裕度的定义
控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。而对
一个稳定的系统而言，还有一个稳定的程度，即相 对稳定性的概念。 相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的 关系。在设计一个控制系统时，不仅要求它必须是 绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程 度。只有这样，才能不致因系统参数变化而导致系 统性能变差甚至不稳定。
度大于0，幅值裕度大于1,非最小相位系统不一定成立。 为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度不能太 小。在工程设计中，一般取 30 ~ 70，h 2 （对 应 20lg h 6dB ）。
5-5 闭环系统的频域性能指标
在频域中对系统进行分析、设计时，通常是
以频域指标作为依据的，但是不如时域指标来得
根据相角裕度的定义，可得其计算公式：
(c ) (180 ) 180 (c )
③物理意义：稳定系统在截止频率ωc处若相角再迟
后一个γ角度，则系统处于临界状态；若相角迟后
大于γ ，系统将变成不稳定。
j
-1 ωx γ ωc
0
1
∠G(jωc)Ｈ(jωc) G(jω)Ｈ(jωc)
解：系统开环频率特性表达式为： K K G ( j ) 3arctg 3 3 2 ( j 1) 1


K [(1 3 2 ) j (3 2 )] (1 2 )3
令 Im[G( j )] 0 可得： 3 即 x 3 K 可得： 令 | G( j ) | 1 1 3 1 2 即 c
1 1 2 (c ) (180 ) 180 152.9 27.1 h G( jx ) H ( jx ) 0.5

K G ( j ) 3 ( j 1)

K [(1 3 2 ) j (3 2 )] 3arctg 3 2 3 2 ( 1 ) 1 K
说明 b和延迟 时间、上升时间、 调节时间也成反比。
上升时间： tr 2.202T
调节时间： t s 3T
3
b
b
（2）二阶系统带宽b
n2 设二阶系统的闭环传递函数为 (s) 2 2 s 2 n s n
系统的幅频特性：| ( j ) |
1
2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 n n
闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3分
贝时，对应的频率b称为带宽频率，即带宽频率b为
满足下列方程的解：
20lg ( jb ) 20lg ( j0) 3
对于Ⅰ型和Ⅰ型以上系统，由于 ( j0) 1 故有：
20lg ( jb ) 3(dB)
显然，当>b时，有 20lg ( j) 20lg ( j0) 3 频率范围（0，b）称为系统的带宽（频带宽度）。
j
1 h
-1
1 0
∠G(jωc)Ｈ(jωc)
ωx γ ωc
G(jω)Ｈ(jωc)
K ( s 1)3 设K分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。
例5-13
已知单位反馈系统 G( s)
K ( s 1)3 设K分别为4和10时，试确定系统的稳定裕度。
例5-13
已知单位反馈系统 G( s)
的幅度值，进而求出系统的稳定裕度。 （1）K=4时：
4 4 [(1 3 3 )] G ( j x ) 0.5 3 3 2 ( j x 1) 1 3
3

2
c
42 1
3
16 1 1.233
c
(c ) 3arctgc 1.233 152.9


3
3
K 2 1
K 2 1
K G ( j ) 3 ( j 1)

K [(1 3 2 ) j (3 2 )] 3arctg 3 2 3 2 ( 1 ) 1 K

于是，可分别求出K=4和K=10时，开环系统在截
止频率ωc点处的相角和开环系统在穿越频率ωx点处
( jb ) 0.707 ( j0)
（1）一阶系统带宽b
1 设一阶系统的闭环传递函数为 ( s ) Ts 1
因为其开环系统为I型，故有 | ( j 0) | 1。
于是，根据带宽定义可求出一阶系统的带宽如下 :
20lg ( jb ) 20lg ( j 0) 3 20lg 20lg 1 1 T
b 设 A n
2
，则有


即A与ζ成反比关系，根据假设，又A与b成正比 关系，故可得，b与阻尼比ζ成反比关系。
二阶系统动态性能指标
td 1 0.6 0.2 2
b n [(1 2 2 ) (1 2 2 ) 2 1]0.5
1
2 b (1 ) 2 4 2 n 2 2 b 2 n

1 2
b n [(1 2 ) (1 2 ) 1]
2 2
0.5
可见，b与自然振荡频率n成正比关系。
dA 4 (1 2 2 ) 2 1 (1 2 2 ) 0 d (1 2 2 ) 2 1
令 | G( jc ) | 1可得： 2 n
2 c c2 4 2n
2 n
1 c n
4
4
Leabharlann Baidu
1 2
1 2 2

c n 4 4 1 2


1 2 2

c (c ) (180 ) 180 (c ) 90 arctg 2 n

2 n arctg arctg2 c
d 因为 d
4
4
1 2
2

1 4 2 4 1 2
1 2
4
4 4
2 1
2
4 4 1 0

故ωc为ωn的增函数和
相角裕度γ只与 的减函数。
故有 | ( j 0) | 1。
据带宽频率定义可知，等于b时，系统幅值应 是零频率幅值的0.707倍，因此可得
( j b ) ( j 0)
1
2 b2 2 (1 2 ) 4 2 b 2 n n
1 2
于是可得：
2
( j b ) ( j 0)
对于一个最小相位系统而言，曲线越靠近(-1， j0)点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对 稳定性就越差，下图是开环幅相曲线和单位阶跃响
应曲线对应关系的示意图。 (a)中：Z=P-2N=2，不稳定；
(b)中：（-1，j0）穿越次数 不计，临界稳定； (c)中： Z=P-2N=0，稳定； (d)中： Z=P-2N=0，稳定。但(d)的相对稳定性高些。
20 lg ( jb ) 20 lg ( j 0) 3 20 lg ( jb ) 20 lg ( j 0) 3
( jb ) 20 lg 3 ( j 0) ( jb ) 1 20 lg 20 lg ( j 0) 2 ( jb ) 1 0.707 ( j 0) 2
n
b与振荡频率n成正比关系 b与阻尼比ζ成反比关系
tr
n 1
2
tp
n 1 2
h 0 20lg G( jx )H ( jx ) 20lg G( jx )H ( jx ) (dB)
③物理意义：稳定系统的开环增益再增大h倍， 则在穿越频率ωx点处的幅值等于1，开环幅相 曲线正好通过(-1，j0)点，系统处于临界稳定 状态；若开环增益增大h倍以上，系统将变成 不稳定。 注意：幅值裕度——在穿越频率ωx处定义的。 幅值裕度和相角裕度在半对数坐标图中 的表示如下图所示。
相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它与 闭环系统的动态性能密切相关。
（1）相角裕度
①在开环幅相频率特性曲线中定义
相角裕度是指开环幅相曲线在截止频率ωc处的向
量与负实轴的夹角，常用希腊字母γ表示。 ②在开环对数相频曲线中定义 相角裕度是指开环对数相频曲线在截止频率ωc 处的相角与-180º 线之间的角度差。 注意：相角裕度——在截止频率ωc处定义的。