高中数学基础知识汇总

圣都中学高中数学基础知识汇总必修一（一）集合1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性.（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用∅表示.（3）我们约定用N 表示自然数集，用*N 表示正整数集，用Z 表示整数集，用Q 表示有理数集，用R 表示实数集.2.集合间的基本关系（1）集合与元素的关系表示元素和集合之间的关系，有属于“∈”和不属于“∉”两种情形.（2）集合与集合之间的关系集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等几种关系.若有限集A 中有n 个元素，集合A 的子集个数为2n ，非空子集的个数为21n -，真子集的个数为21n -，非空真子集的个数为22n -.（二）函数的概念（1）函数的定义设A ，B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的值域.值域是集合B 的子集.③〃映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：一对一，多对一.（2）函数的三要素：定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.（3）相等函数：定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.2.函数的表示方法函数的表示方法主要有三种：解析法、图象法、列表法.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（三）函数单调性1.增函数、减函数设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2.单调性、单调区间如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤： ①设出自变量；②作差（商）；③判号；④写出结论.2．函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.3．函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x 值.4.判断函数单调性的常见方法①定义法；②图象法；③导数法. ④5.求函数最值或值域的方法①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.（四）函数奇偶性奇函数、偶函数的性质①奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数()f x 在x =0处有定义，那么一定有(0)0f =.④在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.⑤奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.（五）基本函数：一次二次函数1. 函数(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R2. 一次函数性质3. ①当k >0时，为增函数，当k <0时，为减函数；②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数；③直线y =kx +b 与x 轴的交点为(,0)(0)b k k -≠与y 轴的交点为(0,)b . 3.二次函数的解析式的三种形式：①一般式c bx ax x f ++=2)(；②顶点式k h x a x f +-=2)()(；③零点式))(()(21x x x x a x f --=；4.二次函数的图象与性质 ①()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴方程为2b x a =-，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；②()2400,0b ac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x 轴有2个（1个、无）交点.③单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-减函数； 在(,)2b a-+∞上是增函数.0a <，相反.④奇偶性：()0当时，为b f x =偶函数；()0当时，b f x ≠既不是奇函数也不是偶函数；（六）指数函数1.幂的有关概念正整数指数幂：n a a a a =g g g L g 14444244443个n a ；零指数幂：0a =1(0a ≠) ；负整数指数幂：p a-=1p a (0,a p N +≠∈)；正分数指数幂：m n a =0,1a m n N n +>∈>、且); 负分数指数幂：mn a -=1mn a (0,1a m n N n +>∈>、且);0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.2.幂的运算法则（0,0,a b r s Q >>∈、）r s a a =r s a +；()r s a =rs a ；()r ab =r r a b4.指数函数()x f x a =具有性质：()()()(),1(0,1)f x y f x f y f a a a +==>≠（七）对数函数1.定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是b a N =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 称对数的底，N 称真数. ①以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，②以无理数( 2.71828)e e =为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln2.基本性质：①真数N 为正数（负数和零无对数），②log 10a =，③log 1a a =， ④对数恒等式：log a N a N =.3.运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 则①log ()log log a a a MN M N =+；②log log log aa a M M N N =-； ③log log n a a M n M =.4.换底公式：log log log m a m N N a=(0,1,0,1,0),a a m m N >≠>≠> ①log log 1a b b a ⋅=， ②log log m n a a n b b m =. 5.对数函数的图像与性质（八）幂函数：,y x =2y x =3,y x =1y x =12y x =的图像 1.当0a >时，幂函数()y x R αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，随x 的增大而增大；(3)在第一象限内，1α>时图像下凸,01α<<时图像上凸.(4)在第一象限内，过()1,1点后，图像向右上方无限伸展.2.当a<0时，幂函数()y xR αα=∈有下列性质：(1)图像都通过点(1,1)；(2)在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图像是向下凸的；(3)在第一象限内，图像向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近；(4)在第一象限内，过()1,1点后，α越大，图像下落的速度越快.（九）函数图像变换1．平移变换⑴水平平移：()()0y f x a a =±> 的图象，可由()y f x = 的图象向左()+ 或向右()- 平移a 个单位而得到；⑵竖直平移：()()0y f x b b =±> 的图象可由()y f x = 的图象向上()+ 或向下()- 平移b 个单位而得到；注：对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减.2．对称变换⑴()y f x =- 与()y f x = 的图象关于y 轴对称;⑵()y f x =- 与()y f x = 的图象关于x 轴对称;⑶()y f x =-- 与()y f x = 的图象关于原点对称;⑷()1y f x -= 与()y f x = 的图象关于直线y=x 对称;⑸()y f x = 的图象可将()y f x = 的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折上去，其余部分不变; ⑹()y f x = 的图象可将()y f x = ，()0x ≥ 的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴对称，作出0x < 的部分.3.伸缩变换⑴()()0y Af x A => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到;⑵()()0y f ax a => 的图象，可将()y f x = 图象上所有点的横坐标变为原来的1a，纵坐标不变而得到. （十）函数的应用1．函数零点的定义：对于函数()()(),0y f x x D f x =∈=使成立的_实数x _叫做函数()()y f x x D =∈的零点 .2.二分法定义：对于区间[],a b 上连续，且()()0f a f b < 的函数()y f x =,通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：该法一般求的是近似解.必修二（一）多面体和旋转体1．多面体和旋转体的概念（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱．（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台．（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．（6）圆台：①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②圆台还可以看成是以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.（7）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．2．多面体和旋转体的面积和体积公式（1）圆柱的侧面积：S=2πrl ；（2）圆锥的侧面积：S=πrl ；（3）圆台的侧面积：S =π（r+ r ′）l ；（4）球的表面积：24πV R =；（5）柱体的体积：V=Sh ；（6）锥体的体积：13V Sh =；（7）台体的体积：1()3V S S h '=； （8）球的体积：24π3V R =. （二）画法1．我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影，中心投影的投影线交于一点．2．我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影，平行投影的投影线是平行的． 在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．3．光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图叫做几何体的正视图； 光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图叫做几何体的侧视图； 光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图叫做几何体的俯视图； 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图． 一般地，一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．4．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使x O y '''∠=45°（或135°），它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段．（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．（三）点线面位置关系1．四个公理公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；用符号表示为：A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，且，；公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；用符号表示为：P P l αβαβ∈∈⇒= ，且；公理4 平行于一条直线的两条直线互相平行；用符号表示为：m l n l m n ⇒∥，且∥∥；2．异面直线（1）我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（2）空间两条直线的位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩ 直　线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线 直　线：同一平面内，没有公共点； 直　线：不同在任何一个平面内，没有公共点. （3）已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）．（4）定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面之间的位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点；（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行——没有公共点； 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．4．平面与平面之间的位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线．（四）平行问题1．定义：直线与平面没有公共点，则称此直线l 与平面α平面，记作l ∥α；2．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；用符号表示：a b a b a αβα⊄⊂⇒，，且∥∥．2．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；用符号表示：a a b a b αβαβ⊂=⇒ ∥，，∥．3．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；用符号表示：a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒ ，，，∥，∥∥． 几个结论：①如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行； ②平行于同一平面的两个平面平行；③如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；4．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；且符号表示：a b a b αβαγβγ==⇒ ∥，，∥．5．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．（五）垂直问题1．定义：如果直线l 和平面α内的所有直线都垂直，那么直线l 和平面α垂直，记作l ⊥α．直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足．2．直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：l a b a b A a αααα⊥⊂⊂=⇒⊥ ，，，且．3．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 用符号表示：a b a b αα⊥⊥⇒，∥．4．平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；用符号表示：a a αβαβ⊂⊥⇒⊥，．5．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号表示：l a a l a αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥ ，，，．几个结论：①如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面；②如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．（六）角问题1．已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）． 两异面直线所成角范围02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 2．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角． 直线和平面所成角范围02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 3．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．在二面角α-l -β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来衡量．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角范围[0]π，．（七）直线的概念与方程1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴为基准, x 轴的正方向与直线l 向上的方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.并规定:直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0.直线的倾斜角的取值范围是[)180,0. 2、直线斜率的概念：把一条直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示.直线倾斜角α与斜率k 的关系式为αtan =k .当k=0时,直线平行于x 轴或者与x 轴重合;当k>0时,直线的倾斜角为锐角;当k<0时,直线的倾斜角为钝角;倾斜角为 90的直线没有斜率.3、两点斜率公式 ：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率不存在,当1x ≠2x 时,直线的斜率为1212x x y y k --=. 4、直线方程的点斜式:设直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k ,则方程)(00x x k y y -=-称为直线方程的点斜式.当直线的斜率不存在时,不能够用点斜式来表示,直线方程此时为0x x =。