最新高三数学理科人教版二轮复习高考小题标准练(十八)及解析

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高考数学二轮复习小题标准练十八理新人教A版47

高考数学二轮复习小题标准练十八理新人教A版47

学习资料汇编高考小题标准练(十八)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i为虚数单位,则i+i2+i3+i4=( )A.0B.iC.2iD.-i【解析】选A.由i2=-1可知,i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.ðB)=( )2.已知集合A={x|x2-x+4>x+12},B={x|2x-1<8},则A∩(RA.{x|x≥4}B.{x|x>4}C.{x|x≥-2}D.{x|x<-2或x≥4}ðB)={x|x<-2或【解析】选 B.由A={x|x<-2或x>4},B={x|x<4},故A∩(Rx>4}∩{x|x≥4}={x|x>4}.3.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C. D.R【解析】选B.根据分段函数f(x)=的图象可知,该函数的值域为(-1,+∞).4.已知数列{a n}是等差数列,其前n项和S n有最大值,且<-1,则使得S n>0的n的最大值为( )A.2016B.2017C.4031D.4033【解答】选C.由题意知公差d<0,a2016>0,a2016+a2017<0,因此S4031>0,S4032<0.故选C.5.公元263年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π,刘徽称这个方法为“割圆术”,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.如图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序,则输出的n的值为:(参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)( )A.48B.36C.30D.24【解析】选D.模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin60°=,不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin 30°=3,不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin 15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,退出循环,输出n的值为24.6.将函数f(x)=cos2x-sin2x的图象向左平移个单位后得到函数F(x)的图象,则下列说法正确的是( )A.函数F(x)是奇函数,最小值是-B.函数F(x)是偶函数,最小值是-C.函数F(x)是奇函数,最小值是-2D.函数F(x)是偶函数,最小值是-2【解析】选A.将函数f(x)=cos2x-sin2x=cos的图象向左平移个单位后得到函数F(x)=cos[2(x+)+]=cos=-sin2x的图象,故函数F(x)是奇函数,且它的最小值为-.7.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是边长为2的正三角形,正视图是矩形,且AA1=3,则该几何体的体积为( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选C.由三视图可知,该几何体ABC-A1B1C1是正三棱柱,其底面是边长为2的正三角形、高为3.因为S△ABC=×2×=,h=A1A=3,所以=S△ABC·h=3.8.二项式的展开式中,项的系数是( )A. B.- C.15 D.-15【解析】选B.二项式的展开式的通项公式为T r+1=·=(-1)r··22r-10·,令=,求得r=3,可得展开式中含项的系数是-·2-4=-.9.据统计,某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X(单位:万)服从正态分布X~N(6,0.82),则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为( )(P(|X-μ|<σ)=0.6827,P(|X-μ|<2σ)=0.9545,P(|X-μ|<3σ)=0.9975)A.0.6827B.0.9545C.0.9975D.0.3414【解析】选D.因为随机变量X服从正态分布X~N(6,0.82),所以μ=6,σ=0.8,所以P(5.2<X<6.8)=0.6827,所以P(6<X<6.8)=P(5.2<X<6.8)≈0.3414.10.球面上有A,B,C三点,球心O到平面ABC的距离是球的半径的,且AB=2,AC⊥BC,则球O的表面积是( )A.81πB.9πC.D.【解析】选B.由题可知AB为△ABC外接圆的直径,令球的半径为R,则R2=+()2,可得R=,则球的表面积为S=4πR2=9π.11.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0【解题指南】不妨设P为右支上一点,由双曲线的定义,可得,|PF1|-|PF2|=2a,求出△PF1F2的三边,比较即可得到最小的角,再由余弦定理,即可得到c与a的关系,再由a,b,c的关系,结合渐近线方程,即可得到所求.【解析】选A.不妨设P为右支上一点,由双曲线的定义,可得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得,|PF1|=4a,|PF2|=2a,且|F1F2|=2c,由于2a最小,即有∠PF1F2=30°,由余弦定理,可得,cos30°===.则有c2+3a2=2ac,即c=a,则b==a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x.12.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)的图象上关于y轴对称的点至少有5对,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选D.若x<0,则-x>0,因为x>0时,f(x)=sin-1,所以f(-x)=sin-1=-sin-1,则若f(x)=sin-1(x>0)关于y轴对称,则f(-x)=-sin-1=f(x),即y=-sin-1,x<0,设g(x)=-sin-1,x<0,作出函数g(x)的图象,要使y=-sin-1,x<0与f(x)=log a(-x),x<0的图象至少有5个交点,则0<a<1且满足g(-7)<f(-7),即-2<log a7,即log a7>log a a-2,即7<,综上可得0<a<.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为__________. 【解析】x,y满足的平面区域如图中阴影部分所示(含边界),根据阴影部分可得,当直线z=2x+y与圆相切于第一象限时,z取最大值,此时=2,所以z的最大值为2.答案:214.已知向量a=(1,0),b=(0,-1),m=a+(2t2+3)b,n=-k a+ b,k,t为正实数.若m⊥n,则k的最小值为__________.【解析】由题知,m =(1,-2t2-3),n =.由m⊥n,得-k+(2t2+3)=0,整理得k=.因为k,t为正实数,所以k=2t+≥2,当且仅当t=时,取等号,故k的最小值为2.答案:215.已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,2asinB=b,b=2,c=3,AD是角A的平分线,D在BC上,则BD=__________.【解析】因为2asinB=b,所以由正弦定理可得2sinAsinB=sinB,因为sinB≠0,可得sinA=,因为A为锐角,可得A=,因为b=2,c=3,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×2×3×=7,可得:a=BC=,所以根据角分线定理可知,BD=.答案:16.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是____________.【解析】如图,由圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,得C1(1,0),C2(m,-m),设圆C2上点P,则PA2=PG·PC1,而PA2=P-2,所以P-2=PG·PC1,则PG=,A G===,所以S△PAB=2···==1.令=t(t≥0),得t3-t2-4=0,解得:t=2.即=2,所以PC1=2.圆C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上点P到C1距离的最小值为|C1C2|-m=-m,最大值为|C1C2|+m=+m,由-m≤2≤+m,得解①得:3-2≤m≤3+2,解②得:m≤-3或m≥1.取交集得:1≤m≤3+2.所以正数m的取值范围是[1,3+2].答案:[1,3+2]敬请批评指正。

高三数学(人教版理)二轮复习高考小题专攻练 4 Word版含解析

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高考小题专攻练4.数列小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=( )A.-1B.1C.3D.7【解析】选B.因为a1+a3+a5=105,即3a3=105,所以a3=35.同理可得a4=33,所以公差d=a4-a3=-2,所以a20=a4+(20-4)×d=1.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( )A. B.- C. D.-【解析】选 C.设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.3.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )A. B.- C.± D.±3【解析】选A.依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.4.等差数列{a n}中,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,S n)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )【解析】选C.因为S n=na1+d,所以S n=n2+n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,S n)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧. 5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,得a m=2,a m+1=3,所以d=1,因为S m=0,故ma1+d=0,故a1=-,因为a m+a m+1=5,故a m+a m+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即m=5.6.已知数列{a n}的通项公式是a n=,其前n项和S n=,则项数n 等于( )A.13B.10C.9D.6【解析】选D.因为a n=1-,所以S n=+++…+=n-=n-=n-1+.因为S n=,所以n-1+==5+,所以n=6.7.下面是关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中的真命题为( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.设a n=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若a n=3n-12,则满足已知,但na n=3n2-12n并非递增数列,所以p2为假命题;若a n=n+1,则满足已知,但=1+是递减数列,所以p3为假命题;a n+3nd=4dn+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.8.在等差数列{a n}中,满足3a4=7a7,且a1>0,S n是数列{a n}前n项的和,若S n取得最大值,则n= ( )A.7B.8C.9D.10【解析】选C.设公差为d,由题设3(a1+3d)=7(a1+6d),所以d=-a1<0.解不等式a n>0,即a1+(n-1)>0,所以n<,则n≤9,当n≤9时,a n>0,同理可得n≥10时,a n<0.故当n=9时,S n取得最大值.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1009>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2016)+f(a2017)的值( )A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以a1+a2017=a2+a2016=…=2a1009>0,得a1>-a2017,a2>-a2016,…,又f(x)是定义在R上的单调增函数,且f(-x)=-f(x),所以f(a1)>-f(a2017),即f(a1)+f(a2017)>0,同理,f(a2)+f(a2016)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2016)+f(a2017)的值恒为正数.10.已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n项和为S n,则S60= ( )A.-30B.-60C.90D.120【解析】选D.由题意可得,当n=4k-3(k∈N*)时,a n=a4k-3=1;当n=4k-2(k ∈N*)时,a n=a4k-2=6-8k;当n=4k-1(k∈N*)时,a n=a4k-1=1;当n=4k(k∈N*)时,a n==8k.所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+=8,所以S60=8×15=120.11.已知f(x)=x+1,g(x)=2x+1,数列{a n}满足a1=1,a n+1=则a2016= ( )A.22016-2016B.21007-2016C.22016-2D.21009-2【解析】选D.a2n+2=a2n+1+1=(2+1)+1=2+2.即a2n+2+2=2(+2),所以{+2}是以2为公比,a2+2=4为首项的等比数列.所以+2=4×2n-1=2n+1.所以=2n+1-2.所以a2016=21009-2.12.设函数f1(x)=x,f2(x)=log2016x,a i=(i=1,2,…,2016),记I k=|f k(a2)-f k(a1)|+|f k(a3)-f k(a2)|+…+|f k(a2016)-f k(a2015)|,k=1,2,则( )A.I1<I2B.I1=I2C.I1>I2D.I1与I2的大小关系无法确定【解析】选A.依题意知,f1(a i+1)-f1(a i)=a i+1-a i=-=, 因此I1=|f1(a2)-f1(a1)|+|f1(a3)-f1(a2)|+…+|f1(a2016)-f1(a2015)|=.因为f2(a i+1)-f2(a i)=l og2016a i+1-l og2016a i=l og2016-l og2016>0,所以I2=|f2(a2)-f2(a1)|+|f2(a3)-f2(a2)|+…+|f2(a2016)-f2(a2015)|=+(l og2016-l og2016)+…+=l og2016-l og2016=1,因此I1<I2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知l og2(a5+a9)=3,则等差数列{a n}的前13项的和S13=________.【解析】因为l og2(a5+a9)=3,所以a5+a9=23=8.所以S13====52.答案:5214.已知等差数列{a n}中,a1,a99是函数f(x)=x2-10x+16的两个零点,则a50+a20+a80=________.【解析】依题意a1+a99=10,所以a50=5.所以a50+a20+a80=a50+2a50=.答案:15.数列{a n}的通项公式a n=,若{a n}的前n项和为24,则n=________.【解析】a n==-.所以(-1)+(-)+…+(-)=24,所以=25,所以n=624.答案:62416.对正整数n,设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则的前n项和是________.【解析】曲线y=x n(1-x)=x n-x n+1,曲线导数为y′=nx n-1-(n+1)x n,所以切线斜率为k=n2n-1-(n+1)2n=-(n+2)2n-1,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以a n=(n+1)2n,所以=2n,所以数列是以2为首项,q=2为公比的等比数列,所以S n==2n+1-2.答案:2n+1-2关闭Word文档返回原板块。

2019-2020年高考数学二轮复习小题标准练十八理新人教A版

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2019-2020年高考数学二轮复习小题标准练十八理新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i为虚数单位,则i+i2+i3+i4=( )A.0B.iC.2iD.-i【解析】选A.由i2=-1可知,i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.2.已知集合A={x|x2-x+4>x+12},B={x|2x-1<8},则A∩(B)=( )A.{x|x≥4}B.{x|x>4}C.{x|x≥-2}D.{x|x<-2或x≥4}【解析】选 B.由A={x|x<-2或x>4},B={x|x<4},故A∩(B)={x|x<-2或x>4}∩{x|x≥4}={x|x>4}.3.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C. D.R【解析】选B.根据分段函数f(x)=的图象可知,该函数的值域为(-1,+∞).4.已知数列{a n}是等差数列,其前n项和S n有最大值,且<-1,则使得S n>0的n的最大值为( )A.xxB.2017C.4031D.4033【解答】选C.由题意知公差d<0,a xx>0,a xx+a xx<0,因此S4031>0,S4032<0.故选C.5.公元263年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π,刘徽称这个方法为“割圆术”,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.如图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序,则输出的n的值为:(参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)( )A.48B.36C.30D.24【解析】选D.模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin60°=,不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin 30°=3,不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin 15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,退出循环,输出n的值为24.6.将函数f(x)=cos2x-sin2x的图象向左平移个单位后得到函数F(x)的图象,则下列说法正确的是( )A.函数F(x)是奇函数,最小值是-B.函数F(x)是偶函数,最小值是-C.函数F(x)是奇函数,最小值是-2D.函数F(x)是偶函数,最小值是-2【解析】选A.将函数f(x)=cos2x-sin2x=cos的图象向左平移个单位后得到函数F(x)=cos[2(x+)+]=cos=-sin2x的图象,故函数F(x)是奇函数,且它的最小值为-.7.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是边长为2的正三角形,正视图是矩形,且AA1=3,则该几何体的体积为( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选C.由三视图可知,该几何体ABC-A1B1C1是正三棱柱,其底面是边长为2的正三角形、高为3.因为S△ABC=×2×=,h=A1A=3,所以=S△ABC·h=3.8.二项式的展开式中,项的系数是( )A. B.- C.15 D.-15【解析】选B.二项式的展开式的通项公式为T r+1=·=(-1)r··22r-10·,令=,求得r=3,可得展开式中含项的系数是-·2-4=-.9.据统计,某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X(单位:万)服从正态分布X~N(6,0.82),则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为( )(P(|X-μ|<σ)=0.6827,P(|X-μ|<2σ)=0.9545,P(|X-μ|<3σ)=0.9975)A.0.6827B.0.9545C.0.9975D.0.3414【解析】选D.因为随机变量X服从正态分布X~N(6,0.82),所以μ=6,σ=0.8,所以P(5.2<X<6.8)=0.6827,所以P(6<X<6.8)=P(5.2<X<6.8)≈0.3414.10.球面上有A,B,C三点,球心O到平面ABC的距离是球的半径的,且AB=2,AC⊥BC,则球O的表面积是( )A.81πB.9πC.D.【解析】选B.由题可知AB为△ABC外接圆的直径,令球的半径为R,则R2=+()2,可得R=,则球的表面积为S=4πR2=9π.11.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小内角的大小为30°,则双曲线C的渐近线方程是( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0【解题指南】不妨设P为右支上一点,由双曲线的定义,可得,|PF1|-|PF2|=2a,求出△PF1F2的三边,比较即可得到最小的角,再由余弦定理,即可得到c与a的关系,再由a,b,c 的关系,结合渐近线方程,即可得到所求.【解析】选A.不妨设P为右支上一点,由双曲线的定义,可得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得,|PF1|=4a,|PF2|=2a,且|F1F2|=2c,由于2a最小,即有∠PF1F2=30°,由余弦定理,可得,cos30°===.则有c2+3a2=2ac,即c=a,则b==a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x.12.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)的图象上关于y轴对称的点至少有5对,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选D.若x<0,则-x>0,因为x>0时,f(x)=sin-1,所以f(-x)=sin-1=-sin-1,则若f(x)=sin-1(x>0)关于y轴对称,则f(-x)=-sin-1=f(x),即y=-sin-1,x<0,设g(x)=-sin-1,x<0,作出函数g(x)的图象,要使y=-sin-1,x<0与f(x)=log a(-x),x<0的图象至少有5个交点,则0<a<1且满足g(-7)<f(-7),即-2<log a7,即log a7>log a a-2,即7<,综上可得0<a<.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为__________.【解析】x,y满足的平面区域如图中阴影部分所示(含边界),根据阴影部分可得,当直线z=2x+y与圆相切于第一象限时,z取最大值,此时=2,所以z的最大值为2.答案:214.已知向量a=(1,0),b=(0,-1),m=a+(2t2+3) b,n =-k a+ b,k,t为正实数.若m⊥n,则k的最小值为__________.【解析】由题知,m =(1,-2t2-3),n =.由m⊥n,得-k+(2t2+3)=0,整理得k=.因为k,t 为正实数,所以k=2t+≥2,当且仅当t=时,取等号,故k的最小值为2.答案:215.已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,2asinB=b,b=2,c=3,AD是角A的平分线,D在BC上,则BD=__________.【解析】因为2asinB=b,所以由正弦定理可得2sinAsinB=sinB,因为sinB≠0,可得sinA=,因为A为锐角,可得A=,因为b=2,c=3,所以由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×2×3×=7,可得:a=BC=,所以根据角分线定理可知,BD=.答案:16.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2.圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是____________.【解析】如图,由圆C1:(x-1)2+y2=2,圆C2:(x-m)2+(y+m)2=m2,得C1(1,0),C2(m,-m),设圆C2上点P,则PA2=PG·PC1,而PA2=P-2,所以P-2=PG·PC1,则PG=,AG===,所以S△PAB=2···==1.令=t(t≥0),得t3-t2-4=0,解得:t=2.即=2,所以PC1=2.圆C2:(x-m)2-(y+m)2=m2上点P到C1距离的最小值为|C1C2|-m=-m,最大值为|C1C2|+m=+m,由-m≤2≤+m,得解①得:3-2≤m≤3+2,解②得:m≤-3或m≥1.取交集得:1≤m≤3+2.所以正数m的取值范围是[1,3+2].答案:[1,3+2]。

高三数学(理科)二轮复习

高三数学(理科)二轮复习

高考数学第二轮复习计划一、指导思想高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主,通过第一轮复习,学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用,但知识较为零散,综合应用存在较大的问题。

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起,强化数学的学科特点,同时第二轮复习承上启下,是促进知识灵活运用的关键时期,是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期,因而对讲、练、检测要求较高。

强化高中数学主干知识的复习,形成良好知识网络。

整理知识体系,总结解题规律,模拟高考情境,提高应试技巧,掌握通性通法。

第二轮复习承上启下,是知识系统化、条理化,促进灵活运用的关键时期,是促进学生素质、能力发展的关键时期,因而对讲练、检测等要求较高,故有“二轮看水平”之说.“二轮看水平”概括了第二轮复习的思路,目标和要求.具体地说,一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透,研究是否深入,把握是否到位,明确“考什么”、“怎么考”.二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性,做到减少重复,重点突出,让大部分学生学有新意,学有收获,学有发展.三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强,使模糊的清晰起来,缺漏的填补起来,杂乱的条理起来,孤立的联系起来,让学生形成系统化、条理化的知识框架.四是看练习检测与高考是否对路,不拔高,不降低,难度适宜,效度良好,重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法.二、时间安排:1.第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段,时间为3月10——4月30日。

2.第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练,时间为5月1日——5月25日。

3.最后阶段学生自我检查阶段,时间为5月25日——6月6日。

三、怎样上好第二轮复习课的几点建议:(一).明确“主体”,突出重点。

第二轮复习,教师必须明确重点,对高考“考什么”,“怎样考”,应了若指掌.只有这样,才能讲深讲透,讲练到位.因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题.第二轮复习的形式和内容1.形式及内容:分专题的形式,具体而言有以下八个专题。

新教材适用2024版高考化学二轮总复习第4部分题型标准练选择题标准练二

新教材适用2024版高考化学二轮总复习第4部分题型标准练选择题标准练二

选择题标准练(二)一、选择题:本题共15小题,每小题3分,共45分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。

1. (2023·湖北选考)2023年5月10日,天舟六号货运飞船成功发射,标志着我国航天事业进入到高质量发展新阶段。

下列不能作为火箭推进剂的是( A )A.液氮—液氢B.液氧—液氢C.液态NO2—肼D.液氧—煤油【解析】虽然氮气在一定的条件下可以与氢气反应,而且是放热反应,但是,由于N ≡N键能很大,该反应的速率很慢,氢气不能在氮气中燃烧,在短时间内不能产生大量的热量和大量的气体,因此,液氮—液氢不能作为火箭推进剂,A符合题意;氢气可以在氧气中燃烧,反应速率很快且放出大量的热、生成大量气体,因此,液氧—液氢能作为火箭推进剂,B不符合题意;肼和NO2在一定的条件下可以发生剧烈反应,该反应放出大量的热,且生成大量气体,因此,液态NO2—肼能作为火箭推进剂,C不符合题意;煤油可以在氧气中燃烧,反应速率很快且放出大量的热、生成大量气体,因此,液氧—煤油能作为火箭推进剂,D不符合题意;综上所述,本题选A。

2. (2023·河北部分示范学校三模)下列说法错误的是( C )A.阴离子的配位数:CsCl晶体>NaCl晶体>CaF2晶体B.BF3与NH3可通过配位键形成氨合三氟化硼(BF3·NH3)C.H3BO3和H3PO3均为三元弱酸,分子结构式均为(X=B,P)D.基态氧原子的电子排布图(轨道表示式)为【解析】在CsCl晶体、NaCl晶体、CaF2晶体中,阴离子的配位数分别为8、6、4,A 正确;BF3与NH3反应生成BF3·NH3,B与N之间形成配位键,N原子提供孤对电子,B原子提供空轨道,B正确;H3BO3分子的结构式为,其水溶液呈酸性是因为H3BO3与H2O发生反应:H3BO3+H2O[B(OH)4]-+H+,因此H3BO3为一元弱酸。

H3PO3分子的结构式为,H3PO3为二元弱酸,C错误;O为8号元素,基态氧原子的电子排布图(轨道表示式)为,D正确;故选C。

第3节 圆的方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第3节  圆的方程--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第三节圆的方程1.圆的定义及圆的方程=D 2+E 2-4F2的圆;当D 2+E 2-4F =0时,-D 2,D2+E 2-4F <0时,不表示任何图形.2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0,y 0)与圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2或x 2+y 2+Dx +Ey +F =0之间存在着下列关系:位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MC |=r (x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F =0点在圆外|MC |>r (x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0点在圆内|MC |<r(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F <01.确定圆的方程时,常用到的圆的两个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.(2)圆心在任一弦的中垂线上.2.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.1.概念辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)圆x2+y2=a2的半径为a.()(2)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.()(3)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x20+y20+Dx0+Ey0+F>0.()答案(1)×(2)√(3)√2.小题热身(1)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是()A.(2,3),3B.(-2,3),3C.(-2,-3),13D.(2,-3),13答案D解析圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径r=13.故选D.(2)(人教A选择性必修第一册2.4.1练习T1改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是________________.答案(x-1)2+(y-1)2=2解析因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r=12+12=2,则该圆的标准方程为(x -1)2+(y-1)2=2.(3)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T7改编)若圆C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为________.答案2解析∵x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0表示圆,∴[-2(m-1)]2+[2(m-1)]2-4(2m2-6m+4)>0,∴m>1.又圆C过原点,∴2m2-6m+4=0,∴m=2或m=1(舍去),∴m=2.(4)(人教A选择性必修第一册复习参考题2T6改编)圆心在直线x+y=0上,且过点(0,2),(-4,0)的圆的标准方程为________________.答案(x+3)2+(y-3)2=10解析点(0,2)与点(-4,0)确定直线的斜率为k=2-00-(-4)=12,其中点为(-2,1),所以线段的中垂线方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0,又圆心在直线x+y=0上,由x+y+3=0,+y=0,=-3,=3,所以圆心为(-3,3),r=(-3)2+(3-2)2=10,所以圆的标准方程为(x+3)2+(y-3)2=10.考点探究——提素养考点一求圆的方程例1(1)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的一般方程是________________.答案x2+y2+4x-2y=0解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心C为点(-2,1),由中点坐标公式,得a+02=-2,0+b2=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=(-2+4)2+(1-0)2=5,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.(2)(2024·江苏南京一中月考)已知△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-2,2),则其外接圆的标准方程为________________.答案(x+1)2+(y-1)2=2解析设△ABC的外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为△ABC的顶点A(0,0),B(0,2),C(-2,2),2+b2=r2,2+(2-b)2=r2,2-a)2+(2-b)2=r2,=-1,=1,=2,因此(x+1)2+(y-1)2=2即为所求圆的方程.【通性通法】(1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心和半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.【巩固迁移】1.(2024·河北邯郸模拟)已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以P(2,-1)为圆心作一个圆,使得A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,则这个圆的标准方程为________________.答案(x-2)2+(y+1)2=13解析由题设知,|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,∴|PA|<|PB|<|PC|,要使A,B,C三点中的一个点在圆内,一个点在圆上,一个点在圆外,则圆以|PB|为半径,故圆的标准方程为(x -2)2+(y+1)2=13.2.已知圆的圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5),则圆的一般方程为________________.答案x2+y2+2x+4y-5=0解析解法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意,得2-a)2+(-3-b)2=r2,2-a)2+(-5-b)2=r2,-2b-3=0,=-1,=-2,2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.解法二:线段AB的垂直平分线方程为2x+y+4=0,x+y+4=0,-2y-3=0,解得交点坐标C(-1,-2),又点C到点A的距离d=10,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.考点二与圆有关的轨迹问题例2(2024·山东枣庄八中月考)已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)解法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且直线AC,BC的斜率均存在,所以k AC k BC=-1,又k AC=yx+1,k BC=yx-3,所以yx+1·yx-3=-1,化简,得x2+y2-2x-3=0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).解法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=12|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)设M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为B (3,0),M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式,得x =x 0+32,y =y 0+02,所以x 0=2x -3,y 0=2y .由(1),知点C 的轨迹方程为(x -1)2+y 2=4(y ≠0),将x 0=2x -3,y 0=2y 代入,得(2x -4)2+(2y )2=4,即(x -2)2+y 2=1(y ≠0).所以直角边BC 的中点M 的轨迹方程为(x -2)2+y 2=1(y ≠0).【通性通法】求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法:利用圆的几何性质列方程.(4)相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解.【巩固迁移】3.已知两点A (-5,0),B (5,0),动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3倍,则点P 的轨迹方程为________________.答案x 2+y 2-252x +25=0解析设P (x ,y ),由题意可知|PA |=3|PB |,由两点间距离公式,可得(x +5)2+y 2=3(x -5)2+y 2,化简,得x 2+y 2-252x +25=0.4.(2023·江苏淮安一模)已知点A (2,0)是圆x 2+y 2=4上一点,点B (1,1)是圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 的中点N 的轨迹方程.解(1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,点P 的坐标为(2x -2,2y ).因为点P在圆x 2+y 2=4上,所以(2x -2)2+(2y )2=4.故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1.(2)如图,设PQ 的中点N (x ,y ),在Rt △PBQ 中,|PN |=|BN |,设O 为坐标原点,则ON ⊥PQ ,所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2,所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0.考点三与圆有关的最值问题(多考向探究)考向1借助几何性质求最值例3已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)求y-3x+2的最大值和最小值;(3)求y-x的最大值和最小值.解(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2 2.又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42,所以|MQ|max=42+22=62,|MQ|min=42-22=22.(2)可知y-3x+2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.因为直线MQ与圆C有交点,所以|2k-7+2k+3|k2+1≤22,解得2-3≤k≤2+3,所以y-3x+2的最大值为2+3,最小值为2- 3.(3)设y-x=b,则x-y+b=0.当直线x-y+b=0与圆C相切时,截距b取到最值,所以|2-7+b|12+(-1)2=22,解得b=9或b=1,所以y-x的最大值为9,最小值为1.【通性通法】借助几何性质求最值的常见形式及求解方法(1)形如μ=y -bx -a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t =ax +by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x -a )2+(y -b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【巩固迁移】5.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A .4B .5C .6D .7答案A解析设圆心为C (x ,y ),则(x -3)2+(y -4)2=1,化简得(x -3)2+(y -4)2=1,所以圆心C 的轨迹是以M (3,4)为圆心,1为半径的圆,如图.所以|OC |+1≥|OM |=32+42=5,所以|OC |≥5-1=4,当且仅当C 在线段OM 上时取得等号.故选A.6.已知A (-2,0),B (2,0),点P 是圆C :(x -3)2+(y -7)2=1上的动点,则|AP |2+|BP |2的最大值为()A .40B .46C .48D .58答案D解析设O 为坐标原点,P (x ,y ),则|AP |2+|BP |2=(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=2(x 2+y 2)+8=2|PO |2+8.圆C 的圆心为C (3,7),半径为r =1,|OC |=4,所以|PO |2的最大值为(|OC |+r )2=(4+1)2=25,所以|AP |2+|BP |2的最大值为58.考向2构建目标函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ,y )是圆x 2+(y -3)2=1上的动点,定点A (2,0),B (-2,0),则PA →·PB →的最大值为________.答案12解析由题意,得PA →=(2-x ,-y ),PB →=(-2-x ,-y ),所以PA →·PB →=x 2+y 2-4,由于点P (x ,y )是圆上的点,故其坐标满足方程x 2+(y -3)2=1,故x 2=-(y -3)2+1,所以PA →·PB →=-(y -3)2+1+y 2-4=6y -12.易知2≤y ≤4,所以当y =4时,PA →·PB →的值最大,最大值为6×4-12=12.【通性通法】建立函数关系式求最值时,首先根据已知条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.【巩固迁移】7.等边三角形ABC 的面积为93,且△ABC 的内心为M ,若平面内的点N 满足|MN |=1,则NA →·NB →的最小值为()A .-5-23B .-5-43C .-6-23D .-6-43答案A解析设等边三角形ABC 的边长为a ,则面积S =34a 2=93,解得a =6.以AB 所在直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.由M 为△ABC 的内心,则M 在OC 上,且|OM |=13|OC |,则A (-3,0),B (3,0),C (0,33),M (0,3),由|MN |=1,则点N 在以M 为圆心,1为半径的圆上.设N (x ,y ),则x 2+(y -3)2=1,即x 2+y 2-23y +2=0,且3-1≤y ≤1+3,又NA →=(-3-x ,-y ),NB →=(3-x ,-y ),所以NA →·NB →=(x +3)(x -3)+y 2=x 2+y 2-9=23y -11≥23×(3-1)-11=-5-2 3.考向3利用对称性求最值例5一束光线,从点A (-2,2)出发,经x 轴反射到圆C :(x -3)2+(y -3)2=1上的最短路径的长度是()A .52-1B .52+1C .32+1D .32-1答案A解析如图,依题意知,圆C 的圆心C (3,3),半径r =1,点A (-2,2)关于x 轴的对称点为A ′(-2,-2),连接A ′C 交x 轴于点O ,交圆C 于点B ,圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径,于是得点A ′与圆C 上的点的距离的最小值为|A ′B |=|A ′C |-r =(-2-3)2+(-2-3)2-1=52-1.在x 轴上任取点P ,连接AP ,A ′P ,PC ,PC交圆C于点B′,而|AO|=|A′O|,|AP|=|A′P|,|AO|+|OB|=|A′O|+|OB|=|A′B|=|A′C|-r≤|A′P|+|PC|-r=|AP|+|PB′|,当且仅当点P与点O重合时取“=”,所以最短路径的长度是52-1.故选A.【通性通法】求解形如|PA|+|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决.【巩固迁移】8.(2024·浙江金华模拟)已知圆C:x2+(y-2)2=1上一动点A和定点B(6,2),点P为x轴上一动点,则|PA|+|PB|的最小值为________.答案213-1解析根据题意画出圆C:x2+(y-2)2=1,以及点B(6,2)的图象如图,作B关于x轴的对称点B′,连接B′C,则当A,P分别是B′C与圆和x轴的交点时,|PA|+|PB|最小,最小值|AB′|为点C(0,2)到点B′(6,-2)的距离减去圆的半径,即|AB′|=(6-0)2+(-2-2)2-1=213-1.课时作业一、单项选择题1.(2023·甘肃酒泉模拟)已知点(1,1)在圆x2+y2+ax+a=0外,则实数a的取值范围为() A.(-1,+∞)B.(-1,0)C.(-1,0)∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪(4,+∞)答案C解析∵点(1,1)在圆x2+y2+ax+a=0外,∴a2-4a>0,且12+12+a+a>0,解得-1<a <0或a>4.∴实数a的取值范围为(-1,0)∪(4,+∞).故选C.2.(2023·重庆九龙坡期中)在平面直角坐标系xOy中,已知P(-2,4),Q(2,6)两点,若圆M 以PQ为直径,则圆M的标准方程为()A.x2+(y+5)2=5B.x2+(y-5)2=5C.x2+(y+5)2=25D.x2+(y-5)2=25答案B解析因为圆M以PQ为直径,所以圆心M的坐标为(0,5),半径为|MQ|=(0-2)2+(5-6)2=5,所以圆M的标准方程为x2+(y-5)2=5.故选B. 3.(2024·河南洛阳阶段考试)方程x2+y2+2x-m=0表示一个圆,则m的取值范围是() A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]答案A解析由方程x2+y2+2x-m=0,可化为(x+1)2+y2=m+1,要使得方程x2+y2+2x-m=0表示一个圆,则满足m+1>0,解得m>-1,所以m的取值范围为(-1,+∞).故选A. 4.(2024·山东淄博淄川区期末)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线x-y+6=0对称的圆的方程为()A.(x+6)2+(y+4)2=4B.(x-4)2+(y+6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x-6)2+(y-4)2=4答案D解析由圆的方程(x+2)2+(y-12)2=4可得,圆心坐标为(-2,12),半径为2,由题意可得关于直线x-y+6=0对称的圆的圆心为(-2,12)关于直线对称的点,半径为2,设所求圆的圆心为(a,b),-b+122+6=0,1,解得a=6,b=4,故圆的方程为(x-6)2+(y-4)2=4.故选D.5.点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,|PA|=1,则点P的轨迹方程是() A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.y2=2x D.y2=-2x答案B解析∵|PA |=1,∴点P 和圆心的距离恒为2,又圆心坐标为(1,0),设P (x ,y ),∴由两点间的距离公式,得(x -1)2+y 2=2.故选B.6.已知圆C :(x -3)2+(y -4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m >0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的最大值为()A .7B .6C .5D .4答案B解析∵在Rt △APB 中,原点O 为斜边中点,|AB |=2m (m >0),∴|OC |-r ≤m =|OP |≤|OC |+r ,又C (3,4),r =1,∴4≤|OP |≤6,即4≤m ≤6.故选B.7.若点P 为圆x 2+y 2=1上的一个动点,A (-1,0),B (1,0)为两个定点,则|PA |+|PB |的最大值为()A .2B .22C .42D .4答案B解析由已知,得线段AB 为圆的直径.所以|PA |2+|PB |2=4,由基本不等式,得≤|PA |2+|PB |22=2,所以|PA |+|PB |≤22,当且仅当|PA |=|PB |=2时,等号成立.故选B.8.(2023·内蒙古赤峰模拟)已知圆O :x 2+y 2=1,点P (x 0,y 0)是直线l :3x +2y -4=0上的动点,若在圆O 上总存在不同的两点A ,B ,使得直线AB 垂直平分OP ,则y 0的取值范围为()AB ,2413C-1013,D.-1013,答案C解析在圆O 上总存在不同的两点A ,B 使得AB 垂直平分OP .若P 为直线l 与y 轴的交点,得P (0,2),此时圆O 上不存在不同的两点A ,B 满足条件;若P为直线l 与x 轴的交点,得此时直线AB 的方程为x =23,满足条件,y 0=0;当直线AB 的斜率存在且不为0时,∵AB ⊥OP ,k OP =y 0x 0,∴k AB =-x 0y 0,∴直线AB 的方程为y -y 02=-化为2x 0x +2y 0y-x 20-y 20=0,由圆心到直线AB 的距离d =x 20+y 202<1,得x 20+y 20<4,又3x 0+2y 0-4=0,化为13y 20-16y 0-20<0,解得-1013<y 0<2,∴y 0-1013,故选C.二、多项选择题9.已知△ABC 的三个顶点为A (-1,2),B (2,1),C (3,4),则下列关于△ABC 的外接圆圆M 的说法正确的是()A .圆M 的圆心坐标为(1,3)B .圆M 的半径为5C .圆M 关于直线x +y =0对称D .点(2,3)在圆M 内答案ABD解析设△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,+4-D +2E +F =0,+1+2D +E +F =0,+16+3D +4E +F =0,=-2,=-6,=5.所以△ABC 的外接圆圆M 的方程为x 2+y 2-2x -6y +5=0,即(x -1)2+(y -3)2=5.故圆M 的圆心坐标为(1,3),圆M 的半径为5,因为直线x +y =0不经过圆M 的圆心(1,3),所以圆M 不关于直线x +y =0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,故点(2,3)在圆M 内.故选ABD.10.设有一组圆C k :(x -k )2+(y -k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是()A .不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上B .所有圆C k 均不经过点(3,0)C .经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个D .所有圆的面积均为4π答案ABD解析圆心C 的坐标为(k ,k ),在直线y =x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简,得2k 2-6k +5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k +5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简,得k 2-4k +2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不相等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD.三、填空题11.(2024·安徽蚌埠模拟)已知定点A (4,0),P 是圆x 2+y 2=4上的一动点,Q 是AP 的中点,则点Q 的轨迹方程是________.答案(x -2)2+y 2=1解析如图所示,设P (x 0,y 0),Q (x ,y ),则x 20+y 20=4①,因为Q 为AP 的中点,所以x ,y 0=2x -4,0=2y②,所以由①②得,(2x -4)2+(2y )2=4,即(x -2)2+y 2=1,所以点Q 的轨迹方程为(x -2)2+y 2=1.12.(2023·广东湛江三模)已知圆C 过点A (-2,0),B (2,4),当圆心C 到原点O 的距离最小时,圆C 的标准方程为________.答案(x -1)2+(y -1)2=10解析由A (-2,0),B (2,4),可得线段AB 中点的坐标为(0,2),又k AB =4-02-(-2)=1,所以AB 垂直平分线的方程为y =-x +2,则圆心C 在线段AB 的垂直平分线y =-x +2上,当圆心C 到原点O 的距离最小时,则OC 垂直于直线y =-x +2,则OC ∥AB ,所以直线OC的方程为y =x ,=x ,=-x +2=1,=1,所以圆心C (1,1),又半径r 2=|AC |2=(-2-1)2+(0-1)2=10,所以圆C 的标准方程为(x -1)2+(y -1)2=10.13.(2024·福建泉州期中)已知点P (m ,n )在圆C :(x -2)2+(y -2)2=9上运动,则(m +2)2+(n +1)2的最大值为________.答案64解析由题意得,圆心C (2,2),半径r =3.(m +2)2+(n +1)2表示圆C 上的点P 到点M (-2,-1)的距离的平方,因为|CM |=5,所以|PM |max =5+3=8,即(m +2)2+(n +1)2的最大值为64.14.已知A (0,2),点P 在直线x +y +2=0上,点Q 在圆C :x 2+y 2-4x -2y =0上,则|PA |+|PQ |的最小值是________.答案25解析因为圆C :x 2+y 2-4x -2y =0,故圆C 是以C (2,1)为圆心,半径r =5的圆.设点A (0,2)关于直线x +y +2=0的对称点为A ′(m ,n ),+n +22+2=0,1,=-4,=-2,故A ′(-4,-2).由对称性可知|PA |+|PQ |=|A ′P |+|PQ |≥|A ′Q |≥|A ′C |-r =2 5.四、解答题15.(2023·广东佛山期中)已知圆C 过点A (4,0),B (0,4),且圆心C 在直线l :x +y -6=0上.(1)求圆C 的方程;(2)若从点M (4,1)发出的光线经过直线y =-x 反射,反射光线l 1恰好平分圆C 的圆周,求反射光线l 1的一般方程.解(1)由A (4,0),B (0,4),得直线AB 的斜率为k AB =0-44-0=-1,线段AB 的中点D (2,2),所以k CD =1,直线CD 的方程为y -2=x -2,即y =x ,+y -6=0,=x ,=3,=3,即C (3,3),所以半径r =|AC |=(4-3)2+(0-3)2=10,所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -3)2=10.(2)由l 1恰好平分圆C 的圆周,得l1经过圆心C (3,3),设点M 关于直线y =-x 的对称点N (x ,y ),则直线MN 与直线y =-x 垂直,且线段MNy =-x 上,则有(-1)=-1,=-x +42,=-1,=-4,所以N (-1,-4),所以直线CN 即为直线l 1,且k l 1=k CN =3-(-4)3-(-1)=74,反射光线l 1的方程为y -3=74(x -3),即7x -4y -9=0.16.在平面直角坐标系xOy 中,曲线Γ:y =x 2-mx +2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ,B ,曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;(2)求证:过A ,B ,C 三点的圆过定点.解由曲线Γ:y =x 2-mx +2m (m ∈R ),令y =0,得x 2-mx +2m =0.设A (x 1,0),B (x 2,0),由题意可得Δ=m 2-8m >0.则m <0或m >8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m .令x =0,得y =2m ,即C (0,2m ).(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC →·BC →=0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m +4m 2=0,所以m =0(舍去)或m =-12.此时C (0,-1),AB 的中点M -14,,半径r =|CM |=174,+y 2=1716.(2)证明:设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx +Ey +2m =0,将点C (0,2m )代入可得E =-1-2m ,所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx -(1+2m )y +2m =0,整理,得x 2+y 2-y -m (x +2y -2)=0.2+y 2-y =0,+2y -2=0,=0,=1=25,=45.故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)17.(多选)已知圆C 过点M (1,-2)且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是()A .满足条件的圆C 的圆心在一条直线上B .满足条件的圆C 有且只有一个C .点(2,-1)在满足条件的圆C 上D .满足条件的圆C 有且只有两个,它们的圆心距为42答案ACD解析因为圆C 和两个坐标轴都相切,且过点M (1,-2),所以设圆心坐标为(a ,-a )(a >0),故圆心在直线y =-x 上,故A 正确;圆C 的方程为(x -a )2+(y +a )2=a 2,把点M 的坐标代入可得a 2-6a +5=0,解得a =1或a =5,则圆心坐标为(1,-1)或(5,-5),所以满足条件的圆C 有且只有两个,故B 错误;圆C 的方程分别为(x -1)2+(y +1)2=1,(x -5)2+(y +5)2=25,将点(2,-1)代入这两个方程可知其在圆C 上,故C 正确;由C 项知,它们的圆心距为(5-1)2+(-5+1)2=42,D 正确.故选ACD.18.(多选)(2023·浙江温州期末)已知圆C :(x -2)2+(y -3)2=1,点M (4,2),点P 在圆C 上,O 为原点,则下列命题正确的是()A .M 在圆上B .线段MP 的长度的最大值为5+1C .当直线MP 与圆C 相切时,|MP |=2D .MO →·MP →的最大值为25+6答案BCD解析将M (4,2)代入圆的方程,(4-2)2+(2-3)2=5>1,所以M 在圆外,A 错误;线段MP的长度的最大值为|MC |+1=(4-2)2+(2-3)2+1=5+1,B 正确;当直线MP 与圆C 相切时,|MC |2=|MP |2+1=[(4-2)2+(2-3)2]2,∴|MP |=2,C 正确;设动点P (x ,y ),点P 的轨迹是圆心为(2,3),半径为1的圆,x =2+cos θ,y =3+sin θ,又M (4,2),所以MO →·MP →=(-4,-2)·(x -4,y -2)=-4(x -4)+(-2)·(y -2)=-4x -2y +20,因为x =2+cos θ,y =3+sin θ,所以MO →·MP →=-4cos θ-2sin θ+6=25sin(θ+φ)+6,θ∈[0,2π),且sin φ=-255,cos φ=-55,则MO →·MP →的最大值为25+6,D 正确.故选BCD.。

高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练:4版含解析

高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练:4版含解析

高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练:4版含解析4.数列(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(an+1,Sn)在直线y=x-1上,n∈N*. 世纪金榜导学号92494440(1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?并求数列{an}的通项公式.(2)若f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数),在(1)的结论下,令bn=f(log3an)+1,cn=an+,求{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)由题意得Sn=an+1-1,所以Sn-1=an-1,两式相减得an=an+1-an,即an+1=3an,所以当n≥2时,数列{an}是等比数列,要使n≥1时,数列{an}是等比数列,则只需要=3,因为a1=a2-1,所以a2=2a1+2,所以=3,解得t=2,所以实数t=2时,数列{an}是等比数列,an=2·3n-1.(2)因为bn=f(log3an)+1=[log3(2×3n-1)]+1,因为3n-1<2×3n-1<3n,所以n-1<log3(2×3n-1)<n,所以bn=n-1+1=n,所以cn=an+=2×3n-1+=2×3n-1+,因为{an}的前n项和为=3n-1,的前n项和为(1-+-+…+-)==-,所以Tn=3n-1+-=3n--.2.已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=nan,数列{bn}的前n项和为Sn,若不等式Sn>kan-1对一切n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,。

2020届高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练:(六)Word版含解析.doc

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高考小题标准练( 六 )满分 80 分,实战模拟, 40 分钟拿下高考客观题满分!一、选择题 ( 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分. 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的 )1. 若会合 A={x|3+2x-x 2>0},会合 B={x|2 x<2},则 A∩B 等于 ()A.(1 ,3)B.(-∞, -1)C.(-1 ,1)D.(-3 ,1)【分析】选 C.由于 A=(-1,3) ,B=(- ∞, 1) ,因此 A∩B=(-1 ,1).2. 若复数 z=+a 在复平面上对应的点在第二象限,则实数 a 可以是()A.-4B.-3C.1D.2【分析】选 A. 若 z=+a=(3+a)-ai在复平面上对应的点在第二象限,则 a<-3.3. 已知平面向量a,b 的夹角为,且a·(a-b)=8,|a|=2,则|b|等于()A. B.2 C.3 D.4【分析】选 D.由于 a ·( a- b)=8,所以 a ·a- a ·b=8,即| a| 2-| a|| b| ·cos<a,b>=8,因此 4+2| b| × =8,解得 | b|=4.4.对拥有线性有关关系的变量 x,y,测得一组数据以下世纪金榜导学号 92494347x 2 4 5 68y2040607080依据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+,据此模型来展望当x=20 时, y的预计值为()A.210【分析】选 C.由数据中可知=5,=54,代入回归直线方程得=1.5 ,因此=10.5x+1.5,当x=20 时,=10.5 ×20+1.5=211.5.5. 已知 sin cos +cos sin = ,则 cosx 等于 ()A. B.- C. D.±【分析】选 B.sin cos +cos sin=sin=-cosx=,即cosx=-.6. 设f=且f=4,则f等于 ()A.1B.2C.3D.4【分析】选C.由于f=4,即a2=4,a=±2,又由于 a 是底数,因此a=-2舍去,因此a=2,因此f=log 28=3,应选C.7.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线x+y+3=0 相切,则圆 C的方程是 ()A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8【分析】选 A. 直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为即(-1 ,0).依据题意,圆心为 (-1 ,0).由于圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,因此半径为圆心到切线的距离,即r=d==,则圆的方程为 (x+1) 2+y2=2.8.如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为 ()A.4B.4C.4D.8【分析】选 B. 由三视图可知,该几何体的直观图以下图,面积最小的面为面VAB,S△VAB= ×2× 4 =4 .9. 如图是一个程序框图,若输出i的值为5,则实数m 的值能够是()A.3B.4C.5D.6【分析】选 B.S=2,i=2 ,2≤2m;S=6,i=3 ,6≤3m;S=13,i=4 ,13≤4m; S=23, i=5 ,23>5m,此时程序结束,则≤m<,应选 B.10.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺 . 大鼠日自倍,小鼠日自半 . 问何日相遇,各穿几何?题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙 . 大老鼠第一天进一尺,此后每日加倍;小老鼠第一天也进一尺,此后每日减半,假如墙足够厚, S n为前 n 天两只老鼠打洞长度之和,则S5 =世纪金榜导学号92494348()A.31B.32C.33D.26【分析】选 B. 大老鼠、小老鼠每日打洞尺数分别组成等比数列,,公比分别为2,,首项都为1,因此S5=+=32.应选B.11. 已知双曲线-=1(a>0 ,b>0) 的右焦点为 F,直线 x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,且直线 AF 与双曲线的一条渐近线对于直线 y=b 对称,则双曲线的离心率为()世纪金榜导学号92494349 A. B.3 C.2 D.【分析】选 C.易得点 A 坐标为 (a ,b) ,由于直线 AF 与双曲线的一条渐近线对于直线y=b 对称,因此直线AF的斜率为 -,即=- ?=2.12.已知函数 f(x) 的导数为 f ′ (x) , f(x) 不是常数函数,且(x+1)f(x)+xf′(x)≥0对x∈[0,+∞)恒建立,则以下不等式必定成立的是()世纪金榜导学号92494350 A.f(1)<2ef(2) B.ef(1)<f(2)C.f(1)<0D.ef(e)<2f(2)【分析】选 A. 原式等于xf(x)+f(x)+xf′(x)=xf(x)+[xf(x)]′≥ 0,设 F(x)=e x[xf(x)],则 F′(x)=e[xf(x)]+e[xf(x)]′ =e {xf(x)+[xf(x)]′} ≥0,因此函数F(x)=e x[xf(x)]是单一递加函数,因此F(1)<F(2)? ef(1)<e2·2·f(2),即 f(1)<2ef(2) ,应选 A.二、填空题 ( 本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. 请把正确答案填在题中横线上 )13.一名法官在审理一同瑰宝偷窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的口供以下,甲说:“犯人在乙、丙、丁三人之中” ;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷” ;丁说:“乙说的是事实” . 经过检核查实,四人中有两人说的是实话,此外两人说的是谎话,且这四人中只有一人是犯人,由此可判断犯人是________.【分析】假定乙是犯人,那么甲和丙的口供是实话,乙和丁的口供是谎话,切合题意;假定丙是犯人,那么说实话的就有甲、乙、丁三人;假定丁是犯人,那么说实话的只有甲;假定甲是犯人,那么说实话的只有丙. 后边三个假定都与题目要求不切合,假定不建立,故犯人是乙.答案:乙14.(1-) 6的睁开式中 x 的系数是 ________.【解析】(1-) 6的展开式中的第r+1项T r+1 =·16-r·(-) r =(-1) r··,若求x的系数,只要要找到(1-) 6睁开式中的x2的系数和常数项分别去乘+x 中的系数和x的系数即可 . 令 r=4 得 x2的系数是 15,令 r=0 得常数项为 1. 因此 x的系数为 2×15+1=31.答案: 3115.已知等比数列 {a n} 为递加数列, a1=-2,且 3(a n+a n+2)=10a n+1,则公比 q=________.世纪金榜导学号92494351【分析】由于等比数列 {a n} 为递加数列,且 a1=-2<0,因此公比 0<q<1,又因为3(a n+a n+2)=10a n+1,两边同除a n可得3(1+q 2)=10q ,即3q2-10q+3=0,解得 q=3 或 q= ,而0<q<1,因此 q= .答案:16. 设向量a=(a 1,a2) ,b=(b 1,b2) ,定义一种向量积a?b=(a1b1,a2b2),已知向量 m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q=m?+n( 此中O 为坐标原是函数y=f(x) 图象上的点,且知足点) ,则函数 y=f(x) 的值域是 ________.世纪金榜导学号92494352【分析】令Q(c,d) ,由新的运算可得=m?+n=+=,即消去 x 得 d= sin,因此 y=f(x)= sin,易知 y=f(x) 的值域为答案:封闭 Word 文档返回原板块。

高三数学(人教版理)二轮复习高考小题专攻练 4 Word版含解析

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高考小题专攻练
.数列
小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
.已知{}为等差数列,,,则( )
【解析】选.因为,即,所以.同理可得,所以公差,所以()×.
.等比数列{}的前项和为,已知,则等于( )
【解析】选.设等比数列{}的公比为,由得,即,所以,又,所以.
.在等比数列{}中,若是方程的两根,则的值是( )
.±.±
【解析】选.依题意得,故>>,因此>(注:在一个实数等比数列中,奇数
项的符号相同,偶数项的符号相同).
.等差数列{}中>,公差<为其前项和,对任意自然数,若点()在以下条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )
【解析】选.因为,所以,又>,公差<,所以点()所在抛物线开口向下,对称轴在轴右侧.
.设等差数列{}的前项和为,则等于( )
【解析】选.由,得,所以,因为,故,故,因为,故()(),即.
.已知数列{}的通项公式是,其前项和,则项数等
于( )
【解析】选.因为,所以…
.因为,所以,所以.
.下面是关于公差>的等差数列{}的四个命题:数列{}是递增数列:数。

【世纪金榜】高三数学(人教版理)二轮复习练习:高考小题标准练(二)(含答案)

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高考小题标准练(二)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共11小题,每小题5分,共55分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设A={x∈N|y=ln(2-x)},B={x|2x(x-2)≤1},则A∩B=()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{1}D.{0,1} 【解析】选D.因为y=ln(2-x)的定义域为:x<2,又x∈N,所以A={1,0}.因为2x(x-2)≤1,所以x(x-2)≤0⇒0≤x≤2,即B=[0,2],所以A∩B={0,1}.2.已知i为虚数单位,a∈R,若(a-1)(a+1+i)是纯虚数,则a的值为()A.-1或1B.1C.-1D.3【解析】选C.因为(a-1)(a+1+i)=(a2-1)+(a-1)i是纯虚数,所以所以a=-1.3.函数f(x)=若x0∈[0,1),且f(f(x0))∈[0,1),则x0的取值范围是()A. B.(log32,1)C. D.【解析】选A.当0≤x0<1时,f(x0)=∈[1,2),f(f(x0))=4-2×∈[0,1),解得3<≤4⇒log2<x0≤1,又0≤x0<1,所以log2<x0<1.4.已知等比数列单调递减,满足a1a5=9,a2+a4=10,则数列的公比q=()A.-B.C. D.3【解析】选B.由a1a5=a2a4=9,a2+a4=10,且单调递减,可知a2=9,a4=1,可求得q=.5.已知集合A={x|x=2k,k∈N*},执行如图所示的程序框图,则输出的x的值为()A.27B.102C.115D.13【解析】选B.输入x=2,2∈A,执行x=2×2+1=5∉A,执行x=(5-3)2+2=6<7;执行x=2×6+1=13∉A,执行x=(13-3)2+2=102>7,故输出的x的值为102.6.已知实数x,y满足约束条件若z=+(a>0,b>0)的最大值为9,则d=4a+b的最小值为()A. B. C.D.【解析】选B.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由可行域与目标函数可知,z=+只能在点A(1,4)处取得最大值,即+=9,整理得4a+b=9ab=×4ab≤,当且仅当4a=b,即a=,b=时取等号,所以4a+b≥.7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.5 C.D.6【解析】选A.该几何体的直观图如图所示,连接BD,则该几何体由直三棱柱ABD-EFG和四棱锥C-BDGF组合而成,其体积为×1×2×2+×2××=.8.已知椭圆+=1(0<b<2)与y轴交于A,B两点,点F为该椭圆的一个焦点,则△ABF 面积的最大值为()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.方法一:不妨设点F的坐标为(,0),而|AB|=2b,所以S△ABF=×2b×=b=≤=2(当且仅当b2=4-b2,即b2=2时取等号),故△ABF面积的最大值为2.方法二:如图,M为AF的中点,ON⊥AF,S△ABF=2S△AOF=2××AF·ON≤AF·OM=AF·=2.9.已知函数f(x)=sin x-1(x<0),g(x)=log a x(a>0,且a≠1).若它们的图象上存在关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选 A.由题意知,函数图象上存在关于y轴对称的点至少有3对等价于y=sin-1=-sin x-1(x>0)的图象与g(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图象至少有3个交点,如图,显然当a>1时,只有一个交点;当0<a<1时,要使至少有3个交点,需要有log a5>-2,解得0<a<.10.在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=2b=2,a=2sinA,则此三角形的面积S△ABC=()A. B.C.8+D.【解析】选A.由题意得,==2,而b=1,所以sinB=,又2b=a+c,B不可能是钝角,所以cosB=,而cosB==,即=,所以ac==6-3,所以S△ABC=acsinB=.11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作斜率为-1的直线交双曲线的渐近线于点P,点P在第一象限,O为坐标原点,若△OFP的面积为,则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.【解析】选C.由题意知过F且斜率为-1的直线的方程为y=-(x-c),由可得点P的纵坐标为y P=,故S△OFP=××c=.由题意可知=,即=,所以a=3b,所以a2=9(c2-a2),所以9c2=10a2,所以e2==,所以e=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)12.已知f(x)=x3+ax-2b,如果f(x)的图象在切点P(1,-2)处的切线与圆(x-2)2+(y+4)2=5相切,那么3a+2b=__________.【解析】由题意得f(1)=-2⇒a-2b=-3,又因为f′(x)=3x2+a,所以f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程为y+2=(3+a)(x-1),即(3+a)x-y-a-5=0,所以=⇒a=-,所以b=,所以3a+2b=-7.答案:-713.若f(x)=f(f(1))=1,则a的值为__________.【解析】因为f(1)=1g1=0,f(0)=0+3t2dt=t3=a3,所以由f(f(1))=1得:a3=1,a=1.答案:114.中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题,其内容为:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与齐.问水深葭长各几何”意为:今有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇,长出水面的部分为1尺,将芦苇牵引向池岸,恰巧与水岸齐接,问水深芦苇的长度各是多少?将该问题拓展如图,记正方形水池的剖面图为ABCD,芦苇根部O为AB的中点,顶端为P(注芦苇与水面垂直).在牵引顶端P向水岸边中点D的过程中,当芦苇经过DF的中点E时,芦苇的顶端离水面的距离约为________尺.(注:1丈=10尺,≈24.5)【解析】设水深为x,则x2+52=(x+1)2,解得:x=12.所以水深12尺,芦苇长13尺,以AB所在的直线为x轴,芦苇所在的直线为y轴,建立直角坐标系,在牵引过程中,P的轨迹是以O为圆心,半径为13的圆,其方程为x2+y2=169(-5≤x≤5,12≤y≤13),①E点的坐标为,所以OE所在的直线方程为y=-x,②由①②得y=≈=.则此时芦苇的顶端到水面的距离为-12=(尺).答案:15.我们把形如y=f(x)φ(x)的函数称为幂指函数,幂指函数在求导时,可以利用对数法:即在函数解析式两边求对数得:lny=lnf(x)φ(x)=φ(x)lnf(x),两边对x求导数,得=φ′(x)lnf(x)+φ(x),于是y′=f(x)φ(x),运用此方法可以求得函数y=x x(x>0)在(1,1)处的切线方程是__________.【解析】因为y=x x,所以lny=lnx x=xlnx,所以=lnx+x·,所以y′=x x(lnx+1),由导数的几何意义,得函数y=x x(x>0)在(1,1)处的切线的斜率k=1,且f(1)=1,所以函数y=x x(x>0)在(1,1)处的切线方程为y-1=x-1,即x-y=0.答案:x-y=0关闭Word文档返回原板块。

第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第5节  第1课时  椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的02焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距.2.椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)范围04-a≤x≤a且-b≤y≤b05-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点06A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)07A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长为082b,长轴长为092a焦点10F1(-c,0),F2(c,0)11F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=122c对称性对称轴:13x轴和y轴,对称中心:14原点离心率e=ca(0<e<1)a,b,c的关系15a2=b2+c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.(1)当P为短轴端点时,θ最大,S△F1PF2最大.(2)S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sinθ=b2tanθ2=c|y0|.(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|=a2.(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ.1.概念辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.()(3)y2 m2+x2n2=1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.()(4)x2 a2+y2b2=1(a>b>0)与y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相等.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是()A.长轴长为12B.焦距为34C .短轴长为14D .离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2+4y 2=1化为标准方程可得y 214+x 2116=1,所以a =12,b =14,c =34,则长轴长2a =1,焦距2c =32,短轴长2b =12,离心率e =c a =32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216+y 29=1上的一点,B 1,B 2分别为椭圆的上、下顶点,若△PB 1B 2的面积为6,则满足条件的点P 的个数为()A .0B .2C .4D .6答案C解析在椭圆x 216+y 29=1中,a =4,b =3,则短轴|B 1B 2|=2b =6,设椭圆上点P 的坐标为(m ,n ),由△PB 1B 2的面积为6,得12|B 1B 2|·|m |=6,解得m =±2,将m =±2代入椭圆方程,得n =±332,所以符合题意的点P ,22,共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ,y )在运动过程中,总满足关系式x 2+(y -2)2+x 2+(y +2)2=8,则点M 的轨迹方程为________________.答案x 212+y 216=1解析因为x 2+(y -2)2+x 2+(y +2)2=8>4,所以点M 的轨迹是以(0,2),(0,-2)为焦点的椭圆,设椭圆方程为x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0),由题意得2a =8,即a =4,则b 2=a 2-c 2=12,所以点M 的轨迹方程为x 212+y 216=1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上,且离心率为12,则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可).答案x 24+y 23=1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上,所以设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,a >b >0,因为离心率为12,所以ca=12,所以c 2a 2=a 2-b 2a2=14,则b 2a 2=34.所以椭圆C 的方程可以为x 24+y 23=1(答案不唯一).考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x +2)2+y 2=36的圆心为M ,设A 是圆上任意一点,N (2,0),线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ,则动点P 的轨迹方程为________.答案x 29+y 25=1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上,故|PA |=|PN |.又AM 是圆的半径,所以|PM |+|PN |=|PM |+|PA |=|AM |=6>|MN |.由椭圆的定义知,点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,且2a =6,2c =4,故所求的轨迹方程为x 29+y 25=1.【通性通法】在求动点的轨迹时,如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义,那么可以直接求解其轨迹方程.【巩固迁移】1.△ABC 的两个顶点为A (-3,0),B (3,0),△ABC 的周长为16,则顶点C 的轨迹方程为()A .x 225+y 216=1(y ≠0)B .y 225+x 216=1(y ≠0)C .x 216+y 29=1(y ≠0)D .y 216+x 29=1(y ≠0)答案A解析由题意,知点C 到A ,B 两点的距离之和为10,故顶点C 的轨迹为以A (-3,0),B (3,0)为焦点,长轴长为10的椭圆,故2a =10,c =3,b 2=a 2-c 2=16.其方程为x 225+y 216=1.又A ,B ,C 三点不能共线,所以x 225+y 216=1(y ≠0).故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图,△ABC 的顶点B ,C 在椭圆x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是________.答案43解析因为a 2=3,所以a = 3.△ABC 的周长为|AC |+|AB |+|BC |=|AC |+|CF 2|+|AB |+|BF 2|=2a +2a =4a =43.(2)设点P 为椭圆C :x 2a 2+y 24=1(a >2)上一点,F 1,F 2分别为C 的左、右焦点,且∠F 1PF 2=60°,则△PF 1F 2的面积为________.答案433解析解法一:由题意,知c =a 2-4.又∠F 1PF 2=60°,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|F 1F 2|=2a 2-4,∴|F 1F 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1||PF 2|-2|PF 1||PF 2|cos60°=4a 2-3|PF 1||PF 2|=4a 2-16,∴|PF 1||PF 2|=163,∴S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin60°=12×163×32=433解法二:S △PF 1F 2=b 2tan ∠F 1PF 22=4tan30°=433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题.【巩固迁移】2.(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29+y 26=1,F 1,F 2为两个焦点,O 为原点,P 为椭圆上一点,cos∠F 1PF 2=35,则|PO |=()A .25B .302C .35D .352答案B解析解法一:因为|PF 1|+|PF 2|=2a =6①,|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-65|PF 1||PF 2|=12②,联立①②,解得|PF 1||PF 2|=152,|PF 1|2+|PF 2|2=21,而PO →=12(PF 1→+PF 2→),所以|PO |=|PO →|=12|PF 1→+PF 2→|,即|PO →|=12|PF 1→+PF 2→|=12|PF 1→|2+2PF 1→·PF 2→+|PF 2→|2=1221+2×152×35=302.故选B.解法二:设∠F 1PF 2=2θ,0<θ<π2,所以S △PF 1F 2=b 2tan∠F 1PF 22=b 2tan θ,由cos ∠F 1PF 2=cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=35,解得tan θ=12.由椭圆的方程可知,a 2=9,b 2=6,c 2=a 2-b 2=3,所以S △PF 1F 2=12|F 1F 2|×|y P |=12×23×|y P |=6×12,解得y 2P =3,所以x 2P ==92,因此|PO |=x 2P +y 2P =3+92=302.故选B.解法三:因为|PF 1|+|PF 2|=2a =6①,|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-65|PF 1||PF 2|=12②,联立①②,解得|PF 1|2+|PF 2|2=21,由中线定理可知,(2|PO |)2+|F 1F 2|2=2(|PF 1|2+|PF 2|2)=42,易知|F 1F 2|=23,解得|PO |=302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1,F 2是椭圆C :x 216+y 212=1的两个焦点,点M ,N 在C 上,若|MF 2|+|NF 2|=6,则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A .9B .20C .25D .30答案C解析根据椭圆的定义,得|MF 1|+|MF 2|=8,|NF 1|+|NF 2|=8,因为|MF 2|+|NF 2|=6,所以8-|MF 1|+8-|NF 1|=6,即|MF 1|+|NF 1|=10≥2|MF 1|·|NF 1|,当且仅当|MF 1|=|NF 1|=5时,等号成立,所以|MF 1|·|NF 1|≤25,则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中,结合|PF 1|+|PF 2|=2a ,运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值.【巩固迁移】3.(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29+y 25=1的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A (1,1)是一定点,则|PA |+|PF |的最大值为________,最小值为________.答案6+26-2解析由题意知a =3,b =5,c =2,F (-2,0).设椭圆的右焦点为F ′,则|PF |+|PF ′|=6,所以|PA |+|PF |=|PA |-|PF ′|+6.当P ,A ,F ′三点共线时,|PA |-|PF ′|取到最大值|AF ′|=2或最小值-|AF ′|=- 2.所以|PA |+|PF |的最大值为6+2,最小值为6- 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B |,|AB |=|BF 1|,则椭圆C 的方程为()A .x 22+y 2=1B .x 23+y 22=1C .x 29+y 26=1D .x 25+y 24=1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆的定义,得|AF 1|+|AB |+|BF 1|=4a .∵|AB |=|BF 1|,∴|AF 1|+2|AB |=4a .又|AF 2|=2|F 2B |,∴|AB |=32|AF 2|,∴|AF 1|+3|AF 2|=4a .又|AF 1|+|AF 2|=2a ,∴|AF 2|=a ,∴A 为椭圆的短轴端点.如图,不妨设A (0,b ),又F 2(1,0),AF 2→=2F 2B →,∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1,得94a 2+b 24b 2=1,∴a 2=3,b 2=a 2-c 2=2.∴椭圆C 的方程为x 23+y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2,-3),且与椭圆x 24+y 23=1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________.答案x 28+y 26=1或y 2253+x 2254=1解析椭圆x 24+y 23=1的离心率是e =12,当焦点在x 轴上时,设所求椭圆的标准方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)=12,b 2+c 2,+3b 2=1,2=8,2=6,∴所求椭圆的标准方程为x 28+y 26=1;当焦点在y 轴上时,设所求椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)=12,b 2+c 2,+4b 2=1,2=253,2=254,∴所求椭圆的标准方程为y 2253+x 2254=1.故所求椭圆的标准方程为x 28+y 26=1或y 2253+x 2254=1.【通性通法】1.求椭圆方程的常用方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a 2,b 2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意:一定先判断椭圆的焦点位置,即先定型后定量.2.椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)与x 2a 2+y 2b2=λ(a >0,b >0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2+k +y 2b 2+k =1(a >b >0,k +b 2>0).恰当选用椭圆系方程,可使运算更简便.【巩固迁移】4.已知F 1,F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0)的两个焦点,若P |PF 1|+|PF 2|=4,则椭圆C 的方程为________________.答案x 24+y 23=1解析由|PF 1|+|PF 2|=4得2a =4,解得a=2.又P C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上,所以1222+1,解得b=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.5.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过P1(6,1),P2(-3,-2)两点,则该椭圆的方程为________________.答案x29+y23=1解析设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).因为椭圆经过P1,P2两点,所以点P1,P2的坐标满足椭圆方程,m+n=1,m+2n=1,=19,=13.所以所求椭圆的方程为x29+y23=1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225+y29=1与椭圆x225-k+y29-k=1(k<9,且k≠0),则两椭圆必定() A.有相等的长轴长B.有相等的焦距C.有相等的短轴长D.有相同的离心率答案B解析由椭圆x225+y29=1,知a=5,b=3,c=4,所以长轴长是10,短轴长是6,焦距是8.在椭圆x225-k+y29-k1(k<9,且k≠0)中,因为a1=25-k,b1=9-k,c1=4,所以其长轴长是225-k,短轴长是29-k,焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距.故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系.【巩固迁移】6.若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形,则长轴长与短轴长之比为()A.2B.23C.233D.4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形,所以a=2c,所以b2=a 2-c 2=3c 2,所以b =3c ,故2a 2b =a b =2c 3c =233,所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7.(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2+y 23=1的长轴长为43,则其焦距为________.答案6解析由题意,得2a =43,所以a 2=12,c 2=a 2-b 2=12-3=9,解得c =3,故焦距2c =6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率为________.答案33解析由题意知F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c =a 2-b 2,因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x=c ,由椭圆的对称性,可设它与椭圆的交点为,因为AB 平行于y 轴,且|F 1O |=|OF 2|,所以|F 1D |=|DB |,即D 为线段F 1B 的中点,又|AF 1|=|BF 1|,则△AF 1B 为等边三角形.解法一:由|F 1F 2|=3|AF 2|,可知2c =3·b 2a ,即3b 2=2ac ,所以3(a 2-c 2)=2ac ,即3e 2+2e -3=0,解得e =33(e =-3舍去).解法二:由|AF 1|+|BF 1|+|AB |=4a ,可知|AF 1|=|BF 1|=|AB |=43a ,又|AF 1|sin60°=|F 1F 2|,所以43a ×322c ,解得c a =33,即e =33.解法三:由|AF 1|+|BF 1|+|AB |=4a ,可知|AB |=|AF 1|=|BF 1|=43a ,即2b 2a =43a ,即2a 2=3b 2,所以e =c 2a 2=1-b 2a 2=33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________.答案解析根据椭圆的对称性,不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),设F 1(-c ,0),F 2(c ,0).解法一:设M (x 0,y 0),MF 1→·MF 2→=0⇒(-c -x 0,-y 0)·(c -x 0,-y 0)=0⇒x 20-c 2+y 20=0⇒y 20=c2-x 20,点M (x 0,y 0)在椭圆内部,有x 20a 2+y 20b 2<1⇒b 2x 20+a 2(c 2-x 20)-a 2b 2<0⇒x 20>2a 2-a 4c2,要想该不等式恒成立,只需2a 2-a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e =c a <22,而e >0⇒0<e <22,即椭圆离心解法二:由MF 1→·MF 2→=0,可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上,即圆x 2+y 2=c 2在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)内部,所以c <b ,则c 2<b 2,即c 2<a 2-c 2,所以2c 2<a 2,即e 2<12,又e >0,所以0<e <22,【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ,c ,利用离心率公式e =ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率,利用变形公式e =1-b 2a2求解方法三构造a ,c 的齐次式,可以不求出a ,c 的具体值,而是得出a 与c 的关系,从而求得e注意:解题的关键是借助图形建立关于a ,b ,c 的关系式(等式或不等式),转化为e 的关系式.【巩固迁移】8.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1:x 2a 2+y 2=1(a >1),C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1,e 2.若e 2=3e 1,则a =()A .233B .2C .3D .6答案A解析由e 2=3e 1,得e 22=3e 21,因此4-14=3×a 2-1a 2,而a >1,所以a =233.故选A.9.(2024·广东六校联考)设F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,若在直线x =a 2c 上存在点P ,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆离心率的取值范围是________.答案33,解析设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),由线段PF 1的中垂线过点F 2,得|PF 2|=|F 1F 2|,即2c ,得m 2=4c 2=-a 4c2+2a 2+3c 2≥0,即3c 4+2a 2c 2-a 4≥0,得3e 4+2e 2-1≥0,解得e 2≥13,又0<e <1,故33≤e <1,即椭圆离心率的取值范围是33,考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C :x 29+y 28=1上的动点,点N 是圆E :(x -1)2+y 2=1上的动点,且直线MN 与圆E 相切,则|MN |的最小值是________.答案3解析由题意知,圆E 的圆心为E (1,0),半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ,所以NE ⊥MN ,且|NE |=1.又E (1,0)为椭圆C 的右焦点,所以2≤|ME |≤4,所以当|ME |=2时,|MN |取得最小值,又|MN |=|ME |2-|NE |2,所以|MN |min =22-12= 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10.如图,焦点在x 轴上的椭圆x 24+y 2b 2=1(b >0)的离心率e =12,F ,A 分别是椭圆的左焦点和右顶点,P 是椭圆上任意一点,则PF →·PA →的最大值为________.答案4解析由题意,知a =2,因为e =c a =12,所以c =1,所以b 2=a 2-c 2=3,故椭圆的方程为x 24+y 23=1.设点P 的坐标为(x 0,y 0),所以-2≤x 0≤2,-3≤y 0≤3.因为F (-1,0),A (2,0),所以PF →=(-1-x 0,-y 0),PA →=(2-x 0,-y 0),所以PF →·PA →=x 20-x 0-2+y 20=14x 20-x 0+1=14(x 0-2)2,所以当x 0=-2时,PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1.已知动点M 到两个定点A (-2,0),B (2,0)的距离之和为6,则动点M 的轨迹方程为()A .x 29+y 2=1B .y 29+x 25=1C .y 29+x 2=1D .x 29+y 25=1答案D解析由题意有6>2+2=4,故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆,则2a =6,c =2,故a 2=9,所以b 2=a 2-c 2=5,故椭圆的方程为x 29+y 25=1.故选D.2.(2024·九省联考)椭圆x 2a 2+y 2=1(a >1)的离心率为12,则a =()A .233B .2C .3D .2答案A解析由题意得e =a 2-1a=12,解得a =233.故选A .3.(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点,且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A .x 225+y 220=1B .x 220+y 225=1C .x 220+y 245=1D .x 280+y 285=1答案B解析由9x 2+4y 2=36,可得x 24+y 29=1,所以所求椭圆的焦点在y 轴上,且c 2=9-4=5,b=25,a 2=25,所以所求椭圆方程为x 220+y 225=1.4.设e 是椭圆x 24+y 2k =1的离心率,且e k 的取值范围是()A .(0,3)BC .(0,3)D .(0,2)答案C解析当k >4时,c =k -4,由条件,知14<k -4k <1,解得k >163;当0<k <4时,c =4-k ,由条件,知14<4-k4<1,解得0<k <3.故选C.5.已知两圆C 1:(x -4)2+y 2=169,C 2:(x +4)2+y 2=9.动圆M 在圆C 1内部,且与圆C 1内切,与圆C 2外切,则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A .x 264-y 248=1B .x 248+y 264=1C .x 248-y 264=1D .x 264+y 248=1答案D解析设动圆的圆心M (x ,y ),半径为r ,因为圆M 与圆C 1:(x -4)2+y 2=169内切,与圆C 2:(x +4)2+y 2=9外切,所以|MC 1|=13-r ,|MC 2|=3+r .因为|MC 1|+|MC 2|=16>|C 1C 2|=8,由椭圆的定义,知M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点,长轴长为16的椭圆,则a =8,c =4,所以b 2=82-42=48,动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264+y 248=1.故选D.6.(2023·全国甲卷)设F 1,F 2为椭圆C :x 25+y 2=1的两个焦点,点P 在C 上,若PF 1→·PF 2→=0,则|PF 1|·|PF 2|=()A .1B .2C .4D .5答案B解析解法一:因为PF 1→·PF 2→=0,所以∠F 1PF 2=90°,从而S △F 1PF 2=b 2tan45°=1=12|PF 1|·|PF 2|,所以|PF 1|·|PF 2|=2.故选B.解法二:因为PF 1→·PF 2→=0,所以∠F 1PF 2=90°,由椭圆方程可知,c 2=5-1=4⇒c =2,所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=42=16,又|PF 1|+|PF 2|=2a =25,平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|=16+2|PF 1|·|PF 2|=20,所以|PF 1|·|PF 2|=2.故选B.7.(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24+y 23=1的一个焦点为F ,则对于椭圆上两动点A ,B ,△ABF周长的最大值为()A .4+5B .6C .25+2D .8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点,则由椭圆的定义可得|AF |+|BF |+|AB |=2a -|AF 1|+2a -|BF 1|+|AB |=4a +|AB |-|BF 1|-|AF 1|=8+|AB |-|BF 1|-|AF 1|,当A ,B ,F 1三点共线时,|AB |-|BF 1|-|AF 1|=0,当A ,B ,F 1三点不共线时,|AB |-|BF 1|-|AF 1|<0,所以当A ,B ,F 1三点共线时,△ABF 的周长取得最大值8.8.(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1,F 2,P ,Q 为C 上两点,2PF 2→=3F 2Q →,若PF 1→⊥PF 2→,则C 的离心率为()A .35B .45C .135D .175答案D解析设|PF 2→|=3m ,则|QF 2→|=2m ,|PF 1→|=2a -3m ,|QF 1→|=2a -2m ,|PQ |=5m ,在△PQF 1中,得(2a -3m )2+25m 2=(2a -2m )2,即m =215a .因此|PF 2→|=25a ,|PF 1→|=85a ,|F 2F 1→|=2c ,在△PF 1F 2中,得6425a 2+425a 2=4c 2,故17a 2=25c 2,所以e =175.故选D.二、多项选择题9.对于曲线C :x 24-k +y 2k -1=1,下列说法中正确的是()A .曲线C 不可能是椭圆B .“1<k <4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C .“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件D .“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1<k <2.5”的充要条件答案CD解析对于A ,当1<k <4且k ≠2.5时,曲线C 是椭圆,A 错误;对于B ,当k =2.5时,4-k =k -1,此时曲线C 是圆,B 错误;对于C ,若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆,-k >0,-1>0,-1>4-k ,解得2.5<k <4,所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3<k <4”的必要不充分条件,C 正确;对于D ,若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,-1>0,-k >0,-k >k -1,解得1<k <2.5,D 正确.故选CD.10.(2024·海口模拟)设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ,直线y =m (0<m <3)与椭圆交于A ,B两点,则()A .|AF |+|BF |为定值B .△ABF 周长的取值范围是[6,12]C .当m =32时,△ABF 为直角三角形D .当m =1时,△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′,则|AF ′|=|BF |,∴|AF |+|BF |=|AF |+|AF ′|=6,为定值,A 正确;△ABF 的周长为|AB |+|AF |+|BF |,∵|AF |+|BF |为定值6,|AB |的取值范围是6),∴△周长的取值范围是(6,12),B 错误;将y =32与椭圆方程联立,解得-332,又F (6,0),∴AF →·BF →=0,∴AF ⊥BF ,∴△ABF 为直角三角形,C 正确;将y =1与椭圆方程联立,解得A (-6,1),B (6,1),∴S △ABF=12×26×1=6,D 正确.故选ACD.三、填空题11.(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2+my 2=1的焦点在y 轴上,且长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为________.答案14解析将原方程变形为x 2+y 21m=1.由题意知a 2=1m,b 2=1,所以a =1m ,b =1,所以1m=2,m =14.12.(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点,焦点在x 轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22-2,离心率为22,则椭圆E 的方程为________.答案x 28+y 24=1解析椭圆E 的中心在原点,焦点在x 轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22-2,离心率为22,c =22-2,=22,=22,=2,从而a 2=8,b 2=4,所以椭圆E 的方程为x 28+y 24=1.13.(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,下顶点为A ,AF 的延长线交C 于点B ,若|AF |∶|BF |=2∶1,则C 的离心率为________.答案33解析解法一:如图,设椭圆C 的右焦点为F ′,则|AF |=|AF ′|=a ,因为|AF |∶|BF |=2∶1,所以|BF |=a 2,所以|AB |=|AF |+|BF |=3a 2,又|BF |+|BF ′|=2a ,所以|BF ′|=2a -|BF |=3a2,由余弦定理可知cos ∠BAF ′=|AB |2+|AF ′|2-|BF ′|22|AB ||AF ′|=13,设O 为坐标原点,椭圆C 的焦距为2c ,则离心率e =ca =sin ∠OAF ′,因为∠BAF ′=2∠OAF ′,故cos ∠BAF ′=1-2sin 2∠OAF ′=1-2e 2,所以e =33.解法二:设B 在x 轴上的射影为D ,由于|AF |∶|BF |=2∶1,所以|BD |=|OA |2=b 2,|FD |=|OF |2=c 2,即-3c 2,将B 的坐标代入C 的方程,得9c 24a 2+b 24b 2=1,得e =33.14.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的短轴长为2,上顶点为A ,左顶点为B ,左、右焦点分别为F 1,F 2,且△F 1AB 的面积为2-32,若点P 为椭圆上任意一点,则1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围是________.答案[1,4]解析由已知,得2b =2,故b =1.∵△F 1AB 的面积为2-32,∴12(a -c )b =2-32,∴a -c=2-3,又a 2-c 2=(a -c )(a +c )=b 2=1,∴a =2,c =3,∴1|PF 1|+1|PF 2|=|PF 1|+|PF 2||PF 1|·|PF 2|=2a|PF 1|(2a -|PF 1|)=4-|PF 1|2+4|PF 1|.又2-3≤|PF 1|≤2+3,∴1≤-|PF 1|2+4|PF 1|≤4,∴1≤1|PF 1|+1|PF 2|≤4,即1|PF 1|+1|PF 2|的取值范围为[1,4].四、解答题15.(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 1P C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设点A (0,-1),点M 是椭圆C 上任意一点,求|MA |的最大值.解(1)因为P 3,P 4关于坐标轴对称,所以P 3,P 4必在椭圆C 上,有1a 2+34b 2=1,将点P 1(1,1)代入椭圆方程得1a 2+1b 2>1a 2+34b 2=1,所以P 1(1,1)不在椭圆C 上,P 2(0,1)在椭圆C 上,所以b 2=1,a 2=4,即椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)点A (0,-1)是椭圆C 的下顶点,设椭圆上的点M (x 0,y 0)(-1≤y 0≤1),则x 204+y 20=1,即x 20=4-4y 20,所以|MA |2=x 20+(y 0+1)2=4-4y 20+(y 0+1)2=-3y 20+2y 0+5=-0+163,又函数y =-+163在∞,+,所以当y 0=13时,|MA |2取到最大值,为163,故|MA |的最大值为433.16.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0),左顶点为A ,点E 的坐标为(0,c ),A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率;(2)若P 为椭圆C 上的一点,∠F 1PF 2=60°,△PF 1F 2的面积为3,求椭圆C 的标准方程.解(1)由题意,得A (-a ,0),直线EF 2的方程为x +y =c ,因为A 到直线EF 2的距离为62b ,即|-a -c |12+12=62b ,所以a +c =3b ,即(a +c )2=3b 2,又b 2=a 2-c 2,所以(a +c )2=3(a 2-c 2),所以2c 2+ac -a 2=0,因为离心率e =ca ,所以2e 2+e -1=0,解得e =12或e =-1(舍去),所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e =c a =12,即a =2c ,①因为∠F 1PF 2=60°,△PF 1F 2的面积为3,所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°=3,所以|PF 1|·|PF 2|=4,1|+|PF 2|=2a ,1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=(2c )2,所以a 2-c 2=3,②联立①②,得a =2,c =1,所以b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.17.(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,点P (1,1)在椭圆内部,点Q 在椭圆上,则以下说法正确的是()A .|QF 1|+|QP |的最小值为2a -1B .椭圆C 的短轴长可能为2C .椭圆CD .若PF 1→=F 1Q →,则椭圆C 的长轴长为5+17答案ACD解析由题意知2c =2,则c =1,因为点Q 在椭圆上,所以|QF 1|+|QF 2|=2a ,|QF 1|+|QP |=2a -|QF 2|+|QP |,又-1≤-|QF 2|+|QP |≤1,所以A 正确;因为点P (1,1)在椭圆内部,所以b >1,2b >2,所以B 错误;因为点P (1,1)在椭圆内部,所以1a 2+1b 2<1,即b 2+a 2-a 2b 2<0,又c =1,b 2=a 2-c 2,所以(a 2-1)+a 2-a 2(a 2-1)<0,化简可得a 4-3a 2+1>0(a >1),解得a 2>3+52或a 2<3-52(舍去),则椭圆C 的离心率e =ca<13+52=15+12=5-12,又0<e <1,所以椭圆C 所以C 正确;由PF 1→=F 1Q →可得,F 1为PQ 的中点,而P (1,1),F 1(-1,0),所以Q (-3,-1),|QF 1|+|QF 2|=(-3+1)2+(-1-0)2+(-3-1)2+(-1-0)2=5+17=2a ,所以D 正确.故选ACD.18.(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C :x 216+y 29=1的左、右焦点分别是F 1,F 2,左、右顶点分别是A 1,A 2,点P 是椭圆C 上异于A 1,A 2的任意一点,则下列说法正确的是()A .|PF 1|+|PF 2|=4B .存在点P 满足∠F 1PF 2=90°C .直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为-916D .若△F 1PF 2的面积为27,则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程,知a =4,b =3,c =7,|PF 1|+|PF 2|=2a =8,A 错误;当P 在椭圆上、下顶点时,cos ∠F 1PF 2=2a 2-4c 22a 2=18>0,即∠F 1PF 2的最大值小于π2,B 错误;若P (x ′,y ′),则k P A 1=y ′x ′+4,k P A 2=y ′x ′-4,有k P A 1·k P A 2=y ′2x ′2-16,而x ′216+y ′29=1,所以-16y ′2=9(x ′2-16),即有k P A 1·k P A 2=-916,C 正确;若P (x ′,y ′),△F 1PF 2的面积为27,即2c ·|y ′|2=27,故y ′=±2,代入椭圆方程得x ′=±453,D 正确.故选CD.19.(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点,椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,上顶点为B ,线段BF 的中垂线交C 于M ,N 两点,交y 轴于点P ,BP →=2PO →,△BMN 的周长为16,求椭圆C 的标准方程.解如图,由题意可得|BP |=23b ,|PO |=13b ,连接PF .由题意可知|BP |=|PF |,在Rt △POF 中,由勾股定理,得|PO |2+|OF |2=|PF |2,+c 2,整理得b 2=3c 2,所以a 2-c 2=3c 2,即a 2=4c 2,所以椭圆C 的离心率e =c a =12.在Rt △BOF 中,cos ∠BFO =|OF ||BF |=c a =12,所以∠BFO =60°.设直线MN 交x 轴于点F ′,交BF 于点H ,在Rt △HFF ′中,有|FF ′|=|HF |cos ∠BFO =a =2c ,所以F ′为椭圆C 的左焦点,又|MB |=|MF |,|NB |=|NF |,所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长,又△FMN 的周长为4a ,所以4a =16,解得a =4.所以c =2,b 2=a 2-c 2=12.故椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1.20.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),焦距为2c .在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos60°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1|·|PF 2|-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|,即4a 2-2|PF 1|·|PF 2|-4c 22|PF 1|·|PF 2|=12,所以|PF 1|·|PF 2|=4a 2-2|PF 1|·|PF 2|-4c 2,所以3|PF 1|·|PF 2|=4b 2,所以|PF 1|·|PF 2|=4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|=a 2,当且仅当|PF 1|=|PF 2|时,等号成立,所以3a 2≥4(a 2-c 2),所以c a ≥12,所以e ≥12.又因为0<e <1,所以椭圆的离心率的取值范围是12,(2)证明:由(1)可知|PF 1|·|PF 2|=43b 2,所以S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=12×43b 2×32=33b 2,所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关.。

高三数学二轮复习 1.6.1 直线与圆课时巩固过关练 理 新人教版-新人教版高三全册数学试题

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课时巩固过关练十五直线与圆(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·某某一模)已知圆x2+y2+mx-=0与抛物线y=x2的准线相切,则m=( ) A.±2 B.± C. D.【解析】选B.抛物线的准线为y=-1,将圆化为标准方程+y2=,圆心到直线的距离为1=⇒m=±.2.(2016·某某一模)若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上运动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A. B.2 C.3 D.4【解析】选C.由题意知AB的中点M的集合为到直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.l1,l2间的距离为=.原点到l2的距离为=,所以点M到原点的距离最小值为+=3.3.(2016·某某二模)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+ (y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-【解析】选D.由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.又因为光线与圆相切,圆心为(-3,2),所以=1.整理得12k2+25k+12=0,解得:k=-或k=-.4.(2016·某某二模)两圆x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线,若a∈R,b ∈R且ab≠0,则+的最小值为( )A.1B.3C.D.【解析】选A.x2+y2+2ax+a2-4=0即(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0即x2+(y-2b)2=1,依题意可得,两圆外切,则两圆心距离等于两圆的半径之和,则=1+2=3,即a2+4b2=9,所以+==≥=1,当且仅当=,即a=±2b时取等号.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·某某高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为________.【解析】设C(a,0)(a>0),由题意知=,解得a=2,所以r==3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.答案:(x-2)2+y2=96.(2016·某某二模)若直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.【解析】由题意得直线l1:y=x+a和直线l2:y=x+b截得圆的弦所对圆周角相等,皆为直角,因此圆心到两直线距离皆为r=2,即==2⇒a2+b2=(2+1)2+(-2+1)2=18.答案:18三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·某某一模)已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5).(1)求过点A的圆的切线方程.(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.【解析】(1)由圆C:x2+y2-4x-6y+12=0,配方,得(x-2)2+(y-3)2=1,圆心C(2,3).当斜率存在时,设过点A的圆的切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0.由d==1,得k=.又斜率不存在时直线x=3也与圆相切,故所求切线方程为x=3或3x-4y+11=0.(2)直线OA的方程为y=x,即5x-3y=0,点C到直线OA的距离为d==,又|OA|==,所以S=|OA|d=.8.(2016·某某一模)已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程.(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图所示,|AB|=4,将圆C方程化为标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16,所以圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,所以|AD|=2,|AC|=4.C点坐标为(-2,6).在Rt△ACD中,可得|CD|=2.若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:=2,得k=.故直线l的方程为3x-4y+20=0.直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,即·=0,所以(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.【误区警示】在本题(1)的求解中不可忽视直线l斜率的存在性,在由距离公式求出一个k 时应考虑直线斜率不存在的情况,否则会造成漏解.【加固训练】(2016·某某二模)已知圆M的方程为x2+y2-2x-2y-6=0,以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切.(1)求圆O的方程.(2)圆O与x轴交于E,F两点,圆O内的动点D使得|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,求·的取值X围.【解析】(1)圆M的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故圆心M(1,1),半径R=2.圆O的圆心为O(0,0),因为|MO|=<2,所以点O在圆M内,故圆O只能内切于圆M.设圆O的半径为r,因为圆O内切于圆M,所以|MO|=R-r,即=2-r,解得r=.所以圆O的方程为x2+y2=2.(2)不妨设E(m,0),F(n,0),且m<n.由解得或故E(-,0),F(,0).设D(x,y),由|DE|,|DO|,|DF|成等比数列,得|DE|·|DF|=|DO|2,即·=x2+y2,整理得x2-y2=1.而=(--x,-y),=(-x,-y),所以·=(--x)(-x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1.由于点D在圆O内,故有得y2<,所以-1≤2y2-1<0,即·∈[-1,0).(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.直线l1:ax-y-3=0,l2:2x+by+c=0,则ab=-2是l1∥l2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当ab=-2且c=3时,l1与l2重合,而l1∥l2时一定有ab-2×(-1)=0,即ab=-2,所以ab=-2是l1∥l2的必要不充分条件.【加固训练】设向量a=(a,1),b=(1,b)(ab≠0),若a⊥b,则直线b2x+y=0与直线x-a2y=0的位置关系是( )A.平行B.相交且垂直C.相交但不垂直D.重合【解析】选B.由题意知两直线都经过点(0,0),因为a⊥b,所以a·b=a+b=0,所以a=-b,由于直线b2x+y=0的斜率为-b2,直线x-a2y=0的斜率为,则(-b2)·=-1,故两直线垂直.2.已知直线l:x·cosα+y·sinα=2(α∈R),圆C:x2+y2+2cosθ·x+2sinθ·y=0(θ∈R),则直线l与圆C的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相离【解析】选D.x2+y2+2cosθ·x+2sinθ·y=(x+cosθ)2+(y+sinθ)2=1,所以圆的圆心坐标为(-cosθ,-sinθ),半径为1,则直线到圆心的距离为d==|2+cos(α-θ)|∈[1,3],所以直线l与圆C的位置关系是相切或相离.3.命题p:0<r<4,命题q:圆(x-3)2+(y-5)2=r2(r>0)上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则q是p的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题导引】先求出圆心到直线的距离,因为到直线4x-3y=2的距离等于1有两条,数形结合可得答案.【解析】选A.因为圆心(3,5)到直线4x-3y=2的距离等于1,所以圆(x-3)2+(y-5)2=r2上恰好有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,0<r<2,所以q是p充分不必要条件.【加固训练】动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+2+1总有公共点,则圆C的面积( )A.有最大值8πB.有最小值2πC.有最小值3πD.有最小值4π【解析】选D.由题意圆C的圆心在以F为焦点,以x=-1为准线的抛物线上,抛物线方程为y2=4x.因为与直线y=x+2+1总有公共点,所以圆C的面积有最小值,最小半径为抛物线上的点到直线的距离的最小值.设与直线y=x+2+1平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+t,由得y2-4y+4t=0,由Δ=0得t=1.所以直线y=x+1与y=x+2+1间的距离=2即为最小半径.所以圆C的最小面积为4π.4.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O为坐标原点,且有|+|≥||,则k的取值X围是( )A.(,+∞)B.[,2)C.[,+∞)D.[,2)【解析】选B.由已知得圆心到直线的距离小于半径,即<2,由k>0得0<k<2. ①如图,又由|+|≥||得|OM|≥|BM|⇒∠MBO≥,因为|OB|=2,所以|OM|≥1,故≥1⇒k≥, ②综合①②得≤k<2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知直线x+y-a=0与圆x2+y2=2交于A,B两点,O是坐标原点,向量,满足|2-3|=|2+3|,则实数a的值为________.【解析】由|2-3|=|2+3|得·=0,即OA⊥OB,则直线x+y-a=0过圆x2+y2=2与x轴、y轴正半轴或负半轴的交点,故a=±.答案:±【加固训练】已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是________.【解析】依题意,设所求直线l1的方程是3x+4y+b=0,则由直线l1与圆x2+(y+1)2=1相切,可得圆心(0,-1)到直线3x+4y+b=0的距离为1,即有=1,解得b=-1或b=9.因此,直线l1的方程是3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.答案:3x+4y-1=0或3x+4y+9=06.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且=6,则圆C的方程为________.【解题导引】先求圆心坐标,再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,最后根据勾股定理求圆的半径.【解析】设所求圆的半径为r,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1,故圆C的方程是x2+(y-1)2=10.答案:x2+(y-1)2=10【加固训练】已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,则△PAB面积的最大值是________.【解析】依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是-+=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于=,点P到直线AB的距离的最大值是+1,△PAB面积的最大值为×2×=3+.答案:3+三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知半径为2,圆心在直线y=-x+2上的圆C.(1)当圆C经过点A(2,2),且与y轴相切时,求圆C的方程.(2)已知E(1,1),F(1,-3),若圆C上存在点Q,使|QF|2-|QE|2=32,求圆心的横坐标a的取值X 围.【解析】(1)因为圆心在直线y=-x+2上,半径为2,所以可设圆的方程为(x-a)2+[y-(-a+2)]2=4,其圆心坐标为(a,-a+2).因为圆C经过点A(2,2),且与y轴相切,所以有解得a=2,所以圆C的方程是(x-2)2+y2=4.(2)设Q(x,y),由|QF|2-|QE|2=32,得(x-1)2+(y+3)2-[(x-1)2+(y-1)2]=32,解得y=3,所以点Q在直线y=3上.又因为点Q在圆C:(x-a)2+[y-(-a+2)]2=4上,所以圆C与直线y=3必须有公共点.因为圆C的圆心的纵坐标为-a+2,半径为2,所以圆C与直线y=3有公共点的充要条件是1≤-a+2≤5,即-3≤a≤1.所以圆心的横坐标a的取值X围是[-3,1].8.已知△ABC的三个顶点A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为☉H.(1)若直线l过点C,且被☉H截得的弦长为2,求直线l的方程.(2)对于线段BH上的任意一点P,若在以点C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M 是线段PN的中点,求☉C的半径r的取值X围.【解析】(1)线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,所以外接圆圆心为H(0,3),半径为=,☉H的方程为x2+(y-3)2=10.设圆心H到直线l的距离为d,因为直线l被☉H截得的弦长为2,所以d==3.当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;当直线l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y-2=k(x-3),则=3,解得k=,直线l的方程为4x-3y-6=0.综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=0.(2)直线BH的方程为3x+y-3=0,设P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y),因为点M是线段PN的中点,所以M,又M,N都在半径为r的☉C上,所以即因为此关于x,y的方程组有解,即以(3,2)为圆心,r为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2,又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对∀m∈[0,1]成立.而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域为,故r2≤且10≤9r2.又线段BH与圆C无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2对∀m∈[0,1]成立,即r2<.故☉C的半径r的取值X围为.【加固训练】已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值X 围;若不存在,说明理由.【解析】方法一:(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),因为点M为弦AB的中点,即C1M⊥AB,所以·k AB=-1,即·=-1,所以线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心,r=为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点),且E,F,又直线l:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线l与圆C相切时,由=得k=±,又k DE=-k DF=-=,结合上图可知当k∈∪[-,]时,直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.方法二:(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为C1(3,0).(2)设M(x,y),因为A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,所以由圆的性质知:MC1⊥MO,所以·=0.又因为=(3-x,-y),=(-x,-y),所以由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.易知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=mx,当直线l与圆C1相切时,d==2,解得m=±.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2-30x+25=0,解得x=.当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).又因为直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,所以<x≤3.所以点M的轨迹C的方程为x2-3x+y2=0,其中<x≤3,其轨迹为一段圆弧.(3)由题意知直线l表示过定点(4,0),斜率为k的直线,把直线l的方程代入轨迹C的方程x2-3x+y2=0,其中<x≤3,化简得(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2=0,其中<x≤3,记f(x)=(k2+1)x2-(3+8k2)x+16k2,其中<x≤3.若直线l与曲线C只有一个交点,令f(x)=0.当Δ=0时,解得k2=,即k=±,此时方程可化为25x2-120x+144=0,即(5x-12)2=0,解得x=∈,所以k=±满足条件.当Δ>0时,①若x=3是方程的解,则f(3)=0⇒k=0⇒另一根为x=0<,故在区间上有且仅有一个根,满足题意.②若x=是方程的解,则f=0⇒k=±⇒另外一根为x=,<≤3,故在区间上有且仅有一个根,满足题意.③若x=3和x=均不是方程的解,则方程在区间上有且仅有一个根,只需f·f(3)<0⇒-<k<.故在区间上有且仅有一个根,满足题意.综上所述,k的取值X围是-≤k≤或k=±.。

2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练:(二) Word版含解析

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高考小题标准练(二)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解析】选C.集合B={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},而A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3},故选C.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选 D.z==-i,在复平面上对应的点为,在第四象限.3.设a=201,b=log2016,c=log2017,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【解析】选 A.c=log2017=log20172016<;b=log2016=log20162017>,所以b>c.a=201>1,b<1,所以a>b,所以a>b>c,故选A.4.以下四个命题中:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4,则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8;④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越小,判断“X 与Y有关系”的把握越大.其中真命题的序号为( )A.①④B.②④C.①③D.②③【解析】选D.①应为系统(等距)抽样;②线性相关系数r的绝对值越接近于1,两变量间线性关系越密切;③变量ξ~N(1,σ2),P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=0.8;④随机变量K2的观测值k越大,判断“X与Y有关系”的把握越大.5.已知等差数列{a n}的公差为d(d>0),a1=1,S5=35,则d的值为( )A.3B.-3C.2D.4【解析】选A.因为{a n}是等差数列,所以S5=5a1+d=5+10d=35,解得d=3.。

高三数学(人教版理)二轮复习高考小题专攻练 6 Word版含解析

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高考小题专攻练
.解析几何
小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!
一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
.椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为( )
【解析】选.椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,所以⇒
.
.点()为抛物线(>)上一点,则到其焦点的距离为( )
.
【解析】选.由题意知,即,则点到准线的距离为,从而到其焦点的距离为.
.设双曲线的一条渐近线为,且一个焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的方程为( )
【解析】选.抛物线的焦点坐标为(,),则双曲线的焦点在轴上,从而>,<,
则有解得,.
.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,点在第一象限,若,则直线的斜率为( )
【解析】选.由题可知焦点(),设点()(),由,则,即(),故直线斜率为.
.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点,则满足的直线有( )
条条条条
【解析】选.当直线的倾斜角为°时;当直线的倾斜角为°时
<.故当直线适当倾斜时,还可作出两条直线使得.
.若是和的等比中项,则圆锥曲线的离心率是( )
.或.或。

2018届高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练(九) Word版含解析

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高考小题标准练(九)满分分,实战模拟,分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).设集合{<},{≤≤},则∩等于( ).(,] .[,) .[,) .(,]【解析】选.因为集合{<}{<<}{≤≤},所以∩{≤<}..设复数(为虚数单位)在复平面中对应的点为,将绕原点逆时针旋转°得到,则点在( ).第一象限.第二象限.第三象限.第四象限【解析】选.复数对应复平面上的点(,),将逆时针旋转°后得到,故(,),在第二象限..某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否有关,运用×列联表进行独立性检验,经计算,则认为“学生性别与支持活动有关”的犯错误的概率不超过( )附:【解析】选.因为>,所以认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过..已知△的三个内角,,所对的边分别为,,.若,,则△面积的最大值为( ). ..【解析】选.由得≥,所以≤,·≤××..中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见此日行数里,请公仔细算相还”,其意思为:“有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了天后到达目的地”,则第二天走了( )里里里里【解析】选.由题意,得该人每天走的路程形成以为公比、前项和为的等比数列,设第一天所走路程为,则,解得,,即第二天走了里..若函数()ω(ω>)在区间上单调递增,且>,则ω的。

2021-2022年高三数学二轮复习高考小题标准练九理新人教版

2021-2022年高三数学二轮复习高考小题标准练九理新人教版

2021年高三数学二轮复习高考小题标准练九理新人教版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=,B=,则A∩B=( )A.{x|x>0}B.{x|x≥0}C.{x|x≤2或x≥4}D.{x|0<x≤2或x≥4}【解析】选B.由集合A=,即集合A={x|x∈R}.集合B=,即B={y|y≥0}.所以A∩B={x|x≥0}.2.已知i是虚数单位,若<0(m∈R),则m的值为( )A. B.-2 C.2 D.-【解析】选B.由<0,知为纯虚数,所以=为纯虚数,所以2+m=0,且1-2m≠0,解得m=-2.3.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否有关,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=7.069,则认为“学生性别与支持活动有关”的犯错误的概率不超过( )附:P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【解析】选B.因为7.069>6.635,所以至少有99%的把握认为“学生性别与支持活动有关系”,即认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过1%.4.如图,从高为h的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长,如果测得桥头(B)的俯角是α,桥头(C)的俯角是β,则桥BC的长为( )A.hB.hC.hD.h【解析】选A.设气球在地面上的射影点为D,在△ABD中,AB=,在△ABC中,BC=sin(α-β)=h·.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S9>0,S10<0,则,,…,中最大的是( )A. B. C. D.【解析】选B.⇒⇒易得:数列{a n}为单调递减数列,故a1>a5>0>a6>a9,所以:0<<,<0,<0.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=( )A. B.1C. D.2【解析】选B.由题意可知=π-π,所以T=π,所以ω==3,则y=Asin(3x+φ),又Asin=0,所以π+φ=π,所以φ=,因为(0,1)在图象上,则Asin=1,所以A=2,进而f=2sin,从而f=1.7.执行如图的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.此程序框图的算法功能是分段函数y=的求值,当y=3时,相应的x值分别为±2,8.8.已知A,B为圆C:(x-a)2+(y-b)2=9(a,b∈R)上的两个不同的点,且满足|+|=2,则||=( )A.1B.C.2D.2【解析】选D.由题意知半径为3,再由|+|=2知弦心距为,从而||=2=2.9.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.y′=(e x+mx)′=e x+m,函数y=e x+mx没有极值的充要条件是函数在R上为单调函数,即y′=e x+m≥0(或≤0)恒成立,而e x≥0,故当m≥0时,函数y=e x+mx在R 上为单调递增函数,不存在极值,所以函数存在极值的条件是m<0.10.在棱锥P-ABC中,侧棱PA,PB,PC两两垂直,Q为底面△ABC内一点,若点Q到三个侧面的距离分别为3,4,5,则以线段PQ为直径的球的表面积为( )A.100πB.50πC.25πD.5π【解析】选B.以P为坐标原点,PA,PB,PC所在直线为坐标轴建系,则Q点的坐标为(3,4,5),则|PQ|==,所以S表=4π=50π.11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e,直线y=2x与以C的长轴为直径的圆交于A,B两点,且曲线C恰好将线段AB三等分,则e2的值为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图所示,设直线y=2x与椭圆C的两个交点为D,E,D(x1,y1),E(x2,y2),由已知得|DE|=|AB|=.将y=2x代入椭圆C:+=1(a>b>0)得x=±,故|DE|=|x1-x2|=,所以=,化简得a2=11b2,a2=11(a2-c2),解得e2=.12.已知奇函数f(x)=5x+sinx+c,x∈(-1,1),如果f(1-x)+f(1-x2)<0,则实数x的取值范围为( )A.(0,1)B.(1,)C.(-2,-)D.(1,)∪(-,-1)【解析】选B.因为f′(x)=5+cosx>0,可得函数f(x)在(-1,1)上是增函数,又函数f(x)为奇函数,所以由f(x)=5x+sinx+c及f(0)=0可得c=0,由f(1-x)+f(1-x2)<0,可得f(1-x)<-f(1-x2)=f(x2-1),从而得解得1<x<.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知平面向量a=(1,2),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=________.【解析】|a+b|===5.解得|b|=5.答案:514.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸)若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x为__________.【解析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得:(5.4-x)×3×1+π·x=12.6,解得x=1.6.答案:1.615.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(xx)的值为__________.【解析】当x>0时,由f(x)=f(x-1)-f(x-2),得f(x+1)=f(x)-f(x-1),两式相加得f(x+1)=-f(x-2),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x)=f(x+6),故f(xx)=f(6×336)=f(0)=02-20=-1.答案:-116.已知函数f(x)的定义域为(4a-3,3-2a2),a∈R,且y=f(2x-3)是偶函数,又g(x)=x3+ax2++,存在x0∈,k∈Z,使得g(x0)=x0,则满足条件的实数k的个数为________.【解析】由于函数f(x)的定义域为(4a-3,3-2a2),所以4a-3<3-2a2,解得-3<a<1.又函数y=f(2x-3)是偶函数,所以4a-3<2x-3<3-2a2⇒2a<x<3-a2,且2a+3-a2=0⇒a=-1或3,当a=3时,4a-3=9,3-2a2=-15,不成立.所以a=-1,则g(x)=x3-x2++.令h(x)=g(x)-x=x3-x2-+,则h′(x)=3x2-2x-=(6x2-4x-1)=0⇒x=,且当x=时,h(x)取得极大值,且h>0,当x=时,h(x)取得极小值,且h<0,所以函数h(x)有三个零点.又h(-1)<0,h>0,h(0)>0,h<0,h(1)<0,h>0,所以k=-1,0,1,即实数k有3.答案:3。

高三数学二轮复习 高考小题标准练(六)理 新人教版(2021年整理)

高三数学二轮复习 高考小题标准练(六)理 新人教版(2021年整理)

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高考小题标准练(六)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1。

已知集合M={x|x2-2x-3〈0},N={x|x>a},若M⊆N,则实数a的取值范围是()A.(—∞,—1] B。

(—∞,-1)C。

[3,+∞)D。

(3,+∞)【解析】选A。

M={x|x2-2x—3〈0}={x|—1〈x〈3},又M⊆N,故a≤-1。

2。

如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则=( )A。

i B.1+i C。

1—i D.1+2i【解析】选C.由图形可得:z1=i,z2=1+i,则==1—i。

3。

若△ABC外接圆的圆心为O,半径为4,+2+2=0,则在方向上的投影为( )A.4 B. C.D。

1【解析】选C.如图所示,取BC的中点D,连接AD,OD,则由平面向量加法的几何意义得+=2.又由条件得+=-=,所以2=,即4=,所以A,O,D共线,所以OA⊥BC,所以CD为在方向上的投影。

因为||=||=4,所以||=3,所以||==.4。

对具有线性相关关系的变量x,y,测得一组数据如下x24568y2040607080根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a,据此模型来预测当x=20时,y 的估计值为()A。

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高考小题标准练(十八)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i为虚数单位,则i+i2+i3+i4=( )A.0B.iC.2iD.-i【解析】选A.由i2=-1可知,i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.2.已知集合A={x|x2-x+4>x+12},B={x|2x-1<8},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x≥4}B.{x|x>4}C.{x|x≥-2}D.{x|x<-2或x≥4}【解析】选B.由A={x|x<-2或x>4},B={x|x<4},故A∩(ðB)={x|x<-2或Rx>4}∩{x|x≥4}={x|x>4}.3.已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为( )A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C. D.R【解析】选B.根据分段函数f(x)=的图象可知,该函数的值域为(-1,+∞).4.已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和S n 有最大值,且<-1,则使得S n >0的n 的最大值为( ) A.2016 B.2017 C.4031 D.4033【解答】选C.由题意知公差d<0,a 2016>0,a 2016+a 2017<0,因此S 4031>0,S 4032<0.故选C.5.公元263年左右,我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π,刘徽称这个方法为“割圆术”,并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.如图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.若运行该程序,则输出的n 的值为:(参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)( )A.48B.36C.30D.24【解析】选D.模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin60°=,不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin 30°=3,不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin 15°≈12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,退出循环,输出n的值为24.6.将函数f(x)=cos2x-sin2x的图象向左平移个单位后得到函数F(x)的图象,则下列说法正确的是( )A.函数F(x)是奇函数,最小值是-B.函数F(x)是偶函数,最小值是-C.函数F(x)是奇函数,最小值是-2D.函数F(x)是偶函数,最小值是-2【解析】选A.将函数f(x)=cos2x-sin2x=cos的图象向左平移个单位后得到函数F(x)=cos[2(x+)+]=cos=-sin2x的图象,故函数F(x)是奇函数,且它的最小值为-.7.已知某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是边长为2的正三角形,正视图是矩形,且AA=3,则该几何体的体积为4419( )1A. B.2 C.3 D.4[来源:]【解析】选C.由三视图可知,该几何体ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱,其底面是边长为2的正三角形、高为3.因为S △ABC =×2×=,h=A 1A=3,所以=S △ABC ·h=3.8.二项式的展开式中,项的系数是( )A. B.- C.15 D.-15[来源:]【解析】选B.二项式的展开式的通项公式为T r+1=·=(-1)r ··22r-10·,令=,求得r=3,可得展开式中含项的系数是-·2-4=-.9.据统计,某城市的火车站春运期间日接送旅客人数X(单位:万)服从正态分布X ~N(6,0.82),则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为( ) (P(|X-μ|<σ)=0.6827,P(|X-μ|<2σ)=0.9545,P(|X-μ|<3σ)=0.9975) A.0.6827B.0.9545C.0.9975D.0.3414【解析】选D.因为随机变量X 服从正态分布X ~N(6,0.82),所以μ=6,σ=0.8, 所以P(5.2<X<6.8)=0.6827,所以P(6<X<6.8)=P(5.2<X<6.8)≈0.3414.10.球面上有A ,B ,C 三点,球心O 到平面ABC 的距离是球的半径的,且AB=2,AC ⊥BC ,则球O 的表面积是( )A.81πB.9πC.D.【解析】选B.由题可知AB 为△ABC 外接圆的直径,令球的半径为R ,则R 2=+()2,可得R=,则球的表面积为S=4πR 2=9π.11.设F 1,F 2是双曲线C :-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△PF 1F 2最小内角的大小为30°,则双曲线C 的渐近线方程是 4420( ) A.x ±y=0B.x ±y=0[来源:学科网ZXXK]C.x ±2y=0D.2x ±y=0【解题指南】不妨设P 为右支上一点,由双曲线的定义,可得,|PF 1|-|PF 2|=2a ,求出△PF 1F 2的三边,比较即可得到最小的角,再由余弦定理,即可得到c 与a 的关系,再由a ,b ,c 的关系,结合渐近线方程,即可得到所求. 【解析】选A.不妨设P 为右支上一点, 由双曲线的定义,可得,|PF 1|-|PF 2|=2a , 又|PF 1|+|PF 2|=6a , 解得,|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a ,且|F 1F 2|=2c ,由于2a 最小,即有∠PF 1F 2=30°,[来源:学科网ZXXK] 由余弦定理,可得,cos30°===. 则有c 2+3a 2=2ac ,即c=a ,则b==a ,所以双曲线的渐近线方程为y=±x , 即y=±x.12.已知函数f(x)=(a>0,且a ≠1)的图象上关于y 轴对称的点至少有5对,则实数a 的取值范围为4421( )A. B.C. D.【解析】选D.若x<0,则-x>0,因为x>0时,f(x)=sin -1,所以f(-x)=sin-1=-sin-1,则若f(x)=sin-1(x>0)关于y轴对称,则f(-x)=-sin-1=f(x),即y=-sin-1,x<0,设g(x)=-sin-1,x<0,作出函数g(x)的图象,要使y=-sin-1,x<0与f(x)=loga(-x),x<0的图象至少有5个交点,则0<a<1且满足g(-7)<f(-7),即-2<loga 7,即loga7>logaa-2,即7<,综上可得0<a<.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为__________. 世纪金榜导学号92494422【解析】x,y满足的平面区域如图中阴影部分所示(含边界),根据阴影部分可得,当直线z=2x+y与圆相切于第一象限时,z取最大值,此时=2,所以z的最大值为2.答案:214.已知向量a=(1,0),b=(0,-1),m=a+(2t2+3)b,n=-k a+b,k,t为正实数.若m⊥n,则k的最小值为__________.【解析】由题知,m =(1,-2t2-3),n =.由m⊥n,得-k+(2t2+3)=0,整理得k=.因为k,t为正实数,所以k=2t+≥2,当且仅当t=时,取等号,故k的最小值为2.答案:215.已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,2asinB=b,b=2,c=3,AD是角A的平分线,D在BC上,则BD=__________.4423 【解析】因为2asinB=b,所以由正弦定理可得2sinAsinB=sinB,因为sinB ≠0,可得sinA=,因为A 为锐角,可得A=, 因为b=2,c=3,所以由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccosA=4+9-2×2×3×=7,可得:a=BC=,所以根据角分线定理可知,BD=.答案:16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 1:(x-1)2+y 2=2,圆C 2:(x-m)2+(y+m)2=m 2.圆C 2上存在点P 满足:过点P 向圆C 1作两条切线PA ,PB ,切点为A ,B ,△ABP 的面积为1,则正数m 的取值范围是____________. 4424 【解析】如图,由圆C 1:(x-1)2+y 2=2,圆C 2:(x-m)2+(y+m)2=m 2,得C 1(1,0),C 2(m ,-m),设圆C 2上点P ,则PA 2=PG ·PC 1, 而PA 2=P-2,所以P-2=PG ·PC 1,则PG=,A G===,所以S △PAB =2···==1.令=t(t ≥0),得t 3-t 2-4=0,解得:t=2.即=2,所以PC 1=2.圆C 2:(x-m)2-(y+m)2=m 2上点P到C 1距离的最小值为|C 1C 2|-m=-m ,最大值为|C 1C 2|+m=+m ,由-m ≤2≤+m ,[来源:学科网]得解①得:3-2≤m≤3+2,解②得:m≤-3或m≥1.取交集得:1≤m≤3+2.所以正数m的取值范围是[1,3+2].答案:[1,3+2]关闭Word文档返回原板块11。

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