高三数学理科二轮复习 1-1-1集合、函数与导数

高考专题训练一 集合与常用逻辑用语
班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(2011·福建)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )
A ．i ∈S
B ．i 2∈S
C ．i 3
∈S D.2i ∈S 解析：i 2＝－1∈S ，故选B.
答案：B
2．(2011·辽宁)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝( )
A ．M
B ．N
C ．I
D ．∅
解析：用韦恩图可知N M ，∴M ∪N ＝M .
答案：A
3．(2011·广东)设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z 且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是( )
A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
解析：取T＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，V＝{x|x＝2n，n∈Z}
则此时T，V对乘法均封闭且满足条件
取T＝{x|x＝2n－1，n∈Z且n≠0，n≠1}，
V＝{x|x＝－1或x＝1或x＝2n，n∈Z}
则此时T，V均满足条件，但T对乘法封闭，V对乘法不封闭．
由此可知，V、T中至少有一个关于乘法封闭．
答案：A
4．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()
A．若a≠－b，则|a|≠|b|
B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b
D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析：由互逆命题的关系知，选D.
答案：D
5．(2011·湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b 互补，记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的() A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝0
即a2＋b2＝a＋b，则a2＋b2＝a2＋b2＋2ab，
∴ab ＝0，∴a ≥0，b ≥0，且a 与b 互补．
答案：C
6．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )
A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点
B ．p ：f (－x )f (x )
＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数 C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β
D ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A
解析：对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；
对于B ，由f (－x )f (x )
＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )
1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；
对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；
对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .
综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D ，故选D.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．(2011·上海)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________.
解析：∵U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}＝{x |x ≤0或x ≥1}∴∁U A ＝{x |0<x <1}．
答案：{x |0<x <1}
8．设集合M ＝{(x ，y )|x ＝(y ＋3)·|y －1|＋(y ＋3)，－52
≤y ≤3}，若(a ，b )∈M 且对M 中的其他元素(c ，d )，总有c ≥a ，则a ＝________.
解析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M 中的其他元素(c ，d )，总有c ≥a ”？M 中的元素又有什么特点？依题可知，本题等价于求函数x ＝f (y )＝(y ＋3)·|y －1|＋(x ＋3)在－52
≤y ≤3时的最小值．
(1)当－52≤y ≤1时，x ＝(y ＋3)·|y －1|＋(y ＋3)＝－y 2－y ＋6＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋122
＋254，y ＝－52时，x min ＝94
. (2)当1≤y ≤3时，x ＝(y ＋3)(y －1)＋(y ＋3)＝y 2＋3y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322－94，当y ＝1时，x min ＝4.
而4>94，因此当y ＝－52时，x 有最小值94，即a ＝94
. 答案：94
9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．
解析：由已知可得f min (x 1)≥g min (x 2)，即0≥14
－m ， ∴m ≥14
. 答案：m ≥14
10．(2011·安徽“江南十校联考”)给出下列命题：
①y ＝1是幂函数；
②函数f (x )＝2x －x 2的零点有2个；
③⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＋25展开式的项数是6项； ④函数y ＝sin x (x ∈[－π，π])的图象与x 轴围成的图形的面积是S ＝⎠⎛－ππsin x d x ；
⑤若ξ～N(1，σ2)，且P(0≤ξ≤1)＝0.3，则P(ξ≥2)＝0.2.
其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的编号)．
解析：y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x 、y ＝x 2的图象，
知函数f(x)＝2x －x 2有3个零点(1负2正，2正分别是2、4)，②错误；⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式含有x 5、x 4、…x －5共11项，③错误；⎠⎛－π
πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0， ④显然错误，函数y ＝sin x(x ∈[－π，π])的图象与x 轴围成的图形的面积应为⎠⎛－π
π|sin x |d x ；如图，P (0≤ξ≤1)表示x ＝0、x ＝1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x ＝1、x ＝2与正态密度曲线围成区域的面积为0.3，P (ξ≥2)表示x ≥2与正态密度曲线围成区域的面积，
P (ξ≥2)＝1－2×0.32
＝0.2，⑤正确． 答案：⑤
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
11．(12分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
解：若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即p ：m >2.
若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应
一真一假，即p 真q 假，或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧
m ≤2，1<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.
12．(13分)设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等，说明你的理由；
(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x ||x |<6}，求A －(A －B )和B －(B －A )，由此你可以得到什么结论？(不必证明)．
解：(1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A －B ＝{1}．
(2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，故A －B ≠B －A ；又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A .故A －B 与B －A 不一定相等．
(3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}，A －(A －B )＝{x |4<x <6}，B －(B －A )＝{x |4<x <6}，由此猜测一般对于两个集合A 、B ，有
A－(A－B)＝B－(B－A)．。