算法设计(第7章回溯和分支限界)
算法的设计(第7章回溯和分支限界)
未来发展趋势及挑战
算法优化与创新
随着问题规模的增大和复杂性的提高，对算法性能的要求也越来越高。未来，回溯和分支 限界算法的优化和创新将成为研究的重要方向，包括设计更高效的剪枝策略、改进限界函 数等。
人工智能与算法设计的融合
人工智能技术的快速发展为算法设计提供了新的思路和方法。未来，将人工智能技术应用 于回溯和分支限界算法的设计中，实现自动化或半自动化的算法设计和优化，将是一个具 有挑战性的研究方向。
旅行商问题（TSP）。该问题是一个典 型的分支限界法应用案例，通过估计 旅行路线的最小和最大长度，可以缩 小搜索范围，并提高求解效率。回溯 法也可以求解TSP问题，但通常需要结 合其他优化技术来提高效率。
案例三
图的着色问题。该问题既可以通过回 溯法求解，也可以通过分支限界法求 解。回溯法通过搜索所有可能的着色 方案，并判断每种方案是否满足条件 ；而分支限界法则可以通过估计着色 的最小和最大颜色数来缩小搜索范围 。在实际应用中，可以根据问题的具 体特点和要求选择合适的算法。
利用问题领域的启发式信息来指导搜索过程，通过评估当前状态的优劣来决定是否继续 搜索该分支。启发式剪枝能够显著减少搜索空间，提高算法效率。
04 分支限界法详解
队列式分支限界法原理及实现
• 原理：队列式分支限界法是一种广度优先搜索策略，通过维 护一个队列来存储待处理的节点。在搜索过程中，不断从队 列中取出节点进行处理，并将产生的子节点加入队列，直到 找到目标节点或队列为空。
特点
回溯算法通常采用深度优先搜索策略 ，在搜索过程中，当发现当前路径无 法满足问题要求时，会及时“回溯” 到上一步，尝试其他可能的路径。
适用场景及问题类型
适用场景
回溯算法适用于求解组合优化问题， 如排列组合、图的着色、旅行商问题 等。
第七章 分支限界法_new
dist[1]=∞ ,0 dist[2]=∞,30,14,11 dist[3]=∞ ,6 dist[4]=∞ ,4 prev[1]=0 prev[2]=1, 4 ,3 prev[3]=1 prev[4]=1
4, 1, 4
3, 1, 6
2, 1, 30
3, 1, 6 2, 1, 30 2, 3, 11
E
North China Electric Power University
H 2, 1, 30 2, 1, 30 3, 1, 6
1
6 5
30
2
4 10
1, 0 , 0
4, 1, 4
3
20
4
2, 1, 30 3, 1, 6 3, 1, 6 2, 1, 30 2, 4, 14 2, 3, 11 2, 1, 30 2, 4, 14
2, 4, 14
2, 4, 14 2, 1, 30
2, 4, 14
2, 1, 30
North China Electric Power University
3.布线问题
1.问题描述
印刷电路板将布线区域分成n*m个方格阵列。精确的电路 布线问题要求确定连接方格a的中点到方格b的中点的最短布线 方案。在布线时，电路只能沿直线或直角进行。为了避免线路 相交，已布了线的方格做了封锁标记，其他线路不允许穿过被 封锁的方格。如下图所示，在一个7*7的方格阵列中布线，其 中起始位置a=(3,2),目标位置b=(4,6)，阴影方格表示被封锁的 方格。
North China Electric Power University
例：0-1背包问题 n=3，C=20，(p1,p2,p3)=(20,15,25) (w1,w2,w3)=(10,5,15)，求X=(x1,x2,x3)使背包价值最大？
算法设计中的回溯与分支限界
算法设计中的回溯与分支限界在算法设计中，回溯（backtracking）和分支限界（branch and bound）是两个重要的技术手段。
它们在解决一些求解最优化问题或搜索问题时具有广泛的应用。
本文将介绍回溯和分支限界的基本概念、原理和应用，并探讨它们在算法设计中的意义和作用。
一、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过遍历问题的解空间来求解问题。
其基本思想是从初始解开始，逐步地扩展解的空间，直到找到满足问题要求的解。
如果扩展到某一步时发现无法继续扩展，那么就回溯到上一步，并继续向其他可能的解空间进行扩展。
回溯算法通常使用递归的方式实现。
回溯算法的应用非常广泛，适用于求解组合优化、满足约束条件的问题，例如八皇后问题、0-1背包问题、图的哈密顿路径等。
回溯算法虽然简单直观，但由于其穷举搜索的性质，时间复杂度较高，因此在面对问题规模较大时不一定是最优的选择。
二、分支限界算法分支限界算法是一种在解空间中搜索最优解的算法。
它通过在搜索过程中设定上、下界限制来避免对无效解的搜索，从而提高搜索效率。
分支限界算法通常使用优先队列（priority queue）来存储待扩展的节点，并按照一定的优先级进行扩展，每次选择优先级最高的节点进行扩展。
在扩展过程中，通过修剪（pruning）无效解的策略，可以进一步提高搜索效率。
分支限界算法的应用范围广泛，适用于求解组合优化问题、图论问题等。
通过合理的界限设定和剪枝策略，分支限界算法能够大幅减少搜索空间，提高求解效率。
但需要注意的是，分支限界算法并不能保证一定能够找到最优解，只能保证找到满足要求的解。
三、回溯与分支限界的比较回溯算法和分支限界算法都是基于搜索的算法，二者都可以求解组合优化问题和搜索问题。
回溯算法在搜索过程中对解空间进行穷举，而分支限界算法通过设定界限和剪枝策略来减少搜索空间。
因此，相较于回溯算法，分支限界算法具有更高的搜索效率。
然而，回溯算法也有其优点。
第7章--分支限界法NEW
Algorithm
USTB
例：0-1背包问题。假设有4个物品，其重量分别为(4, 7, 5, 3)，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容量W=10。首先，将 给定物品按单位重量价值从大到小排序，结果如下： 价值/重量 价值 重量 (v/w) 10 6 5 4
12
Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
分支限界法与回溯法的比较
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树 中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标 则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条 件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜 索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗 费优先的方式搜索解空间树。
16
Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
用分支限界法求TSP
TSP是求排列的问题，不是仅找一条路径而已。因而需要 对分支限界法的一般算法作些修改： (1)待扩展的结点如果在本路径上已经出现，则不再扩展，但 若是在其他路径上出现过，则仍需要扩展。 (2) (2)新结点，无论其优劣，既不影响其它路径上的结点，也不 受其它路径上的结点的影响。 (3)依据上界函数决定结点是否可以剪去。
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Algorithm Design & Analysis
Algorithm
USTB
分支限界法求排列
⑴计算初始结点s的f(s); [s, f(s), nil]放入Open; ⑵while (Open ≠Φ) { ⑶ 从Open中取出[p, f(p), L]; //L是路径已有结点 ⑷ 若f(p)≥U，则抛弃该路径； ⑸ 若p是目标，则考虑修改上界函数值；否则 p ⑹ {将[p, f(p), L]放入Closed; ⑺ 在该路径上扩展结点p；对每个后继d ⑻ {计算f(d)； ⑼ 若f(d)＜U, 则{L = L ∪{p}; 将[d, f(d),L]依序放入Open。} }}}
回溯法与分支限界法
回溯法与分支限界法
回溯法和分支限界法是两种常见的搜索算法，它们被广泛应用于解决优化问题、约束满足问题以及决策问题等。
1. 回溯法：
回溯法是一种基于试错的搜索算法。
它通过搜索解空间树来寻找问题的解。
在搜索过程中，回溯法会尝试不同的分支，也就是不同的可能解，直到找到解或者确定无解。
如果一条路径上无法得到解，回溯法就会回溯到上一步，尝试其他的分支。
回溯法的优点是它可以找到问题的所有解，而且对于一些问题，它能够找到最优解。
然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么回溯法可能会需要大量的时间和空间。
2. 分支限界法：
分支限界法是一种有约束的深度优先搜索算法。
它也是一种用于求解优化问题的算法。
在分支限界法中，搜索过程被分为两个阶段：扩展阶段和限界阶段。
在扩展阶段，算法会生成所有可能的候选解，并将它们加入到候选解集中。
在限界阶段，算法会根据一些启发式信息对候选解进行排序，并只考虑排在最前面的候选解。
这样可以大大减少搜索的时间和空间复杂度。
分支限界法的优点是它可以找到问题的最优解，而且它的时间复杂度是可以控制的。
然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么它可能需要大量的内存来存储候选解。
总的来说，回溯法和分支限界法都是非常重要的搜索算法，它们在不同的场景下都有各自的优势和适用性。
简述回溯法和分支限界法的异同
回溯法和分支限界法是解决问题时常用的两种算法。
它们都是一种搜索算法，用于在问题空间中寻找问题的解。
虽然它们有着相似的目的，但它们在实现过程和特点上有着不同之处。
下面将对回溯法和分支限界法进行简要的比较，以便更好地理解它们的异同点。
一、回溯法回溯法，又称试探法，是一种通过深度优先搜索的方式来解决问题的算法。
其基本思想是从问题的解空间树根节点出发，按深度优先的方式搜索整个解空间树。
在搜索过程中，当发现到达某个节点时，如果这个节点不满足约束条件，那么就进行回溯，返回到上一层节点继续搜索。
回溯法在寻找解的过程中，常常使用递归进行实现。
回溯法的特点：1. 深度优先搜索：回溯法使用深度优先搜索的方式遍历解空间树，这意味着它会尽可能深地探索每一个节点，直到找到问题的解或者发现无解。
2. 适用范围广：回溯法可以解决非常多种类的问题，比如八皇后问题、0-1背包问题等等。
只要问题可以建模成解空间树的形式，就可以使用回溯法进行解决。
3. 隐式的剪枝：在回溯法的搜索过程中，由于采用了深度优先搜索的方式，所以会自带一定的隐式剪枝效果。
即在搜索到某一节点时，如果发现不满足约束条件，就会立即回溯，从而避免继续搜索无效的节点。
二、分支限界法分支限界法也是一种搜索算法，它与回溯法有相似之处，但在实现细节上有所不同。
分支限界法通过不断将解空间树中的节点分支并进行评估，然后根据当前状态的下界限定来减少搜索范围，从而达到快速寻找最优解的目的。
分支限界法的特点：1. 显式的剪枝：与回溯法不同，分支限界法会显式地在搜索过程中对节点进行剪枝。
这是因为分支限界法在每次分支后都会对节点进行评估，并根据评估结果进行剪枝操作，从而避免不必要的搜索。
2. 寻找最优解：相比于回溯法，分支限界法更适合寻找最优解。
由于它能够通过不断地削减搜索空间来加速搜索过程，因此更适合解决那些需要找到最优解的问题。
3. 需要维护优先队列：在分支限界法的实现过程中，通常需要维护一个优先队列，用于存储待扩展的节点，并根据评估函数的结果进行排序。
算法课件 第7章 分枝限界法
7.2 求最优解的分枝限界法
分枝限界法的三种形式：FIFO分枝限界法、LIFO分枝限 界法和LC分枝限界法都可用于求解最优化问题。当分枝限界法 用于求最优解时，需要使用上下界函数作为限界函数。
定义7-1 状态空间树上一个结点X的代价函数c(·)定义为： 若X是答案结点，则c(X)为X所代表的可行解的目标函数值；若 X为非可行解结点，则c(X)=；若X代表部分向量，则c(X)是以 X为根的子树上具有最小代价的结点代价。
本章要点
• 队列式分枝限界法 • 优先队列式分枝限界法 • 0/1背包问题 • 带限期作业排序 • TSP问题 • 单源点最短路径问题
章节内容
7.1 算法思想 7.2 求最优解的分枝限界法 7.3 组合问题中的分枝限界算法 7.4 图问题中的分枝限界算法 7.5 典型的c++程序 7.6 小结
7.1 算法思想
➢相对代价函数g(.)
衡量一个结点X的相对代价一般有两种标准：①在生成一个答案结点之前，子 树X上需要生成的结点数目；②在子树X上，离X最近的答案结点到X的路径长度。 容易看出，如果采用标准①总是生成最小数目的结点；如果采用标准②,则要成为 E-结点的结点只是由根到最近的那个答案结点路径上的那些结点。
do{ for(对结点E的每个孩子){ x=new Node;x->parent=E;//构造E的孩子结点x if(ĉ(X)<U){ //x子树未被限界函数剪枝 lst.Append(x); if(x是一个答案结点&&cost(x)<U) //x为答案结点时修正U if(u(x)+ < cost(x))U=u(x)+ ; else{U=cost(x);ans=x;} else if(u(x)+ < U) U=u(x)+ ;//x为非答案结点时修正U } } if(!lst.isempty()){ lst.serve(E);//从队列中取出活结点E if(ĉ(E)≥U) return ans; //若ĉ(E)≥U，则算法结束 } else return ans; //若队列为空，则算法结束
回溯分支限界
• Give each of the arcs an arc number, from 1 to m, as identification.
• The branching within each stage corresponds to the decision of either adding a certain arc to the solution arc set or not.
• introduce an arc-oriented branch and bound method, branching by using an arc or not.
A Binary Search Tree
• Define an m-stage binary search tree for problem with n nodes, where, for complete graph problem, m equals the number of pairs of nodes.
• Define traveling along left branch represents for choosing an arc and traveling along right branch represents for not choosing an arc.
算法设计与分析：第7章 分支限界算法
7.3.1 0/1背包问题
问题描述
• ! "$ &# $%&"# &%& # %'
– $ – $ &
%$ &!
$ "# (
算法思想
• !!3 '$6;
• 2)&!";+0#
&&E) *
.2D,<
最小代价(LC)分支限界法
代价函数!(·)
• % "!(%) %
• % "! %( % )
– %
• !(%) = ∞#
– %
• ! % =
相对代价估计函数"!($)
• "!(')((')&! • & '
• '$% &' • "!(')" *
)' )#"!(*) ≤ "!(') (
代价估计函数"!($)
• "!(') "! ' = ) ' + ,+(')
//X进队列
if(x是一个答案结点&&cost(x)<U)
//X为答案结点时修正U
if(u(x)+e < cost(x)) U=u(x)+e ;
else{ U=cost(x); ans=x;} else if(u(x)+e < U) U=u(x)+e ; //X为非答案结点时修正U
}
E.@56
_ N8!O/4/\/2i"1#9)K<iK<'- 4i ?I 40iFMZ>I 40+(104)]6=76i"/2)%PT\/3i"1#19)K<i 6iK<'- ?IY 0iFMZ>I 10]6=60i"/3)%PT\
第七章 分支限界法
旅行售货员问题
2. 问题分析
可能解空间： 可能解集合S={1,∏, 1} ∏是{2,3,……,n}的一个排列；
所以可能解的总数 |S| = (n-1)! (n-1)!。 当n=4时，其状态解空间一共有3!=6 条路径。
对此设计代价函数： 1）C(x)=从根到节点x的距离（x为叶子） 2）C(x)=x的子树中最小代价的叶子节点的代价（x为 内部节点）
生成问题状态的基本方法
扩展结点: 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点: 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称 做活结点 死结点: 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R 产生了它的一个儿子C 就把C当做新的扩展结点。 产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C 为根的子树）的穷尽搜索之后， 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成 扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法： 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前， 之前，它一直是扩展结点 回溯法：每当出现死节点就进行回溯， 回溯法：每当出现死节点就进行回溯，通过继续扩展父节 点产生新的活节点，直至找到最优解。 点产生新的活节点，直至找到最优解。 分支限界法：每个活节点有且只有一次机会变成扩展节点、 分支限界法：每个活节点有且只有一次机会变成扩展节点、 当一个节点变为扩展节点时，则生成所有的子节点（ 当一个节点变为扩展节点时，则生成所有的子节点（分 支）。
剪枝操作。根据约束条件、目标函数的界来设计剪枝操 作。 优先队列。设计待检测结点的优先级。 2．分枝限界法的基本思想 树的优先队列优先搜索 + 剪枝
回溯算法与分支限界法
回溯算法与分⽀限界法回溯法⼀、回溯法回溯法可以系统的搜索⼀个问题的所有解或者任意解。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略从根节点出发搜索解空间树，算法搜索⾄解空间树的任意⼀个结点时，先判断该节点如（⼦树）是否包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对其⼦树的搜索，逐层向其根节点回溯。
否则，则按照深度优先的策略搜索⼦树。
当回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。
这种以深度优先⽅式系统搜索问题解的算法称为回溯法，适⽤于解决组合数较⼤的问题。
例：n皇后问题n皇后问题要求在⼀个n⾏n列的棋盘上放置n个皇后，使得皇后彼此之间不受攻击，按照国际象棋的规则，⼀个皇后可以攻击与之处于同⼀⾏或同⼀列或同⼀条斜线上的其他任何棋⼦。
因此，n皇后问题等价于要求在⼀个n*n格的棋盘上放置n个皇后，使得任意两个皇后不在同⼀⾏、同⼀列和相同的对⾓线上。
int Place(int *Column, int index){int i;for(i=1; i<index; i++) {int Column_differ=abs(Column[index]-Column[i]);int Row_differ=abs(index-i);if(Column[i] == Column[index] || Column_differ == Row_differ)/*有皇后与其在同列或同⼀斜线上*/return 0;}return 1; /*没有皇后与其同⾏、同列或同对⾓线*/}void N_Queue(int n){int Column_num[n+1]； /*数组下标表⽰皇后所在的⾏，数组元素的值int index=1; /*皇后的个数*/ 表⽰皇后所在的列*/int i; /*循环变量*/int answer_num=0; /*解个数*/for(i=1; i <= n; i++) /*初始化数组Column*/Column_num[i]=0;while(index > 0){Column_num[index]++;while(Column_num[index] <= n && !Place(Column_num ,index))/*寻找皇后的位置*/Column[index]++;if(Column_num[index] <= n){if(index== n){ /*如果是最后⼀⾏时，即有⼀个解时*/answer_num++;for(i=1; i<=n; i++)Column_num [index]++;}else{ /*继续寻找下⼀个皇后*/index++;Column_num[index]=0;}}elseindex--; /*当前皇后⽆法放置回溯⾄上个皇后*/}分⽀限界法⼀、分⽀限界法分⽀限界法类似于回溯法，也是⼀种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。
回溯法和分支限界法
7
子集树与排列树
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
1
问题的解空间
• 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n
• • •
元式(x1,x2,…,xn)的形式。 显约束：对分量xi的取值限定。 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
6
采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非 递归迭代过程。
迭代回溯
void iterativeBacktrack () { int t=1; while (t>0) { if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} } else t--; }
• 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 • 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 • •
称做活结点 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一 旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在 完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R 重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点 回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
回溯与分支限界算法设计
算法设计与分析实验报告1.骑士游历问题（采用回溯法）：在国际象棋的棋盘（8行×8列）上放置一个马，按照“马走日字”的规则，马要遍历棋盘，即到达棋盘上的每一格，并且每格只到达一次。
若给定起始位置（x0,y0）,编程探索出一条路径，沿着这条路径马能遍历棋盘上的所有单元格。
2. 行列变换问题（采用分支限界法）：给定两个m n方格阵列组成的图形A和图形B，每个方格的颜色为黑色或白色，如下图所示。
行列变换问题的每一步变换可以交换任意2行或2列方格的颜色，或者将某行或某列颠倒。
上述每次变换算作一步。
试设计一个算法，计算最少需要多少步，才能将图形A变换为图形B。
图形A图形B2. 行列变换问题的程序：package .t8;import java.util.LinkedList;import java.util.Scanner;class graph{static int sour, dest;//sour是图形的初始整数，dest是图形的目的整数static int ans[]=new int[1<<16];//静态变量（即全局变量），用于存放图形变换的路径int m=4,n=4,x;int row[]=new int[4];int col[]=new int[4];void setx(int x){this.x=x;}int getx(){return this.x;}void rowx(){//将一个整数划分成四行二进制int y;for(int i=0;i<m;i++){y=1;row[i]=0;for(int j=0;j<n;j++){if((x&1)!=0) //如果x的最低位是1row[i]|=y;y<<=1;x>>=1;}}}}实例：总结实验心得体会：掌握回溯法解决问题的一般步骤。
学会使用回溯法解决实际问题。
掌握分支限界法解决问题的基本思想。
算法设计中的分支限界算法
算法设计中的分支限界算法随着人类社会的发展，计算机科学也经历了飞速的发展，计算机算法的研究成为了计算机领域中的一个重要领域。
无论在理论上还是在实践中，算法都有着广泛的应用，例如数据分析、图像处理、搜索引擎等各个领域。
而在算法的发展中，分支限界算法是一种比较重要的算法之一，具体来讲，它是一种基于搜索的算法，可以应用于优化问题和决策问题等场景。
下面，就请跟随笔者的步伐，一起来了解一下分支限界算法的相关知识吧。
一、分支限界算法的基本原理分支限界算法的核心思想是利用深度优先搜索（DFS）的方式，不断地拓展搜索空间，并根据当前情况的限界条件，选择合适的分支进行搜索。
具体来讲，分支限界算法会优先进行深度优先搜索，并记下每个节点的评价函数值，当搜索到某个节点时，对应的评价函数值超出了限界条件，那么该节点即被剪枝掉。
对于一般有解优化问题（如旅行商问题等），分支限界算法的搜索空间应该被定义成“状态空间树”，每个状态代表一个可行解，并用“根节点”表示起始状态，“叶子节点”表示可行解，每个节点的子节点就是较小的状态空间。
通过这种方式，分支限界算法可以有序地遍历每个状态，从而找到评价函数最小的可行解。
二、分支限界算法的优缺点1. 优点：（1）分支限界算法可以解决许多实际中的优化问题，例如旅行商问题、背包问题等，这种算法应用广泛。
（2）分支限界算法使用深度优先搜索，因此可以在解空间中找到最优解。
（3）分支限界算法具有较好的可扩展性，在搜索结束之后，可以通过修改评价函数值，对下一次搜索进行优化。
2. 缺点：（1）由于分支限界算法使用深度优先搜索，在面对大规模的状态空间时，算法时间是指数级的增长，这会导致算法效率低下。
（2）由于分支限界算法利用评价函数值来进行分枝剪枝，对评价函数的选择有很大的影响，评价函数的设计需要非常经验丰富的算法设计师。
三、分支限界算法的应用场景1. 组合优化问题，例如旅行商问题、背包问题等。
2. 决策问题，例如产线安排、任务调度等。
对比回溯法和分支限界法
回溯法（Backtracking）和分支限界法（Branch and Bound）都是求解组合优化问题的常用算法，它们在解空间中搜索最优解的过程中有所不同。
1. 回溯法：
回溯法是一种穷举搜索的算法，通过逐步构建候选解，然后根据约束条件进行判断，如果当前的候选解不能满足约束条件，就进行回溯，撤销上一步的选择，继续搜索其他可能的解。
回溯法常用于求解排列、组合、子集等问题。
回溯法的基本思想是深度优先搜索，在搜索的过程中利用剪枝策略来减少搜索空间。
回溯法的核心是递归实现，在每一层递归中，都会进行选择、判断和回溯操作。
2. 分支限界法：
分支限界法是一种利用剪枝策略进行搜索的优化算法，它通过设置一个界限值，将搜索空间划分为多个子空间，并对每个子空间中的解进行评估。
根据评估结果，可以确定某些子空间中不可能存在更优解的情况，从而剪去这些子空间，减少搜索代价。
分支限界法的基本思想是广度优先搜索，通过优先级队列或堆结构来选择下一个扩展节点。
在搜索的过程中，根据问题的特点和限界条件，确定分支的方向，并对每个扩展节点进行评估。
相比于回溯法，分支限界法在搜索过程中可以更加高效地剪去无效子空间，从而减少不必要的搜索量。
它适用于需要在可能解空间中找到最优解或满足某个目标的问题。
总结：
回溯法是一种穷举搜索的方法，通过递归实现，在搜索过程中进行选择、判断和回溯操作；而分支限界法利用剪枝策略，在广度优先搜索的基础上，通过设定界限值来剪去无效子空间。
两种算法在实际应用中根据问题的特点和求解目标选择使用。
分支限界法与回溯法
分支限界法和回溯法
分支限界法和回溯法都是求解优化问题的算法策略。
但它们在求解问题的过程和方法上存在明显的不同。
1. 分支限界法：
分支限界法是一种在穷举法的基础上，设法避免其缺点、提高效率的算法。
它的基本思想是将原始问题分解为若干个子问题，然后逐个求解。
在求解过程中，分支限界法会不断地扩展子树的分支，然后在满足限界条件的情况下，剪去不符合限界条件的分支。
分支限界法的核心思想是：在每一步选择中，算法会优先选择约束条件最少的子节点进行扩展，从而在搜索过程中限制了生成的子节点的数量。
2. 回溯法：
回溯法是一种按照深度优先搜索策略的穷举搜索法。
它通过深度优先搜索解空间树，从根节点出发深度搜索解空间树，当搜索到某一节点时，如果该节点可能包含问题的解，则继续向下搜索；反之回溯到其祖先节点，尝试其他路径搜索。
回溯法的核心思想是：通过深度优先搜索，从上到下、从左到右地搜索解空间树。
当搜索到某一节点时，如果该节点可能包含问题的解，则继续向下搜索；否则回溯到其祖先节点，继续尝试其他路径搜索。
总结：
分支限界法和回溯法都是求解优化问题的算法策略。
分支限界法通过分解问题和优先选择约束条件最少的子节点来提高效率；而回溯
法则通过深度优先搜索解空间树和回溯到祖先节点来尝试其他路径搜索。
在实际应用中，应根据具体问题的特点和要求选择合适的算法策略。
算法设计与分析 分支限界
…
13
纲要
一、分支限界的基本思想
二、背包问题
三、P和NP
14
问题定义
0-1背包问题
给定n个物品，商品i有两个属性i 和i ，分别代表重量和价格，
背包所承受的物品重量为W
0-1背包问题的目的是要选择一个物品的子集，使其总重量≤W，而价值最大。
解空间
假设解可以有向量（ , ,…, ）表示， ∈{0,1}， =1表示物品i被放进
（成为死节点），把剩下来的节点加到活节点的表中，然后，从这个
表中选一个节点作为下一个扩展节点。
7
分支限界法
从活节点的表中选一个节点并扩展它。这个扩展操作持续到找到解或这
个表为空为止。
选择下一个扩展节点的方法∶
1)先进先出(FIFO)
这个方法是按节点放进表中的次序从活节点表中选择节点。这个活节点
表可被看作一个队列。使用广度优先来搜索这个棵树。
在这个节点上我们得到的下界大于或等于上界，那么就没有必要在扩
展这个节点既不需在延伸这个分支。
·对于最大化问题规则正好相反:一旦上界小于或等于先前确定的下界，
那么就剪掉这个枝。
4
分支限界法
·首先，分支限界是对最优化问题可行解进行剪枝的一个方法。
·将搜索集中在有希望得到解的分支上。也就是说，在基于上下界和可
时，活节点表可用一个最大堆来表示。下一个扩展节点为最大收益的节点。
9
解空间树
扩展节点
死节点
活节点
success
10
分支限界法
使用分支限界法至少需要注意以下几点：
1．怎么样计算上界，极大值问题；
回溯与分支限界算法设计
算法设计与分析实验报告1.骑士游历问题（采用回溯法）：在国际象棋的棋盘（8行×8列）上放置一个马，按照“马走日字”的规则，马要遍历棋盘，即到达棋盘上的每一格，并且每格只到达一次。
若给定起始位置（x0,y0）,编程探索出一条路径，沿着这条路径马能遍历棋盘上的所有单元格。
2. 行列变换问题（采用分支限界法）：给定两个m n方格阵列组成的图形A和图形B，每个方格的颜色为黑色或白色，如下图所示。
行列变换问题的每一步变换可以交换任意2行或2列方格的颜色，或者将某行或某列颠倒。
上述每次变换算作一步。
试设计一个算法，计算最少需要多少步，才能将图形A变换为图形B。
2. 行列变换问题的程序：package ;import graph{static int sour, dest;//sour是图形的初始整数，dest是图形的目的整数static int ans[]=new int[1<<16];//静态变量（即全局变量），用于存放图形变换的路径int m=4,n=4,x;int row[]=new int[4];int col[]=new int[4];void setx(int x){=x;}int getx(){}实例：总结实验心得体会：掌握回溯法解决问题的一般步骤。
学会使用回溯法解决实际问题。
掌握分支限界法解决问题的基本思想。
学会使用分支限界法解决实际问题改进意见：对于分支限界法了解的不透彻，应与老师沟通解决此问题，回溯法可以帮我们更好的解决一些多解的复杂性问题，所以，要更好的去学习和运用回溯法思想。
实验成绩：指导教师：年月日。
回溯法和分支限界法
问题的解空间
• 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n
• • •
元式(x1,x2,…,xn)的形式。 显约束：对分量xi的取值限定。 隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的 所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单， 所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
2
问题的解空间
n=3时的0-1背包问题用完 全二叉树表示的解空间
子集树
1
30
2
6
3 4
20
要到若干城市推销商品， 已知各个城市之间的路程 10 （或旅费）。他要选定一 条从驻地出发，经过每个 城市一遍，最后回到驻地 的路线，使总的路线（或 旅费）最小。 排列树 3
旅行商问题：某售货员
生成问题状态的基本方法
回溯法
• 有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么
• •
解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯 法。 回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条 的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适 用于解一些组合数相当大的问题。 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根 结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意 一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定 不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向 其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优 先策略搜索。
14
对于许多问题而言，在搜索试探时选取x[i]的值顺序是任意的。 在其他条件相当的前提下，让可取值最少的x[i]优先。从图中 关于同一问题的2棵不同解空间树，可以体会到这种策略的潜 力。
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wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
当前最优解: 01101 (72)
bound: 50+10=60
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
1
0
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
第1个可行解: 11100 (70)
bound: 58+21+10=89
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0 1
27,8 1
7,58
1
0
2,70 7,58
0
0
2,70 7,58
0
2,70
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
bound: 50+21+10=81
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
1
0
30,0 1
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
10,50 0 10,50
0
0
2,70 7,58
0
0
1
0
5,62 0,71 10,50
1
0
2,70
0,72
0,71
第1个可行解: 11100 (70)
bound: 50+12+21+10=93
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
1
0
30,0 1
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
10,50
0
0
2,70 7,58
0
2,70
wv S : (3,8)
第1个可行解: 11100 (70)
bound: 8+12+21+10=51
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0 1
27,8
1
0
7,58
27,8
1
0
2,70 7,58
0
0
2,70 7,58
0
2,70
0 30,0
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0 1
27,8 1
7,58
1
0
2,70 7,58
0
2,70 0
2,70
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
第7章 回溯和分支限界
➢ 基本思想 ➢ 0-1背包问题 ➢ 旅行商问题 ➢ 其它若干典型问题
7.1 回溯和分支限界法的基本思想
状态空间: 问题（实例）的所有可能解
0-1背包问题: {0,1}n 旅行商问题: perms(V)
7.1 回溯和分支限界法的基本思想
剪枝
约束函数: 除去违反约束条件的解 限界函数: 放弃不可能达到最优解的路径
10,50
0
0
0
2,70 7,58
5,62
0
2,70
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
第1个可行解: 11100 (70)
bound: 62+10=72
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
W = 30
0
当前最优解: 01101 (72)
2,70
0,72
0,71
7.2 0-1背包问题
Function Rec_Backtrack_Knapsack(i, cw, cv, W: int; S: Item[]; x: int[]; v_best: ref int; x_best: ref int[]) begin let n = |S|; if (i = n) then //搜索到叶节点
30,0
1
0
27,8
1
0
30,0 1
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
10,50 0 10,50
0
0
2,70 7,58
0
0
1
5,62 0,71
1
2,70
0,72
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
当前最优解: 01101 (72)
第1个可行解: 11100 (70)
bound: 58+10=68
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0 1
27,8
1
0
7,58
27,8
1
0
2,70 7,58
0
0
2,70 7,58
0
2,70
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
7.1 回溯和分支限界法的基本思想
搜索策略
深度优先: 回溯 广度优先: 分支限界
7.2 0-1背包问题
输入：n件物品的集合S (其中第i件物品的重量和价值分别为 S[i].w和S[i].v)，以及背包的最大承重量W
输出：S的一个子集A，其重量之和不大于W，且价值之和最大
wv S : (3,8)
0
0
0
2,70 7,58
5,62
0
1
1 10,50
30,0 0 0,30
wv S : (3,8)
(20,50)
0
10,50
1
0
0,71 10,50
(5,12) (10,21) (5,10)
W = 30
0
当前最优解: 01101 (72)
2,70
0,72
0,71
bound: 12+21+10=41
7.2 0-1背包问题
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10) W = 30
第1个可行解: 11100 (70)
bபைடு நூலகம்und: 50+12+21+10=93
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
1
0
30,0 1
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
1
0
30,0 1
7,58
1
0
27,8
10,50
1
2,70 7,58
5,62
0
0
0
2,70 7,58
5,62
0
1
2,70
0,72
wv S : (3,8)
(20,50) (5,12) (10,21) (5,10)
W = 30
当前最优解: 01101 (72)
7.2 0-1背包问题
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
限界函数：当前背包价值加上剩余所有物品的价值
30,0
1
0
27,8
1
0
7,58
1
0
2,70 7,58
27,8 1
5,62
0
0
0
2,70 7,58
5,62
0
1
1 10,50
30,0 0 0,30
wv S : (3,8)
(20,50)
0
10,50
1
0
0,71 10,50
(5,12) (10,21) (5,10)