2018中考数学专题突破导学练第23讲矩形菱形正方形二试题

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矩形、菱形与正方形(解析版)2018年数学全国中考真题-2

2018年数学全国中考真题矩形、菱形与正方形（试题二）解析版一、选择题1. （2018广西省桂林市，11，3分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点M 在CD 边上，且DM ＝1，△AEM 与△ADM 关于所在的直线AM 对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A ．3 B． CD【答案】C ．【思路分析】连接BM ，由题意可得△ADM ≌△AEM ≌△ABF ，由此可以证得△EAF ≌△BAM ，则FE ＝BM ，计算出BM 的长即可．【解题过程】如下图（1），连接BM ，则由题意可得，△ADM ≌△AEM ≌△ABF ，∴∠BAF ＝∠EAM ，BA ＝AM ，AF ＝EA ，∴∠ BAF ＋∠ BAE ＝∠EAM ＋∠ BAE ，即∠ EAF ＝∠BAM ，则在△EAF 和△BAM 中，∵BA AM EAF BAM AF AE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EAF ≌△BAM （SAS ），∴FE ＝BM ，又∵DM ＝1，在正方形ABCD 中，AB ＝3，∴CM ＝3－1＝2，CB ＝3，∠C ＝90°，∴BM==FE ＝BMC ．【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；旋转的性质；勾股定理；全等三角形的性质及判定2. （2018海南省，14，3分）如图1，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC 、EG 剪开，拼成如图2所示的□KLMN ，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且□KLMN 的面积为50，则正方形EFGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】A【思路分析】可设长方形纸片长、宽分别为x、y，正方形纸片边长为z，根据四边形OPQR是正方形，可用y、z的代数式表示x．根据□KLMN的面积为50，可得x、y、z的等量关系，再把用y、z的代数式表示x的值代入，可得正方形EFGH的面积z2的值．【解题过程】设长方形纸片长、宽分别为x、y，正方形纸片边长为z，∵四边形OPQR是正方形，∴RQ=RO，∴x－z=z－y，∴x=2z－y①；∵□KLMN的面积为50，∴xy+z2+(z－y)2=50，把①代入，得(2z－y)·y+z2+(z－y)2=50，∴2zy－y2+z2+z2-2yz+y2=50，整理，得2 z2=50，∴z2=25，∴正方形EFGH的面积= z2=25，故选择B．【知识点】矩形的性质，正方形的性质，完全平方公式，整式加减3.如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（，A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．∴PA+PE的最小值AE′；∵E为AD的中点，∴E′为CD的中点，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠ABF=∠AD E′=90°, ∴DE′=BF ，∴ΔABF ≌ΔAD E′， ∴AE′=AF. 故选D.点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A （或点E ）关于直线BD 的对称点A ′（或E ′），再连接EA ′（或AE ′）即可．4. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，9，3分）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是（） A ．1B ．1．5C ．2D ．2．5【答案】C 【思路分析】根据折叠及正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ，在Rt △CG E 中，根据勾股定理求出DE 的长．【解题过程】∵△ABG 沿AG 对折至△AFG ，∴AB =AF ，GB =GF ＝3．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =AF ．∴Rt △AFE ≌Rt △ADE （HL ）．∴DE =EF ．设DE =x ，则EF =DE =x ，GE =3+x ，CE =x -6．在Rt △CG E 中由勾股定理得222GE CE CG =+．∴222)3()6(3+=-+x x ．解得2=x ．故选C ．【知识点】正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理5. （湖北省咸宁市，16，3）如图，已知∠MON =120°，点A ，B 分别在OM ，ON 上，且OA OB a ==,将射线OM 绕点O 逆时针旋转得到OM ′，旋转角为α(0°＜α＜120°且α≠60°），作点A 关于直线OM ′的对称点C ，画直线BC 交OM ′于点D ，连接AC ，AD 。

备战中考数学分点透练真题矩形、菱形、正方形(解析版)

第十九讲矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的相关证明与计算1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．2．（2021•遂宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE 沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故选：D．3．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．4．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是．【答案】【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．5．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．【答案】20【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．6．（2021•嘉峪关）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝cm．【答案】6【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，∴AD＝2EF＝8cm，∵∠EAD＝30°，∴AE＝AD•cos30°＝8×＝4cm，又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BEA＝∠EAD＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6（cm），故答案为：6．7．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．【答案】【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意知∠FOD＝2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm，∴OE∥BC，∴∠DBC＝∠DOE＝30°，∴BC＝CD＝cm，故答案为．8．（2021•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD 于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案为：．9．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB ＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）【答案】①③④【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正确；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；∴判断正确的是①③④．故答案为：①③④．10．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．【答案】（1）略（2）4﹣8．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．11．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【答案】（1）4 （2）tanα＝＝【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．命题点2 菱形的相关证明与计算12．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，故选：B．13．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故选：D．14．（2021•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．15．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD 方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，故选：C．16．（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+B．2+2C．2+D．1+2【答案】A【解答】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝×＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长＝3+，故选：A．17．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF ＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，∵G、H分别是AC的三等分点，∴，，∴，∴EG∥BC∴，同理可得HF∥AD，，∴，故选：A．18．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠FDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°，∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3，∴DE＝，设AH＝x，则HE＝2﹣x，∵AD＝BD，DH⊥AB，∴∠ADH＝∠ADB＝30°，∴AD＝2x，DH＝x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²，∴（x）²+（2﹣x）²＝（）²，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝2x＝1+，故选：C．19．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．20．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．【答案】【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝21．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．【答案】（1）略（2）②【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．22．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF和△ODE中，，∴△OBF≌△ODE（AAS），∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．（2）如图，∵AB•AD＝3，∴S△ABD＝AB•AD＝，∵ED＝2AE，∴ED＝AD，∴S△BDE：S△ABD＝2：3，∴S△BDE＝，∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，∴EF•BD＝4．命题点3 正方形的相关证明与计算23．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．24．（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．25．（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．26．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°，∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE，∴FG的最小值为2，∴④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选：C．27．（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：分别延长AD和BE交于点F，由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF•sin60°＝4×＝2，∠F＝90°﹣∠ABF ＝30°，∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，∴EF＝DF•cos∠F＝（2）×＝3﹣，由题知，△ABB'是等边三角形，∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1，故选：A．28．（2021•常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF 交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝AE B．PC＝PDC．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC【答案】C【解答】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF＝BE，在△AFD和△BEA中，，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，即∠EAF+∠AFD＝90°，故C正确，A、B、D无法证明其成立，故选：C．29．（2021春•新吴区月考）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，5）C．（5，﹣2）D．（﹣1，5）【答案】D【解答】解：如图，过点E作ED⊥x轴于点D，过点G和点F分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点B和A，两线相交于点C，得矩形ACBO，∴AC＝OB，AO＝CB，∵点E的坐标为（2，3），∴ED＝3，OD＝2，∵四边形OEFG是正方形，∴∠EOG＝∠FGO＝90°，∴∠EOD+∠GOB＝90°，∵∠GOB+∠OGB＝90°，∴∠EOD＝∠OGB，在△EOD和△OGB中，，∴△EOD≌△OGB（AAS），∴ED＝OB＝3，OD＝BG＝2，同理可证：△EOD≌△FGC（AAS），∴ED＝CG＝3，OD＝CF＝2，∴AO＝CB＝BG+CG＝3+2＝5，AF＝AC﹣CF＝OB﹣CF＝3﹣2＝1，∴F（﹣1，5）．故选：D．30．（2020•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【答案】4【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH 于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．31．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．【答案】﹣1【解答】解：∵地毯面积被平均分成了3份，∴每一份的边长为＝，∴CD＝3×＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD＝＝，又根据剪裁可知BD＝CK＝1，∴AB＝AD﹣BD＝﹣1．故答案为：﹣1．32．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．【答案】【解答】解：设CF与DE交于点O，∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，∴GO＝DO，CF⊥DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，∴∠ADE＝∠FCD，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF＝5，∵AE＝5，AD＝12，∴DE＝＝＝13，∵cos∠ADE＝，∴，∴DO＝＝GO，∴EG＝13﹣2×＝，故答案为：．33．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为．【答案】【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G为EF的中点，∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直线OE解析式为y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案为：．34．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝，∴BD＝＝＝8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF＝4﹣2＝2，故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝＝＝2．∴4DE＝，故四边形BEDF的周长为8．。

中考数学热身矩形、菱形、正方形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

矩形、菱形、正方形一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为cm．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是cm．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．矩形、菱形、正方形参考答案与试题解析一、填空题1．矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为8cm，则这个矩形的一条较长边为2cm．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形的性质推出OA=OB，证出等边△OAB，求出BA，根据勾股定理求出BC即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=AC=2（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2cm，∠ABC=90°，在△ABC中，由勾股定理得：BC===2（cm），∴AD=BC=2（cm）．故答案是：2．【点评】本题主要考查对矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AB的长是解此题的关键．2．边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是8 cm．【考点】勾股定理；菱形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是3．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，因为对角线互相垂直平分，所以∠AOB=90°，AO=3，在RT△AOB中，BO==4，∴BD=2BO=8．【点评】注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．3．正方形的一条对角线长为2，则它的面积为 2 ．【考点】正方形的性质．【专题】计算题．【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求得其边长，从而就不难求得其面积．【解答】解：由题意得，正方形的边长为，故面积为2．故答案为2．【点评】主要考查到正方形的性质和面积的求法．要注意：正方形的对角线和正方形的两条相邻的边构成等腰直角三角形．4．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24 cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．二、选择题5．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形【考点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．6．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】根据折叠的性质，对折前后角相等．【解答】解：根据题意得：∠2=∠3，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠2=（180°﹣50°）÷2=65°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠2=180°，∴∠AEF=180°﹣65°=115°．故选B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．8．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形【考点】剪纸问题．【专题】操作型．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：由于EF的位置是不确定的，只能得到所求的四边形的一组对边平行，所以是梯形．故选A．【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．三、解答题9．如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线可以求得菱形ABCD的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．【解答】解：菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，则菱形的面积为×6×8=24，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20，答：菱形的周长为20，面积为24．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF⊥BC，且EF=BC，证明：平行四边形EGFH是正方形．【考点】正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．【专题】证明题．【分析】通过中位线定理得出GF∥EH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；当添加了条件EF ⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．【解答】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，∴GF∥EC且GF=EC．又∵H是EC的中点，EH=EC，∴GF∥EH且GF=EH．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）连接GH，EF．∵G，H分别是BE，EC的中点，∴GH∥BC且GH=BC．又∵EF⊥BC且EF=BC，又∵EF⊥BC，GH是三角形EBC的中位线，∴GH∥BC，∴EF⊥GH，又∵EF=GH．∴平行四边形EGFH是正方形．【点评】主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．11．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】首先连接BD，根据菱形的四条边都相等，可得AB=BC=CD=AD；又由BE⊥AD，AE=ED，可得AB=AD=BD，所以∠A=60°，可得∠ADC=120°，即可得∠EBF的度数．【解答】解：连接BD，∵BE⊥AD，AE=ED，∴AB=BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，AB∥CD，∴AB=AD=BD，∴∠A=60°，∴∠ADC=120°，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BED=∠BFD=90°，∴∠EBF=60°．【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．还考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题要细心．12．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．（1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论．【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】探究型．【分析】由全等三角形的判定定理直接可证△ADE≌△FCD，即证AD=CF．【解答】解：（1）AD=CF．（2分）（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AE，AB=CD，∴∠AED=∠FDC，∵DE=AB，∴DE=AB=CD．又∵CF⊥DE，∴∠CFD=∠A=90°．（4分）∴△ADE≌△FCD（AAS）．（5分）∴AD=CF．（6分）【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．13．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．【专题】几何综合题．【分析】先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，又∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴∠B=∠C．∴△ABC是等腰三角形；（2）解：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定和性质及正方形的判定方法的掌握情况．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【考点】矩形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴EO=FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EO=FO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．。

中考数学试题-矩形、菱形、正方形试题及答案

中考试题专题之19-矩形、菱形、正方形试题及答案一、选择题1.（湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm2.．（山西省）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（） A ．B ．C ．D ．3.（黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的（） A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．②③④4．(河北)如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于（） A ．20B ．15C ．10D ．55.（兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展m n m n >2m n -m n -2m2nmnnn （2）（1）N M FEBABAC D开后是6.（济南）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.47.（凉山州）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AD BC '=B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AEABE ED∠=8.（济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A .12 B . 14 C . 15D .9.（衡阳市）如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为（）①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个C D C 'A BEA ．B ．C ．D ．10.（衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（） A ．1 B ．34 C ．23D ．211．（广西南宁）如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（） A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm12.（宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形AB CDEA ′G DB CAABCD图2DBCANM O13．（桂林百色）如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（）．A ．2B ．C ．D ．14．（河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（） A ． 23cmB ． 24cmC ．2 D ．215.（杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°16.(义乌)如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为 A ．4x A ．12x A ．8x A ．16x17.（台湾）如图(八)，长方形ABCD 中，E 点在上，且平分∠BAC 。

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。

2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题25矩形菱形与正方形试题(含解析)

矩形菱形与正方形一.选择题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE；在直角△ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．【解答】解：∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵，∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6﹣x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9=（x+3）2，解得x=2．则DE=2．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．2.（2018•江苏宿迁•3分）如图，菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC.BD的交点，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∴AO=，∴AC=2AO=4，∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，∴，∴S△COE=S△CAD=×4=，故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.3.（2018•江苏无锡•3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H 都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE的正切值转化为求∠FAG的正切值来解答的．4.（2018•江苏淮安•3分）如图，菱形ABCD的对角线AC.BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20 B．24 C．40 D．48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，则AB==5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．5.（2018•江苏淮安•3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（）n﹣1．【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答．【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，∴∠D1OA1=45°，∴D1A1=OA1=1，∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1，由勾股定理得，OD1=，D1A2=，∴A2B2=A2O=，∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1，同理，A3D3=OA3=，∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1，…由规律可知，正方形A n B n C n D n的面积=（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键．6.（2018•山东烟台市•3分）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】连接AC.BD，如图，利用菱形的性质得OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，再利用勾股定理计算出CD=5，接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM，然后根据折叠的性质得BM=B'M=1，从而有DN=1，于是计算CD ﹣DN即可．【解答】解：连接AC.BD，如图，∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，在Rt△COD中，CD==5，∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，∴DN=1，∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．7.（2018•山东聊城市•3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M，由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90°，∠1=∠2=∠3，则△A1OM∽△OC1N，∵OA=5，OC=3，∴OA1=5，A1M=3，∴OM=4，∴设NO=3x，则NC1=4x，OC1=3，则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC1=，故点C的对应点C1的坐标为：（﹣，）．故选：A．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键．8.（2018•上海•4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A.∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B.∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C.AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D.AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．9. （2018•遂宁•4分）下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理．【解答】解：A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；D.六边形的内角和是720°，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理，正确把握相关性质是解题关键．10. （2018•资阳•3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．【解答】解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF===20，∴AD=20厘米．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键．11. （2018•杭州•3分）如图，已知点P矩形ABCD内一点（不含边界），设，，，，若，，则（）A. B.C. D.【答案】A【考点】三角形内角和定理，矩形的性质【解析】【解答】解：∵矩形ABCD∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°-∠PAB∵∠PAB=80°∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°①同理可得：∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB）=30°∴故答案为：A【分析】根据矩形的性质，可得出∠PAB=90°-∠PAB，再根据三角形内角和定理可得出∠PAB+∠PBA=100°，从而可得出∠PBA-∠PAB=10°①；同理可证得∠PDC-∠PCB=40°②，再将②-①，可得出答案。

近年中考数学专题突破导学练第23讲矩形、菱形、正方形(二)试题(2021年整理)

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第23讲矩形、菱形、正方形（二）【知识梳理】1。

正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

2. 正方形的性质：⑴四条边都相等;⑵四个角都是直角；⑶对角线互相垂直平分且相等,并且每一条对角线平分一组对角;⑷正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形。

3. 正方形判定定理:⑴邻边相等的矩形是正方形;⑵有一个角是直角的菱形是正方形.【考点解析】考点一：正方形的判定和性质【例1】(2017广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】LE：正方形的性质．【分析】由△AFD≌△AFB,即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD,AD∥EC，推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确,由此即可判断．【解答】解:∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，在△AFD和△AFB中,，∴△AFD≌△AFB，∴S△ABF=S△ADF，故①正确，∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，∴===，∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，故选C．【例2】（2017.湖南怀化）如图，四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形．(1）求证：△ABE≌△DCE；(2）求∠AED的度数．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK:等边三角形的性质．【分析】（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；（2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；【解答】（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，∴BA=BC=CD=BE=CE,∠ABC=∠BCD=90°,∠EBC=∠ECB=60°,∴∠ABE=∠ECD=30°，在△ABE和△DCE中，,∴△ABE≌△DCE（SAS）．（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，∴∠BAE==75°，∵∠BAD=90°,∴∠EAD=90°﹣75°=15°,同理可得∠ADE=15°,∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．考点二、有关特殊平行四边形的综合运用【例3】（2017四川南充）如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点,AF=AB．（1)求证:EF⊥AG;（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立(只写结果，不需说明理由）？(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点,当S△PAB=S△OAB，求△PAB周长的最小值．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB,∠EAF=∠ABG=90°，证出,得出△AEF∽△BAG,由相似三角形的性质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可;(2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD,MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P 在线段MN上，当P为MN的中点时,△PAB的周长最小，此时PA=PB,PM=MN=2，连接EG,则EG ∥AB,EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出=，证出=,得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案．【解答】(1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB．∴=， =，∴，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG,∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；（2)解：成立；理由如下：根据题意得: =，∵=,∴,又∵∠EAF=∠ABG，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；（3)解：过O作MN∥AB，交AD于M,BC于N，如图所示:则MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，∴点P在线段MN上,当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB,PM=MN=2，连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG=AB=4，∴△AOF∽△GOE，∴=，∵MN∥AB，∴=，∴AM=AE=×2=,由勾股定理得：PA==，∴△PAB周长的最小值=2PA+AB=+4．中考热点】（2017山东枣庄）在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF 与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ．(结果保留根号）【考点】LB：矩形的性质；KI：等腰三角形的判定;S9：相似三角形的判定与性质．【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长,然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系,并根据BG=BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AB=AE=9，∴直角三角形ABE中，BE==，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC∵BG=BC+CG∴=9+2x+x解得x=∴BC=9+2（﹣3）=故答案为：【达标检测】一、选择题：1。

中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（39题）一、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中连接AC BD ，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（）A ．12 B ．1 C 3D 35．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴 D ．直线AC 为线段BD 的对称轴8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（）A ．2B ．52C ．3D ．410．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折使边AB 与DC BC 与AD 分别重合展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（）A ．2B ．4C ．5D ．611．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上动点F 在线段OD 上点,E F 同时从点O 出发分别向终点,B D 运动且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点连接BE BE BA = 连接CE 并延长与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（）A ．2B 3C ．1D 2二解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时求证：四边形BECF 是矩形．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状并说明理由．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状并说明理由．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上且AD BC = AE BF ==．CE DF(1)求证：AE BF∥=时求证：四边形DECF是菱形．(2)若DF FC23．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）(2)若直线MN分别交AD BC于E F两点求证：四边形AFCE是菱形AC BD交于点O分别以点,B C为圆心24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，ABCD的对角线,11,22AC BD 长为半径画弧两弧交于点P 连接,BP CP ．(1)试判断四边形BPCO 的形状并说明理由(2)请说明当ABCD 的对角线满足什么条件时四边形BPCO 是正方形？25．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在ABC 中 D 是BC 的中点 E 是AD 的中点过点A 作AF BC ∥交CE 的延长线于点F ．(1)求证：AF BD =(2)连接BF 若AB AC = 求证：四边形ADBF 是矩形．26．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M 在ABCD 的边AD 上 BM CM = 请从以下三个选项中①12∠=∠ ①AM DM = ①34∠∠= 选择一个合适的选项作为已知条件使ABCD 为矩形．(1)你添加的条件是_________（填序号）(2)添加条件后请证明ABCD 为矩形．27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 点D 为AB 边上任意一点（不与点A B 重合）过点D 作DE BC ∥ DF AC ∥ 分别交AC BC 于点E F 连接EF ．(1)求证：四边形ECFD 是矩形(2)若24CF CE ==，求点C 到EF 的距离．28．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ A C ∠=∠ BD 为对角线．(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形．(2)已知AD AB > 请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF 顶点E F 分别在边BC AD 上（保留作图痕迹不要求写作法）．三填空题29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AD BC = AC BD ⊥于点O ．请添加一个条件：______ 使四边形ABCD 成为菱形．30．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AC BD 、为菱形的对角线60,10DBC BD ︒∠== 点F 为BC 中点，则EF 的长为_______________．31．（2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 1060AB B ︒=∠=，，则AC 的长为___________．32．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 40DAB ∠=︒ 连接AC 以点A 为圆心 AC 长为半径作弧交直线AD 于点E 连接CE ，则AEC ∠的度数是________．33．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 60DAB ∠=︒ BE AB ⊥ DF CD ⊥ 垂足分别为B D 若6cm AB =，则EF =________cm ．34．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E 交BC 于点O 连接BE CE 过点C 作CF BE ∥ 交EO 的延长线于点F 连接BF ．若8AD = 5CE =，则四边形BFCE 的面积为______．.35．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中点E F G H 分别是AB BC CD AD 上的点且BE BF CG AH === 若菱形的面积等于24 8BD =，则EF GH +=___________________．36．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形任意切成多块小图形几何图形的总面积保持不变等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一如图，在矩形ABCD 中 5AB = 12AD = 对角线AC 与BD 交于点O 点E 为BC 边上的一个动点 EF AC ⊥ EG BD ⊥ 垂足分别为点F G ，则EF EG +=___________．37．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 分别是线段,OB OA 上的点．若,5,1,3AE BF AB AF BE ====，则BF 的长为___________．38．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O E 为BC 上一点 7CE = F 为DE 的中点若CEF △的周长为32，则OF 的长为___________．39．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 4AB = 6AD =．在边AD 上取一点E 使BE BC = 过点C 作CF BE ⊥ 垂足为点F ，则BF 的长为________．参考答案一单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中连接AC BD ，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD ⊥∥，则1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒ 进而即可求解．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形①,BD AC AB CD ⊥∥①1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒①120∠=︒①2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒【答案】C 【分析】首先根据正方形的性质得到45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO = 然后结合EF AD ∥得到OE OF = 然后证明出()SAS AOF DOE △≌△ 最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】①四边形ABCD 是正方形①45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO =①EF AD ∥①45OEF OAD ∠=∠=︒ 45OFE ODA ∠=∠=︒①OEF OFE ∠=∠①OE OF =又①90AOF DOE ∠=∠=︒ AO DO =①()SAS AOF DOE △≌△①15ODE FAC ∠=∠=︒①30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒①180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质全等三角形的性质和判定等腰直角三角形三角形的性质等知识解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A【分析】根据正方形平行四边形矩形菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 正方形的对角线相等且互相垂直平分描述正确B 对角互补的四边形不一定是平行四边形只是内接于圆描述错误C 矩形的对角线不一定垂直但相等描述错误D 一组邻边相等的平行四边形才构成菱形描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（）A ．12B ．1C 3D 3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明ABD △是等边三角形由AC BD ⊥ 得到1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ 即可得到1122OB AB == 利用勾股定理求出AO 的长度即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥ AB AD = AC BD ⊥ 12AO OC AC ==①60DAB ∠=︒ 且AB AD =①ABD △是等边三角形①AC BD ⊥ ①1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ ①1122OB AB == ①2222111322AO AB OB ⎛⎫-= ⎪⎭=-⎝ ①23AC AO ==故选：D ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质勾股定理等边三角形的判定和性质 30︒角所对直角边等于斜边的一半关键是熟练掌握菱形的性质．5．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A ：AB CD ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故A 不符合题意B ：AD BC = ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故B 不符合题意C ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A B ∠=∠∴90A B ∠=∠=︒AB CD =∴ABCD 为矩形故C 符合题意D ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A D ∠=∠180D B ∴∠+∠=︒∴ABCD 不是平行四边形也不是矩形故D 不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G 易得：,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥ 利用矩形的性质和三角形的面积公式可得1212BCDES S S +=矩形再根据1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形得到12ABC S S S S -=- 即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G①矩形BCDE①,,BC BE BC CD BE CD ⊥⊥=①,FG BE FG CD ⊥⊥①四边形BFGC 为矩形①,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥①1211,22S BE AF S CD AG =⋅=⋅①()12111222BCDE BE AF AG BE B S C S S =+=⋅=+矩形又1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形①121122ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S =+---=矩形矩形 ①只需要知道ABC 的面积即可求出12S S S --的值故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质求三角形的面积．解题的关键是得到1212BCDES S S +=矩形 7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D ．直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A 【分析】由矩形ABCD 是中心对称图形对称中心是对角线的交点线段AB 的对称中心是线段AB 的中点矩形ABCD 是轴对称图形对称轴是过一组对边中点的直线从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD 是中心对称图形对称中心是对角线的交点故A 符合题意线段AB 的对称中心是线段AB 的中点故B 不符合题意矩形ABCD 是轴对称图形对称轴是过一组对边中点的直线故C D 不符合题意故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义矩形的性质熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 【答案】C【分析】先根据正方形的性质三角形全等的判定证出ADM CDM ≅ 根据全等三角形的性质可得DAM DCM ∠=∠ 再根据等腰三角形的性质可得CMP DCM ∠=∠ 从而可得30DAM ∠=︒ 然后利用勾股定理含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：四边形ABCD 是边长为6的正方形6,90,45AD CD ADC ADM CDM ∴==∠=︒∠=∠=︒在ADM △和CDM 中 45DM DM ADM CDM AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS ADM CDM ∴≅DAM DCM ∴∠=∠PM PC =CMP DCM ∴∠=∠22APD CMP DCM DCM DAM ∴∠=∠+∠=∠=∠又18090APD DAM ADC ∠+∠=︒-∠=︒30DAM ∴∠=︒设PD x =，则22AP PD x == 6PM PC CD PD x ==-=-2236AD AP PD x ∴=-= 解得3x =663PM x ∴=-=- 243AP x ==(()43623631AM AP PM ∴=-=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质勾股定理含30度角的直角三角形的性质等腰三角形的性质等知识点熟练掌握正方形的性质是解题关键．9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（）A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】B 【分析】先由菱形的性质得AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD ==⨯= 再由勾股定理求出5BC = 然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：①菱形ABCD①AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD === ①由勾股定理得225BC OB OC =+=①E 为边BC 的中点 ①1155222OE BC ==⨯= 故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质勾股定理直角三角形的性质熟练掌握菱形的性质直角三角形的性质是解题的关键．10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折使边AB 与DC BC 与AD 分别重合展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形 2FH AB == 4GE BC == 由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：①将矩形ABCD 对折使边AB 与DC BC 与AD 分别重合展开后得到四边形EFGH①EF GH ⊥ EF 与GH 互相平分①四边形EFGH 是菱形①2FH AB == 4GE BC ==①菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=．故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠菱形的判定和性质等知识熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上动点F 在线段OD 上点,E F 同时从点O 出发分别向终点,B D 运动且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意分别证明四边形1212E E F F 是菱形平行四边形矩形即可求解．【详解】①四边形ABCD 是矩形①AB CD ∥ 90BAD ABC ∠=∠=︒①60BDC ABD ∠=∠=︒ 906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒①OE OF = OB OD =①DF EB =①对称①21DF DF BF BF ==， 21,BE BE DE DE ==①1221E F E F =①对称①260F DC CDF ∠=∠=︒ 130EDA E DA ∠=∠=︒①160E DB ∠=︒同理160F BD ∠=︒①11DE BF ∥①1221E F E F ∥①四边形1212E E F F 是平行四边形如图所示当,,E F O 三点重合时 DO BO =①1212DE DF AE AE ===即1212E E E F =①四边形1212E E F F 是菱形如图所示当,E F 分别为,OD OB 的中点时设4DB =，则21DF DF == 13DE DE ==在Rt △ABD 中 2,23AB AD ==连接AE AO①602ABO BO AB ∠=︒==，①ABO 是等边三角形①E 为OB 中点①AE OB ⊥ 1BE = ①22213AE - 根据对称性可得13AE AE =①2221112,9,3AD DE AE ===①22211AD AE DE =+①1DE A 是直角三角形且190E ∠=︒①四边形1212E E F F 是矩形当,F E 分别与,D B 重合时 11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形①在整个过程中四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定平行四边形的性质与判定矩形的性质与判定勾股定理与勾股定理的逆定理轴对称的性质含30度角的直角三角形的性质熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点连接BE BE BA = 连接CE 并延长与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（）A ．2B 3C ．1D 2【答案】D 【分析】连接AF 根据正方形ABCD 得到AB BC BE == 90ABC ∠=︒ 根据角平分线的性质和等腰三角形的性质求得45BFE ∠=︒ 再证明ABF EBF ≌ 求得90AFC ∠=︒ 最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF四边形ABCD 是正方形AB BE BC ∴== 90ABC ∠=︒ 222AC ==BEC BCE ∴∠=∠1802EBC BEC ∴∠=︒-∠290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒ BF 平分ABE ∠1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAF BEF ∴△≌△45BFE BFA ∴∠=∠=︒90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒O 为对角线AC 的中点122OF AC ∴= 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质三角形内角和定理正方形的性质直角三角形特征作出正确的辅助线求得45BFE ∠=︒是解题的关键．二解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF 分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠ 根据O 是BD 的中点可得BO DO = 即可证明()AAS BOF DOE ≌△△（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF = 进而可得四边形EBFD 是平行四边形根据对角线互相垂直的四边形是菱形即可得证．【详解】（1）证明：如图所示①四边形ABCD 是矩形①AD BC ∥①12,34∠=∠∠=∠①O 是BD 的中点①BO DO =在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BOF DOE ≌△△（2）①BOF DOE ≌△△①ED BF =又①ED BF ∥①四边形EBFD 是平行四边形①EF BD ⊥①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质全等三角形的性质与判定菱形的判定熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC OD = 然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理（2）根据矩形的性质求得OCD 的面积然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：①DE AC CE BD ∥,∥ ①四边形OCED 是平行四边形又①矩形ABCD 中 OC OD =①平行四边形OCED 是菱形（2）解：矩形ABCD 的面积为326BC DC ⋅=⨯=①OCD 的面积为13642⨯= ①菱形OCED 的面积为3232⨯=．【点睛】本题考查矩形的性质菱形的判定属于中考基础题掌握矩形的性质和菱形的判定方法正确推理论证是解题关键．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)AOB 是直角三角形理由见解析．(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得142BO BD == 再根据勾股定理的逆定理即可得出结论（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证．【详解】（1）解：AOB 是直角三角形理由如下：①四边形ABCD 是平行四边形 ①142BO BD ==①222222345OA OB AB +=+==①AOB 是直角三角形．（2）证明：由（1）可得：AOB 是直角三角形①90AOB ∠=︒即AC BD ⊥①四边形ABCD 是平行四边形①四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质勾股定理的逆定理菱形的判定解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）直接证明()ASA AOB DOC ≌△△ 得出OA OD = 根据E F 分别是AO DO 的中点即可得证（2）证明四边形BECF 是平行四边形进而根据30A ∠=︒ 推导出BOE △是等边三角形进而可得BC EF = 即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】（1）证明：在AOB 与DOC △中90ABO DCO OB OCAOB DOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA AOB DOC ≌△△①OA OD =又①E F 分别是AO DO 的中点①OE OF =（2）①OB OC OF OE ==，①四边形BECF 是平行四边形 22BC OB EF OE ==，①E 为AO 的中点 90∠=︒ABO①EB EO EA ==①30A ∠=︒①60BOE ∠=︒①BOE △是等边三角形①OB OE =①BC EF =①四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定矩形判定熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析 (2)3【分析】（1）先证AD BC ∥ 再证AE FC 从而四边形AECF 是平行四边形又AE AF = 于是四边形AECF 是菱形（2）连接AC 先求得60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒ 再证AC AB ⊥9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒= 3AB AC= 得3AB AC = 再证AE BE CE == 从而根据面积公式即可求得AC =43 【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ BAD BCD ∠∠=①BEA DAE ∠∠=①AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线①BAE DAE ∠∠==12BAD ∠ BCF ∠=12BCD ∠①DAE BCF BEA ∠∠∠==①AE FC①四边形AECF 是平行四边形①AE AF =①四边形AECF 是菱形（2）解：连接AC①AD BC ∥ 60ABC ∠=︒①180120BAD ABC ∠∠=︒-=︒①60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒①四边形AECF 是菱形①EAC ∠=1230DAE ∠=︒①90BAC BAE EAC ∠∠∠=+=︒①AC AB ⊥ 9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒=①AE CE = tan 30tan AB ACB AC ︒=∠=3AB AC= ①3AB AC = ①BAE ABC ∠∠=①AE BE CE ==①ABE 的面积等于43 ①211338322ABC S AC AB AC AC AC =⋅=== ①平行线AB 与DC 间的距离AC =43【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质菱形的判定角平分线的定义等腰三角形的判定三角函数的应用以及平行线间的距离熟练掌握平行四边形的判定及性质菱形的判定角平分线的定义等腰三角形的判定三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形EBFD 为菱形理由见解析【分析】（1）根据AAS 证明DOE BOF ≌即可（2）连接EB FD 根据DOE BOF ≌ 得出ED BF = 根据ED BF ∥ 证明四边形EBFD 为平行四边形根据EF BD ⊥ 证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】（1）证明：①点O 为对角线BD 的中点①BO DO =①AD BC ∥①ODE OBF ∠=∠ OED OFB ∠=∠在DOE 和BOF 中ODE OBF OED OFB BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS DOE BOF ≌（2）解：四边形EBFD 为菱形理由如下：连接EB FD 如图所示：根据解析（1）可知 DOE BOF ≌①ED BF =①ED BF ∥①四边形EBFD 为平行四边形①l BD ⊥ 即EF BD ⊥①四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质菱形的判定平行线的性质解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F 连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析 (2)60︒【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE AF =．（2）根据菱形的性质和已知条件可推出BAD ∠度数再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出BAE ∠和DAF ∠度数从而求出EAF ∠度数证明了等边三角形AEF 即可求出AEF ∠的度数．【详解】（1）证明：菱形ABCD,AB AD B D ∴=∠=∠又,AE BC AF CD ⊥⊥90AEB AFD ∴∠=∠=︒．在AEB △和AFD △中AEB AFD B DAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≌．AE AF ∴=．（2）解：菱形ABCD180B BAD ∴∠+∠=︒=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒．又90,60AEB B ∠=︒∠=︒30BAE =∴∠︒．由（1）知ABE ADF ≌30BAE DAF ∴∠=∠=︒．120303060EAF ∴∠=︒-︒-︒=︒． =AE AFAEF ∴等边三角形．60AEF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了三角形全等菱形的性质等边三角形的性质解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形AEFD 是菱形理由见解析【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出DAF AFE ∠=∠ 结合角平分线的定义可得EFA EAF ∠=∠，则AE EF = 然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】（1）解：如图所示：（2）四边形AEFD 是菱形理由：①矩形ABCD 中 AD BC ∥①DAF AFE ∠=∠①AF 平分DAE ∠①DAF EAF ∠=∠①EFA EAF ∠=∠①AE EF =①AE AD =①AD EF =①AD EF ∥①四边形AEFD 是平行四边形又①AE AD =①平行四边形AEFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线矩形的性质平行线的性质等腰三角形的判定平行四边形的判定以及菱形的判定等知识熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】(1)见解析 (2)18【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF = 30CAB FDE ∠=∠=︒即AC DF ∥ 依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明（2）如图，在Rt ACB △中由30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC == 60ABC ∠=︒ 由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=︒ 再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD 最后由AD AB BD =+求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△AC DF =∴ 30CAB FDE ∠=∠=︒AC DF ∥∴四边形AFDC 地平行四边形（2）如图，在Rt ACB △中 90ACB ∠=︒ 30CAB ∠=︒ 6cm BC212cm AB BC ∴== 60ABC ∠=︒四边形AFDC 是菱形AD ∴平分CDF ∠30CDA FDA ∴∠=∠=︒ABC CDA BCD ∠=∠+∠603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BCD CDA ∴∠=∠6cm BC BD ∴==18cm AD AB BD ∴=+=故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质平行四边形的判定菱形的性质 30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余三角形外角及等角对等边解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上且AD BC = AE BF = CE DF =．。

2018年河北省中考《5.2矩形、菱形、正方形》复习课件+随堂演练含真题分类汇编解析

有 __ 条对称轴．
2
3．矩形的判定： (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)对角线 _____的平行四边形是矩形；
相等 (3)有三个角是 _____ 的四边形是矩形．
直角
知识点二菱形的性质与判定 1．菱形：有一组邻边 _相__等__ 的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：
(1)菱形的四条边都 _相__等__ ； (2)菱形的对角 _____ ；
考点二菱形的性质与判定 (5年5考) (2017·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O. 求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程： ①又BO＝DO， ②∴AO⊥BD，即AC⊥BD. ③∵四边形ABCD是菱形， ④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( ) A．③→②→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．①→④→③→②
垂直
知识点三正方形的性质与判定
1．正方形：有一组邻边 _相__等__ ，并且有一个角是 _____ 的平行四边形叫做正方形．直角
2．正方形的性质：
(1)正方形的四个角都是 _直__角__ ，四条边都 _相__等__ ；
(2)正方形的对角线相等且 _____________，每条对角
线平分一组对角；
∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形， ∴乙的作业正确．故选A.
(1)矩形性质的应用：从边上看，两组对边分别平行且相等；从角上看，矩形的四个角都是直角；从对角线上看，对角线互相平分且相等，同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形．(2)矩形的判定方法：若四边形可以证为平行四边形，则还需证明一个角是直角或对角线相等；若直角较多，可利用“三个角为直角的四边形是矩形”来证．

近年中考数学专题突破导学练第22讲矩形、菱形、正方形(一)试题(2021年整理)

2018中考数学专题突破导学练第22讲矩形、菱形、正方形（一）试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018中考数学专题突破导学练第22讲矩形、菱形、正方形（一）试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第22讲矩形、菱形、正方形（一）【知识梳理】1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.3.矩形的性质:矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等.AC=BD4.矩形判定定理：错误!。

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

○，2。

对角线相等的平行四边形是矩形。

错误!。

有三个角是直角的四边形是矩形。

5。

菱形的定义：邻边相等的平行四边形。

6。

菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.7。

菱形的判定定理：错误!.一组邻边相等的平行四边形是菱形。

错误!对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

错误!四条边相等的四边形是菱形。

8.S菱形=12ab（a、b为两条对角线）【考点解析】考点一：矩形的性质和判定【例1】．（2017广西百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形;（2)EG=FH．【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】(1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；(2)可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC,∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，CF=BC，∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形；(2）∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB∥CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中,∴△DEG≌△BFH（AAS）,∴EG=FH．【例2】（2017广东）如图,矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3,先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD 沿过点A的直线折叠,使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F 的直线折叠,使点C落在EF上的点H处,折痕为FG，则A、H两点间的距离为．【考点】PB：翻折变换(折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】如图3中,连接AH．由题意可知在Rt△AEH中,AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH=，计算即可．【解答】解：如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中,AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，∴AH===，故答案为．考点二、菱形的性质和判定【例3】（2017广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．【考点】L8：菱形的性质．【分析】（1)连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上,又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上,进而证明AD⊥BF;(2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】（1）证明：如图，连结DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．在△BAD与△FAD中，，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF,∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；(2)如图，设AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°,∵BC∥AD,∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．【例4】【中考热点】(2017浙江衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F,连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．(1）如图1,当t=3时,求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．【考点】LO：四边形综合题．【分析】(1）当t=3时，点E为AB的中点,由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB,得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；（2)作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形,得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式， =，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明△DMF∽△DNE,得出=，再由三角函数定义即可得出答案;（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分,设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=(3﹣t）,求出AF=4+MF=﹣t+,得出G（， t），求出直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（， t）代入即可求出t的值；②当点E越过中点之后，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3)，求出AF=4﹣MF=﹣t+，得出G(， t）,代入直线AD的解析式y=﹣x+6求出t的值即可．【解答】解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，∵A（8,0)，C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=OA=4,∵四边形OABC是矩形,∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3;（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N,如图2所示：∵四边形OABC是矩形,∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA,∴, =，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=AB=3，DN=OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴=，∵∠EDF=90°,∴tan∠DEF==；（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N,若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分,设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t,由△DMF∽△DNE得:MF=（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣t+，∵点G为EF的三等分点，∴G(， t），设直线AD的解析式为y=kx+b,把A（8，0），D(4，3）代入得：，解得:，∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（， t）代入得：t=;②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得:MF=（t﹣3)，∴AF=4﹣MF=﹣t+，∵点G为EF的三等分点，∴G（， t）,代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；综上所述,当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时,t的值为或【达标检测】一、选择题:1. (2017贵州安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处，AE交DC于点O,若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB:矩形的性质．【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO,在直角三角形ADO中,运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可．【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠EAC，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中,DO==3cm,AB=CD=DO+CO=3+5=8cm．故选：C．2。

2018年中考总复习及答案：第23课时矩形、菱形、正方形(Word版)

第五单元四边形第二十三课时矩形、菱形、正方形基础达标训练1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是()A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线相等D. 既是轴对称图形又是中心对称图形2. (2017上海)已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是()A. ∠BAC＝∠DCAB. ∠BAC＝∠DACC. ∠BAC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠ADB3. (2017河南)如图，在▱ABCD中，对角线A C，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有()第3题图A. AC⊥BDB. AB＝BCC. AC＝BDD. ∠1＝∠24. (2017广安)下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 15. (2017兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝()A. 5B. 4C. 3.5D. 3第5题图第6题图6. 如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个判断中，不正确的是()A. 四边形AEDF是平行四边形B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C. 如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D. 如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形7. (2017淮安)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABE 沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝ECA，则AC的长是()A. 3 3B. 6C. 4D. 5第7题图第8题图 8. (2017泸州)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是( )A. 24B. 14C. 13D. 239. 关注教学文化(2017丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示，在图②中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且IJ ∥AB ，则正方形EFGH 的边长为________．第9题图10. (2017徐州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点Q 在对角线AC 上，且AQ ＝AD ，连接DQ 并延长，与边BC 交于点P ，则线段AP ＝________．第10题图第11题图11. (2017十堰)如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝________．第12题图12. (2017怀化)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为________cm.第13题图13. (6分)(2017岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，___________．求证：________________________________________________________________. 14. (8分)(2017邵阳)如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．第14题图15. (8分)(2017盐城)如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF 分别交边AD、BC于点E、F.(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．第15题图16. (8分)(2017南雅中学第七次阶段检测)如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F.(1)证明：△ABE≌△DAF；(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．第16题图17. (8分)(2017鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．第17题图能力提升训练1. (2017芙蓉区二十九中模拟)如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④第1题图2. (2017安徽)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A＋PB的最小值为()A. 29B. 34C. 5 2D. 41第2题图第3题图3. (2017青竹湖湘一二模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E 在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF 上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG ＝32S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44. (2017江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为________．5. (2017绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为________m.第5题图6. (9分)(2017广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD 关于CD的对称图形为△CED.(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB＝6 cm，BC＝ 5 cm.①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP.一动点Q从点O出发，以1 cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5 cm/s的速度沿线段P A匀速运动到点A，到达点A后停止运动．当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．第6题图拓展培优训练1. (2016长郡教育集团第二届澄池杯)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝( )A. 34B. 43C. 35D. 45第1题图第2题图2. (2016长郡教育集团第二届澄池杯)如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O .有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ(0°<θ<90°)，PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的有( )(1)EF ＝2OE ；(2) S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4；(3)BE ＋BF ＝2OA ；(4)OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个特殊四边形的相关证明与计算巩固集训1. (8分)(2017广东省卷)如图所示，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，∠BAD ＝∠F AD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠A D C的度数．第1题图2. (8分)(2017麓山国际实验学校二模)如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．第2题图3. (8分)(2017南雅中学二模)在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.第3题图4. (8分)(2017襄阳)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．第4题图5. (8分)(2017青竹湖湘一三模)已知，正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接A E、AF，过点A作AH⊥ED于点H.(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BC＝3BE，BE＝1，求tan∠AED的值．第5题图6. (8分)(2017长沙中考模拟卷三)如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B、C、E三点在同一直线上，连接BF，交CD于点G.(1)求证：CG＝CE；(2)若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．第6题图7. (9分)(2017长沙中考模拟卷六)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD 于点F，BD与AE、AF分别相交于点G、H.(1)求证：△ABE∽△ADF；(2)若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，将△ADF绕A点顺时针旋转，若△ADF恰好与△ACE重合，求旋转角n(0°＜n＜360°)．第7题图8. (9分)(2017兰州)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．第8题图答案1. C2. C3. C4. C5. B【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝8，∵矩形对角线相等且互相平分，∴OC＝12AC＝12BD＝4.6. D【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确；∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故B选项正确；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAF，又∵DE∥AC，∴∠EDA ＝∠DAF＝∠EAD，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故C选项正确；如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF 是正方形，故D选项错误．7. B【解析】由折叠可知，∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝2∠BCA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°，∵AB＝3，∴AC＝2AB＝6.8. A【解析】∵AD∥BC，BE＝CE，又∵四边形ABCD是矩形，∴△BEF∽△DAF，∴BE∶AD＝BF∶FD＝EF∶AF＝1∶2，设EF＝x，则AF ＝2x，∵△BEF∽△AEB，∴BE∶AE＝EF∶BE，∴BE2＝EF·AE＝3x2，∴BE＝3x，∴AB2＝AE2－BE2＝6x2，∴AB＝6x，∵AB·BE＝AE·BF，∴BF＝2x，在Rt△BDC中，BD＝DC2＋BC2＝32x，∴DF＝22x，在Rt△DFE中，tan∠BDE＝EFDF＝x22x＝24.9. 10【解析】如题图②，由赵爽弦图可知，△GHI≌△HEJ≌△EFK≌△FGL，∴GL＝HI＝EJ＝FK，FL＝GI＝HJ＝EK，设HI＝m，∵IJ∥AB，∴HJ＋FK＝AB，即m＋2＋m＝14，解得m＝6，在Rt△GHI中，HI＝6，GI＝6＋2＝8，GH ＝62＋82＝10，即正方形EFGH的边长为10.10. 17【解析】∵AC＝42＋32＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2，又∵AD＝AQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∵∠CQP＝∠AQD，∴∠ADQ＝∠CQP，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ，∴∠CQP＝∠CPQ，∴CP＝CQ＝2，∴BP＝3－2＝1，∴AP＝AB2＋BP2＝42＋12＝17.11. 20°【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝12BD，∠ABD＝∠CBD，∵∠ABC＝140°，∴∠CBD＝12∠ABC＝70°，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝20°，OE＝12BD＝OD，∴∠OED＝∠BDE＝20°.12. 103－10【解析】∵△PBC是等腰三角形，∴有以下三种情况：(1)当以点P为顶点时，则点P在线段BC的垂直平分线上，如解图①所示，此时最小值是10；(2)以点B为顶点时，则点P的轨迹是在以点B为圆心，BC长为半径的圆周上，由解图②易知，P，A两点间最短距离是与点A重合，又∵点P不与点A重合，故舍去；(3)以点C为顶点时，则点P的轨迹是在以点C为圆心，BC长为半径的圆周上，由解图③易知，线段AF的长即为最短距离，在Rt△ABE 中，AB＝10，∠ABE＝180°－120°＝60°，AE＝AB·sin60°＝53，在Rt△AEC 中，AE＝53，∠ACE＝30°，∴AC＝2AE＝103，∴AF＝AC－CF＝103－10，即P，A两点间的最短距离为(103－10) cm.第12题解图13. 已知：AC⊥BD；求证：▱ABCD是菱形．证明：∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，又∵在▱ABCD中，AO＝AO，BO＝DO，∴△AOB≌△AOD，∴AB＝AD，同理BC＝CD，∵在▱ABCD中，AD＝BC，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形．14. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠OCB，∠ADO＝∠OBC，又∵∠OBC＝∠OCB，∴∠DAO＝∠ADO，∴OB＝OC，OA＝OD，∴OB＋OD＝OA＋OC，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；(2)解：使矩形ABCD为正方形的条件为：AB＝AD.(答案不唯一) 15. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠EBD＝12∠ABD，∠FDB＝12∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴DF ∥EB ，又∵AD ∥BC ，∴ED ∥BF ，∴四边形BEDF 是平形四边形；(2)解：当∠ABE ＝30° 时，四边形BEDF 是菱形．理由如下：∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABD ＝2∠ABE ＝60°，∠EBD ＝∠ABE ＝30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠EDB ＝∠EBD ＝30°，∴EB ＝ED ，又∵四边形BEDF 是平行四边形，∴四边形BEDF 是菱形．16. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAF ＋∠BAE ＝90°，AB ＝AD ，∵∠AFD ＝90°，∴∠DAF ＋∠ADF ＝90°，∴∠BAE ＝∠ADF ，在△ABE 和△DAF 中⎩⎨⎧∠AEB ＝∠AFD ＝90°∠BAE ＝∠ADFAB ＝DA， ∴△ABE ≌△DAF (AAS )；(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠AGB ＝30°，在Rt △ADF 中，∠AFD ＝90°，AD ＝6，∴AF ＝33，DF ＝3，由(1)得△ABE ≌△DAF ，∴AE ＝DF ＝3，∴EF ＝AF －AE ＝33－3.17. (1)证明：∵△AFC 是由△ABC 折叠得到的，∴AF ＝AB ，∠F ＝∠B ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D ，∵∠F E A ＝∠DEC ，∴△AFE ≌△CDE (AAS )；(2)解：由(1)知△AFE ≌△CDE ，∴AE ＝CE ，∴DE ＝AD －AE ＝8－CE ，在Rt △DCE 中，由勾股定理得CE 2＝DE 2＋CD 2，∴CE 2＝(8－CE)2＋42，解得CE ＝5，∴S △ACE ＝12AE ·CD ＝12×5×4＝10，即图中阴影部分面积为10.能力提升训练1. B 【解析】由勾股定理得x 2＋y 2＝大正方形边长的平方，即大正方形的面积49，故①正确；小正方形的面积为4，∴边长为2，即x －y ＝2，故②正确；四个直角三角形的面积再加上中间正方形的面积4等于大正方形的面积49，即12xy ×4＋4＝2xy ＋4＝49，故③正确；(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ，由③可知2xy ＝45，∴x 2＋y 2＋2xy ＝49＋45＝94，∴x ＋y ≠9，故④错误．2. D 【解析】如解图，设△P AB 底边AB 上的高为h ，∵S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，得12AB ·h ＝13AB·AD ，∴h ＝2为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CB 于点F ，故点P 在直线EF 上，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时P A ＋PB 最小，且P A ＋PB ＝P A ′＋PB ＝A ′B ＝42＋52＝41.第2题解图3. C 【解析】∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处，∴∠1＝∠2，CE ＝FE ，BF ＝BC ＝10，在Rt △ABF 中，∵AB ＝6，BF ＝10，∴AF ＝102－62＝8，∴DF ＝AD －AF ＝10－8＝2，设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝CD －CE ＝6－x ，在Rt △DEF 中，∵DE 2＋DF 2＝EF 2，∴(6－x )2＋22＝x 2，解得x ＝103，∴ED ＝83，∵△ABG 沿BG 折叠，恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠3＝∠4，BH ＝BA ＝6，AG ＝HG ，∴∠EBG ＝∠2＋∠3＝12∠ABC ＝45°，∴①正确；HF ＝BF －BH ＝10－6＝4，设AG ＝y ，则GH ＝y ，GF ＝8－y ，在Rt △HGF 中，∵GH 2＋HF 2＝GF 2，∴y 2＋42＝(8－y )2，解得y ＝3，∴AG ＝GH ＝3，GF ＝5，∵∠A ＝∠D ，AB DE ＝94，AG DF ＝32，∴AB DE ≠AG DF ，∴△ABG 与△DEF 不相似，∴②错误；∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S△FGH＝12·GH·HF＝12×3×4＝6，∴S△ABG＝32S△FGH，∴③正确；∵AG＋DF＝3＋2＝5，而GF＝5，∴AG＋DF＝GF，∴④正确，∴①③④正确．第3题解图4. (7，3)或(15，1)或(23，－2)【解析】由折叠性质可知，OA＝OA′＝4，假设点A′坐标为(x，y)则有x2＋y2＝42＝16，点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，可分为两种情况：①A′至AC的距离为A′至OB距离的3倍，可得y1＝1，y2＝－2，代入x2＋y2＝16得，x1＝±15，x2＝±23，又∵A′处于y轴右侧，∴A′为(15，1)或(23，－2)；②A′至OB的距离为A′至AC的距离的3倍，可得y3＝3，代入x2＋y2＝16得x3＝±7，又∵A′处于y轴右侧，∴A′为(7，3)，综上所述，A′为(7，3)或(15，1)或(23，－2)．第5题解图5. 4600【解析】由题意得，BA＋AG＋GE＝3100 m，∵AB＝1500 m，∴AG＋GE＝3100－1500＝1600 m，∵BD为对角线，∠DBC＝45°，而GE⊥DC，∴∠DGE ＝45°，△DEG为等腰直角三角形，∴DE＝GE，如解图，过点G作GH⊥AB，易证△AGH≌△EFC，∴AG＝EF，∴AB＋AD＋DE＋EF＝AB＋AD＋(GE＋AG)＝3000＋1600＝4600 m .6. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，且AC 、BD 互相平分，∴DO ＝CO ，∵已知△COD 与△CED 关于CD 对称，∴△COD ≌△CED ，∴CO ＝CE ，DO ＝DE ，∴CE ＝CO ＝DO ＝DE ，∴四边形OCED 是菱形；(2)解：①如解图①，连接EO 交CD 于点F ，延长EO 交AB 于点H ， ∵四边形OCED 是菱形，∴EO ⊥CD ，且EO 、CD 互相平分，∴EF ＝FO ，DF ＝FC ＝3，∴FO ∥BC ，即EH ∥BC ，且EF ＝FO ＝12BC ＝52，又∵FO ∥BC ，在矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°， ∴四边形FHBC 是矩形，∴FH ＝BC ＝5，HB ＝FC ＝3，∴AH ＝AB －HB ＝3，EH ＝EF ＋FH ＝352，∵AB ∥CD ，EH ⊥CD ，∴EH ⊥AB ，∴AE 2＝AH 2＋EH 2＝32＋(352)2＝814，解得AE ＝92，∴sin∠AEH＝AHAE＝392＝23，∴sin∠DAE＝sin∠AEH＝2 3；第6题解图①第6题解图②②如解图②，在AE上取点P，过点P作PM⊥AD于点M，∴t＝OP1＋AP1.5＝OP＋23AP，∵sin∠DAE＝MPAP＝23，∴MP＝23AP，∴t＝OP＋23AP＝OP＋PM，当点O、P、M共线时，t＝OP＋PM＝OM取得最小值，∴OM⊥AD，∵在矩形ABCD 中，AB ⊥AD ，BO ＝DO ，∴OM ∥AB ，且点O 为BD 的中点，∴OM 为△ABD 的中位线，∴t ＝OM ＝12AB ＝3，∵OM ∥AB ，∴Rt △EHA ∽Rt △EOP ，∴PE AE ＝EO EH ＝23，∴PE ＝23AE ＝3，∴AP ＝AE －EP ＝32，故AP 的长为32 cm ，点Q 走完全程需要3 s .拓展培优训练1. D 【解析】过E 作EH ⊥CF 于点H ，由折叠的性质得：BE ＝EF ，∠BEA ＝∠FEA ，∵点E 是BC 的中点，∴CE ＝BE ，∴EF ＝CE ，∴∠FEH ＝∠CEH ，∴∠AEB ＋∠CEH ＝90°，∵在矩形ABCD 中，∠BAE ＋∠BEA ＝90°，∴∠B A E＝∠CEH ，∠B ＝∠EHC ，∴△ABE ∽△EHC ，∴AB EH ＝AE CE ，∵AE ＝AB 2＋BE 2＝10，∴EH ＝245，∴sin ∠ECF ＝EH CE ＝45.第1题解图2. D 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴O B ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，在△BOE 和△COF 中，⎩⎨⎧∠BOE ＝∠COF OB ＝OC ∠OBE ＝∠OCF，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，∵∠EOF ＝90°，∴EF ＝2OE ，故(1)正确；∵S 四边形OEBF ＝S △BOF ＋S △BOE ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4，故(2)正确；∵BE ＝CF ，∴BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA ，故(3)正确；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF 2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2，故(4)正确．特殊四边形的相关证明与计算巩固集训1. (1)证明：∵四边形ABCD 、四边形ADEF 都是菱形，∴AB ＝AD ＝AF ，∴△ABF 是等腰三角形，又∵∠BAD ＝∠F AD ，∴AD⊥BF；(2)解：由(1)知AB＝AD＝AF，又∵AB＝BC，BF＝BC，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠BAF＝60°，又∵∠BAD＝∠F AD，∴∠BAD＝30°，又∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＋∠B A D＝180°，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝150°.2. (1)证明：∵∠ADE＝∠B A D，∴AB∥DE，∵AE⊥AC，BD⊥AC，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)解：∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠BDA，∵∠ADE＝∠BAD，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝AB＝5，设BF＝x，则DF＝5－x，∴AD2－DF2＝AB2－BF2，∴62－(5－x)2＝52－x2，解得x＝7 5，∴AF＝AB2－BF2＝24 5，∵BD平分AC，∴AC＝2AF＝48 5.3. 证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥B E，又∵DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形，又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形BFDE为矩形；(2)由(1)知平行四边形BFDE为矩形，∴∠BFC＝90°，∵在△BFC中，CF＝3，BF＝4，根据勾股定理得，BC＝CF2＋BF2＝32＋42＝5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DF A，∵DC∥AB，∴∠DF A＝∠F AB，∴∠DAF＝∠F AB，即AF平分∠DAB.4. (1)证明：∵AE ∥BF ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∵BD 平分∠ABF ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，同理可证AB ＝BC ，∴AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形；(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝6，∴AC ⊥BD ，OD ＝12BD ＝3， ∴在Rt △AOD 中，cos ∠ADB ＝cos30°＝OD AD ＝32，∴AD ＝3×23＝2 3. 5. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF ＝∠ABE ＝90°，AD ＝AB ，在△ADF 和△ABE 中，⎩⎨⎧AD ＝AB∠ADF ＝∠ABE DF ＝BE，∴△ADF ≌△ABE (SAS)；(2)解：如解图，过点E 作EG ⊥AD ，交DA 的延长线于点G ，第5题解图∵∠AGE＝∠GAB＝∠ABE＝90°，∴四边形ABEG是矩形，GE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝GE＝BC＝CD＝AD＝3BE，又∵BE＝1，∴CE＝BC＋BE＝4，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝BE2＋AB2＝10，在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE＝CE2＋CD2＝5，∴S△ADE＝12AD·GE＝12×3×3＝92，又∵S△ADE＝12AH·DE，∴AH＝2S△ADEDE＝95，在Rt△AEH中，由勾股定理得EH＝AE2－AH2＝13 5，∴tan∠AED＝AHEH＝913.6. (1)证明：连接DE交BF于点O，则D E⊥BF，第6题解图∵∠ODG＋∠OGD＝90°，∠CBG＋∠CGB＝90°，∠CGB＝∠OGD∴∠CDE＝∠CBG，又∵BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE；(2)解：∵正方形边长BC＝4，∴BD＝2BC＝42，DC＝BC＝4，菱形BDFE的面积为S＝42×4＝162，∴菱形BDFE的面积为16 2.7. (1)证明：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABE＝∠ADF，∴△ABE∽△ADF；(2)证明：∵AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∴∠AGB＝∠AHD，∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG＝∠DAH，∴△BAG≌△DAH(ASA)，∴AB＝AD，∵四边形ABCD是平行四边形且AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；(3)解：∵△ADF恰好与△ACE重合，∴AD＝AC，∠F AE即为所求角，又∵由(2)可得，AD＝DC＝BC＝AB＝AC，∴△ADC和△ACB均为等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°，又∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∴∠F AE＝120°－30°－30°＝60°，即n＝60°.8. (1)证明：由折叠的性质可得，∠DBC＝∠DBF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠DBF＝∠ADB，∴BF＝DF，∴△BDF是等腰三角形；(2)解：①四边形BFDG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DF∥BG，∵DG∥BF，∴四边形BFDG是平行四边形，由(1)得BF＝DF∴平行四边形BFDG是菱形；②∵矩形ABCD中AB＝6，AD＝8，∠A＝90°，∴BD＝AB2＋AD2＝10，∵四边形BFDG是菱形，∴BD⊥GF，GF＝2OF，BD＝2OD，∴OD＝5，∴tan∠ADB＝OFOD＝ABAD＝34，∴OF＝15 4，∴FG＝15 2.。

专题23菱形、矩形、正方形(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题23 菱形、矩形、正方形（知识点总结+例题讲解）一、菱形：1.菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形；对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是对角线的交点。

3.菱形的判定：（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形；（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4.菱形的有关计算：=4a (其中a为边长)；（1）周长C菱形=ah=两条对角线乘积的一半；(其中a为边长，h为此边上的高)。

（2）面积S菱形【例题1】(2020•牡丹江)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是( )A．(0，2√3) B．(2，﹣4)C．(2√3，0) D．(0，2√3)或(0，﹣2√3)【答案】D【解析】点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解．解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO=√42−22=2√3=OC，∴点C的坐标为(0，−2√3)，同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为(0，2√3)，∴点C的坐标为(0，2√3)或(0，−2√3)。

【变式练习1】(2020•营口)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA ＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为．【答案】4【解析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，×2×4＝4。

人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习基础达标一、选择题1.(2018江苏淮安)如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48,AO=12AC=3,BO=12BD=4,且AO ⊥BO ,则AB=√AA 2+AA 2=5, 故这个菱形的周长L=4AB=20. 故选A.2.(2017四川广安)下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有( )个. A.4 B.3C.2D.13.(2017四川眉山)如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,若▱ABCD 的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD 的周长为( ) A.14 B.13C.12D.104.(2018贵州遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10B.12C.16D.18PM⊥AD于点M,交BC于点N.则四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,×2×8=8,∴S△DFP=S△PBE=12∴S阴影=8+8=16,故选C.5.(2017山东枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=A(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()AA.-12B.-27C.-32D.-366.(2018江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan ∠AFE的值()A.等于37B.等于√33C.等于34D.随点E位置的变化而变化EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,△AEH∽△ACD,∴AAAA =AAAA=34.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG=AA AA =3A3A+4A=37.故选A.二、填空题7.(2018湖南株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为..5四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=12BD,∴OD=12BD=5,∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=12DO=2.5.8.(2018广东广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.-5,4)菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,∴AB=5,∴AD=5,∴由勾股定理知:OD=√AA2-AA2=√52-32=4,∴点C的坐标是(-5,4).9.(2018湖北武汉)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.150°1,图1∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,∴∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°.如图2,图2∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∴DE=DC,∴∠CED=∠ECD,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°,∴∠CED=∠ECD=1(180°-30°)=75°,同理∠BEA=∠ABE=75°,2∴∠BEC=360°-75°×2-60°=150°.三、解答题10.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O.过点C 作BD 的平行线,过点D 作AC 的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED 是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则ABCD 的面积是多少?四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD , ∴∠COD=90°. ∵CE ∥OD ,DE ∥OC ,∴四边形OCED 是平行四边形,又∠COD=90°,∴平行四边形OCED 是矩形.(1)知,平行四边形OCED 是矩形,则CE=OD=1,DE=OC=2.∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC=2OC=4,BD=2OD=2, ∴菱形ABCD 的面积为12AC ·BD=12×4×2=4. 能力提升一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( )①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等; ③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1B.2C.3D.4对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误; ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选B .2.(2018山东枣庄)如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,AE ⊥BD ,垂足为F ,则tan ∠BDE 的值是( )A.√24B.14C.13D.√23四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC ,AD ∥BC , ∵点E 是边BC 的中点, ∴BE=12BC=12AD , ∴△BEF ∽△DAF , ∴AA AA =AA AA =12, ∴EF=12AF , ∴EF=13AE ,∵点E 是边BC 的中点, ∴由矩形的对称性得:AE=DE , ∴EF=13DE ,设EF=x ,则DE=3x , ∴DF=√AA 2-AA 2=2√2x , ∴tan ∠BDE=AAAA =2√2A =√24.故选A.3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒√2 cm 的速度向终点B 运动;同时,动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动,将△PQC 沿BC 翻折,点P 的对应点为点P'.设Q 点运动的时间为t s,若四边形QPCP'为菱形,则t 的值为( )A.√2B.2C.2√2D.3PP',交BC于N点,过P作PM⊥AC,垂足为M.若运动t s时四边形QPCP'为菱形,则PQ=PC,PN⊥BC,四边形PMCN为矩形,BQ=t,AP=√2t,PM=NC=t,∴QC=2t,∴BC=BQ+QC=t+2t=3t=6cm,∴t=2,故选B.4.(2018河南)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()图1图2A.√5B.2D.2√5C.52D作DE⊥BC于点E由题图2可知,点F由点A到点D用时为a s,△FBC的面积为a cm2.∴AD=a.DE·AD=a.∴12∴DE=2.当点F从D到B时,用√5s,∴BD=√5.Rt△DBE中,BE=√AA2-AA2=√(√5)2-22=1,∵ABCD是菱形,∴EC=a-1,DC=a.Rt△DEC中,a2=22+(a-1)2,.解得a=52故选C.5.(2017广东)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是()A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题6.(2018山东潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x 轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.)-1,√33,连接AM ,∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D', ∴AD=AB'=1,∠BAB'=30°, ∴∠B'AD=60°,在Rt △ADM 和Rt △AB'M 中,∵{AA =AA ',AA =AA ,∴Rt △ADM ≌Rt △AB'M (HL), ∴∠DAM=∠B'AM=12∠B'AD=30°, ∴DM=AD tan ∠DAM=1×√33=√33, ∴点M 的坐标为(-1,√33).三、解答题 7.如图所示,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠ACB 的平分线于点E ,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF ;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.MN ∥BC ,∴∠OEC=∠BCE.又∠OCE=∠BCE ,∴∠OEC=∠OCE ,∴OE=OC.同理可证OF=OC ,∴OE=OF.O 运动到AC 中点时,四边形AECF 是矩形.证明:∵CE ,CF 分别是∠ACB 的内,外角平分线.∴∠OCE+∠OCF=12(∠ACB+∠ACD )=12×180°=90°,即∠ECF=90°,又∵OE=OF ,∴当O 点运动到AC 中点时,OA=OC ,四边形AECF 是矩形.8.(2018贵州遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON.,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM=√22+42=2√5,由(1)知OM=ON,∴MN=√2OM=2√10.。

2018届中考数学考前热点冲刺指导《第23讲矩形、菱形、正方形(二)》课件新人教版

第23讲┃ 矩形菱形正方形（二）
第23讲┃ 矩形菱形正方形（二）
考点2 特殊平行四边形与坐标系
4．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图23－4所示， ∠AOC＝45°，OC＝ 2，则点B的坐标为( C )
A．( 2，1) C．( 2＋1，1)
图23－4 B．(1， 2) D．(1， 2＋1)
2．如图23－2，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( C )
A．正四边形 C．正八边形
图23－2 B．正六边形 D．正十边形
第23讲┃ 矩形菱形正方形（二）
3．如图23－3，矩形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，若沿直线EF对折，点B与D点可重合，求△BDE的面积．
第23讲┃ 矩形菱形正方形（二）
10．如图23－10，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作 AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作第二个菱形AB2C2D2，使 ∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边作第三个菱形 AB3C3D3，使∠B3＝60°，…依此类推，这样作的第n个菱形 ABnCnDn的边ADn的长是___ _2_3_n_－_1 ．
图23－10 第23讲┃ 矩形菱形正方形（二）
[解析]第1个菱形的边长是1，易得第2个菱形的边长是
3 2
；第3个菱
形的边长是

232；…每作一次，其边长为上一次边长的
23；故第n个菱
形的边长是

23n－1.故答案为
23n－1.
第23讲┃ 矩形菱形正方形（二）
11．正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如下：图23－11

2018中考数学专题突破导学练第22讲矩形、菱形、正方形(一)试题

第22讲矩形、菱形、正方形（一）【知识梳理】1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。

AC=BD4.矩形判定定理：○1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

○2.对角线相等的平行四边形是矩形。

○3.有三个角是直角的四边形是矩形。

5.菱形的定义：邻边相等的平行四边形。

6.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

7.菱形的判定定理：○1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。

○2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

○3.四条边相等的四边形是菱形。

8.S菱形=12ab（a、b为两条对角线）【考点解析】考点一：矩形的性质和判定【例1】．（2017广西百色）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD 于G、H两点．求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EG=FH．【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的△DEG、△BFH全等即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=AD，CF=BC，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF，∴∠DGE=∠AHD=∠BHF，∵AB∥CD，∴∠EDG=∠FBH，在△DEG和△BFH中，∴△DEG≌△BFH（AAS），∴EG=FH．【例2】（2017广东）如图，矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，根据AH=，计算即可．【解答】解：如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE=AD=3，EH=EF﹣HF=3﹣2=1，∴AH===，故答案为．考点二、菱形的性质和判定【例3】（2017广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD 为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．【考点】L8：菱形的性质．【分析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】（1）证明：如图，连结DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．在△BAD与△FAD中，，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．【例4】【中考热点】（2017浙江衢州）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图1，当t=3时，求DF的长．（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式， =，由三角形中位线定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明△DMF∽△DNE，得出=，再由三角函数定义即可得出答案；（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），求出AF=4+MF=﹣t+，得出G（， t），求出直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（， t）代入即可求出t的值；②当点E越过中点之后，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），求出AF=4﹣MF=﹣t+，得出G（， t），代入直线AD的解析式y=﹣x+6求出t的值即可．【解答】解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，∵A（8，0），C（0，6），∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE∥OA，DE=OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不变；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴， =，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=AB=3，DN=OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴=，∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF==；（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），∴AF=4+MF=﹣t+，∵点G为EF的三等分点，∴G（， t），设直线AD的解析式为y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：，解得：，∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，把G（， t）代入得：t=；②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣t+，∵点G为EF的三等分点，∴G（， t），代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或【达标检测】一、选择题：1.（2017贵州安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可．【解答】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠EAC，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO==3cm，AB=CD=DO+CO=3+5=8cm．故选：C．2.（2017山东聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【考点】L9：菱形的判定．【分析】当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．3.（2017山东临沂）在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．4. （2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC，其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LA：菱形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质．【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．【解答】证明：∵BC=EC，∴∠CEB=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB=∠EBF，∴∠CBE=∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC=EC，CF⊥BE，∴∠ECF=∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CFB，∵∠ECF=∠BCF，∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．5.（2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．二、填空题：6. (2017湖北咸宁)如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE 折叠后，点B恰好与点O重合．若BE=3，则折痕AE的长为 6 ．【考点】R4：中心对称；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE=EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE=30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE的长．【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，且OE垂直平分AC，∴AE=CE，设AB=AO=OC=x，则有AC=2x，∠ACB=30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=x，在Rt△OEC中，∠OCE=30°，∴OE=EC，即BE=EC，∵BE=3，∴OE=3，EC=6，则AE=6，故答案为：67.（2017 四川绵阳）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2，∠AEO=120°，则FC的长度为（）【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF 的长．【解答】解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°﹣30°=30°，∴OF=CF，又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=，∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，8.（2017.湖南怀化）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）【考点】LB：矩形的性质．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3，三、解答题9. （2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．10.（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C 的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．。

初中数学中考第23课时矩形、菱形、正方形(Word版)

第五单元四边形第二十三课时矩形、菱形、正方形长沙9年中考(～)1. (长沙14题3分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC长为()第1题图A．2B．4C．23D．432. (长沙22题8分)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；第2题图(2)若∠OCD＝30°，AB＝3，求△AOC的面积．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．第3题图4．(娄底)如图，在▱ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.(1)求证：△ABG≌△CDE；(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想；(3)若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．第4题图5. (长沙8题3分)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是()A．1 B. 3 C．2 D．23第5题图第6题图6.(长沙8题3分)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交BC于点E，AD＝6 cm，则OE的长为()A. 6 cmB. 4 cmC. 3 cmD. 2 cm7. (长沙10题3分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为()A. 5 cmB. 10 cmC. 14 cmD. 20 cm第7题图8. (长沙22题8分)如图，AC是▱ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.(1)求证：AB＝BC；(2)若AB＝2，AC＝23，求▱ABCD的面积．第8题图9. (长沙22题8分)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<90°)后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)当α＝30°时，求线段EF的长度．第9题图考情导向10．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．第10题图11．(永州)如图，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.(1)求证：AF＝CE；(2)若DE＝2，BE＝4，求sin∠DAF的值．第11题图12．(娄底)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．第12题图第13题图13. (长沙12题3分)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C，D重合)，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为m，△CHG的周长为n，则nm的值为()A.22B.12C. 5－12D. 随H点位置的变化而变化14. (长沙22题8分)在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．第14题图15. (长沙24题9分)如图，已知在正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD 边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF 于点G.(1)求证：△BDG∽△DEG；(2)若EG·BG＝4，求BE的长．第15题图16．(常德)如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE ＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为____________．第16题图第17题图17．(张家界)如图，在正方形ABCD中，AD＝23，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为________．A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边的和大于第三边答案1. B【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等且互相平分，∴AO ＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4.2. (1)证明：∵△AEC是由△ABC沿对角线AC折叠而得，∴AB＝AE，∠B＝∠E，又∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°，∴∠E ＝∠D ＝90°，AE ＝CD ，又∵∠EOA ＝∠DOC ，∴△AOE ≌△COD (AAS )；(4分)(2)解：∵AB ＝3，∴CD ＝AB ＝3，∵在Rt △COD 中，cos ∠OCD ＝cos 30°＝32＝CD OC ，∴OC ＝2，(5分)又∵△AOE ≌△COD ，∴OA ＝OC ＝2，(6分)∴S △AOC ＝12OA ·CD ＝12×2×3＝ 3.(8分)3. (1)解：BD ＝CD .理由如下：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEC 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠DCE∠AEF ＝∠DEC AE ＝DE，∴△AEF ≌△DEC (AAS )，∴AF ＝CD ，∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD ；(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形.4. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，∠ADC＝∠ABC，∵AG，CE分别是∠DAB与∠BCD的平分线，DE，BG分别是∠ADC与∠ABC的平分线，∴∠GAB＝∠ECD，∠GBA＝∠EDC，又∵AB＝CD，∴△ABG≌△CDE；(2)解：四边形EFGH是矩形，证明如下：∵DC∥AB，∴∠CDA＋∠BAD＝180°，∵∠ADH＝12∠ADC，∠DAH＝12∠DAB，∴∠ADH＋∠DAH＝12×180°＝90°，∴∠GHE＝∠AHD＝90°，同理可证∠GFE＝90°，及∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形；(3)解：∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝60°，由(2)可知四边形EFGH是矩形，则∠DEC＝90°，AB＝6，∴DC＝6，∴DE＝6×12＝3，在Rt△ADH中，AD＝BC＝4，∴DH＝4×12＝2，AH＝AD×sin60°＝4×32＝23，∴HE ＝3－2＝1，同理∠ABG ＝12∠ABC ＝60°，∠AGB ＝90°，∴AG ＝AB ×sin 60°＝6×32＝33，∴HG ＝AG －AH ＝33－23＝3，∴矩形EFGH 的面积为：HE ×HG ＝1×3＝ 3.5. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，又∵∠DAB ＝60°，∴△ADB 是等边三角形，∴BD ＝AD ＝AB ＝2.6. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BOC ＝90°，OB ＝OD ，∵OE ∥CD ，∴E 为BC 的中点，∴BC ＝2OE ，∴OE ＝3 cm .7. D 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∵AC ＝6，BD ＝8，∴AO ＝3，BO ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝5，∴菱形周长为4AB ＝20 cm .8．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴AB ＝BC ；(4分)(2)解：如解图，连接BD 交AC 于点O ，第8题解图∵AB ＝BC ，且四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，在Rt △AOB 中，由勾股定理可知BO 2＋(12AC )2＝AB 2，∴BO 2＋(12×23)2＝22，∴BO ＝1，∴BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD ＝12BD ·AC ＝12×2×23＝2 3.(8分)9．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ， ∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，又∵∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF (ASA )；(3分)(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠EAO ＝∠BAC ，OA ＝OC ，又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠EAO ＝∠BAC ＝∠ABC ＝60°，AC ＝AB ＝2，∴OA ＝OC ＝12AC ＝1，(5分)∵旋转角α＝30°，即∠AOE ＝30°，∴∠AEO ＝180°－∠EAO －∠AOE ＝180°－60°－30°＝90°，(6分)∴在Rt △AOE 中，cos α＝cos 30°＝OE OA ＝32，∴OE ＝32OA ＝32，由(1)知△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ＝32，则EF ＝2OE ＝2×32＝ 3.(8分)10. (1)证明：在▱ABCD 中，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，BC ＝AD ， ∵E 、F 分别是BC 、AD 的中点，∴BE ＝DF ，在△ABE 与△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD∠B ＝∠D BE ＝DF，∴△ABE ≌△CDF (SAS )；(2)解：当四边形AECF 为菱形时，AE ＝EC ， ∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，∴AE ＝BE .∵BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ＝2，∴A B ＝BE ＝AE ＝2，∴△ABE 为等边三角形，∴▱ABCD 的BC 边上高为AB ·sin 60°＝3， ∴菱形AECF 的面积为2×3＝2 3.11. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DF ⊥AB ，BE ⊥CD ，∴∠DF A ＝∠BEC ＝90°，∴△DF A ≌△BEC (AAS )，∴AF ＝CE ；(2)解：∵△DF A ≌△BEC ，∴DF ＝BE ＝4，∵AF ＝CE ，AB ＝CD ，∴BF ＝DE ＝2，设AD ＝x ，则AF ＝x －2，在Rt △ADF 中，由勾股定理得AD 2＝AF 2＋DF 2，即x 2＝(x －2)2＋42，解得x ＝5.∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝45.12. (1)证明：∵△ABC旋转到△A1BC1，∴∠CBF＝∠A1BD，△ABC≌△A1BC1，∵△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝A1B，∠C＝∠A＝∠A1，∴△BCF≌△BA1D(ASA)；(2)解：四边形A1BCE是菱形．理由如下：∵∠C＝α，∴∠C1＝∠A＝α，即∠CBF＝∠C1，∴A1E∥BC，又∵∠A1BD＝∠A＝∠α，∴A1B∥EC，∴四边形A1BCE为平行四边形，又∵BC＝A1B,∴四边形A1BCE为菱形．13. B【解析】设AE＝x，AB＝a，由折叠性质得EH＝AE＝x，∵ED＝AD －AE＝a－x，∴在Rt△DEH中，由勾股定理得DH＝EH2－DE2＝x2－（a－x）2＝2ax－a2，∴CH＝a－2ax－a2，∵∠EHG＝∠A＝90°，∴∠CHG＋∠DHE＝90°，∵∠DHE＋∠DEH＝90°，∴∠DEH＝∠CHG，∵∠D＝∠C＝90°，∴△DHE～△CGH，∴CHDE＝CGDH＝HGHE，即a－2ax－a2a－x＝CG2ax－a2＝HGx，解得HG＝ax－x2ax－a2a－x，CG＝a2ax－a2－（2ax－a2）a－x，∴n＝CH＋CG＋HG＝(a－2ax－a2 )＋a2ax－a2－（2ax－a2）a－x＋ax－x2ax－a2a－x＝2a, ∵m＝4a，∴nm＝12.14．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴B C＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°，(2分)又∵EC＝EC，∴△BEC≌△DEC(SAS)；(3分)(2)解：∵△BEC≌△DEC，∠BED＝120°，∴∠BEC＝∠DEC＝12∠BED＝60°，(4分)∴∠AEF＝∠BEC＝60°，(6分)∴∠EFD＝∠AEF＋∠EAF＝60°＋45°＝105°.(8分) 15．(1)证明：∵△BCE绕点C顺时针旋转得到△DCF，∴△BCE≌△DCF，(2分)∴∠CBE＝∠C D F，BE＝DF，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠CBE＝∠CDF，(3分)又∵∠DGE＝∠BGD，∴△BDG∽△DEG；(4分)(2)解：∵△BDG∽△DEG，∴DGEG＝BGDG，∴DG2＝EG·BG＝4，∴DG＝2，(7分)∵△BCE绕点C顺时针旋转得到△DCF，∴∠EBC＝∠FDC，∵∠BEC＝∠DEG，∠DCF＝∠BCD＝90°，∴∠EBC＋∠BEC＝∠EDG＋∠DEG＝90°，∴BG⊥DF，∴∠DGB＝∠FGB＝90°，又∵∠DBE＝∠CBE，BG＝BG，∴△DBG≌△FBG(ASA)，(8分)∴GF＝DG＝2，∴BE ＝DF ＝2GF ＝4.(9分)16. y ＝2x 2－4x ＋4 【解析】∵四边形ABCD 、四边形EFGH 都是正方形，∴可证△AEH ≌△DHG ，∴HD ＝AE ＝x ，则AH ＝2－x ，∵∠A ＝90°，∴y ＝EH 2＝AE 2＋AH 2＝x 2＋(2－x )2＝2x 2－4x ＋4.17. 9－53 【解析】∵∠PBC ＝30°，BC ＝BP ＝AB ，∴∠BCP ＝∠BPC ＝75°，∠ABP ＝∠APB ＝60°，∴△APB 为等边三角形，∴AP ＝AB ＝AD ＝23，∠P AD ＝30°，∴AE ＝AD cos30°＝4，DE ＝AD ·tan 30°＝2，如解图，过P 点作PM ⊥CD 于点M ，则PM ∥AD ，∴∠P AD ＝∠EPM ＝30°，∵PE ＝AE －AP ＝4－23，∴PM ＝PE ·cos 30°＝(4－23)×32＝23－3，又∵CE ＝CD －DE ＝23－2，∴S △PCE ＝12·EC ·PM ＝12(23－2)(23－3)＝9－5 3.第17题解图18. D 【解析】。

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第23讲矩形、菱形、正方形（二）
【知识梳理】
1.正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

2. 正方形的性质：
⑴四条边都相等；
⑵四个角都是直角；
⑶对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；
⑷正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
3. 正方形判定定理：
⑴邻边相等的矩形是正方形；
⑵有一个角是直角的菱形是正方形。

【考点解析】
考点一：正方形的判定和性质
【例1】（2017广东）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF=S△ADF；②S△CDF=4S△CEF；③S△ADF=2S△CEF；④S△ADF=2S△CDF，其中正确的是（）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【考点】LE：正方形的性质．
【分析】由△AFD≌△AFB，即可推出S△ABF=S△ADF，故①正确，由BE=EC=BC=AD，AD∥EC，
推出===，可得S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，故②③错误④正确，由此即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，AD=BC=AB，∠FAD=∠FAB，
在△AFD和△AFB中，
，
∴△AFD≌△AFB，
∴S△ABF=S△ADF，故①正确，
∵BE=EC=BC=AD，AD∥EC，
∴===，
∴S△CDF=2S△CEF，S△ADF=4S△CEF，S△ADF=2S△CDF，
故②③错误④正确，
故选C．
【例2】（2017.湖南怀化）如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．【分析】（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；
（2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，。

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