3积的乘方
积的乘方的概念
积的乘方的概念
众所周知，积的乘方是数学中一个重要的概念，它是用来表示多个相同的操作重复执行的运算法则。
它可以应用于日常生活当中，以及学术研究，在这里，我们将详细讨论使用积的乘方的概念所涉及的概念和知识。
首先，积的乘方是一种特殊的数学表达方法，它将一个数的乘方表达形式用指数来表示，该指数指的是数的多少次方。
以2的3次方为例，表达形式为23，其含义就是2*2*2 = 8。
也就是说，2的3次方是将2连续乘以3次，结果为8。
其次，在积的乘方的概念中，《积》代表的是“乘积”的意思，即多个数的乘积。
比如说，若要计算2，3，4，5的乘积，其表达式为：2*3*4*5 = 120。
再次，在积的乘方中，《乘方》是指一个数的次方乘以它自身的值，然后再将结果累加起来的计算方式。
比如说，若要计算2的4次方，其表达式为：2*2*2*2 = 16。
这里可以看到，2的4次方是将2乘以它自身的值，最终的结果为16。
最后，在实际应用中，积的乘方概念在生活当中也有广泛的应用。
比如说，在投资理财中，当投资者投资一个指定的金额后，其本金将在不同时间内受到收益，而收益也将随时间推移而逐渐增加，这也可以有效体现了积的乘方的概念。
总之，积的乘方是一种有效的计算方法，它的概念和用途相当广泛，不仅可以应用于数学计算，也可以用于日常生活当中，比如投资
理财等，在这里，我们简要地介绍了积的乘方的概念以及实际应用。
14.1.3积的乘方
(ab)n n个
=(ab)·(ab)·····(ab) (乘方的意义)
n个
n个
=(a·a·····a)·(b·b·····b)(单项式的乘法法则)
=anbn (乘方的意义)
即：(ab)n=an bn
积的乘方法则
(ab)n = an bn
语言表积述的: 乘方法则：积的乘方，等
于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘。
(1)当n为奇数时，(-a)n= -an(n为正整数）
(2)当n为偶数时，(-a)n=an(n为正整数）
(体现了分类的思想）
练一练
1、计算
(1)(ab)6; (2)(-a)3;
(4)(
1 2
ab)3
(5)(-xy)7;
(7)[(-5)3]2 ； (8)[(-t)5]3
(3)(-2x)4 ； (6)(-3abc)2； (9)-(3x2y3)2
( 153) (2)
2004
.(2 3 )2003 5
(3)(0.125)15 .(215 )3
小结：
1、幂的运算的三个性质：
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn ( m、n都为正整数)
2、运用积的乘方法则时要注意什么？
每一个因式都要“乘方”，还有符 号问题。
积的乘方的法则的逆用
14..1.3 积的乘方
学习目标：
1、理解掌握积的乘方等运算性 质； 2、能熟练运用性质进行计算。
回顾
1、叙述同底数幂乘法法则并用字母表示。
语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 字母：am·an=am+n ( m、n都为正整数)
2、叙述幂的乘方法则 并用字母表示。
八年级上册人教版数学积的乘方
八年级上册人教版数学积的乘方一、积的乘方的定义。
1. 文字表述。
- 积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘。
2. 公式表示。
- 对于(ab)^n（n为正整数），根据积的乘方的定义有(ab)^n = a^n× b^n。
- 这个公式可以推广到多个因数的积的乘方，例如(abc)^n=a^n× b^n× c^n（n 为正整数）。
二、积的乘方公式的推导。
1. 以(ab)^n为例（n为正整数）- 根据乘方的意义(ab)^n=⏟(ab)×(ab)×·s×(ab)_n个(ab)。
- 再根据乘法的交换律和结合律，可以将上式改写为⏟(a× a×·s× a)_n个a×⏟(b×b×·s× b)_n个b。
- 而⏟(a× a×·s× a)_n个a=a^n，⏟(b× b×·s× b)_n个b=b^n，所以(ab)^n = a^n×b^n。
三、积的乘方的应用。
（一）计算。
1. 简单计算示例。
- 计算(2x)^3。
- 根据积的乘方公式(ab)^n=a^n× b^n，这里a = 2，b=x，n = 3。
- 则(2x)^3=2^3× x^3=8x^3。
2. 多个因数积的乘方计算示例。
- 计算( - 3a^2b)^2。
- 这里a=-3，b = a^2b，n = 2。
- 根据公式(abc)^n=a^n× b^n× c^n，则( - 3a^2b)^2=( - 3)^2×(a^2)^2× b^2。
- 因为(-3)^2 = 9，(a^2)^2=a^2×2=a^4，所以( - 3a^2b)^2 = 9a^4b^2。
同底数幂的乘法法则
a
m
b
n
a
34
∵四种方案算出的面积相等
∴( a + m )( b + n ) = a ( b + n ) + m ( b + n ) =a b + a n + b m +b n
或( a + m )( b + n ) = b ( a + m ) + n ( a+m) =ab+bm+an+mn
观察上述式子,你能的得到(x-3)(x-6)的结果吗? ( x – 3 )( y – 6 ) = x ( y – 6 ) – 3 ( y – 6 ) = x y – 6x – 3y + 18
√ ③2a3b4(-ab2c)2=-2a5b8c2 ④(-7x) ·4 x2y=-
4x3y中，正确的有（ B ）个。
7
A、1 B、2 C、3 D、4
1
4么、这如两果个单单项项式式-3的x积4a-b是y2（与D）3x3ya+b是同类项，那 A、x6y4 B、-x3y2 C 、x3y2 D、 -x6y4
②按照单项式的乘法法则运算。
1四.③计点再算把注时所意,得要：的注积意相符加号.问题,多项式中每一项都
包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一 项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负。 2.不要出现漏乘现象。 3.运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减。 4.对于混合运算，注意最后应合并同类项。
a
29
本节课我们学习了那些内 单项容式？与多项式相乘 法则:
单项式与多项式相乘，就
是用单项式去乘多项式的每一 项，再把所得的积相加。
a
28
人教版-积的乘方教学设计2024-2025学年八年级上册数学
《积的乘方》教学设计一、课题名称积的乘方二、课程课时1课时三、教材内容分析本节课是人教版八年级上册数学第十五章《整式的乘除与因式分解》中的内容。
积的乘方是整式乘法运算中的重要组成部分，它是在学习了同底数幂的乘法和幂的乘方之后进行的。
教材通过具体的实例引导学生观察、分析、归纳出积的乘方的运算法则，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法。
四、课标目标1.理解积的乘方的运算法则。
2.能运用积的乘方的运算法则进行计算。
五、教学重点、难点1.教学重点积的乘方运算法则的推导过程。
运用积的乘方运算法则进行计算。
2.教学难点对积的乘方运算法则的理解。
法则中指数的运算及符号的确定。
六、课的类型及主要教学方法1.课的类型：新授课。
2.主要教学方法：讲授法、探究法、练习法。
七、教学过程1.导入新课教学环节：复习旧知。
教师活动：同学们，我们之前学习了同底数幂的乘法和幂的乘方，谁能来分别说一说它们的运算法则？学生活动：学生回答同底数幂的乘法法则是aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ（m、n都是正整数）；幂的乘方法则是（aᵐ）ⁿ=aᵐⁿ（m、n都是正整数）。
设计意图：通过复习旧知，为学习积的乘方做铺垫。
目标达成预测：学生能够准确回答同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则。
2.讲授新课探索积的乘方运算法则教学环节：计算式子。
教师活动：现在我们来计算一下（ab）²和（2x）³，看看结果是多少？并观察式子的特点。
学生活动：（ab）²=ab×ab=a×a×b×b=a²b²；（2x）³=2x×2x×2x=2×2×2×x×x×x=8x³。
学生观察到式子是积的乘方形式。
设计意图：通过具体的计算，让学生初步感受积的乘方的特点。
目标达成预测：学生能够正确计算式子的结果，并观察到式子的特点。
人教版八年级数学上册第十四章 积的乘方
变式：已知xn＝2，yn＝6，求(x2y)2n的值． 解：∵xn＝2，yn＝6， ∴(x2y)2n＝x4n·y2n＝(xn)4·(yn)2＝24×62＝16×36＝576.
1.我们这节课学习了哪些知识？ ①积的乘方法则；②幂的三种运算法则的综合运用
底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但整体看不 是幂的乘方的形式 3.体积的结果如何计算？能不能找到一个运算性质？
活动导入 请同学们拿出你们的正方形折纸，沿着虚线剪开，裁剪前后的图形面 积会改变吗？
在草稿本上画出裁剪前的图形和裁剪后的图形， 并分别计算其面积.
你发现了什么？
情境导入
老师今天早上收到了一个神秘的礼物，大家看一下它是什么？ 说起魔方，大家会想到哪些与它相关的数学知识呢？ 大家都知道魔方的每一面都是正方形，现在已知老师的魔方棱 长为3a，它的体积怎么计算呢？ 3a×3a×3a=27a3或（3a）3 请同学们观察这个式子（（3a）3），它的底数是和、差、积、 商哪一种运算？
14.1整式的乘法
14.1.3 积的乘方
1. 通过探究积的乘方的运算法则，进一步体会和巩固幂的 意义，理解并准确掌握积的乘方的运算法则，培养学生 实事求是、严谨、认真、务实的学习态度．
2．通过练习巩固积的乘方的运算法则，进一步提高应用意 识和创新意识，增强学生解决问题的能力．
3．通过推导法则进一步训练学生的抽象思维能力，完成利 用幂的三种运算性质的混合运算，培养学生综合运用知 识的能力．
【题型二】积的乘方的逆用
例2：计算：2
0252
025×2
1
025
2 024.
解：2
幂的乘方与积的乘方运算法则
幂的乘方与积的乘方运算法则首先，让我们来了解一下什么是幂的乘方。
在数学中，幂的乘方是指将一个数称为底数，用一个整数表示次数，通过乘方运算得到一个新的数，这个新的数就是结果。
例如，如果我们有一个底数a和一个指数n，我们可以用a^n来表示这个幂的乘方。
这个表达式的意思是将底数a连乘n次，得到的结果就是a的n次幂。
例如，2^3=2×2×2=8，这里的2就是底数，3就是指数，8就是2的3次幂。
接下来，让我们来看看幂的乘方的运算法则。
幂的乘方的运算法则可以分为两种情况：同底数幂的乘法和不同底数幂的乘法。
首先，我们来讨论同底数幂的乘法。
当两个幂的底数相同，我们可以将它们的指数相加得到新的指数，这个规则被称为同底数幂的乘法规则。
例如，如果我们要计算2^3×2^4，我们可以将这两个幂的指数相加，得到2^(3+4)=2^7=128。
这里我们将2的3次幂和2的4次幂相乘，得到2的7次幂，结果是128。
接着，让我们来讨论一下不同底数幂的乘法。
当两个幂的底数不同但指数相同时，我们可以将它们的底数相乘，指数不变。
例如，如果我们要计算2^3×3^3，我们可以将这两个幂的底数相乘，得到2×3=6，然后将指数保持不变，得到6^3=216。
这里我们将2的3次幂和3的3次幂相乘，结果是216。
除了幂的乘方，积的乘方也是数学运算中常见的问题。
积的乘方指的是将一个积（多个数相乘）的次方，这种运算也有一定的规则和性质。
首先，我们来看看积的乘方的运算法则。
积的乘方的运算法则和幂的乘方有些类似，但也有一些不同之处。
当我们要计算一个积的次方时，我们将每个因子都进行相同的次方运算，然后将它们的结果相乘。
例如，如果我们要计算(2×3×4)^2，我们可以先计算每个因子的平方，得到2^2=4，3^2=9，4^2=16，然后将它们相乘，得到4×9×16=576。
这里我们将2×3×4的平方计算出来，然后将结果相乘，得到576。
《14.1.3积的乘方》说课稿
《14.1.3 积的乘方》说课稿武威第九中学：张天娥尊敬的各位领导、各位同仁：大家上午好！今天我说课的内容是新人教版八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》，第一节《幂的运算》中的第三课时《积的乘方》。
我将按照新课标的理念和要求进行本节课的教学。
课堂教学坚持以“学生为主体，训练为主线，思维为主攻”的教学模式，在学生原有的知识基础上构建新的知识体系。
为此，我从说教材，说教法，说学法，说教学流程，说课后反思这五个环节谈谈我对这一节课的理解和设计。
一、说教材：1.教材的地位与作用：本节课是学生学习了《同底数幂相乘》和《幂的乘方》之后的又一种幂的运算，它不仅能加深学生对幂的意义、乘法的交换律和结合律的理解，而且也进一步加强加深了学生对同底数幂相乘和幂的乘方的理解和运用。
它是整式乘法运算的三大基础运算之一，为今后整式乘法运算提供了理论依据，打下了坚实的基础。
因此，本节课在本章和今后的教学中占据重要的地位。
2.教学目标：本节课新课程标准要求是：使学生进一步了解幂的意义，学会积的乘方运算，根据幂的运算性质解决数学问题和简单的实际问题。
由此，结合教材内容和学生的认知结构心理特征，我制定了如下教学目标：(1).知识与技能：能准确理解并掌握积的乘方运算性质，灵活运用这一性质进行相关计算。
(2).过程与方法：通过探索积的乘方运算法则的过程，知道这一法则是由乘方的意义和乘法的交换律、结合律以及同底数幂相乘的法则推到而来，从而发展学生推理能力和有条理的表达能力。
理解学习这一法则，进一步体会幂的意义，体会数学的转化思想，理解“特殊与一般”的数学归纳方法。
(3).情感、态度与价值：在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步让学生体会学习数学的方法和兴趣，提高学生学习数学的信心，感受数学的简洁美。
3.教学重点和难点：本着学生学情和本节课的教学内容，我把“理解并正确熟练地运用积的乘方运算法则”作为本节课的重点。
学生在学习幂的运算后，对同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则很容易在运算中混淆，所以在教学过程中我将“积的乘方运算法则的探索过程及其应用方法”作为本节课的难点。
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1．下面各式中正确的是（B ）． A.（22）3=25 B．m7+m7=2m7 C．x5· 5 x=x D．x4· 2=x8 x 2．（x4）5=（ ）． C A．x9 B．x45 C．x20 D．以上答案都不对
3、计算： （1）（ a3）5
（2）（x3）4·2 x
（3）（y2）3·2 + （y2）2· 4 y y
积的乘方法则
能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所 得的幂相乘. (ab)n = anbn （n为正整数）
推广：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n为正整数）
【例题】
计算: (1)(2a)3 ; (3)(xy2)2 ; (2)(-5b)3 ; (4)(-2x3)4.
【解析】选C.根据积的乘方的意义知，选项C正确.
计算
p98
4 2 3
（ ）（ab） 1 (2) (3 10 )
1 (2) (- xy)3 2 2 3 (4) (2ab )
【跟踪训练】
计算:1. 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7.
【解析】原式=2x6·3_27x9+25x2·7 x x
你有几种解法？
解法二： (0.04)2013×[(-5)2013]2 =(0.04)2013 × [(-5)2]2013
= (0.04)2013 ×(25)2013
=(0.04×25)2013 =12013 =1 答案：1
逆用积的乘方法则 anbn = (ab)n可以解决一些复杂的计算.
动脑思考，变式训练
练习 计算： （ 3 3； （1） 10 ）
（ 3 2； （2） x ） m 5 ； （3） （x ）
3 （a 2） a5； （4）
（ （5） - 2ab c ）.
3 2 4
通过本课时的学习，需要我们掌握：
积的乘方法则 (ab)n =anbn （n为正整数）
积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘.
3n=9，3m+3=15
n=3,m=4.
4.计算： (1)（-2x2y3)3 (2) (-3a3b2c)4
【解析】(1)原式=(-2)3 ·(x2)3 ·(y3)3 =-8x6y9 (2)原式=(-3)4 ·(a3)4 ·(b2)4 · c4
= 81 a12b8c4
3. (0.04)2013×[(-5)2013]2=________. 解法一： (0.04)2013×[(-5)2013]2 =(0.22)2013 × 54026 =(0.2)4026× 54026 =(0.2 ×5)4026 =14026 =1
= 2x9-27x9+25x9 = 0.
注意：运算顺序是 先乘方，再乘除， 最后算加减.
2.(-2x3)3·(x2)2. 【解析】原式= -8x9·4 =-8x13. x
5.如果（anbm+1)3=a9b15,求m, n的值 【解析】 （anbm+1)3=a9b15
（an）3· m+1）3=a9b15 （b a3n · 3m+3=a9b15 b
知识回顾
同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
公式 ： am · n = am+n (m、n都是正整数). a
知识回顾
幂的乘方
n （a m）=a mn（m ，n 都是正整数）．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
1.计算: x10 106 10×102× 103 =______ ，(x5 )2=_________.
=a( 2 )b( 2 )
（ab）· （ab）· （ab） （2）（ab）3=_______________ （aaa）· （bbb) =___________
=a( 3 )b( 3 )
?
思考：积的乘方(ab)n =?
n个ab (ab) n= (ab)· (ab)··· · (ab) · n个 a n个 b =(a· · · (b· · · a·· a)· b·· b) · · =anbn 即：(ab)n=anbn (n为正整数)
【解析】(1)(2a)3=23•a3 = 8a3；
(2)(-5b)3=(-5)3•b3=-125b3；
(3)(xy2)2=x2•(y24=16x12.
1. 下列运算正确的是（ A.x.x2=x2 B.(xy)2=xy2
） C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
创设情境，导入新知
问题3 一个边长为a 的正方体铁盒，现将它的边 长变为原来的b 倍，所得的铁盒的容积是多少？ 解： （ab）
3
=ab ab ab
=a3b3. a 3b3 ． 答：所得的铁盒的容积是
?
填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发
现什么规律？
（1)（ab）2=(ab)· (ab)=（a· （b· a）· b）