2018年春湘教版九年级数学下册1.5 二次函数的应用
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计1
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计1一. 教材分析湘教版数学九年级下册 1.5《二次函数的应用》是本册的一个重点和难点内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题。
教材通过引入二次函数的应用，使学生能够更好地理解和掌握二次函数的知识，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图像和性质，能够熟练地求解二次方程。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用二次函数的知识。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将二次函数的知识运用到实际问题中，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的应用，能够将二次函数的知识运用到实际问题中。
2.提高学生解决实际问题的能力。
3.培养学生的创新意识和实践能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握二次函数的应用。
2.难点：如何引导学生将二次函数的知识运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。
2.准备二次函数的应用案例，用于讲解和分析。
3.准备教学PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
例如，教师可以提出一个问题：“一个长方形的面积是24平方厘米，长是6厘米，求宽是多少厘米？”让学生思考和解答。
2.呈现（10分钟）教师呈现相关的实际问题，让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
例如，教师可以呈现一个问题：“一个抛物线的顶点是(2, -3)，求这个抛物线与x轴的交点坐标。
”3.操练（10分钟）教师引导学生进行实际的操作，解决实际问题。
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计3
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计3一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.5节《二次函数的应用》是本册的重要内容之一。
本节课主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，如抛物线的性质，如何求解最值问题等。
通过本节课的学习，使学生能理解和掌握二次函数的基本性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的图像和性质，以及一元二次方程的解法。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用，提高解决实际问题的能力。
2.掌握二次函数的基本性质，如开口方向、对称轴等。
3.学会利用二次函数解决最值问题，提高解决问题的方法。
四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用。
2.如何利用二次函数解决最值问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的应用。
2.利用实例分析，使学生了解二次函数在实际生活中的重要性。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解二次函数在实际中的应用。
2.准备PPT，用于展示二次函数的图像和性质。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾二次函数的基本性质，如开口方向、对称轴等。
然后引入本节课的主题——二次函数在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示二次函数的图像，讲解二次函数的性质，如开口方向、对称轴等。
然后通过实例分析，让学生了解二次函数在实际生活中的重要性。
3.操练（15分钟）教师提出问题，让学生利用二次函数解决实际问题。
如求解最大值或最小值问题。
学生分组讨论，合作解决问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计2
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.5节《二次函数的应用》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题。
教材中给出了几个实际问题，如抛物线的应用、最小值的求解等，这些问题都是九年级学生能够理解的，通过解决这些问题，让学生进一步了解二次函数的应用，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于如何将二次函数应用到实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的数学应用能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的应用方法，能够将二次函数解决实际问题。
2.提高学生的数学思维能力，培养他们的数学应用意识。
3.通过对实际问题的解决，让学生感受数学的趣味性和实用性，提高他们对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，如何求解最值问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习二次函数的应用。
2.使用多媒体教学，通过图像和动画的形式，让学生更直观地理解二次函数的应用。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和合作中解决问题，提高他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件。
2.准备一些实际问题，用于引导学生进行练习。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节课的主题，如：“一个抛物线形状的跳板，长度为5米，请问跳板与地面形成的角度最大为多少度？”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次函数的应用。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现教材中的几个实际问题，如抛物线的应用、最小值的求解等。
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计
湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用第1课时抛物线形二次函数教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学下册1.5二次函数的应用主要介绍了抛物线形二次函数的相关知识。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行学习的，旨在让学生能够运用二次函数解决实际问题。
教材通过引入抛物线形二次函数，使学生能够更好地理解二次函数在现实生活中的应用，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的概念、图像和性质有一定的了解。
但是，对于抛物线形二次函数的应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解抛物线形二次函数的概念，掌握其图像特征。
2.能够运用抛物线形二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3.培养学生的团队协作能力和数学思维能力。
四. 教学重难点1.抛物线形二次函数的概念及其图像特征。
2.抛物线形二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：通过分析具体案例，使学生掌握抛物线形二次函数的应用方法。
3.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和口头表达能力。
4.实践操作法：让学生通过动手操作，加深对抛物线形二次函数的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.教学案例：准备一些实际问题，用于引导学生应用抛物线形二次函数解决问题。
3.练习题：准备一些针对性的练习题，用于巩固所学知识。
4.板书设计：设计清晰易懂的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的抛物线现象，如篮球投篮、抛物线飞行等，引导学生关注抛物线形二次函数在现实生活中的应用。
2.呈现（10分钟）介绍抛物线形二次函数的概念，并通过课件展示其图像特征。
湘教版数学九年级下册《1.5二次函数的应用》说课稿
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会利用二次函数解决实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生运用二次函数的知识，解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的知识也有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学模型，运用二次函数的知识解决问题。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会将实际问题转化为二次函数模型。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生了解二次函数解决实际问题的方法，培养学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，以及如何利用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例分析法、问题驱动法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学实物模型等教学手段，辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.案例分析：分析实际问题，引导学生将其转化为二次函数模型，并利用二次函数解决实际问题。
3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自解决问题的方法和心得，培养学生的团队合作意识。
4.总结提升：对所学内容进行总结，让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计4
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计4一. 教材分析湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质之后，进一步探讨二次函数在实际生活中的应用。
本节课的主要内容是利用二次函数解决实际问题，如抛物线的对称性、最值问题等。
教材通过丰富的实例，引导学生将数学知识与生活实际相结合，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能还存在着将数学与生活实际脱节的现象。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生将数学知识运用到实际生活中，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数在实际生活中的应用，学会利用二次函数解决抛物线对称性和最值问题。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将数学知识与生活实际相结合的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生主动探究二次函数在实际中的应用。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教学课件、实例资料、黑板、粉笔等。
2.学生准备：教材、笔记本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如篮球投篮、抛物线形跳板等，引导学生思考这些现象是否与二次函数有关。
从而激发学生的学习兴趣，引入新课。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的实例，引导学生分析实例中的问题，并尝试将其转化为二次函数模型。
在这个过程中，教师引导学生运用已知的二次函数知识，解决实际问题。
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计2
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》是本节课的教学内容。
这部分教材主要让学生掌握二次函数在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生运用二次函数的知识进行解答，从而巩固和提高学生的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
但学生在应用二次函数解决实际问题方面可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的应用；2.能够运用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学素养，培养学生的解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数在实际问题中的运用；2.如何引导学生将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法1.案例分析法：通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解答；2.讨论法：在课堂上，引导学生分组讨论，共同解决问题；3.引导法：教师引导学生将实际问题转化为二次函数问题，帮助学生建立数学模型。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂讲解和练习；2.准备多媒体教学设备，用于展示问题和解答过程；3.准备教案和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何运用二次函数知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）教师展示准备好的实际问题，让学生分组讨论，共同思考如何运用二次函数知识进行解答。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组进行练习，将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师挑选几组典型的问题，让学生上讲台进行讲解，加深学生对二次函数应用的理解。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：如何判断一个实际问题是否可以运用二次函数解决？学生分组讨论，分享自己的看法。
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》说课稿
湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》这一节，主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用。
教材通过生活中的实例，引导学生理解二次函数的图像和性质，以及如何利用二次函数解决实际问题。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和性质，对二次函数有一定的认识。
但是，学生对二次函数在实际生活中的应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生将理论知识与实际生活相结合，提高他们解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，能够运用二次函数解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，以及如何利用二次函数解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题，掌握二次函数的应用。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示二次函数的图像和实际问题的情境，帮助学生更好地理解和应用。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的应用。
2.讲解新课：讲解二次函数在实际生活中的应用，引导学生理解二次函数的图像和性质。
3.实践操作：让学生分组讨论，解决一些实际的二次函数问题。
4.总结提升：对二次函数的应用进行总结，引导学生理解二次函数的实际意义。
5.布置作业：布置一些有关的练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计主要包括二次函数的图像、性质和实际应用。
通过板书，让学生清晰地了解二次函数在实际生活中的应用。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和实践操作来进行。
1.5二次函数的应用 课件湘版数学九年级下册
(5)利用二次函数的图象和性质进一步分析,判断并进行有关
的计算.
解得 = − ．
∴这个函数的表达式为 =
−
，
其中|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相
反数．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
-2.45≤x≤2.45．
探究新知
当水面宽 4.6 m 时， 拱顶离水面几米？
解：当水面宽 4.6 m 时，把x=2.3代入函数的表达式
的一般步骤是怎样的？
1.应当求出函数解析式和自变量的取值范围．
2.通过配方变形，或利用顶点公式求它的最大值
或最小值．
3.确定所求得的最大值或最小值对应的自变量的值
必须在自变量的取值范围内．
典例精析
例2 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销
售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导致
第一章 二次函数
1.5 二次函数的应用
复习导入
1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标、对称轴？
y=ax2+bx+c
对称轴是：
顶点坐标是：
当=
=
+
−
+
直线 = −
−
− ,
−
− 时，函数到达最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)：
当 x = 4 时，即销售单价为 34 元时， y 取最大值 1 960.
当堂练习
1.小红想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她
湘教版数学九年级下册教学设计：1.5 二次函数的应用
湘教版数学九年级下册教学设计：1.5 二次函数的应用一. 教材分析湘教版数学九年级下册第1.5节《二次函数的应用》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
本节课的内容包括：二次函数图像的特点，二次函数的顶点坐标的求法，以及二次函数的增减性、对称性等。
通过本节课的学习，使学生能运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数图像的特点，了解二次函数的顶点坐标的求法。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数图像的特点，二次函数的顶点坐标的求法，以及二次函数的增减性、对称性。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的性质。
2.利用多媒体课件，展示二次函数图像，使学生更直观地理解二次函数的性质。
3.开展小组讨论，培养学生团队协作能力和数学思维能力。
4.结合实际例子，让学生运用二次函数解决实际问题。
六. 教学准备1.准备多媒体课件，展示二次函数图像。
2.准备实际问题例子，用于引导学生运用二次函数解决实际问题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示二次函数图像，引导学生关注二次函数的顶点、开口方向等特点。
2.呈现（10分钟）提出问题：如何求二次函数的顶点坐标？如何判断二次函数的增减性和对称性？引导学生回顾所学知识，为新课的学习做好铺垫。
3.操练（10分钟）讲解二次函数的顶点坐标的求法，以及二次函数的增减性、对称性。
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计
湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册《1.5 二次函数的应用》这一节主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生了解二次函数在实际生活中的重要性。
教材从实际问题出发，引导学生用二次函数的知识去解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，可能会对学生造成一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际生活中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，并利用二次函数的知识解决问题。
3.培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数问题，并利用二次函数的知识解决问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例，引导学生了解二次函数在实际生活中的应用。
2.问题驱动法：教师提出实际问题，引导学生思考并解决问题，提高学生的应用能力。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生了解二次函数在实际生活中的应用。
2.设计问题，用于激发学生的思考和讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如抛物线形的物体运动、最大利润问题等，引导学生思考这些问题是否可以用二次函数来解决。
2.呈现（10分钟）教师呈现具体的实例，如抛物线形的物体运动问题，引导学生用二次函数的知识去解决。
教师讲解二次函数在实际问题中的应用，让学生理解二次函数的实际意义。
3.操练（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生分组讨论，尝试用二次函数的知识去解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）教师选取一些学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数在实际问题中的应用的理解。
2018_2019学年九年级数学下册第1章二次函数1.5二次函数的应用课件新版湘教版
(1)请用含 x 的代数式表示长方体盒子的底面积 (2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面
1.5 二次函数的应用
(3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大 求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，
1.5 二次函数的应用
目标突 破
目标一 理解建立二次函数模型解决实际问题的方法
例 1 [教材“动脑筋”改编] 有一座抛物线形拱桥 桥下水面宽为 20 m，拱顶距离水面 4 m.
(1)在如图 1－5－1 所示的平面直角坐标系中，求 函数表达式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升 h m 时，桥 d m，求 d 关于 h 的函数表达式；
1.5 二次函数的应用
目标三 能利用二次函数最大(小)值解决实际问题中的最值问题
例 3 [教材例题针对训练] [2017·济宁]某商店 包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元．经市场 种双肩包每天的销售量 y(单位：个)与销售单价 x(单 如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包 润为 w 元．
即 S＝54x－8x2，
∴S＝－8x－2872＋7289(0＜x＜6)．
∵－8＜0，
∴当
x＝287时，S
729 ＝ 最大值 8 ，即当剪去的小正方形的边长
长方体盒子的侧面积有最大值7289 cm2.
1.5 二次函数的应用
【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问 (1)分析题中的变量与常量； (2)根据几何图形的面积公式建立函数模型； (3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量 求出面积的最大(小)值．
2018湘教版数学九年级下册1.5《二次函数的应用》教案1
1．5 二次函数的应用第1课时 抛物线形二次函数1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题(2014·湖北潜江)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
湘教初中数学九下《1.5 二次函数的应用》word教案 (4)
2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。
情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。
从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
初中数学湘教九年级下1.5 二次函数的应用
边的长度如何表示？
D
C
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何
值时,y的最大值是多少?
解 : 1.设AD bm,易得b 3 x 30.
┐ xm
A
B
40m
N
4
2.y xb x 3 x 30 3 x2 30x 3 x 202 300.
练习：
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直
于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25
米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿
形状相同的抛物线落下，
为使水流形状较为美观，
要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面
yB
最大高度为2.25米, 如果
例3.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为 了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买
回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的 方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花
圃各放一个1米宽的门（木质）。 花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
y
A O
1.6
B
x
2.2
F
0.7
E
C
0.4
D
例题：
如图，一单杠高2.2米，两立柱 之间的距离为1.6米，将一根绳子的 两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子 自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米 的小孩站在离立柱0.4米处，其头部 刚好触上绳子，求绳子最低点到地 面的距离。
y
1.6
B A
F
0.7
E
C
O
0.4
半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线
2018-2019学年湘教版数学九年级1.5 二次函数的应用
1．5 二次函数的应用第1课时 二次函数的应用(一)【教学目标】知识与技能能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测．过程与方法经历运用二次函数解决实际问题的过程：问题情境—建模—解释．情感态度价值观让学生认识到数学是解决问题和进行交流的工具．【教学重难点】教学重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．教学难点：建立二次函数模型，渗透数形结合的思想．【导学过程】【知识回顾】复习二次函数的表达式、图象及性质．【情景导入】一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽4米时，拱顶离水面2米．若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？设问：①这是什么样的函数？②怎样建立直角坐标系比较简便？③如何设函数的表达式？如何确定系数？④自变量的取值范围是什么？⑤当水面宽4.6米时，⑥你是否体会到：从实际问题建立起函数模型，对于解决问题是有效的？【新知探究】探究一、建立函数模型这是什么样的函数呢？拱桥的纵截面是抛物线，应当是某个二次函数的图象．以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的表达式为y ＝ax 2已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A (2，－2)在抛物线上．由此得出－2＝4a ，解得a ＝－12. 因此，这个函数表达式是y ＝－12x 2，其中|x |是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：－2.45≤x≤2.45.现在你能求出水面宽4.6米时，拱顶离水面多少米吗？探究二、引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决．步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的表达式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内)．【随堂练习】完成课本P31练习1.1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？会．2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？解：建立平面直角坐标系．球出手点，最高点，篮圈坐标分别为(0，52)，(4，4)，(7，3)，设这条抛物线为y＝a(x－4)2＋4，把点(0，52)代入函数关系式中，求出y＝－332(x－4)2＋4，看点(7，3)是否在抛物线上，当x＝7时，代入函数关系式计算y＝3532，所以此球不能投中．【课后作业】完成该书本课时的对应练习．第2课时二次函数的应用(二)【教学目标】知识与技能1．会用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 变形为y ＝a (x ＋d )2＋h 的形式．2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，使实际问题获得最优决策．过程与方法通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．情感态度与价值观能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．教学重点：利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思． 教学难点：将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策．【导学过程】【知识回顾】用配方法把下列二次函数化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式．①y ＝－2x 2＋8x －12；②y ＝－2x 2＋100x ；③y ＝－12x 2＋x －52. 【情景导入】二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．【新知探究】探究一、用8 m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？分析：从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际问题． 板书解题过程，详见教材P 30.探究二、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件．当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？让一学生在黑板上板书其解答过程解：设每件商品的销售单价上涨x 元，一个月内获取的商品总利润为y 元；每月减少的销售量为10x 件，实际销售量为(180－10x )件，单价利润为(30＋x －20)元，则：y ＝(10＋x )(180－10x )，即y ＝－10x 2＋80x ＋1 800(x ≤18)．将上式进行配方，得：y ＝－10(x －4)2＋1 960当x ＝4时，即销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润为1 960元．【随堂练习】完成课本P 31练习2.1．龙泉休闲山庄现有116米长篱笆材料，山庄计划利用这些材料和已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，让游客能自己进菜地采摘新鲜蔬菜，菜地当然是越大越好，若你是庄主，你将如何使得这块菜地的面积达到最大？设矩形菜地与墙相对的一边长为x 米，则另一组对边的长为116－x 2米，从而矩形菜地的面积为S ＝x ·116－x 2＝－12(x －58)2＋1682. 当x ＝58时，S 最大且为1682.即矩形菜地与墙相对的一边长为58米时，这块菜地的面积达到最大．2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( A )A ．5元B ．10元C ．15元D ．20元【课堂小结】本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题、最大面积问题等．【课后作业】完成该书本课时的对应练习．。
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二次函数的应用一、基础题（11、12每题6分，其余每题3分，共42分）1．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则点A （a ，b c）在（ ）2．当a ＜0，b ＞0时，二次函数y=ax 2＋bx 的图象可能是下图中的（ ）3．在下图中的四个函数的图象中，函数y 的值随x 值的增大而增大的是（ ）4．已知点A （1，y 1），B （－2，y 2），C （－2，y 3）在函数y=2（x ＋1）2－21的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 35．一个二次函数的图象经过A （0，0），B （－1，－11），C （1，9）三点，则这个二次函数的表达式是（ ）A ．y=x 2＋10xB ．y=－x 2－10xC ．y=x 2－10xD ．y=－x 2＋10x6．若抛物线y=2x 2－（m ＋3）x －m ＋7的对称轴为y 轴，则m= ．7．若直线y=ax 2＋bx ＋c 开口向上，则直线y=ax ＋3经过 象限．8．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点（1，0），（－1，－6），（2，6），则该抛物线与y 轴交点的纵坐标为 ．9．某居民小区按照分期付款形式福利分房，小明家购得一套现价为120000元的住房．购房时首期（每一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付的房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和，设剩余欠款的年利率为0．4%．若第x 年小明家交房款y 元，则y 与x 之间的函数表达式为 ．10．小亮同学想在房子附近开辟一块绿化场，现共有a 米长的篱笆材料，他设计了两种方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地．那么选用哪一种方案围成场地的面积较大．11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？12．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？13．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定．当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCI溶液加水稀释，那么，在下列图象中，能反映HCI溶液的pH与所加水的体积（V）的变化关系的是（）14．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形置于直角坐标系xOy中，使AB在x轴上，点C在直线y=x－2．（1）按题设画出图形，并求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）若直线y=x－2与y轴交于点E，抛物线y=ax2＋bx＋c过E、A、B三点，求抛物线的表达式；（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD的内部？并说明理由．15．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？16．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y 微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）17．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？参考答案：一、1．C 点拨：由图象a ＜0，c ＜0，a 、b 异号，b ＞0．2．A 点拨：当a ＜0，b ＞0时，抛物线y=ax 2＋bx 开口向下，对称轴x=－a b2＞0，在y 轴的右侧，又抛物线过（0，0）．3．C 点拨：一次函数、反比例函数、二次函数增减性的考查．4．B 点拨：可将三点代入y=2（x ＋1）2－21中，比较y 1、y 2、y 3的大小．或画出草图，从图中找出y 1、y 2、y 3，大小即现．5．D 点拨：将三点代入表达式y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）求表达式即可．6．－3 点拨：对称轴为y 轴，即x=－a b2=0．a ≠0，∴b=0．即m ＋3=0，∴m=－3．7．一、二、三8．－4 点拨：待定系数法将三点代入确定表达式即可．9．y=5000＋()[]2500090000--x ×0．4%（2≤x ≤19） 点拨：由题意第二年付款为5000＋90000×0．4%（元），第三年付款5000＋（90000－5000）×0．4%（元），第四年付款为5000＋（90000－5000×2）×0．4%（元），则第x 年付款5000＋()[]2500090000--x ×0．4%（元）．10．围成圆形 点拨：S 正方形=（4a ）2=161a 2，S 圆形=π·（π2a ）2=π41a 2．∴S 圆形＞S 正方形11．解：（1）设每件衬衫降价x 元时，商场每天能盈利1200元．依题意，得（40－x ）（20＋2x ）=1200．整理，得x 2－30x ＋200=0．解得x 1=10，x 2=20．若为了减少库存，应降价20元．答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．（2）设每件衬衫降低x 元时，商场平均每天盈利y 元，则y=（40－x ）（20＋20x ）=－2x 2＋60x ＋800．当x=－a b2=－()2260-=15时，y 最大=()()2460800244422-⨯-⨯-⨯=-a b ac =1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．点拨：（1）商场每天的盈利额等于这天售出衬衫总数与每件盈利之积，（2）利用二次函数．12．解：设提高x 元销售，售货总收入为y 元．y=（x ＋50）（500－20x ）－40（500－20x ）．整理，得y=20⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--413062152x =－20（x －215）2＋6125．解得x=7．5元时，即售价定为57．5元，收益最大，为6125．13．C 点拨：由化学知识知，HCI 溶液呈酸性，因此加水前其pH ＜7，而加水后其酸性减弱，pH 增大，并且pH 随所加水体积（V ）的增大而增大，但绝不会超过7，所以选C ．点拨：溶液的pH 是初中化学中一个十分重要的知识，应用很广．本题以“溶解度”为出发点，结合函数增减性质，增养学生的逻辑推理能力．14．解：如图．（1）根据题意，可设C 的坐标为（a ，2）．∵点C 在直线y=x －2上，∴2=a －2．∴a=4．∴C （4，2），B （4，0），A （1，0），D （1，2）．（2）若y=x －2中的x=0，则y=－2，∴点E （0，－2）．∴过E 、A 、B 的表达式y=a （x －1）（x －4），－2=a （0－1）（0－4）．∴a=－21．∴y=－21（x －1）（x －4），即y=－21x 2＋25x －2．（3）∵y=－21（x －25）2＋89，∴抛物线的顶点（25，89）． 设在矩形ABCD 内部的点（x ，y ），则1＜x ＜4，0＜y ＜2．∵1＜25＜4，0＜89＜2，∴抛物线y=－21x 2＋25x －2的顶点在矩形ABCD 内部．点拨：确定坐标系及用待定系数法确定表达式后，抛物线顶点若落在矩形内部，则1＜x ＜4，0＜y ＜2，否则落在矩形的外部．15．解：（1）y=240－3x （40≤x ≤70）．（2）当每箱售价为x 元时，每箱利润为（x －40）元，平均每天的利润为W=（240－3x ）（x －40），所以W=－3x 2＋360x －9600．（3）将W=－3x 2＋360x －9600，配方得W=－3（x －60）2＋1200． ∴此二次函数的顶点坐标为（60，1200）．当x=40时，W=－3（40－60）2＋1200=0；当x=70时，W=－3（70－60）2＋1200=900．草图如图所示．（4）由图象易知，当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，其最大利润为1200元．点拨：实际应用题计算最值时，同时也要考虑自变量的取值范围．∴y=－21x 2＋4x （图象略）．（2）y=－21x 2＋4x=－21（x －4）2＋8，∴服药后4小时，才能使血液中含药量最大，这时每毫升血液中含有药液8微克．（3）当y=0时，x 1=0，x 2=8，故一次服药后的有效时间为8小时．17．解：（1）P=30＋x ；（2）Q=（1000－10x ）（30＋x ）＋200x=－10x 2＋900x ＋30000；（3）设总利润为L ，则由题意，得L=Q －30000－400x=－10x 2＋500x ，当x=25时，总利润最大为6250元．。