24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(第2课时)
24.2点、直线、圆与圆的位置关系 知识点+例题+练习(精品)
1.点和圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足O O2O1为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．O D C B A第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．【中考连接】一、选择题1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.32.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335B. 635 C. 10 D. 5 4. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 26 5.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．B P A OC 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________． 8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=图象上，则阴影部分面积等于 ． 14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______． 15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 第18题图长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S △△时，求动点M 所经过的弧长．。
《直线和圆的位置关系》PPT课件
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，
CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线.
O AC B
巩固练习
如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与
切线的其他重要结论
纳
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
(2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
探究新知
知识点 2 切线的性质定理
思考：如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切 点，那么OA与l垂直吗？
切线性质
圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA.
课堂小结
直线与 圆的位 置关系
定义 性质
相离 相切 相交 公共点的个数
d与r的数量关系
判定
定义法 性质法
相离:0个;相切：1个; 相交：2个
相离:d>r;相切:d=r 相交:d<r
0个：相离；1个：相切； 2个：相交
d>r：相离;d=r:相切 d<r：相交
人教版 数学 九年级 上册
24.2 点和圆、直线和圆的 位置关系
我们说这条直线是圆的切线;
点
l
归
2.数量关系法：圆心到这条直线的距
dr
离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
l
纳 3.判定定理：经过半径的外端且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
O
A
l
探究新知
素养考点 1 通过证明角是90°判断圆的切线
24.2.2 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
直线和圆有两个 直线和圆有唯一
公共点时，叫做 公共点时，叫做 直线和圆相交． 直线和圆相切．
这条直线叫做 圆的割线，公 共点叫直线和 圆的交点．
这条直线叫做圆 的切线，这个点 叫做切点．
直线和圆没有公 共点时，叫做直 线和圆相离．
直线与圆的位置关系判定定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
ห้องสมุดไป่ตู้
总结
(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数 形结合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心 到直线的距离与圆的半径大小，与“形”：直线 和圆的位置关系之间的相互转化． (2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等 法求出．
巩固练习2:
1.已知直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距 离为6，则r的取值范围是( )
0 d r 直线与O相交
d r 直线与O相切 d r 直线与O相离
例1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝30°,BC＝4cm,
以点C为圆心,2cm为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是
( B)
A.相离
B.相切
C.相交 D.相切或相交
例2.如图，四边形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,E为AB上 一点,且DE、CE分别平分∠ADC和∠BCD,判断以AB为直 径的圆与CD有怎样的位置关系？试证明你的结论．
直线与圆的位置关系性质定理
设点O到直 线的距离 为d,⊙O的 半径为r
直线与O相交 0 d r
直线与O相切 d r 直线与O相离 d r
例3.在Rt△ABC中,AC＝3cm,BC＝4cm,∠ACB＝90°.若 以点C为圆心,r为半径的圆与直线AB不相离,求r的取值 范围．
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定和性质
7．(3 分)如图，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点， PO 交⊙O 于点 B，∠P＝30°，OB＝3，则线段 BP 的长为( A ) A．3 B．3 3 C．6 D．9
8．(3 分)(湘西州中考)如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A，AC，CD 是
⊙O 的两条弦，且 CD∥AB，若⊙O 的半径为 5，CD＝8，则弦 AC 的
∴CE＝BC＝6，∵12 CD·AE＝12 AC·CE，∴CD
＝61×08 ＝254
14．(14分)(盐城中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径， ∠DCA＝∠B. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角 形．
证明：(1)连接OC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A，∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA＋ ∠DCA＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线 (2)∵∠OCA＋∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，
ห้องสมุดไป่ตู้
三、解答题(共42分) 13．(12分)(教材P102习题T12变式)(深圳中考)如图，AB为⊙O的直径， 点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长， 交AD的延长线于点E. (1)求证：AE＝AB； (2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
解：(1)证明：连接 AC，OC，如图，∵CD 为切线，∴OC⊥CD，∵CD ⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴ ∠B＝∠E，∴AE＝AB (2)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝ 102－62 ＝8，∵AB＝AE ＝10，AC⊥BE，
24.2.2直线与圆的位置关系(第2课时)
4．运用切线的性质和判定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理解决简单问题
（1）切线的判定方法有几种？结合已知，你选择 哪种判定方法？（切线的判定定理．） （2）要证明切线需要什么条件？如何添加辅助线？ （只要证明由点O向 AC 所作的垂线段OE是⊙O的半径 就可以了．所以过圆心 O 作 OE⊥AC ，垂足为E ，连接 OD ，OA ．）
O A l
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
2．探究切线的判定定理
下面图中直线 l 与圆相切吗？
O A ×
l
O l
A ×
2．探究切线的判定定理
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上 打磨工件时飞出的火星中，存在与圆相切的现象吗？
2．探究切线的判定定理
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的 切线？
在运用切线的判定定理和性质定理时，应如何添加 辅助线？
4．运用切线的性质和判定定理解决简单问题
教科书第 98 页
练习第 1，2 题．
5．课堂小结
（1）切线的判定定理与性质定理是什么？它们有 怎样的联系？ （2）在应用切线的判定定理和性质定理时，需要 注意什么？
6．布置作业
教科书习题 24.2 第 4，5，12 题．
O A
3．探究切线的性质定理
将本课件第 5 页中的问题反过来，如图，在⊙O 中，如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？
O A l
圆的切线垂直于过切点的半径．
4．运用切线的性质和判定定理解决简单问题
例 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的 中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D. 求证： AC 是⊙O 的切线．
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
(含答案)九年级数学人教版上册课时练第24章《24.2.2 直线和圆的位置关系》(2)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第24章圆24.2.2直线和圆的位置关系一、单选题1．已知⊙O 的半径为6，点O 到直线l 的距离为6，则直线l 与⊙O （）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定2．若O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定3．如图，AB 是⊙O 的弦，PO ⊥OA 交AB 于点P ，过点B 的切线交OP 的延长线于点C ，若⊙O OP ＝1，则BC 的长为（）A ．2BC ．52D 4．如图，点B ，D ，E 为⊙O 上的三个点，OC ⊥OB ，过点D 作⊙O 的切线，交OE 的延长线于点C ，连接BE ，DE ．若∠OCD ＝30°，则∠BED 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°5．如图，O 内切于Rt ABC △，点P 、点Q 分别在直角边BC 、斜边AB 上，PQ AB ^，且PQ 与O 相切，若2AC PQ =，则sin B Ð的值为（）A ．12B ．35C ．34D ．456．如图，等腰ABC 内接于,O AB BC =，直线MN 是O 的切线，点C 是切点，OB 是半径，若36ACN Ð=°，则OBA Ð的度数为（）A ．14°B ．18°C ．36°D ．54°7．如图，AB 是O 的切线，A 为切点，OB 交O 于点C ，若O 的半径长为1，AB =，则线段BC 的长是（）A ．1BC ．2D 8．如图，在⊙O 中，AB 切⊙O 于点A ，连接OB 交⊙O 于点C ，过点A 作AD ∥OB 交⊙O 于点D ，连接CD ．若∠OCD ＝20°，则∠B 为（）A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°二、填空题9．设⊙O 的半径为4cm ，直线L 上一点A 到圆心的距离为4cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系是______．10．如图，直线AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，且AB ∥CD ，若OB =6cm ，OC =8cm ，则BE +CG 的长等于_____________11．如图，已知⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 外一点，且OP ＝2．若PT 是⊙O 的切线，T 为切点，连接OT ，则PT ＝___．12．如图，BA 为O 的切线，切点为点A ，BO 交O 于点C ，点D 在O 上，连接CD ，36ABO Ð=°，则ADC Ð=______．13．如图，ABC 中，90BAC Ð=°，M 是BC 的中点，ABM 的内切圆与AB ，BM 分别相切于点D ，E ，连接DE ．若∥DE AM ，则C Ð的大小为______．14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，点D 是AC 与⊙O 的交点，若36BAC Ð=°，则DBC Ð等于_________15．如图，AD ，AE ，BC 分别切⊙O 于点D ，E ，F ，若△ABC 的周长为48，则AD 的长是_______．16．如图，在⊙O 中，AB 切⊙O 于点A ，连接OB 交⊙O 于点C ，过点A 作AD ∥OB 交⊙O 于点D ，连接CD ．若∠B =50°，则∠OCD 的度数等于___________．三、解答题17．如图，以ABC 的边BC 的长为直径作O ，交AC 于点D ，若A DBC Ð=Ð，求证：AB是O 的切线．18．如图，AB 、BC 、CD 分别与⊙O 切于E 、F 、G ，且AB ∥CD ，连接OB 、OC ，延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作MN ∥OB 交CD 于N ．(1)求证：MN 是⊙O 的切线；(2)当6cm OB =，8cm OC =时，求⊙O 的半径．19．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ．BD PD ^，垂足为D ，连接BC ．(1)求证：BC 平分∠PBD ；(2)若4cm PA =，PC =，求⊙O 的半径．20．如图，AB为⊙O的直径，点C是AB右侧半圆上的一个动点，点D是AB左侧半圆的中点，DE是⊙O的切线，切点为D，连接CD交AB于点P，点Q为射线DE上一动点，连接AD，AC，BQ，PQ．(1)当PQ∥AD时，求证：△DPQ≌△PDA．(2)若⊙O的半径为2，请填空：①当四边形BPDQ为正方形时，DQ＝；②当∠BAC＝时，四边形ADQP为菱形．参考答案1．C2．A3．A4．B5．B6．B7．A8．D9．相切或相交10．10cm1112．27°13．30°14．36°15．2416．20°18．4.8cm19．2cm20．(2)①2；②22.5°。
点和圆、直线和圆的位置关系
§24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、知识点过关知识点1 点和圆的位置关系（重点；掌握）点和圆的位置关系有三种，设点P 到圆心O 的距离d OP =，⊙O 的半径为r ，则有： 点P r >；点P 在圆上 r =；点P 在圆内 r <； 【命题点1 根据d 与r 的数量关系判定点与圆的位置关系】例1 已知⊙O 的面积是16π，若5.4=OP ，则点P 在⊙O ；若4=OP ，则点P 在⊙O ；若OP ，则点P 在⊙O 内.针对性训练1、若点)0(，a B 在以点)01(，A 为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为 （ ） 31.<<-a A 3.<aB 1.->aC 13.-<>ora a D知识点2 圆的确定（重点；理解）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 【命题点2 求三角形外接圆的半径】例2 △ABC 中，10==AC AB ，12=BC ，求△ABC 的外接圆半径.针对性训练1. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4知识点3 直线和圆的位置关系（重点；掌握）1.相交、相切与相离的概念[画图板书]（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系如果设⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，可归纳出下列结论： （1）直线l 和⊙O 相离 r d >； （2）直线l 和⊙O 相切 r d =； （3）直线l 和⊙O 相交 r d <；【命题点3 根据直线与圆的位置关系求半径R 的取值范围】例3 已知︒=∠30MON ，在ON 边上有一点P ，cm OP 5=，若以点P 为圆心，以R 为半径作圆，求满足下列条件的⊙P 的半径R 的取值范围. （1）射线OM 与⊙P 只有一个公共点； （2）射线OM 与⊙P 有两个公共点.针对性训练1、在Rt △ABC 中，cm AC 3=，cm BC 4=，︒=∠90ACB .若以点C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 不相离，求r 的取值范围.知识点4 圆的切线的判定与性质（重点、难点；理解）1.切线的判定（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（2）如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线是圆的切线.经过半径的外端并且垂直于这条半斤的直线是圆的切线（切线的判定定理） 2.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径. 【命题点4 切线的性质定理的应用】例4 如图所示，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且CAD D ∠=∠2.连接OC. （1）求D ∠的度数；（2）若2=CD ，求BD 的长.针对性训练1、已知⊙O 中，AC 为直径，MA ，MB 分别切⊙O 于点A ，B. （1）如图①，若︒=∠25BAC ，求AMB ∠的大小；（2）如图②，过点B 作AC BD ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，若MA BD =，求AMB ∠的大小.知识点5 切线长的定义及定理（重点、难点；掌握）1.定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【命题点5 利用切线长定理求角的度数】例5 如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，BC 是⊙O 的直径，连接AB ，AC ，OP.︒=∠20BAC ，则P ∠的度数为 （ ）A.50°B.70°C.110°D.40°针对性训练1、如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，已知BC 是⊙O 的直径，连接AB ，AC ，OP. 求证：（1）ABC APB ∠=∠2；（2）AC ∥OP.【命题点6 利用切线长定理求线段的长】例5 如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为︵AB上一点，过Q 点作⊙O 的切线，交PA ，PB 与E ，F 两点，已知cm PA 10=，求△PEF 的周长.针对性训练1、如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 相切于点A ，B ，C 是劣弧︵AB上任意一点，过C 作⊙O 的切线DE ，分别交PA ，PB 于点D ，E. 已知△PDE 的周长为8，︒=∠70DOE ，点M ，N 分别在PB ，PA 的延长线上，MN 与⊙O 相切于点F ，且DN ，EM 的长是方程0102=+-k x x 的两根. （1）求P ∠的度数；（2）求PA 的长；（3）求四边形DEMN 的周长.知识点6 三角形的内切圆（重点、难点；掌握）（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.（内切圆与外接圆对比）（2）三角形的内心到三角形三边的距离都相等.（3）三角形的内切圆的作法：先作出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即而已得到三角形的内切圆.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【命题点6 利用三角形内心求角的度数】例6 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，与边BC 、CA 、AB 的切点分别为D ，E ，F ，若上︒=∠70A ，则EDF ∠= 度.针对性训练1、⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，︒=∠90C ，4=AC ，3=AB ，求⊙O 的半径r .知识点7 圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）1.概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.性质：圆内接多边形的对角互补.【命题点7 圆内接四边形与垂径定理的综合应用】例7 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，BD AC ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，求证：CD OF =2.针对性训练1、如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，︒=∠30B ，则=∠D .二、全方位技巧类型题1 根据点与圆的位置关系求r 的取值范围例1 已知△ABC ，︒=∠90C ，2=AC ，3=BC ，AB 的中点为M. （1）以C 为圆心，2为半径作⊙C ，则点A ，B ，M 与⊙C 的位置关系如何？（2）若以C 为圆心作⊙C ，使A ，B ，M 三点至少有一点在⊙C 的内部，且至少有一点在⊙C 的外部，求⊙C 的半径r 的取值范围.类型题2 有关圆与一元二次方程的综合题例2 设⊙O 的半径为2，点P 到圆心的距离m OP =，且m 使关于x 的方程012222=-+-m x x 有实数根，试确认点P 与⊙O 的位置关系.类型题3 切线的判定和性质的综合应用例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 与⊙O 相交于点D ，连接AD 并延长，与BC 相交于点E. （1）若3=BC ，1=CD ，求⊙O 的半径；（2）取BE 的中点F ，连接DF ，求证DF 是⊙O 的切线.类型题4 圆的切线与四边形的综合应用例4 如图所示，AB 是半圆O 的直径，点C 为半径OB 上一点，过点C 作CD ⊥AB 交半圆O 于点D ，将△ACD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 交半圆于点F ，连接DF. （1）求证DE 是半圆的切线；（2）当BC OC =时，判断四边形ODFA 的形状，并证明你的结论.类型题5 圆周角定理的推论与垂径定理的综合应用例5 如图所示，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分ACB ∠，若2=AB ，︒=∠15CBA ，则CD 的长为 .类型题6 巧引辅助线，构造特殊三角形解题例6 如图所示，在⊙O 中，︒=∠=∠60BDC ACB ，cm AC 32=. （1）求BAC ∠的度数. （2）求⊙O 的周长.三、分层实战训练【基础巩固】1.已知点P 与圆周上的点的最小距离为6cm ，最大距离为16cm ，求该圆的半径.2.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，若R d ，是方程02092=+-x x 的两个实数根，则直线和圆的位置关系是 .3.如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3， 则A ∠的正切值等于 （ ） 53.A 54.B 43.C 34.D4.已知AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，OB BD =，点C 在圆上，︒=∠30CAB .求证：DC 是⊙O 的切线.5.AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.求证：DE 是⊙O 的切线.6.AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且︵AF =︵FC =︵CB ，连接AC ，AF ，过点C 作AF CD ⊥，交AF 的延长线于点D ，垂足为D.求证：CD 是⊙O 的切线.7.已知⊙O 的直径为AB ，AB AC ⊥于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得EA ED =. （1）求证：ED 是⊙O 的切线；（2）当3=OA ，4=AE 时，求BC 的长度.8.如图所示，在△ABC 中，BC AC =，α=∠CAB （定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC ，BC 相切于点P ，Q. （1）求POQ ∠的大小；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否随着D 点位置的变化而变化，并说明理由. （3）在（2）的条件下，如果m AB =(m 为已知数)，53cos =α，设y DE x AD ==，，求y 关于x 的函数解析式.9.如图所示，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点)24(，P 是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C. （1）求证PA 是⊙O 的切线；（2）求点B 的坐标.10.如图，AB 是⊙O 的直线，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作⊙O 的切线与CD 的延长线交与点F ，如果CE DE 43=，58=AF ，D 为EF 的中点. （1）求证：ACF AFC ∠=∠；（2）求AB 的长.11.(2014*江苏扬州)如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切与点D ，与直角边AC 相交于E 、F 两点，连接DE.已知︒=∠30B ，⊙O 的半径为12，弧DE 的长度为4π. （1）求证：DE ∥BC ；（2）若CE AF =，求线段BC 的长度.12.(2014*黑龙江哈尔滨)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，连接CD ，且DE AE =，CE BC =.（1）求ACB ∠的度数；（2）过点O 作AC OF ⊥于点F ，延长FO 交BE 与点G ，3=DE ，2=EG ，求AB 的长.。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(共7课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系（共7课时）第一课时：点和直线的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．难点：讲授反证法的证明思路．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．（3）都等于半径．（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d则有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示．（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBAB(1) (2) (3)（3）作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O 为圆心，以OA 为半径作圆，⊙O 就是所要求作的圆，如图3所示． 在上面的作图过程中，因为直线DE 与FG 只有一个交点O ，并且点O 到A 、B 、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A 、B 、C 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1，又在线段BC 的垂直平分线L 2，•即点P 为L 1与L 2点，而L 1⊥L ，L 2⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；（2）作两线段的中垂线，相交于一点．则O 就为所求的圆心．四、应用拓展例2．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解．作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴Al m BA C E D O F ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆设OE=x ，则OF=27-x ，∵OC=OB= 解得：x=20∴，即半径为25m ． 五、归纳总结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1． 点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P93 练习第二课时：直线和圆的位置关系（1）教学内容1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；•直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线和⊙O 相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r ．教学目标1.探索并了解直线和圆的位置关系．2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系．3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系．重点：探索并了解直线和圆的位置关系．难点：掌握识别直线和圆的位置关系的方法．教学过程一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，(b)(c)则有：点P在圆外⇔d>r，如图（a）所示；点P在圆上⇔d=r，如图（b）所示；点P在圆内⇔d<r，如图（c）所示．(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？探究一、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．（老师板书）如图所示：l(a)(b)相离(c)如图（a ），直线L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b ），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，•这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c ），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．探究二、割线切线基本概念探究二、(1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？练习已知：如图所示，∠AOB =30°，P 为OB 上一点，且OP =5 cm ，以P 为圆心，以R 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？①R =2 cm ；②R =2.5 cm ；③R =4 cm ．(2) 练习课堂小结：（学生归纳，总结发言老师点评）1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d 则有：直线L 和⊙O 相交⇔d<r直线L 和⊙O相切⇔d=r直线L和⊙O相离⇔d>r第三课时：直线和圆的位置关系（2）教学内容1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．教学过程是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，•按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？（学生分组活动）：设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，•请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评直线L和⊙O相交⇔d<r，如图（a）所示；l(a)直线L和⊙O相切⇔d=r，如图（b）所示；直线L和⊙O相离⇔d>r，如图（c）所示．因为d=r⇒直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，•我们可以得到切线的判定定理：例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，•那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图AD 所示的CD 即可．（2）用d 和r 的关系进行判定，或借助图形进行判定．解：（1）如图24-54：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ABC 中∴因此，当半径为时，AB 与⊙C 相切．理由是：直线AB 为⊙C 的半径CD 的外端并且CD ⊥AB ，所以AB 是⊙C 的切线．（2）由（1）可知，圆心C 到直线AB 的距离，所以当r=2时，d>r ，⊙C 与直线AB 相离；当r=4时，d<r ，⊙C 与直线AB 相交．刚才的判定定理也好，或者例1也好，都是不知道直线是切线，而判定切线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？实际上，如图，CD 是切线，A 是切点，连结AO 与⊙O 于B ，那么AB 是对称轴，所以沿AB 对折图形时，AC 与AD 重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．因此，我们有切线的性质定理:三、巩固练习教材P94 练习，四、应用拓展例．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ．（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．A D （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．分析：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，•因为C 点已在圆上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD 与⊙O 相切理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）本节课应掌握：1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．3、应用上面的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题．1．如图，AB 与⊙O 切于点C ，OA=OB ，若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是（ ）A2．下列说法正确的是（ ） A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线3．已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC 等于（ ）A ．12（∠B+∠C ）B ．90°+12∠A AC．90°-12∠A D．180°-∠A二、填空题1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．D2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=•________，•∠BOC=________．第四课时：直线和圆的位置关系（3）教学内容1．切线长的概念．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．教学目标1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．重点：切线长定理及其运用．•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？老师点评：（1）在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：•①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d=r；点在圆外⇔d>r；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和⊙O相交⇔d<r；直线L和⊙相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：•经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．二、探索新知从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB•的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，•我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO．我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长．从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．下面，我们给予逻辑证明．例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．Array求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt △AOP ≌Rt △BOP ∴PA=PB ，∠OPA=∠OPB因此，我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．（同刚才画的图）设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，如图所示，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，•因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•那么就可解决． 解：连结AO 、BO 、CO∵⊙O 是△ABC 的内切圆且D 、E 、F 是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2∴AB=4，BC=5，AC=3又∵S △ABC =6∴12（4+5+3）r=6 ∴r=1答：所求的内切圆的半径为1． 三、巩固练习 教材P98 练习．五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：1．圆的切线长概念； 2．切线长定理3．三角形的内切圆及内心的概念．l AC第五课时：直线和圆的位置关系（4） 内容：直线和圆的位置关系复习要点梳理一、 直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。
《直线与圆的位置关系》第二课时教学设计
24.2.2直线与圆的位置关系（第二课时）一、教与学目标1、探索切线的性质与判定。
2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力。
二、教与学重点和难点重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质。
难点：直线与圆相切的判定与性质的应用。
三、教与学方法自主探究，合作交流四、教与学过程（一）复习回顾1.直线与圆的位置关系包括：、、。
2.直线与圆的位置关系的区别方法包括种：（a）根据________________的个数来判断；（b）根据_______ __的关系来判断。
若d r,则直线与圆相交；若d r,则直线与圆相切；若d r,则直线与圆相离。
下面，我们重点研究直线和圆相切的情况，观看课件问题导入。
（二）探究新知探究一探索直线与圆相切的另一种判定方法1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3、学以致用[例1]已知直线AB经过⊙O上的一点C，并且OA=OB，CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线。
思路分析：如图，由于直线AB经过⊙O上一点C，所以连结OC，只要证明OC⊥AB即可.证明：连结OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC是等腰△OAB底边，AB上的中线.∴AB⊥OC又∵点C在⊙O上，∴AB是⊙O的切线.[例2]已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
思考：例1与例2的证法有何不同?探究二探索直线与圆相切的性质1、如图，直线ｌ与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线ｌ与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？一定垂直。
人教版九年级上册数学第24章 圆 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离
12．已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心， 2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.
(1)如图①，当x取何值时，⊙O与AM相切？
解：如图①，过O点作OF⊥AM于点F， 当OF＝r＝2时，⊙O与AM相切，此时 OA＝4，故AD＝2.即当x＝2时，⊙O与 AM相切．
(2)如图 ② ，当x取何 值时 ， ⊙O与AM相交 于 B，C两 点，且 ∠BOC＝90°？
A．相交B．相切 C．相交或相切D．相离
2．下列命题： ①如果一条直线与圆没有公共点，那么这条直线与圆相离； ②如果一条射线与圆没有公共点，那么这条射线所在的直线与
圆相离； ③如果一条线段与圆没有公共点，那么这条线段所在的直线与
圆相离． 其中为真命题的有( ) A．①B．②C．③D．①②③
A
3．【2018·湘西州】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线 l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为( ) B
【答案】B
9．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC， B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则 此圆的圆心P的坐标为________________．
【点拨】本题易因考虑圆与哪三条边相切不周而致错． 【答案】(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)
10．【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°. (1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心， PA长为半径作⊙P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹， 不写作法)
(1)求证：∠A＝∠DOB.
︵
证明：如图，连接 OC，∵D 为 BC 的中点， ∴C︵D＝B︵D，∴∠BOD＝12∠BOC， ∵∠BAC＝12∠BOC，∴∠A＝∠DOB.
直线与圆的位置关系(第2课时) 教案 说课稿 课件 教学反思
24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时）【教学任务分析】
【教学环节安排】
【当堂达标自测题】
一、填空题
1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．
2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．
3．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是二、选择题
4．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
6．下列直线是圆的切线的是（）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线
三、解答题
7.如图24.2.2.2-7，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．
图24.2.2.2-7
8．如图24.2.2.2-8，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
图24.2.2.2-8。
九年级.数学 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系
100°
B
CE
F
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求
证明)．
【解】 锐角三角形(和直角三角形)的最小覆盖圆是其外接圆；钝角(dùnjiǎo)三角形
的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
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第十三页，共十四页。
内容(nèiróng)总结
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。(1)平面 内的点和圆有三种位置关系：①点在__________。(2)设⊙O半径为r，点P到O的距离OP＝d，
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知识点二：三角形的外接圆
例2 小明家的房前有一块矩形(jǔxíng)的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建 一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)．
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆的半径(bànjìng)
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．
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知识点三：反证法
例3 在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证(qiúzhèng)：AD与 BE不能被点H互相平分．
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求证：在一个三角形中，如果(rúguǒ)两个角不等，(
A．点M在⊙O上
)
A B．点M在⊙O内
C．点M在⊙O外 D．点M在⊙O右上方
*4.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设(
)
A．∠A＝60° B．∠A＜60°
C．∠A≠6D0°
D．∠A≤60°
人教版初中数学九上第二十四章 圆 24.2.2 第2课时 切线的判定与性质
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
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综合运用
6．如图，直线 l 为☉O 的切线，A 为切点，B 为直线 l 上一点，连接 OB，交
☉O 于点 C．若 AB＝12，OA＝5，则 BC 的长为
（ D ）
A．5
B．6
∴∠OBC＝∠DBC．
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD．
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD．
∵点C在☉O上，∴CD为☉O的切线．
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知识点二 切线的性质
5．（2021·长春）如图，AB 是☉O 的直径，BC 是☉O 的切线．若∠BAC＝
∵BC∥DE，∴∠E＝∠ACB＝45°．
由（1）知OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，
∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝5．
在Rt△ODE中，OD2＋DE2＝OE2，
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14．如图，以 Rt△ ABC 的边 AC 为直径作☉O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并
点”，其他条件不变，则∠ACB 的度数为
55°或125°
．
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13．（2021·郴州）如图，△ ABC 是☉O 的内接三角形，AC 是☉O 的直径，D
第二十四章 第2节 点,直线,圆和圆的位置关系(二)
解：连结OC，则OA＝OC.
所以∠OCA＝∠A＝30°，
∠COB＝∠A＋∠OCA＝60°.
因为CA＝CD，所以∠A＝∠D＝30°.
解：（1）5（2）D
评析：（1）本题在考查直线与圆的位置关系的同时，也考查了图形平移的特征.（2）本题考查了利用直线与圆的公共点的个数来判断直线与圆的位置关系，从而得出d与r的关系.
例2.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，分别交BC于E，交AD于F.问以点B为圆心，长为半径的圆与直线AC、EF、CD的位置关系分别是什么？
例5.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.试说明：（1）∠APB＝2∠ABC；（2）AC∥OP.
分析：此图是基本图形结构，图形中隐含着丰富的“内容”.要说明∠APB＝2∠ABC，也即是∠ABC＝∠APB，由PA、PB为⊙O的切线知，∠BPO＝∠APB.所以问题转化为研究∠ABC＝∠BPO.由BC是⊙O的直径，得AB⊥AC.只要OP⊥AB，就有AC∥OP.
（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
3.切线长定理
（1）定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
4.三角形的内切圆
与三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
人教版九年级数学上册《点和圆、直线和圆的位置关系(第2课时)》示范教学课件
练习 请作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些
外接圆的圆心在什么位置？
外心在三角形的内部 外心是斜边的中点 外心在三角形的外部
归纳 （1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是
斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．因此可由外心的 位置判断三角形的形状．
（2）三角形外心到三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径．
因此，经过一个点 A 作圆，只
要以点 A 以外任意一点为圆心，以
这一点与点 A 的距离为半径就可以
A
作出，这样的圆有_无__数__个．
经过两个已知点 A，B 能不能作圆？如果能，圆心分布有什么 特点？
经过两点 A，B 作圆，因为圆心到 A， B 的距离__相__等____，所以圆心应在线段 AB 的__垂__直__平__分__线__上．
探究 过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说
过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
分析：要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三 点的圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上， 否则不在圆上．
探究 过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？
O
O
O
探究 分别测量上面各四边形的内角，你发现四边形的哪些元素决
定了过它的四个顶点可以作一个圆？能再找几个四边形验证吗？
过对角互补的四边形的四个顶点可以作一个圆．
不在同一条直线上的 三个点确定一个圆
确定圆的条件
三角形的外接圆
线段 AB 的垂直平分线上有_无__数_____个
A
B
点，所以这样的圆心有__无__数____个，这样的
圆也可以作出___无__数___个．
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九年级
上册
直线和圆的 位置关系
考点
直线和圆的 位置关系 图 形 相 交 O 相 O d 切 相 离 O l
公共点个数 公共点名称
直线名称
r l A B 2个
d
r
A 1个
d
r l
没有 －
－
交点 割线
切点 切线
距离 d 与半 径 r 的关系
d＜r
d=r
d＞r
课堂小结
1．直线和圆的位置关系有三种：相离、相切和相 交．