高一数学第二学期测试卷
陕西省子洲中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
陕西省子洲中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知在三角形ABC 中，2AB BC AC ===，、、A B C 点都在同一个球面上，此球面球心O 到平面ABC 的距离为263，点E 是线段OB 的中点，则点O 到平面AEC 的距离是（ ） A ．33B ．63C ．12D ．12．在ABC △中，3AB =，1AC =，π6B =，则ABC △的面积是（ ）． A ．32B ．34C ．32或34 D ．32或3 3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A ．310B ．15C ．110D ．1204．已知{}n a 为递增等比数列47565,6a a a a +==，则110a a +=（） A ．152B ．5C ．6D ．3565．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11A D ，1A A 的中点，则异面直线EF 和1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．6 B 3 C 2D 67．在ABC 中，12AN AC =，点P 是直线BN 上一点，若AP mAB AC =+，则实数m 的值是（ ） A ．2B ．1-C ．14-D ．548．函数ln xy x=的图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ．9．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．4B ．5C 26D ．3210．函数()cos 2f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ） A ．奇函数 B ．非奇非偶函数C ．偶函数D ．既是奇函数又是偶函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题含解析
2024届四川绵阳中学高一数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113a =，312S S =，则8a 的值为（ ） A ．137-B ．0C ．137D ．1822．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为 ( )． A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －6＝03．如图，AB 是圆O 的直径，点C D 、是半圆弧的两个三等分点，AC a =，AD b =，则AO =（ ）A ．b a -B ．12a b - C ．12a b -D ．22b a -4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．tan15tan75︒+︒=（ ） A ．4B ．23C ．1D ．26．已知函数2,01,()1,1.x x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．直线210mx y --=与直线2310x y 垂直，则m 的值为（ ） A ． 3B ．34-C ．2D ．3-8．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1 C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切9．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角为3π，则此圆锥的侧面积为（ ）A ．23πB ．2πC ．3πD ．π10．某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据： 2 4 5 6 830405070根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程为，则的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．70二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市松江二中2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试卷【含答案】
松江二中2023学年第二学期期末考试高一数学考生注意：1.试卷满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括三部分，第一部分为填空题，第二部分为选择题，第三部分为解答题.3.答题前，务必在答题纸上填写考号、姓名、班级.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．已知两条相交直线a ，b ，且a//平面α，则b 与α的位置关系是.2．复数z 满足()3i 5i z -=（i 为虚数单位），则z =.3．设平面向量()sin ,1a θ= ，(cos b θ= ，若a ，b不能组成平面上的一个基底，则tan θ=．4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的斜二测直观图，若3O A ''=，4OB '=，则OAB 的面积为.5．若正数x ，y 满足24xy y +=，则x y的最大值为.6．已知10π,sin cos 2ααα<<+=，则cos sin αα-的值为．7．如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面米处观看?（精确到0.1米）.8．空间给定不共面的A 、B 、C 、D 四个点，如果这四个点到平面α的距离都相等，那么这样的平面α的个数是.9．已知二面角l αβ--的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到β的距3Q 到α3PQ 两点之间的距离为.10．设定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x =+，且当[)1,0x ∈-时，()()1f x x x =-+.若对任意[),x λ∈+∞，不等式()34f x ≤恒成立，则实数λ的最小值是.11．关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是.12．已知单位向量,a b 夹角为锐角，对t R ∈，a t b -⋅ 的取值范围是3[)2+∞，若向量c 满足(2)()0c a c b -⋅-=，则c r 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13．在下列判断两个平面α与β平行的四个命题中，其中假命题的是（）A ．α，β都垂直于直线l ，那么αβ∥B ．α，β都平行于平面γ，那么αβ∥C ．α，β都垂直于平面γ，那么αβ∥D ．如果l ，m 是两条异面直线，且l α∥，m α ，l β ，m β ，那么αβ∥14．已知a ,b 是平面内两个非零向量，那么“a ∥b”是“存在0λ≠，使得a b a b λλ+=+ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件15．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 上一点，若平面1MBD 与棱1CC 交于点N ，则下列说法中正确的是（）A ．存在平面1MBND 与直线1BB 垂直B ．四边形1MBND 可能是正方形C ．不存在平面1MBND 与直线11A C 平行D ．任意平面1MBND 与平面1ACB 垂直16．已知函数()()5sin 2θf x x =-，πθ0,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，[]0,5πx ∈，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N 若12321832222π2n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++=，则θ=（）A ．π9B ．π6C ．π4D ．π12三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点.（1）求异面直线AE 与1BC 所成的角的大小；（2）求直线AC 与平面11ABC D 所成的角的大小.18．已知向量()()()()()3,1,1,1,,4,,,,OA OB OC m OD x y m x y =-=-==∈R．(1)若,,A B C 三点共线，求m 的值；(2)若四边形ABCD 为矩形，求2x y +的值．19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,tan tana b c b A b B +=(1)求角B ；(2)茬D 是边AC 上的点，且33,AD DC A ABD ∠∠θ====，求sin θ的值.20．如图，已知四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥.(1)求证：AC CD ⊥；(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（(),a b 和(),b a 视为同一组），则它们互相垂直的组数记为1a ；任取两个面作为一组（(),αβ和(),βα视为同一组），则它们互相垂直的组数记为2a ；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（(),a α和(),a α视为同一组），则它们互相垂直的组数记为3a ，试求123a a a ++的值；(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中，1CD =，1AB BC ==，有一根彩带经过平面ABC 与平面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D 处，求彩带的最小长度.21．对于分别定义在1D ，2D 上的函数()f x ，()g x 以及实数k ，若存在11x D ∈，22x D ∈使得()()12f x g x k -=，则称函数()f x 与()g x 具有关系()M k .(1)若()cos f x x =，[]0,πx ∈；()sin g x x =，[]0,πx ∈，判断()f x 与()g x 是否具有关系()2M -，并说明理由；(2)若()2sin f x x =与()22cos sin 1g x x x =+-具有关系()M k ，求k 的取值范围；(3)已知0a >，()h x 为定义在R 上的奇函数，且满足：①在[]0,2a 上，当且仅当2ax =时，()h x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()h a x h a x +=--.判断()()sin 2πf x x h x =+与()()cos 2πg x h x x =-是否具有关系()4M ，并说明理由.1．b//平面α或b 与平面α相交【分析】画出图形不难看出直线b 与平面α的位置关系，平行或相交.【详解】由题意画出图形，当,a b 所在平面与平面α平行时，b 与平面α平行，当,a b 所在平面与平面α相交时，b 与平面α相交.故答案为:b//平面a 或b 与平面α相交.【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.2．102【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可.【详解】因为复数z 满足()3i 5i z -=，所以()()()5i 3i 5i 515i 13i 3i 3i 3i 1022z +-+====-+--+，所以2z =，故答案为：1023．3【分析】利用基底的定义可得//a b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】由a ，b不能组成平面上的一个基底，得//a b ，而()sin ,1a θ= ，(cos b θ= ，cos θθ=，所以sin tan cos 3θθθ==.4．12【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长度，即可得出答案.【详解】如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的AOB 为直角三角形，且两条直角边4OB O B ''==，26OA O A ''==，所以，OAB 的面积为1S 46122=⨯⨯=.故答案为：12.5．2【分析】根据24xy y +=得出240x y =->，得出102y <<，242x y y y -=，根据y 的范围求出x y的范围即可.【详解】24xy y +=，24x y ∴+=，240x y =->，所以12y >，即102y <<，222421212211x y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-==--=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据二次函数的性质可知1y =时，上式取得最大值2.故答案为：2.6．72【分析】根据同角关系中的平方关系进行解答，注意2sin cos 0αα<涉及的函数值正负与角终边所在象限联系，结合0πα<<，进一步缩小角的范围，进而在开方运算时得出正确的符号.【详解】由已知得()21sin cos 4αα+=，即32sin cos 4αα=-，∴()2cos sin 12sin cos αααα-=-74=，由2sin cos 0αα<，且0πα<<，∴π2απ<<，∴cos sin 0αα-<，∴7cos sin αα-=故答案为：77．3.2【分析】作CD AB ⊥于D ，设CD t =，根据两角差的正切公式，结合不等式求tan ACB ∠的最大值，并确定对应的t 即可.【详解】如图：作CD AB ⊥于D ，设()0CD t t =>，则5tan ACD t∠=，2tan BCD t ∠=.所以()tan tan ACB ACD BCD ∠=∠-∠tan tan 1tan tan ACD BCD ACD BCD ∠-∠=+∠⋅∠52521t t t t -=+⋅2310t t =+310t t=+≤=t “=”）3.16≈，故 3.2t ≈（米），故答案为：3.28．7【分析】分平面α的两边分别有1个点，3个点和两边各有2个点讨论即可.【详解】因为,,,A B C D 四点不共面，所以,,,A B C D 可以看作是四面体的顶点，取四面体ABCD 各棱的中点为,,,,,E F G H M N .如图：当,,,A B C D 四个点在平面α的一侧有1个点，另一侧有3个点，且它们到平面α的距离相等，这样的平面有平面EFN ，平面EMH ，平面FMG ，平面NGH ，共4个；当,,,A B C D 四个点分别在平面α的两侧各有两个点，且它们到平面α的距离相等，这样的平面有平面EMGN ，平面EHGF ，平面MFNH ，共3个.所以满足条件的平面α共7个.故答案为：79【分析】作PD l ⊥于D ，连接QD ，则l ⊥平面PQD ，所以PDQ ∠即为二面角l αβ--的平面角，作PM β⊥于M ，则M 在QD 上，作QN α⊥于N ，则N 在PD 上，在PQD △内求PQ 即可.【详解】如图：作PD l ⊥于D ，连接QD ，又因为PQ l ⊥，,PQ PD ⊂平面PQD ，PQ PD P ⋂=，所以l ⊥平面PQD .所以PDQ ∠即为二面角l αβ--的平面角，故60PDQ ∠=︒.作PM β⊥于M ，则M 在QD 上，作QN α⊥于N ，则N 在PD 上.在R t PMD 中，PM =PM QD ⊥，60PDQ ∠=︒，所以2PD =；在R t QND 中，2QN =，QN PD ⊥，60PDQ ∠=︒，所以1QD =.由余弦定理：2222cos 60PQ DQ DP DP DQ =+-⋅⋅︒11421232=+-⨯⨯⨯=，所以PQ =.10．94-## 2.25-【分析】由题意，根据给定的函数解析式，结合等式关系，拓展其他区间的函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案.【详解】()()21f x f x =+ ，且当[)1,0x ∈-时，()()2111324144f x x x x ⎛⎫=-++≤≤ ⎪⎝⎭=-+恒成立，∴()()()1112f x f x f x =-≤-，易知当0x >时，则()1324f x f ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭恒成立，当[)2,1x ∈--，即[)11,0x +∈-时，()()()()2311321*********f x f x x x x ⎛⎫=+=-+++=-++≤≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭恒成立，当[)3,2x ∈--，即[)21,0x +∈-时，()()()()()25214242214112f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=-+++=-++≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，不满足()34f x ≤恒成立，解不等式2534124x ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭，251216x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，在[)3,2x ∈--上的解集为1193,,244⎡⎤⎡⎫----⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ，综上所述，当9,4x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，()34f x ≤恒成立，∴实数λ的最小值为94-.故答案为：94-.11．(01){1}⋃-，【分析】解出方程2450x x -+=，可得其对应的点,A B ，对于方程220x mx m ++=，讨论其∆，进一步分析计算即可.【详解】因为2450x x -+=的解为2i x ==±，设所对应的两点分别为,A B ，则(2),1A ，(21,)B -，设220x mx m ++=的解所对应的两点分别为C ，D ，记为(1C x ,12)(y D x ，,2)y ，当Δ0<，即01m <<时，因为,A B 关于x 轴对称，且C ，D ，关于x 轴对称，显然四点共圆；当0∆>，即1m >或0m <时，此时(1C x ,20),(D x ,0)，且122x x m +=-，故此圆的圆心为(,0)m -，半径12||2x x r -==又圆心1O 到A 的距离1O A r ==，解得1m =-，综上：()0,1{1}m ∈⋃-,故答案为：()0,1{1}⋃-.12．2【分析】根据a t b -⋅ 的最小值可求出,a b 的夹角为60θ=︒，然后根据已知设(1,0)a = ，1(2b = ，(,)c x y = ，条件(2)()0c a c b -⋅-= 可转化为点(,)C x y 在一个圆上，而结论就是求这个圆的点到原点距离的最小值．【详解】向量,a b 夹角为θ，由题意2a tb - 的取值范围是3[,)4+∞，因为a t b -⋅≥ 222324a ta b t b -⋅+≥ ，即2312cos 4t t θ+-≥，得212cos 04t t θ-+≥，因为212cos 4t t θ-+的最小值为0，所以24cos 10θ∆=-=，解得1cos 2θ=±，因为θ为锐角，所以1cos 2θ=，所以60θ=︒，不妨设(1,0)a = ，13(,)22b = ，(,)c x y = ，1313(2)()(2,)(,)(2)()()02222c a c b x y x y x x y y -⋅-=-⋅--=--+-= ，整理得2253()()444x y -+=，因此点(,)C x y 在以5(4M它到原点距离的最小值为OM ．即c r的最小值为732．故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的应用，它把向量的数量积与平面上点与圆的位置关系联系在一起，是一道难题．解题的关键是首先对已知条件进行转化，如条件对t R ∈，a t b -⋅ 的取值范围是[,)2+∞，可转化为1cos 2θ=，这样向量,a b 的关系就确定了，下面为了已知(2)()0c a c b -⋅-=的明确化，设出向量坐标，从而由已知条件可得c 的坐标的关系，进而可求得答案，考查数学转化思想13．C【分析】根据线面垂直的性质判断A ；根据面面平行的概念判断B ；根据特例判断C ；根据线面平行，判断面面平行判断D.【详解】根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可知A 正确；根据平行于同一个平面的两个平面互相平行，可知B 正确；根据墙角模型可知，垂直于同一个平面的两个平面未必平行，故C 错误；作l l '∥，且,l m '相交，则,l m '可确定平面γ，因为l l αα⇒' ，m α ，所以γα∥，同理γβ∥，故αβ∥，故D 正确.故选：C 14．C【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.【详解】若a ∥b ，则则存在唯一的实数μ≠0，使得a b μ=，故a b b b b λμλμλ+=+=+，而()a b b b b λμλλμ+=+=+ ，存在λ使得λμλμ+=+成立，所以“a ∥b”是“存在0λ≠，使得a b a b λλ+=+ ”的充分条件，若0λ≠且a b a b λλ+=+ ，则a 与b λ 方向相同,故此时a ∥b，所以“a ∥b”是“存在0λ≠，使得”a b a b λλ+=+ 的必要条件，故a ∥b”是“存在0λ≠，使得|”a b a b λλ+=+ 的充分必要条件，故选:C 15．D【分析】根据正方体的性质判断A ，根据面面平行的性质得到四边形1MBND 是平行四边形，再由11A D BM ⊥，即可判断B ，当M 为1AA 的中点时N 为1CC 的中点，即可判断C ，建立空间直角坐标系，利用向量法说明D.【详解】对于A ：在正方体1111ABCD A B C D -中1BB ⊥平面1111D C B A ，显然平面1MBND 与平面1111D C B A 不平行，故直线1BB 不可能垂直平面1MBND ，故A 错误；对于B ：在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 上一点，平面1MBD 与棱1CC 交于点N ，由平面11//BCC B 平面11ADD A ，并且1,,,B M N D 四点共面，平面11BCC B 平面1BND M BN =，平面11ADD A 平面11BND M MD =，∴1//MD BN ，同理可证1//ND MB ，故四边形1MBND 是平行四边形，在正方体1111ABCD A B C D -中，由几何知识得，11A D ⊥平面11ABB A ，∵BM ⊂平面11ABB A ，∴11A D BM ⊥，若1MBND 是正方形，有1MD BM ⊥，此时M 与1A 重合时，但显然四边形11A BCD 不是正方形，故B 错误；对于C ：当M 为1AA 的中点时，N 为1CC 的中点，所以11//A M C N 且11=A M C N ，所以11A MNC 为平行四边形，所以11//A C NM ，11A C ⊄平面1MBND ，MN ⊂平面1MBND ，所以11//A C 平面1MBND ，故C 错误；对于D ：设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，由几何知识得，()()()()()112,0,0,2,2,0,0,2,0,2,2,2,0,0,2A B C B D ,∴()()()112,2,2,2,2,0,0,2,2D B AC AB =-=-=,∵1110D B AC D B AB ⋅=⋅=，∴111,D B AC D B AB ⊥⊥，∵1AC AB A ⋂=，AC ⊂平面1ACB ，1AB ⊂平面1ACB ，∴1D B ⊥平面1ACB ，∵1D B ⊂平面1MBND ，∴任意平面1MBND 与平面1ACB 垂直，故D 正确.故选：D 16．A【分析】先明确函数在[]0,5π上对称轴的条数，再根据1239,,,,x x x x L 的对称性，和1238983π2222x x x x x +++++=，可求θ的值.【详解】由π2θπ2x k -=+⇒ππθ,Z 422k x k =++∈，为函数()f x 的对称轴.又函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，且πθ0,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，[]0,5πx ∈，所以当0k =时，可得函数()f x 的第一条对称轴为πθ42x =+，当9k =时，π9πθ19πθ5π42242x =++=+≤.所以函数()f x 在[]0,5π有9条对称轴.根据正弦函数的图象和性质可知，函数()()5sin 2θf x x =-与3y =的交点有9个，其横坐标分别为：1239,,,,x x x x L ，且1239x x x x <<<< ，且12,x x 关于πθ42x =+对称，所以12x x +=πθ242⎛⎫+ ⎪⎝⎭；23,x x 关于3πθ42x =+对称，所以23+=x x 3πθ242⎛⎫+ ⎪⎝⎭；……89,x x 关于17πθ42x =+对称，所以89x x +=17πθ242⎛⎫+⎪⎝⎭.所以12389222x x x x x +++++ 81π9θ2=+83π2=⇒πθ9=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点就是方程()3f x =的根与对称轴的对称关系，利用对称关系和对称轴方程，表示出12389222x x x x x +++++ 即可求解.17．（1）4π（2）6π【分析】（1）由11//AD BC 得出1,AE BC 所成的角为1D AE ∠，利用余弦定理得出异面直线AE 与1BC 所成的角；（2）先证明1B C ⊥平面11ABC D ，从而得出CAO ∠为直线AC 与平面11ABC D 所成的角，再由直角三角形边角关系得出所求角.【详解】（1）11//AD BC ，1,AE BC ∴所成的角为1D AE∠连接1D E ，设2AB =，则2212222AD =+=，2221223AE =++=221215D E =+=，18952cos 22223D AE +-∠==⨯⨯ 异面直线夹角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，14D AE π∴∠=即异面直线AE 与1BC 所成的角为4π（2）连接1B C 交1BC 于点O ，连接AO四边形11BCC B 为正方形，11BC B C∴⊥又AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥1AB BC B =Q I 1B C ∴⊥平面11ABC D 即CAO ∠为直线AC 与平面11ABC D 所成的角设2AB =，则222222222,1216AC AO =+==++=63cos 222CAO ∴∠==又直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，6CAO π∴∠=即直线AC 与平面11ABC D 所成的角为6π18．(1)9m =-(2)25x y +=【分析】（1）由()()()3,1,1,1,,4OA OB OC m =-=-=，由,,A B C 三点共线，可得9m =-.（2）由()()()()4,2,,41,11,5,AB BC OC OB m m =-=-=--=-，()()(),,4,4CD OD OC x y m x m y =-=-=-- ，若四边形ABCD 为矩形，求解1,62x y =-=．即可得到结果.【详解】（1）因为()()()3,1,1,1,,4OA OB OC m =-=-=，所以()()()1,13,14,2AB OB OA =-=---=- ，()()(),43,13,3AC OC OA m m =-=--=+．又,,A B C 三点共线，所以ABAC ，所以()()43230m ⨯--+=，解得9m =-．（2）由()()()()4,2,,41,11,5,AB BC OC OB m m =-=-=--=-()()(),,4,4CD OD OC x y m x m y =-=-=--，若四边形ABCD 为矩形，则AB BC ⊥．即()41100AB BC m ⋅=--= ，解得72m =．由AB CD =- ，得74,242,x m x y ⎧-=-=-⎪⎨⎪-=⎩解得1,62x y =-=．所以25x y +=．19．(1)π6B =；【分析】（1）把给定等式切化弦，利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解作答.（2）根据给定条件，求出BD ，在ABC 和BDC 中分别利用正弦定理、余弦定理列式，求解作答.【详解】（1）在ABC中，由tan tan b A b B +=sin sin cos cos A B A B +=，由正弦定理得：sin()cos cos A B A B +=，而sin()sin(π)sin A B C C +=-=，即有sin cos cos C A B =，又()0,πC ∈，即sin 0C ≠，cos B B =，有tan B =，又(0,π)B ∈，所以π6B =.（2）因为D 是AC 边上的点，且33,AD DC A ABD ∠∠θ====，于是2,3,1,4BDC AD BD DC AC ∠θ=====，如图，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC ACABCθ∠=，即4sin 8sin πsin 6BC θθ==，在BDC 中，由余弦定理得：2222cos2106cos2BC BD CD BD CD θθ=+-⋅=-，则有2264sin 106(12sin )θθ=--，整理得252sin 4θ=，解得：21sin 13θ=，而π(0,)2θ∈，所以13sin 13θ=.20．(1)证明见解析(2)1022+【分析】（1）由线面垂直得到AB CD ⊥，结合BC CD ⊥得到线面垂直，进而证明出线线垂直；（2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可；（3）将平面ABC 与平面ACD 沿AC 展开成平面图形，则BD 即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可.【详解】（1）因为AB ⊥平面BCD ，,,BC BD CD ⊂平面BCD ，则,,AB BC AB BD AB CD ⊥⊥⊥，又BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以AC CD ⊥.（2）由（1）可知：,,AB BC AB BD AB CD ⊥⊥⊥，AC CD ⊥，且CD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则CD BC ⊥，且其余各棱均不垂直，可得15a =；由AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ，同理：由CD ⊥平面ABC 可得：平面ACD ⊥平面ABC ，且其余各面均不垂直，可得23a =；由AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且其余各线面均不垂直，可得32a =；综上所述：12310a a a ++=.（3）将平面ABC 与平面ACD 沿AC 展开成如图2所示的平面图形，连接BD ，所以彩带的最小长度为图2平面图中BD 的长，.由（1）知=90ACD ∠︒，在图1中，因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，又因为1AB BC CD ===，所以45ACB ∠=︒，故在图2中，135BCD ∠=︒，所以在图2中，在BCD △中，由余弦定理得BD ===21．(1)()f x 与()g x 具有关系()2M -，理由见解析(2)25,48k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；(3)不具有关系()4M ，理由见解析【分析】（1）根据三角函数的性质可得()ππ22f g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合新定义即可下结论；（2）根据三角函数与二次函数的性质可得()[]2,2f x ∈-、()92,8g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()()1225,48f x g x ⎡⎤-∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦，结合新定义即可求解；（3）根据函数的对称性和周期性求出()h x 、sin 2πx 、cos 2πx 的值域.当()11h x =、1sin 2π1x =时，有()()111sin 2π2f x x h x =+=；当()21h x =-、2cos 2π1x =时，有()()222cos 2π2g x h x x =-=-，进而()()1122sin 2πcos 2π4x h x x h x ++-<，结合新定义即可下结论.【详解】（1）()f x 与()g x 具有关系()2M -，理由如下：当[]0,πx ∈时，()[]cos 1,1f x x =∈-，()[]sin 0,1g x x =∈，当1πx =，()()π1f x f ==-，当2π2x =时，()π12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时()ππ22f g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()f x 与()g x 具有关系()2M -；（2）()[]2sin 2,2f x x =∈-，()222192cos sin 1cos 2sin 12sin sin 2sin 48g x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,1x ∈-，则当sin 1x =-时，21921248⎛⎫---+=- ⎪⎝⎭，则()92,8g x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以()()1225,48f x g x ⎡⎤-∈-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦，则25,48k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）不具有()4M 关系，理由如下：因为在[]0,2a 上，当且仅当2ax =时，()h x 取得最大值1；又()f x 为定义在R 上的奇函数，故在[]2,0a -上，当且仅当2ax =-时，()f x 取得最小值-1，由对任意x ∈R ，有()()0h a x h a x ++-=，所以()y f x =关于点(),0a 对称，又()()()h a x h a x h x a +-==--，所以()h x 的周期为2a ，故()h x 的值域为[]1,1-，[]sin 2π1,1x ∈-，[]cos 2π1,1x ∈-，当()11h x =时，122a x n =+，Z n ∈；1sin 2π1x =时，114x k =+，Z k ∈，若1224a na k +=+，则4182k a n +=+，,Z k n ∈，此时有()()111sin 2π2f x x h x =+=；当()21h x =-时，222a x ma =-+，m ∈Z ；2cos 2π1x =时，2x t =，Z t ∈，若22a ma t -+=，则241t a m =-，,Z t m ∈时，有()()222cos 2π2g x h x x =-=-；由于4128241k t a n m +=≠+-，所以()()1122sin 2πcos 2π4x h x x h x ++-<，故不存在1R x ∈，2R x ∈，使得()()1222sin 2πcos 2π4x f x x f x ++-=，所以()()sin 2πf x x h x =+与()()cos 2πg x h x x =-不具有关系()4M .【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的图象与性质.。
2023-2024高一第二学期期末数学质量检测试题参考答案与评分细则
2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
天津市实验中学2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析
天津市实验中学2024届高一数学第二学期期末检测模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（） A ．31B ．32C ．632D ．6522．已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,cos )b α=-，,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且a b ⊥，则sin 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．223D ．223-3．函数y=tan （π4–2x ）的定义域是( ) A ．{x|x≠π2k +3π8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+3π4，k ∈Z} C ．{x|x≠π2k +π4，k ∈Z}D ．{x|x≠kπ+π4，k ∈Z}4．已知向量(1,1)a =，6=b ，且a 与b 的夹角为56π，则a b +=（ ） A ．2B ．2C ．14D ．145．已知函数1,0(),0x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，若方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，则m 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．(0,1)(1,)⋃+∞C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．如图，正方形的边长为，以为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是： A ．3B 3 C 6D 68．已知向量满足：2=a ，3b =，4a b -=，则a b +=（ ） A 6B 7C 11D 109．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．恰有1个黑球与恰有2个黑球 B ．至少有一个红球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有1个红球D ．至少有一个黑球与都是黑球10．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ）A ．13B ．3-C ．3D ．13-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学第二学期第一次月考试卷
一数学第二学期第一次月考试卷一、选择题：1．若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列 ( )(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列2．等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32，则a 6+a 7= ( )（A ）9 （B ）12 （C ）15 （D ）163．在数列{a n }中，21=a ，1221+=+n n a a ，则101a 的值为 （ ） （A ）49 （B ）50 （C ）51 (D)524．已知△ABC 三边满足ab c b a c b a =-+⋅++)()(，则角C 的度数为（ ）（A ）60o （B ）90o （C ）120o (D) 150o5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=3π ,3=a ，1=b ,则=c （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）13- （D ）3 6． 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）27．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是 （ ）（A ）5 （B ）10 （C ）20 （D ）2或48．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )(A) (B) (C)(D) 9．数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前99项和为 （ ） （A ）1002101- （B ） 992101-（C ）100299- （D ） 99299-10．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题：11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4= ．12． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知A=6π ,334=a ，4=b ,则角B= ． 13．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB= ．14．在钝角△ABC 中，已知1=a ，2=b ，则最大边c 的取值范围是 ．15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为 ．16．等比数列的前ｎ项的和13+⋅=n n k S ，则ｋ的值为__________．17．在数列{a n }中，若11=a ，)1(321≥+=+n a a n n ，则此数列的通项公式为 ．ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ ｏ 1 1 ｘ ｙ。
上海宝山世外学校高中国内部2023-2024学年高一年级第二学期数学学科期中考试试卷答案
上海宝山世外学校高中国内部2023/2024学年第二学期期中考试 高一数学 试卷(考试时间: 120分钟 满分: 150分)班级 学号 姓名一. 填空题(本大题共有12题, 满分54分, 第1~6题每题4分, 第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 已知角α的终边经过点P(-3,4), 则cosα= .【答案】−35.2、复数 11−i的共轭复数的模是 .【答案】223、在复数范围内，方程.x²-2x+2=0的解为 .【答案】 1+3或 1−i.4.在△ABC 中, AB =c ,AC =b , 若点D 满足 BD =2DC ,则 AD =¯.【答案】23b +1c 5.已知 sin (π2+2α)=−13,则cos(π+2α)= 【答案】−136 关于x 的实系数一元二次方程. x²+kx +3=0有两个虚根x ₁和x ₂，若 |x 1−x 2|=22,则实数k= .【答案】 k =2或 k =−2.7.已知向量ā在向量b 方向上的投影向量为-2b ，且 |b |=3,则 a ⋅b =¯..(结果用数值表示)【答案】 −18.8 已知点A 的坐标为( (43,1),，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π/3至OB ，则点B 的坐标为【答案】1329.正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分【答案】 2710.如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点, 现测得AB=5km, AD=7km, ∠ABD=60°,∠CBD=23°,∠BCD=117°，据以上条件可求得两景点B与C之间的距离为 km(精确到0.1km).【答案】5.811.在△ABC中, a=2, b=3, 若该三角形为钝角三角形, 则边C的取值范围是 .【答案】(1,5)∪(13,5).12 将函数f(x)=4cos(π2x)和直线g(x)=x-1的所有交点从左到右依次记为.A₁,A₂,……,Aₙ,若P的坐标为(0,5),则|PA1+PA2+⋯+PAn|的值为 .【答案】30二、选择题(本大题共有4题, 满分18分, 第13、14题每题4分, 第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列说法正确的是 ( )A. 四边形一定是平面图形B.不在同一条直线上的三点确定一个平面C.梯形不一定是平面图形D.平面α和平面β一定有交线【答案】B14. 设z₁、z₂为复数, 则.z21+z22=0是z₁=z₂=0的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C15.设函数f(x)=asinx+bcosx,其中a>0,b>0,若f(x)≤f(π4)对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是 ( )Af(π2)>f(π6)в f(x)的图像关于直线x=3π4对称C. f(x)在[π4,5π4]上单调递增D.过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像必有公共点【答案】D16 给定方程: (12)x+sin x−1=0,给出下列4个结论：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若x₀是方程的实数根，则x₀>−1.其中正确结论的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知复数z是纯虚数，(z+2)²−8i是实数.(1) 求z; (2) 若1z1=1z+2−z,求|z1|.【答案】z=2i，2824118. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知平面内给定三个向量a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1).(1) 若a=mb−nc,求实数m，n的值；(2) 若(a−kc)⋅(kb)<6,求实数k的取值范围.【答案】m=59,n=−89, (−2,32)19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c.(1) 若c=2,C=π3,且△ABC的面积.S=3,求a, b的值;(2) 若sinC+sin(B--A)=sin2A, 判断△ABC的形状.【答案】a=b=2,△ABC 为等腰或直角三角形20. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知函数 f (x )=3sin ωx cos ωx +sin 2ωx−12(其中常数ω>0)的最小正周期为π.(1) 求函数y=f(x)的表达式;(2)作出函数y=f(x),x∈[0,π]的大致图像,并指出其单调递减区间;(3) 将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度得到函数y=g(x)的图像,若实数x ₁,x ₂满足. f (x₁)g (x₂)=−1,且 |x₁−x₂||的最小值是 π6,求φ的值.【答案】 y =f (x )=sin (2x−π6)， [π3 , 5π6]，φ=π3或 2π3【解析】(1)∵函数f (x )=3sin ωx cos ωx +sin 2ωx−12=32sin 2ωx +1−2cos 2ωx2−12=sin (2ωx−π6)(其中常数 ω>0)的最小正周期为 2π2ω=π,∴ω=1.函数 y =f (x )=sin (2x−π6).(2)作出函数 y =f (x ),x ∈[0,π]的大致图像:作图：2x-π6-π6π2π3π211π6xπ12π37π125π6πf(x)-12010—1-12作图：结合图像，可得其单调递减区间为[π3,5π6].(3)将y=f(x)=sin(2x−π6)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位长度，得到函数y=g(x)=sin(2x+2−π6)的图像，若实数x₁, x₂满足f(x₁)g(x₂)=−1,则f(x₁)与g(x₂)一个等于1，另一个等于.−1,且|x₁−x₂|的最小值为|T2−φ|=π6,即|122π2−φ|=π6求得φ=π3或2π3.21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)在平面直角坐标系中，我们把函数y=f(x)，x∈D上满足.x∈N°,y∈N*(其中N⁺表示正整数)的点P(x,y)称为函数y=f(x)的“正格点”.(1)写出当m=π2时, 函数f(x)=sin mx, x∈R图像上所有正格点的坐标;(2)若函数f(x)=sinmx, x∈R,m∈(1,2)与函数g(x)=lgx的图像有正格点交点, 求m的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由.(3) 对于 (2) 中的m值和函数f(x)=sinmx, 若当x∈[0,59]时，不等式log a x>22f(x)恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(4k+1,1)(k∈N),4,(2581,1)【解析】(1) 因为 m =π2,一所以 f (x )=sin π2x,所以函数 f (x )=sin π2x 的正格点为(1,1),(5,1), (9,1), ……, (4k+1,1)(k∈N).(2)作出两个函数图像，如图所示：可知函数. f (x )=sinmx,x ∈R,与函数 g (x )=lg x 的图像只有一个“正格点”交点(10,1),所以 2kπ+π2=10m,m =4k +120π, k ∈Z,又 m ∈(1,2),可得 m =9π20,根据图像可知，两个函数图像的所有交点个数为4;(3)由 (2) 知 f (x )=sin 9π20x,x ∈(0,59]所以 9π20x ∈(0,π4],所以f (x )=sin 9π20x ∈(0,22],故22f (x )∈(0,12],当 a >1时，不等式 log a x >22f (x )不能恒成立，当 0<a <1时， 由下图可知log a 59>22sin π4=12,由loga 59>12=logaa,.综上，实数a的取值范围是2581<a<1。
2024届江西师大附中数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析
2024届江西师大附中数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >．若在区间(]0,9上，函数()()()h x f x g x =-有8个不同的零点，则k 的取值范围是（ ）A ．12,34⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13 C ．12D ．233．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若395,81a S ==，则7a =（ ） A ．18B ．13C ．9D ．74．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1185．若(3,4)AB =，A 点的坐标为()2,1--，则B 点的坐标为（ ） A ．()1,3B ．()5,5C ．()1,5D ．()5,46．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A ．4B ．5C ．26D ．327．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知::2:3:4a b c =，则ABC ∆最大角的余弦值是( ) A ．14B ．14- C ．12D ．12-8．已知，，，则 A ．B ．C ．D ．9．已知函数()cos()f x x =+ωϕ在6x π=-时取最大值，在3x π=是取最小值，则以下各式：①(0)0f =；②02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π；③213f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π可能成立的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．ABC 中,7,3,60b c B ===︒，则a =（ ） A ．5B ．6C ．43D ．8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷含答案
北京2023—2024学年度第二学期期中检测高一数学测试卷（答案在最后）班级：______姓名：______注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值为（）A.2- B.2C.12-D.12【答案】A 【解析】【分析】直接由三角函数定义求解即可.【详解】由三角函数定义可知2tan 21y x α-===-.故选：A.2.sin300︒的值为（）A.12B.12-C.32D.【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式二将sin 300︒化简为sin120︒-，计算即可.【详解】由诱导公式二，得sin 300sin(180120)sin1202︒︒︒︒=+=-=-.故选：D.3.在ABC 中，若2a =，b =，30A =︒，则B 等于（）A.30︒B.30︒或150︒C.60︒D.60︒或120︒【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即233sin sin sin 3022b B A a ==⋅︒=，又由a b <，且0180B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A.2- B.1- C.0D.1【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,a b满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B5.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（）A.()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，可得()sin 2(sin(2)63g x x x ππ=-=-.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.6.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tan tan A B =，由此得到A B =，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.已知向量m 和n都是非零向量，则“0m n > ”是“,m n 为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由0m n >及向量夹角范围[]0,π推断充分性，再由数量积定义以及“,m n为锐角”即可推断必要性.【详解】因为0m n > ，向量m 和n都是非零向量，则由·cos ,m n m n m n = 得cos ,0m n >，所以由向量夹角范围为[]0,π，得“,0m n = ”或“,m n为锐角”；反之，若,m n 为锐角，则·cos ,0m n m n m n m n ==>，故“0m n >”是“,m n为锐角”的必要不充分条件.故选：B .8.函数()cos cos 2f x x x =-是A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为98 D.偶函数，且最大值为98【答案】D 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.9.底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得cos 216︒的值是（）A.458+B. C.358+-D.1254-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件求出cos 72︒，再根据二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.【详解】解：如图，ABC 为一个黄金三角形，其中,36AB AC BAC =∠=︒，D 为BC 的中点，根据题意可知12BC AB -=，则112cos 4BCBD B AB AB-===，即1cos 724︒=，又2cos 722cos 361︒=︒-，则212cos 3614-︒-=，解得1cos364+︒=，所以()1cos 216cos 18036cos364︒=︒+︒=-︒=-.故选：B.10.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，2y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分.11.若一个扇形的圆心角为2弧度，半径为2cm ，则这个扇形的弧长是______cm.【答案】4【解析】【分析】由扇形弧长公式l R α=即可求解.【详解】由扇形弧长公式得这个扇形的弧长是224l R α==⨯=.故答案为：4.12.正方形ABCD 的边长为2，点P 为BC 边中点，则PB PD=______.【答案】1-【解析】【分析】先由题意读出PB PC =- ，PB CD ⊥ ，且1PB PC == 即可求解PB PD.【详解】由题可得PB PC =- ，PB CD ⊥，且1PB PC == ，所以()2····1PB PD PB PC CD PB PC PB CD PB =+=+=-=- .故答案为：1-.13.若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin(66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】【分析】根据,A B 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.14.已知()πsin cos 3f ⎛⎫α=α+α ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______；若()2f α=且[]0,πα∈，则α的取值为______.【答案】①.4②.0，π6，π【解析】【分析】先化简()f α，接着将π3x =代入()f α即可求解；令()32f α=结合[]0,πα∈即可求出α的取值.【详解】由题()2π1sin cos sin cos 322f αααααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1313sin 21cos 2244234πααα⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，故π1sin 2323344f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()2f α=，即1sin 22342πα⎛⎫++=⎪⎝⎭，sin 232πα⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭，2233k ππ⇒α+=+π或()222Z 33k k ππαπ+=+∈，即k απ=或()Z 6k k παπ=+∈，又[]0,πα∈，所以π0,,π6α=.故答案为：4；π0π6α=，15.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，设()()g x f x =，给出以下四个结论：①函数()g x 的最小正周期是3π；②函数()g x 在区间75,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③函数()g x 的图象过点0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；④直线1318x π=为函数()g x 的图象的一条对称轴．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据函数()f x 图象求出()sin(3)6f x x π=-，结合三角函数的性质进而求出函数()sin(3)6g x x π=-的零点，作出()g x 图象，利用数形结合的思想依次判断结论即可.【详解】由图象得，2223491863T T T πππππω=-=⇒=⇒==，又函数()f x 图象过点2(1)9π，，所以2322926k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=-，由2πϕ<，得6πϕ=-，所以()sin(3)6f x x π=-，所以()()sin(3)6g x f x x π==-，令36183k x k x ππππ-=⇒=+，所以函数()g x 的零点有571318181818ππππ-，，，，作出图象，如图，由图象可得，()g x 的最小正周期为3π，故①正确；函数()g x 在710[]1818ππ，上单调递增，即()g x 在75(189ππ，上单调递增，故②正确；令0x =，得1()sin()62g x π=-=，即函数图象过点1()20，，故③错误；由函数图象知直线1318x π=是()g x 图象的一条对称轴，故④正确.故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=.（1）求sin 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）求2costan 24απα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）210-；（2）7910.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，（2）根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出.【详解】（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α==.所以sin cos )4210πααα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为3sin 5α=，4cos 5α=，所以sin 3tan cos 4ααα==.所以21cos 1tan 79costan 2421tan 10απαααα++⎛⎫++=+= ⎪-⎝⎭.17.已知平面向量a ，b满足4a = ，8b = ，2π,3a b = .（1）求a b；（2）求2a b -；（3）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-.【答案】（1）16-（2）（3）32-±【解析】【分析】（1）由数量积定义即可求解.（2）根据模长公式结合数量积运算律即可求解.（3）根据向量的运算律以及垂直关系的向量表示即可求解.【小问1详解】由题2π1··cos481632a b a b ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）16a b =-，所以28a b -==.【小问3详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()()2222·1·16161640a kb ka b ka k a b kb k k k +-=+--=---= ，整理得2310k k +-=，解得32k -±=.18.在ABC 中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为()0,C π∈，则sin 0C >，由已知可得2sin cos C C C =，可得3cos 2C =，因此，6C π=.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得22232cos 483626122c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，c ∴=，所以，ABC 的周长为6a b c ++=+.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.（1）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求()cos αβ+的值；（2）若32AB =，求·OAOB 的值.【答案】（1）6365-（2）18-【解析】【分析】（1）先由题意求出点A 、B 的坐标，进而由三角函数定义以及两角和余弦公式即可求解.（2）根据已知用余弦定理求出向量夹角，再结合数量积定义公式即可求解.【小问1详解】由题点A 、B 在单位圆上，且分别在第一象限和第二象限.故由点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，得34,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，512,1313B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin ,cos ,si 43125551n s 3co 1,α=α=β=β=-，所以()3541263cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为32AB =，所以222114cos 228OA OB AB AOB OA OB -+-∠===-⋅，所以1·cos 8OA OB OA OB AOB =∠=- .20.设函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭.（1）若()02f =-，求ϕ的值；（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω，ϕ的值.条件①：π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.【答案】（1）π3ϕ=-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）直接用两角和的正弦公式化简，然后代入0x =计算即可；（2）选择①，函数()f x 不存在；选择②，根据π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可；选择③，根据π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可.【小问1详解】因为()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，所以()()sin f x x ωϕ=+.由()302f =-，得3sin 2ϕ=-.又因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-；【小问2详解】选择条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以ππsin 33f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不可能；选择条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以()f x 的最小值为1-，最大值为1，又因为()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭，所以由三角函数的性质得2πππ233T =+=，故2πT =.因为0ω>，所以2π1Tω==，()()sin f x x ϕ=+.由πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()π=2π6k k ϕ-∈Z .又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-.选择条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以()f x 的最小值为1-，最大值为1.由题意得π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以由三角函数的性质得2πππ233T =+=，故2πT =.因为0ω>，所以2π1Tω==，()()sin f x x ϕ=+.由πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()π=2π6k k ϕ-∈Z .又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-.21.若点()00,x y 在函数()f x 的图象上，且满足()000y f y ⋅≥，则称0x 是()f x 的ζ点．函数()f x 的所有ζ点构成的集合称为()f x 的ζ集．（1）判断43π是否是函数()tan f x x =的ζ点，并说明理由；（2）若函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，求ω的最大值；（3）若定义域为R 的连续函数()f x 的ζ集D 满足D R Ü，求证：(){}0x f x =≠∅．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）π；（3）见解析【解析】【分析】（1）直接求出0y =()00f y <，即可得到()000y f y ⋅<，即可得到结论；（2）先说明ωπ≤，若ωπ>，则2T <，由题设得到2T ≥，推出矛盾即可证得；再说明ω的值可以等于π，令0ϕ=，利用三角函数的值域加以证明即可；（3）由题设知，必存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理说明函数()f x 必存在零点，即可证明.【小问1详解】43π不是函数()tan f x x =的ζ点，理由如下：设043x π=，则04tan3y π==，()0f y =，因为2ππ<<，所以()0tan 0f y =<，所以()000y f y ⋅<，所以43π不是函数()tan f x x =的ζ点；【小问2详解】先证明ωπ≤，若ωπ>，则函数()f x 的最小正周期22T πω=<，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，所以对0x ∀∈R ，0x 是()f x 的ζ点，令()00y f x =，则()000y f y ⋅≥，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的值域为[]1,1-，所以当[]00,1y ∈时，必有()00f y ≥，即()()sin 0f x x ωϕ=+≥对于[]0,1x ∈恒成立，所以102T≥-，即()f x 的最小正周期2T ≥，与2T <矛盾；再证明ω的值可以等于π，令()sin f x x π=，对0x ∀∈R ，当()[]000,1y f x =∈时，()[]00,1f y ∈，()000y f y ⋅≥；当()[]001,0y f x =∈-时，()[]01,0f y ∈-，()000y f y ⋅≥，所以0x 是()f x 的ζ点，即函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ；综上所述，ω的最大值是π；【小问3详解】因为函数()f x 的ζ集D 满足D R Ü，所以存在0x ∈R ，使得()00y f x =且()000y f y ⋅<，即()()000f x f y ⋅<，因为若00x y =，则()()()()20000f x f y f y ⋅=≥，所以00x y ≠，因为函数()f x 的图象是连续不断的，不妨设00x y <，由零点存在定理知，必存在()100,x x y ∈使得()10f x =，所以()f x 存在零点，即(){}0x f x =≠∅.【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设ωπ>，利用周期推出矛盾，进而证得ωπ≤，再利用三角函数的值域说明ω的值可以等于π即可；第三小问的关键点在于得到存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理即可证明.。
中国人民大学附属中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
中国人民大学附属中学2024届数学高一第二学期期末达标检测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=U A C B ⋂（ ）A ．∅B ．RC ．{|0}x x >D ．{0}2．向量(),1a x =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则a b -等于（ ）A ．BC ．D ．103．已知角,αβ满足322ππαβ<-<，0αβ<+<π，且1sin()3αβ-=，1cos()3αβ+=-，则cos 2β的值为（ ）A ．9-B ．9C ．9-D ．94．在ABC ∆中，0120B =，AB =A 的平分线AD =，则BC 长为( )A ．1BC D5．直线10ax y +-=与直线2320x y +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．23B ．1-C ．32-D ．66．已知函数()sin(),(0,0)f x A x A ωϕω=+<>的值域为11[,]22-，且图像在同一周期内过两点351,,,22221B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,A ω的值分别为（ ） A ．1,22A ω== B ．1,22A ω=-= C ．1,2A ωπ=-=D ．1,22A ω== 7．已知D E F 、、分别是ABC ∆的边BC CA AB 、、的中点，则①1EF BC =；②EA BE BC =-；③AD BE CF +=-中正确等式的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．在ABC △中，3AB =，1AC =，π6B =，则ABC △的面积是（ ）． A ．32B ．34C ．32或34 D ．32或3 10．在中，如果，，，则此三角形有（ ） A ．无解B ．一解C ．两解D ．无穷多解二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届河南省开封高级中学数学高一第二学期期末统考试题含解析
2024届河南省开封高级中学数学高一第二学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．将函数3cos sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π 2．函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝)3,1-，n ＝(cos A ，sin A )，若m 与n 夹角为3π，则a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 等于( ) A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 4．两直角边分别为3的表面积是( ) A ．332+ B ．3π C ．9234+ D ．(323)π+5．已知向量()()(),1,21,30,0m a n b a b =-=->>，若//m n ，则21a b+的最小值为（ ）.A ．12B ．843+C ．16D ．1023+6．已知平面向量,a b 的夹角为23π，且1,2a b ==，则a b +=( ) A ．3B ．3C ．7D ．77．在正项等比数列{}n a 中，274a a =，则212822log log log a a a ++⋯+=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．233ππ或9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱10．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A ．8岁B ．11岁C ．20岁D ．35岁二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题含答案
湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学（答案在最后）注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a ，b是两个单位向量，则下列结论正确的是（）A.a b=± B.//a b C.0a b ⋅= D.22a b =【答案】D 【解析】【分析】利用单位向量的定义求解即可.【详解】单位向量的模长相等，则22a b =，故D 正确；且两者并不一定是相同或相反向量，故A 错误；两者不一定共线，故B 错误；两者不一定垂直，故C 错误.故选：D.2.已知复数z 满足(1i)3i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出z ，即可得对应点的坐标得答案．【详解】∵(1i)3i z -=+，∴()()()()3+i 1i 3i 24i12i 1i 1+i 1i 2z +++====+--，则12i z =-∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限．故选：D ．3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A.B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则π2πl r =，所以2l r =，所以2lr ==.故选：A.4.设α，β是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥B.若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβC.若m αβ= ，//n α，//n β，则//m nD.若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据题意，对ABD 找到反例即可，对C 由线面平行的性质分析即可判断正确.【详解】根据题意，依次分析选项：对A ，若αβ⊥，//m α，//n β，直线,m n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对B ，若m α⊂，n β⊂，//m n ，平面,αβ可能相交或平行，故B 错误；对C ：如图，若m αβ= ，//n α，//n β，过直线n 作两个平面,γδ，,t l δαγβ== ，根据线面平行的性质可得可得//,//n t n l ，则//t l ，因为l β⊂，t β⊄，则//t β，又因为t α⊂，m αβ= ，则//t m ，则//m n ，故C 正确；对D ，若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ，故D 错误.故选：C .5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A.众数<中位数<平均数B.众数<平均数<中位数C.中位数<平均数<众数D.中位数<众数<平均数【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，所以众数<中位数<平均数.故选：A6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（）A.0B.12C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析可得异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），在DEF 中利用余弦定理运算求解.【详解】取11A B 的中点F ，连接11,,A C EF DF ，因为1AA //1CC ，且11AA CC =，则11AA C C 为平行四边形，可得AC //11A C ，又因为,E F 分别为1111,C D A D 的中点，则EF //11A C ，所以EF //AC ，故异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），设正方体的棱长为2，则DE DF EF ===，在DEF中，由余弦定理222cos 210DE EF DF DEF DE DF +-∠===⋅，所以异面直线DE 与AC所成角的余弦值是10.故选：D.7.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD ，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB 约192m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 共线）处测得建筑物顶A 、大厦顶C 的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A 处测得大厦顶C 的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD 约为（）A.284mB.286mC.288mD.290m【答案】C 【解析】【分析】先求出AM ，然后在AMC 中用正弦定理求出MC ，最后求出CD .【详解】因为AMB是等腰直角三角形，所以)m AM ==，在AMC 中，180456075AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知：)sin m sin sin sin 22CM AM AM MACCM MAC MCA MCA⋅∠=⇒==∠∠∠，在CDM V中，()sin 60288m 2CD CM =︒==.故选：C8.已知ABC 是锐角三角形，若22sin sin sin sin A B B C -=，则ab的取值范围是（）A.(0,2)B.C.2)D.2)【答案】B 【解析】【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得2A B =，再求得角B 的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.【详解】已知22sin sin sin sin A B B C -=，由正弦定理得22a b bc -=，得22a b bc =+，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2222cos b bc b c bc A +=+-，即2cos b c b A =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()πC A B =-+，则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以sin sin cos cos sin B A B A B =-，即sin sin()B A B =-.因为ABC 为锐角三角形，ππ0,022A B <<<<，则ππ22A B -<-<，又sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以B A B =-，则2A B =，因为ABC 为锐角三角形，π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得π6π4B <<，所以sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin a A B B BB b B B B====∈.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A ：只参加科技游艺活动；事件B ：至少参加两种科普活动；事件C ：只参加一种科普活动；事件D ：一种科普活动都不参加；事件E ：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A.A 与D 是互斥事件B.B 与E 是对立事件C.E C D =⋃D.A C E=⋂【答案】ABC 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB 的真假，根据事件的交、并的概念判断CD 的真假.【详解】对A ：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A ：只参加科技游艺活动，与事件D ：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A 正确；对B ：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B 和事件E 满足两个特点，故B 正确；对C ：C D ⋃表示：至多参加一种科普活动，即为事件E ，故C 正确；对D ：C E 表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D 错误.故选：ABC10.若复数z ，w 均不为0，则下列结论正确的是（）A.||||||z w z w +=+B.||||z w z w -=-C.||||||z w z w ⋅=⋅D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合模长公式即可根据选项逐一求解.【详解】不妨设()()i ,,i ,,z a b a b w c d c d =+∈=+∈R R 且22220,0a b c d +≠+≠．对于A ，()i z w a c b d +=+++，故z w +=，而||||z w +=，故A 错误，对于B ，()i z w a c b d -=---，()i z w a c b d -=---,则z w -=,z w -=故||||z w z w -=-，B 正确，对于C,()()()i i izw a b c d ac bd ad bc =++=-++==，()()i i z w a b c d =++＝，故||||||z w z w ⋅=⋅，因此C 正确．对于D，i ii ia b z a b w c d c d ++===++，i iz a b wc d -==-z zw w =，D 正确．故选：BCD11.如图，一张矩形白纸ABCD ，4AB =，AD =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点M ，DF 交AC 于点N ．现分别将ABE ，CDF 沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面BFDE 的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面//ABE 平面CDF 时，//AC 平面BFDEB.当A ，C 重合于点P 时，PD⊥平面PFMC.当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为24πD.当A ，C 重合于点P 时，四棱锥P BFDE -的体积为3【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B ，利用反证法可以说明B 错误；对于C ，根据题意判断出外接球的球心为DF 的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D ，利用平面PMN ⊥平面BEDF ，可求得四棱锥P BFDE -的高，进而计算出体积.【详解】由题意，将,ABE CDF △△沿,BE DF 折起，且点,A C 在平面BFDE ，此时A 、M 、N 、C 四点共面，平面ABE ⋂平面AMNC AM =，平面CDF ⋂平面AMNC CN =，当平面//ABE 平面CDF ，//AM CN ，由题意得：AM CN =，所以四边形AMNC 是平行四边形，所以//AC MN ，又因为AC ⊄平面BEDF ，MN ⊂平面BEDF ，所以//AC 平面BFDE ，故A正确；因为tan tan 2CAD ABE ∠=∠=，所以CAD ABE ∠=∠，则可得90AME ∠=︒，即BE AC ⊥，同理可得DF AC ⊥，当,A C 重合于点P 时，如上图，在PME △中，cos cosPM PB MPE PBE PE BE ∠==∠==，又因为PE =，所以433PM =，因为2MN AC AM CN =--=-=MN CN =，所以MDC △为等腰三角形，即4MD CD ==，4PD =，222PD PM MD +≠，故PD 和PM 不垂直，则PD 不垂直于平面PFM ，故B 错误；在三棱锥P DEF -中，DEF ，DPF 均为直角三角形，所以DF 为外接球直径，则外接球半径2DFR ==，则三棱锥P DEF -外接球表面积为24π24πR =，故C 正确.,,DF PN DF MN PN MN N ⊥⊥= ，,PN MN ⊂平面PMN ，所以DF ⊥平面PMN ，又因为DF ⊂平面BEDF ，所以平面BEDF ⊥平面PMN ，平面BEDF 平面PMN MN =，过点P 作PG MN ⊥，因为PMN 的等边三角形，所以可得2PG =，由面面垂直性质定理可知PG ⊥平面BEDF ，即PG 为四棱锥P BEDF -的高，所以1116222333P BEDF BEDF V S -=⨯⨯=⨯⨯=，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件A 和事件B 相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，则()P AB =__________．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】∵事件A 与事件B 相互独立，则A 与事件B 也相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，∴131()()()1248P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭故答案为：18．13.已知向量(4,3)a = ，(2,4)b = ，则b 在a上的投影向量的坐标是__________．【答案】1612,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可.【详解】b 在a 方向上的投影向量为()()4,320416124,3,55555a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎝⎭.故答案为：1612,55⎛⎫⎪⎝⎭14.已知四面体A BCD -中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为60︒，且4BC =，3AD =，120ACD ∠=︒，则四面体A BCD -体积的最大值是__________．【答案】32【解析】【分析】作出辅助线，找到60EDA ∠=︒，求出EDA S = ，由正弦定理得到点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED的距离最大，且最大距离为2，从而求出三棱锥C AED -的体积最大值为32，由C AED A ECD A BCD V V V ---==得到答案.【详解】在平面BCD 内，分别过,B D 作,CD BC 的平行线交于点E ，连接AE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则4ED BC ==，60EDA ∠=︒，则11sin 34sin 6022EDA S AD ED EDA =⋅∠=⨯⨯︒= 在ACD 中，3AD =，120ACD ∠=︒，由正弦定理得2sin 32AD RACD ===∠，其中R 为ACD的外接圆半径，解得R =则点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，作CF ⊥AD ，垂足为F ，如图1，则当F 为AD 的中点，即AC CD =时，CF 最大，此时1322AF DF AD ===，如图2所示，此时333tan 30232CF AF =︒=⨯=，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED 的距离最大，且最大距离为2，连接CE ，此时三棱锥C AED -的体积最大，最大为13322⨯⨯=，而C AED A ECD A BCD V V V ---==，故四面体A BCD -的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛，将四面体A BCD -补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结合点到平面的距离最大值求出体积最大值四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A =“第一次摸到红球”，事件B =“第二次摸到红球”．（1）求()P A 和()P B 的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．【答案】（1）2()5P A =，2()5P B =（2）910【解析】【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件A 和B 包含的样本点，即可求解；（2）利用对立事件概率公式，即可求解.【小问1详解】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，第一次摸到红球的可能结果有8种，即()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A =，所以82()205P A ==．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =，所以82()205P B ==．【小问2详解】事件AB =“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即()(){}1,2,2,1AB =，则两次摸到都是红球的概率21()2010P AB ==，故两次摸到的不都是红球的概率()()19111010P A B P AB +=-=-=．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若ABC BC 边上的高为1，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得1cos 2A =，则得到A 的大小；（2）利用三角形面积公式得4bc =，再结合余弦定理得b c +的值，则得到其周长.【小问1详解】因为(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin B A B =.因为在ABC 中，sin 0B ≠，所以1cos 2A =.又因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】因为ABC 的面积为所以112a ⨯=，得a =.由1sin 2bc A =122bc ⨯=所以4bc =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =+-，化简得2()312b c bc +=+，所以2()24b c +=，即b c +=，所以ABC 的周长为a b c ++=.17.某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按[)50,60，[)60,70，…，[]90,100依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x 的值；（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．【答案】（1）0.01x =（2）平均值为：79.5，第60百分位数为85（3）82615【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图性质求值；（2）根据频率分布直方图平均数公式和百分位数公式计算；（3）应用分层方差公式计算求解.【小问1详解】由题意得(0.0150.020.030.025)101x ++++⨯=，所以0.01x =；【小问2详解】参与测试学生的成绩平均值：10(550.01650.015750.02850.03950.025)79.5u =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．第60百分位数为0.60.458010850.750.45-+⨯=-；【小问3详解】设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为3x ，4x ，5x ，23s ，24s ，25s ，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数7548569358515x ⨯+⨯+⨯==，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差()()()2222222334455465151515s s x x s x x s x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2224655(7585)10(8585) 5.2(9385)151515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦82615=18.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，1111AA BB CC ===，侧棱1BB 与底面ABC 所成角的正弦值为3．若球O 与三棱台111ABC A B C -内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：AC ⊥平面11B D DB ；（2）求二面角1B BC A --的正切值；（3）求四棱台1111ABCD A B C D -的体积和球O 的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）（3）四棱台1111ABCD A B C D -的体积为6，球O 的表面积为2π3．【解析】【分析】（1）只需证明AC BD ⊥和AC EF ⊥即可；（2）做出二面角的平面角再做计算.（3）将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，把三棱台111ABC A B C -的内切球转化为三棱锥-P ABC 的内切球问题.【小问1详解】设11A C 与11B D 、AC 与BD 分别交点E ，F ，连接EF ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．在等腰梯形11A C CA 中，因为E ，F 为底边中点，所以AC EF ⊥，又EF 与BD 相交，,BD EF ⊂平面11B D DB ，所以AC ⊥平面11B D DB ．【小问2详解】由（1）可知平面ABCD ⊥平面11B D DB ，又平面ABCD ⋂平面11B D DB BD =，过点1B 作1B H BD ⊥于H ，则1B H ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1B H BC ⊥，再作HG BC ⊥于G ，又因为1B H HG H = ，1,B H HG ⊂平面1B HG ，所以BC ⊥平面1B HG ，因为1B G ⊂平面1B HG ，所以1B G BC ⊥，则1B GH ∠是二面角1B BC A --的平面角．因为1B H ⊥平面ABCD ，故1B BH ∠是侧棱1BB 与底面ABC所成角，所以1sin 3B BH ∠=．在1Rt B BH △，111sin 3B H BB B BH =∠=，11cos 3BH BB B BH =∠=，在Rt BGH △，sin 306GH BH =︒=，在1Rt B GH，11tan 6B H B GH GH ∠==．因此二面角1B BC A --的正切值为【小问3详解】将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，由题意可知三棱台111ABC A B C -为正三棱台，所以三棱锥-P ABC 为正三棱锥，因此三棱台111ABC A B C -和三棱锥-P ABC 的内切球为同一个球，设1O ，2O 是111A B C △和ABC 的中心，由（2）易知在160B BG ︒∠=，所以三棱锥-P ABC 为正四面体，所以2122r PO =，因此平面1111D C B A 是四棱锥P ABCD -的中截面，则2AB =，111A B =，故四棱台1111ABCD A B C D -的体积121133326V h S S ⎡⎡⎤⎢=⨯⨯=⨯⨯+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦．球O的表面积为2224π4ππ63S r ⎛=== ⎝⎭．19.已知函数1()()f x x x a x=---，R a ∈．（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同零点，求实数a 的取值范围；（3）已知点()1,2A x ，()2,2B x 是函数()f x 图象上的两个动点，且满足210x x >>，求123x x a -+的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(1)-∞-，(0,1)（2）1a =-或01a <<（3）(,5)-∞【解析】【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可.（2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可.（3）由题意得2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，得出a 的范围，把,A B 两点坐标代入函数得12,x x 与a 的关系式，借助关系式用1x 来表示123x x a -+，即121111111323212x x a x x x x x ⎛⎫-+=--++ ⎪⎝⎭-，构造函数11111111()23212h x x x x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭-，分析函数单调性可得值域，即123x x a -+的取值范围.【小问1详解】()()[)[)()()1,1,01,112,,10,1a x x f x x x a x x a x x ⎧-+∈-⋃+∞⎪⎪=---=⎨⎪-++∈-∞-⋃⎪⎩，则()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)-∞-，(0,1)．【小问2详解】函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,0)-单调递增，故()f x 在(,0)-∞的最小值为(1)1f a -=+，同理，()f x 在(0,)+∞的最小值为(1)1f a =-，故结合图象可得，函数()f x 有两个零点时需满足(1)120f a a -=+=⎧⎨<⎩解得：1a =-．或(1)10(1)100f a f a a -=+>⎧⎪=-<⎨⎪>⎩解得：01a <<．综上所述：1a =-或01a <<．【小问3详解】由题意得：2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，则23a <<．且()()1112212212f x x a x f x a x ⎧=-++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，则11212212a x x x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，因为2a >，101x <<，所以21111121220x a x x x --=-=>，故21112x <<．所以1121111121111111111132235223212212x x x a x x x x x x a x x x x x ⎛⎫-+=-++=-+-=--++ ⎪--⎝⎭-．又11122(0,1)x a x -=-∈，故()1111111212g x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-单调递增，所以()1121111111323212h x a x x x x x x x ⎛⎫=+-=--++ ⎪⎝⎭-单调递增，故()1(1)5h x h <=．因此123x x a -+的取值范围为(,5)-∞．【点睛】方法点睛：要求123x x a -+的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度；判断函数单调性的常用方法：①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性；②复合函数的单调性；③多个函数加减的单调性：+增增=增，+减减=减，增-减=增，减-增=减；。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期开学自主检测数学试卷含答案
长沙市2023—2024学年度高一第二学期开学自主检测数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}139x A x =≤<，集合{}30log1B x x =≤<，则A B = （）A.[)1,2 B.[)0,2 C.[)0,3 D.[)1,3【答案】A 【解析】【分析】解指对数不等式化简集合,A B ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}{}0213933302xx A x x x x =≤<=≤<=≤<，{}{}{}33330log 1log 1log log 313B x x x x x x =≤<=≤<=≤<，所以{}[)121,2A B x x ⋂=≤≤=.故选：A.2.函数()1312⎛⎫=- ⎪⎝⎭xf x x 的零点一定位于下列的哪个区间（）A.()2,3 B.()1,2 C.()0,1 D.()1,0-【答案】C 【解析】【分析】由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．【详解】因为函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()01310010,2f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭()113111110,22f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，∴函数()1312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于区间()0,1.故选:C ．3.已知a →,b →为非零向量，则“0a b →→∙>”是“a →与b →夹角为锐角”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】根据向量数量积的定义式可知，若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角或零角，若a 与b夹角为锐角，则一定有0a b ⋅> ，所以“0a b ⋅> ”是“a与b夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.4.已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（）A.()exxf x = B.()exf x x = C.()exf x x=D.()exx f x =【答案】D 【解析】【分析】先由图象得到()f x 的定义域、奇偶性与单调性，再结合指数函数的性质，逐一分析各选项即可得解.【详解】由图象可知，()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，同时，()f x 在()0,∞+上先增后减，对于A ，()11e f =，()111e ef ---==-，不满足题意，故A 错误；对于B ，当120x x <<时，120e e x x <<，即210e e x x <<，所以1212ee x xx x <，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对于C ，显然，()exf x x=在0x =处无意义，故C 错误；对于D ，()exx f x =的定义域为R ，又()()e ex x x xf x f x ---==-=-，则()f x 是奇函数，经检验，()f x 的单调性也满足题意，故D 正确.故选：D.5.已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则（）A.a b c >> B.b a c>> C.c b a>> D.a c b>>【答案】C 【解析】【分析】做差，利用换底公式，基本不等式，对数的性质进行大小比较.【详解】2222243ln 2ln 4ln 3ln 3ln 2ln 3ln 2ln 4ln ln 2log 3log 20ln 4ln 3ln 3ln 4ln 3ln 4ln 3ln 4b a +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-==>=>22254ln 3ln 5ln 4ln 4ln 3ln 4ln 3ln 5ln ln 2log 4log 30ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4c b +⎛⎫- ⎪--⎝⎭-=-=-=>=>所以c b a >>.故选：C.6.已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（）A.13B.14 C.112D.112-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，切化弦，结合两角和的正弦公式分别求出cos ,cos i s n n i s B A A B 的值，代入两角差的正弦公式即可求解.【详解】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =，因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式；考查运算求解能力；熟练掌握两角和与差的正弦公式是求解本题的关键；属于中档题.7.如图，在ABC 中，满足条件1,3AD DB AE EC == ，若DE BA BC λμ=+ ，则11λμ+=（）A.8B.4C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，结合已知条件，可得1144DE BA BC =+ ，求出11,44λμ==，从而得出答案.【详解】因为DE DA AE =+ ，1,3AD DB AE EC ==,所以()11112424DE BA AC BA BC BA ==++-，即1144DE BA BC =+ ，又DE BA BC λμ=+ ，所以11,44λμ==，故118λμ+=.故选：A.8.设函数()()()1sin 02f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A.1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.51,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.45,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为研究1sin 2y x ω=-在任意一个长度为2π的区间上的零点问题，分别求得相邻三个零点之间的距离，相邻四个零点之间的最小距离，从而得到关于ω的不等式组，解之即可得解.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,2π上的零点问题，即研究函数1sin 2y x ω=-在任意一个长度为2π02π-=的区间上的零点问题，令1sin 2y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L ，故相邻三个零点之间的距离为2πω，相邻四个零点之间的最小距离为8π3ω，所以要使函数()f x 在区间[]0,2π上至少有2个零点，至多有3个零点，则需相邻三个零点之间的距离不大于2π，相邻四个零点之间的最小距离大于2π，即2π2π8π2π3ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得413ω≤<，即41,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的ϕ以及区间[]0,2π是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知a ，b ，R c ∈，则下列结论正确的是（）A.若0a b >>，则11a b < B.若a b >，则22ac bc >C .若0a b >>，则11a b b a+<+ D.若0a >，0b >，2324a b a b +=+，则a b>【答案】AD 【解析】【分析】利用作差法可以判断AC ，举反例可排除B ，构造函数()23xf x x =+，利用其单调性可判断D ，从而得解.【详解】对A ，因为0a b >>，所以110b a a b ab--=<，则11a b <，故A 正确；对B ，当0c =，则220ac bc ==，故B 错误；对C ，因为()()1111a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0a b >>，则10,10a b ab->+>，所以110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a+>+，故C 错误；对D ，因为0b >，所以232423a b b a b b +=+>+，令()23xf x x =+，则()()f a f b >，易知()23xf x x =+在R 上单调递增，所以a b >，故D 正确.故选：AD.10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）A.消耗1L 汽油，乙车最多可行驶5kmB.甲车以80km/h 的速度行驶1h 消耗约8L 汽油C.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D.某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】BD【解析】【分析】结合图象逐项分析即得.【详解】由题可知，当乙车速度大于40km/h 时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km ，A 错误；甲车以80km/h 的速度行驶时，燃油效率为10km/L,则行驶1h 消耗8L 汽油，B 正确；以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C 错误；在机动车最高限速80km/h 在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D 正确；故选：BD11.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π3x =-对称B.函数()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减C.函数π6y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数D.该函数的图象可由2cos y x =的图象向左平行移动π6个单位长度得到【答案】BC 【解析】【分析】先根据函数图象，结合三角函数的性质可确定函数的解析式，利用代入检验法可判断AB ，利用余弦函数的奇偶性可判断C ，利用三角函数平移的性质可判断D.【详解】由图象可知：2A =，37ππ3π4632T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2πT =，故2π1Tω==，所以()()2sin f x x ϕ=+，又7π7π2sin 266f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则7π3π2π,Z 62k k ϕ+=+∈，所以ππ,Z k k ϕ=+∈23，由于π,2ϕ<所以π3ϕ=，故()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，πππ2sin 02333f ⎛⎫⎛⎫-=-+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误，对于B ，当5ππ,6x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦时，π2πππ,π,3322x ⎡⎤⎡⎤+∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()y f x =在5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确，对于C ，ππππ2sin 2sin 2cos 6632y f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然π6y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确，对于D ，2cos y x =的图象向左平行移动π6个单位长度得()π2π2cos 2sin 63y x x f x ⎛⎫⎛⎫=+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误，故选：BC.12.已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：（1）对任意()0,x ∈+∞，()()22f x f x =恒成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，则下列选项正确的有（）A.对任意m Z ∈，有()2mf =B.函数()f x 的值域为[)0,∞+C.存在Z n ∈，使得()219nf +=D.函数()f x 在区间(),a b 上单调递减的充要条件是：存在Z k ∈，使得()()1,2,2kk a b +⊆.【答案】ABD 【解析】【分析】利用条件(1)判断A ；利用条件(2)判断B ；利用反证法判断C ；结合以上推导判断D ．【详解】对于选项A ，()()()()11122222220mm m m f f f f ---=⋅=⋅⋅⋅===，A 正确；对于选项B ，当(12,2mm x +⎤∈⎦时，(]1,22m x ∈，[)20,122m m x x f ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，从而())1220,2222mm mm f x x x x f f +⎛⎫⎛⎫⎡=⋅⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎣⎝⎭⎝⎭＝，所以函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 正确；对于选项C ，因为(1212,2nn n +⎤+∈⎦，所以()12122121n n n nf +-+==--，假设存在n 使()219nf +=，则12210n n +-=，所以210n =，满足条件的整数不存在，C 错误；对于选项D ，若()()1,2,2kk a b +⊆，当(),x a b ∈时，()12k f x x +=-，函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，若函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，不妨设122k k a +≤<，Z k ∈，若22k b +>，则()122,2,k k a b ++∈，1222k k ++<，()()12220k k f f ++==，与已知矛盾，若1222k k b ++<≤，则()12,k a b +∈，当()102,k x b +∈，102k x +>，但()()2100220k k f x x f ++=-<=，与已知矛盾，故12k b +≤，故()()1,2,2kk a b +⊆，故函数()f x 在区间(),a b 上单调递减的充要条件是：存在Z k ∈，使得()()1,2,2k k a b +⊆，D 正确，故选：ABD.【点睛】本题解决的关键在于分区间求出函数的解析式，再结合函数的性质判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.3log 712lg5lg 43⎛⎫-++= ⎪⎝⎭______.【答案】87##117【解析】【分析】利用指数对数的运算性质计算即可.【详解】33log 7log 71182lg 5lg 42lg 52lg 21321377-⎛⎫--++=+-+=-+= ⎪⎝⎭.故答案为：87.14.设函数()y f x =的定义域为R ，则函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于______对称.【答案】1x =【解析】【分析】先确定()y f x =与()y f x =-的图象关系，再同时向右平移一个单位可得答案.【详解】由于R x ∈，恒有()y f x =与()y f x =-的图象关于y 轴对称，又()y f x =向右平移一个单位得()1y f x =-，()y f x =-向右平移一个单位得()1y f x =-，故函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关于1x =对称.故答案为：1x =.15.函数()sin cos sin2f x x x x =-+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是__________．【答案】51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】令sin cos t x x =-，根据同角的三角函数关系式求出关于sin2x 的表达式，最后利用二次函数2()1g t t t =-++的单调性求出函数的值域.【详解】令πsin cos 4t x x x =-=-，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πππ,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[1,1]t ∈-，()22sin cos sin2sin cos (sin cos )11f x x x x x x x x t t =-+=---+=-+，设2()1,[1,1]g t t t t =-++∈-，显然一元二次函数2()1g t t t =-++在区间1[1,]2-上单调递增，在区间1[,1]2上单调递减，所以max min 15(,(1)124g g =-=-，所以函数()sin cos sin2f x x x x =-+的值域为5[1,4-.故答案为：5[1,4-.16.已知边长为的正三角形ABC 的中心为O ，正方形MNPQ ，且线段MP 与NQ 相交于点O ，则BM CP +=______.【答案】2【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减运算化简BM CP +，再在正ABC 中求得OD ，从而得解.【详解】记BC 中点为D ，连接,,OB OC OD ，如图，因为在正方形MNPQ 中，MP 与NQ 相交于点O ，则O 是MP 的中点，所以0OM OP += ，则2BM CP BO OM CO OP OB OC OD +=+++=--=-，在正ABC 中，BC =，O 为ABC 的中心，所以1113232OD BC =⨯=⨯⨯=，则22BM CP OD +== .故答案为：2.【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是充分用点O 的性质，利用向量的线性运算即可得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量(1,2)a = ，(3,2)b =- ．（1）求a b - ；（2）已知c = (2)a c c +⊥ ，求向量a 与向量c 的夹角．【答案】（1）（2）3π4【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.【小问1详解】由题知，(1,2)a = ，(3,2)b =- 所以(2,4)a b -=-，所以a b -== 【小问2详解】由题知，(1,2)a = ，c = (2)a c c +⊥，所以a = (2)0a c c +⋅= ，所以220a c c ⋅+= ，所以22||||cos ,)||0a c a c c 〈+= ，所以2cos ,100a c +=，所以cos ,2a c 〈>=- ，因为[],)0,πa c ∈ ，向量a 与向量c 的夹角为3π4.18.已知函数()21ax b f x x +=+是定义域为R 的奇函数，且满足()()1012f f +=.（1）求a ，b 的值，判断函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性（不需要证明）；（2）已知1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，若()()12f x f x =，求124x x +的取值范围.【答案】（1）1,0a b ==，()f x 的单调性见解析（2）()5,+∞【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质与()()1012f f +=可求得,a b 的值，从而得到()f x 的解析式，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；（2）利用()()12f x f x =得121=x x ，再分析得21x >，将124x x +转化为关于2x 的表达式，从而利用对勾函数的性质即可得解.【小问1详解】因为函数2()1ax b f x x +=+是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，又()()1012f f +=，则()112f =，所以00011112b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，所以2()1x f x x =+，此时其定义域为R ，又2()()1x f x f x x --==-+，则函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以1,0a b ==，此时()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，证明如下：设1201x x <<<，则()()()()22122112122222121211()()1111+-+-=-=++++x x x x x x f x f x x x x x ()()()()12212212111x x x x x x --=++，因为1201x x <<<，所以21211,0x x x x <->，所以()()()()122122121011x x x x x x --<++，12()()f x f x <，所以函数()f x 在()0,1上单调递增；同理可证在()1,+∞上单调递减.【小问2详解】因为()()12f x f x =，2()1x f x x =+，则有2112122212()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---==++，因为120x x <<，所以1210x x -=，即121=x x ，所以21x >，且121x x =，所以1222144x x x x +=+，令()141y x x x=+>，由对勾函数的性质可知，14y x x =+在()1,+∞上单调递增，所以1144151y x x =+>⨯+=，所以1254x x +>，即124x x +的取值范围为()5,+∞.19.如图所示，已知点()1,0A ，()1,0D -，点B ，C 在单位圆O 上，且3BOC π∠=.（1）若点34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求cos AOC ∠的值；（2）设203AOB x x π⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，四边形ABCD 的周长为y ，将y 表示成x 的函数，并求出y 的最大值.【答案】（1）310-（2）23sin 323x y π⎛⎫=++⎪⎝⎭，max 5y =【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义，由终边上的34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得43sin ,cos 55AOB AOB ∠=∠=，再由余弦的和角公式，可得答案；（2）根据圆直径的性质和锐角三角函数，可得弦,AB CD ，根据周长公式，可得函数，再根据三角恒等变换，可得周长y 关于x 的函数.【小问1详解】因为34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且为AOB ∠终边上一点，所以43sin ,cos 55AOB AOB ∠=∠=，由3BOC π∠=，可得：1sin ,cos 22BOC BOC ∠=∠=，()cos cos cos cos sin sin AOC AOB BOC AOB BOC AOB BOC∠=∠+∠=∠∠-∠∠3143525210-=⨯-⨯=【小问2详解】由3BOC π∠=，易知等边BOC ，则1BC =，连接,AC BD ，作图如下：易知12,,2223x ABD ACD BDA AOB COD x ππ∠=∠=∠=∠=∠=-，即1232x CAD COD π∠=∠=-，则在Rt △ABD 中，sin 2sin 2x AB AD ADB =⋅∠=，同理，sin 2sin 32x CD AD CAD π⎛⎫=⋅∠=- ⎪⎝⎭，则122sin 12sin 32sin 2cos sin 23222222x x x x x y π⎛⎫⎛⎫=+++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32sin sin 3sin 2sin 32222223x x x x x x π⎛⎫=+-=++=++ ⎪⎝⎭，由203x π<<，可得323x πππ<+<，根据正弦函数的性质，当232x ππ+=，即3x π=，则max 5y =.20.某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y （单位：微克）与时间t （单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当[]0,1.5t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]1.5,6t ∈时，曲线是函数()()log 2.550,1a y t a a =++>≠图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y 与时间t 之间的函数关系式；（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）1.414≈）【答案】（1）2124(1)4,0 1.5log ( 2.5)5,1.56t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩（2）0.3小时后，5.2小时【解析】【分析】（1）当0 1.5t ≤<时，设2(1)4y k t =-+，再将(0,0)代入即可求出k 的值，当1.56t ≤≤时，将点(1.5,3)的坐标代入函数表达式()log 2.55a y t =++即可求出a 的值，则可写出答案；（2）分段求出2y ≥时，对应的x 的取值范围，即可写出答案.【小问1详解】当0 1.5t ≤<时，由图象可设()214y k t =-+，将点()0,0的坐标代入函数表达式，解得4k =-，即当0 1.5t ≤<时，()2414y t =--+，当1.56t ≤≤时，将点()1.5,3的坐标代入函数()log 2.55a y t =++，得3log 45a =+，解得12a =，所以12log ( 2.5)5y t =++，故2124(1)4,0 1.5log ( 2.5)5,1.56t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩.【小问2详解】当0 1.5t ≤<时，24(1)4y t =--+，令2y ≥，即()24142t --+≥，解得1122t -≤≤+，即0.3 1.7t ≤<，又0 1.5t ≤<，∴0.3 1.5t ≤≤，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，当1.56t ≤≤时，12log ( 2.5)5y t =++，令2y ≥，即()12log 2.552t ++≥，解得 2.5 5.5t -≤≤，又1.56t ≤≤，∴1.5 5.5t ≤≤，综上，0.3 5.5t ≤≤，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.21.已知向量()()1cos ,sin (0),,,22a x x b f x a b ωωω⎛⎫=>==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）当π6x =时，函数()f x 取得最大值，求ω的最小值及此时()f x 的解析式；（2）现将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3ωπ个单位，得到函数()g x 的图象.已知,,A B C 是函数()f x 与()g x 图象上连续相邻的三个交点，若ABC 是锐角三角形，求ω的取值范围.【答案】（1）min 2ω=，()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）π3ω>【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标公式结合辅助角公式化简，再根据余弦函数的最值即可得解；（2）先根据平移变换得到函数()g x 的解析式，作出两个函数的图象，不妨设B 在x 轴下方，D 为AC 的中点，根据πcos cos 3x x ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求得BD ，再由ABC 为锐角三角形时，只需要π4ACB ∠>即可，即可得解.【小问1详解】()13cos sin 22f x a b x x ωω=⋅=+ ππcos cos sin sin 33x x ωω=+πcos 3x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π6x =时，函数()f x 取得最大值，即()ππ2πZ 63k k ω-=∈，解得()122Z k k ω=+∈，且0ω>，则min 2ω=，此时()πcos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；【小问2详解】由函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3ωπ个单位，得到()ππcos cos 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由（1）知()πcos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出两个函数图象，如图：,,A B C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点，由对称性可得ABC 是以B ∠为顶角的等腰三角形，根据图像可得2π2AC T CD ω===，即πCD ω=，由两个图像相交可得πcos cos 3x x ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππcos cos sin sin cos 33x x x ωωω+=，化简得sinx x ωω=，再结合22sin cos 1x x ωω+=，解得3cos 2x ω=±，故2C B y y =-=，可得BD =，当ABC 为锐角三角形时，只需要π4ACB ∠>即可，由tan 1πBD ACB DC ∠==>，故ω的取值范围为π3ω>.【点睛】关键点点睛：作出两个函数()(),f x g x 的图象，根据πcos cos 3x x ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出等腰三角形ABC 底边上的高是解决本题的关键.22.已知函数()2e e x x f x a =-，()ln g x x =.（1）若存在()1,0x ∈-∞，对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≠，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 零点的个数.【答案】（1）2a >或0a ≤（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为不等式有解问题，然后再将有解问题转化为最值求解即可；（2）()()()2e e e e 2x x x x F x a a --=+-+-，令e e x x p -=+，则()22h p ap p a =--，进而讨论方程220p a p a --=大于等于2的解的个数即可.【小问1详解】由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得()[]21,1g x ∈-，因为存在()1,0x ∞∈-，对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≠，所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-在()1,0x ∞∈-上有解，即11211e e x x a >+或11211e e x x a <-在()1,0x ∞∈-上有解，令111ex t =>，所以2a t t >+或2a t t <-在()1,∞+上有解，又22t t +>，20t t -<，所以2a >或a<0；【小问2详解】()()()()()222e e e e e e e e 2x x x x x x x x F x f x f x a a a a ----=+-=-+-=+-+-，令e e x x p -=+，2p ≥，则()()22,2h p F x ap p a p ==--≥，故只需要讨论方程220p a p a --=大于等于2的解，①当0a =时，0p -=，方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；②当0a >时，()020h a =-<，若()2220h a =->，即1a >时，方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；若()2220h a =-=，即1a =时，方程有一个等于2的解，此时e e 2x x -+=，解得0x =，函数()F x 有一个零点；若()2220h a =-<，即01a <<时，方程有一个大于2的解，此时e e x x p -+=，即2e e 10x x p -+=，此时240010p p ⎧->⎪>⎨⎪>⎩，方程有2根，即函数()F x 有两个零点；③当a<0时，()020h a =->，()2220h a =-<，此时方程无大于等于2的解，函数()F x 无零点；综上所述：当1a =时，函数()F x 有一个零点；当01a <<时，函数()F x 有两个零点；当0a ≤或1a >时，函数()F x 无零点.。
湖北省荆州市成丰学校2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析
湖北省荆州市成丰学校2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若圆心坐标为(2,1)-的圆,被直线10x y --=截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ）A ．22(2)(1)2x y -++=B ．22(2)(1)4x y -++=C ．22(2)(1)8x y -++=D ．22(2)(1)16x y -++=2．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1radB ．32rad C ．2rad D ．52rad 3．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >4．已知函数()223f x x mx =--，若对于[]()1,2,2x f x m ∈<-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．14,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．14,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5． 已知实数m ，n 满足不等式组24230m n m n m n m +≤⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩则关于x 的方程x 2－(3m ＋2n )x＋6mn ＝0的两根之和的最大值和最小值分别是( ) A ．7，－4 B ．8，－8 C ．4，－7D ．6，－66．已知圆22:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1B ．2C ．2D ．37．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =-，则函数()(2)()1g x x f x =-+在区间[3,7]-上所有零点之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．128．在ABC ∆中，若222sin sin sin B C A +=，则此三角形为（ ）三角形． A ．等腰B ．直角C ．等腰直角D ．等腰或直角9．两圆22(2)1x y +-=和22(2)(1)16x y +++=的位置关系是（） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切10． 过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A ．4B ．2C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年高一第二学期数学月考测试卷含答案
2022-2023学年第二学期高一数学测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“N m ∃∈N ”的否定是（）A.N m ∃∉NB.N m ∃∈NC.N m ∀∉ND.N m ∀∈N 2.设R b a ∈,，则“)02<-a b a ”是“b a <”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()1log 21+-=x x x f 的零点所在的区间为（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛3141， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2131， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,214．若3a = ，3b =r ，向量a 与向量b 的夹角为150°，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A ．32bB ．32b- C ．2D ．2-5.设3log 0.4a =，2log 3b =，则（）A.0ab >且0a b +>B.0ab <且0a b +>C.0ab >且0a b +< D.0ab <且0a b +<6.要得到函数()cos f x x x =+的图象，只需将函数()π2sin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象进行如下变换得到（）A.向左平移π3个单位 B.向右平移π3个单位 C.向右平移π6个单位 D.向左平移π6个单位21有()()()20222121-+=+x f x f x x f 若()x f 的最大值和最小值分别为N M ,，则N M +的值为（）A.2022B.2018C.4036D.4044二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．10．已知函数()πsin 223sin cos 6f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最大值为1B ．直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称11.若1122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中一定成立的是（）A.33a b> B.a b e e <（ 2.718e ≈）C.()()sin cos sin cos abθθθθ+<+（θ是第一象限角）D.()()22ln 1ln 1a b +<+12.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+=2,15820,2log 22x x x x x x f ，若方程()k x f =有四个不同的根4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A.21<<-kB.22221≥+x xC.()84321=+x x x x D.3221>+x x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b满足3a = 2b = ，211a b -= a b ⋅= ______．14.请写出一个函数()f x ，使它同时满足下列条件：（1）()f x 的最小正周期是4；（2）()f x 的最大值为2．()f x =____________．15.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()122xf x x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(m 为常数)，则当0x <时，()f x =_________.16.木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统木雕精致细腻､气韵生动､极富书卷气．如图是一扇环形木雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知0.6m OA =， 1.4m AD =，100AOB ∠=︒，则该扇环形木雕的面积为________2m ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合241|1,|212x A x B x a x x -⎧⎫⎧⎫=≤=≤≤+⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭(1)求集合R C A(2)若A B B ⋂=,求实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.（1）求函数()y fθ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）若()34f θ=，()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19.（本题满分12分）函数()sin 2sin f x x x=+（1）请用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2π上的图象（先列表，再画图）（2）设()()2mF x f x =-，[]0,2x π∈，当0m >时，试研究函数()F x 的零点的情况.20.（本题满分12分）2020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：520t ≤≤，t N ∈，平均每趟快递车辆的载件个数()R t (单位：个)与发车时间间隔t 近似地满足()()2161810,5141618,1420t t R t t ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t 的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益5()7770()100R t S t t-=+(单位：元)，问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数)．21.（本题满分12分）已知函数()21ax b f x x +=+是定义域R 上的奇函数，且满足()()91210f f +=（1）判断函数()f x 在区间()0,1上的单调性，并用定义证明（2）已知()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，若()()12f x f x =，证明：122x x +>22.（本题满分12分）若函数()x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()121=⋅x f x f 成立，则称函数()x f y =具有性质M ．（1）判断函数()1f x x=是否具有性质M ，并说明理由；（2）若函数()2144333f x x x =-+的定义域为[],(,N*m n m n ∈且2)m >且具有性质M ，求mn 的值；（3）已知2a <，函数()()22x f x a=-的定义域为[]1,2且()f x 具有性质M ，若存在实数[]1,2x ∈，使得对任意的R t ∈，不等式()24f x st st ≥++都成立，求实数s 的取值范围．2022-2023学年第二学期高一数学答案一、选择题123456789101112D ACDBABDBDABCBCBCD二、填空题13.2；14.x 2sin2π（答案不唯一）15.221xx --+；16.π9091三、解答题17.解：（1）{|13}A x x =<≤，{|13}R C A x x x =≤>或·····················································4分（2）由题意，若A B B ⋂=，则B A ⊆，··········································································5分①B =∅时，122a a >+，解得4a >；··········································································6分②B ≠∅时，12211232a a a a ⎧≤+⎪⎪>⎨⎪⎪+≤⎩，……………………8分解得12a <≤；…………………………………………………9分综上，a 的取值范围为(1,2](4,)a ∈⋃+∞.·········································································10分18.解：（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，·························································2分由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭·····························································································4分ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.·········································································5分（2）由()4f θ=知7ππ3sin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π3sin 64θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭····················7分由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：π13cos 64θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，···········································································9分ππsin cos 4π3936tan tan ππ333cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-===- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭······························12分19、（1）[](]3sin ,0,()sin ,,2x x f x x πππ⎧∈⎪=⎨-⎪⎩····················································································2分按五个关键点列表：x02ππ32π2πsin x010-10()sin 2sin f x x x=+031描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图1：·········································································7分（2）因为()()2mF x f x =-，所以()F x 的零点个数等价于()y f x =与2my =图象交点的个数，···········································8分设2m t =，0m >，则1t >·······························································································9分当20log 3m <<，即13t <<时，()F x 有2个零点；当2log 3m =，即3t =时，()F x 有1个零点；当2log 3m >，即3t >时，()F x 有0个零点.····························································12分20、解：（1）当1420t≤≤时，16181600>，不满足题意，舍去． (1)分当514t ≤<时，21618(10)1600t --≤，即220820t t -+≥．·············································3分解得10t ≥+（舍）或10t ≤-．···········································································4分∵514t ≤<且t N ∈，∴5t =．·······················································································5分所以发车时间间隔为5分钟．····························································································6分（2）由题意可得()1805200,514320100,1420t t t S t t t ⎧⎛⎫-++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+≤≤⎪⎩．·····················································8分当514t ≤<时，()200140S t ≤-+=（元），·······················································9分当且仅当1805t t=，即6t =时，等号成立，········································································10分当2014≤≤t 时，()t S 单调递减，14t =时，()12310014320≈+≤t S （元）····························11分所以发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）．·····················································12分21.解：（1）由()f x 为奇函数，(0)0f =可得0b =；····························································1分又9(1)(2)10f f +=，得1a =；·······················································································2分所以2()1xf x x =+.2()1xf x x =+在(0,1)上单调递增，理由如下：····································································3分12,(0,1)x x ∀∈，且12x x <，则1221121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++····················4分因为1201x x <<<，所以210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>所以12()()0f x f x -<，12()()f x f x <，()f x 在(0,1)上单调递增·······································6分（2）证法一：由题意，12()()f x f x =，则有2112122212()(1)()()0(1)(1)x x x x f x f x x x ---==++··················8分因为120x x <<，所以1210x x -=，即121x x =，································································10分所以122x x +>=，得证.····················································································12分证法二：由（1）知，()f x 在(0,1)上单调递增，同理可证()f x 在(1,)+∞上单调递减.因为12,(0,)x x ∈+∞，12()()f x f x =，所以1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，所以12(1,2)x -∈·································································8分要证122x x +>，即证212x x >-，即证21()(2)f x f x <-，即证11()(2)f x f x <-，·······························································9分代入解析式得11221121(2)1x x x x -<+-+，即证221111[(2)1](2)(1)x x x x -+<-+化简整理得321113310x x x -+-<，即证31(1)0x -<，·························································10分因为1(0,1)x ∈，31(1)0x -<显然成立，···········································································11分所以原不等式得证，所以122x x +>.··············································································12分22、解：（1）对于函数()1f x x=的定义域()(),00,∞-+∞U 内任意的1x ，取211x x =，则()()121f x f x ⋅=，·····················································································1分结合()1f x x=的图象可知对()(),00,∞-+∞U 内任意的1x ，211x x =是唯一存在的，··················2分所以函数()1f x x=具有性质M .（2）因为()221441(2)3333f x x x x =-+=-，且m>2，所以()f x 在[],m n 上是增函数，·········3分又函数()x f 具有性质M ，所以()()1=⋅n f m f ，即()()1229122=--n m ，·····························4分因为2n m >>，所以()()223m n --=且220n m ->->，又*,N m n ∈，所以2123m n -=⎧⎨-=⎩，解得35m n =⎧⎨=⎩，所以15mn =．···································································5分（3）因为[]1,2x ∈，所以[]22,4x∈，且2x y =在定义域上单调递增，又因为2a <，()2y x a =-在[]2,4上单调递增，所以()()22x f x a=-在上[1,2]单调递增，·········································································6分又因为()f x 具有性质M ，从而()()121f f ⋅=，即()()241a a --=，所以2670a a -+=，解得3a =或3a =+（舍去），·············································································7分因为存在实数[]1,2x ∈，使得对任意的R t ∈，不等式()24f x st st ≥++都成立，所以2max ()4f x st st ≥++，····························································································8分因为()()22x f x a=-在上[]1,2单调递增，所以()222(14f st st =+≥++即210st st ++-≤对任意的R t ∈恒成立．··································································9分所以(20Δ410s s s <⎧⎪⎨=--≤⎪⎩或0s =，·········································································11分解得40s -≤<或0s =，综上可得实数s的取值范围是4⎡⎤-⎣⎦………………12分。
2023-2024学年上海市黄浦区2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷含详解
【详解】设 xOA ,则
sin
1 1
48
1 7
, cos
4 3 4 3. 1 48 7
将 OA 绕原点 O 逆时针旋转
至 OB
,则 OB 的倾斜角为
.
3
3
则 OB OA 1 48 7 .
∴点
B
的纵坐标为
OB
sin
3
7
sin
cos
3
cos
sin
3
13 2
.
故答案为 13 2
km ．（结果精确到 0.1km ）
9．若
tan
tan
1 2
,则
cos( cos(
) )
．
10．已知点 A(4 3,1) ,将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 3 至 OB ,则点 B 的纵坐标为
11．i 为虚数单位,若复数 z1 和复数 z2 满足 z1 1 i 1, z2 z1i ,则 z2 的最大值为
,则
cos(
)
．
4．在梯形
ABCD 中,
AD
1 2
BC
,设
AC
a, BD
b
,若用
a,
b
的线性组合表示
AB
,则
AB
．
5．若 sin cos 3 ,则 sin 2
2
6．若向量
a
(3,
4), b
(1,
2)
,则
a,b
． ．
7．设 0
π
,若函数
y
tan( x
)
的.定义域为 x
x
14.6km .
故答案为：14.6.
9．3
2023-2024第二学期期末考试高一数学试卷
2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。
福建厦门2024年高一下学期7月期末质检数学试题(解析版)
厦门市2023—2024学年第二学期高一期末质量检测数学试题满分：150分 考试时间：120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若()1i 13i z −=+，则z =（ ）A. 2i +B. 22i +C. 12i +D. 12i −+【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解出复数即可.【详解】因()1i 13i z −=+， 所以22(13i)(1i)13i i 3i (1i)(1i)1i z+++++=−+−i 4i 22i 1122−=−+−=，故D 正确. 故选：D2. 为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为（ ） A. 600 B. 480C. 400D. 360【答案】C 【解析】【分析】用分层抽样的概念，和样本估计总体的思想解题即可.【详解】抽取50人作为样本，其中男生20人.则女生30人.则男女比例为：2:3．该校高一年级女生240人，则男生160人. 高一年级学生总数为400人.为故选：C ．3. 在梯形ABCD 中//AB CD ，AB AD ⊥，222AB AD CD ===，以AD 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为（ ） A.5π3B.7π3C. 5πD. 7π【答案】B 【解析】【分析】由已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台，进而可得圆台体积. 【详解】已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台， 可知圆台上底面半径为1CD =，下底面半径2AB =，高1h AD ==，所以体积()()22ππ7π1421333VCD AB CD AB AD =++⋅⋅=++×=， 故选：B.4. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5C. 0.7D. 0.9【答案】B 【解析】. 【详解】设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B ， 所以()0.5P A =，()0.4P B =，()0.2P AB =，因为()()()0.2P A P B P AB ==，所以事件A 与事件B 相互独立， 根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为()()()()0.50.60.50.40.30.20.5P P A P B P A P B =+=×+×=+=，故选：B.5. 如图，甲在M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15 方向，顶部P 的仰角为30 ，往正东方向前进150m 到达N 处，测得该建筑物在北偏西45 方向.底部Q 和,M N 在同一水平面内，则该建筑物的高PQ为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】分析题意结合正弦定理得到MQ =再由题意得到PQ ⊥面MNQ ，利用线面垂直的性质得到PQ MQ ⊥，最后利用锐角三角函数的定义求解即可.【详解】由题意得45MNQ ∠= ，75QMN ∠= ，30PMQ ∠= ，150MN =，在MQN △中，由三角形内角和定理得60MQN ∠=，=MQ =PQ ⊥面MNQ ，所以PQ MQ ⊥，在MQP △=，解得PQ =A 正确. 故选：A6. 已知,,αβγ是三个不重合的平面，,m n αβαγ∩=∩=，则（ ） A. 若m //n ，则β//γB. 若m n ⊥，则βγ⊥C. 若,αβαγ⊥⊥，则m //nD. 若,αγβγ⊥⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】构造长方体模型，通过举反例可以判断A 、B 、C 是错误的，在利用排除法即可得到正确答案.【详解】如图，构造长方体模型，对于A ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面D A BC ′′为平面γ， 则直线AD 为m ，直线A D ′′为n ，易知，此时m //n ，但BC βγ= ，故A 错误； 对于B ，设平面ADD A ′′为平面α，平面AB C D ′′为平面β，平面DBBD ′为平面γ，则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，易知，此时m ⊥n ，但平面AB C D ′′与平面DBBD ′不垂直，故B 错误；对于C ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面DCC D ′′为平面γ， 则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，此时m ⊥n ，故C 错误；因为,,m αγβγαβ⊥⊥∩=，所以m γ⊥， 又n γ⊂，所以m n ⊥，D 正确； 故选：D.7.若i z z =−，则 ） A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】设i ,z x y x y ∈=+R ，，结合条件求出,x y ，再求模即可．【详解】设i ,z x y x y ∈=+R ，，则i i (1)i z x y z x y −=−+−=+−，,又i z z =−−，则=解得12x y = =，即1i 2z=，故1z =.故选：A8. 向量12,,e e a 满足121212π01,3,e e e e a e a e ⋅===−−= ，，则a 的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则由已知条件可得12E E =12π3E AE ∠=，利用正弦定理求出12E AE 外接圆的半径，再结合图形可求得结果.【详解】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则122112,a e a e OA OE E A OA OE E A =−=−−=−= ， 因为120e e ⋅=，121==e e ，所以12E E =． 因为12π,3a e a e −−= ，所以12π3E AE ∠=．所以过1E ，A ，2E 的圆C的半径121122sin E E r E CE AE ===∠连接OC 交12E E 于点D ，连接1CE ，则11212OD DEE E ===CD，所以OC =， 所以OA最大值为OC r +， 故选：B.的【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法运算，考查求向量的模，解题的关键是令11OE e =，22OE e = ，OA a =，然后根据已知条件画出图形，结合图形求解，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：（ ）A. 甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B. 乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C. 甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D. 乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数 【答案】BC 【解析】【分析】根据甲、乙两班的频率分布直方图直接求出甲、乙两班的平均数、中位数即可得解. 【详解】对于A ，由甲班频率分布直方图可得甲班成绩的平均数为x =甲()0.01667.50.06472.50.0477.50.03282.50.02487.50.01692.50.00897.55×+×+×+×+×+×+×× 79.1=，甲班成绩分在[)65,75内频率之和()0.0160.06450.40.5+×=<， 成绩分在[)65,80内频率之和为()0.0160.0640.0450.60.5++×=>， 所以甲班成绩的中位数为0.50.4755=77.579.10.045−+×<×，故A 错误；对于B ，由乙班频率分布直方图可得乙班成绩的平均数为x =乙()0.01697.50.06492.50.0487.50.03282.50.02477.50.01672.50.00867.55×+×+×+×+×+×+×× 85.9=，乙班成绩分在[)65,85内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.03250.40.5+×=<， 成绩分在[)65,90内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.032+0.0450.60.5+×=>， 所以乙班成绩的中位数为0.50.4855=87.585.90.045−+×>×，故B 正确；对于C ，由A 、B 可知甲班平均数小于乙班平均数，故C 正确； 对于D ，由A 、B 可知甲班中位数小于乙班的中位数，故D 错误. 故选：BC.10. 在梯形ABCD 中，2,2,2AD BC AD AB AN ND === ，则（ ） A. 12DC AB AD =−B. 0AB BD ⋅=C. 0AC CD ⋅=D. AN 在AC 上的投影向量为23AC【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量即平面几何知识即可求解.【详解】取AD 的中点E ，连接,,,BE CE AC BD ，12AE AD =根据题意可知，//AD BC 且2AD BC =，则BC AE =，BC ED =，所以四边形AECB 为平行四边形，所以12DC EB AB AE AB AD ==−=−，故A 正确；因为题意没有说明BC 与CD 的大小关系，所以不能证明AC BD ⊥，故B 错误；为因为12AE AD =，12BC AD =，且12AB AD = ，所以AB AE =，所以四边形AECB 为菱形，所以AC BE ⊥，因为//BE CD ， 所以AC CD ⊥，所以0AC CD ⋅=，故C 正确； 过N 作AC 的垂线，垂足为F ，连接NF ，因为AC CD ⊥且AC NF ⊥，2AN ND =，所以23AN AC =，AN 在AC 上的投影向量为23AC ，故D 正确；故选：ACD.11. 在长方体1111ABCD A B C D −中，11,AB AD AA ===，动点P 满足[]()1,0,1BP BC BB λµλµ=+∈，则（ ）A. 当0λ=时，AC DP ⊥B. 当1λ=时，AC 与DP 是异面直线C. 当1µ=时，三棱锥1P ABB −的外接球体积的最大值为4π3D. 当12µ=时，存在点P ，使得DP ⊥平面1ACD 【答案】ACD 【解析】【分析】用线面垂直证明线线垂直，即可判断A ；当1λ=，0µ=时, AC 与DP 有交点，即可判断B ；当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的体积最大，从而得到外接球体积最大，即可得解C ；当0λ=时，112BP BB =，即P 为1BB 的中点时，DP ⊥平面1ACD ,证明即可判断D.【详解】对于A ，当0λ=时，1BP BB µ=，在长方体中，易知1BB ABCD AC ABCD ⊥⊂平面，平面，所以1BB AC ⊥，又1AC DB DB BB B ⊥=，，所以1AC DBB ⊥平面 又1DP DBB ⊂平面，所以AC DP ⊥，故A 正确；对于B ，当1λ=，0µ=时，BP BC =，此时，又AC 与DP 相交于点C ，故B 错误；对于C ，当1µ=时，1BP BC BB λ=+，当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的高最大，由于底面1ABB 的面积是定值，所以此时三棱锥1P ABB −的体积最大，即三棱锥1P ABB −的外接球体积最大。
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高一数学第二学期测试卷xx.3
试卷总分100分,考试时间60分钟
一、填空题（每小题5分，共50分）
1、直线34120x y --=上的点到原点的距离的最小值是 .
2、扇形的圆心角是72︒，半径为20cm, 则扇形的面积为
3、已知点),3(y P -在角α的终边上,且满足5
4sin =α,则αtan 的值为 . 4、sin600°的值是 .
5、已知αα
αααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为 . 6、已知1352sin =α,13
122cos -=α,则角α所在的象限是 . 7、若cos(π+α)=-2
3,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于 . 8、先将函数y=5sin （6
π－3x ）的周期扩大为原来的2倍，再将新函数的图象向右平移3
π，则所得图象的解析式为 . 9、给出下列命题： ①函数)22
5sin(x y -=π是偶函数； ②函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2
,2[π
π-上是增函数； ③直线8π=x 是函数)4
52sin(π+=x y 图象的一条对称轴； ④将函数)32cos(π-=x y 的图象向左平移3
π单位，得到函数x y 2cos =的图象； 其中正确的命题的序号是： ；
10、圆22(1)(1)1x y -+-=关于x 轴对称的圆方程是 . 二、解答题（共70分）
11、（本题10分）化简 )sin()
4sin()8()2tan()23tan(1)3tan()5(θπθθπθππθθππθ-+---•--•--Cos Sin
12、（本题15分）已知函数)2lg()(),2lg()(x x g x x f -=+=，设)()()(x g x f x h +=
（1）求函数h(x)的定义域。
（2）判断函数h(x)的奇偶性，并说明理由。
13、（本题15分）（1）已知5
1cos sin ,02=+<<-
x x x π，求sinxcosx 和sinx-cosx 的值。
（2）已知tan α=2，求αααα22cos 2cos sin 3sin 2--的值。
14、（本题15分）已知函数f(x)=3sin(2x+
6π)+cos(3
π-2x)-1, （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的最大值及取得最大值时x 的取值集合;
（3）求函数f(x)的单调递增区间;（4）该函数的图象可以由y=sinx 的图象怎样变换得到？
15、（本题15）设函数()2122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为g (a ) .
⑴求g (a );
⑵求使g (a )12
=的a 的值及此时f (x )的最大值.
高一数学测试卷解答
1、125
2、80π cm 2
3、34-
4、23-
5、-16
23 6、第四象限 7、-23 8、 y=5sin （32π－x 2
3） 9、①③ 10、
222210x y x y ++-+= 11、)sin()
4sin()8()2tan()23tan(1)3tan()5(θπθθπθππθθππθ-+---•--•--Cos Sin =θθ
θθθ
θθθθsin sin cos sin cos sin cos 1tan sin --•-•--=0sin sin =-θθ 12、
201,2220
x x x +>⎧-<<⎨->⎩∴Q 解：（）由得 所以函数h(x)的定义域是{x|-2<x<2}
(2)h(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=h(x)
函数h(x)为偶函数 13、 解：（1）sinx+cosx=51，251cos cos sin 2sin 22=++x x x x ,∴sinxcosx= -25
12; 25
49cos sin 21)cos (sin 2=-=-x x x x ,
Θ0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π
∴sinx-cosx=57-
(2)原式=α
αααααααα222222tan 12tan 3tan 2cos sin cos 2cos sin 3sin 2+--=+-- =01
22232222=+-⨯-⨯ 14、解：（1）f(x)=3sin(2x+6π)+cos(3π-2x)-1= f(x)=3sin(2x+6π)+cos[2π-（6
π+2x ）]-1 =3sin(2x+6π)+sin(2x+6π)-1=4sin(2x+6
π)-1 函数的周期为 T=22
π=π （2）当 2x+6π=2,2
k k Z ππ+∈,即,6x k k Z ππ=+∈时，3max =y 当 2x+6π=-2,2
k k Z ππ+∈,即,3x k k Z ππ=+∈时，5min -=y （3）单增区间：222,,26236
k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+∈即 即,,36x k k k Z π
πππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦
（4）y==sinx 向左平移6π单位 y=sin(x+6
π) 纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半 y=sin(2x+
6π) 横坐标不变，纵坐标扩大为原来的4倍数 y=4sin(2x+6
π) 向上平移1个单位 y=4sin(2x+6π)+1 14、解：(1)()22122cos 2sin 2221f x a a x x Cos x aCosx a =---=---
=2
22()2122
a a Cosx a ---- 当12
a <-，即2,a <-时，[]max ()1f x =,此时Cosx=-1 当1≤a 2，即22a -≤≤时，[]max ()2122a f x a =---，此时Cosx=2
a
当2
a >1,即a>2时，[]max ()14f x a =-，此时Cosx=1 即g(a)=21,2,
21,22,2
14,
2.a a a a a a ≤-⎧⎪⎪----<<⎨⎪-≥⎪⎩
(2) g (a )12
=,显然2,a <-时不合题意 当22a -≤≤时，121,430,1322
22a a a a a a =---++==-=-或 而22,1a a -≤≤∴=-。
当a>2时，1-4a 12=,a 18
=<2,不合题意。
综上所述，所求职a 的值为 –1。
a=-1时，[]max ()5f x =。