matlab实现平面图形的几何变换.docx

实验报告
课程名称：数学实验
实验名称：平而图形的几何变换
指导教师：
实验目的、要求：
1.了解儿何变换的基本概念。

2.了解平移、伸缩、对称、旋转等变换。

3.学习掌握MATLAB软件冇关的命令。

实验仪器：
安装有MATLAB软件的计算机
实验步骤：
一、实验原理
1.几何变换程的基本概念
在平面直角坐标系下，点A由坐标(x,y)表示，如果存在两个函数
*=£(兀，刃,y'= f2(x,y)
将点A(x, y)映射成点A\x,y),则称函数.齐,.％确定了一个平面上的几何变换丁。

如果能从上面的方程组中反解出(x,y):
兀=g](*,卩),)'=g2(兀'，)') 则称两数®,g2确定了卩的逆变换厂'。

2.几种常见的几何变换
常见的平面图形的儿何变换有平移、伸缩、对称、旋转等变换。

平移变换：把函数_y = f(x)变化为y = f(x + a)f可将函数图形向右平移d个单位，把函数)，=于(x)变化为y = fM + a),可将函数图形向上平移d个单位，
伸缩变换：把函数y = /(兀)变化为y = f(sx),函数图形会压缩或伸长，其作是改变水平轴的刻度单位，因此$称为水平刻度参数，把函数y =/(兀)变化为y = “(x),则可改变垂直轴的刻度单位。

旋转变换：设函数图形以原点为中心，逆吋针旋转。

也，原来的坐标(兀,刃变为新的坐标(X,Y),旋转变换为
*
X = xcos& — ysin。

V
Y = xsinO+ ycosd
对称变换：把函数y = /(兀)变化为y = -/(-x)，函数图形关于原点对称；把函数y = /(X)变化为y = /(-%)，函数图形关于y轴对称；把函数y =(兀)变化为y = -f(x), 函数图形关于x轴对称。

3.几何变换的矩阵表示
平移变换、缩放变化、旋转变换、对称变换可以写成如下统一的形式:
上式可写为如下矩阵表示形式
X
~a H
a
\l
b
\
Y =A y
a
i\。

b
2
1
1
0 0
1
1
0 I 对于平移量为(/,加)的平移，对应的矩阵为A = 0
1 m 0
0 1
COS0 以原点为屮心，逆时针旋转0角的变换，对应的矩阵为4= sin6^
I 0 0_
比例系数为的缩放，对应的矩阵为A = 0 t 0
0 0 1 1 0 0
关于X 轴对称的变换，对应的矩阵为A = 0-10
0 0 1
-10 0
关于y 轴对称的变换，对应的矩阵为A= 0
1 0
1.
关于直线y = x 对称的变换，对应的矩阵为4=
1 0 0
0 1
二、实验结果
1. 将函数y =旷"的图形向右平移3个单位且向上平移3个单位.
2. 将函数y =厂戏的图形在水平方向收缩一倍，在垂玄方向放人一倍。

3. 将函数y = x 2的图形以原点为中心，顺时针旋转30度角.
4. 已知函数y = 2x-x 2\0<x<2,试扩展函数的定义域，使之成为2周期的偶函数, 并画出
函数在卜8, 8］上的图形。

若要把函数延拓成以4为周期的奇函数呢？
5. 做怎样的变换才能使函数图形绕给定的点⑺小)转动？这个变换可以分解成3个基
本变换:平移量为(-a-b)的平移变换7；,旋转角度为仅的旋转变换笃，7；的逆变换 久".求出变换矩阵，写出与变换和应的方程，并对具体的函数图形进行变换.
X = G]]X +
+b|
Y = a 2i x-}-b 22y = b 2
-sin <9 0
cos 0 0 ；
0 1
(1) y = sine (0,2^) (2) x = asint.y = boosts G (0,2^) 要求：1, 2, 3, 4
题必做，第5题选做。

结果如下（写清题号,程序，画出结果图形）：
1.将函数），二广“的图形向右平移3个单位且向上平移3个单位. 解:
>> clear; close;
>> x=-2:0. 1:2 ;y=exp （-x. "2）;
» xl=x+3;
» yl=y+3;
» plot （心刃:'）
>> xlabel （U ; ylabel C y‘）；
x
2•将函数y = e '的图形在水平方向收缩一倍，在垂直方向放大一倍。

解：
>> clear; close;
>> x=-2: 0. 1: 2 ; jr=exp (-x. "2);
» xl=x*0.5;
» yl=y*2;
» plot (x, y, :')
>> xlabel C x?) ; ylabel C y?);
使之成为2周期的偶函数，并画
出函数在卜8, 8］上的图形。

若要把函数延拓成以4为周期的奇
函数呢？
解：
>> clear; close; » x=0:0.l:2;y=2*x-x. "2; >> xl=-x; » yl=-2*xl-xl. A 2;
>> xl=x+6;x2=x+4;x3=x+2;x4=x-2;x5=x-4;x6=x-6;x7=x-8; » plot (x, y, x 1,刃泌刃 y 3 沁 y, x5,刃 x6, y, x7, y); >> xlabel (? x ?
) ; ylabel C y");
3.将函数y = x 2的图形以原点为中心，顺时针旋转30度角.
解：
》》clear; close;
» x=-2：0. l ：2;y=x. A 2; » xl=x*cos (-pi/6)-y*sin(-pi/6): » yl=x*sin("pi/6)+y*cos ("pi/6); » plot (X, y, xl, yl f f :;
》》xlabel C x' ) ： ylabel C y")：
>> clear： close：
» x=0：0.l：2;y=2*x-x."2; » xl=-x；
» yl=2*xl+xl. A2：
» plot （x丿y, xl丿yl）; >> xlabel C x?）：ylabel C y?）：
实验心得
了解几何变换的基木概念和平移、伸缩、对称、旋转等变换。

并学习掌握MATLAB软件有关的命令。

教师评语。