高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3_3_1 指数函数及其性质高效测评 北师大版必修1
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C ．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（ ）A ．21a b a++B ．21a b a+C ．21a b aD ．21a b a-3．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >4．已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2xf xg x +=，若对于任意的[]1,2x ∈，都有()()20f x a g x a -⋅-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．317,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．155,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．一种放射性元素最初的质量为500g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为（ ）年.（注：剩余质量为最初质量的一半，所需的时间叫做半衰期），（结果精确到0.1，已知lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.36．已知正实数a ，b ，c 满足：21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设函数()21xf x =-，c b a <<，且()()()f c f a f b >>，则22a c +与2的大小关系是（ ） A ．222a c +> B ．222a c +≥ C ．222a c +≤D ．222a c +<8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，x ∈[1，2]与函数.2y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y =xB ．1y x x=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5x 9．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．11．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.14．函数12()log (2)f x x =-的定义域为______.15．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.16．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．17．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |；③若log a12＜1，则a 的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）；④若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），则x +y ＜0.其中所有正确命题的序号是_____. 18．已知12512.51000x y ==，则11x y＝_____.19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．已知函数(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题21．已知函数()log (31)a f x x =+，()log (13)a g x x =-(0a >且1)a ≠． （1）求()()()F x f x g x =-的定义域； （2）判断函数()F x 的奇偶性；（3）若()()0f xg x ->，求x 的取值范围．22．计算下列各式： （1）)2 （2）92log 2663log 4log 3.2++ 23．已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()(2)(2)g x f x f x =++-的奇偶性，并说明理由. 24．已知函数35()log 5xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论. 25．（1）若223a a -+=，求1a a --和33a a --的值；（2）计算33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+的值.26．已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数.（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有()()420xxf f λ+≥成立.求实数λ的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数； C．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．C解析：C 【分析】利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示.【详解】根据对数的换底公式得，5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a ba+++====---， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.3．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.4．B解析：B 【分析】利用奇偶性求出()222x x f x -+=，()222x x g x --=，讨论()22x xh x -=+和()g x 的单调性求最值可得()()h x g x >恒成立，则不等式恒成立等价于()()max min g x a h x ≤≤. 【详解】()()2x f x g x +=，()()2x f x g x --+-=∴，()f x 是偶函数，()g x 分是奇函数，()()2x f x g x -=∴-，可得()222x x f x -+=，()222x xg x --=，则不等式为()()1222202x xx x a a --⎡⎤+-⋅--≤⎢⎥⎣⎦，令()22xxh x -=+，令2x t =，由对勾函数的性质可得1y t t=+在[]2,4单调递增，则()22x xh x -=+在[]1,2单调递增，则()()()()min max 5171,224h x h h x h ====， 对于()222x x g x --=，因为2xy =单调递增，2x y -=-单调递增，()g x ∴在[]1,2单调递增，()()()()min max 3151,248g x g g x g ∴====， ()()h x g x ∴>恒成立，则不等式()()0h x a g x a --≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()g x a h x ≤≤，()()max min g x a h x ∴≤≤，即15582a ≤≤. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为()()max min g x a h x ≤≤即可求解.5．B解析：B 【分析】先根据题意列出关于时间的方程，然后利用指对互化以及对数换底公式并结合所给数据可计算出半衰期. 【详解】设放射性元素的半衰期为x 年，所以()500110%250x-=， 所以()1110%2x-=，所以0.91log 2x =，所以109log 2x =， 所以lg 2lg10lg9x =-，所以lg 212lg 3x =-，所以0.3010120.4771x =-⨯，所以 6.6x ≈，故选：B. 【点睛】思路点睛：求解和对数有关的实际问题的思路： （1）根据题设条件列出符合的关于待求量的等式；（2）利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求解出待求量的值.6．B解析：B 【分析】a ､b ､c 的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断a ，b ，c 大小关系.【详解】因为21()log 2a a =，21()log 3b b =，2log c c 1=， 所以a ､b ､c 为2log y x =与1()2x y =，1()3xy =，y x =-的交点的横坐标，如图所示：由图象知： c b a <<. 故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，属中挡题.7．D解析：D 【分析】运用分段函数的形式写出()f x 的解析式，作出()21xf x =-的图象，由数形结合可得0c <且0a >，21c <且21a >，且()()0f c f a ->，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】()21,02112,0x xxx f x x ⎧-≥=-=⎨-<⎩， 作出()21xf x =-的图象如图所示，由图可知，要使c b a <<且()()()f c f a f b >>成立， 则有0c <且0a >， 故必有21c <且21a >，又()()0f c f a ->，即为()12210c a--->，∴222a c +<． 故选：D ． 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．8．B解析：B 【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确； 对C ：22xxy -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.9．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题10．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ； 3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析：a b c << 【解析】画出函数3xy =，3log y x =，y x =-，2y =-的图象，如图所示：观察图象可知，函数()3xf x x =+，3()log 2g x x =+，3()logh x x x =+的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程()()0f x g x -=的根，可分别画出()f x 与()g x 的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.14．【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件得到不等式组求解函数的定义域即可得结果【详解】根据题意可得：解得所以函数的定义域为故答案为：【点睛】该题考查的是有关求函数的问题涉及到的知识点有求给定函数的定 解析：(2,3]【分析】根据二次根式和对数式有意义的条件，得到不等式组求解函数的定义域即可得结果.【详解】 根据题意可得：1220log (2)0x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩， 解得23x <≤，所以函数()f x =(2,3]，故答案为：(2,3].【点睛】该题考查的是有关求函数的问题，涉及到的知识点有求给定函数的定义域，在解题的过程中，注意二次根式和对数式需要满足的条件即可得结果.15．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a +++++>恒成立， 即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数， 所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题. 16．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.【详解】 解：()()12log 13y x x =-+ 则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1-令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12log y t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减 根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1-【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.17．②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x ﹣1＝1得x ＝1∴函数f （x ）＝loga （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1﹣1）故①错误；对于②函数解析：②④【分析】根据对数函数的图像与性质，以及函数的单调性和奇偶性，逐个分析判断即可得解.【详解】对于①，由2x ﹣1＝1，得x ＝1，∴函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；对于②，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），设x ＞0，则﹣x ＜0，∴f （x ）＝f （﹣x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x （x ﹣1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |，故②正确；对于③，由log a 12＜1，得log a 12＜log a a ，当a ＞1时，不等式成立， 当0＜a ＜1时，解得012a <<.则a 的取值范围是（0，12）∪（1，+∞），故③错误； 对于④，由2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），得2﹣x ﹣lnx ＞2y ﹣ln （﹣y ）， ∵函数f （x ）＝2﹣x ﹣ln x 为定义域内的减函数，∴x ＜﹣y ，即x +y ＜0，故④正确.故答案为：②④.【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质，考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了转化思想，属于中档题.本题涉及的方法有一下几个：（1）根据奇偶性求解析式，注意范围的设定；（2）构造函数，利用函数的单调性，确定大小关系.18．【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题 解析：13【分析】根据指数与对数之间的关系,求出,x y ,利用对数的换底公式,即可求得答案.【详解】∵12512.51000x y ==， ∴12512.51000100011log 1000,log 1000log 125log 12.5x y ====， ∴1000100011log 125,log 12.5x y==， ∴1000111log 103x y -==. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系.掌握对数换底公式:log log log c a c b b a=是解本题的关键.属于基础题. 19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集.【详解】当1x ≤时，1()2x f x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞.故答案为：[)0,+∞.【点睛】 本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．【分析】根据的值域为可知需在单调递增且即可【详解】由题意知的值域为故要使的值域为则必有为增函数且所以且解得故答案为：【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围属于中档题 解析：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 【分析】根据()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，可知()(12)3(1)f x a x a x =-+<需在(,1)-∞单调递增且(1)0f ≥即可.【详解】由题意知()ln (1)f x x x =≥的值域为[0,)+∞，故要使()f x 的值域为R ，则必有()(12)3f x a x a =-+为增函数，且1230a a -+≥，所以120a ->，且1a ≥-，解得112a -≤<. 故答案为：112⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考查了已知分段函数值域求参数范围，属于中档题. 三、解答题21．（1）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域.（2）通过()()F x F x -=-证得()F x 是奇函数.（3）对a 进行分类讨论，结合对数型函数的单调性求得x 的取值范围.【详解】（1）()log (31)log (13)a a F x x x =+--，310130x x +>⎧⎨->⎩，解得：1133x -<<， 所以()F x 的定义域为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知()F x 的定义域关于原点对称，又()log (13)log (31)()a a F x x x F x -=--+=-，所以()F x 是奇函数，.（3）()()0f x g x ->，即log (31)log (13)a a x x +>-， 当1a >时，3101303113x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：103x <<， 当01a <<时，3101303113x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：103x -<<. 【点睛】判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称性.22．（1）2；（2）3.【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简求解；（2）直接利用对数的运算法则和性质化简求解.【详解】（1）)02 ()13|2|ππ=+-+-42ππ=-+-=2（2）92log 2663log 4log 32++ 232log 26662log 2log 3log 23=+-+3log 266log 2log 33=++=6log (23)2123⨯+=+=.【点睛】(a n =是奇数||(a n =是偶数).使用上面的公式时，一定要注意n 的奇偶性，再化简.23．（1）2()log f x x =（2）偶函数.见解析【分析】（1）根据(4)(2)1f f -=，代入到函数的解析式中可求得2a =，可求得函数()f x 的解析式; （2）由函数()f x 的解析式，求得函数()g x 的解析式，先求得函数()g x 的定义域，再由函数的奇偶性的判断方法证得函数的奇偶性.【详解】（1）因为()log (0,1)a f x x a a =>≠，且(4)(2)1f f -=，所以log 4log 21a a -=，即log 21a =.，解得2a =，所以2()log f x x =;（2）因为()log a f x x =，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-,由2020x x +>⎧⎨->⎩,得22x -<<,所以()g x 的定义域为()22-，， 又因为22()log (2)log (2)()g x x x g x -=-++=，所以22()log (2)log (2)g x x x =++-为偶函数.【点睛】本题考查对数函数的函数解析式的求解，函数的奇偶性的证明，属于基础题. 24．（1）(5,5)- （2）奇函数，见解析【分析】（1）若()f x 有意义,则需满足505x x->+,进而求解即可； （2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可.【详解】（1）由题,则505x x->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5- （2）奇函数,证明:由（1）,()f x 的定义域关于原点对称,因为()()33355log log log 1055x x f x f x x x+--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明.25．（1）1,4±±；（2）1.【分析】（1）利用完全平方公式和立方差公式计算．（2）由对数的运算法则计算．【详解】（1）1222()2321a a a a ---=-+=-=，所以11a a --=±， 33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=±⨯+=±；（2）lg 2lg5lg(25)1+=⨯=．3322(lg 2)3lg 2lg5(lg5)(lg 2lg5)(lg 2lg 2lg5lg 5)3lg 2lg5+⋅+=+-++ 2222lg 2lg 2lg5lg 53lg 2lg5lg 22lg 2lg5lg 5=-++=++2(lg 2lg 5)1=+=．【点睛】本题考查幂的运算法则和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题基础．26．（1）22m n =⎧⎨=⎩；（2）1λ≥-. 【分析】（1）根据()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-即可求解实数m ，n 的值；（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围.【详解】（1）当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦， 因为()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()()1122f x x n m x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴-=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. 2020m n -=⎧∴⎨-=⎩，22m n =⎧∴⎨=⎩， 又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩， 综上：22m n =⎧∴⎨=⎩. （2）40x >，20x >， 原不等式化为11242222042x x x x λλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令122x xt =+，则2t ≥， 原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞ ①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥， 1λ∴≥-合理；②当22λ->时，即4<-λ时，()n 2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然不成立. 综上实数λ的取值范围为：1λ≥-.【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，奇函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档.。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =3．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a bm 的值为（ ）ABC．D．±5．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<7．已知函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>8．已知2log 0.8a =，0.7log 0.6b =，0.60.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<9．已知函数()sin 2f x x x =-，且()0.3231ln ,log ,223a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下结论正确的是A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>10．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦11．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（ ）A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >12．已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数(||1)f x +的图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________.14．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．15．关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.16．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________.17．已知函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点（m ，n ），且函数g （x ）＝mx 2﹣2bx +n 在[1，+∞）上单调递减，则实数b 的取值范围是________. 18．已知2336m n ==，则11m n+=______． 19．函数()212log 2y x x =-的定义域是______，单调递减区间是______.20．设函数()f x 满足()22221xf xax a =-+-，且()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-，则实数a 的取值范围为______.三、解答题21．计算下列各式的值： （1）3224031168()281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()2log 1483log 3log 3log 22+⨯+.22．已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠），满足(2)(1)6f f +=； （1）求()f x 的解析式；（2）若方程()(2),[0,1]m f x f x x =-∈有解，求m 的取值范围；（3）已知()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，函数()()()f x g x h x =+；若存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，求a 的取值范围．23．计算：(1)011327(0.064)0.258-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭； (2)22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+. 24．已知函数()442xx f x =+；（1）若01a <<，求()()1f a f a +-的值； （2）求12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 25．已知函数11()ln 12f x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. （1）先求1(2)2f f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再求[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的值； （2）求()f x 的定义域，并证明()f x 在定义域上恒正.26．已知命题:p 关于x 的不等式()10,1xa a a >>≠的解集是{}0x x <，命题:q 函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题.求实数a的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．A解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立， 因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤， 所以0m =， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.3．D【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.4．D解析：D 【分析】利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果，然后利用换底公式将log a bm 变形为1log log m m a b-，根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出log log m m a b -的结果，则log a bm 的值可求.【详解】因为log log 4log log 2a ba b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩，所以114log log 112log log m m m m a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，所以log +log 4log log 1log log 2m m m m m m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，所以log +log 21log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，又因为11log log log log a m m bmm a a b b==-，且()()22log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-，所以log log m m a b -=所以log 2a bm ==±，故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将log a bm 变形为1log log m m a b-，再根据方程根之间的关系求解出结果.5．A解析：A 【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解. 【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212ln ln 2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<， a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<，故选：A 【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.6．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.7．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点， 即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标， 如图所示：由图象可得：c a b >>， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.8．C解析：C 【解析】因为22log 0.8log 10a =<=，0.70.7log 0.6log 0.71b =>=，0.6000.70.71c <=<=，所以a c b <<，故选C.9．D解析：D 【解析】因为()cos 20f x x '=-<，所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数，又因为0.3213log 0,ln ln 1,12232e <<=<<，即0.3213log ln 232<<，所以由函数的单调性可得：0.3213(log )(ln )(2)32f f f >>，应选答案D ．10．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题11．C解析：C 【分析】 先判断1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14a <，分类讨论，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4aa a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<； 当1a >时，log ay x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【点睛】解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．12．B解析：B【分析】利用对数函数的图象，以及函数的奇偶性和图象的变换，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，由函数()log a f x x =是增函数知，1a >， 当0x ≥时，函数(1)log (1)a y f x x =+=+，将函数1()log ,()a f x a x >=的图象向左平移1个单位，得到函数log (1)a y x =+的图象， 又由函数(1)y f x =+满足(1)(1)f x f x -+=+，所以函数(1)y f x =+为偶函数， 且图象关于y 轴对称， 故选B. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的图象变换的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质和函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由函数的定义域是即结合函数的解析式列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数有意义则满足解得解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解以及对数函数 解析：(0,1)【分析】由函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，结合函数的解析式(21)()ln(1)f xg x x -=-，列出不等式组12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域是[1,1]-，即11x -≤≤，则函数(21)()ln(1)f x g x x -=-有意义，则满足12111011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩ ，解得0110x x x ≤≤⎧⎪<⎨⎪≠⎩，解得01x <<，即函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是(0,1).故答案为：(0,1). 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的求解，以及对数函数的性质的应用，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.15．【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题解析：(,1-∞-. 【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解. 【详解】由()()222log 1log 2x x ->-，得21220x xx ⎧->-⎨->⎩，解得1x <--∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.故答案为：(,1-∞-. 【点睛】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题.16．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.17．【分析】先求出m=-1n=3再利用二次函数的图像和性质分析得解【详解】因为函数f （x ）＝loga （x+2）+3的图象恒过定点所以m=-1n=3所以g （x ）＝-x2﹣2bx+3因为g （x ）＝-x2﹣2 解析：[)1,-+∞【分析】先求出m =-1,n =3.再利用二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】因为函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点(1,3)-， 所以m =-1,n =3，所以g （x ）＝-x 2﹣2bx +3，因为g （x ）＝-x 2﹣2bx +3在[1，+∞）上单调递减， 所以对称轴1x b =-≤， 解得1b ≥-， 故答案为：[)1,-+∞ 【点睛】关键点点睛：本题考查了对数型函数过定点，可求出,m n 的值，利用了二次函数的单调性与对称轴的关系求出b 的范围.18．【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解【详解】由可得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用考查了学生的计算能力属于中档题 解析：12【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解． 【详解】由2336m n ==可得23log 36,log 36m n == 所以361log 2m =，361log 3n=， 所以363636111log 2log 3log 62m n +=+==， 故答案为：12【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．19．【分析】由表达式可知解出对应即可求解定义域再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间【详解】由题可知可看作在定义域内为减函数根据复合函数增减性当内层函数为增函数则在对应区间为减函数故函数的定义域是解析：()(),02,-∞+∞ ()2,+∞【分析】由表达式可知220x x ->，解出对应x ，即可求解定义域，再结合复合函数同增异减性质可求函数单调减区间 【详解】由题可知，()()220,02,x x x ->⇒∈-∞+∞，()212log 2y x x =-可看作12log y t =，22t x x =-，12log y t =在定义域内为减函数，根据复合函数增减性，当()2,x ∈+∞，内层函数为增函数，则()212log 2y x x =-在对应区间为减函数，故函数()212log 2y x x =-的定义域是()(),02,-∞+∞，单调递减区间是()2,+∞故答案为：()(),02,-∞+∞；()2,+∞【点睛】本题考查对数型函数具体定义域和对应增减区间，属于基础题20．【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数解析：332,22⎡⎤⎡-+⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【分析】利用换元法，可得()2221g x x ax a =-+-，然后采用等价转换的方法，可得()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-，最后根据二次函数的性质，可得结果.【详解】 由()22221xf xax a =-+-令22,log xt x t ==，所以()()2222log 2log 1f t t a t a =-+- 则令()2221g x x ax a =-+-由()f x 在21222,2a aa --+⎡⎤⎣⎦上的值域为[]1,0-等价为()g x 在21,22a a a ⎡⎤--+⎣⎦的值域为[]1,0-()g x 的对称轴为x a =，且()()1,10g a g a =--= 所以()()22122222a a a a a a -+-+≤≤-+可得312a ≤≤或322a +≤≤所以332,22a ⎡⎤⎡∈⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦故答案为：332,22⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档题.三、解答题21．（1）1927-；（2）116. 【分析】（1）利用指数的运算法则化简求解； （2）利用对数的运算法则化简求解. 【详解】 （1）()3224031168281π-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()324343224()13⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦8194412727=-+-=-. （2）()2log 1483log 3log 3log 22++22311log 3log 3log 2123⎛⎫=++ ⎪⎝⎭235511log 3log 211666⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：指数对数的运算化简，一般先观察指数对数的形式，再利用合适的运算法则化简求解.22．（1）()2x f x =；（2）[2,0]-；（3）17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【分析】（1）根据(2)(1)6f f +=求解出a 的值，即可求解出()f x 的解析式；（2）采用换元法构造函数2(),[1,2]F t t t t =-∈，将m 的取值范围与()F t 的最值联系在一起，由此求解出结果；（3）先根据函数的奇偶性求解出()(),h x g x 的解析式，然后采用分离参数法得到1222222x x x x a --⎡⎤≤--+⎢⎥-⎣⎦，采用换元法求解出1222222xx x x --⎡⎤--+⎢⎥-⎣⎦的最大值，从而求解出a 的取值范围.【详解】（1）因为(2)(1)6f f +=，所以260,2a a a +-==或3a =-（舍去），所以()2x f x =；（2）由（1）知，()2x f x =，所以()222222x x x xm =-=-，令2,[1,2]xt t =∈，令2(),[1,2]F t t t t =-∈，所以()F t 的对称轴为12t =，且()F t 为开口向下的二次函数，所以()F t 在[]1,2上单调递减，所以()()ma min x (2)2,(1)0F t F F t F -====，所以m 的取值范围为[2,0]-； （3）因为()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，所以()(),()()g x g x h x h x -=--=．由题()()()f x g x h x =+知，2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+-⎩，即2()()2()()x x g x h x g x h x -⎧=+⎨=-+⎩解得2222(),()22x x x xh x g x --+-==将上式代入2()(2)0ag x h x +≤，得()()221222202x xxx a ---++≤，易知()22222212211222222222222xx xxx x x x x x x x a -------++⎡⎤≤-⋅=-⋅=--+⎢⎥---⎣⎦． 令12,[1,2]2x xt x =-∈，则315,24t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122a t t ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭， 因为存在[1,2]x ∈使得2()(2)0ag x h x +≤，所以max12132173222122a t t ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫≤-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭所以a 的取值范围是17,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【点睛】方法点睛：不等式在指定区间上有解或恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的关系. 23．(1)10；(2)3. 【分析】（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算； （2）由对数运算法则计算． 【详解】 (1)解：原式()()1323120.410.5-=-+1321511218105222-⎛⎫=-++=-++= ⎪⎝⎭.(2)解：原式2322lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3=++++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．24．（1）1；（2）1010． 【分析】（1）根据4()42xx f x =+的表达式，求出()(),1f a f a -的表达式，再进行分式通分运算，可得()()11f a f a +-=． （2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再把S 的表达式运用加法交换律改写成20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，把两式相加利用()(1)1f x f x +-=求出S 的值．【详解】 （1）4()42xxf x =+，x ∈R ． ∴()()1f a f a +-1144444442424224aaaa a a a a--=+=+++++4214224a a a=+=++，（2）设12320202021202120212021S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则 20201202120212021202321S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相加得：12[][][]92022020220120201202120212022120211021S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由（1）得：20202201109211,1,,221202120212021202120220101f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴220201010S S =⇒=.【点睛】本题考查指数幂运算，分式运算，利用函数的性质进行式子求值，考查运算求解能力.25．（1）0；0，（2）定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，见解析 【分析】（1）先求出1(2)02f f ⎛⎫-=⎪⎝⎭，再证明1()0f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即得解；（2）先求出函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，再分类讨论证明()f x 在定义域上恒正.【详解】 （1）1(2)02f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，111111()ln ln 11221f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭1111111ln ln ln 1ln 121212121x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0=.所以[]1111(11)(12)(29)(66)11122966f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111(11)(12)(29)(66)011122966f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （2）由题得0x >且1x ≠，所以函数()f x 的定义域是(0,1)(1,)⋃+∞，1()ln 2(1)x f x x x +=-.当(0,1)x ∈时，10x -<，ln 0x <，10x +>，所以()0f x >； 当(1,)x ∈+∞时，10x ->，ln 0x >，10x +>，所以()0f x >. 综上，()f x 在定义域上恒正. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查函数值的求法，考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围，再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假，然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题知:p 关于x 的不等式1x a >（0a >且1a ≠）的解集是{}0x x <，所以：01a <<.:q函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，等价于x R ∀∈，210ax +>.（i ）当0a =时，不等式10+>在R 上不恒成立；（ii ）当0a ≠时，0240a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >.即1:2q a >.如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假，或p 假q 真，若p 真q 假，则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，可得102a <≤；若p 假q 真，则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩或，可得1a ≥. 解得102a <≤或1a ≥. 所以，实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数，考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题，考查运算求解能力，属于中等题.。
_学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.3.2指数函数的图像与性质高效测评北师大版必修10307
2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3.2 指数函数的图像与性质高效测评 北师大版必修1一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝3x与y ＝3－x的图像关于下列哪条直线对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝xD ．直线y ＝－x解析： y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x， 由y ＝3x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x关于y 轴对称， 所以y ＝3x 与y ＝3－x关于y 轴对称． 答案： B2．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x的图像可能是( )解析： 需要对a 讨论：①当a >1时，f (x )＝ax 过原点且斜率大于1，g (x )＝a x是递增的．②当0<a <1时，f (x )＝ax 过原点且斜率小于1，g (x )＝a x是减函数．显然B 正确．答案： B3．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），则f (x )＝2x ⊕2－x的图像是( )解析： x ≥0时，2x≥1≥2－x>0；x <0时，0<2x <1<2－x .故f (x )＝2x ⊕2－x＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥0，2x ，x <0.答案： C4．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >aD ．c >a >b解析： a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1.而c ＝1.20.8>1.20＝1， ∴c >a >b . 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－3x在区间[－1，1]上的最大值等于________________________________________________________________________．解析： 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 是减函数，y ＝3x 是增函数，可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x－3x是减函数，故当x ＝－1时函数有最大值143.答案：1436．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析： 当0<a <1时，如图(1)所示， 要使得y ＝2a 与y ＝|a x－1|有两个交点， 需0<2a <1，故0<a <12.当a >1时，如图(2)所示，由于y ＝2a >2，所以y ＝2a 与y ＝|a x－1|不存在两个交点，故a 的取值范围为0<a <12.答案： 0<a <12三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知a >0且a ≠1，讨论f (x )＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．解析： 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋174，则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a >1时，y ＝a u是增函数，当0<a <1时，y ＝a u是减函数，所以当a >1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是增函数．当0<a <1时，原函数f (x )＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上是减函数．8．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x (e>1)是R 上的偶函数．(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 解析： (1)依题意，对一切x ∈R ，都有f (x )＝f (－x )， ∴exa ＋a e x ＝1a ex ＋a e x. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0.∴a －1a＝0，即a 2＝1.又a >0，∴a ＝1； (2)证明：设0<x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e x 2＋1e x 1－1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎪⎫1e x 1＋x 2－1＝e x 1(e x 2－x 1－1)·1－e x 1＋x 2e x 1＋x 2，∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0，x 1＋x 2>0，又由e>1知y ＝e x在R 上为增函数， ∴e x 2－x 1－1>0，1－e x 1＋x 2<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝a x在x ∈[－2，2]上恒有f (x )<2，求a 的取值范围． 解析： 当a >1时，函数f (x )＝a x在[－2，2]上单调递增， 此时f (x )≤f (2)＝a 2， 由题意可知a 2<2，即a <2， 所以1<a < 2. 当0<a <1时，函数f (x )＝a x在[－2，2]上单调递减， 此时f (x )≤f (－2)＝a －2， 由题意可知a －2<2，即a >22， 所以22<a <1. 综上所述，所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)．。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(答案解析)(3)
一、选择题1．设a ，b ，c 为正数，且3a =4b =6c ，则有（ ） A ．111c a b=+ B ．221c a b=+ C ．122c a b=+ D ．212c a b=+ 2．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b >B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6B ．13C ．22D ．33 4．设()|lg |f x x =，且0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，则（ ） A ．(1)(1)0a c --> B ．1ac >C ．1ac =D ．01ac <<5．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a bm 的值为（ ）ABC ．D ．±6．函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为（ ）. A ．(0,+∞) B ．(-,0)C ．(2,+∞)D ．(-,-2)7．已知函数3()22xf x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．212B ．214C ．7D ．1528．已知函数()f x 是定义在R 上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x 都有[()3]4x f f x -=，则()()f x f x +-的最小值等于（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．129．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦10．设()21,xf x c b a =-，且()()()f a f c f b >>，则下列说法正确的是（ ）A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c ≥C ．22a c -<D ．222c a +<11．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．物理学规定音量大小的单位是分贝（dB ），对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：010lgII η=(其中0I 是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度1I 是40dB 声音的声波强度2I 的（ ） A ．32倍 B ．3210倍C ．100倍D ．3lg2倍 二、填空题13．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______．14．已知函数()()212log 23f x x ax =-+，若函数的增区间是(),1-∞，则实数a =______. 15．设函数2()ln(1)f x x x =+，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____.16．设函数123910()lg 10x x x x x af x +++++=,其中a 为实数,如果当(,1]x ∈-∞时()f x 有意义,则a 的取值范围是________.17．函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为______. 18．223332()a b ba b-⨯=________（其中0a >，0b >）19．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.20．若函数1 log12ay x⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有最小值-2，则实数a=_______.三、解答题21．已知函数()log(31)af x x=+，()log(13)ag x x=-(0a>且1)a≠．（1）求()()()F x f x g x=-的定义域；（2）判断函数()F x的奇偶性；（3）若()()0f xg x->，求x的取值范围．22．已知函数()1,02,0xx xf xx+≤⎧=⎨>⎩（Ⅰ）求()()()1f f f-的值；（Ⅱ）画出函数()f x的图象，根据图象写出函数()f x的单调区间；（Ⅲ）若()112f x f x⎛⎫+->⎪⎝⎭，求x的取值范围．23．化简下列各式：（1）22.5315330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）2lg2lg3111lg0.36lg1624++⋅+24．计算：（1）()210.2513110.02781369-︒--⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；.（2）()2lg32lg25lg8lg5lg20lg2103+++- 25．（Ⅰ）)2321812-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）解关于x 的不等式：12aa x >--. 26．设函数()log (1)a f x ax =-，其中01a << (1)证明()f x 是1(,)a-∞上的增函数； (2)解不等式()1f x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先根据指对互化求出,,a b c ，再根据换底公式表示111,,a b c，最后根据对数运算法则化简. 【详解】设3a =4b =6c =k ， 则a =log 3k ， b =log 4k ， c =log 6k ， ∴311log 3log k a k ==， 同理1log 4k b =，1log 6k c=， 而11log 2,log 3log 22k k k b c ==+， ∴1112c a b =+，即221c a b =+． 故选：B 【点睛】本题考查指对数运算，换底公式，以及对数运算的性质，关键是灵活应用对数运算公式，公式1log log a b b a=是关键. 2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．B解析：B 【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤，故定义域为[]1,e ，又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.4．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.5．D解析：D 【分析】利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果，然后利用换底公式将log a bm 变形为1log log m m a b-，根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出log log m m a b -的结果，则log a bm 的值可求.【详解】因为log log 4log log 2a ba b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩，所以114log log 112log log m m m m a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，所以log +log 4log log 1log log 2m m m m m m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，所以log +log 21log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 又因为11log log log log a m m bmm aa b b==-，且()()22log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-，所以log log 2m m a b -=±所以2log 2a bm ==，故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将log a bm 变形为1log log m m a b-，再根据方程根之间的关系求解出结果.6．D解析：D 【分析】求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】函数()212()log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，因为函数()f x 是由12log y u =和24u x =-复合而成，而12log y u =在定义域内单调递减，24u x =-在(),2-∞-内单调递减，所以函数()212()log 4f x x =-的单调递增区间为(),2-∞-，故选：D. 【点睛】易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.7．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22xf x =+， 所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222x x x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 8．B解析：B 【分析】根据()3x f x -为定值，可假设()3xf x m =+，然后计算()()f x f x +-，并计算m 的值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】由题可知：()3xf x -为定值故设()3xf x m -=，即()3xf x m =+又[()3]4x f f x -=，所以()341mf m m m =+=⇒= 则()31x f x =+()()3131x x f x f x -+-=+++则1()()32243x x f x f x +-=++≥= 当且仅当133xx=时，取等号 所以()()f x f x +-的最小值为：4故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于()3xf x -为定值，审清题意，细心计算，属中档题.9．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减， 所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题10．D解析：D【详解】分析：先画出函数()21xf x =-的图像，根据c b a >>且()()()f a f c f b >>得到a ＜0，b ＞0，c ＞0,再找正确的选项. 详解：作出函数()21xf x =-的图像，因为c b a >>且()()()f a f c f b >>， 所以a ＜0， c ＞0,因为()()f a f c >，所以2121,1221,222acacac->-∴->-∴+<.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a ＜0，b ＞0，c ＞0.11．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．C解析：C 【分析】先根据010lg II η=得10010I I η=，再将60dB 和40dB 代入得计算12I I 即可得答案.【详解】解：因为音量大小与强度为I 的声波的关系为010lg I I η=， 所以10010I I η=，所以606101001010I I I ==，404102001010I I I ==，所以6014201010010I I I I ==， 故选：C. 【点睛】本题以物理知识为背景，考查指对数的互化，运算等，是中档题.二、填空题13．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减解析：（5，+∞） 【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论． 【详解】由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）故答案为（5，+∞）． 【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题14．1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得；【详解】解：因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴解析：1或2 【分析】 因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，分两种情况讨论，对称轴1x =和对称轴1x a =>，分别计算可得；【详解】解：因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，①当函数()223g x x x a =-+对称轴为1x a ==时，因为()22430∆=--⨯<，所以2230x ax -+>恒成立，满足条件，②当函数()223g x x x a =-+对称轴1x a =>时，需满足()10g =，即21230a -+=解得2a =；综上可得1a =或2 故答案为：1或2 【点睛】本题考查复合函数的单调性判断，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析：1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数， ()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.16．【分析】由题意可得对任意的恒成立分离变量后利用函数的单调性求得在上的范围即可得解【详解】根据题意对任意的恒成立即恒成立则因为函数在上为增函数所以故答案为：【点睛】本题考查对数函数的定义域指数函数的单 解析：[ 4.5,)-+∞【分析】由题意可得对任意的(,1]x ∈-∞，10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，分离变量a 后利用函数的单调性求得981()101010x x xg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上的范围，即可得解. 【详解】根据题意对任意的(,1]x ∈-∞，123910010x x x x x a+++++>恒成立，即10210x x a ⋅+⋯++>恒成立，则981101010x x xa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为函数981()101010xxxg x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在(,1]x ∈-∞上为增函数，所以111981 4.5101010a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：[ 4.5,)-+∞【点睛】本题考查对数函数的定义域，指数函数的单调性，不等式恒成立问题，属于基础题.17．【分析】根据对数的性质可知且最小值为即可求得的值【详解】因为的值域为所以函数的最小值为即解得故答案为：【点睛】本题考查对数函数的值域考查对数的性质合理转化是解题的关键考查了运算能力属于中档题 解析：27【分析】根据对数的性质可知2240y ax x =-+>，且最小值为1，即可求得a 的值.【详解】因为()()()212log 24f x ax x a R =-+∈的值域为(],1-∞，所以2240ax x -+>， 函数224y ax x =-+的最小值为12，即()20442142a a a >⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得27a =，故答案为：27【点睛】本题考查对数函数的值域，考查对数的性质，合理转化是解题的关键，考查了运算能力，属于中档题.18．【分析】根据指数幂的运算法则即可求解【详解】根据指数幂的运算法则可得故答案为：【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的无括号的弦做指数运算；（2）弦乘除后加减负指数幂化为正指数幂的倒 解析：a【分析】根据指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】212132()33113322a b aa a ba b----⨯===.故答案为：a . 【点睛】指数幂运算的一般原则：（1）由括号的先算括号里的，无括号的弦做指数运算； （2）弦乘除后加减，负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来求解.19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.20．或2【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值【详解】当时在为增函数求得即;当时在为减函数求得即故答案为:或【点睛】本题考查复合函数单调性对数方程的解法难度一般解析：12或2 【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出a 的值. 【详解】当1a >时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数,min 33log 1-224a y f ⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得-214a =,即=2a ; 当01a <<时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数,()()min 6log 31-2a y f ==+=,求得-24a =,即1=2a . 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.三、解答题21．（1）11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数；（3）分类讨论，答案见解析． 【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域. （2）通过()()F x F x -=-证得()F x 是奇函数.（3）对a 进行分类讨论，结合对数型函数的单调性求得x 的取值范围. 【详解】（1）()log (31)log (13)a aF x x x =+--，310130x x +>⎧⎨->⎩，解得：1133x -<<， 所以()F x 的定义域为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由（1）可知()F x 的定义域关于原点对称，又()log (13)log (31)()a a F x x x F x -=--+=-，所以()F x 是奇函数，. （3）()()0f x g x ->，即log (31)log (13)a a x x +>-，当1a >时，3101303113x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：13x <<，当01a <<时，3101303113x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：103x -<<.【点睛】判断函数的奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称性. 22．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14x >-． 【分析】（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1ff -，()()()1f f f -即可（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间； （Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，所以()()1011ff -=+=， 所以()()()1122f f f -==；（Ⅱ）函数图象如下：由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； （Ⅲ）①当0x ≤时，102x -≤，所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14x >-， 所以014x -<≤； ②当102x <≤时，102x -<， 所以()2xf x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()112122xf x f x x ⎛⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立， 所以102x <≤符合题意； ③当12x >时，102x ->， 所以()2xf x =，12122x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1212212x xf x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭显然成立，所以12x >符合题意， 综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解. 23．（1）0；（2）1. 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解； （2）根据对数的运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）根据指数幂的运算性质，可得原式22.5311536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭1521335233431102⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⨯⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦531022=--=. （2）由对数的运算性质，可得原式242lg 2lg32lg 2lg311231lg 0.6lg 21lg lg 22410++==⨯++++ 2lg 2lg 32lg 2lg 311lg 2lg 3lg10lg 22lg 2lg 3++===++-++. 【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 24．（1）29-；（2）0 【分析】（1）由幂的运算法则计算； （2）根据对数运算法则计算． 【详解】（1）原式1240.253271101()6(3)13631291000333-=-++-=-++-=-（2）原式2lg32lg52lg 2lg5(1lg 2)(lg 2)10=++++-2lg5lg 2(lg 2lg5)3330=+++-=-= 【点睛】本题考查幂的运算和对数的运算，掌握幂的运算法则和对数运算法则是解题基础． 25．（Ⅰ）2；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】（Ⅰ）利用指数幂的运算性质，即可得出结果.（Ⅱ）将分式不等式化简转化为()()()122020a x a x x ⎧⎡⎤-+-->⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩，分类讨论1a -，解一元二次不等式即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）原式)2321812-⎛⎫=-+⎪⎝⎭()()2332431ππ=-+--+443π1π2=-+--+=.（Ⅱ）12a a x >--，则()102aa x -->-，即()()1202a x a x -+->-，即()()()122020a x a x x ⎧⎡⎤-+-->⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩， ①当10a -=，即1a =时，不等式为20x ->，解集为()2,+∞； ②当10a ->，即1a >时，原不等式与()2201a x x a ⎡-⎤⎛⎫-->⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦同解， 当221a a -≥-，即01a ≤<时，与1a >矛盾，故此情况不存在； 当221a a -<-，即0a <或1a >时，即1a >时，不等式的解集为()2,2,1a a -⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪-⎝⎭； ③当10a -<，即1a <时，原不等式与()2201a x x a ⎡-⎤⎛⎫-->⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦同解， 当221a a ->-，即01a <<时，不等式的解集为22,1a a -⎛⎫⎪-⎝⎭； 当221a a -=-，即0a =时，不等式无解，即解集为∅； 当221a a -<-，即0a <或1a >时，即0a <时，不等式的解集为2,21a a -⎛⎫⎪-⎝⎭； 所以，综上所述： 当1a >时，解集为()2,2,1a a -⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪-⎝⎭， 当1a =时，解集为()2,+∞， 当01a <<时解集为22,1a a -⎛⎫⎪-⎝⎭， 当0a =时，解集为∅， 当0a <时，解集为2,21a a -⎛⎫⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质进行化简求值，考查含参数的分式不等式的解法和一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想和计算能力. 26．（1）见解析；（2）11{|}a x x a a-<< 【分析】(1)根据函数单调性的定义及对数函数的性质，即可证出结果；(2)根据函数()f x 的单调性，可将不等式()1f x >转化为一元一次不等式，即可得到原不等式的解集． 【详解】(1)由10ax ->，01a <<得1x a<，所以()f x 的定义域为1(,)a -∞，设1x ，2x 为区间1(,)a -∞的任意两个值，且211x x a<<，则 211ax ax ->->-，所以21110ax ax ->->，又01a <<，所以21log (1)log (1)a a ax ax -<-，即21()()f x f x <， 所以()f x 是1(,)a-∞上的增函数．(2)由()1f x >得log (1)1log a a ax a ->=，又01a <<， 所以01ax a <-<，所以11ax a -<-<-，所以11a x a a-<<， 所以不等式()1f x >的解集为11{|}a x x a a-<<． 【点睛】本题主要考查对数型复合函数单调性的证明及对数不等式的解法，属于中档题．。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5.3 对数函数的图像和性质学业分层测评 北师大版必修1
3.5.3 对数函数的图像和性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1. 若f (x )＝，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0.＋∞)【解析】 由题意21log (2x ＋1)>0，则0<2x ＋1<1，解得－12<x <0，故选A.【答案】 A2. 如图352是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( )图352A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】 令y ＝1，如图所示．则b <c <1<a . 故选D. 【答案】 D3. 设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．b <a <c【解析】 ∵1＝log 55>log 54>log 53>log 51＝0， ∴1>a ＝log 54>log 53>b ＝(log 53)2.又∵c ＝log 45>log 44＝1，∴c >a >b ，故选D. 【答案】 D4. 函数y ＝x ·ln|x |的大致图像是( )【解析】 函数的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除选项B.又当0<x <1时，f (x )<0，排除选项A 、C.故选D. 【答案】 D5. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，直线y ＝a 与函数f (x )的图像恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．0<a ≤1B ．0≤a <1C ．0<a <1D ．a <1【解析】 作出函数f (x )的图像如图所示，若直线y ＝a 与函数f (x )的图像恒有两个不同的交点，则0<a ≤1.【答案】 A 二、填空题6. 已知f (x )＝lg 1＋x 1－x ，x ∈(－1,1)，若f (a )＝12，则f (－a )＝________.【解析】 ∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即f (－a )＝－f (a )＝－12.【答案】 －127. 不等式31log (5＋x )<31log (1－x )的解集为________．【解析】 因为函数y ＝31log x 在(0，＋∞)上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧5＋x >1－x ，1－x >0，5＋x >0，解得－2<x <1.【答案】 (－2,1)8. 函数y ＝21log (1－2x )的单调递增区间为________．【解析】 令u ＝1－2x ，函数u ＝1－2x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12内递减，而y ＝21log u 是减函数，故函数y ＝21log (1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12内递增． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12三、解答题9 .比较下列各组中两个数的大小： (1)log 31.9，log 32； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141.【解】 (1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，1.9<2， 故log 31.9<log 32.(2)因为log 23>log 22＝1，log 0.32<log 0.31＝0， 故log 23>log 0.32.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，π>3.141，故log a π>log a 3.141；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，π>3.141，故log a π<log a 3.141.10. 已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0且a ≠1)． (1)求函数的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．【导学号：04100065】【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0得－3<x <1.∴函数的定义域为{x |－3<x <1}，f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]；当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)． (2)由题意及(1)知，当0<a <1时，函数有最小值， ∴log a 4＝－2， ∴a ＝12.[能力提升]1. 函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤4B ．a ≤2C ．－4<a ≤4D ．－2≤a ≤4【解析】 ∵函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上是增函数且大于零，故有⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，求得－4<a ≤4，故选C.【答案】 C2. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 【解析】 ∵f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数， ∴0＜a ＜1且f (1)＝0.∵f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x ＜1)为减函数， ∴3a －1＜0，∴a ＜13.又∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，∴(3a －1)×1＋4a ≥0，∴a ≥17.∴a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13. 【答案】 C3. 已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．【解析】 由题意可知，f (log 4x )<0⇔－12<log 4x <12⇔log 44－12<log 4x <log 4412⇔12<x <2.【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <24. 已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝aa 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .(1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求m 的取值范围． 【解】 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t， 且f (t )＝aa 2－1·⎝⎛⎭⎪⎫a t －1a t .∴f (x )＝aa 2－1·(a x －a －x)(x ∈R )．(2)当a >1时，y ＝a x －a －x为增函数，又aa 2－1>0，∴f (x )为增函数；当0<a <1时，y ＝a x－a －x为减函数，又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数．∴函数f (x )在R 上为增函数．(3)∵f (1－m )＋f (1－m 2)<0，且f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－m )<f (m 2－1)． ∵f (x )在(－1,1)上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，1－m <m 2－1，解得1<m < 2.∴m 的取值范围是(1，2)．。
(常考题)北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =2．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b > B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．函数()()221lg 21xxx fx -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知0.20.33log 0.2,3,0.2a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<5．集合{}1002,xx xx R =∈的真子集的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．76．已知函数 ()lg 2x xe ef x --=，则f (x )是（ ）A ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减7．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2y x =，x ∈[1，2]与函数.2y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y =xB ．1y x x=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5x 8．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<9．已知函数()a f x x 满足(2)4f =，则函数()log (1)a g x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．[]1,2D ．(]0,2 11．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a b R +=，则（ ） A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<12．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是_____________.①函数1()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图像一定过定点(1,4)P ； ②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③若1log 12a>，则a 的取值范围是112⎛⎫⎪⎝⎭，； ④若22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，则0x y +<.14．函数1()a x f x x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点，其坐标为_____________. 15．若3log 14a>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为________ 16．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.17．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______.18．已知函数log (3)a y ax =-在(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为___________. 19．给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．20．已知奇函数()()y f x x R =∈满足：对一切x ∈R ，()()11f x f x +=-且[]0,1x ∈时，()1xf x e =-，则()2019f f =⎡⎤⎣⎦__________.三、解答题21．已知指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()()2()23x g x fa x f =-+在区间[]1,1-上的最小值是()h a . （1）求函数()f x 的解析式；（2）若3a ≥时，求函数()g x 的最小值()h a 的表达式；（3）是否存在m 、n ∈R 同时满足以下条件：①3m n >>；②当()h a 的定义域为[],n m 时，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦；若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.22．已知函数()11x af x e =++为奇函数. （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数； （2）求不等式()()2230f tf t +-≤的解集.23．已知函数()log [(1)(1)]a f x x x =+-（其中0a >且1a ≠） (1)求函数()f x 的定义域，并判断它的奇偶性；(2)若2a =，当122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 24．已知指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求函数的解析式；（2）设函数()(1)1g x f x =--，(0)x ≥，求函数()g x 的值域． 25．若函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数（1）求k ，b 的值；（2）求解不等式()()2743f x f x ->-26．已知函数2()log (9)(0,1)a f x x ax a a =-+->≠. （1）当10a =时，求()f x 的值域和单调减区间； （2）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】若定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，可得0m ≥，若值域为实数集R ，令2x t m =+，则2log y t = 此时需满足2x t m =+的值域包括()0,∞+，可得0m ≤，再求交集即可. 【详解】若()()2log 2xf x m =+定义域为实数集R ，则20x m +>对于x ∈R 恒成立，即2x m >-对于x ∈R 恒成立， 因为20x >，所以20x -<，所以0m ≥， 令2x t m =+，则2log y t =若()()2log 2xf x m =+值域为实数集R ，则2x t m =+的值域包括()0,∞+， 因为t m >，所以0m ≤， 所以0m =， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．B解析：B 【分析】求出函数()f x 的定义域，分析函数()f x 的奇偶性及其在区间()0,1上的函数值符号，进而可得出合适的选项. 【详解】 函数()()221lg 21xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，()()()()()()()22221lg 221lg 12lg 2112221xx x xx xxxx x x f x f x ---------====-+++，函数()f x 为奇函数，当01x <<时，201x <<，则2lg 0x <，210x ->，210x +>，()0f x ∴<. 因此，函数()f x 的图象如B 选项中的图象. 故选：B. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．B解析：B 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 【详解】因为33log 0.2log 10<=，0.20331>=，...030002021<<=，a cb ∴<<．故选：B ． 【点睛】比较大小问题，常见思路有两个：一是利用中间变量；二是利用函数的单调性直接解答5．D解析：D 【分析】分析指数函数2xy =与幂函数100y x=的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当0x >时，有2个交点；即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=【详解】分析指数函数2xy =与幂函数100y x=的图像增长趋势，当0x <时，显然有一个交点；当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；分析数据发现，当x 较小时，100y x =比2x y =增长的快；当x 较大时，2x y =比100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.即2xy =与100y x =的图像有三个交点，即集合{}1002,x x xx R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-= 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有()21n-个，非空真子集有()22n-个.6．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；对B ：1y x x=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确；对C ：22x x y -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确； 对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.8．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k k x y z---=>=>=>，． 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<. 故选A.9．C解析：C 【分析】由已知求出a ，得()g x 表达式，化简函数式后根据定义域和单调性可得正确选项． 【详解】由恬24a=，2a =，222log (1),10()log (1)log (1),0x x g x x x x -+-<<⎧=+=⎨+≥⎩，函数定义域是(1,)-+∞，在(1,0)-上递减，在(0,)+∞上递增． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数型复合函数的图象问题，解题方法是化简函数后，由定义域，单调性等判断．10．A解析：A 【分析】根据条件判断()f x 的奇偶性和单调性，把不等式212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+转化为2log 1a ≤进行求解即可.【详解】当0x <时，0x ->，则2()2()f x x x f x -=-=， 当0x >时，0x -<，则2()2()-=+=f x x x f x ，∴函数()f x 为偶函数，∴222122(log )(log )(log )(log )2(log )f a f a f a f a f a +=+-=.又当0x ≥时，函数()f x 单调递增，∴22(log )2(1)f a f ≤可转化为2((log 1))f a f ≤，则2log 1a ≤， ∴21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11(lg lg )lg()lg 222a bP a b ab R +=<+==<=因此，P Q R <<故选：B 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小12．D解析：D 【分析】先根据偶函数性质排除B ，再考虑当0x >且0x →时，y →+∞，排除A.再用特殊值法排除C ，即可得答案. 【详解】解：令()2ln 8x f x y x ==-，则函数定义域为{}0x x ≠ ，且满足()()f x f x -=，故函数()f x f (x )为偶函数，排除选项B ； 当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ；取特殊值x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查函数的基本性质，是中档题.二、填空题13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则解析：①③④ 【分析】由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．①，令1x =代入判断，②利用函数的定义求出()f x 的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由它的单调性判断．【详解】①令1x =，则(1)4f =，即()f x 图象过点(1,4)，①正确； ②13x <<，则012x <-<，∴()f x 的定义域是(0,2)，②错；③1log 1log 2a a a ，∴0112a a <<⎧⎪⎨>⎪⎩，∴112a <<．③正确；④由22ln ln()x y x y -->-- (0x >,0y <)，得ln 2ln()2x y x y --<--，又1()ln 2ln 2xxg x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭是(0,)+∞上的增函数， ∴由ln 2ln()2x y x y --<--，得x y <-，即0x y +<，④正确．故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数(0x y a a =>且1)a ≠的图象恒过定点(0,1)； （2）对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象恒过定点(1,0)， 解题时注意整体思想的应用．14．（12）【分析】根据幂函数以及指数函数性质直接缺定点坐标【详解】因为所以当时即恒过定点（12）故答案为：（12）【点睛】本题考查根据幂函数以及指数函数性质求定点考查基本分析求解能力属基础题解析：（1，2） 【分析】根据幂函数以及指数函数性质，直接缺定点坐标. 【详解】因为0=111=a a ，，所以当1x =时(1)2f =，即()f x 恒过定点（1，2） 故答案为：（1，2） 【点睛】本题考查根据幂函数以及指数函数性质求定点，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【分析】讨论和两种情况利用函数单调性解不等式得到答案【详解】当时满足不成立；当时综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式分类讨论是解题的关键解析：3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，利用函数单调性解不等式得到答案. 【详解】3log 1log 4aa a >=，当1a >时，满足34a >，不成立；当01a <<时，34a >. 综上所述：3,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，分类讨论是解题的关键.16．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.17．【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.18．【分析】由复合函数的单调性：同增异减由于递减因此必须递增即有还要考虑函数定义域即在时恒成立【详解】∵∴是减函数又在上是减函数所以且∴故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性掌握复合函数单调性 解析：3(1,]2【分析】由复合函数的单调性：同增异减，由于3u ax =-递减，因此log a y u =必须递增，即有1a >，还要考虑函数定义域，即在(1,2)x ∈时，30ax ->恒成立．【详解】∵0a >，∴3u ax =-是减函数，又log (3)a y ax =-在(1,2)上是减函数，所以1a >， 且320a -≥，∴312a <≤． 故答案为：3(1,]2．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，掌握复合函数单调性是解题关键，同时要考虑函数的定义域．19．①③【分析】A 即为函数的定义域B 即为函数的值域求出每个函数的定义域及值域直接判断即可【详解】对①A ＝(﹣∞0)∪(0+∞)B ＝(﹣∞0)∪(0+∞)显然对于∀x ∈A ∃y ∈B 使得x+y ＝0成立即具有性解析：①③ 【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可． 【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③． 【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．20．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：31e e --【分析】根据题意，求得()f x 的周期性，则()2019f 可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】由题可知：因为对一切x R ∈，()()11f x f x +=-， 故()f x 关于1x =对称； 又因为()f x 是奇函数，则可得()()()()()21111f x f x f x f x f x +=++=--=-=-， 故可得()()()()4222f x f x f x f x +=++=-+=， 故函数()f x 是周期为4的函数. 则()()()201911f f f =-=-，又当[]0,1x ∈，()1xf x e =-，故()()201911f f e =-=-，则()()()()()320191131eff f e f e f e e-=-=--=--=-.故答案为：31e e --. 【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.三、解答题21．（1）1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()126h a a =-；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），由题意可得()13f -=，可求得c 的值，进而可求得函数()f x 的解析式；（2）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，设()223k t t at =-+，分析当3a ≥时，函数()k t 的单调性，进而可得出()()min h a k t =，即可得解；（3）分析出函数()h a 在区间[],n m 上单调递减，可得出22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，将两个等式作差可得出6m n +=，结合3m n >>判断可得出结论. 【详解】（1）设()xf x c =（0c >且1c ≠），因为指数函数()f x 的图象经过点()1,3-，()113f c-∴-==，即13c =，因此，()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）令()13xt f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，1,33t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦， 所以，设()223k t t at =-+，对称轴为t a =.3a ≥，可知()k t 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3t =时，()k t 取最小值，即()g x 取最小值()()3126h a k a ==-； （3）由（2）知3m n >>时，()126h a a =-在[],n m 上单调递减，若此时()h a 的值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，则22126126n m m n ⎧-=⎨-=⎩，即()()()6m n m n m n -=-+，m n ≠，则0m n -≠，6m n ∴+=，又3m n >>，则6m n +>，故不存在满足条件的m 、n 的值. 【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴动区间定，不论哪种类型，解决的关键就是考查对称轴于区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 22．（1）2a =-；证明见解析；（2）[]3,1-. 【分析】（1）根据()f x 为奇函数求得a 的值.利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上是增函数； （2）利用()f x 的奇偶性和单调性化简不等式()()222320f t t f t-+-≤，结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】（1）由已知()()f x f x -=-， ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭， ∴22011x x x ae a a e e ++=+=++， 解得2a =-. ∴2()11xf x e -=++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <，则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++， ∵12x x <，∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +>， ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++，∴()()12f x f x <， 故函数()f x 在R 上是增函数. （2）∵()2(23)0f t f t +-≤，∴()2(23)f tf t ≤--，而()f x 为奇函数，∴()2(32)f tf t ≤-，∵()f x 为R 上单调递增函数， ∴223t t ≤-+， ∴2230t t +-≤， ∴31t -≤≤，∴原不等式的解集为[]3,1-. 【点睛】关键点点睛：根据奇函数的定义求出a ，利用定义证明函数为增函数，可将()2(23)0f t f t +-≤转化，脱去“f ”，建立不等式求解，考查了转化思想，属于中档题.23．(1)(1,1)-，()f x 在(1,1)-内为偶函数；(2)[2,0]-. 【分析】（1）由对数真数大于0可得定义域，由奇偶性定义判断奇偶性；（2）确定函数在12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性可得最大值和最小值，从而得值域． 【详解】(1)由题意知：(1)(1)0x x +->，解得11x -<<， 所以函数()f x 的定义域为(1,1)-由()log [(1)(1)]()a f x x x f x -=-+=，所以函数()f x 在(1,1)-内为偶函数. (2)由2a =，有()222()log [(1)(1)]log 1f x x x x=-+=-又因为12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以min 21()log 24f x f ⎛===- ⎝⎭，max 2()(0)log 10f x f ===，所以函数()f x 在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内值域为[2,0]-. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，奇偶性，单调性，值域．掌握对数函数的性质是解题关键．本题还需掌握复合函数的单调性的判断：同增异减．24．（1）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）(]1,1-． 【分析】（1）利用待定系数法求出参数a 的值，即可求出函数解析式；（2）由（1）可知11()12x g x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合指数函数的性质计算可得；【详解】解：（1）设()x f x a =（0a >，且1a ≠），因为其图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则214a =， 计算得：12a =±，∵0a >，且1a ≠，∴12a =， 所以1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （2）依题意可知11()12x g x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数可知：函数11()12x g x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)x ≥为减函数，当0x =时，max 1y =；又1102x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴11112x -⎛⎫->- ⎪⎝⎭，所以()g x 的值域为(]1,1-．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，以及指数函数的性质的应用，属于中档题. 25．（1）2,3k b =-=；（2）{}2x x <-. 【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可； （2）根据指数函数的单调性解不等式即可； 【详解】解：（1）∵函数()()()331xf x k a b a =++->是指数函数∴31,30k b +=-= ∴2,3k b =-= （2）由（1）得()()1xf x aa =>，则函数()f x 在R 上单调递增()()2743f x f x ->-2743x x ∴->-，解得2x <- 即不等式解集为{}2x x <-； 【点睛】本题主要考查了根据函数为指数函数求参数的值以及根据指数函数的单调性解不等式，属于中档题.26．（1）(][),16;5,9lg -∞（2）6a > 【分析】（1）当10a =时，()()()(221010log 109log [516f x x x x ⎤=-+-=--+⎦，令2109t x x =-+-，求出2109t x x =-+-的单调区间与取值范围，即可得出结果；（2）若()f x 存在单调递增区间，则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可，当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，根据判别式即可得出结果. 【详解】解：（1）当10a =时，()()()(221010log 109log [516f x x x x ⎤=-+-=--+⎦，设()22109516t x x x =-+-=--+，由21090x x -+->，得21090x x -+<，得19x <<，即函数的定义域为()1,9， 此时()(]25160,16t x =--+∈，则1010log log 16y t =≤，即函数的值域为(],16lg -∞，要求()f x 的单调减区间，等价为求()2516t x =--+的单调递减区间，()2516t x =--+的单调递减区间为[)5,9，()f x ∴的单调递减区间为[)5,9．（2）若()f x 存在单调递增区间，则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可，则判别式2360a ∆=->得6a >或6a <-舍，当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，则判别式2360a ∆=->得6a >或6a <-，此时a 不成立， 综上实数a 的取值范围是6a >． 【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调性、以及已知函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．定义：若函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，点对(),A B 与(),B A 看作同一对“镜像点对”，已知函数()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则该函数的“镜像点对”有（ ）对.A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--3．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(50)11()t f t e --=+，当()0.1f t =时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时t 约为（ ）(参考数据： 1.13e ≈) A ．38B ．40C ．45D ．474．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．已知函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．12-B ．-1C ．-5D ．126．设函数()ln |31|ln |31|f x x x =+--，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在11(,)33-单调递增 B ．是偶函数，且在1(,)3-∞-单调递增 C ．是奇函数，且在11(,)33-单调递减 D ．是奇函数，且在1(,)3-∞-单调递减 7．函数1()1x f x a +=-恒过定点（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--8．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤10．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．17411．已知函数()()213log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，都满足不等式()()21210f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭12．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．现有下列四个结论：①若25a b m ==且a b =时，则1m =； ②若236log log log a b c ==，则c ab =；③对函数()3xf x =定义域内任意的1x ，都存在唯一的2x ，使得()()121f x f x ⋅=成立；④存在实数a ，使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R .其中所有正确结论的序号是_________.14．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.15．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01xy aa a =>≠,经过点E ，B ，则函数()af x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.16．函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.17．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________. 18．设函数()22x f x =+，则()()()()()()543456f f f f f f -+-+-++++=_____.19．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ . 20．已知27abm ==，1112a b +=，则m =_______. 三、解答题21．化简下列各式 （1）()1620.25341623428202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2）)3322114230,0a b ab a b b a b a ⋅>>⎛⎫ ⎪⎝⎭22．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值. 23．已知12324x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，121log ,264B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭．（1）求A B ；（2）若{}11C x m x m =-≤≤+，若C A ⊆，求m 的取值范围．24．设函数101(),2axf x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭是常数，且1(3)2f =. （1）求a 的值；（2）求使得()4f x ≥的x 值的取值范围.（3）设1(),2g x x m =-+对于区间[]34，上的每一个x 值，不等式()()f x g x >恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中0a <. （1）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，求k的取值范围.26．化简计算： （1）160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由新定义可知探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数即得结果. 【详解】由题意可知，函数()y f x =的图像上有不同的两点,A B ，且,A B 两点关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一对“镜像”，因为()23,02,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，由y 轴左侧部分()3,0xy x =-<图像关于原点中心对称的图像3x y --=-，即3xy -=，()0x >，作函数3xy -=，()0x >和()22,0y x x x =-≥的图象如下：由图像可知两图象有三个公共点，即该函数有3对“镜像点对”. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是理解新定义，寻找对称点对，探究y 轴左侧部分图像关于原点中心对称的图像与y 轴右侧部分图像的交点个数，通过数形结合，即突破难点.2．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 3．B解析：B 【分析】 根据()0.1f t =列式求解即可得答案.【详解】 解：因为()0.1f t =，0.22(50)11()t f t e --=+，所以0.22(50)()0.111t f t e--==+，即0.22(50)011t e --=+，所以0.22(50)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()21.12.29e e =≈，所以0.222().250t e e --=，所以()0.2250 2.2t --=，解得40t =. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得0.22(50)9t e --=，再结合已知 1.13e ≈得()21.12.29e e =≈，进而根据0.222().250t e e --=解方程即可得答案，是基础题.4．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.5．A解析：A 【分析】根据分段函数解析式，依次计算255log 122f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即可得选项.【详解】因为函数222,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，所以2253log log 2122f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，23log 2531222222f f⎡⎤⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析式.6．D解析：D 【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论． 【详解】函数定义域是1{|}3x x ≠±，()ln 31ln 31ln 31ln 31()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，()f x 是奇函数，排除AB ，312()lnln 13131x f x x x +==+--，11,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2310x -<-<，2231x <--，即21031x +<-，而131u x =-是减函数，∴2131v x =+-是增函数，∴()f x 在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，排除C ．只有D 可选． 故选：D ． 【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．()y f x =与()y f x =-的单调性相反， 在()f x 恒为正或恒为负时，()y f x =与1()y f x =的单调性相反，若()0f x <，则()y f x =与()y f x =的单调性相反．0a >时，()y af x =与()y f x =的单调性相同．7．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y [0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a 56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．B解析：B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2xy -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.10．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题意可知，函数()()213log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上是增函数， 令2u x ax a =--，而13log y u =是减函数，所以2u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以212211022a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得112a -≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】因为函数(0,1)xy a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数xy a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．①②③【分析】利用换底公式结合求得的值可判断①的正误；设利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由求得可判断③的正误；求出函数的定义域值域分别为时对应的实数的取值范围可判断④的正误【详解析：①②③ 【分析】利用换底公式结合a b =，求得m 的值，可判断①的正误；设236log log log a b c t ===，利用对数与指数的互化以及指数的运算性质可判断②的正误；由()()121f x f x ⋅=求得21x x =-，可判断③的正误；求出函数()g x 的定义域、值域分别为R 时，对应的实数a 的取值范围，可判断④的正误. 【详解】对于①，由于250abm ==>，可得2lg log lg 2m a m ==，5lg log lg 5mb m ==， 由于a b =可得lg lg lg 2lg 5m m=，则lg 0m =，解得1m =，①正确； 对于②，设236log log log a b c t ===，可得2t a =，3t b =，6t c =，则236t t t ab c =⋅==，②正确；对于③，对任意的1x R ∈，则()()1212123331xxx x f x f x +⋅=⋅==，120x x ∴+=，可得21x x =-，③正确；对于④，若函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R ，对于函数2y x ax a =++，240a a ∆=-<，解得01a <<；若函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R ，则函数2y x ax a =++的值域包含()0,∞+，则240a a ∆=-≥，解得0a ≤或1a ≥.所以，不存在实数a ，使得函数()()2ln g x x ax a =++的定义域和值域均为R ，④错误.故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：解本题第④问的关键点在于找到函数()()2ln g x x ax a =++的定义域为R的等价条件∆<0；函数()()2ln g x x ax a =++的值域为R 的等价条件0∆≥.14．【解析】画出函数的图象如图所示：观察图象可知函数的零点依次是点的横坐标由图像可知故答案为点睛：函数的零点与方程根的分布问题解题时常用数形结合思想对于方程的根可分别画出与的图象则两个函数图象的交点的横解析：a b c << 【解析】画出函数3xy =，3log y x =，y x =-，2y =-的图象，如图所示：观察图象可知，函数()3xf x x =+，3()log 2g x x =+，3()logh x x x =+的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图像可知a b c <<. 故答案为a b c <<点睛：函数的零点与方程根的分布问题，解题时常用数形结合思想，对于方程()()0f x g x -=的根，可分别画出()f x 与()g x 的图象，则两个函数图象的交点的横坐标即为方程()()0f x g x -=的根.15．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，由题意得22tt aa =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值． 【详解】解：设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x=-在[]1,2为增函数，∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-， 故答案为：3-．【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．16．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题解析：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果. 【详解】()()cos1cos1(0,1)log sin f x x ∈∴=单调递增区间为sin y x =单调递减区间且sin 0x >，所以22,()2k x k k Z ππππ+≤<+∈，故答案为：[2,2),()2k k k Z ππππ++∈【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【分析】首先根据定义列出的等式转化为再根据分离常数和换元法求的取值范围【详解】函数为可分拆函数存在实数使得且设当时等号成立即故答案为：【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题解析：[3【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】 函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=，2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣ 【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.18．【分析】根据指数的运算律计算出的值由此可计算出所求代数式的值【详解】因此故答案为【点睛】本题考查指数幂的化简计算解题的关键在于观察代数式结构并计算出为定值考查计算能力属于中等题解析：【分析】根据指数的运算律计算出()()1f x f x +-=的值，由此可计算出所求代数式的值. 【详解】()f x =()1122xx f x ∴-====，()()12x x x f x f x ∴+-=+===，因此，()()()()()()5434566f f f f f f-+-+-++++==. 故答案为 【点睛】本题考查指数幂的化简计算，解题的关键在于观察代数式结构并计算出()()1f x f x +-为定值，考查计算能力，属于中等题.19．【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x 所以函数y ＝x2比函数y ＝xlnx 在区间(0＋∞)上增长较快填 解析：2yx【解析】由于对数函数y=lnx 在区间(0，＋∞)上的增长速度慢于一次函数y=x ，所以函数y ＝x 2比函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快，填2y x =.20．196【分析】将指数式化成对数式再根据对数的运算及对数的性质计算可得；【详解】解：∵∴∵∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查指数与对数的关系对数的运算及对数的性质的应用属于中档题解析：196 【分析】将指数式化成对数式，再根据对数的运算及对数的性质计算可得； 【详解】 解：∵27a bm ==，∴2log a m =，7log b m =，1log 2m a ∴=，1log 7m b= ∵1112a b +=，∴1log 2log 7log 142m m m +==，∴14=，解得196m =故答案为：196 【点睛】本题考查指数与对数的关系，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）98；（2）a b. 【分析】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【详解】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281=⨯--⨯-10872198=---=；（2）原式()1110812232233354331127272333333a b a b ab a b a b ab b a a b a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式. 22．（1）2a =；(1,3)-；（2）2. 【分析】（1）由函数值求得a ，由对数的真数大于0可得定义域；（2）函数式变形为22()log (1)4f x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由复合函数的单调性得出单调区间后可得最大值． 【详解】 解：（1）(1)2f =，log (11)log (31)log 42a a a ∴++-==，解得2(0,1)a a a =>≠， 由1030x x +>⎧⎨->⎩，得(1,3)x ∈-.∴函数()f x 的定义域为()13-，.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log (1)4f x x x x x x ⎡⎤=++-=+-=--+⎣⎦∴当[0,1]x ∈时，()f x 是增函数；当3[1,]2x ∈时，()f x 是减函数.所以函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==. 【点睛】本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）23．（1）[1,5]A B ⋂=-；（2）(],3-∞. 【分析】（1）根据指数运算解不等式求出集合A ，利用对数的运算求出集合B ，由此能求出A B ；（2）由{}11C x m x m =-≤≤+和C A ⊆，对C 是否为空集分类讨论，列出不等式组，由此能求出m 的取值范围． 【详解】 解：（1）1{|232}{|25}4xA x x x ==-， 12{|log B y y x==，12}{|16}64x x x =-， [1,5]A B ∴=-.（2）{}11C x m x m =-≤≤+且C A ⊆，若,11,0C m m m =∅->+<若C ≠∅，则111512m m m m -≤+⎧⎪+⎨⎪--⎩，解得03m ≤≤，m ∴的取值范围是(],3-∞.【点睛】本题考查交集的运算以及根据集合间的包含关系求参数的取值范围，还涉及指对数的运算，属于基础题．24．（1）3；（2）4x ≥；（3）2m < 【分析】 （1）由1(3)2f =代值运算可求a ； （2）求得310()2x f x -=，结合指数函数增减性解不等式，即可求解x 值的取值范围；（3）分析函数()(),f x g x 增减性，结合端点值解不等式即可 【详解】（1）因为10311(3)22af -⎛⎫==⎪⎝⎭，故3a =； （2）由（1）知1033101()22xx f x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()4f x ≥等价于310222x -≥，解得4x ≥； （3）()f x 在[]34，单增，1()2g x x m =-+在[]34，单减，要使区间[]34，上的每一个x 值，不等式()()f x g x >恒成立，则需满足()()33f g >，即11322m >-⨯+，解得2m <【点睛】本题考查指数型函数解析式、指数不等式的求解，由函数在定区间恒成立问题求解参数取值范围，属于中档题25．（1）[)1,-+∞；（2）[]1,1-. 【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a 的值，求出1122()log (1)log (1)f x x x +-=+，根据函数的单调性求出m 的范围即可；（2）问题转化为211k x x =-+-在[]2,3上有解，即2()11g x x x =-+-在[]2,3上递减，根据函数的单调性求出()g x 的值域，从而求出k 的范围即可．【详解】（1）∵函数()f x 的图象关于原点对称，∴函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=-， 即111222111log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----，解得1a =-或1a =（舍）， ()()()()111122221log 1log log 1log 11xf x x x x x ++-=+-=+-， 当1x >时，()12log 11x +<-，∵当()1,x ∈+∞时，()()12log 1f x x m +-<恒成立，∴1m ≥-，即m 的取值范围为[)1,-+∞；（2）由（1）知，()()12log f x x k =+即()()11221log log 1x f x x k x +==+-， 即11x x k x +=+-，即211k x x =-+-在[]2,3上有解， ()211g x x x =-+-在[]2,3上单调递减， minmax()(3)1,()(2)1g x g g x g ，∴()g x 的值域为[]1,1-，∴[]1,1k ∈-. 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，如果是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集．26．（1）110；（2）-1 【分析】（1）原式化简为分数指数幂，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值. 【详解】 （1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅--()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-【点睛】本题考查指数幂和对数运算，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.。
高中数学第三章指数函数和对数函数对数及其运算高效测评北师大版必修
2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4.1 对数及其运算高效测评 北师大版必修1一、选择题(每小题5分，共20分)1．在M ＝log (x －3)(x ＋1)中，要使式子有意义，x 的取值范围为( )A ．(－∞，3]B ．(3，4)∪(4，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(3，4)解析： 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≠1，x ＋1>0，故x >3且x ≠4.答案： B2．方程(lg x )2＋(lg 2＋lg 3)lg x ＋lg 2lg 3＝0的两根的积x 1x 2＝() A ．lg 2＋lg 3 B ．lg 2lg 3C.16 D ．－6解析： ∵lg x 1＋lg x 2＝－(lg 2＋lg 3)，∴lg(x 1x 2)＝－lg 6＝lg 6－1＝lg 16，∴x 1x 2＝16.答案： C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b1＋a B.a ＋2b1＋aC.2a ＋b 1－a D ．a ＋2b1－a解析： lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b1－a .答案： C4．已知2x ＝9，log 283＝y ，则x ＋2y 的值为( )A ．6B ．8C ．4D ．log 48解析： 由2x ＝9，得log 29＝x ，∴x ＋2y ＝log 29＋2log 283＝log 29＋log 2649＝log 264＝6.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________． 解析： 法一：∵a 23＝49，∴log a 49＝23， ∴2log a 23＝23，∴log a 23＝13， ∴1log a 23＝3，∴log 23a ＝3. 法二：∵a 23＝49，∴a 2＝64729， ∴a ＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233， ∴log 23a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3. 答案： 36．对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的序号是________．①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.解析： ①中若M ，N <0，则不成立．②正确．③中M 2＝N 2，但M ＝N 不一定成立．④中，M ＝N ＝0时，log a M 2＝log a N 2不存在，故④错误．答案： ②三、解答题(每小题10分，共20分)7．将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4；(2)log 1327＝－3； (3)log 3x ＝6；(4)43＝64；(5)3－2＝19；(6)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16. 解析： (1)24＝16；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27； (3)(3)6＝x ；(4)log 464＝3；(5)log 319＝－2；(6)log 1416＝－2. 8．求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解析： (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2·3)2]÷log 64 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫log 6632＋log 62（log 62＋log 632）÷2log 62 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2·log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2·3)＝1.尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)(1)已知lg x ＋lg(2y )＝2lg(x －4y )，求log 2x y ；(2)设a ＝lg 2，b ＝lg 3，试用a ，b 表示lg 108. 解析： (1)由已知得lg(2xy )＝lg(x －4y )2， ∴2xy ＝(x －4y )2，∴2xy ＝x 2－8xy ＋16y 2.∴x 2－10xy ＋16y 2＝0.∴x ＝2y 或x ＝8y .∵x >0，y >0，x －4y >0，∴x ＝2y (舍去)，∴x ＝8y ，∴x y ＝8，∴log 2x y＝log 28＝3.(2)∵108＝4×27＝22×33，∴lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33)＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3 ＝a ＋32b .。
高中数学第三章指数函数和对数函数阶段质量评估北师大版必修
2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数阶段质量评估北师大版必修1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简[3（－5）2]34的结果为( )A ．5B ． 5C ．－ 5D ．－5解析： [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.答案： B2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19 C ．25D ．125解析： 由换底公式，得lg13lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，∴－lg x lg 5＝2. ∴lg x ＝－2lg 5＝lg 125.∴x ＝125.答案： D3．已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(－1，5)B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)解析： ∵y ＝a x恒过定点(0，1)， ∴y ＝4＋ax ＋1恒过定点(－1，5)．答案： A4．函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |>2 C ．a > 2D ．1<|a |< 2解析： 由0<a 2－1<1得1<a 2<2，∴1<|a |< 2. 答案： D5．函数y ＝a x－1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．0<a <1D ．a ≠1解析： 由a x－1≥0得a x≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x ≤0时，a x≥1恒成立，∴0<a <1.答案： C6．函数y ＝f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析： 由图像得函数是减函数， ∴0<a <1.又分析得，图像是由y ＝a x的图像向左平移所得， ∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案： D7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2，x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－2，x >1的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]解析： 当x ≤1时，0<3x －1≤31－1＝1，∴－2<3x －1－2≤－1.当x >1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x <⎝ ⎛⎭⎪⎫131，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，则－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1－2<1－2＝－1.答案： D8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )解析： 由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．答案： A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析： 当x 0≥2时，∵f (x 0)>1， ∴log 2(x 0－1)>1，即x 0>3； 当x 0<2时，由f (x 0)>1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x0>⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴x 0<－1.∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案： C10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( ) A ．0<a <1，b >1 B ．a >1，0<b <1 C ．a >1，b >1D ．0<a <1，0<b <1解析： 由于函数单调递增，∴a >1，又f (1)>0，即log a b >0＝log a 1，∴b >1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈（0，1]，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝________．解析： ∵－1＝log 313<log 312<log 31＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 312＝3－log 312＝3log 32＝2. 答案： 212．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m＝________．解析： 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt，因为12＝e 5n，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝e 5n ×3.故18＝e 15n，解得t ＝15，故m ＝15－5＝10. 答案： 1013．若函数y ＝2x＋1，y ＝b ，y ＝－2x－1三图像无公共点，结合图像则b 的取值范围为________．解析： 如图．当－1≤b ≤1时，此三函数图像无公共点． 答案： [－1，1]14．函数f (x )＝－a2x －1＋2恒过定点的坐标是________．解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a 0＋2＝1，∴f (x )过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)计算下列各式的值：(1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 008)0；(2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2＋ln e －lg 1. 解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1 ＝4×27＋2－1 ＝109.(2)原式＝lg 5lg (5×4)＋(lg 2)2＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1. (3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34＝54＋34＝2. 16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}，f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)，设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知： 当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.17．(13分)已知函数f (x )＝3x，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a－4x的定义域为[0，1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性． 解析： (1)∵f (x )＝3x，∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18，∴3a＝2.∴g (x )＝2－4x(x ∈[0，1])．(2)设x 1，x 2为区间[0，1]上任意两个值，且x 1<x 2， 则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．所以，函数g (x )在[0，1]上是减函数． 18．(13分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，(1)求f (x )的定义域； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012； (3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1，1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1x ＋1<0∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1，1)． (2)对x ∈(－1，1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 012＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1， 则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴1－x 11＋x 1>1－x 21＋x 2. ∴函数y ＝1－x1＋x在(－1，1)上是减函数．从而得f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1，1)上也是减函数．又a ∈(－1，1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a .。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3 第2课时 指数函数的图像与性质的应用学业分层测评 北师
2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.3 第2课时指数函数的图像与性质的应用学业分层测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.3 第2课时指数函数的图像与性质的应用学业分层测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3。
3 第2课时指数函数的图像与性质的应用（建议用时:45分钟）［学业达标]一、选择题1。
已知集合M＝{－1,1},N＝错误!,则M∩N＝（）A．{－1,1｝B．{－1}C．{0} D．{－1，0}【解析】N＝｛x|2－1〈2x＋1<22，x∈Z｝，又y＝2x在R上为增函数,所以N＝{x|－1<x＋1〈2，x∈Z}＝｛x｜－2<x<1,x∈Z｝＝{－1，0｝，所以M∩N＝{－1,1}∩｛－1，0｝＝｛－1}，故选B.【答案】B2. 下列判断正确的是（）A．2。
52。
5>2。
53B．0.82〈0.83C．π2<π 2 D．0。
90。
3〉0。
90.5【解析】∵y＝0.9x是R上的减函数，且0。
5>0.3，∴0.90.3〉0.90.5.【答案】D3。
函数y＝5－｜x|的图像是（）【解析】当x>0时,y＝5－|x|＝5－x＝错误!x,又原函数为偶函数,故选D.【答案】D4. 若函数f（x)＝3x＋3－x与g（x)＝3x－3－x的定义域为R，则( )A．f(x)与g(x）均为偶函数B．f(x）为偶函数，g(x)为奇函数C．f（x)与g（x）均为奇函数D．f（x)为奇函数，g(x)为偶函数【解析】f(－x)＝3－x＋3x＝f(x），f(x)为偶函数,g(－x)＝3－x－3x＝－g（x)，g(x）为奇函数．故选B。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3.1 指数函数
3.3.1 指数函数的概念 3.3.2 指数函数的图像和性质A 级 基础巩固1．下列函数：①y ＝2·3x；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3，其中指数函数的个数是导学号 00814643( B )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中，3x的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x ＋1，不是x ，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B ．2．函数y ＝2－x的图像是下图中的导学号 00814644( B )[解析] ∵y ＝2－x＝(12)x ，∴函数y ＝(12)x是减函数，且过点(0,1)，故选B ．3．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝导学号 00814645( C )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}．4．已知函数f (x )＝2x －1＋1，则f (x )的图像恒过定点导学号 00814646( C )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1,1)[解析] 代入选项易知C 正确．5．经过点(－32，827)的指数函数的解析式为导学号 00814647( A )A ．y ＝(94)xB ．y ＝(32)xC ．y ＝(49)xD ．y ＝(23)x[解析] 将点(－32，827)代入指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)中，则a －32 ＝827，即(1a )32 ＝(23)3，所以1a ＝23，即a ＝94. 6．(2014·山东高考)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0,2]}，则A ∩B ＝导学号 00814648( C )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)[解析] 本题考查指数函数集合的运算． |x －1|<2，∴－2<x －1<2 即－1<x <3，y ＝2x,0≤x ≤2 ∴20≤y ≤22，即1≤y ≤4 ∴A ∩B ＝[1,3)． 7．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝_9__.导学号 00814649[解析] ∵函数f (x )＝a x 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，∴10＝a 0＋m ，∴m ＝9.8．若函数f (x )的图像与函数g (x )＝(12)x的图像关于y 轴对称，则满足f (x )≥2的x 的取值范围是_[1，＋∞)__.导学号 00814650[解析] 由题意知，f (x )的解析式是f (x )＝(12)－x ＝2x ，由f (x )≥2得2x≥2，解得x ≥1.9．若函数y ＝(4－3a )x是指数函数，求实数a 的取值范围.导学号 00814651 [解析] y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a >0，4－3a ≠1，解得a <43且a ≠1，故a 的取值范围为{a |a <43且a ≠1}．10．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1).导学号 00814652 (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(－1，＋∞)上的单调性．[解析] (1)只需x ＋1≠0时，f (x )都有意义，故f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－1}．(2)设x 1，x 2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋x 1－2x 1＋1－(ax 2＋x 2－2x 2＋1)＝(ax 1－ax 2)＋x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵－1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 又a >1，∴ax 1<ax 2，即ax 1－ax 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(－1，＋∞)上是增加的．B 级 素养提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于导学号 00814653( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 本题考查分段函数求值．∵f (1)＝21＝2，∴由f (a )＋f (1)＝0知 f (a )＝－2. 当a >0时 2a ＝－2不成立． 当a <0时a ＋1＝－2，a ＝－3. 2．函数y ＝2x ＋1的图像是图中的导学号 00814654( B )[解析] x ＝0时，y ＝2；且y ＝2x ＋1的图像是y ＝2x的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．3．若指数函数f (x )的图像经过点(2,4)，则f (3)＝_8__.导学号 00814655 [解析] 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f (2)＝4，即a 2＝4.因为a >0且a ≠1，得a ＝2，即函数的解析式为f (x )＝2x ，∴f (3)＝23＝8.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0x 12 ，x >0.则满足f (x )>1的x 的取值范围是_{x |x >1或x <－1}__.导学号 00814656[解析] 由已知f (x )>1可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12 >1，解得x >1或x <－1，故{x |x >1或x <－1}．5．已知f (x )＝12x－1＋a 是奇函数，求a 的值及函数的值域.导学号 00814657 [解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立． 即12－x－1＋a ＝－[12x －1＋a ]， ∴2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，∴a ＝12.∵2x－1≠0，∴x ≠0.∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0， ∴12x －1<－1或12x －1>0，∴y <－12或y >12. ∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．6．画出函数y ＝|2x－1|的图像，并利用图像回答：k 为何值时，方程|2x－1|＝k 无解？有一解？有两解？导学号 00814658[解析] 函数y ＝|2x－1|的图像是由函数y ＝2x的图像向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，图像如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x－1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|2x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．C 级 能力拔高设f (x )＝4x4x ＋2，若0<a <1，试求：导学号 00814659(1)f (a )＋f (1－a )的值；(2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)的值．[解析] (1)f (a )＋f (1－a ) ＝4a4a ＋2＋41－a41－a ＋2＝4a4a ＋2＋44a 44a ＋2 ＝4a4a ＋2＋44＋2·4a ＝4a4a ＋2＋22＋4a ＝4a＋24a ＋2＝1. (2)f (11001)＋f (21001)＋f (31001)＋…＋f (10001001)＝[f (11001)＋f (10001001)]＋[f (21001)＋f (9991001)]＋…＋[f (5001001)＋f (5011001)]＝500×1＝500.。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高效测评 北师大版
数、对数函数增长的比较高效测评北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高效测评北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高效测评北师大版必修1的全部内容。
幂函数、对数函数增长的比较高效测评北师大版必修1一、选择题(每小题5分，共20分)1．f（x）＝x2，g（x）＝2x,h(x)＝log2x，当x∈（4,＋∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( ）A．f(x)〉g（x）〉h(x）B．g(x）>f(x)〉h（x)C．g(x)〉h(x)>f(x) D．f（x)>h(x）〉g(x）解析：画出函数的图像，当x∈（4,＋∞）时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)〉f(x）>h(x)．答案：B2．设x∈(0，1）时，y＝x p（p∈Z）的图像在直线y＝x的上方，则p的取值范围是（) A．p≥0 B．0<p〈1C．p〈1且p≠0 D．p〉1解析：当p〈0时，f（x)＝x p＝错误!错误!，在（0，1)上单调递减，∴y〉f（1）＝1在直线y＝x上面，故只有C正确．答案：C3．某种细菌经60分钟培养,可繁殖为原来的2倍,且知该细菌的繁殖规律为y＝10e kt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时),y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )A．640 B．1 280C．2 560 D．5 120解析：由题意可知，当t＝0时，y＝10，当t＝1时，y＝10e k＝20，可得e k＝2.故10个细菌经过7小时培养，能达到的细菌个数为10e7k＝10×（e k）7＝1 280.答案: B4．某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10。
高中数学章末复习方案与全优评估：第三章指数函数和对数函数(北师大)Word
1．指数与指数函数(1）利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．（2)指数函数的底数a＞0且a≠1，这是隐含条件．（3）指数函数y＝a x的单调性，与底数a有关．当底数a与1的大小不确定时,一般需分类讨论．（4）指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是:在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(5）函数y＝a x与函数y＝(错误!)x的图像关于y轴对称．(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质．2．对数与对数函数（1）指数式a b＝N与对数式log a N＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键．(2）在使用运算性质log a M n＝n log a M时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a M n＝n log a|M｜。
(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n＝错误!log a b，log a b＝错误!在解题中的灵活运用．（4）对数函数y＝log a x与y＝log错误!x的图像关于x轴对称．（5)指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,其图像关于直线y＝x对称．(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究,要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．（7)与对数函数有关的方程，常见有两类:一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．[例1] 化简:（1)错误!÷（1－2 错误!)×错误!；(2）（lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋（lg 5）3；（3）错误!。
[解] （1）原式＝错误!×错误!×a错误!b错误!＝错误!×a错误!×a错误!b错误!＝a错误!.(2)原式＝（lg 2＋lg 5)［(lg 2）2－lg 2·lg 5＋（lg 5）2]＋3lg 2·lg 5＝（lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋（lg 5)2＝（lg 2＋lg 5）2＝1.（3)原式＝错误!＝错误!＝错误!＝1。
新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》检测题(有答案解析)
一、选择题1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．211x y x -=-与1y x =+B ．y x =与log xa y a =（0a >且1a ≠）C．y =1y x =-D ．lg y x =与21lg 2y x =2．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>3．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞D ．()5,1[1,)3-∞-4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()4,+∞ B ．()6,+∞ C ．()1,4D ．()4,65．已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<6．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则(2021)f =（ ）A ．12B ．0C ．4log 3D ．17．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（ ） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144698．若13log 2a =，131()2b =，2log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．c b a <<9．若函数()()20.3log 54f x x x=+-在区间()1,1a a -+上单调递减，且lg 0.3=b ，0.32c =，则A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<10．若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．函数()log 1a f x x =+（且）．当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有（ ）．A ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数D ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数12．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a bR +=，则（ ） A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<二、填空题13．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 111111lgb lgclgc lgalga lgba b c+++⨯⨯的值为_____14．当x >0时，212()log (32)f x x x -=-+，则y =f (x )在(,0)-∞内的单调增区间为_____.15．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．16．已知函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数，则a 的取值范围是______.17．已知0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为11x x y y =⎧⎨=⎩或22x x y y =⎧⎨=⎩，则()1212lg x x y y =________.18．给出下列四个命题：①函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，0）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |；③若log a12＜1，则a 的取值范围是（0，12）∪（2，+∞）；④若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），则x +y ＜0.其中所有正确命题的序号是_____. 19．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 20．给出下列四个命题：（1）函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)；（2）函数2log y x =与函数2xy =互为反函数；（3）若1log 12a>，则a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭或(2,)+∞；（4）函数log (5)a y ax =-在区间[1-，3)上单调递减，则a 的范围是5(1,]3； 其中所有正确命题的序号是___________.三、解答题21．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数21()log 1x f x x +=-. （1）求函数()f x 的定义域并证明该函数是奇函数；（2）若当(1,)x ∈+∞时，2()()log (1)g x f x x =+-，求函数()g x 的值域.23．已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇．函数，且3(1)2f =. （1）求k 的值，并判断()f x 的单调性（不要求证明）； （2）是否存在实数()2,3mm m >≠，使函数()()22(2)log 1x xm g x a a mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦在[]1,2上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值；如果不存在，请说明理由. 24．已知2()log (1)f x x =-.（1）若00(1)(1)0f x f x ++-=，求0x 的值； （2）记()()(6)g x f x f x =+-，①求()g x 的定义域D ，并求()g x 的最大值m ； ②已知322224log 2log 2b aba ab b++=++-，试比较b 与ma 的大小并说明理由.25．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间. 26．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，()121xaf x =++. （1）求实数a 的值及()f x 的解析式； （2）求方程4|(1)|5f x -=的解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】A ．211x y x -=-的定义域为{}1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；B ．y x =与log xa y a =的定义域均为R ，且log xa y a =即为y x =，所以是同一个函数；C ．y =(][),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个函数；D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21lg 2y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】思路点睛：同一函数的判断步骤：（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.2．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>.故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.3．A解析：A 【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.4．D解析：D 【分析】转化条件为函数()f x 是周期为2的周期函数，且函数()g x 、()f x 的图象均关于1x =-对称，由函数的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，画出图象后，数形结合即可得解. 【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数， 又函数()log 1a g x x=+的图象可由函数log a y x =的图象向左平移一个单位可得， 所以函数()log 1a g x x =+的图象的对称轴为1x =-，当[)1,1x ∈-时，()2f x x =，所以函数()f x 的图象也关于1x =-对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在1x =-右侧的图象，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图象与()f x 的图象恰有10个不同的公共点， 则由函数图象的对称性可得两图象在1x =-右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是函数的周期性、对称性及数形结合思想的应用.5．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较．由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．6．A解析：A 【分析】根据题意，由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数，则有(2021)f f =（2），结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】根据题意，定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，则()f x 是周期为3的周期函数，则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=，又由当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则f （2）41log 22==， 故1(2021)2f =， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ，再利用函数解析式求值是解题关键.7．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈.【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.8．C解析：C 【分析】由题容易看出，0a <， 01b <<，2log 31c =>，便得出,,a b c 的大小关系. 【详解】1133log 2log 10a =<=，310110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 3log 21c =>=，因此a b c <<.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的比较大小，常与中间值0-1,1，来比较，再结合函数的单调性即可求解，属于中档题.9．A解析：A 【分析】求出原函数的定义域，再求出内函数二次函数的增区间，由题意列关于a 的不等式组，求得a 的范围，结合b=1g0.3＜0，c=20.3＞1得答案． 【详解】由5+4x-x 2＞0，可得-1＜x ＜5， 函数t=5+4x-x 2的增区间为（-1，2），要使f(x)＝log 0.3(5+4x−x 2)在区间（a-1，a+1）上单调递减， 则1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩ ，即0≤a≤1．而b=1g0.3＜0，c=20.3＞1， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．10．C解析：C 【分析】求得函数()y f x =的定义域，利用复合函数法求得函数()y f x =的单调递增区间，根据题意可得出区间的包含关系，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解不等式2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<，内层函数245u x x =-++在区间()1,2-上单调递增，在区间()2,5上单调递减， 而外层函数12log y u =在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5， 由于函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+上单调递增，所以，32232225m m m m -≥⎧⎪-<+⎨⎪+≤⎩，解得423m ≤<.因此，实数m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，而此时log 10a x +>，所以有01a <<，从而能够确定函数在(,1)-∞-上是增函数，在区间(1,)-+∞上是减函数，故选D ．考点：函数的单调性．12．B解析：B 【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11(lg lg )lg()lg 222a bP a b ab R +=<+==<=因此，P Q R <<故选：B【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小二、填空题13．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：11000【分析】根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】由0lga lgb lgc ++=， 可得1bc a =，1ab c=，1ac b =，111111111()()()lgb lgclgc lgalga lgblgb lgalgcabcac bc ab +++∴⨯⨯=．11110101011111010101000bac log log log bac ==⨯⨯=故答案为：11000【点睛】本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．14．【分析】由已知函数解析式求出时的函数解析式由真数大于0得到的范围再由复合函数的单调性求解【详解】令则当时且或二次函数在上为减函数在上为增函数而对数式在上为减函数在内的单调增区间为故答案为：【点睛】本 解析：(,2)-∞-【分析】由已知函数解析式求出0x <时的函数解析式，由真数大于0得到x 的范围，再由复合函数的单调性求解． 【详解】令0x <，则0x ->，当0x >时，212()log (32)f x x x -=-+，221122()[()][()3()2](32)(0f x f x log x x log x x x ∴=--=---+=++<且2320)x x ++>．2x ∴<-或10x -<<．二次函数232t x x =++在(,2)-∞-上为减函数，在(1,0)-上为增函数， 而对数式12y log t =在(0,)t ∈+∞上为减函数，()y f x ∴=在(,0)-∞内的单调增区间为(,2)-∞-．故答案为：(,2)-∞-． 【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．15．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故解析：6 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【详解】函数f （x ）=22xx ax+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．则：226112255p q pq ap aq +=-=++， 整理得：22222222p q p q p qp qp q aq ap aq ap a pq+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6 【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．16．【分析】函数为复合函数且原函数为减函数根据题意需要满足一元二次函数在上是增函数且在上恒大于或等于零然后求解关于a 的不等式即可得到结果【详解】令则原函数化为此函数为定义域内的减函数要使函数在上是减函数解析：9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】函数为复合函数,且原函数为减函数,根据题意需要满足一元二次函数2x ax a -+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,然后求解关于a 的不等式即可得到结果. 【详解】令2t x ax a =-+,则原函数化为12()log g t t =,此函数为定义域内的减函数,要使函数()212log y x ax a =-+在()3,+∞上是减函数,则函数2t x ax a =-+在()3,+∞上是增函数,且在()3,+∞上恒大于或等于零,即有232330aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩,解得92a ≤. 故答案为:9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查了复合函数的单调性,需要掌握复合函数的同增异减,本题还要注意对数函数的定义域是求解的前提,这里容易漏掉,需要掌握此类题目的解题方法.17．【分析】利用换底公式得出分别消去和可得出二次方程利用韦达定理可求出和的值进而可计算出的值【详解】由换底公式得由①得代入②并整理得由韦达定理得即则因此故答案为：【点睛】本题考查了对数的换底公式对数的运 解析：6【分析】利用换底公式得出5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，分别消去5log x 和8log y ，可得出二次方程，利用韦达定理可求出12x x 和12y y 的值，进而可计算出()1212lg x x y y 的值. 【详解】由换底公式得5858log log 4111log log x y x y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②， 由①得58log 4log x y =-，代入②并整理得()288log 2log 40y y --=，由韦达定理得8182log log 2y y +=，即()812log 2y y =，则261282y y ==，()51528182log log 8log log 6x x y y ∴+=-+=，6125x x ∴=，因此，()61212lg lg106x x y y ==.故答案为：6. 【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．18．②④【分析】根据对数函数的图像与性质以及函数的单调性和奇偶性逐个分析判断即可得解【详解】对于①由2x ﹣1＝1得x ＝1∴函数f （x ）＝loga （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1﹣1）故①错误；对于②函数解析：②④ 【分析】根据对数函数的图像与性质，以及函数的单调性和奇偶性，逐个分析判断即可得解. 【详解】对于①，由2x ﹣1＝1，得x ＝1，∴函数f （x ）＝log a （2x ﹣1）﹣1的图象过定点（1，﹣1），故①错误；对于②，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），设x ＞0，则﹣x ＜0， ∴f （x ）＝f （﹣x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x （x ﹣1）， 则f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |，故②正确； 对于③，由log a12＜1，得log a 12＜log a a ，当a ＞1时，不等式成立， 当0＜a ＜1时，解得012a <<. 则a 的取值范围是（0，12）∪（1，+∞），故③错误； 对于④，由2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）（x ＞0，y ＜0），得2﹣x ﹣lnx ＞2y ﹣ln （﹣y ），∵函数f （x ）＝2﹣x ﹣ln x 为定义域内的减函数， ∴x ＜﹣y ，即x +y ＜0，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查了对数函数的运算以及对数函数的性质，考查了函数奇偶性和单调性的应用，考查了转化思想，属于中档题.本题涉及的方法有一下几个： （1）根据奇偶性求解析式，注意范围的设定； （2）构造函数，利用函数的单调性，确定大小关系.19．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间. 【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞.故答案为：(),2-∞. 【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．20．（2）（4）【分析】（1）函数的图象过定点所以该命题错误；（2）函数与函数互为反函数所以该命题正确；（3）若所以的取值范围是所以该命题错误；（4）由题得解得的范围是所以该命题正确【详解】（1）当时（解析：（2）（4） 【分析】（1）函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-，所以该命题错误；（2）函数2log y x =与函数2x y =互为反函数，所以该命题正确；（3）若1log 12a>，所以a 的取值范围是1(,1)2，所以该命题错误；（4）由题得1530a a >⎧⎨-⎩，解得a 的范围是5(1,]3，所以该命题正确. 【详解】（1）当1x =时，f （1）1=-恒成立，故函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,1)-，所以该命题错误；（2）函数2log y x =与函数2xy =互为反函数，所以该命题正确；（3）若1log 12a >，所以112a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或0112a a <<⎧⎪⎨<⎪⎩，则a 的取值范围是1(,1)2，所以该命题错误；（4）函数log (5)ay ax =-在区间[1-，3)上单调递减，则1530a a >⎧⎨-⎩，解得a 的范围是5(1,]3，所以该命题正确. 故答案为：（2）（4） 【点睛】本题主要考查对数函数的定点问题和反函数，考查对数函数的单调性和解对数不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数， 则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x -==-， 则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±， 当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意； 当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意； 故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减， 所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增， 所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min 32log 182993g x g -===+， 所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值. 22．（1）{1x x <-或}1x >，证明见解析；（2）()1,+∞. 【分析】（1）本题首先可通过求解101xx +>-得出函数()f x 的定义域，然后通过()()f x f x -=-证得函数()f x 是奇函数；（2）本题可根据题意将函数转化为2()log (1)g x x =+，然后通过当1x >时2log (1)1x +>即可求出函数()g x 的值域.【详解】（1）因为函数21()log 1x f x x +=-， 所以101xx +>-，解得1x <-或1x >， 则函数的定义域为{1x x <-或}1x >，且定义域关于原点对称， 因为222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-===-=---+-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）22221l ()()log (1)log (1)log (1)og 1g x x x f x x x x +=+-==-+-+， 当1x >时，22log (1)log 21x +>=，函数2()log (1)g x x =+是增函数， 故当(1,)x ∈+∞时，()1g x >，函数()g x 的值域为()1,+∞. 【点睛】方法点睛：判断或证明函数奇偶性，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后通过()()f x f x -=-判断函数是奇函数或者通过()()f x f x -=判断函数是偶函数. 23．（1）1k =；()f x 为R 上的增函数；（2）存在，176m =.【分析】（1）根据奇函数的性质和()312f =，代入求函数的解析式，并判断单调性；（2）由（1）可知()()2(2)2log 22221xx x x m g x m ---=+--+⎡⎤⎣⎦，并通过换元22x x t -=-，转化为()()()22log 3m g t t mt -=-+，讨论底数21m ->，和021m <-<两种情况，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系，结合外层函数的单调性，确定内层函数的最值，最后确定函数的最大值求m . 【详解】（1）∵函数()x xf x a k a -=-⋅（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数，0R ∈，∴(0)0f =，10k -=，∴1k =. 因为3(1)2f =，∴132a a -=，22320a a --=，2a =或12a =-， ∵0a >，∴2a =，()22x x f x -=-，因为2x 为增函数，2x -为减函数，所以()f x 为R 上的增函数. （Ⅱ）()()22(2)log 1xx m g x aa mf x --⎡⎤=+-+⎣⎦()22(2)log 22221x x x xm m ---=+--+⎡⎤⎣⎦()()2(2)log 22223x x x x m m ---⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222233x x x x m t mt -----+=-+，∵[]1,2x ∈，∴315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()23h t t mt =-+， （1）当021m <-<，即23m <<时，要使()g x 最大值为0，则要min ()1h t =，∵22()()(3)24m m h t t =-+-，312m <<，315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，∴()h t 在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴min 3213()()242h t h m ==-，由min ()1h t =，得176m =，因17(2,3)6∈，所以176m =满足题意. （2）当21m ->，即3m >时，要使()g x 最大值为0，则要max ()1h t =，且min ()0h t >. ∵322m >， ①若321228m <≤ ，则max 1522515()()314164h t h m ==-+=，25760m =，又2min ()()3024m m h t h ==->，∴3m <<25760>∴25760m =不合题意.②若2128m > ，即214m >，则max 32132132121()()02424248h t h m ==-<-⨯=-<，max ()1h t ≠，综上所述，只存在176m =满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数根据最值，求参数的取值范围，属于中档题型，本题的第一个关键点是换元化简函数，设22x x t -=-，则()()22222233xx x x m t mt -----+=-+，第二个关键点是需分析外层函数的单调性，并讨论内层函数的对称轴和定义域的关系.24．（1）12）①(1,5)，2m =；②b ma >，理由见解析. 【分析】（1）根据对数的运算性质解得01x = （2）将322224log 2log 2b aba ab b++=++-化为2222log (2)2a a a +-2222322log log 32log 2b b b b b b =+-+-<+-，利用22()2log x h x x x=+-为增函数可得(2)()h a h b <，2a b <，即ma b <.【详解】 （1）由已知得，2020log log (2)0x x +-=，[]200log (2)0x x -=，∴00(2)1x x -=，200210x x --=，∴01x =02x >，∴01x =（2）①22()log (1)log (5)g x x x =-+-，由1050x x ->⎧⎨->⎩，得15x <<，∴()g x 的定义域(1,5)D =.由于[]222()log (1)(5)log [(3)4]g x x x x =--=--+，∴当3x =时，max 2()log 42m g x ===， ②由223224log 2log 2abba a a b++=++-，得2222214log 2log log 322a b a b a b +-=+--+， 即22222212log (2)2log log 3122ab a b a b +-=+--++22232log log 32b b b =+-+-，因为32222223log 3log 2log 3log log 02-=-=<，所以2222222322log (2)2log log 32log 22ab b a b b a b b+-=+-+-<+-， 考虑函数22()2log xh x x x=+-，所以(2)()h a h b <， 因2x ，2log x ，2x-都是增函数，所以()h x 为增函数，∴2a b <，∵2m =， 故始终有b ma >成立. 【点睛】关键点点睛：令22()2log xh x x x=+-，转化为(2)()h a h b <，利用单调性求解是解题关键.25．（1）32x x ⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】 （1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可；（2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可. 【详解】解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3xy =在R 上单调递增,所以()2221xx -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x⎧⎨⎩或}1x <- （2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞,设245u x x =--,35log y u =,因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间,因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增, 所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞ 【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间.26．(1) 2a =-,()2121x x f x -=+;(2) 212log 3x =+或212log 3x =-【分析】(1)根据奇函数(0)0f =求解a ,再根据奇函数的性质求解()f x 的解析式即可.(2)根据(1)可得()2121x x f x -=+为奇函数,可先求解4|()|5f t =的根,再求解4|(1)|5f x -=即可.【详解】(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()121xaf x =++,故0(0)1021a f =+=+,即102a +=,解得2a =-.故当0x ≥时,()22112121xx x f x -=-=++. 所以当0x < 时, ()()211221211221x x x x xxf x f x -----=--=-=-=+++. 故()2121x x f x -=+(2) 先求解4|()|5f t =,此时()214215t t f t -==±+.当()()214421521215t t t t -=⇒+=-+,即29t =解得22log 92log 3t ==. 因为()2121x x f x -=+为奇函数,故当214215t t -=-+时, 22log 3t =-.故4|(1)|5f x -=的解为212log 3x -=或212log 3x -=-, 解得212log 3x =+或212log 3x =- 【点睛】本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.。
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2016-2017学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.3.1 指数
函数及其性质高效测评 北师大版必修1
一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论正确的是( ) A ．对于x ∈R ，恒有3x
>2
x
B ．y ＝(2)－x
是增函数
C ．对a >1，x ∈R ，一定有a x
>a
－x
D ．y ＝2|x |
是偶函数
解析： A ．当x <0时，2x
>3x
；B.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫22x
在R 上单调递减；C.当x ＝0时，就
有a x
＝1，a －x
＝1；D.符合偶函数的定义．
答案： D
2．设a ＝22.5
，b ＝2.50
，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122.5
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >c >b
B ．c >a >b
C ．a >b >c
D ．b >a >c
解析： 因为a ＝22.5
>1，b ＝2.50
＝1，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122.5
<1，所以a >b >c .
答案： C
3．函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1
的值域是( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，1]
C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，1]
解析： 由x －1≥0且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是减函数，知0<y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1
≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫130
＝1.
答案： B
4．已知f (x )＝a －x
(a >0且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)
D ．(0，1)
解析： f (x )＝a －x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x
， ∵f (－2)>f (－3)，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －2>⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －3
，即a 2>a 3.
∴a <1，即0<a <1.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(1)若0.2m
>1>0.2n
，则________>0>________(填m 或n )．
(2)若⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
<23x ＋1
，则x 的取值范围是________．
解析： (1)由0.2m
>1＝0.20
>0.2n
， 得n >0>m .
(2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
＝2－2x <23x ＋1
， ∴3x ＋1>－2x ，x >－1
5.
答案： (1)n m (2)x >－1
5
6．已知a ＝5－12
，函数f (x )＝a x
，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．
解析： a ＝
5－1
2
∈(0，1)， 故a m
>a n
⇒m <n . 答案： m <n
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f (x )＝a x
＋b (a >0，且a ≠1)．若f (x )的图像如图所示，
(1)求a ，b 的值； (2)解不等式f (x )≥2.
解析： (1)由图像得，点(1，0)，(0，－1)在函数f (x )的图像上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1
＋b ＝0，
a 0
＋b ＝－1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝－2，
∴f (x )＝2x
－2. (2)f (x )＝2x
－2≥2， ∴2x
≥4，∴x ≥2.
8．若函数f (x )＝a x
－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，求实数a 的值．
解析： 当a >1时，f (x )在[0，2]上递增，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧f （0）＝0，f （2）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 0
－1＝0，a 2－1＝2. ∴a ＝± 3. 又a >1，∴a ＝3；
当0<a <1时，f (x )在[0，2]上递减， ∴⎩⎪⎨
⎪
⎧f （0）＝2，f （2）＝0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧a 0
－1＝2，a 2－1＝0.解得a ∈∅. 综上所述，实数a 的值为 3. 尖子生题库
☆☆☆
9．(10分)如果函数y ＝a 2x
＋2a x
－1(a >0且a ≠1)在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值．
解析： 函数y ＝a 2x
＋2a x －1＝(a x ＋1)2
－2，x ∈[－1，1]． 若a >1，则x ＝1时，
函数取最大值a 2
＋2a －1＝14， 解得a ＝3.
若0<a <1，则x ＝－1时， 函数取最大值a －2
＋2a －1
－1＝14， 解得a ＝13
.
综上所述，a ＝3或1
3
.。